文档文本内容
压轴20 非对称问题处理策略的3 大核心题型
在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x 或y，得到一个一元二次方程，往往能够利
用韦达定理来快速处理|x1-x2|，𝑥2
1+𝑥2
2，
1
𝑥1+
1
𝑥2之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2 的不同系
数的代数式的运算，比如
𝑥1
𝑥2，
3𝑥1𝑥2+2𝑥1−𝑥2
2𝑥1𝑥2−𝑥1+𝑥2 或λx1+μx2 之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非
对称韦达结构”.
题型01 解决定值问题
1.已知点F 为椭圆
2
2
:
1
4
3
x
y
E
的右焦点，A，B 分别为其左、右顶点，过F 作直线l 与椭圆交于M，N 两
点(不与A，B 重合)，记直线AM 与BN 的斜率分别为
1
2
,
,
k k
证明
1
2
k
k
为定值．
题型02 解决定线问题
2.点
,
A B 是椭圆
2
2
:
1
4
3
y
x
E
的左右顶点若直线:
(
1)
l y
k x
-
与椭圆E 交于M，N 两点，求证：直线AM 与
直线BN 的交点在一条定直线上．
题型03 解决定点问题
技法指导
处理圆锥曲线中非对称韦达定理的定值问题，核心是消元配凑，转化为对称式。常用方法：1. 先猜后证：
由特殊位置猜测定值。2. 和积配凑：将非对称式如
用
与
表示，常需借助曲线方
程进行“暴力”代换化简。3. 比值代换：设
或
化为单变量。最终消去参数，证明结果为
常数。
1
2
x
x
1
2
x
x
1
2
x
x
1
2
x
t
x
1
2
y
t
y
技法指导
非对称结构的常规处理方法有和积转换、配凑、求根公式(暴力法)、曲线方程代换、第三定义等方法，
将其转化为对称结构计算.
3.已知点
1
2
2,0 ,
2,0 ,
F
F
M
-
是圆
2
2
:
1
O x
y
上任意一点，点
1F 关于点M 的对称点为N ，线段
1F N
的中垂线与直线
2
F N 相交于点T ，记点T 的轨迹为曲线C ．
（1）求曲线C 的方程；
（2）若点
1,0 ,
1,1
A
H
，直线:
2
l x
，过点H 的直线1l 与C 交于D
E
、
两点，直线AD
AE
、
与直线l
分别交于点P
Q
、
．证明：PQ 的中点为定点．
1.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
C
a
b
a
b
>
>
过点
2, 2
P
，且离心率为
2
2 .
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设椭圆C 的上、下顶点分别为A、B，过点
0,4
P
斜率为k 的直线与椭圆C 交于M、N 两点.求证：直
线BM 与AN 的交点G 在定直线上.
2.（2025.黑龙江漠河高三模拟）.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
>
>
的右焦点为F，长轴长为4，离心率为
1
2 ．过点
(4,0)
Q
的直线l 与椭圆C 交于A，B 两点．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设直线
,
AF BF 的斜率分别为
1
2
2
,
0
k k
k ¹
，求证：
1
2
k
k 为定值．
3.已知椭圆
2
2
2
2
:
1(
0)
x
y
C
a
b
a
b
>
>
的一个焦点与抛物线
2
4 3
y
x
的焦点重合，且椭圆C 的离心率为
3
2
.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）直线l 交椭圆C 于A､B 两点，线段AB 的中点为
(1, )
M
t ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，求证：直
线m 过定点，并求出该定点的坐标.
4.已知椭圆
2
2
2
2
:
1
0
x
y
E
a
b
a
b
>
>
的左右顶点分别为
1A ，2
A ，右焦点F 的坐标为
3,0 ，点P 坐标为
2,2
-
，
且直线
1
PA
x
^
轴，过点P 作直线与椭圆E 交于A ，B 两点（A ，B 在第一象限且点A 在点B 的上方），直
技法指导
线OP 与
2
AA 交于点Q ，连接
1
QA .
（1）求椭圆E 的方程；
（2）设直线
1
QA 的斜率为
1k ，直线
1A B 的斜率为
2k ，问：
1 2
k k 的斜率乘积是否为定值，若是求出该定值，若
不是，说明理由.
5.（2022 新高考1 卷）已知点
(2,1)
A
在双曲线
2
2
2
2
:
1(
1)
1
x
y
C
a
a
a
-
>
-
上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线
AP ，AQ 的斜率之和为0．
（1）求l 的斜率；
（2）若tan
2 2
PAQ
Ð
，求PAQ
D
的面积．
6.（2020 新高考卷）已知椭圆C：
2
2
2
2
1(
0)
x
y
a
b
a
b
>
>
的离心率为
2
2
，且过点
2,1
A
．
（1）求C 的方程：
（2）点M ，N 在C 上，且AM
AN
^
，AD
MN
^
，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．
7 已知椭圆C：
𝑥2
𝑎2＋
𝑦2
𝑏2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），M，N 分别为左、
右顶点，直线l：x＝ty＋1 与椭圆C 交于A，B 两点，当t＝－
3
3 时，A 是椭圆的上顶点，且△AF1F2 的周长
为6.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线AM，BN 交于点Q，证明：点Q 在定直线上.
8.设直线x
m
与双曲线C ：
2
2
(
0)
3
y
x
m m
-
>
的两条渐近线分别交于A ，B 两点，且三角形OAB 的面积为
3 .
(1)求m 的值；
(2)已知直线l 与x 轴不垂直且斜率不为0，l 与C 交于两个不同的点M ，N ，M 关于x 轴的对称点为M ¢ ，F
为C 的右焦点，若M ¢ ，F ，N 三点共线，证明：直线l 经过x 轴上的一个定点.
9.已知点
3 0
3 0
A
B
-
，,
，，动点V 满足直线VA与直线VB 的斜率之积为1
3 ，动点V 的轨迹为曲线C ．
(1)求曲线C 的方程：
(2)直线PQ与曲线C 交于
,
P Q 两点，且BP
BQ BM
PQ
^
^
,
交PQ于点M ，求定点N 的坐标，使MN 为定值；
(3)过（2）中的点N 作直线交曲线C 于
,
G H 两点，且两点均在y 轴的右侧，直线
,
AG BH 的斜率分别为
1
2
,
k k ，求
1
2
k
k 的值．
