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8.5 分布列与其他知识的综合运用（精练）
1．（2023·贵州贵阳·校联考三模）为了“让广大青少年充分认识到毒品的危害性，切实提升青少年识毒防
毒拒毒意识”，我市组织开展青少年禁毒知识竞赛，团员小明每天自觉登录“禁毒知识竞赛APP”，参加
各种学习活动，同时热衷于参与四人赛.每局四人赛是由网络随机匹配四人进行比赛，每题回答正确得20
分，第1 个达到100 分的比赛者获得第1 名，赢得该局比赛，该局比赛结束.每天的四人赛共有20 局，前2
局是有效局，根据得分情况获得相应名次，从而得到相应的学习积分，第1 局获得第1 名的得3 分，获得
第2､3 名的得2 分，获得第4 名的得1 分；第2 局获得第1 名的得2 分，获得第2､3､4 名的得1 分；后18
局是无效局，无论获得什么名次，均不能获得学习积分.经统计，小明每天在第1 局四人赛中获得3 分､2
分､1 分的概率分别为
，
，
，在第2 局四人赛中获得2 分､1 分的概率分别为
，
.
(1)设小明每天获得的得分为X，求X 的分布列和数学期望；
(2)若小明每天赛完20 局，设小明在每局四人赛中获得第1 名从而赢得该局比赛的概率为
，每局是否赢
得比赛相互独立，请问在每天的20 局四人赛中，小明赢得多少局的比赛概率最大？
【答案】(1)分布列答案见解析，数学期望：
(2)在每天的20 局四人赛中，小明赢得5 局的比赛概率最大
【解析】（1）记事件
表示第一局获得分，事件
表示第二局获得分，
这些事件相互独立，由条件知
的可能值为5，4，3，2.
；
；
；
.
则其分布列为
5
4
3
2
1
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所以
.
（2）设小明每天赢得的局数为
，则易知
，
于是
.
假设赢得
局的概率最大，则据条件得
，
即
，
整理得
，解之得
，
又因为
，所以
，
因此在每天的20 局四人赛中，小明赢得5 局的比赛概率最大.
2．（2023·江苏南京·南京市第九中学校考模拟预测）某种疾病可分为
，
两种类型，为了解该疾病的类
型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了若干名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患
者的2 倍，男性患
型疾病的人数占男性患者的
，女性患
型疾病的人数占女性患者的
.
型病
型病
合计
男
女
合
计
(1)填写
列联表，若本次调查得出“在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为‘所患疾病的类
2
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型’与‘性别’有关”的结论，求被调查的男性患者至少有多少人？
(2)某团队进行预防
型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排2 个周期接种疫苗，每人每个周期接种
3 次，每次接种费用为
元.该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为
，如果一个
周期内至少2 次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期.若
，试验人数为1000 人，
试估计该试验用于接种疫苗的总费用.
，
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)列联表见解析，被调查的男性患者至少有12；
(2)
元
【解析】（1）设男性患者有
人，则女性患者有
人，
列联表如下：
型病
型病
合计
男
女
合
计
假设
：患者所患疾病类型与性别之间无关联，
根据列联表中的数据
，
要使在犯错误的概率不超过0.005 的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则
，解得
，
3
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因为
，
，所以
的最小整数值为12，
因此，男性患者至少有12 人.
（2）设该试验每人的接种费用为
元，则
的可能取值为
，
.
则
，
，
所以
，
因为
，试验人数为1000 人，所以该试验用于接种疫苗的总费用为
，
所以
元.
3．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）随着人们收入水平的提高，特色化差异化农产品的消费需求快速增
､
长，精品农产品获得广大消费者的认可.某精品水果种植大户在水果采摘后，一般先分拣出单个重量不达标
的水果，再按重量进行分类装箱.现从同批采摘分拣后堆积的水果堆中随机抽取了
､
30 个水果进行称重（为
方便称重，按5 克为一级进行分级），统计对应的水果重量，得柱状图如下.
(1)估计该批采摘的水果的单个水果的平均重量（精确到整数位）；
(2)在样本内，从重量不低于80 克的水果中，随机选取2 个，记其中选取到水果重量不低于90 克的个数为
X，求X 的分布列和数学期望；
(3)用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率.从采摘的水果堆中随机选取n 个水果，若要求其
中至少有一个水果的重量不低于80 克的概率不低于
，求n 的最小值.
【答案】(1)75 克
(2)分布列见解析，
(3)5
4
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【解析】（1）根据柱状图可知该批采摘的水果的单个水果的平均重量为
（克）；
（2）样本中重量不低于80 克的水果有
个，其中重量不低于90 克的有3 个，
所以X 的可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以X 的分布列为
0
1
2
所以
；
（3）由题意得
，得
，
即
，
因为
，
，且
为减函数，
所以当
的解集为
，
所以n 的最小值为5.
4．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）某知识测试的题目均为多项选择题，每道多项选
择题有A，B，C，D 这4 个选项，4 个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得
5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.已知测试过程中随机地从四个选项中作选择，每个选项是否为
正确选项相互独立.若第一题正确选项为两个的概率为
，并且规定若第
题正确选项为两
个，则第
题正确选项为两个的概率为
；第
题正确选项为三个，则第
题正确选项
5
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为三个的概率为
.
(1)若第二题只选了“C”一个选项，求第二题得分的分布列及期望；
(2)求第n 题正确选项为两个的概率；
(3)若第n 题只选择B、C 两个选项，设Y 表示第n 题得分，求证：
.
【答案】(1)分布列见解析；
(2)
(3)证明见解析
【解析】（1）设事件
表示正确选项为
个，事件
表示正确选项为个，
表示第
题正确选项为
个的概率，
表示第
题正确选项为个的概率.
设事件
表示选项“C”为第二题的一个正确选项，用随机变量
表示第二题得分.
依题得，
可能取值为
.
因为
，
，
所以
所以
的分布列为:
所以
.
（2）依题得，
，
6
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所以
，
又因为
，
所以
是以
为首项，以
为公比的等比数列.
所以
，
.
（3）由（2）可知，
，
.
依题得，
可能取值为
.
，
，
所以
.
5（2024·江西·校联考模拟预测）近年来，随着智能手机的普及，网络购物、直播带货、网上买菜等新业态
迅速进入了我们的生活，改变了我们的生活方式现将一周网上买菜次数超过3 次的市民认定为“喜欢网上
买菜”，不超过3 次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”.某市
社区为了解该社区市
民网上买菜情况，随机抽取了该社区100 名市民，得到的统计数据如下表所示：
喜欢网上买菜
不喜欢网上买
菜
合计
年龄不超过45 岁的市民
40
10
50
年龄超过45 岁的市民
20
30
50
合计
60
40
100
7
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(1)是否有
的把握认为
社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？
(2)
社区的市民张无忌周一、二均在网上买菜，且周一从
，
两个买菜平台随机选择其中一个下单买菜.
如果周一选择
平台买菜，那么周二选择入平台买菜的概率
；如果周一选择
平台买菜，那么周二选择
入平台买菜的概率为
，求张无忌周二选择
平台买菜的概率；
(3)用频率估计概率，现从
社区市民中随机抽取20 名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为
事件“
”的概率为
，求使
取得最大值的
的值.
参考公式：
，其中
.
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
【答案】(1)有
(2)
(3)
【解析】（1）假设
：
社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关.
由题意可得，
，
则假设不成立，
所以有
的把握认为
社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关.
（2）记事件
：张无忌周一选择
平台买菜；事件
：张无忌周二选择
平台买菜，
则
，
，
，
由全概率公式可得
，
8
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因此，张无忌周二选择
平台买菜的概率为
.
（3）由题意可知，抽取的20 名市民，喜欢网上买菜的市民人数
服从二项分布，
且喜欢上网买菜的频率为
，则
，
且
，
，
设
，
，
若
，即
，即
，解得
，
若
，即
，即
，解得
或
，所以当
时，
最大，故
的值为
.
6．（2023·辽宁本溪·本溪高中校考模拟预测）某疫苗生产单位通过验血的方式检验某种疫苗产生抗体情况，
现有
份血液样本（数量足够大），有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，需要检验n 次；
方式二：混合检验，将其中k（
且
）份血液样本混合检验，若混合血样无抗体，说明这k 份血
液样本全无抗体，只需检验1 次；若混合血样有抗体，为了明确具体哪份血液样本有抗体，需要对每份血
液样本再分别化验一次，检验总次数为
次．
假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本有抗体的概率均为
．
(1)现有7 份不同的血液样本，其中只有3 份血液样本有抗体，采用逐份检验方式，求恰好经过4 次检验就
能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率；
(2)现取其中k（
且
）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为
；采用混
9
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合检验方式，样本需要检验的总次数为
．
①若
，求P 关于k 的函数关系式
；
②已知
，以检验总次数的期望为依据，讨论采用何种检验方式更好？
参考数据：
．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）设恰好经过4 次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来为事件
，
事件
分为两种情况，一种是前三次检验中，其中两次检验出抗体，第四次检验出抗体，二是前四次均无
抗体，
所以
，
所以恰好经过4 次检验就能把有抗体的血液样本全部检验出来的概率为
，
（2）①由已知得
，
的所有可能取值为1，
，
所以
，
，
所以
，
若
，则
，
所以
，
，
所以
，得
，
所以P 关于k 的函数关系式
（
且
）
②由①知
，
，
10
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若
，则
，所以
，得
，
所以
（
且
）
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
因为
，
，
，
所以不等式
的解是
且
，
所以
且
时，
，采用方案二混合检验方式好，
且
时，
，采用方案一逐份检验方式好，
7．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活
动．活动规定初赛需要从8 道备选题中随机抽取4 道题目进行作答．假设在8 道备选题中，小明正确完成
每道题的概率都是
且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6 道题且另外2 道题不能完成．
(1)求小明至少正确完成其中3 道题的概率；
(2)设随机变量X 表示小宇正确完成题目的个数，求X 的分布列及数学期望；
(3)现规定至少完成其中3 道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参
加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，3
(3)选择小宇，理由见解析
【解析】（1）记“小明至少正确完成其中3 道题”为事件A，则
．
（2）X 的可能取值为2，3，4
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，
，
，
X 的分布列为；
X
2
3
4
P
数学期望
．
（3）由（1）知，小明进入决赛的概率为
；
记“小宇至少正确完成其中3 道题”为事件B，则
；
因为
，故小宇进决赛的可能性更大，
所以应选择小宇去参加比赛．
8．（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）“五一黄金周”期间，某商场为吸引顾客，增加顾客流量，
推出购物促销优惠活动，具体优惠方案有两种：方案一：消费金额不满300 元，不予优惠；消费金额满
300 元减60 元；方案二：消费金额满300 元，可参加一次抽奖活动，活动规则为：从装有3 个红球和3 个
白球共6 个球的盒子中任取3 个球（这些小球除颜色不同其余均相同），抽奖者根据抽到的红球个数不同
将享受不同的优惠折扣，具体优惠如下：
抽到的红球个数
0
1
2
3
优惠折扣
无折扣
九
折
八折
七折
(1)现有甲乙两位顾客各获得一次抽奖活动，求这两位顾客恰好有一人获得八折优惠折扣的概率；
(2)若李女士在该商场消费金额为x 元（
），请以李女士实付金额的期望为决策依据，对李女士选择
何种优惠方案提出建议.
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【答案】(1)
(2)答案见解析
【解析】（1）设事件A：抽奖的顾客获得八折优惠，则
；
由于甲乙两位顾客获得八折优惠的概率均为
，
设甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率P，
则
；
所以甲乙两位顾客恰好一人获得八折优惠的概率为
.
（2）方案一：设实付金额
，则
,（
）.
方案二：设实付金额
，则
的可能取值有：x，0.9x，0.8x，0.7x；（
）.
；
；
；
；
所以
.
①若
，解得
，选择方案一；
②若
，解得
，选择方案一或方案二均可；
③若
，解得
，选择方案二.，
所以当消费金额大于
且小于
时，选择方案一；
当消费金额等于
时，选择方案一或方案二均可；
当消费金额大于
时，选择方案二.
9．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）某学校常年开设某课程，今年该校在某年级开设的该课程
共有若干个班，由若干位不同的老师授课，其中某位老师班上的评分标准如下：每位同学该课程的分数
（满分
分）由两部分组成，一部分为“平时分”，学期内共有
次考勤，每次出勤计
分，另一部分
为“期末分”，是由期末考试的卷面成绩（满分
分）按照卷面成绩比期末分
的比例折算而来．如，
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一名同学出勤
次，期末考试的卷面成绩为
分，则该同学该课程的最终评分为：
（分）．
(1)一同学期末考试的卷面成绩为
分，假设该同学每次考勤时出勤的概率均为
且互相独立，求该同学
的最终评分及格（即大于等于
分）的概率
（结果保留三位小数）；
(2)经过统计，教务处公布今年该课程的该年级平均分约为
，标准差约为
，且学生成绩
近似满
足正态分布
．据此，该老师估计该年级几乎没有需要重修（即分数未达到
分）的学生，
请用所学知识解释老师的这一观点；
(3)泊松分布可以用来描述某些小概率事件的发生．若随机变量
服从参数为
的泊松分布（记作
），则
，其中为自然对数的底数．根据往年的数据，我们认为该课
程每年每个班级需要重修的学生数量近似服从泊松分布，假设
，证明每年每个班级出现多于一
名需要重修该课程的学生的概率低于百分之一．
参考数据：
，
，
，
若
，则
，
，
．
【答案】(1)
(2)理由见解析
(3)证明见解析
【解析】（1）解：设同学的最终评分及格时，出勤次数为
，
则
，解得
，因为
且
，则
或
，
所以，
.
（2）解：设学生的成绩为
，则
，即
，
，
所以，
，
所以，从该年级任选一名同学，该同学该课程不需重修的概率为
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，
这是一个小概率事件，几乎不会发生，
因此，该老师估计该年级几乎没有需要重修（即分数未达到
分）的学生.
（3）解：构造函数
，其中
，则
，
当
时，
，此时函数
单调递减，
当
时，
，此时函数
单调递增，
所以，
，即
，当且仅当
时，等号成立，
因为
，所以，每年每个班级出现多于一名需要重修该课程的学生的概率为
，
因此，每年每个班级出现多于一名需要重修该课程的学生的概率低于百分之一．
10．（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）杭州2022 年亚运会将于2023 年9 月23 日至10 月8
日在我国杭州举办．为迎接这一体育盛会，浙江某大学组织大学生举办了一次主题为“喜迎杭州亚运，当
好东道主”的亚运知识竞赛，并从所有参赛大学生中随机抽取了200 人，统计他们的竞赛成绩m（满分
100 分，已知每名参赛大学生至少得60 分），制成了如下所示的频数分布表：
成绩/分
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，100]
人数
60
70
50
20
(1)规定成绩不低于85 分为“优秀”，成绩低于85 分为“非优秀”，这200 名参赛大学生的成绩的情况统
计如下表：
分类
优秀
非优秀
总计
男生
30
70
100
女生
20
80
100
判断是否有95%的把握认为竞赛成绩优秀与性别有关；
(2)经统计，用于学习亚运知识的时间（单位：时）与成绩（单位：分）之间的关系近似为线性相关关系，
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对部分参赛大学生用于学习亚运知识时间x 与知识竞赛成绩y 进行数据收集，如下表：
x/时
8
9
11
12
15
y/分
67
63
80
80
85
求变量y 关于x 的线性回归方程
；
(3)A 市某企业赞助了这次知识竞赛，给予每位参赛大学生一定的奖励，奖励方案有以下两种：
方案一：按竞赛成绩m 进行分类奖励，当
时，奖励100 元；当
时，奖励200 元；当
时，奖励300 元．
方案二：利用抽奖的方式获得奖金，其中竞赛成绩低于样本中位数的只有1 次抽奖机会，竞赛成绩不低于
样本中位数的则有2 次抽奖机会，其中每次抽奖抽中100 元现金红包的概率均为
，抽中200 元现金红包
的概率均为
，且两次抽奖结果相互独立．
若每名参赛大学生只能选择一种奖励方案，试用样本的频率估计总体的概率，从数学期望的角度分析，每
名参赛大学生选择哪种奖励方案更有利．
附：
（其中
；
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
线性回归方程
中，
，
；
第（2）问中，
，
，
，
．
【答案】(1)没有95%的把握认为竞赛成绩优秀与性别有关
(2)
(3)每名参赛大学生选择方案二更有利
【解析】（1）解：根据这200 名参赛大学生的成绩的情况统计表，
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经计算得
，
所以没有95%的把握认为竞赛成绩优秀与性别有关．
（2）解：根据题设中的数据，可得
，
所以
，
所以所求线性回归方程为
．
（3）解：由题意得，对于方案一，设每名参赛大学生可获得的奖金为X 元，则X 的所有可能取值为100，
200，300，其对应的概率分别为
，
，
，
故
（元）．
对于方案二，设每名参赛大学生可获得的奖金为Y 元，则Y 的所有可能取值为100，200，300，400，
可得
；
；
；
，
所以Y 的分布列为
Y
100
200
300
400
P
所以
（元），
因为
，所以从数学期望的角度分析，每名参赛大学生选择方案二更有利.
11．（2023·山东潍坊·统考模拟预测）2023 年3 月某学校举办了春季科技体育节，其中安排的女排赛事共
有12 个班级作为参赛队伍，本次比赛启用了新的排球用球
已知这种球的质量指标
（单
位：g）服从正态分布
，其中
，
.比赛赛制采取单循环方式，即每支球队进行11
场比赛，最后靠积分选出最后冠军，积分规则如下（比赛采取5 局3 胜制）：比赛中以3：0 或3：1 取胜
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的球队积3 分，负队积0 分；而在比赛中以3：2 取胜的球队积2 分，负队积1 分.9 轮过后，积分榜上的前
2 名分别为1 班排球队和2 班排球队，1 班排球队积26 分，2 班排球队积22 分.第10 轮1 班排球队对抗3 班
排球队，设每局比赛1 班排球队取胜的概率为
.
(1)令
，则
，且
，求
，并证明：
；
(2)第10 轮比赛中，记1 班排球队3：1 取胜的概率为
，求出
的最大值点
，并以
作为
的
值，解决下列问题.
（ⅰ）在第10 轮比赛中，1 班排球队所得积分为
，求
的分布列；
（ⅱ）已知第10 轮2 班排球队积3 分，判断1 班排球队能否提前一轮夺得冠军（第10 轮过后，无论最后
一轮即第11 轮结果如何，1 班排球队积分最多）？若能，求出相应的概率；若不能，请说明理由.
参考数据：
，则
，
，
.
【答案】(1)0.02275；证明见解析.
(2)（ⅰ）分布列见解析
（ⅱ）能，
.
【解析】（1）
，又
，
所以
.
因为
，根据正态曲线对称性，
，
又因为
，所以
.
（2）
，
.
令
，得
.
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当
时，
，
在
上为增函数；
当
时，
，
在
上为减函数.
所以
的最大值点
，从而
.
（ⅰ）
的可能取值为3，2，1，0.
，
，
，
，
所以
的分布列为
3
2
1
0
（ⅱ）若
，则1 班10 轮后的总积分为29 分，2 班即便第10 轮和第11 轮都积3 分，
则11 轮过后的总积分是28 分，
，所以，1 班如果第10 轮积3 分，
则可提前一轮夺得冠军，其概率为
.
12．（2023·云南·校联考模拟预测）某企业拥有甲乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽
､
样方法从两条生产线共抽取180 个零件，测量其尺寸（单位：
）得到如下统计表，其中尺寸位于
的零件为一等品，位于
和
的零件为二等品，否则零件为三等品.
生产
线
甲
4
9
23
28
24
10
2
乙
2
14
15
17
16
15
1
(1)完成
列联表，依据
的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？
一等品
非一等品
合计
甲
19
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乙
合
计
(2)将样本频率视为概率，从甲乙两条生产线中分别随机抽取
､
1 个零件，每次抽取零件互不影响，以
表示
这2 个零件中一等品的数量，求
的分布列和数学期望
；
(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60 个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行
检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5 元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行
检验，则对卖出的每个三等品零件支付120 元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了20 个，检出了1 个三等
品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策
依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.
附
，其中
；
.
【答案】(1)列联表见解析，依据小概率值
的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有
关联．
(2)答案见解析
(3)需要对该箱余下的所有零件进行检验，理由见解析
【解析】（1）由题意得列联表如下：
一等品
非一等品
合计
甲
75
25
100
乙
48
32
80
合
计
123
57
180
，
，
依据小概率值
的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联．
（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为
，
20
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任取一个乙生产线零件为一等品的概率为
，
的所有可能取值为0，1，2，
，
，
，
的分布列为：
0
1
2
．（3）由已知零件为三等品的频率为
，
设余下的40 个零件中三等品个数为
，则
，
，
设检验费用与赔偿费用之和为
，
若不对余下的所有零件进行检验，则
,所以
若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为
元，
，
应对剩下零件进行检验．
13．（2023·上海松江·校考模拟预测）某超市每天以4 元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7 元/千克出售.若
每天下午6 点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2 元/千克出售，
并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60
天计算）每天下午6 点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概
率，
）.
每天下午6 点前的销售量/千克
250
300
350
400
450
21
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天数
10
10
5
(1)求1 天下午6 点前的销售量不少于350 千克的概率；
(2)在接下来的2 天中，设
为下午6 点前的销售量不少于350 千克的天数，求
的分布列和数学期望；
(3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350 千克的期望值比购进400 千克的期望值大时，求
的最小值.
【答案】(1)
(2)分布答案见解析，
(3)
【解析】（1）解：由表格中的数据，可得1 天下午6 点前的销售量不小于350 千克的概率为
.
（2）解：依题意，1 天下午6 点前的销售量不少于350 千克的概率
，
随机变量
的可能值为
，
可得
，
所以随机变量
的分布为：
0
1
2
所以
的数学期望
.
（3）解：购进350 千克时利润的期望值：
，
购进400 千克时利润的期望值：
，
由
，解得
，
因为
且
，因此
，
所以的最小值是
.
22
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14．（2023·上海·模拟预测）21 世纪汽车博览会在上海2023 年6 月7 日在上海举行，下表为某汽车模型公
司共有25 个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：
红色外观
蓝色外观
米色内饰
8
12
棕色内饰
2
3
(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A 为小明取到的模型为红色外观，事件B 取到模型有棕色
内饰，求
，并据此判断事件A 和事件B 是否独立；
(2)为回馈客户，该公司举行了一个抽奖活动，并规定，在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型。
为了得到奖品类型，现作出如下假设：
假设1：每人抽取的两个模型会出现三种结果：①两个模型的外观和内饰均为同色；②两个模型的外观和
内饰均为不同色；③两个模型的外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色。
假设2：该抽奖设置三类奖，奖金金额分别为：一等奖600 元，二等奖300 元，三等奖150 元。
假设3：每种抽取的结果都对应一类奖。出现某种结果的概率越小，奖金金额越高。
请判断以上三种结果分别对应几等奖。设中奖的奖金数是
，写出
的分布，并求
的数学期望。
【答案】(1)
，事件
相互独立；
(2)分布列见解析，271 元.
【解析】（1）由给定的数表知，
，
，
，
而
，因此事件
相互独立，
所以
，事件
相互独立.
（2）设事件
：外观和内饰均为同色，事件
：外观内饰都异色，事件
：仅外观或仅内饰同色，
依题意，
；
；
，则
，
因此抽取的两个模型的外观和内饰均为不同色是一等奖；外观和内饰均为同色是二等奖；
23
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外观同色但内饰不同色，或内饰同色但外观不同色是三等奖，
奖金额
的可能值为：
，
奖金额
的分布列：
600
300
150
奖金额
的期望
（元）.
15．（2023·广东·统考模拟预测）某工厂车间有6 台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发
生故障的概率都是
，且一台机器的故障由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3 名维修工，现有
两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2 台机器；方案二：由甲乙两人共同维护6 台
机器，丙负责其他工作.
(1)对于方案一，设X 为甲维护的机器某一时刻发生故障的台数，求X 的分布列与数学期望E（X）；
(2)在两种方案下，分别计算某一时刻机器发生故障时不能得到及时维修的概率，并以此为依据来判断，哪
种方案能使工厂的生产效率更高？
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
，
，方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
【解析】（1）解：由题意，车间有6 台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率
都是
，可得方案一中，随机变量
，
则
，
，
，
所以随机变量
的分布列为：
X
0
1
2
P
所以期望为
．
24
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（2）解：对于方案一：“机器发生故障时不能及时维修”等价于“甲、乙、丙三人中，至少有一人负责
的2 台机器同时发生故障”，设机器发生故障时不能及时维修的概率为
，
则其概率为
．
对于方案二：设机器发生故障时不能及时维修的概率为
，
则
，
可得
，即方案二能让故障机器更大概率得到及时维修，使得工厂的生产效率更高．
16．（2023·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）现有一种不断分裂的细胞
，每个时间周期
内分裂一次，
一个
细胞每次分裂能生成一个或两个新的
细胞，每次分裂后原
细胞消失，设每次分裂成一个新
细胞的概率为
，分裂成两个新
细胞的概率为
；新细胞在下一个周期
内可以继续分裂，每个细胞
间相互独立.设有一个初始的
细胞，在第一个周期
中开始分裂，其中
.
(1)设
结束后，
细胞的数量为
，求
的分布列和数学期望；
(2)设
结束后，
细胞数量为
的概率为
.
（i）求
；
（ii）证明：
.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）
；（ii）证明见解析
【解析】（1）
个
结束后，
的取值可能为
,其中
,
25
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，
，
，
所以
分布列为
.
（2）（i）
表示分裂
结束后共有
个细胞的概率，则必在某一个周期结束后分裂成
个
细胞.
不妨设在第
时分裂为
个
细胞，之后一直有
个
细胞，
此事件概率
，
所以
.
（ii）
代表分裂
后有个细胞的概率，设细胞
在
后分裂为
个新的
细胞，这两个
细胞在
剩下的
中，其中一个分裂为
个
细胞，一个保持一直分裂为个
细胞，此事件的概率
，
得
，
，
其中
，
.
26
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令
,
，
记
，
,令
，得
.
当
,
,
递增；
当
，
,
递减.
故
，
也就是
.
17．（2023·河北·统考模拟预测）为切实做好新冠疫情防控工作，有效、及时地控制和消除新冠肺炎的危
害，增加学生对新冠肺炎预防知识的了解，某校举办了一次“新冠疫情”知识竞赛.竞赛分个人赛和团体赛
两种.个人赛参赛方式为：组委会采取电脑出题的方式，从题库中随机出10 道题，编号为
，
，
，
，
，
，电脑依次出题，参赛选手按规则作答，每答对一道题得10 分，答错得0 分.团体赛以班级为单位，
各班参赛人数必须为3 的倍数，且不少于18 人，团体赛分预赛和决赛两个阶段，其中预赛阶段各班可从以
下两种参赛方案中任选一种参赛：
方案一：将班级选派的
名参赛选手每3 人一组，分成
组，电脑随机分配给同一组的3 名选手一道相同
的试题，3 人均独立答题，若这3 人中至少有2 人回答正确，则该小组顺利出线；若这
个小组都顺利出线，
则该班级晋级决赛.
方案二：将班级选派的
名参赛选手每
人一组，分成3 组，电脑随机分配给同一组的
名选手一道相同
的试题，每人均独立答题，若这
个人都回答正确，则该小组顺利出线；若这3 个小组中至少有2 个小组
顺利出线，则该班级晋级决赛.
(1)郭靖同学参加了个人赛，已知郭靖同学答对题库中每道题的概率均为
，每次作答结果相互独立，且他
不会主动放弃任何一次作答机会，求郭靖同学得分的数学期望与方差；
27
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(2)在团体赛预赛中，假设A 班每位参赛选手答对试题的概率均为常数
，A 班为使晋级团体赛决
赛的可能性更大，应选择哪种参赛方式？请说明理由.
【答案】(1)
(2)选择方案一，理由见解析
【解析】1）设郭靖同学答对的题目数为X，得分为Y，则
，
由题意可知
,
则
;
.
（2）设A 班选择方案一和方案二晋级团体赛决赛的概率分别为
，
当选择方案一时，小组里3 人中至少有2 人回答正确的概率为
，
故
；
当选择方案二时，一个小组顺利出线的概率为
，则小组没有出线的概率为
，
故
；
故
，
令
，
则
，
因为
，所以
，
故
，
则
，即
，
28
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故
为单调增函数，
因为
，
由于各班参赛人数必须为3 的倍数，且不少于18 人，即
，
此时
故A 班为使晋级团体赛决赛的可能性更大，应选择方案一参赛.
18．（2023·广东·统考二模）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1 分，负者得0 分，
平局双方均得0 分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛
中，甲获胜的概率为α，乙获胜的概率为β，两人平局的概率为
，且每局
比赛结果相互独立．
(1)若
，
，
，求进行4 局比赛后甲学员赢得比赛的概率；
(2)当
时，
（i）若比赛最多进行5 局，求比赛结束时比赛局数X 的分布列及期望E（X）的最大值；
（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员赢得比赛”的概率（用α，β 表示），无需写出过程．
【答案】(1)
(2)（i）分布列见解析，期望最大值为
；（ii）
.
【解析】（1）用事件A，B，C 分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则
，
，
，
记“进行4 局比赛后甲学员赢得比赛”为事件N，则事件N 包括事件ABAA，BAAA， ACCA，CACA，
CCAA 共5 种，
所以
．
29
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（2）（i）因为
，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即
，
由题意得X 的所有可能取值为2，4，5，则
，
，
．
所以X 的分布列为
X
2
4
5
P
所以X 的期望
，
因为
，所以
，当且仅当
时，等号成立，
所以
，
所以
，
故
的最大值为
．
（ii）记“甲学员赢得比赛”为事件M，则
．
由（1）得前两局比赛结果可能有AA，BB，AB，BA，其中事件AA 表示“甲学员赢得比赛”，事件BB 表
示“乙学员赢得比赛”，事件AB，BA 表示“甲、乙两名学员各得1 分”，当甲、乙两名学员得分总数相
同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同．
所以
30
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所以
，即
，
因为
，所以
．
19．（2023·河北·统考模拟预测）随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新梁道.某服装品牌
为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100 个带货平台的销售情况，销售每件服装平均
所需时间情况如下频率分布直方图.
(1)求
的值，并估计出这100 个带货平台销售每件服装所用时间的平均数
和中位数；
(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间
服从正态分布
，其中
近似为
，
.若该服装品牌所有带货平台约有10000 个，销售每件服装平均所需时间在
范围内的平
台属于“合格平台”.为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4 分
钟的平台中，每个平台每卖一件扣除
；在时间小于14.4 分钟的平台中，每卖一件服装进行
奖励
元，以资鼓励；对于“合格平台”每卖一件服装奖励1 元.求该服装品牌总公司在所有平台均销售
一件服装时总共需要准备多少资金作为本次平台销售业务提升.（结果保留整数）
附：若
服从正态分布
，则
，
，
.参考数据：
.
31
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【答案】(1)
，
，中位数为
(2)
【解析】（1）由频率分布直方图可得
，解得
.
故平均数
.
设中位数为
，因
，
，故
，则
，解得
，即中位数为
.
（2）由题意，
，且
，
，
故
，
所以在时间大于
分钟的平台内约有
件；
，
所以在时间小于
分钟的平台内约有
件；
则“合格平台”约有
件，
所以需要资金为
，
由于
，可令
，则
，令
有
，
当
时
，
递减；
当
时
，
递增；
故
有最小值
，故至少需要准备
元.
20．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）三年多的“新冠之战”在全国人民的共同努力下刚刚
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取得完胜，这给我们的个人卫生和公共卫生都提出更高的要求！某机构欲组建一个有关“垃圾分类”相关
事宜的项目组，对各个地区“垃圾分类”的处理模式进行相关报道，该机构从600 名员工中进行筛选，筛
选方法如下：每位员工测试A，B，C 三项工作，3 项测试中至少2 项测试“不合格”的员工，将被认定为
“暂定”，有且只有一项测试“不合格”的员工将再测试A，B 两项，如果这两项中有1 项以上（含1 项）
测试“不合格”，将也被认定为“暂定”，每位员工测试A，B，C 三项工作相互独立，每一项测试“不合
格”的概率均为
．
(1)记每位员工被认定为“暂定”的概率为
，求
；
(2)每位员工不需要重新测试的费用为90 元，需要重新测试的前后两轮测试的总费用为150 元，所有员工除
测试费用外，其他费用总计为1 万元，若该机构的预算为8 万元，且600 名员工全部参与测试，试估计上
述方案是否会超出预算，并说明理由．
【答案】(1)
(2)不会超过预算，理由见详解
【解析】（1）由题意知，每位员工首轮测试被认定为“暂定”的概率为
，
每位员工再次测试被认定为“暂定”的概率为
，
综上可知，每位员工被认定为“暂定”的概率为
．
（2）设每位员工测试的费用为X 元，则X 的可能取值为90，150，
由题意知，
，
，
所以随机变量X 的数学期望为
（元），
，
令
，
，
则
，
所以当
时，
；当
时，
；
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所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，即
（元）.
所以此方案的最高费用为
（万元），
综上可知，若以此方案实施估计不会超过预算．
21．（2023·山西阳泉·统考三模）在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起
搏器引起广大参会者的关注．这种起搏器体积只有传统起搏器的
，其无线充电器的使用更是避免了传统
起搏器囊袋及导线引发的相关并发症．在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，
试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检．智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、
电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅设置
一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品．已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率
约为
，
，
，设人工抽检的综合指标不达标率为
（
）．
(1)求每个芯片智能检测不达标的概率；
(2)人工抽检30 个芯片，记恰有1 个不达标的概率为
，求
的极大值点
；
(3)若芯片的合格率不超过
，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的
作为p 的值，判断该企业
是否需对生产工序进行改良．
【答案】(1)
(2)
(3)该企业需对生产工序进行改良，理由见解析
【解析】（1）每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为
，
，
，并记芯片智能检测不达标为事件
.
视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，
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则有
，
，
，
由对立事件的性质及事件独立性的定义得：
，
所以每个芯片智能检测不达标的概率为
.
（2）人工抽检30 个芯片恰有1 个不合格品的概率为
（
），
因此
令
，得
.
当
时，
；当
时，
.
则
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
有唯一的极大值点
.
（3）设芯片人工抽检达标为事件
，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件
，
由（2）得：
，
由（1）得：
，
所以
，
因此，该企业需对生产工序进行改良.
22．（2023·四川成都·校考模拟预测）设两名象棋手约定谁先赢
局，谁便赢得全部奖金a 元.
已知每局甲赢的概率为p(0<p<1)，乙赢的概率为1－p，且每局比赛相互独立.在甲赢了m(m<k)局，乙赢了
n(n<k)局时，比赛意外终止.奖金该怎么分才合理？请回答下面的问题.
(1)规定如果出现无人先赢k 局而比赛意外终止的情况，那么甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全
部奖金的概率之比进行分配.若a=243，k=4，m=2，n=1，
，则甲应分得多少奖金？
(2)记事件A 为“比赛继续进行下去且乙赢得全部奖金”，试求当k=4，m=2，n=1 时比赛继续进行下去且甲
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赢得全部奖金的概率f(p).规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件，请判断
当
时，事件A 是否为小概率事件，并说明理由.
【答案】(1)216 元
(2)不一定，理由见解析
【解析】（1）设比赛再继续进行X 局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢.
由题意知，最多再进行4 局，甲、乙必然有人赢得全部奖金.
当X=2 时，甲以4：1 赢，得
；
当X=3 时，甲以4：2 赢，得
；
当X=4 时，甲以4：3 赢，得
.
于是，甲赢得全部奖金的概率为
，
进而得甲应分得的奖金为
（元）.
（2）设比赛继续进行Y 局且乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢.
当Y=3 时，乙以4：2 赢，得
；
当Y=4 时，乙以4：3 赢，得
.
所以，乙赢得全部奖金的概率
.
于是，甲赢得全部奖金的概率
.
对f(p)求导，得
.
因为
，所以
，得f(p)在
上是严格增函数，
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于是
.
由此可知，
，
即乙赢的最大概率大于0.05，
所以事件A 不一定是小概率事件.
23．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考模拟预测）某游戏中的角色“突击者”的攻击有一段冷却时间
（即发动一次攻击后需经过一段时间才能再次发动攻击）.其拥有两个技能，技能一是每次发动攻击后有
的概率使自己的下一次攻击立即冷却完毕并直接发动，该技能可以连续触发，从而可能连续多次跳过冷却
时间持续发动攻击；技能二是每次发动攻击时有
的概率使得本次攻击以及接下来的攻击的伤害全部变为
原来的2 倍，但是多次触发时效果不可叠加（相当于多次触发技能二时仅得到第一次触发带来的2 倍伤害
加成）.每次攻击发动时先判定技能二是否触发，再判定技能一是否触发.发动一次攻击并连续多次触发技
能一而带来的连续攻击称为一轮攻击，造成的总伤害称为一轮攻击的伤害.假设“突击者”单次攻击的伤害
为1，技能一和技能二的各次触发均彼此独立：
(1)当“突击者”发动一轮攻击时，记事件A 为“技能一和技能二的触发次数之和为2”，事件B 为“技能一
和技能二各触发1 次”，求条件概率
(2)设n 是正整数，“突击者”一轮攻击造成的伤害为
的概率记为
，求
.
【答案】(1)
；
(2)
.
【解析】1）两次攻击，分成下列情况：i.第一次攻击，技能一和技能二均触发，第二次攻击，技能一和技
能二均未触发；ii .第一次攻击，技能一触发，技能二未触发，第二次攻击，技能二触发，技能一未触发；
iii. 第一、二次攻击，技能一触发，技能二未触发，第三次攻击，技能一、二未触发；
所以
.
37
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.
所以
.
（2）“突击者”一轮攻击造成的伤害为
,分为：
i. 记事件D：进行
次，均不触发技能二；前面的
次触发技能一，最后一次不触发技能一.其概率为：
ii. 记事件E：第一次触发技能二，然后的
次触发技能一，第
次未触发技能一.其概率为：
iii. 记事件
：前面的
次未触发技能二，然后接着的第
次触发技能二；前面的
触发技能一，第
次未触发技能一. 其概率为：
，
则事件
彼此互斥，记
，
所以
.
所以
38
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24．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）某公司在一种传染病毒的检测试剂品上加大了研发投入，
其研发的检验试剂品
分为两类不同剂型
和
．现对其进行两次检测，第一次检测时两类试剂
和
合格的概率分别为
和
，第二次检测时两类试剂
和
合格的概率分别为
和
．已知两次检测过程相
互独立，两次检测均合格，试剂品
才算合格．
(1)设经过两次检测后两类试剂
和
合格的种类数为
，求
的分布列和数学期望；
(2)若地区排查期间，一户4 口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家
庭成员逐一使用试剂品
进行检测，如果有一人检测呈阳性，则检测结束，并确定该家庭为“感染高危
户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为
且相互独立，该家庭至少检测了3 个人才确定
为“感染高危户”的概率为
，若当
时，
最大，求
的值．
【答案】(1)分布列见解析，1
(2)
．
【解析】（1）剂型
合格的概率为：
；
剂型
合格的概率为：
．
由题意知X 的所有可能取值为0，1，2．
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则
，
，
，
则X 的分布列为
X
0
1
2
P
数学期望
．
（2）检测3 人确定“感染高危户”的概率为
，
检测4 人确定“感染高危户”的概率为
，
则
．
令
，因为
，所以
，
原函数可化为
．
因为
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
此时
，所以
．
25．（2023·全国·模拟预测）为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部A、B 进
行体育运动和文化项目比赛，由A 部、B 部争夺最后的综合冠军．决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，
即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束．若A 部、B 部中的一方能连续两天胜利，则其为最
终冠军；若前两天A 部、B 部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军．设
每局比赛A 部获胜的概率为
，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立．
40
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(1)记第一天需要进行的比赛局数为X，求
，并求当
取最大值时p 的值；
(2)当
时，记一共进行的比赛局数为Y，求
．
【答案】(1)
，
(2)
【解析】（1）X 可能取值为2，3．
；
．
故
，
即
，则当
时，
取得最大值．
（2）当
时，双方前两天的比分为2 0∶或0 2∶的概率均为
；
比分为2 1∶或1 2∶的概率均为
．
，则
或
．
即获胜方两天均为2 0∶获胜，不妨设A 部胜，
概率为
，同理B 部胜，概率为
，
故
；
即获胜方前两天的比分为2 0∶和2 1∶或者2 0∶和0 2∶再加附加赛，
不妨设最终A 部获胜，
当前两天的比分为2 0∶和2 1∶时，
先从两天中选出一天，比赛比分为2 1∶，三场比赛前两场，A 部一胜一负，第三场比赛A 获胜，另外一天比
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赛比分为2：0，故概率为
，
当前两天比分为2 0∶和0 2∶，附加赛A 获胜时，两天中选出一天，比赛比分为2：0，
概率为
，
故最终A 部获胜的概率为
，
同理B 部胜，概率为
，
故
．
所以
．
26．（2023·重庆·校联考三模）核电站某项具有高辐射危险的工作需要工作人员去完成，每次只派一人，
每人只派一次，工作时长不超过15 分钟，若某人15 分钟内不能完成该工作，则撤出，再派下一人，现有
小胡、小邱、小邓三人可派，且他们各自完成工作的概率分别为
，
，
.假设
，
，
互不相等，
且假定三人能否完成工作是相互独立.
(1)任务能被完成的概率是否与三个人被派出的先后顺序有关？试说明理由；
(2)若按某指定顺序派出，这三人各自能完成任务的概率依次为
，
，
，其中
，
，
是
的
一个排列.
①求所需派出人员数目X 的分布列和数学期望
；
②假定
，为使所需派出的人员数目的数学期望达到最小，应以怎么样的顺序派出？
【答案】(1)无关；理由见解析
(2)① 分布列见解析；期望为
；②完成任务概率大的人先派出
【解析】（1）无关，理由如下：
由于任务不能被完成的概率为
为定值，
故任务能被完成的概率为
也为定值．
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所以任务能被完成的概率与三个人被派出的顺序无关．
（2）① X 的取值为1，2，3，
，
，
，
分布列如图：
X
1
2
3
P
．
②
，
若交换前两个人的派出顺序，则变为
，
由此可见，当
时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；
若保持第一人派出的人选不变，交换后两个人的派出顺序，
可写为
，交换后两个人的派出顺序则变为
；
当
时，交换后两个人的派出顺序可增大均值，
故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．
27．（2023·湖南岳阳·统考模拟预测）汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几
年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业
对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份
2017
2018
2019
2020
2021
年份代码
1
2
3
4
5
销量
万辆
10
12
17
20
26
(1)统计表明销量
与年份代码
有较强的线性相关关系，求
关于
的线性回归方程，并预测该地区新能
源汽车的销量最早在哪一年能突破50 万辆；
(2)为了解购车车主的性别与购车种类（分为新能源汽车与传统燃油汽车）的情况，该企业心随机调查了该
地区200 位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有
名，购置新能源汽车的
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有45 名，女性车主中有20 名购置传统燃油汽车．
①若
，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用（1）中的线性回归方
程预测该地区2023 年购置新能源汽车的女性车主的人数（假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千
人）；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为
，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机
抽取5 人，记恰有3 人购置新能源汽车的概率为
，求当
为何值时，
最大．
附：
为回归方程，
，
．
【答案】(1)
，2028 年
(2)①
万人；②
【解析】（1）解：由题意得
，
，
，
．
所以
，
．
所以
关于
的线性回归方程为
，令
，得
，
所以最小的整数为12，
，
所以该地区新能源汽车的销量最早在2028 年能突破50 万辆．
（2）解：①由题意知，该地区200 名购车者中女性有
名，
故其中购置新能源汽车的女性车主的有
名．
所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为
．
所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为
．
预测该地区2023 年购置新能源汽车的销量为33 万辆，
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因此预测该地区2020 年购置新能源汽车的女性车主的人数为
万人
②由题意知，
，则
当
时，知
所以函数
单调递增
当
时，知
所以函数
单调递减
所以当
取得最大值
．
此时
，解得
，所以当
时
取得最大值
．
28．（2020·河北张家口·统考二模）某校为了解该校学生“停课不停学”的网络学习效率，随机抽查了高
一年级100 位学生的某次数学成绩（单位：分），得到如下所示的频率分布直方图：
(1)估计这100 位学生的数学成绩的平均值
；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）
(2)根据整个年级的数学成绩可以认为学生的数学成绩
近似地服从正态分布
，经计算，（1）中
样本的标准差s 的近似值为10，用样本平均数
作为
的近似值，用样本标准差s 作为
的估计值，现任
抽取一位学生，求他的数学成绩恰在64 分到94 分之间的概率；（若随机变量
，则
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，
，
)
(3)该年级1 班的数学老师为了能每天督促学生的网络学习，提高学生每天的作业质量及学习数学的积极性，
特意在微信上设计了一个每日作业小程序，每当学生提交的作业获得优秀时，就有机会参与一次小程序
中”玩游戏，得奖励积分”的活动，开学后可根据获得积分的多少向老师领取相应的小奖品.小程序页面上
有一列方格，共15 格，刚开始有只小兔子在第1 格，每点一下游戏的开始按钮，小兔子就沿着方格跳一下，
每次跳1 格或跳2 格，概率均为
，依次点击游戏的开始按钮，直到小兔子跳到第14 格（奖励0 分）或第
15 格（奖励5 分）时，游戏结束，每天的积分自动累加，设小兔子跳到第
格的概率为
，试
证明
是等比数列，并求
（获胜的概率）的值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析，
【解析】（1）
（2）由
，所以
，
.
（3）小兔子开始在第1 格，为必然事件，
，
点一下开始按钮，小兔子跳1 格即移到第2 格的概率为
，即
，
小兔子移到第
格的情况是下列两种，而且也只有两种情况.
①小兔子先跳到第
格，又点一下开始按钮跳了2 格，其概率为
；
46
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②小兔了先跳到第
格，乂点一下开始按钮跳了1 格，其概率为
；
因为
，所以
.
所以当
时，
数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列，
所以
，
.
所以获胜的概率
.
29．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考一模）自
年底开始，一种新型冠状病毒COVID-19 开始肆
虐全球.人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致
呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡.目前筛查冠状病毒的手段主要是通过鼻拭子或咽拭子采集样本，再进行核酸
检验是否为阳性来判断.假设在接受检验的样本中，每份样本的检验结果（阳性阴性）是相互独立的，且
､
每份样本是阳性结果的概率均为
.
(1)若
，现对
份样本进行核酸检测，求这
份中检验结果为阳性的份数
的分布列及期望；
(2)若
，现有
份样本等待检验，并提供“
合”检验方案：将
份
样本混合在一起检验.若检验结果为阴性，则可认为该混合样本中的每个人都为阴性；若检验结果为阳性，
则要求该组中各个样本必须再逐个检验.试比较用“
合”检验方案所需的检验次数
的期望
与
的大小.
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【答案】(1)分布列答案见解析，
(2)答案见解析
【解析】（1）解：记阳性人数为
，则
，
，
，
，
，
，
所以，随机变量
的分布列如下表所示：
所以，
.
（2）解：记所需化验次数为
，则
的可能取值为
、
、
，
，则
，
所以，
，
，
，
，
令
，可得
，则
，
所以，
，即
，
令
，则
.
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当
时，
，此时函数
单调递增，
当
时，
，此时函数
单调递减，
，当
时，
恒成立，
，则当
时，
恒成立，
当
时，
恒成立.
综上所述，当
且
时，
，则
，
当
时，
，则
，
当
且
时，
，则
.
30．（2022·北京·景山学校校考模拟预测）4 月23 日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解
某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500 名高一学生进行在线调查，得到了这500
名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成
，
，
，
，
，
，
，
，
九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)从这500 名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在
内的概率；
(2)为进一步了解这500 名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在
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，
，
三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10 人，现从这10 人中随机抽取3
人，记日平均阅读时间在
内的学生人数为X，求X 的分布列和数学期望；
(3)以样本的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取10 名学生，用
表示这10 名学生中恰有
k 名学生日平均阅读时间在
内的概率，其中
，1，2，…，10．当
最大时，写出k 的值．
（只需写出结论）
【答案】(1)0.20
(2)
的分布列见解析，数学期望为
(3)5
【解析】（1）由频率分布直方图得：
，
解得
，
，所以日平均阅读时间在
内的概率为0.20；
（2）由频率分布直方图得：
这500 名学生中日平均阅读时间在
，
，
，
，
，
三组内的学生人数分别为：
人，
人，
人，
若采用分层抽样的方法抽取了10 人，
则从日平均阅读时间在
，
内的学生中抽取：
人，
现从这10 人中随机抽取3 人，则
的可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
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，
的分布列为：
0
1
2
3
数学期望
.
（3）
，理由如下：
由频率分布直方图得学生日平均阅读时间在内的概率为0.50，从该地区所有高一学生中随机抽取10 名学生，
恰有k 名学生日平均阅读时间在内的分布列服从二项分布，，由组合数的性质可得时最大.
51
