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知识点42：
点类
非质
模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
应用动力学和能量观点解决连接体问题的技巧：
（1）做好四个分析：受力分析、运动分析、做功分析和能量的转化分析．
（2）规律的选择：
①物体受到恒力作用发生运动状态的改变求某一时刻的力、加速度或求时间时，一般选择
动力学方法（牛顿运动定律）解题；
②当涉及功、能和位移时，若研究某一个物体时，一般用动能定理去解决问题。若研究的
对象为连接体时，一般选用功能关系或能量守恒定律解题，题目中出现相对位移时，应优
先选择能量守恒定律；
（3）使用能量守恒定律解题选用表达式的技巧：
①解题时，首先确定初、末状态，然后分清有多少种形式的能在转化，再分析状态变化过
程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加。
②无外力做功的表达式：ΔE 减＝ΔE 增，减少的那些能量的减少量等于增加的那些能量的增
加量。E 初＝E 末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和。
③有外力做功的表达式：WF＝ΔE，ΔE 为能量的增加量。
点一：流体类模型的力与能量问题
考
【知识思维方法技巧】
在应用能量方法处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程
中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理，
但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况
将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。根据初、末状态物体重力势
能的变化列式求解。
注意：非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的
动能才可表示为mv2。
题型一：气体液体类模型的力与能量问题
类型一：气体流模型的力与能量问题
【典例1a 基础题】风力发电是一种环保的电能获取方式。某风力发电机的叶片转动形成的
圆面积为S，某时间风的速度大小为v，风向恰好跟此圆面垂直；此时空气的密度为ρ，该
风力发电机将空气动能转化为电能的效率为η，则风力发电机发电的功率为( )
A.ηρSv2 B.ηρSv2 C.ηρSv3
D.ηρSv3
【典例1a 基础题】【答案】D
【解析】时间t 内，撞击到风力发电机上的空气的动能为Ek＝mv2＝ρvtSv2，故风力发电机
的功率为P＝＝＝ηρSv3，故D 正确。
【典例1a 基础题对应练习1】如图所示，赫章的韭菜坪建有风力发电机，风力带动叶片转
动，叶片再带动转子(磁极)转动，使定子(线圈，不计电阻)中产生电流，实现风能向电能的
转化．若叶片长为l，设定的额定风速为v，空气的密度为ρ，额定风速下发电机的输出功
率为P，则风能转化为电能的效率为( )
1
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A. B. C. D.
【典例1a 基础题对应练习1】【答案】A
【解析】风能转化为电能的工作原理为将风的动能转化为输出的电能，设风吹向发电机的
时间为t，则在t 时间内吹向发电机的风柱的体积为V＝vt·S＝vtπl2，则风柱的质量M＝ρV
＝ρvtπl2，因此风吹过的动能为Ek＝Mv2＝ρvtπl2·v2，在此时间内发电机输出的电能E＝
P·t，则风能转化为电能的效率为η＝＝，故A 正确，B、C、D 错误．
【典例1a 基础题对应练习2】风力发电是一种环保的电能获取方式．图为某风力发电站外
观图．假设当地水平风速约为10 m/s，该风力发电站利用风的动能转化为电能的效率约为
20%，风力发电机的叶片长度为10 m，空气的密度是1.29 kg/m3，某一工厂用电的功率为
320 kW，则大约需要多少台这样的风力发电机同时为该工厂供电( )
A．6 B．8 C．10 D．12
【典例1a 基础题对应练习2】【答案】B
【解析】叶片旋转所形成的圆面积为S＝πL2，t s 内流过该圆面积的风柱体积为V＝Svt＝
πL2vt，风柱体的质量为m＝ρV＝ρπL2vt，风柱体的动能为Ek＝mv2＝ρπL2v3t，转化成的电
能为E＝ηEk＝ηρπL2v3t，P＝＝ηρπL2v3＝×0.2×1.29×3.14×102×103 W≈41 kW，故需要n＝
≈8，B 正确．
类型二：液体流模型
【典例1b 基础题】（多选）内径面积为S 的U 形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部
阀门K 关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁
的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K 打开，当两筒水面高度相等时，则该过程中( )
A．水柱的重力做正功 B．大气压力对水柱做负功
C．水柱的机械能守恒 D．当两筒水面高度相等时，水柱的动能是ρgS(h1－h2)2
【典例1b 基础题】【答案】ACD
2
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【解析】把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功
对右筒水面做负功，抵消为零。水柱的机械能守恒，重力做功等于重力势能的减少量，等
于水柱增加的动能，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的斜线所示，重心下降，重
力所做正功：WG＝ρgS＝ρgS(h1－h2)2，故A、C、D 正确。
【典例1b 基础题对应练习】如图所示，粗细均匀，两端开口的U 形管内装有同种液体、开
始时两边液面高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来让液体自由流动，当两液面高度相
等时，右侧液面下降的速度为( )
A． B． C． D．
【典例1b 基础题对应练习】【答案】A
【解析】当两液面高度相等时，减少的重力势能转化为整个液体的动能，如图所示，根据
功能关系有mg·h＝mv2，解得：v＝ ，故A 正确。
类型三：辐射模型
【知识思维方法技巧】
辐射功率计算的模型：球体模型
【典例1c 基础题】光伏发电系统是利用半导体材料的光伏效应将太阳的辐射能转化为电能
的一种发电系统。如图所示，某居民的楼顶平台安装了100 m2的太阳能电池板，当太阳直
射时满载发电功率可达5.0 kW，输出电压为380 V 的直流电。已知太阳直射时地面附近单
位时间单位面积内的太阳能为2.5×103 J/，全年发电总量相当于平均每天满载发电4 小时的
总量，其中30%的电能供居民自家使用，其余电能并入国家电网。下列说法正确的是(
)
3
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A．该居民家全年用电总量约为7300 kW·h
B．电池板将太阳能转化为电能的效率约为2%
C．太阳能是一种清洁、安全、不可再生的能源
D．太阳能电池板输出的电流可直接并入国家电网
【典例1c 基础题】【答案】B
【解析】该居民家全年发电总量为W 发＝P 发t＝5×4×365 kW·h＝7 300 kW·h，用电总量为
W 用＝30%W 发＝2 190 kW·h ，A 错误；太阳能电池板吸收太阳能的功率为P 吸＝
2.5×103×100 W＝250 kW，电池板将太阳能转化为电能的效率约为η＝×100%＝2%，B 正确
太阳能是一种清洁、安全、可再生的能源，C 错误；太阳能电池板输出的电流为直流，不
可直接并入国家电网(交流电网)，D 错误。
点二：
类模型的力与能量问题
考
绳索链条
题型一：
类
绳索
模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
一般情况下常分段考虑绳索各部分的重力势能，并用绳索各部分重力势能之和作为系统总
的重力势能，至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末状态重力势能便于表示为宜．
【典例1 基础题】质量相等的均质柔软细绳A、B 平放于水平地面，绳A 较长．分别捏住
两绳中点缓慢提起，直至全部离开地面，两绳中点被提升的高度分别为hA、hB，上述过程
中克服重力做功分别为WA、WB.若( )
A．hA＝hB，则一定有WA＝WB
B．hA＞hB，则可能有WA＜WB
C．hA＜hB，则可能有WA＝WB
D．hA＞hB，则一定有WA＞WB
【典例1 基础题】【答案】B
【解析】由题易知，离开地面后，细绳A 的重心距离细绳A 的最高点的距离较大，分析各
选项易知B 正确．据题意，要分析克服重力做功大小，据WG=mgh，关键是看两根软绳的
重心上升高度大小，如果hA=hB，一定是B 绳的重心上升高度较大，所以一定有WA＜
WB，A 选项错误；如果hA>hB，两根软绳重心上升的高度可能A 绳的较大、也可能B 绳的
较大、也可能相等，所以克服重力做功也可能WA＜WB，B 选项正确而D 选项错误；如果
hA＜hB，则一定是B 绳的重心上升高度较高，那么一定有WA＜WB，所以C 选项错误。
题型二：
类
链条
模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
一般情况下常分段考虑链条各部分的重力势能，并用链条各部分重力势能之和作为系统总
的重力势能，至于参考平面，可任意选取，但以系统初、末状态重力势能便于表示为宜。
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【典例2 基础题】如图是湖边铁链围栏，铁链两端固定在栏柱上，图中这条铁链重为G，
今在铁链最低点用力向下压，直至铁链绷紧。下压过程中铁链的重心位置将( )
A．先升高后降低
B．逐渐降低
C．逐渐升高
D．始终不变
【典例2 基础题】【答案】C
【解析】根据能量守恒，铁链最低点在外力作用下下移，直至铁链绷紧的过程中，外力做
正功，外部输入的能量转化为铁链系统的机械能，忽略动能增加，则铁链的重力势能增加
所以其重心在逐渐升高，A、B、D 错误，C 正确。
【典例2 基础题对应练习】如图所示，长为L 的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使其长
度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚离开桌边时的速度大小
为( )
A. B． C．
D．4
【典例2 基础题对应练习】【答案】C
【解析】取桌面为零势能面，设链条的总质量为m，开始时链条的机械能E1＝－mg·L，当
链条刚脱离桌面时的机械能E2＝mv2－，由机械能守恒可得E1＝E2，即有－mg·＝mv2－，
解得v＝，故C 正确。
题型三：多
类
个小球
模型的力与能量问题
【知识思维方法技巧】
在解决多个小球类问题时，应抓住小球之间是否始终相互挤压。
【典例3 基础题】（多选）如图所示，在竖直平面内半径为R 的四分之一圆弧轨道AB、水
平轨道BC 与斜面CD 平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N 个半径为
r(r≪R)的光滑小球（小球无明显形变），小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A 到最低点
B 依次标记为1、2、3、…、N。现将圆弧轨道末端B 处的阻挡物拿走，N 个小球由静止开
始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是( )
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A．N 个小球在运动过程中始终不会散开
B．第1 个小球从A 到B 过程中机械能守恒
C．第1 个小球到达B 点前第N 个小球做匀加速运动
D．第1 个小球到达最低点的速度v<
【典例3 基础题】【答案】AD
【解析】在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动
则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后
后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故N 个小球在运动过程中
始终不会散开，故A 正确；第一个小球在下落过程中受到挤压，所以有外力对小球做功，
小球的机械能不守恒，故B 错误；由于小球在下落过程中速度发生变化，相互间的挤压力
变化，所以第N 个小球不可能做匀加速运动，故C 错误；当重心下降时，根据机械能守恒
定律得：mv2＝mg·，解得：v＝；同样对整体在AB 段时，重心低于，所以第1 个小球到达
最低点的速度v<，故D 正确。
6
