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知识点48：动量守恒定律在三类模型
题
问
的应
中
用
考点一：系统动量守恒的判断
【知识思维方法技巧】
（1）系统动量守恒适用条件
①理想守恒：不受外力或所受外力的合力为零．
②近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．如碰撞、爆炸、反
冲。
③某一方向守恒：如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在这一方向上动量守
恒．如滑块－斜面(曲面)模型。
（2）判断系统动量是否守恒的“三注意”：
①注意所选取的系统——所选的系统组成不同，结论往往不同。
②注意所研究的运动过程——系统的运动分为多个过程时，有的过程动量守恒，另一过程
则可能不守恒。
③注意守恒条件——整体不满足系统动量守恒条件时，在某一方向可能满足动量守恒条件。
题型一：系统动量理想守恒
【典例1 拔尖题】(多选)如图所示，一男孩站在小车上，并和木箱一起在光滑的水平冰面
上向右匀速运动，木箱与小车挨得很近．现男孩用力向右迅速推开木箱．在男孩推开木箱
的过程中，下列说法正确的是( )
A. 木箱的动量的增加量等于男孩动量的减少量
B. 男孩对木箱推力的冲量大小等于木箱对男孩推力的冲量大小
C. 男孩推开木箱后，男孩和小车的速度可能变为零
D. 对于小车、男孩和木箱组成的系统，推开木箱前后的总动能不变
【典例1 拔尖题】【答案】BC
【解析】由于水平冰面光滑，男孩、小车和木箱组成的系统所受合外力为零，系统动量守
恒，站在小车上的男孩用力向右迅速推出木箱的过程中，木箱的动量增加量等于男孩和小
车动量的减少量，故A 错误；男孩对木箱的推力和木箱对男孩的推力是作用力与反作用力，
冲量等大反向，男孩对木箱推力的冲量大小等于木箱对男孩推力的冲量大小，故B 正确；
男孩、小车受到与初动量反向的冲量，推开木箱后，男孩和小车的速度可能变为零，故C
正确；男孩、小车与木箱三者组成的系统所受合力为零，系统动量守恒，推开木箱的过程
不可能是弹性碰撞，推开前后的总动能变化，故D 错误．
1
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题型二：系统动量近似守恒
【典例2 拔尖题】如图所示，水平面上有一平板车，某人站在车上抡起锤子从与肩等高处
挥下，打在车的左端，打后车与锤相对静止。以人、锤子和平板车为系统(初始时系统静
止)，研究该次挥下、打击过程，下列说法正确的是( )
A．若水平面光滑，在锤子挥下的过程中，平板车一定向右运动
B．若水平面光滑，打后平板车可能向右运动
C．若水平面粗糙，在锤子挥下的过程中，平板车一定向左运动
D．若水平面粗糙，打后平板车可能向右运动
【典例2 拔尖题】【答案】D
【解析】以人、锤子和平板车为系统，若水平面光滑，系统水平方向合力为零，水平方向
动量守恒，且总动量为零，在锤子挥下的过程中，锤子有水平向右的速度，所以平板车一
定向左运动，A 错误；系统水平方向动量为零，打后锤子与平板车均静止，B 错误；若水
平面粗糙，在锤子挥下的过程中，车由于受摩擦力作用，可能静止不动，在锤子打平板车
时，在最低点与车相碰，锤子与平板车系统动量向右，所以打后平板车可能向右运动，C
错误，D 正确。
题型三：系统某一方向动量守恒
【典例2 拔尖题】(多选)如图所示，在水平光滑细杆上穿着A、B 两个可视为质点的刚性
小球，两球间距离为L，用两根长度同为L 的不可伸长的轻绳与C 球连接，已知A、B、C
三球质量相等，开始时三球静止两绳伸直，然后同时释放三球，在A、B 两球发生碰撞之
前的过程中，下列说法正确的是( )
A. 系统机械能不守恒
B. A、B 两球发生碰撞前瞬间C 球速度最大
C. A、B 两球速度大小始终相等
D. A、B、C 三球水平方向动量守恒
【典例2 拔尖题】【答案】CD
2
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【解析】在A、B 两球发生碰撞之前的过程中，只有重力和系统内弹力做功，系统的机械
能守恒，故A 错误；A、B 两球发生碰撞前瞬间，两绳与杆垂直，C 球不再向下运动，速度
为零，故B 错误；根据对称性可知，A、B 两球速度大小始终相等，故C 正确；三球水平
方向不受外力，所以A、B、C 三球水平方向动量守恒，故D 正确．
【典例2 拔尖题对应练习】某一方向上动量守恒)(2022·江苏省金陵中学高三期中)如图所
示，一个长为L 的轻细杆两端分别固定着a、b 两个光滑金属球，a 球质量为2m，b 球质量
为m，两球的半径相等且均可视为质点，整个装置放在光滑的水平面上，将此装置从杆与
水平面夹角为53°的图示位置由静止释放，则( )
A. 在b 球落地前瞬间，b 球的速度方向斜向左下方
B. 在b 球落地前瞬间，a 球的速度方向水平向左
C. 在b 球落地前的整个过程中，轻杆对a 球做正功
D. 在b 球落地前瞬间，b 球的速度方向竖直向下
【典例2 拔尖题对应练习】【答案】D
【解析】a、b 组成的系统在水平方向上所受合力为零，水平方向上动量守恒，系统水平方
向的初动量为零，在b 球落地前瞬间系统水平方向动量仍为零，此时b 球的速度方向竖直
向下，a 球的速度为零，故A、B 错误，D 正确；a 球初动能为零，b 球落地前瞬间a 球的
动能也为零，且重力与地面的支持力对a 球不做功，根据动能定理可知在b 球落地前的整
个过程中，轻杆对a 球做功为零，故C 错误．
考点二：动量守恒定律在正碰模型
的应
中
用
题型一：
正碰模型
弹性
【知识思维方法技巧】
（1）弹性碰撞：系统动量守恒、机械能守恒。
m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′ ， m1v1
2＋m2v2
2＝m1v1′2＋m2v2′2
v1′＝ ，v2′＝
（2）一动一静弹性碰撞（v2＝0），则有v1′＝v1，v2′＝v1.
（3）一动一静弹性碰撞若m1＝m2，则有v1′＝0，v2′＝v1，即碰撞后两球速度互换．
【典例1 拔尖题】三个半径相同的弹性球，静止于光滑水平面的同一直线上，顺序如图3
所示，已知mA＝m，mC＝4m。当A 以速度v0向B 运动，若要使得B、C 碰后C 具有最大
3
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速度，则B 的质量应为( )
A.m B.2m C.3m D.4m
【典例1 拔尖题】【答案】B
【解析】设B 球的质量为M，以碰撞前A 球的速度方向为正，A 球与B 球发生弹性碰撞，
设碰撞后的速度分别为v1和v2，根据A 球与B 球动量守恒得mv0＝mv1＋Mv2，由能量守恒
定律得mv＝mv＋Mv，解得v2＝；B 球与C 球发生弹性碰撞，设碰撞后的速度分别为v2′和
v3，由能量守恒定律得Mv＝Mv2′2＋×(4m)v，规定碰撞前A 球的速度方向为正，由动量守恒
定律得Mv2＝Mv2′＋4mv3，解得v3＝，故C 球碰撞后的速度为v3＝·＝，由数学关系解得M
＝＝2m 时，B、C 球碰撞后C 球的速度最大，故选B。
题型二：
正碰模型
非弹性
【知识思维方法技巧】
（1）非弹性碰撞：系统动量守恒，机械能减少，损失的机械能转化为内能，ΔE＝Ek 初总－
Ek 末总＝Q.
（2）完全非弹性碰撞：系统动量守恒，碰撞后合为一体或具有相同的速度，机械能损失最
大。
设两者碰撞后的共同速度为v 共，则有m1v1＋m2v2＝(m1＋m2)v 共
机械能损失为ΔE＝m1v1
2＋m2v2
2－(m1＋m2)v 共2
（3）物体A 与静止的物体B 发生碰撞，当发生完全非弹性碰撞时损失的机械能最多，物
体B 的速度最小，vB＝v0，当发生弹性碰撞时，物体B 速度最大，vB＝v0.则碰后物体B 的速
度范围为：v0≤vB≤v0.
【典例2 拔尖题】如图所示，B 物体静止在光滑的水平面上，若A 以初速度v0与B 发生弹
性碰撞，碰后A 的速度为v(v0和v 均为未知量)；若A、B 的碰撞是完全非弹性碰撞，碰后
A 的速度为2v；求：A、B 的质量比。
【典例2 拔尖题】【答案】2∶1
【解析】A、B 发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有mAv0＝mAv＋mBvB，
mAv＝mAv2＋mBv，若A、B 的碰撞是完全非弹性碰撞，根据动量守恒定律有mAv0＝(mA＋
mB)×2v，联立解得＝。
【典例2 拔尖题】如图所示，在光滑的水平面上，有一质量为m 的木板A，通过不可伸长
的轻绳与质量2m 的足够长的木板B 连接、质量为m 可看成质点的物块C 静止在木板B 右
端。开始时，A、B、C 均静止，绳未拉紧。现在使木板A 以v0的速度向右运动，经过一段
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时间后系统达到稳定状态。绳拉直且B 开始运动的瞬间，下列说法中正确的是（ ）
A．木板A 的速度大小为v0 B．木板B 的速度大小为
C．物块C 的速度大小为0 D．木板A、B、C 共速
【典例2 拔尖题】【答案】C
【解析】取水平向右为正方向，由于水平面光滑，木板A 和木板B 组成的系统动量守恒，
有mv0＝（m+2m）v，得A、B 共同的速度为
，物块C 未来及运动，速度为零，故
ABD 错误，C 正确。
题型三：正碰现象遵守的原则
【知识思维方法技巧】
（1）正碰现象满足动量守恒。动量守恒定律的三种表达形式：①m1v1＋m2v2＝m1v2′＋
m2v2′，作用前的动量之和等于作用后的动量之和(用的最多)．②Δp1＝－Δp2，相互作用的
两个物体动量的增量等大反向．③Δp＝0，系统总动量的增量为零．
（2）正碰现象满足机械能不增加，即碰撞结束后总动能不增加，表达式为Ek1＋Ek2≥Ek1′＋
Ek2′或＋≥＋.
（3）正碰现象满足速度要合理
①若碰前两物体同向运动，则应有v 后＞v 前，碰后原来在前的物体速度一定增大，若碰后
两物体同向运动，则应有v 前′≥v 后′。
②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向至少有一个改变或速度均为零．
（4）要灵活运用Ek＝或p＝；Ek＝pv 或p＝几个关系式转换动能、动量。
【典例3 拔尖题】质量为m、速度为v 的A 球与质量为3m 的静止B 球发生正碰．碰撞可
能是弹性的，也可能是非弹性的，因此，碰撞后B 球的速度可能有不同的值．碰撞后B 球
的速度大小可能是( )
A．0.6v B．0.4v C．0.2v D．v
【典例3 拔尖题】【答案】B
【解析】根据动量守恒定律得mv＝mv1＋3mv2，则当v2＝0.6v 时，v1＝－0.8v，则碰撞后的
总动能E′＝m(－0.8v)2＋×3m(0.6v)2＝1.72×mv2，大于碰撞前的总动能，由于碰撞过程中能
量不增加，故A 错误；当v2＝0.4v 时，v1＝－0.2v，则碰撞后的总动能为E′＝m(－0.2v)2＋
×3m(0.4v)2＝0.52×mv2，小于碰撞前的总动能，故可能发生的是非弹性碰撞，B 正确；当v2
＝0.2v 时，v1＝0.4v，则碰撞后的A 球的速度大于B 球的速度，而两球碰撞，A 球不可能穿
透B 球，故C 错误；当v2＝v 时，v1＝－2v，则显然碰撞后的总动能远大于碰撞前的总动能，
故D 错误．
【典例3 拔尖题对应练习】甲、乙两球在水平光滑轨道上向同方向运动，已知它们的动量
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分别是p1＝5 kg·m/s，p2＝7 kg·m/s，甲从后面追上乙并发生正碰，碰后乙球的动量变为
10 kg·m/s，则两球质量m1与m2间的关系可能是( )
A．m1＝m2
B．2m1＝m2
C．4m1＝m2
D．6m1＝m2
【典例3 拔尖题对应练习】【答案】C
【解析】甲、乙两球在碰撞过程中动量守恒，所以有p1＋p2＝p1′＋p2′，得p1′＝2
kg·m/s。
由于在碰撞过程中，系统的机械能不会增加。所以有＋≥＋，得m1≤m2。因为题目给出物
理情境是“甲从后面追上乙”，要符合这一物理情境，就必须有>，即m1<m2；同时还要符
合碰撞后乙球的速度必须大于或等于甲球的速度这一物理情境，即≤，所以m1≥m2。因此
选项C 正确。
考点三：动量守恒定律在反冲或爆炸模型
的应
中
用
【知识思维方法技巧】
当物体的一部分以一定的速度离开物体向前运动时，剩余部分必将向后运动，这种现象叫
反冲运动。反冲运动遵从动量守恒定律。
题型一：
模型
火箭喷气反冲
【典例1 拔尖题】一火箭喷气发动机每次喷出m＝200 g 的气体，气体离开发动机喷出时的
速度v＝1 000 m/s，设火箭质量M＝300 kg，发动机每秒喷气20 次．
（1）当第3 次喷出气体后，火箭的速度多大？
（2）运动第1 s 末，火箭的速度多大？
【典例1 拔尖题】【答案】(1)2 m/s (2)13.5 m/s
【解析】方法一 (1)喷出气体运动方向与火箭运动方向相反，系统动量守恒．第1 次喷出
气体后，设火箭速度为v1，有(M－m)v1－mv＝0，所以v1＝，第2 次喷出气体后，设火箭速
度为v2，有(M－2m)v2－mv＝(M－m)v1，所以v2＝，第3 次喷出气体后，设火箭速度为v3，
有(M－3m)v3－mv＝(M－2m)v2，所以v3＝＝ m/s≈2 m/s.
(2)依次类推，第n 次喷出气体后，火箭速度为vn，有(M－nm)vn－mv＝[M－(n－1)m]vn－1
所以vn＝，因为每秒喷气20 次，所以第1 s 末火箭速度大小为v20＝＝ m/s≈13.5 m/s.
方法二 (1)设喷出3 次气体后火箭的速度为v3，以火箭和3 次喷出的气体为研究对象，据
动量守恒定律得(M－3m)v3－3mv＝0 所以v3＝≈2 m/s.
(2)以火箭和喷出的20 次气体为研究对象，则(M－20m)v20－20mv＝0，所以v20＝≈13.5
m/s.
【典例1 拔尖题对应练习】（多选）为完成某种空间探测任务，需要在太空站上发射空间
探测器，探测器通过向后喷气而获得反冲力使其加速。已知探测器的质量为M，每秒钟喷
出的气体质量为m，喷射气体的功率恒为P，不计喷气后探测器的质量变化。则( )
A．喷出气体的速度为
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B．喷出气体的速度为
C．喷气Δt 秒后探测器获得的动能为
D．喷气Δt 秒后探测器获得的动能为
【典例1 拔尖题对应练习】【答案】BC
【解析】对t＝1 s 内喷出的气体，由动能定理得Pt＝mv1
2，解得v1＝ ，故B 正确，A 错误；
在Δt 时间内，喷出气体整体与探测器动量守恒，有Mv2＝mΔt·v1，探测器的动能为Ek＝
Mv2
2，解得Ek＝，故C 正确，D 错误。
题型二：类
模型
火箭喷气反冲
【典例2 拔尖题】如图所示，两辆质量均为M 的小车A 和B 置于光滑的水平面上，有一质
量为m 的人静止站在A 车上，两车静止．若这个人自A 车跳到B 车上，接着又跳回A 车并
与A 车相对静止．则此时A 车和B 车的速度之比为( )
A. B． C. D．
【典例2 拔尖题】【答案】C
【解析】规定向右为正方向，则由动量守恒定律有：0＝MvB－(M＋m)vA，得＝，故C 正确．
【典例2 拔尖题对应练习】(多选)一机枪架在湖中小船上，船正以1 m/s 的速度前进，小船
及机枪总质量M＝200 kg，每颗子弹质量为m＝20 g，在水平方向机枪以v＝600 m/s 的对
地速度射出子弹，打出5 颗子弹后船的速度可能为( )
A．1.4 m/s B．1 m/s C．0.8 m/s D．0.5 m/s
【典例2 拔尖题对应练习】【答案】BC
【解析】若子弹射出方向与船前进的方向在同一直线上，则子弹、机枪和小船组成的系统
动量守恒，有Mv0＝(M－5m)v′±5mv，若子弹向船前进的方向射出，反冲作用使船速减小，
v1′＝＝0.7 m/s，若子弹向船前进的反方向射出，v2′＝＝1.3 m/s，可见船速应在0.7～1.3 m/s
之间．故B、C 正确．
题型三：
模型
人船反冲
【知识思维方法技巧】
（1）人船反冲模型的条件：系统由两个物体组成且相互作用前静止，总动量为零．
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（2）人船反冲模型运动的特点：人动船动、人静船静、人快船快、人慢船慢、人左船右．
（3）人船反冲模型位移的关系：由m 船x 船＝m 人x 人 和x 船＋x 人＝L，得x 人＝L，x 船＝L.
【典例3 拔尖题】（多选）质量为M 的小车置于光滑的水平面上，左端固定一根水平轻弹
簧，质量为m 的光滑物块放在小车上，压缩弹簧并用细线连接物块和小车左端，开始时小
车与物块都处于静止状态，此时物块与小车右端相距为L，如图所示，当突然烧断细线后，
以下说法正确的是( )
A．物块和小车组成的系统机械能守恒
B．物块和小车组成的系统动量守恒
C．当物块速度大小为v 时，小车速度大小为v
D．当物块离开小车时，小车向左运动的位移为L
【典例3 拔尖题】【答案】BC
【解析】弹簧推开物块和小车的过程，若取物块、小车和弹簧组成的系统为研究对象，则
无其他力做功，机械能守恒，但选物块和小车组成的系统，弹力做功属于系统外其他力做
功，弹性势能转化成系统的机械能，此时系统的机械能不守恒，A 选项错误；取物块和小
车的系统，外力的和为零，故系统的动量守恒，B 选项正确；由物块和小车组成的系统动
量守恒得：0＝mv－Mv′，解得v′＝v，C 选项正确；弹开的过程满足反冲原理和“人船模
型”，有＝，则在相同时间内＝，且x＋x′＝L，联立得x′＝，D 选项错误．
【典例3 拔尖题对应练习】（多选）如图所示，甲、乙两车的质量均为M，静置在光滑的
水平面上，两车相距为L.乙车上站立着一个质量为m 的人，他通过一条水平轻绳拉甲车，
甲、乙两车最后相接触，以下说法正确的是( )
A．甲、乙两车运动时的速度大小之比为
B．甲、乙两车运动时的速度大小之比为
C．甲车移动的距离为L
D．乙车移动的距离为L
【典例3 拔尖题对应练习】【答案】ACD
【解析】本题类似人船模型．把甲车、乙车、人看成一个系统，则水平方向动量守恒，有
Mv 甲＝(M＋m)v 乙，则＝，A 正确，B 错误；因甲、乙运动时间均为t，则x 甲＝v 甲t，x 乙＝
v 乙t，则Mx 甲＝(M＋m)x 乙，x 甲＋x 乙＝L，解得x 甲＝L，x 乙＝L，C、D 正确．
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题型
：
四
类
模型
人船反冲
【知识思维方法技巧】
两个原来静止的物体发生相互作用时，若所受外力的矢量和为零，则动量守恒．在相互作
用的过程中，任一时刻两物体的速度大小之比等于质量的反比．这样的问题归为“类人船
模型”问题．满足：m1x1＝m2x2(m1、m2为相互作用的物体质量，x1、x2为其水平位移大小)。
【典例4 拔尖题】(多选)如图所示，滑块和小球的质量分别为M、m。滑块可在水平放置的
光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O 由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为
L。开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。现将小球由静止释放，当小球
到达最低点时，下列说法正确的是( )
A.滑块和小球组成的系统动量守恒
B.滑块和小球组成的系统水平方向动量守恒
C.滑块的最大速率为
D.滑块向右移动的位移为L
【典例4 拔尖题】【答案】BCD
【解析】小球下摆过程中，在竖直方向有分加速度，小球和滑块系统的合力不为零，系统
的动量不守恒，故A 错误；系统在水平方向不受外力作用，在水平方向动量守恒，故B 正
确；当小球落到最低点时，只有水平方向速度，小球和滑块的速度均达到最大，取水平向
右为正方向，有Mv1－mv2＝0，系统的机械能守恒，有mgL＝mv＋Mv，解得v1＝，故C 正
确；设滑块向右移动的位移为x，根据水平方向的动量守恒得M－m＝0，解得x＝L，故D
正确。
【典例4 拔尖题对应练习】质量为m、半径为R 的小球，放在半径为3R、质量为3m 的大
空心球内，大球开始静止在光滑水平面上。当小球从如图所示的位置(两球心在同一水平面
上)无初速度沿内壁滚到最低点时，大球移动的距离是( )
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A．
B．
C．
D．
【典例4 拔尖题对应练习】【答案】A
【解析】由于水平面光滑，系统水平方向上动量守恒，则任意时刻小球的水平速度大小为
v1，大球的水平速度大小为v2，由水平方向动量守恒有mv1＝3mv2，若小球达到最低点时，
小球的水平位移为x1，大球的水平位移为x2，则
①，由题意x1＋x2＝
3R－R=2R ②，由①②式解得大球移动的距离是
，故A 正确，BCD 错误。
题型
：
五
动量守恒定律在“爆炸
模型
”
的应
中
用
【知识思维方法技巧】
由于爆炸是极短时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远大于受到的外力，所以在爆炸
过程中，系统的总动量守恒。由于爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很
小，一般可以忽略不计，可认为物体爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动。
【典例5 拔尖题】在爆炸实验基地有一发射塔，发射塔正下方的水平地面上安装有声音记
录仪．爆炸物自发射塔竖直向上发射，上升到空中最高点时炸裂成质量之比为2∶1、初速度
均沿水平方向的两个碎块．遥控器引爆瞬间开始计时，在5 s 末和6 s 末先后记录到从空气
中传来的碎块撞击地面的响声．已知声音在空气中的传播速度为340 m/s，重力加速度大小
g 取10 m/s2，忽略空气阻力．下列说法正确的是( )
A．两碎块的位移大小之比为1∶2
B．爆炸物的爆炸点离地面高度为80 m
C．爆炸后的质量大的碎块的初速度为68 m/s
D．爆炸后两碎块落地点之间的水平距离为340 m
【典例5 拔尖题】【答案】B
【解析】设碎块落地的时间为t，质量大的碎块水平初速度为v，则由动量守恒定律知质量
小的碎块水平初速度为2v，爆炸后的碎块做平抛运动，下落的高度相同，则在空中运动的
时间相同，由水平方向x＝v0t 知落地水平位移之比为1∶2，碎块位移s＝，可见两碎块的
位移大小之比不是1∶2，故A 项错误；据题意知，vt＝(5 s－t)×340 m/s，又2vt＝(6 s－
t)×340 m/s，联立解得t＝4 s，v＝85 m/s，故爆炸点离地面高度为h＝gt2＝80 m，所以B 项
正确，C 项错误；两碎块落地点的水平距离为Δx＝3vt＝1 020 m，故D 项错误．
10
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【典例5 拔尖题对应练习】竖直向上发射一物体(不计空气阻力)，在物体上升的某一时刻
突然炸裂为a、b 两块，质量较小的a 块速度方向与物体原来的速度方向相反，则( )
A．炸裂后瞬间，a 块的速度一定比原来物体的速度小
B．炸裂后瞬间，b 块的速度方向一定与原来物体的速度方向相同
C．炸裂后瞬间，b 块的速度一定比原来物体的速度小
D．炸裂过程中，b 块的动量变化量大小一定小于a 块的动量变化量大小
【典例5 拔尖题对应练习】【答案】B
【解析】在炸裂过程中，由于重力远小于内力，系统的动量守恒，炸裂后瞬间a 块的速度
大小不能确定，以竖直向上为正方向，根据动量守恒定律有：(ma＋mb)v0＝ma(－va)＋
mbvb，解得：vb>v0，b 块的速度方向一定与原来物体的速度方向相同，故A、C 错误，B 正
确；由动量守恒可知，炸裂过程中，b 块的动量变化量大小一定等于a 块的动量变化量大
小，故D 错误．
考点
：
四
动量守恒
的
题
定律
临界问
【知识思维方法技巧】
在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反
向运动等临界状态．其临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些
特定关系的判断是求解这类问题的关键．
题型一：
次
的
题
单
作用
临界问
【典例1 拔尖题】如图所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B 置
于A 的左端，三者质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg.开始时C 静止，A、B 一起
以v0＝5 m/s 的速度匀速向右运动，A 与C 发生碰撞(时间极短)后C 向右运动，经过一段时
间，A、B 再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C 发生碰撞．求A 与C 碰撞后
瞬间A 的速度大小．
【典例1 拔尖题】【答案】2 m/s
【解析】因碰撞时间极短，A 与C 碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A 的速度为vA，C 的速
度为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0＝mAvA＋mCvC①，A 与B 在摩擦力作用
下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)vAB②，A
与B 达到共同速度后恰好不再与C 碰撞，应满足vAB＝vC③，联立①②③式，代入数据得vA
＝2 m/s.
【典例1 拔尖题对应练习】如图所示，在足够长的光滑水平面上，物体A、B、C 位于同一
直线上，A 位于B、C 之间．A 的质量为m，B、C 的质量都为M，三者均处于静止状态．
现使A 以某一速度向右运动，求m 和M 之间应满足什么条件，才能使A 只与B、C 各发生
一次碰撞．设物体间的碰撞都是弹性的．
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【典例1 拔尖题对应练习】【答案】(－2)M≤m＜M
【解析】A 向右运动与C 发生第一次碰撞，碰撞过程中，系统的动量守恒、机械能守恒．
设速度方向向右为正，开始时A 的速度为v0，第一次碰撞后C 的速度为vC1，A 的速度为
vA1.由动量守恒定律和机械能守恒定律得mv0＝mvA1＋MvC1，mv＝mv＋Mv 联立得vA1＝ v0，
vC1＝ v0，如果m>M，第一次碰撞后，A 与C 速度同向，且A 的速度小于C 的速度，不可
能与B 发生碰撞；如果m＝M，第一次碰撞后，A 停止，C 以A 碰前的速度向右运动，A
不可能与B 发生碰撞；所以只需考虑m<M 的情况．第一次碰撞后，A 反向运动与B 发生
碰撞．设与B 发生碰撞后，A 的速度为vA2，B 的速度为vB1，同样有vA2＝ vA1＝(
m−M
m+M )
2
v0根据题意，要求A 只与B、C 各发生一次碰撞，应有vA2≤vC1，联立得m2＋4mM－M2≥0 解
得m≥(－2)M，另一解m≤－(＋2)M 舍去。所以，m 和M 应满足的条件为(－2)M≤m<M.
题型二：多次
的
题
作用
临界问
类型一：多次推物体模型
【典例2a 拔尖题】如图所示，在平静的水面上有A、B 两艘小船，A 船的左侧是岸，在B
船上站着一个人，人与B 船的总质量是A 船的10 倍。两船开始时都处于静止状态，当人把
A 船以相对于地面的速度v 向左推出，A 船到达岸边时岸上的人马上以原速率将A 船推回，
B 船上的人接到A 船后，再次把它以原速率反向推出……直到B 船上的人不能再接到A 船，
则B 船上的人推船的次数为( )
A.7 B.6 C.3
D.9
【典例2a 拔尖题】【答案】B
【解析】取向右为正，B 船上的人第一次推出A 船时，由动量守恒定律得mBv1－mAv＝0，
解得v1＝v，当A 船向右返回后，B 船上的人第二次将A 推出，由动量守恒定律得mAv＋
mBv1＝－mAv＋mBv2，解得v2＝v1＋v，设第n 次推出A 时，B 的速度大小为vn，由动量守恒
定律得mAv＋mBvn－1＝－mAv＋mBvn，解得vn＝vn－1＋v，则有vn＝(2n－1)v ①
B 船上的人就不能再接到A 船，须有v≤vn(临界点)②，解①②式得n≥5.5，则取n＝6，故选
项B 正确。
【典例2a 拔尖题对应练习】如图所示，一个质量为M＝50 kg 的运动员和质量为m＝10 kg
的木箱静止在光滑水平面上，从某时刻开始，运动员以v0＝3 m/s 的速度向墙的方向推出箱
子，箱子与右侧墙壁发生弹性碰撞后返回．当运动员接到箱子后，再次重复上述过程，每
次运动员均以v0＝3 m/s 的速度向墙的方向推出箱子．求：
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(1)运动员第一次接到木箱后的速度大小；
(2)运动员最多能够接到木箱几次．
【典例2a 拔尖题对应练习】【答案】(1)1 m/s (2)3 次
【解析】(1)取水平向左为正方向，根据动量守恒定律，第一次推出木箱有0＝Mv1－mv0，
第一次接住木箱有Mv1＋mv0＝(M＋m)v1′，联立解得v1′＝＝1 m/s
(2)根据动量守恒定律，第二次推出木箱有(M＋m)v1′＝Mv2－mv0，第二次接住木箱有Mv2＋
mv0＝(M＋m)v2′，联立解得v2′＝，同理可得第n 次接住木箱时获得的速度为vn′＝2n(n＝
1,2,3…)，由vn′≤v0解得n≤3，故运动员最多能够推出木箱3 次．
类型二：多次抛接物体模型
【典例2b 拔尖题】如图所示，一个平板车的质量为M＝68 kg(包含车上的卸货人)，其上有
质量均为m＝14 kg 的货物8 袋．开始时平板车水平向右以速度v0＝5 m/s 在水平光滑的轨
道上匀速运动，平板车上的卸货人以速度v＝10 m/s(相对水平地面)水平向右一次一袋把货
物抛出，当平板车反向向左开始运动后，卸货人不再抛出货物．求卸货人向右抛出货物的
袋数和平板车的最终速度．
【典例2b 拔尖题】【答案】7 m/s，方向向左
【解析】设平板车上货物的总袋数为N，当第n 袋向右水平抛出时，平板车开始反向向左
运动，此时平板车速度为vn，取向右为正方向，
由动量守恒定律得：(M＋Nm)v0＝nmv＋[M＋(N－n)m]vn，解得：vn＝，要使平板车反向
向左运动，有vn≤0，则n≥，解得n≥6.4，因为n 应为整数，故n＝7.所以当第7 袋货物
水平向右抛出时，平板车开始反向向左运动，此时vn＝－ m/s，负号表示速度方向向左．
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