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第15 讲 动量 动量守恒定律
目录
考点一 动量、冲量、动量定理的理解与应用...........................................................................1
考点二 动量守恒定律的理解.......................................................................................................1
考点三 动量守恒定律的应用（人船模型）...............................................................................4
考点四 碰撞现象的特点和规律...................................................................................................6
考点五 动量和能量观点的综合应用...........................................................................................9
练出高分.........................................................................................................................................10
考点一 动量、冲量、动量定理的理解与应用
1．动量
(1)定义：运动物体的质量和速度的乘积叫做物体的动量，通常用p 来表示．
(2)表达式：p＝mv.
(3)单位：kg·m/s.
(4)标矢性：动量是矢量，其方向和速度方向相同．
2．冲量
(1)定义：力F 与力的作用时间t 的乘积．
(2)定义式：I＝Ft.
(3)单位：N·_s.
(4)方向：恒力作用时，与力的方向相同．
(5)物理意义：是一个过程量，表示力在时间上积累的作用效果．
3．动量定理
(1)内容：物体所受合外力的冲量等于物体的动量的变化量．
(2)表达式：
[例题1] （2022•杭州二模）如图所示，某同学将质量相同的三个物体从水平地面
上的A 点以同一速率沿不同方向抛出，运动轨迹分别为图上的1、2、3。若忽略空气
阻力，在三个物体从抛出到落地过程中，下列说法正确的是（ ）
1
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A．轨迹为1 的物体在最高点的速度最大
B．轨迹为3 的物体在空中飞行时间最长
C．轨迹为1 的物体所受重力的冲量最大
D．三个物体单位时间内速度变化量不同
[例题2] （2023•重庆模拟）2022 年中国空间站已经全面建成，目前已经转入应
用与发展阶段。如图所示，若该空间站仅在地球引力作用下绕地球沿椭圆轨道运动，
则运动过程中不变的物理量是（ ）
A．动量
B．加速度
C．动能
D．机械能
[例题3] （2023•海淀区二模）如图所示，圆盘可在水平面内绕通过O 点的竖直
轴转动（俯视），圆盘上距轴r 处有一质量为m 的物块（可视为质点）。某时刻起，
圆盘开始绕轴转动，经过一段时间，其角速度从0 增大至ω。已知物块与圆盘之间的
动摩擦因数μ、重力加速度g，该过程中物块始终相对圆盘静止，下列说法正确的是（
）
A．物块所受摩擦力的方向始终指向O 点
B．物块所受摩擦力的大小始终为μmg
C．物块所受摩擦力的冲量大小为mωr
D．物块所受摩擦力做的功为0
[例题4] （2023•镇海区校级模拟）如图甲所示，“复兴号”高速列车正沿直线由
静止驶出火车站，水平方向的动力F 随运动时间t 的变化关系如图乙所示。t＝400s 后，
列车以288km/h 的速度做匀速直线运动，已知列车所受阻力大小恒定。则下列说法正
确的是（ ）
2
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A．前400s，列车做匀减速直线运动
B．列车所受阻力的大小为3.0×106N
C．根据已知条件可求出列车的质量为1.0×107kg
D．在t＝400s 时，列车牵引力的功率为8.0×104kW
[例题5] （2023•包头一模）2023 年春节，某市限时限地燃放烟花。一位市民购
买到一种叫加特林机枪的烟花，站在高地对着一斜坡燃放，沿水平方向连续喷出质量
相等的a、b 两束烟花，烟花的轨迹如图所示，忽略空气阻力，下列说法正确的是（
）
A．a 束烟花在空中运动的时间大于b 束烟花
B．a 束烟花被喷射出的初始速度大于b 束烟花
C．a 束烟花在空中运动过程中动量的增加量大于b 束烟花
D．a 束烟花在空中运动过程中动能的增加量大于b 束烟花
考点二 动量守恒定律的理解和判断
1．内容
如果一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变，这就是动量
守恒定律．
2．适用条件
(1)系统不受外力或所受外力的合力为零，不是系统内每个物体所受的合外力都为零，更不
能认为系统处于平衡状态．
(2)近似适用条件：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．
(3)如果系统在某一方向上所受外力的合力为零，则系统在该方向上动量守恒．
[例题6] （2023•昌平区二模）飞机沿某水平面内的圆周匀速率地飞行了一周，已
知飞机质量为m，速率为v，圆周运动半径为R。下列说法正确的是（ ）
A．飞机做匀速圆周运动，速率没变，则所受合外力为零
B．飞机做匀速圆周运动，速率没变，则动量守恒
3
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C．飞机飞行时，速度的方向不断变化，因此动量不守恒；根据动量定理，动量的改变
源于向心力的冲量，即I = Fn Δt =m v
2
R
2πR
v
=2πmv
D．飞机飞行时，速度的方向不断变化，因此动量不守恒；根据动量定理，飞行一周动
量的改变量为零
[例题7] （2023•绍兴二模）如图所示，在竖直平面内，离地一定高度的树上挂有
一个苹果，地面上玩具手枪的枪口对准苹果。某时刻苹果从O 点自由下落，同时玩具
子弹也从枪口P 以一定初速度射出，子弹运动一段时间后到达最高点Q，而苹果也下
落到M 点，最后子弹在N 点“击中”苹果。若子弹和苹果都看成质点，不计空气阻力。
下列说法正确的是（ ）
A．子弹到达最高点的速度为0
B．PQ 的竖直高度等于OM 的距离
C．子弹“击中”苹果时竖直方向的分速度大于苹果下落的速度
D．子弹从P 运动到Q 的过程中速度变化量的方向始终竖直向上
[例题8] （2023•江西模拟）如图所示，建筑工地上常用打桩机把桩打入地下。电
动机先把重锤吊起一定的高度，然后静止释放，重锤打在桩上，接着随桩一起向下运
动直到停止。不计空气阻力，则下列说法中正确的是（ ）
A．重锤与桩的撞击过程中，机械能守恒
B．重锤随桩一起向下运动过程中，机械能守恒
C．整个运动过程中，重锤和桩组成的系统动量守恒
D．整个运动过程中，重锤和桩组成的系统所受合外力冲量为零
[例题9] （2023•株洲一模）如图，质量相等的小球和小环用不可伸长的轻绳相连，
小环套在光滑固定的水平细杆上，初始时刻小球在小环的左下方，绳子拉直，由静止
释放，不计空气阻力，则（ ）
4
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A．小球和小环组成的系统，动量守恒
B．小球和小环组成的系统，机械能不守恒
C．小球向右摆到的最高点和释放点的高度相同
D．整个运动过程中，绳的拉力对小球一直不做功
[例题10] （2023•平谷区一模）如图所示，质量分别为m1和m2（m2＞3m1）的两
个小球叠放在一起，从高度为h 处由静止释放，它们一起下落。已知h 远大于两球半
径，碰撞前后小球都沿竖直方向运动，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．在下落过程中，两个小球之间存在相互作用的弹力
B．释放后至弹起的过程中，两小球的动量守恒
C．若所有的碰撞都没有机械能损失，且碰撞后m2弹起的最大高度h2＜0.5h，则碰撞后
m1弹起的最大高度h1一定大于2.5h
D．若两球接触处涂有粘胶，从地面弹起后两球粘在一起向上运动，则两球弹起的最大
高度为h
考点三 动量守恒定律的应用（人船模型）
1．动量守恒定律的不同表达形式
(1)m1v1＋m2v2＝m1v1′ ＋
m 2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后
的动量和．
(2)Δp1＝－
Δ p 2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向．
(3)Δp＝0，系统总动量的增量为零．
2．应用动量守恒定律解题的步骤
(1)明确研究对象，确定系统的组成(系统包括哪几个物体及研究的过程)；
(2)进行受力分析，判断系统动量是否守恒(或某一方向上动量是否守恒)；
(3)规定正方向，确定初、末状态动量；
(4)由动量守恒定律列出方程；
(5)代入数据，求出结果，必要时讨论说明．
[例题11] （多选）（2023•佛山一模）某同学平时在操场立定跳远成绩最好能达到
5
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2.5m。在静浮在水面可自由移动的小船上，若该同学同样尽最大的能力立定跳，船上
下颠簸可忽略，则该同学在小船上立定跳（ ）
A．相对地面运动的水平距离小于2.5m
B．相对小船运动的水平距离小于2.5m
C．起跳相对地面的初速度比在操场时的小
D．当人落在船上时，船还会继续向前运动
[例题12] （2022 春•麒麟区校级期中）如图，一人站在静止的平板车上，不计平
板车与水平地面的摩擦，空气的阻力也不考虑。则下列说法不正确的是（ ）
A．人在车上向右行走时，车将向左运动
B．当人停止走动时，车也会停止
C．人缓慢地在车上行走时，车可能不动
D．当人从车上的左端行走到右端，不管人在车上行走的速度多大，车在地面上移动的
距离都相同
[例题13] 如图所示，质量M＝2kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量m＝1kg 的
小球通过长L＝0.5m 的轻质细杆与滑块上的光滑轴O 连接，小球和轻杆可在竖直平面
内绕O 轴自由转动，开始轻杆处于水平状态，现给小球一个竖直向上的初速度v0＝
4m/s，g 取10m/s2。则（ ）
A．若锁定滑块，小球通过最高点P 时对轻杆的作用力为4N
B．若解除对滑块的锁定，滑块和小球组成的系统动量守恒
C．若解除对滑块的锁定，小球通过最高点时速度为2m/s
D．若解除对滑块的锁定，小球击中滑块右侧轨道位置点与小球起始位置点间的距离为
1
3m
6
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[例题14] 有一条捕鱼小船停靠在湖边码头，小船又窄又长（估计二百多公斤左
右），一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量，他进行了如下操作：首先将船平行
码头自由停泊，轻轻从船尾上船，走到船头后停下来，而后轻轻下船，用卷尺测出船
后退的距离为d，以及船长L，已知他自身的质量为m。若不计水的阻力，则渔船的
质量M 为（ ）
A．m( L+d)
d
B．
md
( L−d)
C．m( L−d)
d
D．mL
d
[例题15] 如图所示，一个质量为m 的半圆槽形物体P 放在光滑水平面上，半圆槽
半径为R，一小物块Q 质量为3m，从半圆槽的最左端与圆心等高位置无初速释放，
然后滑上半圆槽右端，接触面均光滑，Q 从释放到滑至半圆槽右端最高点的过程中，
下列说法正确的是（ ）
A．P、Q 组成的系统满足动量守恒
B．P 的位移大小为3
4 R
C．Q 滑动最低点的速度为√2 gR
D．Q 的位移大小为1
2R
考点四 碰撞现象的特点和规律
1．碰撞
(1)概念：碰撞是指物体间的相互作用持续时间极短，而物体间相互作用力很大的现象．
(2)特点：在碰撞现象中，一般都满足内力≫外力，可认为相互碰撞的系统动量守恒．
(3)分类
动量是否守恒
机械能是否守恒
弹性碰撞
守恒
守恒
7
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非完全弹性碰撞
守恒
有损失
完全非弹性碰撞
守恒
损失最大
2.碰撞后运动状态可能性判定
(1)动量制约：即碰撞过程中必须受到动量守恒定律的制约，总动量的方向恒定不变，即p1
＋p2＝p1′＋p2′.
(2)动能制约：即在碰撞过程中，碰撞双方的总动能不会增加，即Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′
(3)运动制约：即碰撞要受到运动的合理性要求的制约，如果碰前两物体同向运动，则后面
物体速度必须大于前面物体的速度，碰撞后原来在前面的物体速度必增大，且大于或等于
原来在后面的物体的速度，否则碰撞没有结束；如果碰前两物体是相向运动，而碰后两物
体的运动方向不可能都不改变，除非碰后两物体速度均为零．
[例题16] 如图所示，两小球P、Q 竖直叠放在一起，小球间留有较小空隙，从距
水平地面高度为h 处同时由静止释放。已知小球Q 的质量是P 的2 倍。设所有碰撞均
为弹性碰撞，重力加速度为g。忽略空气阻力及碰撞时间，则两球第一次碰撞后小球P
上升的高度为（ ）
A．5
3h
B．25
9 h
C．7
3h
D．49
9 h
[例题17] （2023•东城区校级模拟）如图5 所示，静止在光滑水平桌面上的物块A
和B 用一轻质弹簧栓接在一起，弹簧处于原长。一颗子弹沿弹簧轴线方向射入物块A
并留在其中，射入时间极短。下列说法中正确的是（ ）
A．子弹射入物块A 过程中，子弹和物块A 的机械能守恒
B．子弹射入物块A 的过程中，子弹对物块A 的冲量大小大于物块A 对子弹的冲量大小
C．子弹射入物块A 后，两物块与子弹的动能之和等于射入物块A 前子弹的动能
D．两物块运动过程中，弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能
[例题18] （2023•浙江模拟）物理规律往往有一定的适用条件，我们在运用物理规
律解决实际问题时，需要判断使用的物理规律是否成立。如图所示，站在车上的人用
锤子连续敲打小车。初始时，人、车、锤都静止，假设水平地面光滑，关于这一物理
过程，下列说法正确的是（ ）
8
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A．连续敲打可使小车持续向右运动
B．人、车和锤组成的系统机械能守恒
C．人、车和锤组成的系统动量和机械能都不守恒
D．人、车和锤组成的系统动量守恒但机械能不守恒
[例题19] （2023•清远模拟）如图所示，质量为4m 的木块用轻质细绳竖直悬于O
点，当一颗质量为m 的子弹以v0的速度水平向右射入木块后，它们一起向右摆动的最
大摆角为60°。木块可视为质点，重力加速度大小为g，则轻绳的长度为（ ）
A．v0
2
5 g
B．v0
2
10 g
C．v0
2
25 g
D．v0
2
50 g
[例题20] （多选）（2023•吉安一模）质量分别为M、m 的A、B 两物体连接在轻
质弹簧两端，用轻质细线拴住A、B，弹簧被压缩，整体放置在光滑的水平面上处于
静止状态。如图甲所示，若A 靠在墙角，突然烧断细线，当弹簧恢复原长时，B 的速
度为v，如图乙所示，若A 不靠在墙角，也突然烧断细线。规定水平向右为正方向，
下列说法正确的是（ ）
A．烧断细线之前弹簧的弹性势能为1
2 M v
2
B．对甲图，烧断细线后当弹簧压缩量最大时，弹簧的弹性势能为
Mm v
2
2( M +m)
C．对乙图，烧断细线后当弹簧恢复原长时，A、B 的动能之比M：m
D．对乙图，烧断细线后当弹簧恢复原长时，A 的动量为−mv√
M
M +m
9
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考点五 动量和能量观点的综合应用
[例题21] （2023•天津模拟）如图所示，一段粗糙水平面右端与光滑曲面在O 点
平滑连接，左端与一段光滑水平面在N 点连接。一左端固定的轻弹簧置于光滑水平面
上，其右端恰好位于N 点，一质量为m＝0.1kg 的小球被长为L＝1.4m 的轻细绳悬挂
在O1点且处于静止状态，小球位于O 点但与O 点不接触。在O1点左侧与O1等高处的
P 点，固定有一垂直纸面的光滑钉子，与O1点的距离为L
2 。一质量为M＝0.7kg 的小
物块从曲面上高为h＝0.8m 的位置由静止滑下后，与小球发生碰撞，碰后小球向左摆
动，绳子到钉子后，小球恰好能完成竖直面内的圆周运动。已知粗糙水平面的长度为
x＝1.5m 与小物块的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速度g＝10m/s2，小球与小物块均可看
成质点，碰撞时间极短，弹簧始终在弹性限度内。求：
（1）小物块刚要碰上小球瞬间的速度v0的大小；
（2）刚碰撞完瞬间，绳子对小球的拉力T 的大小；
（3）弹簧弹性势能的最大值。
[例题22] （2023•龙泉驿区模拟）如图所示，在电动机的带动下以v＝5m/s 的速度
顺时针匀速转动的水平传送带，左端与粗糙的弧形轨道平滑对接，右端与光滑水平面
平滑对接，水平面上有无穷多个位于同一直线上、处于静止状态的相同小球，小球质
量m0＝2kg。质量m＝1kg 的物体（可视为质点）从轨道上高h＝5.0m 的P 点由静止开
始下滑，滑到传送带上的A 点时速度大小v0＝7m/s。物体和传送带之间的动摩擦因数
μ＝0.5，传送带AB 之间的距离L＝3.4m。物体与小球、小球与小球之间发生的都是弹
性正碰。重力加速度g＝10m/s2，√10≈3.16。求：
（1）物体从P 点下滑到A 点的过程中，摩擦力做的功；
（2）物体第一次向右通过传送带的过程中，传送带对物体的冲量大小；
（3）物体第一次与小球碰后到最终的过程中因为物体在传送带上滑动而多消耗的电能。
10
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[例题23] （2023•浙江模拟）如图所示，竖直平面内有一粗糙的平台AB，长度x
＝1m，动摩擦因数为μ1＝0.05，其左侧有一个m1＝2kg 小球1 和处于压缩、弹性势能
Ep＝2J 的弹簧（两个不连接，小球用锁定装置锁定），其右侧有一半径R＝1.2m、圆
心角θ＝60°的光滑圆弧轨道CD，圆弧轨道最底端D 处平滑连接另一长s＝2m 的粗糙
平台DE，质量m2＝4kg 的小球2 静止在D 点，小球2 的左侧粘有少量塑胶炸药（质量
不计），E 端有一质量m3＝4kg 的小球3，用长为L＝0.5m 的轻绳悬吊，对E 点刚好
无压力。现小球1 解除锁定被弹簧弹出，恰好沿C 点的切线方向进入圆弧轨道到达D
点与小球2 发生碰撞，碰撞瞬间两球共速并立即引燃炸药，爆炸后瞬间小球1、2 速度
方向均水平。小球1 恰好能以进入C 点的速度从C 点滑出，炸药爆炸前后小球1、2 质
量保持不变，小球1、2 与3 均可视为质点，弹簧长度变化可以忽略，g＝10m/s2，求：
（1）小球1 与小球2 碰撞前瞬间小球1 对轨道CD 的压力；
（2）炸药爆炸过程中有多少能量转化成小球1、2 的机械能；
（3）若小球2 能与小球3 发生弹性碰撞且最终仍停在平台上，整个过程中绳子始终不
松弛，小球与平台DE 间动摩擦因数μ2的范围。
【解答】解：（1）小球1 从A 运动到B 点，根据能量守恒定律有：Ep﹣μ1m1gx
= 1
2 m1vB
2
解得：vB＝1m/s
小球1 从B 到C 做平抛运动，在C 点将速度分解，如图所示：
练出高分
一．选择题（共10 小题）
11
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1．（2023•汕头一模）如图所示，铅球运动员采用滑步推的方式推出铅球，滑步推铅球能
比原地推铅球增加几米的成绩。两种方式出手时铅球的位置和速度方向都相同，忽略空
气阻力，则（ ）
A．两种方式推出的铅球在空中运动的时间相同
B．采用原地推铅球方式推出的铅球上升的高度更高
C．两种方式推出的铅球在空中运动到最高点时的速度都相同
D．滑步推铅球能增加成绩，是因为延长了运动员对铅球的作用时间
2．（2023•西城区一模）2022 年12 月4 日，神舟十四号乘组与十五号乘组完成在轨轮换后，
返回地球．载人飞船返回舱进入大气层后，距地面10km 左右时开启降落伞，速度减至
约8m/s，接下来以这个速度在大气中降落，在距地面1.2m 时，返回舱的四台缓冲发动
机开始向下喷气，舱体再次减速，到达地面时速度约为2m/s。由以上信息可知（ ）
A．开启降落伞减速的过程中，舱体处于失重状态
B．在大气中匀速降落过程中，舱体的机械能保持不变
C．缓冲发动机开启过程中，航天员的加速度约为5g
D．舱体与地面撞击的过程中，撞击力的冲量大于舱体重力的冲量
3．（2023•海南一模）斜向上发射的炮弹在最高点爆炸（爆炸时间极短）成质量均为m 的
两块碎片，其中一块碎片做自由落体运动。已知炮弹爆炸时距地面的高度为H，炮弹爆
炸前的动能为E，重力加速度大小为g，不计空气阻力和火药的质量，则两块碎片落地
点间的距离为（ ）
A．2√
EH
mg
B．2√
2 EH
mg
C．2√
3 EH
mg
D．4√
EH
mg
4．（2023•江苏一模）如图所示，由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨道不是抛物线，
而是图中的“弹道曲线”，图中a、c 高度相同，b 为弹道曲线最高点，则炮弹（ ）
12
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A．到达b 点时加速度竖直向下
B．在下落过程中机械能增加
C．重力在ab 段的冲量小于bc 段的冲量
D．在ab 段克服阻力做功小于bc 段克服阻力做功
5．（2023•淮安模拟）轻质细线绕过两个等高、光滑定滑轮P、Q，两端分别连接着质量均
为m 的小球A、B，已知P、Q 间细线水平，间距为l，A、B 小球处于静止状态。现将
一质量也为m 的物体C，通过光滑的轻挂钩挂在细线上与两定滑轮等间距的位置O，静
止释放后向下运动。若A、B 始终没有与P、Q 相碰，重力加速度为g，则C 物体在下降
过程中（ ）
A．下降的最大高度为2l
3
B．加速度先增大后减小
C．最大动能时细线夹角恰好为90°
D．小球C 的动量变化率一直在增大
6．（2023•昌平区二模）如图所示，把质量为m 的石块从距地面高h 处以初速度v0斜向上
抛出，v0与水平方向夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。若只改变抛射角θ，下
列物理量一定不变的是（ ）
A．石块在空中的飞行时间
B．石块落地的水平距离
C．石块落地时的动能
D．石块落地时的动量
7．（2023•海淀区二模）关于做自由落体运动的物体，下列说法正确的是（ ）
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A．动能Ek随时间t 变化的快慢Δ Ek
Δt 随时间均匀增大
B．动量p 随时间t 变化的快慢Δp
Δt 随时间均匀增大
C．重力势能Ep随位移x 变化的快慢Δ E p
Δx 随时间均匀减小
D．机械能E 随位移x 变化的快慢ΔE
Δx 随时间均匀减小
8．（2023•通州区一模）如图甲所示，一轻弹簧的两端分别与质量为m1和m2的两物块相
连接，并且静止在光滑的水平桌面上。现使m1瞬时获得水平向右的速度3m/s，以此刻
为计时零点，两物块的速度随时间变化的规律如图乙所示，以下说法正确的是（ ）
A．两物块的质量之比为m1：m2＝2：1
B．在t1时刻和t3时刻弹簧的弹性势能均达到最大值
C．t1﹣t2时间内，弹簧的长度大于原长
D．t2﹣t3时间内，弹簧的弹力逐渐减小
9．（2023•广东一模）如图，材料有差异的冰壶甲每次以相同的动量与静止在O 处的另一
冰壶发生正碰，碰后冰壶甲最终停止的位置不同，已知四次碰撞中冰壶甲与冰面间的动
摩擦因数相同，冰壶均可视为质点，则碰撞后，被碰冰壶获得动量最大的是（ ）
A．
B．
14
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C．
D．
10．（2023•河北模拟）如图所示，质量为3m 的小物块B 静止放在光滑水平面上，左端固
定一轻质弹簧，弹簧劲度系数为k，质量为m 的小物块A 以初速度v0与弹簧碰撞并压缩
弹簧，经时间t 物块A、B 速度大小相同，此过程中小物块B 运动的位移为d，之后弹簧
弹开，已知两物块始终在同一直线上运动，v0t＝d0，下列说法中正确的是（ ）
A．当弹簧恢复原长时，物块A、B 的速度相同
B．从开始压缩弹簧到弹簧压缩到最短，A 物块的位移为d0﹣3d
C．从开始压缩弹簧到弹簧完全弹开，弹簧的最大弹力为4kd
D．从开始压缩弹簧到弹簧完全弹开，经历的时间为3t
二．计算题（共3 小题）
11．（2023•海口一模）小区需要安装供小朋友玩游戏的滑道，滑道由光滑曲面滑梯PO 和
一条与其平滑连接的水平轨道ON 构成，水平轨道右侧固定有一轻质弹簧，弹簧左端恰
好位于M 点，如图所示。为保证小孩玩要安全，工程师们进行了模拟测试：坐在塑料
滑篮里的“小孩”从距离地面高h＝1.8m 处由静止开始下滑，滑篮和“小孩”总质量
mA＝10kg，下滑后与静止于O 点的橡胶块B 发生碰撞。碰撞后瞬间橡胶块的速度vB1＝
2m/s，橡胶块向右移动x1= 1
3m 时的速度v= 2√6
3
m/s。已知水平轨道OM 长度L＝
1.0m，滑篮和橡胶块与OM 段之间的动摩擦因数相同，其余部分光滑，滑篮和橡胶块均
可视为质点，碰撞均为弹性碰撞，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g＝10m/s2。求：
（1）橡胶块的质量mB。
（2）橡胶块与OM 段之间的动摩擦因数。
（3）弹簧最大的弹性势能Ep。
12．（2023•广州二模）如图。玩具“火箭”由上下A、B 两部分和一个劲度系数较大的轻
弹簧构成，A 的质量为0.2kg，B 的质量为0.4kg，弹簧夹在中间，与两者不固连。开始
时让A、B 压紧弹簧并锁定为一个整体，为使A 上升得更高，让“火箭”在距地面0.8m
高处自由释放，“火箭”着地瞬间以原速率反弹，同时解除锁定，当弹簧恢复原长时，
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B 恰好停在地面上，不计空气阻力和“火箭”的体积以及弹簧解锁恢复原长的时间，重
力加速度取10m/s2。求
（1）“火箭”着地时的速度大小；
（2）A 上升的最大高度；
（3）弹簧被锁定时的弹性势能。
13．（2023•延边州二模）如图所示，固定在竖直平面内的轨道由倾角θ 可调的倾斜轨道
AB、足够长的水平轨道BC 和半径为R＝0.3m 的竖直圆轨道构成，P 为圆轨道的最高点，
AB 段轨道粗糙，其余轨道光滑，各段轨道均平滑连接．当倾角θ＝30°时，质量为m1＝
0.6kg 的物块a 恰好能沿轨道AB 匀速下滑。现将倾角调为θ＝60°，让物块a 从距水平面
BC 高度为h＝1.2m 处静止滑下，过一段时间后与静止在水平轨道BC 上的物块b 发生弹
性碰撞．若物块a、b 均可视为质点，物块a 始终不会脱离轨道，取重力加速度g＝
10m/s2．求：
（1）物块a 与轨道AB 间的动摩擦因数；
（2）物块a 第一次经过圆轨道最高点P 时对轨道的压力大小；
（3）若物块a 只经过一次P 点且能与物块b 发生两次碰撞，求物块b 的质量范围。
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