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2025 年高考押题预测卷
高三数学（上海卷01）
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题4 分，第7-12 题每题5 分）
1．已知集合
，则
．
2．直线
的倾斜角是 （结果用反三角表示）．
3．已知
，若
，则
.
4．已知
是定义在R 上的奇函数，当
时，
，则当
时，
．
5．已知为虚数单位，设
，若
是实系数一元二次方程
的一个虚根，则
.
6．当
时，函数
的最大值为 ．
7．已知
是夹角为
的两个单位向量，若向量
，则
.
8．已知
的展开式中各项系数的和为
，则该展开式中
的系数为 .
9．在△
中，角
、
、
的对边分别为
、
、，其面积
，则
10．若
､
是双曲线
的左右焦点，过
的直线与双曲线的左右两支分别交于
，
两点.若
为等边三角形，则双曲线的离心率为 .
1
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11．某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π 立方米的球形景观灯所在球面
上．考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度l 需满足
．当纪念碑体积取得最大值时，
正四棱锥的侧棱长约为 米（精确到0.01 米）．
12．已知数列
满足：
，定义：
表示整数
除以4 的余数与整数
除以4 的余数相同，例：
.设
，其中
，数列
的前
项和为
，则满足
的
最小值为 .
二、选择题(本题共有4 题，满分18 分，第13-14 题每题4 分，第15-16 题每题5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13．在区间
上，
是函数
在该区间严格增的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．充要
D．既不充分也不必要
14．某单位共有A、B 两部门，1 月份进行服务满意度问卷调查，得到两部门服务满意度得分的频率分布条
形图如下.设A、B 两部门的服务满意度得分的第75 百分位数分别为
，
，方差分别为
，
，则（
）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
15．已知抛物线
的焦点为F，过原点O 的动直线l 交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，
下列说法正确的是（ ）
A．若O 为线段PQ 中点，则PF＝1
B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF
D．△PFQ 面积的最小值为2
2
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16．若点
为点
在平面
上的正投影，则记
.如图，在棱长为的正方体
中，
记平面
为
，平面
为
，点
是棱
上一动点（与
、
不重合）
，
.给出下列三个结论：
①线段
长度的取值范围是
；
②存在点
使得
平面
；
③存在点
使得
.
其中，所有正确结论的序号是
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
三、解答题(本大题共有5 题，满分78 分，第17-19 题每题14 分，第20、21 题每题18 分.)
17．如图，在四棱锥P-ABCD 中，平面
平面ABCD，
为等边三角形，且
，
，
，
，M 为PA 的中点.
(1)证明：
；
(2)求平面PCD 与平面PAB 所成锐二面角的大小.
18．已知函数
.
(1)求
的严格减区间；
3
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(2)将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标
不变），得到函数
的图象.若对任意
，
，
求实数
的最小值.
19．为了解人们是否喜欢跑步，某机构在一小区随机抽取了40 人进行调查，统计结果如下表．
喜欢
不喜欢
合计
男
12
8
20
女
10
10
20
合计
22
18
40
(1)根据以上数据，判断能否有95%的把握认为人们对跑步的喜欢情况与性别有关？
附：
，其中
，
(2)该小区居民张先生每天跑步或开车上班，据以往经验，张先生跑步上班准时到公司的概率为
，张先生
跑步上班迟到的概率为
．对于下周（周一～周五）上班方式张先生作出如下安排：周一跑步上班，从周
二开始，若前一天准时到公司，当天就继续跑步上班，否则，当天就开车上班，且因公司安排，周五开车
去公司（无论周四是否准时到达公司）．设从周一开始到张先生第一次开车去上班前跑步上班的天数为
X，求X 的分布列及数学期望
．
20．设椭圆
：
的一个顶点为
，离心率为
，
为椭圆
的右焦点．
(1)求椭圆
的方程；
(2)设过
且斜率为
的直线与椭圆
交于
，
两点，若满足
，求
的值；
(3)过点
的直线与椭圆
交于
，
两点，过点
，
分别作直线：
的垂线（点
，
在直线
的两侧）．垂足分别为
，
，记
，
，
的面积分别为
，
，
，试问：是否存
4
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在常数，使得
，
，
总成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
21．若函数
和
同时满足下列条件：①对任意
，都有
成立；②存在
，使得
，则称函数
为
的“
函数”，其中
称为“
点”.
(1)已知图像为一条直线的函数
是
的“
函数”，请求出所有的“
点”；
(2)设函数
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
；函数
为
的“
函数”，其“
点”组成集合
.试证明：“函数
为
的‘
函数’”的一个充分必要条
件是“
”；
(3)记
（为自然对数的底数），
，若
为
的“
函数”，
且“
点”
，求实数
的最大值.
5
