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重难点12 带电粒子在复合场中的运动
考点
三年考情分析
2025 考向预测
质谱仪和回旋加速器
先电场后磁场（2024·新课标卷，
3
）叠加场中的运动（2023·新课标
卷，5）
（1）考点预测：连续场或者叠加
场问题。
（2）考法预测：一般以计算题形
式出现，很可能是压轴题。
【情境解读】
【高分技巧】
一、连续场问题
1．分析思路
(1)画运动轨迹：根据受力分析和运动学分析，大致画出粒子的运动轨迹图．
(2)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(3)划分过程：将粒子运动的过程划分为几个不同的阶段，对不同的阶段选取不同的规律处理．
2．常见粒子的运动及解题方法
1
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二、叠加场中的运动
1．重力场、静电场和磁场，其中两场共存时，粒子受其中两个力的合力为零，则其表现为匀速直线运动
状态或静止状态。例如电场与磁场叠加满足qE＝qvB 时，重力场与磁场叠加满足mg＝qvB 时，重力场与电
场叠加满足mg＝qE 时。
2．重力场、静电场和磁场三场共存
(1)若三场共存，合力为零时，粒子做匀速直线运动，其中洛伦兹力F＝qvB 的方向与速度v 垂直。
(2)若三场共存，粒子做匀速圆周运动时，则有mg＝qE，粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，即qvB
＝m。
3．当带电粒子做复杂的曲线运动或有约束的变速直线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
三、不共面的运动
1．空间中匀强磁场的分布是三维的，带电粒子在磁场中的运动情况可以是三维的．现在主要讨论两种情
况：
(1)空间中只存在匀强磁场，当带电粒子的速度方向与磁场的方向不平行也不垂直时，带电粒子在磁场中就
做螺旋线运动．这种运动可分解为平行于磁场方向的匀速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
(2)空间中的匀强磁场和匀强电场(或重力场)平行时，带电粒子在一定的条件下就可以做旋进运动，这种运
动可分解为平行于磁场方向的匀变速直线运动和垂直于磁场平面的匀速圆周运动．
2．分析带电粒子在立体空间中的运动时，要发挥空间想象力，确定粒子在空间的位置关系．带电粒子依
次通过不同的空间，运动过程分为不同的阶段，只要分析出每个阶段上的运动规律，再利用两个空间交界
处粒子的运动状态和关联条件即可解决问题．有时需要将粒子的运动分解为两个互相垂直的平面内的运动
(比如螺旋线运动和旋进运动)来求解．
2
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（建议用时：40 分钟）
【考向一：先电场后磁场】
1．（2024·宁夏吴忠市·一模）如图所示，在
的空间中存在着沿
轴正方的匀强电场；在
的空
间中存在垂直
平面向里的匀强磁场。一个带负电的粒子，质量为
，电荷量为
，不计重力，从
轴
上的
点以平行
轴的初速度
射入电场，经过
轴上的
点。求：
（1）电场强度
的大小
（2）已知粒子进入磁场后恰好通过坐标原点，求磁感应强度
的大小
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）根据题意可知，带负电的粒子在电场中做类平抛运动，如图所示
垂直电场方向有
沿电场方向有
3
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联立解得
（2）根据题意，由几何关系可知，粒子在电场中运动的位移与水平方向的夹角的正切值为
则粒子从电场进入磁场时，速度与水平方向的夹角的正切值为
则有
则粒子进入磁场时的速度为
粒子进入磁场后，运动轨迹如图所示
由几何关系有
解得
由牛顿第二定律有
联立解得
4
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2．（2024·青海省西宁市·二模）如图所示，某磁仪器由粒子源、偏转电场、速度选择区、偏转磁场及探测
板等组成。粒子源可以产生比荷为k 的带正电粒子，以初速度v0水平飞入两平行金属板中的偏转电场，入
射点贴近上板边缘。两水平金属板间距为d，两板间电压为
。带电粒子由偏转电场飞出后，立即进入宽
度为d 的速度选择区做匀速直线运动，该区域存在垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出）和与水平方向
成45°的电场强度为E 的匀强电场。最后经磁感应强度为B 的匀强磁场偏转后恰好能够打在探测板上。不
计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：
（1）偏转电场两金属板长L；
（2）速度选择区匀强磁场的磁感应强度大小B0。
（3）偏转磁场区域宽度D。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）粒子带正电，在速度选择区受到的电场力方向与电场方向相同，根据在速度选择区做匀速
直线运动，说明洛伦兹力和电场力方向相反，根据左手定则判断粒子出偏转电场的速度方向与电场方向垂
直，与水平方向成角
斜向右下。在偏转电场区
运动时间为
5
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且
联立解得
（2）设刚进入速度选择区的速度为
在速度选择区洛伦兹力等于电场力，即
解得匀强磁场的磁感应强度大小
（3）根据恰好能够打在探测板上画出轨迹，如下图所示
根据洛伦兹力提供向心力得
求出轨道半径
6
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由几何知识得，偏转磁场区域宽度为
3．（2024·山西省·一模）CT 技术是通过高能电子撞击目标靶，使目标靶放出X 射线，对人体进行扫描取
得信息的，其原理如图所示：半径为
的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，水平放置的目标靶长为
，靶左端点
、右端点
与磁场圆心
的距离相等、竖直距离为
。从阴极逸出的电子（初速度
可忽略），经电场加速后瞄准圆心
沿着水平方向进入磁场，经磁场偏转后恰好击中
点。设电子质量
为
、电荷量为，电子枪的加速电压为
，不考虑电子受到的重力，求：
（1）匀强磁场的磁感应强度的大小。
（2）仅通过调节匀强磁场
大小，可实现电子束在目标靶上从
到
的扫描，求
的大小范围。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）如图所示
根据几何关系可得
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由此可知电子在磁场中运动的轨迹半径为
电子在加速电场中加速，由动能定理有
由洛伦兹力充当向心力有
联立解得
（2）由由洛伦兹力充当向心力有
可知，磁感应强度越小，电子在磁场中做圆周运动的轨迹半径就越大，电子到达目标靶N 的轨迹半径如图
所示
根据几何关系可得
对应的磁感应强度大小为
则可知，磁场强度取最大值时电子恰好打在目标靶M 点，当磁场强度取最小值时电子恰好打在目标靶N 点，
8
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可得磁感应强度B 的调节范围为
4．（2024·山西省太原五中·一模）如图所示为一种质谱仪的示意图，由加速电场、静电分析器和磁分析器
组成。若静电分析器通道中心线的半径为R，通道内均匀辐射电场，在中心线处的电场强度大小为E，磁
分析器有范围足够大的有界匀强磁场，磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量
为q 的粒子从静止开始经加速电场加速后沿中心线通过静电分析器，由P 点垂直边界进入磁分析器，最终
打到胶片上的Q 点。不计粒子重力。下列说法不正确的是（ ）
A. 粒子一定带正电
B. 加速电场的电压U=
ER
C. 直径PQ=
D. 若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，则该群离子具有相同的比荷
【答案】C
【解析】A．粒子由P 点垂直边界进入磁分析器，最终打到胶片上的Q 点，根据左手定则可得，粒子带正
电，选项A 正确；
B．粒子在加速电场中做匀加速运动，则有
qU=
mv2
又粒子在静电分析器做匀速圆周运动，由电场力提供向心力，有
qE=
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解得
U=
选项B 正确；
C．粒子在磁分析器中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有
qvB=
解得
r=
粒子由P 点垂直边界进入磁分析器，最终打在胶片上的Q 点，可得
PQ=2r=
选项C 错误；
D．若一群离子从静止开始经过上述过程都落在胶片上同一点，说明运动的轨迹半径r=
相同，
由于加速电场、静电分析器与磁分析器都相同，则该群离子具有相同的比荷，选项D 正确。
故选C。
5．（2024·山西省阳泉市·三模）如图所示，光滑绝缘水平轨道
上方的
区域内有竖直向上的匀
强电场，以O 点为坐标原点建立坐标系，在第一象限中有垂直纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量
为
的绝缘小球A 从M 点出发，以初速度
水平向右从N 点进入右侧电场区域，并且从O 点进入第一
象限。已知
，匀强电场场强大小
，匀强磁场磁感应强度大小
。小球A 可视
为质点，全过程小球A 电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度为g。求：
（1）小球A 到达O 点时的速度；
（2）小球A 在第一次进入第一象限后轨迹最高点的纵坐标y。
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【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）小球进入电场区域后在重力和电场力作用下做类平抛运动，设
，
到达O
点时与x 轴夹角为
，则有
解得
（2）解法一：
小球从O 点进入第一象限后在重力和洛伦兹力的作用下发生偏转，第一次到达最高点时其速度沿水平方向，
假设最高点速度为
，最高点的纵坐标为y，由O 到最高点只有重力做功，故
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分解
，假设其水平分速度为
，竖直分速度为
，从O 点到最高点所用时间为t，对小球列水平方向
动量定理则有
代入数据解得
解法二：
进入第一象限之后，将运动分解成为水平向左的速度为
的匀速直线运动和速度为
的顺时针方向的匀
速圆周运动，到最高点时速度为
，如图所示
代入数据解得
6．（2024·陕西安康·三模）如图所示，为回旋加速器的工作原理示意图，两个D 形盒的正中间有狭缝，狭
缝宽度为d，狭缝之间存在匀强电场，电场强度为E；两个半径为R 的D 形盒接上高频交流电，并处在匀
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强磁场中，在
的中心A 处有一个粒子源，它产生并发出比荷为k 的带正电粒子，粒子的初速度视为0，
经加速后从D 形盒的边缘以速度v 飞出，不计粒子重力，求：
（1）粒子在狭缝之间运动的总时间和匀强磁场的磁感应强度；
（2）粒子第4 次被加速结束的瞬间位置与A 点之间的距离。
【答案】（1）
，
；（2）
【解析】（1）由牛顿第二定律有
根据运动学公式
得
粒子在磁场中与匀速圆周运动
得
（2）加速一次由动能定理有
解得
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从A 点出发向右运动
同理可得加速第二次粒子向左运动
粒子加速第三次后向右运动
所以，第四次加速结束瞬间距A 点的距离为
7．（2024·陕西省安康市·一模）如图所示，竖直平面内的直角坐标系
第一象限内存在沿
轴正方向、
电场强度大小为
（未知）的匀强电场，
轴下方存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度大小为
（未知）、方向沿
轴正方向，磁场方向垂直纸面向里。一质量为
、带电荷量为
的小球从点
处沿
轴负方向以一定的速度水平抛出，恰好沿
轴负方向经过原点
点是
轴上的一点，
点到原点
的距离为
，从
点向下引一足够长、与
轴负方向的夹角
的绝缘光滑挡板，小球
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离开
点后恰好做圆周运动并垂直撞到挡板上，已知小球每次与挡板碰撞后垂直反弹，速率变为碰撞前的
，当小球运动到距
点最远时撤去电场
，同时使磁场反向而磁感应强度大小不变，重力加速度大小
为
，不计空气阻力。求：
（1）小球的初速度大小
；
（2）匀强电场的电场强度大小
的比值
；
（3）磁场反向后小球开始匀速运动时距
轴的距离
。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）线圈恰好沿
轴负方向经过原点，则小球沿E1负方向做匀减速直线运动的末速度为零，则
有
沿y 轴负方向有
联立可得
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则小球的初速度大小
（2）由题意可知有
可得
所以匀强电场的电场强度大小
的比值
（3）小球刚进入x 轴下方的速度为
则由几何关系可得第一个圆周运动的半径为
由
可得
则磁感应强度为
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则根据题意可知，小球之后做圆周运动的半径为
所以小球运动到
点的最远距离为
磁场反向后，小球先沿挡板做匀加速直线运动，加速度为
当
时，小球开始匀速运动可得
则小球沿挡板移动的距离为
小球到
轴的距离为
8.（2024·陕西省宝鸡市·二模）如图所示，在直角坐标系xoy 平面第一、二象限内有两个电场强度大小均为
E 的匀强电场Ⅰ和Ⅱ，两个电场的边界分别是边长为L 的正方形oabc 和oced，匀强电场Ⅰ的场强方向沿x 轴正
方向，匀强电场Ⅱ的场强方向沿y 轴正方向，第三象限内有垂直平面向外的匀强磁场，磁场边界线为半径
为L 的半圆，d 为圆心。在电场Ⅰ区域内适当位置由静止释放一个电子，电子经电场Ⅱ进入磁场区域，已知
电子质量为m，电量为e，重力忽略不计。
（1）要使电子恰能从d 点离开电场，求释放点坐标
满足的关系式：
（2）从第一象限内坐标为
的位置由静止释放电子，发现电子离开磁场时速度方向恰好沿x 轴
正方向。求磁感应强度B 的大小及电子在电场和磁场中运动的总时间t。
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【答案】（1）
；（2）
，
【解析】（1）电子在匀强电场Ⅰ内向左做匀加速运动，设电子射出匀强电场Ⅰ区域的末速度为
，由动能定
理可得
电子在匀强电场Ⅱ内做类平抛运动，由牛顿第二定律和运动学公式可得
，
，
解得
（2）电子释放的坐标
满足
，所以电子从d 点离开电场区域，设电子在d 点速度大小
为v，方向与x 轴夹角为
，水平分速度为
，竖直分速度为
，由题意可得
，
，
，
电子在磁场中做匀速圆周运动，离开磁场时速度方向沿x 轴正方向，在洛伦兹力作用下运动轨迹如图所示
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设圆周运动半径为r，由几何关系有
又有
解得
设电子在匀强电场Ⅰ和Ⅱ中运动时间为
和
，在磁场中运动的速度偏转角为
，运动时间为
，则有
，
又有
，
，
解得
9.（2024·陕西省长安区·高三第一次联考）如图所示。研究员在研究带电粒子的受控轨迹时。设置了以下场
景，空间中存在
平面直角坐标系。其第一象限内存在方向沿y 轴负向的匀强电场。电场强度为 E；第
四象限内有一条分界线ON 与x 轴正方向的夹角为：
在
轴与ON 间存在垂直纸面向外的匀强磁场。
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研究员将一带正电的粒子从y 轴上的距原点O 距离d 的P 点，以速度v0垂直y 轴打入电场，经电场偏转后
经
轴进入磁场，在磁场中运动一段时间后从ON 上以垂直于y 轴的速度方向射出。已知粒子的比荷为
，不计粒子重力。求：
（1）粒子从
轴打出点到原点的距离以及粒子过该点时的速度
大小；
（2）磁场的磁感应强度 B 的大小；
（3）若改变磁感应强度 B 的大小，使粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切再次打入电场。求粒子
第三次进入磁场时距离 O 点的距离
。
【答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【解析】（1）粒子在电场中有
经过
轴打出点时的速度大小
联立可得
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（2）粒子离开电场时与x 轴夹角
既
如图
根据几何关系可得
联立可得
由
可得
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（3）粒子第一次进入磁场后轨迹恰好与ON 相切，则粒子第一次在磁场中转过的圆心角为
，根
据几何关系
粒子在磁场中轨迹半径
第一次出磁场点在A 点左侧距离为
出磁场后，粒子在电场中做类斜抛运动，该过程，根据对称性，有
联立解得在第二次在电场中向右的位移大小为
根据类斜抛运动对称性，第二次进入磁场时速度方向仍与第一次进入磁场方向相同，故第二次出磁场时相
比较第二次进磁场时位置向左偏转
，然后第三次在电场中向右运动
后第三次进入磁场，故粒
子第三次进入磁场时距离 O 点的距离
10.（2024·陕西省榆林市·二模）如图所示，在
的空间中存在沿y 轴负方向的匀强电场；在
的空
间中存在方向垂直xOy 平面向外的匀强磁场。一电荷量为q、质量为m 的带正电的粒子，从y 轴上
处
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的
点沿x 轴正方向以速度v₀ 射入匀强电场，经过x 轴上
处的
点进入匀强磁场，垂直y 轴从
点
进入第三象限，不计粒子受到的重力。求：
（1）匀强电场的电场强度大小E；
（2）匀强磁场的磁感应强度大小B。
【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）粒子运动的轨迹如图所示
设粒子从
点运动到
点的时间为，粒子在电场中的加速度大小为a，有
解得
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（2）设粒子经过
点时的速度大小为
，方向与
轴正方向的夹角为
，粒子在磁场中做圆周运动的半径
为
，则有
解得
【考向二：先磁场后电场】
1．（2024·青海省海东市·二模）如图所示，平面直角坐标系xOy 的第一象限存在沿y 轴正方向的匀强电场，
第四象限存在垂直于平面向外、磁感应强度大小为B 的匀强磁场。一质量为m、带电荷量为-q 的粒子从y
轴上的P 点以速度
垂直y 轴射入磁场，从x 轴上的M 点射入第一象限，并垂直y 轴从N 点以
的速度射
出电场，不计粒子受到的重力。求：
（1）粒子在第四象限内运动的时间t；
（2）匀强电场
电场强度大小E。
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【答案】（1）
；（2）
【解析】（1）依题意，带电粒子在电场中的运动可以看作反方向的类平抛运动，分解M 点的实际速度，
如图
可得
解得
由几何关系可知，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心角为120°，轨迹如图
可知粒子在第四象限内运动的时间为
又
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解得
可得
联立，解得
（2）根据类平抛运动规律，可得
又
联立，解得
2．（2024·山西省怀仁一中·三模）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的
“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有两个宽度均为d 的平行区域Ⅰ和Ⅱ；Ⅰ区存在磁感应强度大小为
B、方向垂直竖直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区存在竖直方向的匀强电场。一束质量为m、电荷量为e 的质子
从O 点以入射角
射入Ⅰ区，在P 点以出射角
射出，实现“反射”；质子束从P 点以入射角
射入Ⅱ区，在
Ⅱ区中发生“折射”，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，初速度大小为
，不
计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电场分布的影响。
（1）若以任意角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求
的最大值；
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（2）若匀强电场方向竖直向下，场强大小
，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）；
（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P 点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
，方向向上
【解析】（1）根据题意可知粒子从右侧射出，临界情况为
根据牛顿第二定律有
解得
（2）根据动能定理有
解得
设折射角为
，水平方向为x 方向，竖直方向为y 方向，x 方向速度不变，有
解得
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（3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候y 方向速度为零，即
可得
即应满足
，方向向上
3．（2024·陕西汉中市汉台区·三模）如图所示，在坐标系
内有一个半径为
的圆形区域，圆心坐标
为
，圆内分布有正交的匀强磁场和匀强电场，磁场垂直纸面向里，电场大小方向未知。在直线
的上方和直线
的左侧区域内，有一沿
轴负方向的匀强电场，场强大小和圆形区域内的电场
相等。一质量为
、电荷量为
的粒子以速度
（未知）从
点沿
轴正方向垂直于磁场射入，
经过时间匀速通过圆形区域并从
点射出；若不改变初速度的大小和方向，仅撤去磁场，粒子飞出圆形
区域时间将变为
（不计粒子的重力，已知
）。
（1）求粒子的初速度
；
（2）求电场强度
和磁感应强度
的大小；
（3）若仅撤去圆形区域中的电场，让粒子以速度
从
点垂直磁场射入第四象限，且速度方向与
轴正
方向夹角
，求粒子从第一次射入磁场到最终离开磁场的时间
。
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【答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【解析】（1）粒子在电磁场中做匀速直线运动，所以
v0=
（2）撤去磁场后，带电粒子在电场中做类平抛运动
x=R，y=R
沿y 轴负方向
联立得
又因为该粒子在电磁场中做匀速直线运动时
联立可得
B
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（3）撤去电场后，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动
代入v0和B 得
r=R
由几何关系可知粒子从A 点沿y 轴正方向射出磁场，并从C 点进入上方电场，在电场中减速为零后反向加
速从C 点出电场时vC=2v0，又从A 点沿y 轴负向进入磁场做匀速圆周运动，刚好从Q 点射出磁场，在磁场
中运动的总时间
电场中运动的总时间
在AC 之间匀速运动的时间
则总时间为
【考向三：叠加场中的运动】
1．（2024·宁夏银川一中·三模）如图所示，空间某区域存在匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，磁
场方向垂直于纸面向外。已知在该区域内，一个带电小球在竖直面内做直线运动。下列说法正确的是（
）
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A. 若小球带正电荷，则小球的电势能减小
B. 若小球带负电荷，则小球的电势能减小
C. 无论小球带何种电荷，小球的重力势能都减小
D. 小球可能做加速直线运动
【答案】C
【解析】带电小球在重力场、电场、磁场的复合场中，只要做直线运动（速度与磁场不平行），一定是匀
速直线运动。若速度变化，洛仑兹力(方向垂直速度)会变化，合力就会变化；合力与速度就不在一直线上，
带电体就会做曲线运动。
A．小球受的重力竖直向下，若小球带正电荷，小球受的电场力水平向右，则洛仑兹力斜向左上方，三力
才能平衡；由左手定则可知，小球的速度向左下方，则电场力的方向与运动方向成钝角，电场力做负功，
小球的电势能增大，故A 错误；
B．小球受的重力竖直向下，若小球带负电荷，小球受的电场力水平向左，则洛仑兹力斜向右上方，三力
才能平衡；由左手定则可知，小球的速度向右下方，则电场力的方向与运动方向成钝角，电场力做负功，
小球的电势能增大，故B 错误；
C．由AB 项分析知，无论小球带何种电荷，小球竖直方向的分速度均向下，小球的重力势能减小，故C
正确；
D．小球做匀速直线运动，故D 错误。
故选C。
2．（2024·宁夏银川一中·三模）如图所示，水平虚线MN 的下方存在竖直向上的匀强电场
（
大小未
知），虚线上方有一以MN 上一点O 为圆心、R 为半径的半圆形区域，该区域中存在垂直纸面向里的匀强
磁场和水平方向的匀强电场E（E 大小未知，图中均未画出），磁场的磁感应强度大小为B，O 点正下方固
定一粒子源S，能源源不断地产生初速度为零的同种正粒子，经过一段时间粒子由O 点进入半圆区域，粒
子在半圆区域的轨迹为直线，在半圆区域内运动的时间为
，粒子的重力以及粒子间相互作用均忽略不计。
（1）求半圆区域内匀强电场
电场强度E 的大小；
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（2）若仅将半圆区域内的磁场撤去，结果粒子在半圆区域中运动的时间变为
，求粒子的比荷；
（3）若将半圆区域内
电场撤去，且将虚线MN 下方的电场强度
增大到原来的16 倍，求粒子在半圆形
区域运动的时间。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）带正电粒子经过O 点进入半圆形区域，并沿竖直半径方向做直线运动，所以粒子所受洛伦
兹力与电场力二力平衡，由左手定则可知粒子所受洛伦兹力方向水平向左，所以粒子所受电场力方向水平
向右，电场强度的方向水平向右，粒子在半圆形区域内匀速运动的时间为
，则速度为
根据平衡条件有
联立解得
（2）若仅将半圆形区域内的磁场撤去，粒子仍从S 处静止释放，粒子在半圆形区域内做类平抛运动，粒子
在垂直于MN 方向上做匀速直线运动，在平行于MN 方向上做初速度为零的匀加速直线运动，如图所示
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粒子运动到半圆形区域的a 点，垂直于MN 方向的位移大小为
由数学知识可得粒子在平行于MN 方向上的位移大小为
粒子在平行于MN 方向上做匀加速直线运，则有
由牛顿第二定律
联立解得粒子的比荷
（3）将虚线下方
电场强度
增大到原来的16 倍，粒子仍从S 处静止释放，由
可知粒子进入半圆形区域的速度为
粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
解得
令粒子从b 点射出半圆形区域，如图所示
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设粒子在半圆形区域内运动的圆心角为
，由余弦定理有
解得
粒子在磁场中圆周运动的周期
解得
粒子在半圆形区域内运动的时间
联立解得
3．（2024·山西省晋城市·三模）（多选）质谱仪是科学研究和工业生产中的重要工具。质谱仪的工作原理
示意图如图所示，粒子源S 从小孔
向下射出各种速度的氕核
、氘核
、氚核
及氦核
，粒子经小孔
进入速度选择器后，只有速度合适的粒子才能沿直线经过小孔
，并垂直进入磁
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感应强度大小为
的偏转磁场，感光底片PQ 上仅出现了A、B、C 三个光斑，光斑A 到小孔
的距离为
2d。已知速度选择器两板间存在垂直纸面向里、磁感应强度大小为
的匀强磁场，两板间距为d，板间电
压为U，下列说法正确的是（ ）
A. 极板M 带负电荷
B. 粒子在偏转磁场中的速度大小为
C. 氦核的比荷为
D. 相邻两光斑的距离均为
【答案】AB
【解析】A．根据左手定则可知，粒子在速度选择器中受到的洛伦兹力向右，则电场力向左，极板M 带负
电荷，故A 正确；
B．根据平衡条件有
解得
故B 正确；
C．粒子
偏转磁场中做圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有
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解得
显然光斑A 是氚核产生的，设氕核的质量为
、所带的电荷量为e，则氚核的比荷为
氦核的比荷为
故C 错误；
D．根据
可知光斑B 是氘核和氦核产生的，光斑C 是氕核产生的，B、C 两点将
三等分，则邻两光斑的距离均
为
，故D 错误。
故选AB。
4．（2024·山西省晋中市·二模）（多选）霍尔位置传感器可用于电机转速控制并能识别电机绕组的位置信
息。如图甲所示，两块永久磁铁同极性相对放置，将霍尔传感器置于中间，其磁感应强度为零，这个点可
作为位移的零点，当霍尔传感器在
轴上向上作微小
位移时，传感器有一个电压输出，电压大小与位
移大小成正比。如图乙所示，把该传感器接入电路，下列说法正确的是（ ）
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A. 如图乙中所示电流方向，若载流子为自由电子，则前表面电势比后表面高
B. 电流方向不改变，若载流子为正电荷时，则前表面电势比后表面高
C. 前后表面
电势差与霍尔传感器的长度
无关
D. 若更换磁性更强的磁铁，前后表面的电势差会减小
【答案】AC
【解析】A．当霍尔传感器在
轴上向上作微小
位移时，可知磁场方向向下，若载流子为自由电子，
根据左手定则可知，电子向后偏转，则霍尔元件前表面的电势高于后表面的电势，故A 正确；
B．若电流方向不改变，载流子为正电荷时，正电荷向后偏转，前表面电势低于后表面电势，故B 错误；
C．由
，
，
联立可得
故前后表面的电势差与霍尔传感器的长度
无关，故C 正确；
D．若增大磁场的磁感应强度
，由
可知前后表面的电势差会增大，故D 错误。
故选AC。
5．（2024·青海省西宁市·一模）沿海建设的核电站可用电磁泵推动氯化钠溶液在管道中运行来冷却反应堆。
如图为电磁泵的示意图，长方体导管的左右表面绝缘，将导管水平放置，让磁场方向与左右表面垂直。因
充满导管的氯化钠溶液中有正、负离子，将导管上、下表面和电源连接后，氯化钠溶液便会流动，速度方
向如图所示。则下列说法正确的是（ ）
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A. 若无磁场，则溶液中的负离子向上运动
B. 磁场方向从左表面指向右表面
C. 交换电源正负极，溶液流动方向不变
D. 磁场方向与导管上、下表面垂直时，溶液从左至右流动
【答案】B
【解析】AB．导管下表面电势高于上表面电势，若不存在磁场，则负离子向下运动，正离子向上运动，由
左手定则和图中溶液速度方向可知，磁场方向为从左表面指向右表面，故A 错误，B 正确；
C．由以上分析可知，交换电源正负极，溶液流动方向反向，故C 错误；
D．磁场方向垂直导管上下表面时，磁场方向与离子初始运动方向在条直线上，沿竖直方向，离子不受洛
伦兹力，溶液不会从左至右运动，故D 错误。
故选B。
6．（2024·陕西省西安市第一中学·二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，整个空间存在磁感应强度
大小B=1T、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，第二象限存在方向竖直向上、电场强度大小E=10N/C 的匀
强电场。足够长绝缘水平传送带左传动轮正上方恰好位于坐标原点O，传送带处于停转状态。一电荷量
q=+2C 的物块从P（
，12m）获得一初速度后，在第二象限做匀速圆周运动（轨迹为一段圆弧）恰
好从原点O 水平滑上传送带，沿传送带平稳滑行一段距离后停在传送带上。物块可视为质点，运动过程电
量保持不变，物块与传送带之间的动摩擦因数µ=0.5，物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加
速度g 取10m/s2。
（1）求物块从P 点获得的初速度；
（2）求物块从滑上传送带到摩擦力功率最大的过程中摩擦力做的功；
（3）若传送带逆时针匀速转动，物块从原点O 滑上传送带经历t=5.3s 后返回O 点且恰好与传送带共速，
求传送带逆时针转动的速度大小。
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【答案】（1）8m/s，方向与y 轴负方向成30°角；（2）-39J；（3）18.5m/s
【解析】（1）由于物块在第二象限P 点获得速度且做匀速圆周运动，所以
可得
连接PO，作PO 的中垂线交y 轴于O′，即O′为圆周运动的圆心，如图
根据几何关系有
可知小滑块做圆周运动的半径为
根据洛伦兹力提供向心力
可得小滑块从P 点获得的初速度为
方向与y 轴负方向成30°角；
（2）滑块滑上传送带后，受力分析有
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滑块在传送带上运动所受摩擦力
滑块在传送带上运动所受摩擦力的功率
联立解得
当
时，即
滑块在传送带上运动所受摩擦力的功率最大，根据动能定理
滑块从滑上传送带到摩擦力功率最大时摩擦力做的功为
（3）滑块从O 点进入后向右做减速运动，取时间微元
，根据动量定理
求和得
代入数据得
滑块向左做加速运动，取时间微元
，设传送带逆时针转动速度为
，根据动量定理
求和得
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代入数据得
又
联立解得
【考向四：不共面的运动】
1．（2024·山西省名校联考·三模）如图所示，长方体空间被平面MNPO 分成两个区域，两区域分布有磁感
应强度大小相等、方向相反且与z 轴平行的匀强磁场。一电子以某一速度从长方体左侧垂直Oyz 平面进入
并穿过两磁场区域，关于电子运动轨迹在下列坐标平面内的投影，可能正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由左手定则可以判断出电子在两磁场中的洛伦兹力方向，沿着
轴负方向看，电子在洛伦兹力的
作用下，在平面MNPO 的左侧区域，电子沿逆时针做圆周运动，在平面MNPO 的右侧区域，电子沿顺时
针做圆周运动，所以电子运动轨迹在
坐标平面内的投影如选项A 所示，在
平面内的投影应该是一
条平行于
轴的直线。
故选A。
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