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重难点11 带电粒子在磁场中的运动
考点
三年考情分析
2025 考向预测
洛伦兹力、洛伦兹力的方向
洛伦兹力公式
带电粒子在匀强磁场中的运动
仅在洛伦兹力作用下的运动
（2023·全国乙卷，5）
（1）考点预测：洛伦兹力作用下
的各种运动。
（2）考法预测：
【情境解读】
【高分技巧】
一、洛伦兹力的大小计算、方向判断
1．洛伦兹力与静电力的比较
洛伦兹力
静电力
产生条件
v≠0 且v 不与B 平行
(说明：运动电荷在磁场中不
一定受洛伦兹力作用)
电荷处在电场中
大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE
力方向与场方向的关系
F⊥B(且F⊥v)
F∥E
做功情况
任何情况下都不做功
可能做功，也可能不做功
2．洛伦兹力作用下带电体的运动
带电体做变速直线运动时，随着速度大小的变化，洛伦兹力的大小也会发生变化，与接触面间的弹力随着
变化(若接触面粗糙，摩擦力也跟着变化，从而加速度发生变化)，最后若弹力减小到0，带电体离开接触
面．
二、洛伦兹力作用下的临界问题
1
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1．动态放缩法
(1)适用条件：速度方向一定、大小不同
(2)特点：
①粒子源发射速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运
动的轨迹半径随速度大小的变化而变化。
②轨迹圆圆心共线
如图甲所示(图中只画出粒子带正电的情景)，速度v 越大，轨迹半径也越大，可以发现这些带电粒子射入
磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线CO 上。
(3)界定方法
以入射点O 为定点，圆心位于直线CO 上，将半径放缩并作出轨迹，从而探索出临界条件。
2．定圆旋转法
(1)适用条件：速度大小一定、方向不同
(2)特点：
①粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运
动的半径相同，若粒子入射初速度为v0，由qv0B＝得圆周运动半径R＝，半径R 不变。
②轨迹圆圆心共圆
如图乙所示(图中只画出粒子带正电的情景)，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O 为圆
心、半径R＝的圆(这个圆在下面的叙述中称为“轨迹圆心圆”)上。
(3)界定方法：
将半径为R＝的圆的圆心沿着“轨迹圆心圆”平移，从而探索出临界条件，这种方法称为“定圆旋转法”。
3．带电粒子的会聚
如图丙所示，大量的同种带正电的粒子，速度大小相同，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁
2
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场圆半径相等(R＝r)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B 点射出。
证明：四边形OAO′B 为菱形，必是平行四边形，对边平行，OB 必平行于AO′，可知从A 点入射的带电
粒子必然经过B 点。
4．带电粒子的发散
如图丁所示，有界圆形磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P 点有大量质量为m、电荷量为q 的带正电
粒子，以大小相等的速度v 沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与有界圆形
磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。
证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆形磁场圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行四边形，
O1A、O2B、O3C 均平行于PO，即出射速度方向相同。
三、洛伦兹力作用下的多解问题
1．带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确
定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)找出多解的原因．
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．
2．带电粒子在磁场中运动的多解问题成因
（1）．磁场方向不确定；
（2）带电粒子电性不确定；
（3）速度不确定；
（4）运动的周期性。
（建议用时：40 分钟）
【考向一：洛伦兹力的大小计算、方向判断】
1．（2024·陕西省商洛市·二模）（多选）如图所示，横截面为正方形abcd 的有界匀强磁场，磁场方向垂
直纸面向里。一束电子以大小不同、方向垂直ad 边界的速度从e 点射入该磁场，不计电子受到的重力及其
相互之间的作用力，对于从不同边界射出的电子，下列说法正确的是（ ）
3
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A. 从d 点离开的电子在磁场中运动的半径最大
B. 从ad 边离开的电子在磁场中运动的时间都相等
C. 从bc 边离开
电子速度越大，偏转角度越大
D. 从cd 边离开的电子速度越大，越靠近c 点
【答案】BD
【解析】A．电子在磁场中不同边界射出的轨迹如图
可知，从d 点离开的电子在磁场中运动的半径不是最大，故A 错误；
B．电子在磁场中运动的时间
由轨迹图可知，从ad 边离开的电子速度偏转角相等，所以运动时间相等，故B 正确；
CD．由
可得
可知速度越大半径越大，所以从cd 边离开的电子速度越大，越靠近c 点；从bc 边离开的电子速度越大，
4
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半径越大，设入射点到d 点的距离为x，则有
可知，电子速度越大，速度偏转角越小，故C 错误，D 正确。
故选BD。
2．（2024·青海省海南藏族自治州·二模）如图所示，空间存在范围足够大、垂直xOy 平面向里的匀强磁场
（图中未画出），一质量为m、带电荷量为-q 的带电粒子从坐标原点O 沿y 轴正方向以速度v0射出，带电
粒子恰好经过点
，不计粒子受到的重力及空气阻力。则匀强磁场的磁感应强度大小为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
根据洛伦兹力提供向心力有
结合几何关系
解得
故选A。
5
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3．（2024·山西省名校联考·二模）（多选）如图所示的装置能分离各种比荷的带电粒子，三个初速度均为
零的带电粒子1、2、3 经电压为U 的电场加速后，从顶点A 沿AD 方向进入一个边长为a 的正六边形区域
内，正六边形区域内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，已知粒子1 刚好从顶点F
射出，粒子2 刚好从顶点E 射出，粒子3 刚好垂直ED 从G 点（未画出）射出，粒子重力不计，则下列说
法正确的是（ ）
A. 粒子1、2、3 的比荷之比为
B. G 点到E 点的距离为
C. 将磁感应强度减半，粒子1 在磁场中的运动时间不变
D. 将磁感应强度减半，粒子2 会从G 点射出
【答案】BD
【解析】A．设粒子质量为m，带电荷量为q，在加速电场中，根据动能定理
在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力
解得
粒子1、2、3 的运动轨迹如图所示
6
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由几何关系知
，
，
解得
由
可得
故
故A 错误；
B．由几何关系知
G 点到E 点的距离为
故B 正确；
CD．将磁感应强度减半，三个粒子在磁场的运动半径都加倍，粒子1 从EF 之间射出，在磁场中达动的时
7
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间变长，粒子2 从G 点射出，C 错误，D 正确。
故选BD。
4．（2024·山西省名校联考·一模）（多选）如图所示，空间有垂直于坐标系xOy 平面向外的匀强磁场。
时，带电粒子
从
点沿
轴负方向射出；
时刻，
与静置于
轴上
点的靶粒子
发生正碰，碰
后a、b 结合成粒子
，
时刻，
第一次沿
轴负方向通过
轴上的
点。已知
，不考虑粒子
间静电力的作用，忽略碰撞时间，则（ ）
A.
粒子带负电
B.
和
的电荷量之比为1：2
C.
和
的速率之比为5：2
D.
和
的质量之比为1：4
【答案】AD
【解析】C．设
，
碰撞前后做圆周运动时间为
联立解得
故C 错误；
D．
发生碰撞，根据动量守恒得
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解得
故D 正确；
AB．
粒子做匀速圆周运动，则
粒子做匀速圆周运动
解得
根据左手定则，可知粒子
带正电，则粒子
带负电，粒子
带正电，
和
的电荷量之比为
故A 正确，B 错误。
故选AD。
5．（2024·山西省太原市·一模）（多选）如图所示，圆形区域内存在垂直纸面方向的匀强磁场，
为圆心，
和
为圆的两条直径，
。质量为
、电荷量为
的带电粒子1 沿
方向从A 点射
入。质量为
、电荷量为
的带电粒子2 从
点射入，两粒子入射速度相同且都从
点飞离磁场，不考
虑两带电粒子的重力及相互作用力。下列说法正确的是（ ）
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A. 粒子1 与粒子2 的比荷之比为
B. 粒子1 与粒子2 的出射方向夹角为
C. 粒子1 与粒子2 的运动半径之比为
D. 粒子1 与粒子2 在磁场内运动的时间之比为
【答案】AB
【解析】如图所示，做出两粒子的运动轨迹，设粒子1 做圆周运动的圆心为
，半径为
，设粒子2 做圆
周运动的圆心为
，半径为
，圆心磁场的半径为
。
C．由几何关系可知
得
得
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粒子1 与粒子2 的运动半径之比
故C 错误；
A．由洛伦兹力提供向心力
得粒子1 与粒子2 的比荷之比
故A 正确；
B．粒子1 出射速度反向延长线过磁场区域圆的圆心，粒子2 出射速度方向与
夹角为
，由几何关
系可知粒子1 与粒子2 的出射方向夹角为
，故B 正确；
D．粒子1 与粒子2 在磁场内运动的周期分别为
，
得
由图可知粒子1 在磁场中做圆周运动对应的圆心角
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由图可知粒子2 在磁场中做圆周运动对应的圆心角
粒子1、粒子2 在磁场内运动的时间
，
粒子1 与粒子2 在磁场内运动的时间之比
故D 错误。
故选AB。
6．（2024·山西省太原市·三模）（多选）发现正电子的实验装置如下图所示，利用垂直放在匀强磁场中的
云室来记录宇宙线粒子，在云室中加入一块厚
的铅板，借以减慢粒子的速度。当宇宙线粒子通过云
室内的磁场时，拍下粒子径迹的照片。若不考虑粒子的重力，下列选项正确的是（ ）
A. 图中的粒子是由铅板上方向下方运动的
B. 粒子穿过铅板后，其对应物质波的波长变小
C. 若照片为正电子径迹，磁场的方向垂直纸面向内
D. 在图中加入匀强电场，粒子穿出铅板前后均可沿直线运动
【答案】AC
【解析】A．粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
整理有
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由于正电子穿过铅板后，其速度变小，即轨迹半径变小，结合题图可知，正电子是由上方向下方运动的，
故A 项正确；
B．根据
由于穿过铅板后速度减小，粒子的质量不变，所以粒子的动量减小，结合分析可知，粒子的波长变大，故
B 项错误；
C．若该轨迹为正电子的轨迹，其粒子带正电，由上向下运动，根据左手定则可知，其磁场方向垂直纸面
向内，故C 项正确；
D．加入电场后，若要进入铅板前做匀速直线运动，有
由于穿过铅板后速度减小，则粒子受到的洛伦兹力减小，即合力不为零，所以粒子在穿出铅板后期不能做
匀速直线运动，故D 项错误。
故选AC。
7．（2024·陕西省·二模）（多选）如图所示，水平虚线MN 下侧存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强
度B 的大小可以改变，ST 为接收屏，T 点位于磁场的边界，
。在S 点有一粒子发射源，发射
的粒子速度方向垂直MN，速度大小为
，发射的粒子经过一段时间均能达到接收屏上，已知粒子的比荷
为k，发射源到MN 的距离为d，忽略粒子间的相互作用以及重力。则下列说法正确的是（ ）
A. 粒子带正电
B. B 可能为
C. 当B 最小时，粒子到接收屏的点到T 点的间距为
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D. 粒子从发射到被接收，粒子的运动时间均为
【答案】BC
【解析】A．发射的粒子经过一段时间均能达到接收屏上，根据左手定则，粒子带负电，故A 错误；
B．当运动轨迹与MN 相切时，B 最小，此时轨道半径r=d，根据
又
联立得
则B 可能为
，故B 正确；
C．如图
根据题意
则
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∆ABS 为等边三角形
则
故C 正确；
D．周期
根据几何关系
粒子从发射到被接收，粒子的运动时间均为
磁感应强度B 的大小可以改变，粒子从发射到被接收，粒子的运动时间不是都为
，故D 错误。
故选BC。
8．（2024·陕西省渭南市·一模）分别带正、负电荷的A、B 两个粒子，以相等速率从匀强磁场的直线边界
上的M、N 点分别以60°和30°（与边界的夹角）入射方向射入磁场，又从M、N 两点之间的P 点射出，已
知MP 与PN 长度之比为
：2，如图所示。设边界上方的磁场范围足够大，不计两带电粒子相互作用，
则A、B 两粒子的比荷之比为（ ）
A. 2：1
B. 3：2
C. 2：3
D. 1：2
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【答案】A
【解析】依题意，两粒子在磁场中均做匀速圆周运动，部分轨迹如图
由几何关系可得
又
根据两粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力可得
联立，解得
则A、B 两粒子的比荷之比为2:1。
故选A。
9．（2024·陕西省教育联盟·一模）如图所示，在半径为R 的圆形区域内有垂直于xOy 平面向外的匀强磁场
Ⅰ，磁感应强度大小为B，圆心
的坐标为（
，
），在第三象限内
和y 轴之间，有沿y 轴负方
向的匀强电场，在第四象限内有垂直于坐标平面向外的匀强磁场Ⅱ，一个质量为m、电荷量为q 的带正电
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粒子从
（
，
）点以一定的初速度沿x 轴正向射入磁场Ⅰ，粒子在磁场Ⅰ中的速度方向偏转了60°角后
进入磁场Ⅱ，经磁场Ⅱ偏转，沿与y 轴正向成60°角的方向进入电场，此后，粒子在电场中的轨迹刚好与x
轴相切，不计粒子重力，求：
（1）粒子从P 点射入磁场时的初速度大小；
（2）磁场Ⅱ的磁感应强度大小；
（3）粒子出电场的位置到x 轴的距离。
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【小问1 详解】
粒子的运动轨迹如图所示
粒子在磁场Ⅰ中，由洛伦兹力提供向心力得
根据几何知识有
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联立解得
【小问2 详解】
粒子在磁场Ⅱ中，由洛伦兹力提供向心力得
根据几何知识有
联立解得
【小问3 详解】
设粒子从
轴进入电场的位置坐标为（
，
），根据几何关系可得
根据题意有
解得
粒子从进入电场到运动到
轴所用的时间为
，则有
解得
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粒子在电场中
运动时间为
则粒子出电场的位置离
轴的距离为
【考向二：洛伦兹力作用下的临界问题】
1．（2024·宁夏中卫市·一模）（多选）如图所示，磁感应强度为B 的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚
线为磁场的部分边界，其中
段是半径为R 的四分之一圆弧，
、
的延长线通过圆弧的圆心，
长
为R．一束质量为m、电荷量大小为q 的粒子流，在纸面内以不同的速率从O 点垂直
射入磁场，已知所
有粒子均从圆弧边界射出，其中M、N 是圆弧边界上的两点。不计粒子的重力及它们之间的相互作用。则
下列说法中正确的是（ ）
A. 粒子带负电
B. 从M 点射出粒子的速率一定小于从N 点射出粒子的速率
C. 从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定小于从N 点射出粒子所用时间
D. 在磁场中运动时间最短的粒子用时为
【答案】BD
【解析】ABC．由题意，画出从M、N 两点射出的粒子轨迹图，如图所示，由此可知，粒子带正电；粒子
在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力。可得
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解得
由图可知，从M 点射出粒子的轨迹半径小于从N 点射出粒子轨迹半径，则有从M 点射出粒子的速率一定
小于从N 点射出粒子的速率；由图可知，从M 点射出粒子的轨迹所对圆心角大于从N 点射出粒子轨迹所对
圆心角，由
可知，从M 点射出粒子在磁场中运动时间一定大于从N 点射出粒子所用时间，AC 错误，B 正确；
D．由几何知识可知，当粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心恰好在b 点时，粒子在磁场中运动的圆弧所
对的圆心角最小，此时粒子的运动半径r=R，由几何关系可求得此时圆弧所对圆心角θ=120°，所以粒子在
磁场中运动的最短时间是
D 正确。
故选BD。
2．（2024·青海省百所名校·二模）如图所示，在半径为R、圆心为O
半圆形区域内存在垂直纸面向里、
磁感应强度大小为B 的匀强磁场，带电荷量为
、质量为m 的粒子（不计所受重力）从O 点沿纸面各个
方向射入匀强磁场后，均从OC 段射出磁场，下列说法正确的是（ ）
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A. 粒子射入磁场时的最大速度为
B. 粒子射入磁场时的最大速度为
C. 粒子在磁场中运动的最长时间为
D. 粒子在磁场中运动的最长时间为
【答案】B
【解析】如图所示
当离子轨迹与半圆形边界相切时，离子轨迹半径最大，则有
由洛伦兹力提供向心力可得
可得粒子射入磁场时的最大速度为
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粒子在磁场中运动的最长时间为
故选B。
3．（2024·山西省晋城市·一模）大型强子对撞机是将质子加速后对撞的高能物理设备，如图甲所示，对撞
机的主要结构由两个质子束发射器、两个半圆环轨道质子加速器和质子对撞区域组成。半圆环轨道中的电
场线是与圆环共圆心的同心圆弧，且到圆心距离相同的位置电场强度大小相等，质子沿圆环轨道中心进入
半圆环轨道后，在磁束缚装置作用下沿圆环中心加速运动，最终在对撞区域碰撞。已知质子质量
m=1.6×10-27kg、电荷量e=1.6×10-19C，半圆环加速轨道中心处到圆心距离R=50m，该处电场强度的大小E=
×105V/m。发射器发射出的质子初速度忽略不计。计算时取
=10，不考虑质子质量的相对论效应。若
某次实验时将右侧加速器和发射器往上平移d=0.2m，平移后对撞区域如图乙所示，质子进入对撞区域时的
位置的水平距离D=0.4m，入射点分别为A 点和B 点，其他装置不变，为了使质子在对撞区域恰好相撞，
可以在对撞区域内加一个垂直纸面向里的匀强磁场。不计质子受到的重力，取sin37°=0.6，cos37°=0.8，下
列说法正确的是（ ）
A. 质子在所加磁场中运动的半径为0.5m
B. 所加匀强磁场的磁感应强度大小为8T
C. 两质子在对撞区域的磁场中各运动，
s 时相撞
D. 若所加匀强磁场为两个直径相同、垂直纸面向里的匀强磁场，则每个圆形磁场的最小面积为
m2
【答案】C
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【解析】A．根据动能定理，电场力做的功等于动能的变化量，有
解得
=1×108m/s
根据题意作出粒子的轨迹如图所示，根据几何关系有
解得
r=0.25m
故A 错误；
B．根据洛伦兹力提供向心力有
解得
B=4T
故B 错误；
C．每个质子在磁场中运动的时间
s
故C 正确；
D．所加圆形磁场的直径为2R'，满足
解得
m
圆形磁场的最小面积
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m2
故D 错误。
4．（2024·山西省太原五中·一模）（多选）如图，直角三角形OAC 区域内有垂直于纸面向外、磁感应强
度大小未知的匀强磁场，∠A=30°、OC 边长为L，在C 点有放射源S，可以向磁场内各个方向发射速率为
v0的同种带正电的粒子，粒子的比荷为K。S 发射的粒子有
可以穿过OA 边界，OA 含在边界以内，不计
重力、及粒子之间的相互影响。则（ ）
A. 磁感应强度大小
B. 磁感应强度大小
C. OA 上粒子出射区域长度为L
D. OA 上粒子出射区域长度为
【答案】BC
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【解析】S 发射的粒子有
可以穿过OA 边界，根据左手定则可知，当入射角与OC 夹角为30°的粒子刚
好从O 点射出，根据几何关系可知，粒子运动半径为
根据洛伦兹力提供向心力，则有
解得
则沿CA 方向入射粒子运动最远，半径为L，从OA 上射出，故OA 上粒子出射区域长度为L。
故选BC。
5．（2024·陕西安康·三模）如图所示为空心圆柱形磁场的截面图，O 点为圆心，半径为R 内圆与半径为
3R 外圆之间存在垂直纸面向里的匀强磁场，A 为外圆上一点。一粒子源s 可持续发射出大小均为v、质量
为m，电荷量为q 的粒子，不计粒子重力，以下说法正确的是（ ）
A. 若粒子源放置在O 点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为
B. 若粒子源放置在O 点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，则磁感应强度最小值为
C. 若粒子源放置A 点且沿
连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为
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D. 若粒子源放置A 点且沿
连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，则磁感应强度的最小值为
【答案】C
【解析】AB．若粒子源放置在O 点向各个方向均匀发射粒子，且所有粒子均不从外圆射出，轨迹最大半
径如图所示
根据几何关系有
解得
根据洛伦兹力提供向心力
磁感应强度最小值为
故AB 错误；
CD．若粒子源放置A 点且沿
连线发射粒子，为使粒子不进入内圆，轨迹最大半径如图所示
根据几何关系有
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解得
根据洛伦兹力提供向心力
磁感应强度最小值为
故C 正确，D 错误。
故选C。
6．（2024·陕西省汉中市·二模）（多选）如图所示，M、N 是真空中宽为d 的匀强磁场的左右边界（边界
上有磁场），磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。大量比荷为k 的正离子从M 边界上的P 点以速率
进入磁场，速度方向分布在
的范围内，不计离子重力，也不计离子间的相互作用，磁场区域
足够长。则（ ）
A. 从边界N 飞出磁场
离子，飞出点与P 点距离小于或等于
B. 从边界N 飞出磁场的离子中，在磁场中运动的最短时间为
C. 磁场中有离子经过的区域的面积为
D. 若将M、N 边界间的距离变为3d，其它条件不变，则从P 点沿不同方向射入磁场的离子有可能从M 边
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界上同一点射出磁场
【答案】ACD
【解析】A．根据洛伦兹力提供向心力
解得正离子运动半径为
根据几何关系可知水平向右入射的离子在N 边界的切点与竖直向下入射的离子在N 边界的飞出点离Р 点的
距离均为
，故飞出点与P 点距离小于或等于
，故A 正确；
B．轨迹弦长为d 的离子是从N 边界飞出的离子中弦长最短，离子运动轨迹圆心角最小，为
，在磁场中
运动的最短时间为
故B 错误；
C．有离子经过的磁场区域为半径为d 的两个四分之一圆和边长为d 的正方形组合而成，磁场中有离子经
过的区域的面积为
故C 正确；
D．若将M、N 边界间的距离变为3d，则所有离子都从M 边界上射出磁场，且初速度方向从竖直向下到竖
直向上变化的过程中，根据旋转圆知识知，离子从M 边界上射出的位置从P 点依次向上增大到距离为2d
的位置再依次向下减小到P 点，故从P 点沿不同方向射入磁场的离子有可能从M 边界上同一点射出磁场，
故D 正确。
故选ACD。
7．（2024·陕西省西安市长安区·二模）（多选）如图所示的直角三角形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁
场（图中未画出），磁感应强度的大小为B，边界Ⅰ、Ⅱ的长度分别为
、L；大量均匀分布的带电粒
子由边界Ⅰ的左侧沿平行边界Ⅱ的方向垂直射入磁场，粒子的速率均相等，已知从边界Ⅰ离开磁场的带电
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粒子占总数的
，带电粒子的质量为m、所带电荷量为＋q，忽略带电粒子之间的相互作用以及粒子的重
力。下列说法正确的是（ ）
A. 带电粒子射入磁场后沿顺时针方向做匀速圆周运动
B. 带电粒子在磁场中运动的最长时间为
C. 刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中运动的时间为
D. 带电粒子的初速度大小为
【答案】BD
【解析】A．由左手定则可知，带电粒子射入磁场的瞬间，带电粒子受向上的磁场力作用，则带电粒子在
磁场中沿逆时针方向做圆周运动，A 错误；
B．带电粒子在磁场中运动的周期为
，带电粒子在磁场中转过半个圆周时，运动时间最长，则带
电粒子在磁场中运动的最长时间为
B 正确；
D．作出带电粒子刚好不从边界Ⅲ离开磁场的轨迹，如图所示
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由于从边界Ⅰ离开磁场的带电粒子占总粒子的
，则图中的a、b、c 为边界Ⅰ的四等分点，由几何关系可
知，三角形区域的顶角为
，a 点到顶点的距离为
，根据几何关系可得
解得粒子轨迹半径
根据牛顿第二定律得
解得
D 正确；
D．由图可知，刚好从边界Ⅲ离开的带电粒子在磁场中偏转的角度大小为
，则该粒子在磁场中运动的
时间为
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C 错误。
故选BD。
8．（2024·陕西省渭南市临渭区·二模）如图所示，在第二象限内有一抛物线的边界
，其方程为
，在抛物线的上方存在一竖直向下的匀强电场．在抛物线
每个位置上连续发射质
量为m，电荷量为
的粒子，粒子均以大小为
的初速度水平向右射入电场，所有粒子均能到达原点
O，第四象限内有一边长为l，其中两条边分别与x 轴，y 轴重合的正方形边界，边界内存在垂直于纸面向
外，磁感应强度大小为
的匀强磁场，
为与x 轴平行的可上下移动的荧光屏，初始位置与磁场的
下边界重合，不计粒子重力及粒子间的相互作用力，粒子打到荧光屏上即被吸收。
（1）求电场强度的大小E；
（2）求从
处进入的粒子在磁场中运动的时间；
（3）若将荧光屏缓慢向上移动，求在向上移动的过程中屏上的最大发光长度。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）在电场中，根据牛顿第二定律有
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粒子在电场中做类平抛运动，则在水平方向有
竖直方向有
其中
解得
（2）设粒子进入磁场的速度为v，与y 轴的夹角为
，根据牛顿第二定律有
根据几何关系可知粒子从y 轴离开磁场时与O 点的距离为
又
解得
即到达O 点的粒子经过磁场偏转后都从
点离开磁场，则有
则粒子在磁场中运动的时间为
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（3）因为从O 点发射进入磁场的粒子速度最小，为
，运动半径为
从
处发射的粒子进入磁场的速度最大，其在沿y 轴方向的速度大小为
则
将荧光屏缓慢向上移动的过程中，荧光屏发光的最大长度如图所示
由几何知识可知发光的最大长度为
9．（2024·陕西省·一模）如图甲所示为某科研团队设计的粒子偏转装置示意图，粒子源可以均匀连续的产
生质量为m，电荷量为q 的正粒子，其比荷
，初速度可忽略不计。带电粒子经电压
的加速电场加速后，贴近上板边缘，水平飞入两平行金属板中的偏转电场。两水平金属板间距
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为
，板长为
，板间加有图乙所示的周期性变化的电压，其最大电压也为U、最小电压为
，周期远大于粒子在偏转电场中运动的时间（忽略粒子穿越偏转电场时电压的变化），下极板右端正下
方紧挨金属板竖直放置长度为d 的探测板。若带电粒子能由偏转电场飞出，则飞出后立即进入平行板右侧
的垂直纸面向外的水平匀强磁场，最后经匀强磁场偏转后打在探测板上；若不能飞出偏转电场，则被金属
板吸收并导走。不计带电粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：
（1）从偏转电场出射
粒子通过偏转电场的时间t；
（2）一个周期T 内，从偏转电场出射的粒子数占粒子源全部发射粒子数的百分比
；
（3）从偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板时，磁感应强度B 需要满足的条件。
【答案】（1）
；（2）
；（3）
【解析】（1）在加速电场中，根据动能定理得
解得进入偏转电场的初速度为
粒子在偏转电场中的运动，如下图所示
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·
穿过偏转电场时，水平方向做匀速直线运动，有
解得从偏转电场出射的粒子通过偏转电场的时间为
（2）粒子恰好从下极板右端飞出，根据类平抛运动的规律，有
解得
所以一个周期T 内，从偏转电场出射的粒子数占粒子源全部发射粒子数的百分比为
（3）设粒子飞入磁场时的速度为v，在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，有
设粒子飞入磁场时，其速度与水平方向的夹角为θ，则有
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设粒子进入磁场后，y 方向偏移的位移为
，由几何关系可知
解得
与速度v 无关。设粒子在偏转电场中的最小偏移量为
，则有
若偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板，需满足
解得
即
因此从偏转电场出射的粒子全部能够到达探测板时，磁感应强度B 需要满足的条件为
【考向三：洛伦兹力作用下的多解问题】
1．（2024·宁夏银川一中·三模）（多选）如图所示，边长为L 的等边三角形区域ACD 内、外的匀强磁场
的磁感应强度大小均为B、方向分别垂直纸面向里、向外。三角形顶点A 处有一质子源，能沿
的角平
分线发射速度大小不等、方向相同的质子（质子重力不计、质子间的相互作用可忽略），所有质子均能通
过D 点，已知质子的比荷
，则质子的速度可能为（ ）
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A.
B.
C.
D.
【答案】AC
【解析】因质子带正电，且经过D 点，其可能的轨迹如图所示
所有圆弧所对圆心角均为
，质子可能的运动半径
（
，
，
）
由洛伦兹力提供向心力得
联立可得
（
，
，
）
故选AC。
2．（2024·青海省协作联考·一模）（多选）如图甲所示，
、
为竖直放置且彼此平行的两块不带电平
板，板间距离为
，两板中央各有一个小孔
、
正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强
度随时间的变化如图乙所示，取垂直纸面向里的磁场方向为正方向。有一正离子（受到的重力不计）在
时垂直于
板从小孔
射入磁场，且正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周
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期都为
，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响。要使正离子从
孔垂直于
板射出磁场，正离子
射入磁场时的速度大小
的可能值为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BD
【解析】要使正离子从O′孔垂直于N 板射出磁场，v0的方向应如图所示
结合粒子运动的方向可知，当运动的轨迹是多个周期，所以
t=nT0（n=1.2.3…）
其中
且
（n=1.2.3…）
联立上式可得，正离子的速度
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（n=1.2.3…）
故选BD。
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