专题 02 平面向量
（三大考点，83 题）
考点分类 五年考情（2017-2026） 命题规律
1. 题型以选择题为主，整体难度偏
2020山东卷、2020海南卷、2018
低。2. 依托三角形、平行四边形等几
考点01 平面向量
全国Ⅰ卷、2017北京卷、2017全 何图形，考查向量加减、数乘的线性分
的线性运算
国Ⅱ卷 解。3. 结合向量共线、反向等性质，
综合考查充分、必要条件判断。
2026全国一卷、2026上海卷、
2026天津卷、2025全国一卷、 1. 选择题、填空题均有考查，填空题
2025上海卷、2024上海卷、2024 多为求值、求解参数范围类题型。
考点02 平面向量 天津卷、2023天津卷、2023上海 2. 核心考查平面向量基本定理、向量
的基本定理及坐标 坐标运算、向量共线的坐标判定。
卷、2022新高考全国Ⅰ卷、2022
表示 3. 常结合三角形、正方形以及实际生
天津卷、2021全国乙卷、2018全
活情境命题，兼顾参数求解与几何最值
国Ⅲ卷、2017山东卷、2017江苏 问题，题型灵活。
卷
2026全国二卷、2026上海卷、
2025北京卷、2025天津卷、2025
全国二卷、2025上海卷、2024新
课标Ⅰ卷、2024新课标Ⅱ卷、
2024全国甲卷、2024北京卷、
2023北京卷、2023全国甲卷、
2023全国乙卷、2023新课标Ⅰ
卷、2023新课标Ⅱ卷、2022新高 1. 本专题考查题量最大，选择题、填
考全国Ⅱ卷、2022全国甲卷、 空题为主要题型，是平面向量的核心重
2022全国乙卷、2022北京卷、 难点。
2. 重点考查数量积运算、向量模长、
考点03 平面向量 2022上海卷、2021新高考全国Ⅰ
夹角、垂直判定以及向量投影计算。
的数量积 卷、2021新高考全国Ⅱ卷、2021
3. 常结合三角形、多边形、平面动点
浙江卷、2021天津卷、2021北京
考查取值范围与最值，也会融合常用逻
卷、2021全国甲卷、2021全国乙 辑用语命题，综合性较强，区分度明
卷、2020山东卷、2020全国Ⅰ 显。
卷、2020全国Ⅱ卷、2020全国Ⅲ
卷、2020北京卷、2020浙江卷、
2019全国Ⅰ卷、2019全国Ⅱ卷、
2019全国Ⅲ卷、2019北京卷、
2019天津卷、2019上海卷、2018
全国Ⅱ卷、2018浙江卷、2018天
津卷、2018北京卷、2017全国Ⅰ卷、2017全国Ⅱ卷、2017全国Ⅲ
卷、2017浙江卷、2017天津卷、
2017山东卷、2017北京卷
考点01 平面向量的线性运算
1. （2020·山东·高考真题）已知平行四边形 ，点 ， 分别是 ， 的中点（如图所示），设
， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结 ，则 为 的中位线，
，
故选：A
2. （2020·海南·高考真题）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
3. （2018·全国I卷·高考真题）在△ 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 ，之后应用向
量的加法运算法则-------三角形法则，得到 ，之后将其合并，得到 ，下一
步应用相反向量，求得 ，从而求得结果.
【详解】根据向量的运算法则，可得
，
所以 ，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加
法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.
4. （2017·北京·高考真题）设m,n为非零向量，则“存在负数 ，使得 ”是“ ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】试题分析：若 ，使 ，则两向量 反向，夹角是 ，那么
；若 ，那么两向量的夹角为 ，并不一定反向，即不一定
存在负数 ，使得 ，所以是充分而不必要条件，故选A.
【名师点睛】判断充分必要条件的方法：（1）根据定义，若 ，那么 是 的充分不必要条件，
同时 是 的必要不充分条件；若 ，那么 ， 互为充要条件；若 ，那么就是既不充
分也不必要条件.（2）当命题是以集合形式给出时，那就看包含关系，已知
,若 ，那么 是 的充分不必要条件，同时 是 的必要不充分条件；若 ，那么 ，
互为充要条件；若没有包含关系，那么就是既不充分也不必要条件.（3）命题的等价性，根据互为逆否命
题的两个命题等价，将 是 条件的判断，转化为 是 条件的判断.
5. （2017·全国II卷·高考真题）设非零向量 ， 满足 ，则
A． ⊥ B．
C． ∥ D．
【答案】A
【详解】由 平方得 ，即 ，则 ，故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的数量积表示，属于基础题.
考点02 平面向量的基本定理及坐标表示1. （2026·全国一卷·高考真题）已知平面向量 ， 不共线，且 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】由平面向量基本定理可得.
【详解】由题意可知平面向量 不共线，且 ，
则 .
2. （2026·上海·高考真题）已知 ， ，若 ，则 ____________.
【答案】2
【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，解得 .
故答案为：2.
3. （2026·天津·高考真题）已知 ， ，记 ．当 时， __________，
当 时， 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】第一空：利用 和 得出 和 的值，即可得出结论；
第二空：解法一：将 代入 得 ，展开，令 ， ，
，代入并整理，得出 ，即可求出 的取值范围.
解法二：设 ， ， ，根据 可设 ，进而可得
，即可得取值范围.
解法三：不妨设 ， ， ， ， ，可知点 在直线上，且点 在以 为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可.
【详解】由题意，
， ， ，
第一空：
当 时， ，
∴ ，
∴ .
第二空：
解法一：将 代入 得 ，
两边平方，得： ，
展开： ，
代入 ， ，记 ，
，
令 ， ， ，
则原式变为： ，
配方得： ，
由于 ， ，因此 ，
即 ，解得 ，
，
因此， 的取值范围为： .解法二：因为 ， ，
不妨设 ， ， ，则 ， ，
若 ，设 ，
则 .
解法三：因为 ， ，
不妨设 ， ， ，即点 在直线 上，
且 ， ，
因为 ，
若 ，可知点 在直线 上，（或直接由三点共线的结论可得出），
若 ，即 ，可知点 在以 为圆心，半径为1的圆上，
则圆 在直线 和 之间，可得 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
4. （2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度
代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数 名称 风速大小（单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图 写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图 得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为： ，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向相反，
设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，
∴ ，船行风速： ，
∴ ，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.5. （2025·上海·高考真题）已知 ，若 ，则 __________．
【答案】 /
【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】由 得 ，解得 .
故答案为： .
6. （2024·上海·高考真题）已知 ，且 ，则 的值为______．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ， ，解得 ．
故答案为：15
7. （2024·天津·高考真题）已知正方形 的边长为1， 若 ，其中 为实
数，则 ______；设 是线段 上的动点， 为线段 的中点，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】解法一：以 为基底向量，根据向量的线性运算求 ，即可得 ，设 ，求
，结合数量积的运算律求 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求 ，即
可得 ，设 ，求 ，结合数量积的坐标运算求 的最小值.
【详解】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，
且 为 中点，则 ，
可得 ，则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
8. （2023·天津·高考真题）在 中， ， ，记 ，
用 表示 _________；若 ，则 的最大值为_________．
【答案】
【分析】空1：根据向量的线性运算，结合 为 的中点进行求解；空2：用 表示出 ，结合上一
空答案，于是 可由 表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解.
【详解】空1：因为 为 的中点，则 ，可得 ，
两式相加，可得到 ，
即 ，则 ；
空2：因为 ，则 ，可得 ，
得到 ，
即 ，即 .
于是 .
记 ，则 ，
在 中，根据余弦定理： ，
于是 ，
由 和基本不等式， ，
故 ，当且仅当 取得等号，
则 时， 有最大值 .
故答案为： ； .
9. （2023·上海·高考真题）已知向量 ，则 _______________．
【答案】
【分析】由平面向量的减法的坐标运算即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
故答案为：
10. （2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
11. （2021·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 _________．
【答案】
【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于 的方程，解方程即可求得实数 的值.
【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得： ，
解方程可得： .
故答案为： .
12. （2022·天津·高考真题）在 中，点D为AC的中点，点E满足 .记 ，用
表示 ___________，若 ，则 的最大值为____________
【答案】
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出 ，由
可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可得点 的轨迹
为以 为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据几何性质可知，当且仅当
与 相切时， 最大，即求出．
【详解】方法一：，
，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，
，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．
13. （2018·全国III卷·高考真题）已知向量 ， ， ．若 ，则________．
【答案】
【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可．
【详解】由题可得
,即
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．
14. （2017·山东·高考真题）已知向量a=（2,6）,b= ,若a∥b,则 ____________.
【答案】-3
【详解】由 可得
【名师点睛】平面向量共线的坐标表示问题的常见类型及解题策略：
(1)利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,利用“若a＝(x,y),b＝(x,y),则
1 1 2 2
的充要条件是xy＝xy”解题比较方便．
1 2 2 1
(2)利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为
λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．
(3)三点共线问题．A,B,C三点共线等价于 与 共线.
15. （2017·江苏·高考真题）如图，在同一个平面内，向量 的模分别为 与 的夹角
为 ，且 与 的夹角为 ，若 ，则 _________．【答案】
【详解】以 为 轴，建立直角坐标系，则 ，由 的模为 与 与 的夹角为 ，且
知， ，可得 ， ，由
可得 ， ，故答案为 .
【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．
向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）
平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，
箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最
值问题时用起来更方便．
考点03 平面向量的数量积
1. （2026·全国二卷·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即 ；
由 ，得 ，
所以 ，即 .
两式相减，得 ，所以 .
2. （2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中， ， .设 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据 ，求出 ，进而可以用向量 表示出 ，即可解出．
【详解】因为 ， ，
由 平方可得， ，所以 ．
， ，
所以，
，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，
故选：D.
3. （2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，
故选：D.4. （2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.
故选：B.
5. （2024·全国甲卷·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
6. （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由 得 ，结合 ，得 ，由此即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
从而 .
故选：B.
7. （2023·北京·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量 满足 ，
所以 .
故选：B
8. （2023·全国乙卷·高考真题）正方形 的边长是2， 是 的中点，则 （ ）A． B．3 C． D．5
【答案】B
【分析】方法一：以 为基底向量表示 ，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求 ，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以 为基底向量，可知 ，
则 ，
所以 ；
方法二：如图，以 为坐标原点建立平面直角坐标系，
则 ，可得 ，
所以 ；
方法三：由题意可得： ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以 .
故选：B.
9. （2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得 ，从而利用平面向量余
弦的运算公式即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 .
故选：B.
10. （2023·全国甲卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】作出图形,根据几何意义求解.
【详解】因为 ,所以 ,
即 ,即 ,所以 .
如图,设 ,
由题知, 是等腰直角三角形,AB边上的高 ,
所以 ,
,
.
故选:D.
11. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
12. （2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．5 D．6【答案】C
【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得
【详解】解： , ,即 ,解得 ,
故选：C
13. （2022·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】先求得 ，然后求得 .
【详解】因为 ，所以 .
故选：D
14. （2022·全国乙卷·高考真题）已知向量 满足 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵ ，
又∵
∴9 ，
∴
故选：C.
15. （2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出 ， ，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以 ， ，
所以
，其中 ， ，因为 ，所以 ，即 ；
故选：D
16. （2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理
，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，，故一般来说 故错误；
故选：AC
17. （2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】如图所示， ，当 时， 与 垂直，
，所以 成立，此时 ，
不是 的充分条件，
当 时， 成立，
是 的必要条件，
综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
18. （2020·山东·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．【答案】A
【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是
，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的
定义式，属于简单题目.
19. （2020·全国III卷·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ， ，则 （
）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】计算出 、 的值，利用平面向量数量积可计算出 的值.
【详解】 ， ， ， .
，因此， .
故选：D.
【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，
考查计算能力，属于中等题.
20. （2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量 ， 的夹角为60°，则在下列向量中，与 垂直的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质逐一判断即可.
【详解】由已知可得： .
A：因为 ，所以本选项不符合题意；
B：因为 ，所以本选项不符合题意；
C：因为 ，所以本选项不符合题意；
D：因为 ，所以本选项符合题意.
故选：D.
【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这两个平面向量
互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.
21. （2019·全国II卷·高考真题）已知向量 ，则
A． B．2
C．5 D．50
【答案】A
【分析】本题先计算 ，再根据模的概念求出 ．【详解】由已知， ，
所以 ，
故选A
【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．由于对平
面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错．
22. （2019·全国I卷·高考真题）已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计
算等数学素养．先由 得出向量 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量
夹角．
【详解】因为 ，所以 =0，所以 ，所以 = ，所以
与 的夹角为 ，故选B．
【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余
弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为 ．
23. （2019·全国II卷·高考真题）已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =
A．-3 B．-2
C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【详解】由 ， ，得 ，则 ，
．故选C．【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
24. （2018·浙江·高考真题）已知 、 、 是平面向量， 是单位向量．若非零向量 与 的夹角为 ，向
量 满足 ，则 的最小值是
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】先确定向量 、 所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最
小值.
【详解】设 ，
则由 得 ，
由 得
因此， 的最小值为圆心 到直线 的距离 减去半径1，为 选A.
【点睛】以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数、曲线方程等相结合的
一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解方程、解不等式、求函数值域或直线与曲线的位置关
系，是解决这类问题的一般方法.
25. （2018·全国II卷·高考真题）已知向量 满足 ， ，则
A．4 B．3 C．2 D．0
【答案】B
【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
点睛：向量加减乘：
26. （2018·天津·高考真题）如图，在平面四边形ABCD中，若点E为边CD上的动点，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：由题意可得 为等腰三角形， 为等边三角形，把数量积 分拆，设
，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。
详解：连接BD,取AD中点为O,可知 为等腰三角形，而 ，所以 为等边三
角形， 。设
=
所以当 时，上式取最小值 ，选A.
点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。
同时利用向量共线转化为函数求最值。
27. （2018·天津·高考真题）在如图的平面图形中，已知 ,
则 的值为A． B．
C． D．0
【答案】C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由 可知点 分别为线段 上靠近点 的三等分点，
则 ，
由题意可知：
， ，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体
应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
28. （2017·浙江·高考真题）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与
BD交于点O，记 ， ， ，则A．I <I <I B．I <I <I C．I <I <I D．I <I <I
１ ２ ３ １ ３ ２ ３ １ ２ ２ １ ３
【答案】C
【详解】因为 ， ， ，所以 ，
故选C．
【名师点睛】平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标
运算公式，涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用．利用向量夹角
公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来
解决．列出方程组求解未知数．本题通过所给条件结合数量积运算，易得 ，由AB＝
BC＝AD＝2，CD＝3，可求得 ， ，进而得到 ．
29. （2017·全国II卷·高考真题）已知 是边长为2的等边三角形， 为平面 内一点，则
的最小值是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以 中点为坐标原点，
则 ， ， ，
设 ，则 ， ， ，
则当 ， 时，取得最小值 ，
故选： ．
30. （2026·上海·高考真题）在 中， 、 在边 上，且 ， ， 与 所
成的夹角为 ，则 的最大值为____________.
【答案】
【分析】先利用 与 表示 、 ，再将 转化为 与 的计算，进而求解.
【详解】
, 与 所成的夹角为
令 ，则当 时， 的最大值为 .
故答案为： .
31. （2025·天津·高考真题） 中，D为AB边中点， ，则 ______（用
， 表示），若 ， ，则 _______
【答案】 ；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，
因为 ，所以 ，所以 ．
因为D为线段 的中点，所以 ；
又因为 ，所以 ，
，所以
所以 ，
所以
．
故答案为： ； .32. （2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量 若 ，则 ___________
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得 ，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ，因为 ，则 ，
则 ，解得 .
则 ，则 .
故答案为： .
33. （2025·上海·高考真题）在平面中， 和 是互相垂直的单位向量，向量 满足 ，向量 满
足 ，求 在 方向上的数量投影的最大值__________．
【答案】
【分析】设 ，根据题意，求得 所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结
合即可求得结果.
【详解】根据题意不妨设 ， ， ， ，
则 ，
由 可得 ，由 可得 ；
设 ，故 在以 为圆心， 为半径的圆上；
在以 为圆心，1为半径的圆上；
过 作 于 ，则 即为 在 上的数量投影，如下所示：因为 分别为两圆上任意动点，不妨固定 ，则 为定长，
设 ，即 ，故 ，
因为此时 为定长，且 ，
故随着 的减小， 增大，直至 恰好与圆 相切时， 取得最大值，如下所示：
在 与圆 相切的基础上，移动点 ，过 作 于 ，故 ；
在△ 中， ， ，故 ，因为 ,
故在直角三角形 中， ，则 ，即 ；
在四边形 中，因为 ，故 ，
当且仅当 时等号成立，从而 .
综上所述： 在 方向上的数量投影的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点 ，采用
一定一动的处理策略，从而求解最大值.
34. （2023·上海·高考真题）已知 ， ，求 ________
【答案】4
【分析】由平面向量数量积的坐标运算公式求解.
【详解】因为 ， ，
则
故答案为：4
35. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 ______．
【答案】
【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令 ，结合数量积的运算律运算求解.
【详解】法一：因为 ，即 ，
则 ，整理得 ，
又因为 ，即 ，
则 ，所以 .
法二：设 ，则 ，
由题意可得： ，则 ，
整理得： ，即 .
故答案为： .
36. （2022·全国甲卷·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ______________．
【答案】 /
【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.
【详解】由题意知： ，解得 .
故答案为： .
37. （2022·全国甲卷·高考真题）设向量 ， 的夹角的余弦值为 ，且 ， ，则
_________．
【答案】
【分析】设 与 的夹角为 ，依题意可得 ，再根据数量积的定义求出 ，最后根据数量积的运
算律计算可得．【详解】解：设 与 的夹角为 ，因为 与 的夹角的余弦值为 ，即 ，
又 ， ，所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
38. （2022·上海·高考真题）在 ABC中， ， ，M为AC的中点，P在线段AB上，则
△
的最小值为________
【答案】
【分析】以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为 轴，线段AB的垂直平分线为 轴建立平面
直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可.
【详解】如图：以线段AB的中点为坐标原点，线段AB所在直线为 轴，线段AB的垂直平分线为 轴建
立平面直角坐标系，
则 ，设 ， ，
则 ，当 时，
故答案为： .
39. （2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB
于点E． 且交AC于点F,则 的值为____________； 的最小值为
____________．
【答案】 1
【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式
即可求出最值.
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .40. （2021·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）已知向量 ， ， ，
_______．
【答案】
【分析】由已知可得 ，展开化简后可得结果.
【详解】由已知可得 ，
因此， .
故答案为： .
41. （2021·北京·高考真题）已知向量 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长
为1，则
________； ________.
【答案】 0 3
【分析】根据坐标求出 ，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.【详解】以 交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：
则 ，
， ，
.
故答案为：0；3.
42. （2021·浙江·高考真题）已知平面向量 满足 .记向量 在
方向上的投影的数量分别为x，y， 在 方向上的投影的数量为z，则 的最小值为
___________.
【答案】
【分析】设 ，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式即可
得解.
【详解】由题意，设 ，
则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影的数量分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影的数量 ，即 ,
所以 ，
当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可
求得最小值
43. （2021·全国乙卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为 ，所以由 可得，
，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设 ，
，注意与平面向量平行的坐标表示区分．
44. （2021·全国甲卷·高考真题）若向量 满足 ，则 _________.
【答案】
【分析】根据题目条件，利用 模的平方可以得出答案【详解】∵
∴
∴ .
故答案为： .
45. （2021·全国甲卷·高考真题）已知向量 ．若 ，则 ________．
【答案】 .
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】 ,
，解得 ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂直的充分必要条件是其数量积 .
46. （2020·北京·高考真题）已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则
_________； _________．
【答案】
【分析】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，求得点 的坐标，
利用平面向量数量积的坐标运算可求得 以及 的值.
【详解】以点 为坐标原点， 、 所在直线分别为 、 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点 、 、 、 ，
，
则点 ， ， ，
因此， ， .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点 的坐标是解答的关键，
考查计算能力，属于基础题.
47. （2020·浙江·高考真题）设 ， 为单位向量，满足 ， ， ，设 ，
的夹角为 ，则 的最小值为_______．
【答案】
【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得 ，再根据向量夹角公式求 函数关系
式，根据函数单调性求最值.
【详解】 ，
，
，.
故答案为： .
【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最值，考查综合
分析求解能力，属中档题.
48. （2020·全国I卷·高考真题）设向量 ，若 ，则 ______________.
【答案】5
【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.
【详解】由 可得 ，
又因为 ，
所以 ，
即 ，
故答案为：5.
【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.
49. （2020·全国I卷·高考真题）设 为单位向量，且 ，则 ______________.
【答案】
【分析】整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得：
，问题得解.
【详解】因为 为单位向量，所以
所以
解得：所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.
50. （2020·全国II卷·高考真题）已知单位向量 , 的夹角为45°， 与 垂直，则k=__________.
【答案】
【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.
【详解】由题意可得： ，
由向量垂直的充分必要条件可得： ，
即： ，解得： .
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
51. （2019·北京·高考真题）已知向量 =（－4，3）， =（6，m），且 ，则m=__________.
【答案】8.
【分析】利用 转化得到 加以计算，得到 .
【详解】向量
则 .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算、平面向量的数量积、平面向量的垂直以及转化与化归思想的应用.
属于容易题.
52. （2019·全国III卷·高考真题）已知向量 ，则 ___________.【答案】
【分析】根据向量夹角公式可求出结果.
【详解】 ．
【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键．
53. （2019·全国III卷·高考真题）已知 为单位向量，且 =0，若 ，则
___________.
【答案】 .
【分析】根据 结合向量夹角公式求出 ，进一步求出结果.
【详解】因为 ， ，
所以 ，
，所以 ，
所以 ．
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想
得出答案．
54. （2019·天津·高考真题） 在四边形 中， ， ， ， ，点 在
线段 的延长线上，且 ，则 __________.
【答案】 .
【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．
【详解】建立如图所示的直角坐标系，则 ， ．
因为 ∥ ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，
直线 的斜率为 ，其方程为 ．
由 得 ， ，
所以 ．
所以 ．
【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为
方便．
55. （2019·上海·高考真题）在椭圆 上任意一点 ， 与 关于 轴对称，若有 ，则
与 的夹角范围为____________
【答案】
【分析】通过坐标表示和 得到 ；利用向量数量积运算得到所求向量夹角的余弦值为：
；利用 的范围得到 的范围，从而得到角的范围.【详解】由题意： ，
设 ， ，因为 ，则
与 结合 ，又
与 结合，消去 ，可得：
所以
本题正确结果：
【点睛】本题考查向量坐标运算、向量夹角公式应用，关键在于能够通过坐标运算得到变量的取值范围，
将问题转化为函数值域的求解.
56. （2018·北京·高考真题）设向量 =（1,0）， =（−1,m）,若 ，则m=_________.
【答案】-1.
【分析】根据 坐标表示出 ，再根据 ，得坐标关系，解方程即可.
【详解】 ，
，
由 得： ，
，
即 .
【点睛】此题考查向量的运算，在解决向量基础题时，常常用到以下：设 ，则①；② .
57. （2017·全国I卷·高考真题）已知向量 与 的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |= ______ .
【答案】
【详解】∵平面向量 与 的夹角为 ，
∴ .
∴
故答案为 .
点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式．
(2) 常用来求向量的模．
58. （2017·天津·高考真题）在 中， ， ， . 若 ，
，且 ，则 的值为______________.
【答案】
【详解】 ,则
.
【考点】向量的数量积
【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利
用向量的定比分点公式表示向量，计算数量积，选取基地很重要，本题的 已知模和夹角，选作基
地易于计算数量积.
59. （2017·山东·高考真题）已知 ， 是互相垂直的单位向量，若 与 的夹角为60°，
λ
则实数 的值是__．
λ【答案】
【分析】根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出 的值．
λ
【详解】解：由题意，设 （1，0）， （0，1），
则 （ ，﹣1），
（1， ）；
λ λ
又夹角为60°，
∴（ ）•（ ） ＝2 cos60°，
λ λ
即 ，
λ
解得 ．
λ
【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．
60. （2017·浙江·高考真题）已知向量 满足 ，则 的最小值是___________，最
大值是______．
【答案】 4
【详解】设向量 的夹角为 ，由余弦定理有： ，
，则：
，
令 ，则 ，
据此可得： ，
即 的最小值是4，最大值是 ．【名师点睛】本题通过设向量 的夹角为 ，结合模长公式， 可得
，再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生
的转化能力和最值处理能力有一定的要求．
61. （2017·全国III卷·高考真题）已知向量 ，且 ，则 _______.
【答案】2
【详解】由题意可得 解得 .
【名师点睛】（1）向量平行： ， ,
.
（2）向量垂直： .
（3）向量的运算： .
62. （2017·全国I卷·高考真题）已知向量 =（﹣1，2）， =（m，1），若 ，则
m=_________．
【答案】7
【详解】由题得 ，因为 ，所以 ，解得 ．
63. （2017·北京·高考真题）已知点 在圆 上，点 的坐标为 ， 为原点，则 的最
大值为_________．
【答案】6
【详解】试题分析： 所以最大值是6.
【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，因为 是确定的，所以根据向量数量积的几何意义：若最大，即向量 在 方向上的投影最大，根据数形结合分析可得当点 在圆与 轴的右侧交点
处时最大，从而根据几何意义直接得到运算结果为 .
