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专题 02 平面向量
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
2026年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北
京卷、天津卷、上海卷；
2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北
基础考查线性运算、坐标运算、共线与垂直、模
京卷、天津卷、上海卷；
长、数量积；结合解三角形、圆锥曲线、数列综
2024年：新课标Ⅰ/Ⅱ卷、
平面向量 合命题；融入生活实际情境，几何意义、投影、
全国甲卷、北京卷、天津
最值类题型占比提升，多选、压轴小题与综合大
卷、上海卷；
题区分度明显。
题型覆盖选择、填空、解
答题，为连年必考核心考
点
平面向量
1．（2026·全国I卷·高考真题）已知平面向量 ， 不共线，且 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】A
【分析】由平面向量基本定理可得.
【详解】由题意可知平面向量 不共线，且 ，
则 .
2．（2026·北京·高考真题）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据向量坐标模长公式计算结合绝对值不等式计算求解.
【详解】因为 ，且 ，则 ，所以 ，
所以当 反向时， 取最大值为4.
3．（2026·全国II卷·高考真题）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由 ，得 ，
所以 ，即 ；
由 ，得 ，
所以 ，即 .
两式相减，得 ，
所以 .
4．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中， ， .设 ，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据 ，求出 ，进而可以用向量 表示出 ，即可解出．
【详解】因为 ， ，
由 平方可得， ，所以 ．
， ，
所以，，
又 ，即 ，
所以 ，即 ，
故选：D.
5．（2025·上海·高考真题）已知数列 、 、 的通项公式分别为 ， 、，
.若对任意的 ， 、 、 的值均能构成三角形，则满足条件的正整数 有
（ ）
A． 4个 B．3个 C．1个 D．无数个
【答案】B
【分析】由 可知 范围，再由三角形三边关系可得 的不等关系，结合函数零点解
不等式可得.
【详解】由题意 ，不妨设 ，
三点均在第一象限内，由 可知， ，
故点 恒在线段 上，则有 .
即对任意的 ， 恒成立，
令 ，构造函数 ，
则 ，由 单调递增，
又 ，存在 ，使 ，
即当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增；
故 至多 个零点，又由 ，
可知 存在 个零点，不妨设 ，且 .
若 ，即 时，此时 或 .
①
则 ，可知 成立，
要使 、 、 的值均能构成三角形，
所以 恒成立，故 ，
所以有 ，解得 ；
若 ，即 时，此时 .
②
则 ，可知 成立，
要使 、 、 的值均能构成三角形，
所以 恒成立，故 ，
所以有 ，解得 或 ；
综上可知，正整数 的个数有 个.
故选：B.
6．（2025·全国I卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在
航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船
行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的
对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度
代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（ ）
级数 名称 风速大小（单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.44 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风
【答案】A
【分析】结合题目条件和图 写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，
得出真风风速的大小，即可由图 得出结论.
【详解】由题意及图得，
视风风速对应的向量为： ，
视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和，
船速方向和船行风速的向量方向反，
设真风风速对应的向量为 ，船行风速对应的向量为 ，
∴ ，船行风速： ，
∴ ，
，
∴由表得，真风风速为轻风，
故选：A.
7．（2024·北京·高考真题）设 ， 是向量，则“ ”是“ 或 ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，
例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 或 ”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
9．（2024·新课标II卷·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则 （ ）A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】由 得 ，结合 ，得 ，由此即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，
从而 .
故选：B.
10．（2024·新课标I卷·高考真题）已知向量 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算可求 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 即 ，故 ，
故选：D.
11．（2025·全国II卷·高考真题）（多选）双曲线 的左、右焦点分别为 ，
左、右顶点分别为 ，以 为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且 ，则
（ ）
A． B．
C．C的离心率为 D．当 时，四边形 的面积为
【答案】ACD【分析】由平行四边形的性质判断A；由 且 结合 在渐近线上可求 的坐标，从而
可判断B的正误，或者利用三角函数定义和余弦定理也可判断；由中线向量结合B的结果可得 ，
计算后可判断C的正误，或者利用 并结合离心率变形公式即可判断；结合BC的结果求出
面积后可判断D的正误.
【详解】不妨设渐近线为 ， 在第一象限， 在第三象限，
对于A，由双曲线的对称性可得 为平行四边形，故 ，
故A正确；
对于B，方法一：因为 在以 为直径的圆上，故 且 ，
设 ，则 ，故 ，故 ，
由A得 ，故 即 ，故B错误；
方法二：因为 ，因为双曲线中， ，
则 ，又因为以 为直径的圆与 的一条渐近线交于 、 ，则 ，
则若过点 往 轴作垂线，垂足为 ，则 ，则点 与 重合，则 轴，则 ，则 为直角三角形，且 ，则 ，
方法三：在 利用余弦定理知， ，
即 ，则 ，
则 为直角三角形，且 ，则 ，故B错误；
对于C，方法一：因为 ，故 ，
由B可知 ，
故 即 ，
故离心率 ，故C正确；
方法二：因为 ，则 ，则 ，故C正确；
对于D，当 时，由C可知 ，故 ，
故 ，故四边形 为 ，
故D正确，
故选：ACD.
12．（2026·天津·高考真题）已知 ， ，记 ．当 时，__________，当 时， 的取值范围为__________．
【答案】
【分析】第一空：利用 和 得出 和 的值，即可得出结论；
第二空：解法一：将 代入 得 ，展开，令 ， ，
，代入并整理，得出 ，即可求出 的取值范围.
解法二：设 ， ， ，根据 可设 ，进而可得
，即可得取值范围.
解法三：不妨设 ， ， ， ， ，可知点 在直线
上，且点 在以 为圆心，半径为1的圆上，结合图形分析求解即可.
【详解】由题意，
， ， ，
第一空：
当 时， ，
∴ ，
∴ .
第二空：
解法一：将 代入 得 ，
两边平方，得： ，
展开： ，
代入 ， ，记 ，
，令 ， ， ，
则原式变为： ，
配方得： ，
由于 ， ，因此 ，
即 ，解得 ，
，
因此， 的取值范围为： .
解法二：因为 ， ，
不妨设 ， ， ，则 ， ，
若 ，设 ，
则 .
解法三：因为 ， ，
不妨设 ， ， ，即点 在直线 上，
且 ， ，
因为 ，若 ，可知点 在直线 上，（或直接由三点共线的结论可得出），
若 ，即 ，可知点 在以 为圆心，半径为1的圆上，
则圆 在直线 和 之间，可得 ，即 ，
所以 的取值范围为 .
13．（2024·上海·高考真题）已知 ，且 ，则 的值为______．
【答案】15
【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ， ，解得 ．
故答案为：15．
14．（2026·上海·高考真题）在 中， 、 在边 上，且 ， ， 与 所
成的夹角为 ，则 的最大值为____________.
【答案】
【分析】先利用 与 表示 、 ，再将 转化为 与 的计算，进而求解.【详解】
, 与 所成的夹角为
令 ，则
当 时， 的最大值为 .
故答案为： .
15．（2026·上海·高考真题）已知 ， ，若 ，则 ____________.
【答案】2
【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】因为 ，所以 ，即 ，解得 .
故答案为：2.
16．（2025·天津·高考真题） 中，D为AB边中点， ，则 ______（用
， 表示），若 ， ，则 _______
【答案】 ；
【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二.
【详解】如图，因为 ，所以 ，所以 ．
因为D为线段 的中点，所以 ；
又因为 ，所以 ，
，所以
所以 ，
所以
．
故答案为： ； .
17．（2025·上海·高考真题）已知 ， 是平面内三个不同的单位向量．若
，则 的取值范围是_______．
【答案】
【分析】利用分段函数值分类讨论，可得 ，再根据数量积关系设出
坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得.【详解】若 ，则 ，
又三个向量均为平面内的单位向量，故向量 两两垂直，显然不成立；
故 .
不妨设 ，则 ，
不妨设 ， ，
则 ，则 ，
则
，
由 ， ，
则 ，
故 .
故答案为： .
18．（2025·全国II卷·高考真题）已知平面向量 若 ，则 ___________
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得 ，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】 ，因为 ，则 ，
则 ，解得 .则 ，则 .
故答案为： .
19．（2025·上海·高考真题）在平面中， 和 是互相垂直的单位向量，向量 满足 ，向量 满
足 ，求 在 方向上的数量投影的最大值__________．
【答案】
【分析】设 ，根据题意，求得 所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结
合即可求得结果.
【详解】根据题意不妨设 ， ， ， ，
则 ，
由 可得 ，由 可得 ；
设 ，故 在以 为圆心， 为半径的圆上；
在以 为圆心，1为半径的圆上；
过 作 于 ，则 即为 在 上的数量投影，如下所示：
因为 分别为两圆上任意动点，不妨固定 ，则 为定长，
设 ，即 ，故 ，
因为此时 为定长，且 ，故随着 的减小， 增大，直至 恰好与圆 相切时， 取得最大值，如下所示：
在 与圆 相切的基础上，移动点 ，过 作 于 ，故 ；
在△ 中， ， ，
故 ，因为 ,
故在直角三角形 中， ，则 ，即 ；
在四边形 中，因为 ，故 ，当且仅当 时等号成立，从而 .
综上所述： 在 方向上的数量投影的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：处理本题的关键，一是熟悉数量投影的几何意义；二是对两个运动的点 ，采用
一定一动的处理策略，从而求解最大值.
20．（2025·上海·高考真题）已知 ，若 ，则 __________．
【答案】 /
【分析】由平面向量共线的坐标表示即可求解.
【详解】由 得 ，解得 .
故答案为： .
21．（2024·天津·高考真题）已知正方形 的边长为1， 若 ，其中 为
实数，则 ______；设 是线段 上的动点， 为线段 的中点，则 的最小值为______．
【答案】
【分析】解法一：以 为基底向量，根据向量的线性运算求 ，即可得 ，设 ，求
，结合数量积的运算律求 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求 ，即
可得 ，设 ，求 ，结合数量积的坐标运算求 的最小值.
【详解】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
22．（2026·全国I卷·高考真题）已知在 中， ， ， ．
(1)求 ；
(2)设 ， 两点满足： 在 的延长线上， ， ．若 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知两边及夹角，先用余弦定理求第三边 ，再用余弦定理求 ；
（2）建立坐标系，设出点 坐标，由平行关系得点 的坐标，利用垂直条件求参数，由 长度解出 ，
再计算 .
【详解】（1）在 中， ， ， .
由余弦定理可知 ，
故 . 再由余弦定理得 .
（2）以 为原点， 为 轴正方向建立平面直角坐标系如图：则 ， ，由 ， 得 .
在 延长线上，设 ，则 ， ， ，
设 ，则 .
由 ，得 ，故 .
于是 .
已知 ，则 ，则 .
代入得 ，而 ，
故 .
23．（2025·天津·高考真题）已知椭圆 的左焦点为F，右顶点为A，P为 上一点，
且直线 的斜率为 ， 的面积为 ，离心率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B（异于点A），求证：PF平分 .
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的离心率得到 ，再由直线 的斜率得到 ，从而利用三角
形的面积公式得到关于 的方程，解之即可得解；
（2）联立直线与椭圆方程，利用其位置关系求得 ，进而得到直线 的方程与点 的坐标，法一：利用
向量的夹角公式即可得证；法二：利用两直线的夹角公式即可得证；法三利用正切的倍角公式即可得证；法四：利用角平分线的性质与点线距离公式即可得证.
【详解】（1）依题意，设椭圆 的半焦距为 ，
则左焦点 ，右顶点 ，离心率 ，即 ，
因为 为 上一点，设 ，
又直线 的斜率为 ，则 ，即 ，
所以 ，解得 ，则 ，即 ，
因为 的面积为 ， ，高为 ，
所以 ，解得 ，
则 ， ，
所以椭圆的方程为 .
.
（2）由（1）可知 ， ， ，
易知直线 的斜率存在，设其方程为 ，则 ，即 ，
联立 ，消去 得， ，
因为直线与椭圆有唯一交点，所以 ，
即 ，则 ，解得 ，则 ，所以直线 的方程为 ，
联立 ，解得 ，则 ，
以下分别用四种方法证明结论：
法一：则 ，
所以 ，
，
则 ，又 ，
所以 ，即 平分 .
法二：所以 ， ， ，
由两直线夹角公式，得 ， ，
则 ，又 ，
所以 ，即 平分 .
法三：则 ， ，
故 ，
又 ，
所以 ，即 平分 .法四：则 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
则点 到直线 的距离为 ，
又点 到直线 的距离也为 ，
所以 平分 .
24．（2025·上海·高考真题）已知椭圆 ， ，A是 的右顶点．
(1)若 的焦点 ，求离心率e；
(2)若 ，且 上存在一点P，满足 ，求m；
(3)已知AM的中垂线l的斜率为2，l与 交于C、D两点， 为钝角，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程可得 ，再由焦点坐标得 ，从而求出 得离心率；
（2）设点 坐标，由向量关系 坐标化可解得 坐标，代入椭圆方程可得 ；
（3）根据中垂线性质，由斜率与中点坐标得直线 方程，联立直线与椭圆方程，将钝角条件转化为向量不
等式 ，再坐标化利用韦达定理代入化简不等式求解可得 范围.
【详解】（1）由题意知， ，则 ，
由右焦点 ，可知 ，则 ，
故离心率 .（2）由题意 ，
由 得， ，
解得 ，代入 ，
得 ，又 ，解得 .
（3）由线段 的中垂线 的斜率为 ，所以直线 的斜率为 ，
则 ，解得 ，
由 得 中点坐标为 ，
故直线 ，显然直线 过椭圆内点 ，
故直线与椭圆恒有两不同交点，
设 ，
由 消 得 ，
由韦达定理得 ，
因为 为钝角，则 ，且 ，
则有 ，所以 ，
即 ，解得 ，
又 ，
故 ，即 的取值范围是 .
25．（2024·新课标II卷·高考真题） 已知双曲线 ，点 在 上， 为常数，
．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令
为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 .
(1)若 ，求 ；
(2)证明：数列 是公比为 的等比数列；
(3)设 为 的面积，证明：对任意正整数 ， .
【答案】(1) ，
(2)证明如下：
方法一：由于过 且斜率为 的直线为 ，与 联立，得到方程
.
展开即得 ，由于 已经是直线 和的公共点，故方程必有一根 .
从而根据韦达定理，另一根 ，相应的
.
所以该直线与 的不同于 的交点为 ，而注意到 的横坐标亦可通过
韦达定理表示为 ，故 一定在 的左支上.
所以 .
这就得到 ， .
所以
.
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
方法二：因为 ， ， ，则 ，
由于 ，作差得 ，
，利用合比性质知 ，
因此 是公比为 的等比数列.
(3)证明如下：方法一：先证明一个结论：对平面上三个点 ，若 ， ，则 .
（若 在同一条直线上，约定 ）
证明：
.
证毕，回到原题.
由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有.
而又有 ， ，
故利用前面已经证明的结论即得
.
这就表明 的取值是与 无关的定值，所以 .
方法二：由于上一小问已经得到 ， ，
故 .
再由 ，就知道 ，所以数列 是公比为 的等比数列.
所以对任意的正整数 ，都有.
这就得到 ，
以及 .
两式相减，即得 .
移项得到 .
故 .
而 ， .
所以 和 平行，这就得到 ，即 .
方法三：由于 ，作差得 ，
变形得 ①，
同理可得 ，
由（2）知 是公比为 的等比数列，令 则 ②，
同时 是公比为 的等比数列，则 ③，
将②③代入①，
即 ，从而 ，即 .
【分析】（1）直接根据题目中的构造方式计算出 的坐标即可；（2）思路一：根据等比数列的定义即可验证结论；思路二：利用点差法和合比性质即可证明；
（3）思路一：使用平面向量数量积和等比数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.思路二：使用
等差数列工具，证明 的取值为与 无关的定值即可.思路三：利用点差法得到 ，
，再结合（2）中的结论得 ，最后证明出
即可.
【详解】（1）
由已知有 ，故 的方程为 .
当 时，过 且斜率为 的直线为 ，与 联立得到 .
解得 或 ，所以该直线与 的不同于 的交点为 ，该点显然在 的左支上.
故 ，从而 ， .
（2）略
（3）略
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.
