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微专题45 用动力学和能量观点解决多过程问题
1．将全过程进行分解，分析每个过程受力、运动、能量的变化，找到子过程间的联系。2.
若过程为匀变速运动，尤其求时间多用动力学解决。若为非匀变速运动或曲线运动多用功能
关系式或能量守恒解决。3.不同过程连接点速度的关系有时是处理两个过程运动规律的突破
点。
1．如图所示为某轮滑比赛的场地，由斜面AB、圆弧面BCD 和平台组成，斜面AB 和圆弧面
在B 点相切，C 为圆弧面的最低点，刚好与地面相切，圆弧BC 所对的圆心角α＝37°，圆弧
轨道半径为R，D 点离地面的高度是平台离地面高度的一半，平台离圆弧轨道D 点的水平距
离和平台的高度相等，轮滑运动员从斜面上A 点由静止滑下，从D 点飞出后，刚好沿水平
方向滑上平台，整个过程运动员视为质点，不计一切摩擦和阻力，重力加速度为g，求：
(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，)
(1)圆弧CD 所对的圆心角θ；
(2)斜面AB 的长度。
答案 (1)45° (2)
解析 (1)设平台离地面的高度为d，则D 点到平台的水平距离为d，D 点与平台的高度差为
d，设运动员运动到D 点时速度大小为v，运动员从D 点飞出刚好水平滑上平台，可以看作
平抛运动的逆运动，则水平方向有d＝vcos θ·t，竖直方向有d＝vsin θ·t，
联立解得θ＝45°。
(2)由几何关系得d＝R－Rcos θ，
解得d＝(2－)R。
由(vsin θ)2＝2g×d，
解得v＝。
设AB 长为L，运动员从A 点到D 点，根据机械能守恒定律有mg(Lsin α＋R－Rcos α－d)＝
mv2，
联立解得L＝。
2．(2024·重庆市南开中学校考)第24 届冬季奥林匹克运动会已在我国北京成功举办，其中滑
雪项目是一项有极大观赏性的运动。某滑雪训练场地由两部分组成，AB 是倾角为53°、长
度L＝10 m 的助滑坡区，BCD 是半径为R＝10 m 的圆弧过渡区，O 为圆心，C 为最低点，
∠OBD＝∠ODB＝37°，DE 是足够长的水平面，如图所示。某运动员(含装备)质量为60
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kg，从A 点由静止开始出发进入助滑区，并用滑雪杆助滑，过B 点后自由滑行，到达过渡
区最低点C 时速度大小为20 m/s，不计所有阻力，运动员可视为质点，已知sin 53°＝0.8，
取g＝10 m/s2。求：
(1)运动员在过渡区最低点C 时对场地压力；
(2)运动员在助滑区助滑过程中至少需要消耗的体能E；
(3)运动员离开D 点后距水平面DE 的最大高度。
答案 (1)3 000 N，方向竖直向下 (2)4 800 J (3)10.24 m
解析 (1)设运动员在过渡区最低点C 时受场地支持力大小为FN，由牛顿第二定律得FN－mg
＝m，解得FN＝3 000 N
由牛顿第三定律得：运动员在过渡区最低点C 时对场地压力大小FN′＝FN＝3 000 N，方向
竖直向下。
(2)由能量守恒定律得mg[Lsin 53°＋R(1－sin 37°)]＋E＝mvC
2解得E＝4 800 J
(3)运动员到D 点时速度大小为vD，离开D 点后距水平面DE 的最大高度为h，水平速度大小
为vDcos 53°，根据机械能守恒定律得mvC
2＝mgR(1－sin 37°)＋mvD
2，mvD
2＝mgh＋m(vDcos
53°)2，解得h＝10.24 m。
3. 如图，在竖直平面内，半径R＝0.5 m 的光滑圆弧轨道ABC 与粗糙的足够长斜面CD 相切
于C 点， CD 与水平面的夹角为θ＝ 37°，B 是轨道最低点， 其最大承受力Fm＝21 N，过
A 点的切线沿竖直方向。现有一质量为m＝0.1 kg 的物块，从A 点正上方的P 点由静止落下
已知物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2，不计
空气阻力。
(1)为保证轨道不会被破坏，求P、A 间的最大高 度差H 及物块能沿斜面上滑的最大距离
L；
(2)若P、A 间的高度差H1＝3.6 m，求系统最终因摩擦所产生的总热量Q。
答案 (1)4.5 m 4.9 m (2)4 J
解析 (1)设物块在B 点的最大速度为vB，由牛顿第二定律得Fm－mg＝
从P 到B，由动能定理得mg(H ＋ R) ＝mvB
2－0
联立解得H＝4.5 m
物块从B 点运动到斜面最高处的过程中，根据动能定理得－mg[R(1－cos 37°) ＋Lsin 37°]－
μmgcos 37° · L＝0－mvB
2
2
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代入数据解得L＝4.9 m。
(2)物块在斜面上，由于mgsin 37°>μmgcos 37°，物块不会停在斜面上，物块最后以B 点为中
心、C 点为最高点沿圆弧轨道做往复运动。由功能关系得系统最终因摩擦所产生的总热量Q
＝mg(H1＋Rcos 37°)
解得Q＝4 J。
4．在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道AB 和弯曲的细管道BCD 平滑连接组成，如图所
示。小滑块以某一初速度从A 点滑上倾角为θ＝37°的直轨道AB，到达B 点的速度大小为2
m/s，然后进入细管道BCD，从细管道出口D 点水平飞出，落到水平面上的G 点。已知B 点
的高度h1＝1.2 m，D 点的高度h2＝0.8 m，小滑块落到G 点时速度大小为5 m/s，空气阻力不
计，滑块与轨道AB 间的动摩擦因数μ＝0.25，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g 取
10 m/s2。
(1)求小滑块在轨道AB 上的加速度大小和在A 点的初速度大小；
(2)求小滑块从D 点飞出的速度大小；
(3)判断细管道BCD 的内壁是否光滑。
答案 (1)8 m/s2 6 m/s (2)3 m/s (3)不光滑
解析 (1)设小滑块在轨道AB 上的加速度大小为a，根据牛顿第二定律有
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma
解得a＝8 m/s2
对小滑块从A 到B 的运动过程，根据运动学规律有vB
2－vA
2＝－2a·
解得vA＝6 m/s
(2)小滑块从D 到G 过程中只有重力做功，以水平面为零势能面，根据机械能守恒定律有
mvG
2＝mgh2＋mvD
2
解得vD＝3 m/s
(3)以水平面为零势能面，滑块在B、D 两处的机械能分别为
EB＝mvB
2＋mgh1＝14m(J)
ED＝mvD
2＋mgh2＝12.5m(J)
所以滑块从B 到D 存在机械能损失，而细管道对滑块的弹力始终与速度方向垂直，所以不
做功，则这个过程中除了重力之外，还有摩擦力对滑块做功，因此细管道BCD 不光滑。
5．(2023·湖北省联考)如图甲所示，弯曲部分AB 和CD 是两个半径均为R1＝0.4 m 的光滑圆
弧轨道，中间的BC 段是竖直的薄壁细圆管(细圆管内径略大于小球的直径)，分别与上、下
圆弧轨道相切连接，BC 段的长度L 为0.1 m。AB 圆弧轨道与光滑水平地面轨道相切，其中
D、A 分别是上、下圆弧轨道的最高点与最低点，整个轨道固定在竖直平面内。质量m＝0.3
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kg 的小球以一定初速度从A 点水平进入轨道，重力加速度g 取10 m/s2。
(1)若小球从D 点水平飞出后落地点距D 点的水平距离x＝1.8 m，求小球从A 进入时的初速
度大小；
(2)若在D 点右侧平滑连接一个半径R2＝0.45 m 的半圆形光滑轨道DEF，如图乙所示，要使
小球能沿轨道运动至F 点，则小球从A 进入时的初速度至少为多大？(计算结果用根式表示)
答案 (1)6 m/s (2) m/s
解析 (1)设从D 点飞出时的速度为大小v1，则有v1t＝x
gt2＝2R1＋L
解得v1＝3 m/s
小球从A 运动至D 点，由机械能守恒定律得mvA
2＝mg(2R1＋L)＋mv1
2
解得vA＝6 m/s
(2)小球在D 点的速度最小时，mg＝m
解得vD＝ m/s
小球从A 运动至D 点，由机械能守恒定律得mv0
2＝mg(2R1＋L)＋mvD
2
解得初速度的最小值v0＝ m/s。
6. (2024·江苏镇江市统考)如图所示，某一弹射游戏装置由弹性竖直挡板P、长度l＝1 m 的
水平直轨道AB、半径R＝0.8 m 的竖直半圆轨道BCD 和半径r＝0.1 m 的竖直半圆管道DEF
组成，轨道各部分平滑连接。已知小球质量m＝0.01 kg，小球直径略小于管道DEF 直径，
小球与AB 间的动摩擦因数μ＝0.5，其余各部分轨道均光滑，小球与P 的碰撞无机械能损失，
某次小球从P 处向右弹出时的初动能为Ek0＝0.17 J(g 取10 m/s2)。
(1)求小球第一次运动到B 点时对圆轨道的压力大小；
(2)若要小球能从F 点射出，求Ek0的最小值；
(3)若r＝2.0 m，小球能两次进入DEF 轨道，求Ek0″的范围。
答案 (1)0.4 N (2)0.25 J (3)0.35 J≤Ek0≤0.61 J
解析 (1)根据题意，小球从A 运动到B，由动能定理有－μmgl＝mv2－Ek0，解得v＝2 m/s
由牛顿第二定律有F－mg＝m，解得F＝0.4 N。由牛顿第三定律可知，小球第一次运动到B
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点时对圆轨道的压力大小为F′＝F＝0.4 N
(2)要求运动中，小球不脱离轨道，设通过轨道BCD 的最高点D 的最小值速度为vD，则有
mg＝m
解得vD＝＝2 m/s
对DF 过程由动能定理有mvD
2＝mvF
2＋2mgr
解得vF＝2 m/s
所以小球通过D 点后肯定能通过F 点，对A 到D 过程，由功能关系有Ek0′－μmgl－2mgR＝
mvD
2
解得Ek0′＝0.25 J
(3)若小球恰好运动到F 点，由动能定理得Ek0max－μmgl－2mgR－2mgr＝0，解得Ek0max＝0.61 J
小球恰好第二次运动到D 点，有Ek0min－μmg·3l－2mgR＝mvD2，Ek0min＝0.35 J。因此
初动能Ek0″的范围为0.35 J≤Ek0″≤0.61 J。
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