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2024 年高考押题预测模拟测试卷 04（新高考冲刺卷 02）
（满分150分，考试用时120分钟）
一、选择题
1．复数 与下列复数相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
应用复数的除法化简，结合复数的三角表示、各项的形式判断正误即可.
【解析】由题设， ，故A、C、D错误；
而 ，故B正确.
故选：B
2．已知集合 ， ，且全集 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用集合的交集、并集、补集的运算法则求解.
【解析】由已知得集合 表示的区间为 ，集合 表示的区间为 ，
则 ， ， ，,
故选： .
3． 在直角三角形ABC中， ，若 ，则 （ ）
A．－18 B．－6
C．18 D．6
【答案】C
【解析】方法一：由三角形的边角关系可求得 · ＝0.再运用向量的加法用已知向量表示待求的向量
· ＝( ＋ )· 代入可得选项；
方法二：以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，得出点的坐标，运
用向量的数量积的坐标运算可得选项；
方法三：由三角形的角和边的关系得出 在 上的投影， 在 上的投影，利用向量的数量积的定
义可得选项.
【解析】方法一：由 ，得CB＝2 ， · ＝0.
· ＝( ＋ )· ＝ · ＋ · ＝ ( － )· ＝ ＝18，
故选：C.
方法二：如图，以C为坐标原点，CA，CB所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系，则C(0，0)，
A(2，0)，B(0，2 ).由题意得∠CBA＝ ，又 ＝ ，所以D＝(－1，3 )，则 · ＝(－1，3)·(0，2 )＝18，
故选：C.
方法三：因为∠C＝ ，AB＝4，AC＝2，所以CB＝2 ，所以 在 上的投影为2 ，又 ＝ ，
所以 在 上的投影为 ×2 ＝3 ，则 在 上的投影为3 ，所以 · ＝| |·| |cos〈
， 〉＝2 ×3 ＝18，
故选：C.
【点睛】本题考查向量的数量积运算，常常运用定义法，坐标法，表示法求向量的数量积，属于中档题.
4．已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由已知条件求出 的值，再利用三角函数恒等变换公式求出 的值，然后对
利用两角和的正弦公式化简计算即可
【解析】由 ，得 ，
所以 ，
，
所以
，
故选：A
5．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量 ，则当 且时， 可以由服从正态分布的随机变量 近似替代，且 的期望与方差分别与 的均值与方差近
似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于
1300的概率为（ ）
附：若： ，则 ， ，
．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
【答案】D
【分析】先得到 ，满足 且 ，从而计算出期望和方差，得到
，利用正态分布的对称性求解.
【解析】骰子向上的点数为偶数的概率 ，故 ，
显然 ，其中 ， ，
故 ，
则 ，
由正态分布的对称性可知，估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为
.
故选：D
6．已知圆 的面积被直线 平分，圆 ，
则圆 与圆 的位置关系是（ ）
A．外离 B．相交 C．内切 D．外切
【答案】D
【分析】由直线平分圆求出 ，再判断两圆的位置关系即得.【解析】由圆 的面积被直线 平分，
得圆 的圆心 在直线 上，即 ，解得 ，
因此圆 的圆心 ，半径 ，
而圆 的圆心 ，半径 ，
显然 ，所以圆 与圆 外切.
故选：D
7．已知数列 的各项均为正数，记 ， ，
， ，设甲： 是公比为 的等比数列；乙：对任意 ， ， ，
三个数是公比为 的等比数列，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】
根据等比数列的定义及通项公式先考虑充分性，再考虑必要性即可.
【解析】充分性：
若 是公比为 的等比数列，
则 ，
，
即 ，故 ， ， 三个数是公比为 的等比数列，则充分性成立；
必要性：
若对任意 ， ， ， 三个数是公比为 的等比数列，
当 时， ， ， ，
则 为公比是 的等比数列.
当 时，
有 ，
即 ，又 ，
则 ，即 ，
则 是公比为 的等比数列，必要性成立.
故选：C.
8．已知函数 ， 满足 ， ，若 恰
有 个零点，则这 个零点之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 解析式可知 为奇函数，进而可得 的对称中心，根据 满足的关系式，可得
函数 的对称中心，由两个函数的对称中心相同，即可判断出其零点的特征，进而求得 个零点的
和.
【解析】因为 的定义域为 ，关于原点对称，所以
，所以函数 为奇函数，关于原点 中心对称，
而函数 是函数 向右平移两个单位得到的函数，
因而 关于 中心对称，
函数 满足 ，所以 ，
即 ，所以函数 关于 中心对称，且 ，
且 ，
所以由函数零点定义可知 ，
即 ，
由于函数 和函数 都关于 中心对称，
所以两个函数的交点也关于 中心对称，
又因为 恰有 个零点，
即函数 和函数 的交点恰有 个，
且其中一个为 ，其余的 个交点关于 对称分布，
所以 个零点的和满足 ，
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而
可确定零点所具有的对称关系.
二、多选题9．下列结论正确的是（ ）
A．一组样本数据的散点图中，若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的样本相
关系数为
B．已知随机变量 ，若 ，则
C．在 列联表中，若每个数据 均变成原来的2倍，则 也变成原来的2倍（
，其中 ）
D．分别抛掷2枚质地均匀的骰子，若事件 “第一枚骰子正面向上的点数是奇数”， “2枚骰子
正面向上的点数相同”，则 互为独立事件
【答案】BCD
【分析】根据相关系数的概念判断A，根据正态分布的方差公式及方差的性质判断B，根据卡方公式判断
C，根据相互独立事件的定义判断D.
【解析】对于A：若所有样本点 都在直线 上，则这组样本数据的样本相关系数为 ，故
A错误；
对于B：如 ，则 ，又 ，即
则 ，故B正确；
对于C：在 列联表中，若每个数据 均变成原来的2倍，
则 ，
即 也变成原来的 倍，故C正确；
对于D：分别抛掷2枚质地均匀的骰子，基本事件总数为 个，
事件 “第一枚骰子正面向上的点数是奇数”，则事件 包含的基本事件数为 个，
事件 “2枚骰子正面向上的点数相同”，则事件 包含的基本事件数为 个，所以 ， ，
又 包含的基本事件有 个，所以 ，
所以 ，则 、 互为独立事件，故D正确；
故选：BCD
10．已知函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若函数 无极值点，则 没有零点
B．若函数 无零点，则 没有极值点
C．若函数 恰有一个零点，则 可能恰有一个极值点
D．若函数 有两个零点，则 一定有两个极值点
【答案】AD
【分析】画出可能图象，结合图象判断选项即可.
【解析】
，设
若函数 无极值点则，则 ，
此时 ，即 ，所以 ，没有零点，如图①；
若函数 无零点，则有 ，此时 ，
当 时， 先正再负再正，原函数先增再减再增，故有极值点，如图②；
若函数 恰有一个零点，则 ，此时 ， 先正再负再正，原函数先增再减再增，有两个极值点，如图③；
若函数 有两个零点，则 ，此时 ， 先正再负再正，
函数先增再减再增，有两个极值点，如图④；
所以AD正确.
故选：AD.
11．已知抛物线E： 的焦点为F，点F与点C关于原点对称，过点C的直线l与抛物线E交于A，B
两点（点A和点C在点B的两侧），则下列命题正确的是（ ）
A．若BF为 的中线，则
B．若BF为 的角平分线，则
C．存在直线l，使得
D．对于任意直线l，都有
【答案】ABD
【分析】
首先设直线 的方程，并联立抛物线，根据韦达定理，再根据各项描述，抛物线的定义，即可判断选项.
【解析】设题意，设 ，不妨令 ， 都在第一象限， ， ，
联立 ，则 ，且 ，即 ，
所以 ， ，则 ， ，如上图所示，A.若 为 的中线，则 ，
所以 ，所以 ，故 ，
所以 ，则 ，则 ，故A正确；
B.若 为 的角平分线，则 ，
作 垂直准线 于 ，则 且 ，
所以 ，即 ，则 ，
将 代入整理，得 ，则 ，
所以 ，故B正确；
C.若 ，即 ，即 为等腰直角三角形，
此时 ，即 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，则此时 为同一点，不合题设，故C错误；
D. ，而 ，
结合 ，可得 ，即 恒成立，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据抛物线的几何关系，转化为坐标运算.
三、填空题
12．已知空间中三点 ，则点A到直线 的距离为 ．
【答案】【分析】
利用向量的模公式及向量的夹角公式，结合同角三角函数的平方关系及锐角三角函数的定义即可求解.
【解析】 ，
,
，
，
设点A到直线 的距离为 ，则
.
故答案为： .
13．已知函数 在 上恰好有三个零点，请写出符合条件的一个 的值：
.
【答案】7（答案不唯一）
【分析】根据已知条件可以求出第一个零点，再由相邻的两个零点间的距离为半个周期，依次得到第二、
三、四个零点，限定第三个零点在已知范围内，第四个零点不在范围内即可求解.
【解析】 ，因为 ，且 ，
令 ，则 ，
所以 位于 正半轴的第一个零点为 ，
又 ，故 的第二个零点为 ，
的第三个零点为 ，
的第四个零点为 ，由题知 在 上有三个零点，故 ，
解得 ，又因为
所以 的值可以为7或8或9.
故答案为：7（答案不唯一）.
14．为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草
坪，周围的圆环分为 等份种植红、黄、蓝三色不同的花.要求相邻两部分种植不同颜色的花.
如图①，圆环分成的 等份分别为 ， ， ，有 种不同的种植方法.
（1）如图②，圆环分成的4等份分别为 ， ， ， ，有 种不同的种植方法；
（2）如图③，圆环分成的 等份分别为 ， ， ， ， 有 种不同的种植方法.
【答案】 18 且
【分析】
（1）分类讨论 不同色与同色两种情况，由分步计数原理得到结果；
（2）由题意知圆环分为 等份，对 有3种不同的种法，对 、 、 都有两种不同的种法，但这样的
种法只能保证 与 、3、 不同颜色，但不能保证 与 不同颜色．在这种情况下要分类，一类
是 与 不同色的种法，另一类是 与 同色的种法，根据分类计数原理得到结果．
【解析】（1）如图②，当 不同色时，有 (种)种植方法，当 同色时，有 (种)种植方法，
由分类加法计数原理得，共有 (种)种植方法；
（2）如图3，圆环分为 等份，对 有3种不同的种法，对 都有两种不同的种法，
但这样的种法只能保证 与 、3、 不同颜色，但不能保证 与 不同颜色．
于是一类是 与 不同色的种法，这是符合要求的种法，记为 种．
另一类是 与 同色的种法，这时可以把 与 看成一部分，
这样的种法相当于对 部分符合要求的种法，记为 ，共有 种种法，
这样就有 ，即 ，
则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
则 ．
由题意知： ，则
， .
故答案为：18， （ 且 ．
四、解答题
15． 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求角 的值；
(2)若 的面积为 ，求 .
【答案】(1)
(2)2，2【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简即可得解；
（2）由三角形面积公式及余弦定理求解即可.
【解析】（1） ，
由正弦定理可得： ，
，
，
即 ，
， ，
， .
（2）由题意， ，
所以 ，
由 ，
得 ，
所以 ，解得： .
16．如图，已知正三棱柱 分别为棱 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】利用线面垂直判定定理来证明；用向量法计算两平面夹角的余弦值，再求夹角的正弦值；
【解析】（1）取 中点 ，由正三棱柱性质得， 互相垂直，以 为原点，分别以 ，
所在直线为 轴， 轴， 轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设 ，则 ，
则 ．
证明： ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
因为 平面 ，所以 平面 ．
（2）
由（1）可知 为平面 的一个法向量，设 平面 的法向量，
则 ,故 ，令 ，得面 的一个法向量为 ，
设二面角 的值为 ，
则 ，所以，二面角 的正弦值为 ．
17．软笔书法又称中国书法，是我国的国粹之一，琴棋书画中的“书”指的正是书法.作为我国的独有艺术，
软笔书法不仅能够陶冶情操，培养孩子对艺术的审美还能开发孩子的智力，拓展孩子的思维与手的灵活性，
对孩子的身心健康发展起着重要的作用.近年来越来越多的家长开始注重孩子的书法教育.某书法培训机构
统计了该机构学习软笔书法的学生人数（每人只学习一种书体），得到相关数据统计表如下：
楷 隶
书体 行书 草书 篆书
书 书
人数 24 16 10 20 10
(1)该培训机构统计了某周学生软笔书法作业完成情况，得到下表，其中 .
认真完
不认真完成 总计
成
男生
女生
总计 60
若根据小概率值 的独立性检验可以认为该周学生是否认真完成作业与性别有关，求该培训机构学
习软笔书法的女生的人数.
(2)现从学习楷书与行书的学生中用分层随机抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，记4人
中学习行书的人数为 ，求 的分布列及数学期望.
参考公式及数据： .
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】(1)20(2)分布列见解析，
【分析】（1）由已知数据完成列联表，根据独立性检验的结论列不等式求出 的值，可得女生人数；
（2）由分层抽样确定两组人数，根据 的取值计算相应的概率，得分布列，计算数学期望.
【解析】（1）根据题意，完成列联表如下：
不认真完
认真完成 总计
成
男
生
女
生
总
60 20 80
计
由题意可得 ，
得 .
易知 为5的倍数，且 ，所以 ，
所以该培训机构学习软笔书法的女生有 （人）.
（2）因为学习软笔书法的学生中学习楷书与行书的人数之比为 ，
所以用分层随机抽样的方法抽取的10人中，学习楷书的有 （人），学习行书的有
（人），
所以 的所有可能取值为 ，
， ， ，
， .
的分布列为：0 1 2 3 4
所以 .
18．在平面直角坐标系 中，一动圆经过点 且与直线 相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线
K，P是曲线K上一点．
(1)求曲线K的方程；
(2)过点A且斜率为k的直线l与曲线K交于B、C两点，若 且直线OP与直线 交于Q点．求
的值；
(3)若点D、E在y轴上， 的内切圆的方程为 ，求 面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)8
【分析】
（1）由题意动圆的轨迹满足抛物线的定义，所以得出抛物线的轨迹方程即可，
（2）联立直线l与抛物线，求出 的值，又 ，设出OP的方程，再联立抛物线求出 的值，
再求出 ，得出 的值；
（3）由于D、E在y轴上，设出D、E坐标，并求出 ，P点的横坐标即为 的高，再求 面
积的最小值即可．
【解析】（1）由题意可知圆心到 的距离等于到直线 的距离，
由抛物线的定义可知，曲线K的轨迹方程为 ，
（2）
设直线l的方程为 ，
联立 ，消y得 ，
∴ ，∴ ，
设 ，∴ ,
又 ，
∴
∵ ，∴设直线OP的方程为 ，
联立 ，消y得 ，
∴ ，∴ ，∴ ，令 ，则 ，∴ ，∴ ，
∴ ，
故 的值为 ，
（3）
设 ，
直线PD的方程为 ，
又圆心 到PD的距离为1，即 ，
整理得 ，
同理可得 ，
所以，可知b，c是方程 的两根，
所以 ， ，
依题意 ，即 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时上式取等号，
所以 面积的最小值为8．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数
的最值或范围．
19．给出下列两个定义：
I.对于函数 ，定义域为 ，且其在 上是可导的，若其导函数定义域也为 ，则称该函数是“同
定义函数”.
II.对于一个“同定义函数” ，若有以下性质：
① ；② ，其中 为两个新的函数， 是
的导函数.
我们将具有其中一个性质的函数 称之为“单向导函数”，将两个性质都具有的函数 称之
为“双向导函数”，将 称之为“自导函数”.
(1)判断函数 和 是“单向导函数”，或者“双向导函数”，说明理由.如果具有性质①，则写
出其对应的“自导函数”；
(2)已知命题 是“双向导函数”且其“自导函数”为常值函数，命题
.判断命题 是 的什么条件，证明你的结论；(3)已知函数 .
①若 的“自导函数”是 ，试求 的取值范围；
②若 ，且定义 ，若对任意 ，不等式 恒成立，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)既不充分也不必要条件；证明见解析
(3)
【分析】（1）由 和 ，结合题设中函数的定义，即可得到答案；
（2）由 成立，得到 ，设 ，得出 为“单向导函数”，再设 ，
得到 为“双向导函数”，结合 不是常值函数，求得 不是 的必要条件；再由 成立，得到
，进而得出结论；
（3）①由题意得到 ，求得 ；②由题意求得 且 ，令
，求得 ，得到存在 使得 ，进而得到 单调性，
分类讨论，即可求解.
【解析】（1）解：对于函数 ，则 ，
这两个函数的定义域都是 ，
所以函数 为“同定义域函数”，此时， ，
由函数的定义，对于 ， 无法同时成立，所以 为“单向导函数”，其“自导函数”为 ，
对于函数 ，则 ，
因为这两个函数的定义域不同，所以不是“同定义函数”.
（2）解：若 成立， ，则 ，
设 ，则 ，所以 为“单向导函数”，
又设 ，则 ，所以 为“双向导函数”，
但 不是常值函数，所以 不是 的必要条件；
若 成立，则 ，所以 ，所以 ，
所以 不成立，所以 是 的既不充分也不必要条件.
（3）解：①由题意， ，且 ，
所以 ，所以 ；
②由题意 ，所以 且 ，
令 ，
可得 ，且 ，
因为 为单调递增函数，且 ，
所以存在 使得 ，
且当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
（i）当 时，即 ，所以 ，
此时 ， 在 上单调递增，可得 ；
（ii）当 时， ，此时 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
又由 ，所以 ；
（iii）当 且 时， ，
所以函数 在 上存在两个极值点，
若 ，即 时，极大值点为 ；
若 ，即 时，极大值点为 ，
则 为函数的极大值或 ，
由当 时， ，
令 ，则 ，
设 ，
则 ，
所以 ，即 单调递增，所以 ，
所以 单调递增，所以 ，
综上可得， ，所以实数 的取值范围为 .
【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放
缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
