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考前30 天最新模拟题计算题满分精练
专题8 机械振动和机械波
1. ．（12 分）（2024 河南南阳六校联考）如图所示，一列简谐波沿x 轴负方向传播，在
时刻的波形
图线，虚线是该波在
时刻的波形图线．P 质点的坐标是
．求：
（1）波的传播速度大小v；
（2）若该波的周期
，质点P 的位移
随时间t 的表达式．
【参考答案】
（1）波沿
方向传播，
（4 分）
（2）
（8 分）
【名师解析】
（1）方法一：波沿
方向传播，由时间周期性：
（1 分）
（1 分）
（1 分）
（1 分）
方法二：由空间周期性：
（1 分）
1
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（1 分）
（1 分）
（1 分）
（2）因
（1 分）
（1 分）
结合
，
（2 分）
由图线可知：
，
（1 分）
（1 分）
．（2 分）
2. (2024 湖北部分重点高中4 月联考)甲、乙两列简谐横波在同一介质中分别沿x 轴正向和x
轴负向传播，波速均为20cm/s,振幅均为 10 cm,两列波在 t =0时的波形曲线如图所示，
求：
(1)t=0 时，介质中偏离平衡位置位移为 20cm 的所有质点的横坐标；
(2)从t=0 开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为- -20cm的质点的时间。
【名师解析】：(1)t=0 时，在x=40cm 处两列波的波峰相遇，该处质点偏离平衡位置的位移为20cm，两列
波的波峰相遇处的质点偏离平衡位置的位移均为 20cm
从题图可以看出，甲、乙两列波的波长分别为
λ₁= 40cm, λ₂=50cm
(2 分)
甲、乙两列波波峰的横坐标分别为
x₁= 40cm+ k ₁ λ₁(k ₁
为整数) (2 分)
x₂= 40cm+ k ₂ λ₂(k ₂
为整数) (2 分)
2
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综合可得，介质中偏离平衡位置位移为20cm 的所有质点的横坐标为
x=(40+200n) cm(n 为整数)。(2 分)
(2)只有两列波的波谷相遇处的质点的位移为-20cm
t=0 时，两列波的波谷间的横坐标之差为
Δ x
' =[40cm+(2m2+1)
λ2
2 ]-[40cm+(2m1+1)
λ1
2 ]
(2 分)
式中m₁ 和m₂ 均为整数，可得 Δ x
' =[10(5m₂- 4 m₁)+5]cm
(1 分)
由于m₁ 和m₂ 均为整数，因此相向传播的波谷间的最小距离为
△x
' =5cm
(1 分)
从t=0 开始，介质中最早出现偏离平衡位置位移为--20cm 的质点的时间为
t = Δ x
'
2v
(1 分)
解得t=0.125 s。(2 分)
3．（2024 辽宁重点高中4 月质检）（10 分）某简谐横波
时刻波形图如图甲所示，波形图上P 点的振
动图像如图乙所示．求：
（1）该波传播的方向及波速；
（2）P 点横坐标
；
（3）写出P 点振动的方程．
【参考答案】．（10 分）（1）
（2）
（3）
【名师解析】（1）P 质点
时刻沿y 轴正方向运动，结合图甲可知：波沿x 轴负方向传播（1 分）
由
（1 分）
3
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（注：用小数表示也给分）（1 分）
（2）
（1 分）
由乙图得
（1 分）
解得，
（注：用小数表示也给分）（1 分）
（3）
（1 分）
，解得
（1 分）
设P 质点的振动方程
时，
，且沿y 轴正向方向运动
则
（1 分）
P 质点的振动方程
（1 分）
4. （2024 山东济宁一中2 月质检） 如图所示为波源O 做简谐运动的振动图像，
时振动开始向外传播，
已知沿着波的传播方向O、M 两质点平衡位置间的距离为5m，
时质点M 偏离平衡位置的位移第一次
为10cm，求：
（1）自
时起，经过多长时间波源O 的位移第一次为10cm；
（2）该简谐波的波速和波长；
（3）自
至
质点M 通过的路程。
4
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【参考答案】（1）
；（2）
，
；（3）
【名师解析】
（1）由波源O 的振动图像知，其振动方程为
时，时间t 的最小值为
经过
波源O 的位移第一次为
；
（2）波自O 传到M 的时间
波速
波长
（3）质点M 振动的时间间隔为
5
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质点M 通过的路程
5. （2024 山东威海期末）如图所示，t=0 时刻，位于x=0 处的质点A 从平衡位置开始向下运动，经1.4s 第
一次形成如图所示的波形。质点B 是平衡位置为x=2.2m 处的质点。求：
（1）该波
波速；
（2）从t=0 到质点B 第一次到达波峰，质点A 通过的路程。
【参考答案】（1）0.5m/s；（2）42cm
【名师解析】
（1）该波的波速
（2）由图可知，该波波长为λ=1.2m，周期为
则
设质点的振动表达式为
将
，y=2cm 代入可得
6
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从t=0 到质点B 第一次到达波峰经历的时间
解得
质点A 通过的路程
6. （2024 江苏泰州3 月调研） 如图所示，一根粗细均匀的木筷下端绕有几圈铁丝，竖直浮在一个较大的
盛水容器中，以木筷静止时下端所在位置为坐标原点O 建立直线坐标系，把木筷往下压一段距离
后放手，木筷就在水中上下振动。已知水的密度为
，重力加速度为g，不计水的阻力。
（1）试证明木筷的振动是简谐运动；
（2）观测发现筷子每10 秒上下振动20 次，从释放筷子开始计时，写出筷子振动过程位移随时间变化的关
系式。
【参考答案】（1）见解析；（2）
【名师解析】（1）如图所示
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取向下为正方向，将木筷往下按x 之前
按下x 后
，
令
，则
所以，木筷在水中的运动为简谐运动。
（2）因为筷子每10 秒上下振动20 次，则筷子简谐运动的周期为
则筷子振动过程位移随时间变化的关系式
7. .（2024 江苏南京期末）如图所示，
点为单摆的固定悬点，测得摆球的质量为
，摆长为。现将摆
球拉到A 点，
小于
，释放摆球，摆球将在竖直平面内的
之间来回摆动，到达最低点
时
摆线所受的拉力大小为
，不计一切阻力。重力加速度大小为
，以
处为零势面。求摆球
（1）第一次从A 运动到
的时间；
（2）具有的重力势能的最大值
。
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【参考答案】（1）
；（2）
【名师解析】
（1）根据单摆的振动周期公式
摆球第一次从A 运动到B 的时间为
解得
（2）在B 点对摆球由牛顿第二定律得
由机械能守恒定律得
解得
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8．(2024 江西赣州质检) (10 分)某单摆做简谐运动，运动过程中摆线的最大拉力与最小拉力之比为
，以
摆球平衡位置所在水平面为零重力势能参考面，摆球的动能和重力势能随时间的变化规律如图所示，已知
角度θ 很小时，
，重力加速度g 取10m/s2，
。求：
（1）单摆的振动周期和摆长；
（2）摆球的质量；
（3）单摆做简谐运动的振幅（结果保留两位有效数字）。
【参考答案】（1）
，
；（2）
；（3）
【名师解析】（1）一个单摆周期内摆球的动能和重力势能有两次达到最大值，因此由图可知该单摆的振
动周期为
由单摆周期公式
代入数据可得
（2）设单摆在最高点时摆线与竖直方向的夹角为
，在最高点时摆线的拉力最小，最小为
在最低点摆线拉力最大，此时速度也为最大，设为
，则
由题意可得
由图可知
联合解得
（3）由（2）中分析可得
即
由几何知识可得单摆做简谐运动的振幅为
9．（2024 年3 月江苏无锡四校调研）如图甲，O 点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O 点之间.
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现将摆球拉到A 点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C 之间来回摆动，其中B 点为运动中的最低位置.
图乙表示细线对摆球的拉力大小F 随时间t 变化的曲线，图中t=0 为摆球从A 点开始运动的时刻，g 取
10m/s2.
（1）求单摆的振动周期和摆长；
（2）求摆球运动过程中的最大速度.
【参考答案】（1）0.4 πs，0.4m；（2）0.283m/s
【名师解析】（1）小球在一个周期内两次经过最低点，由图乙可知该单摆的周期
T =0.4 π
由单摆的周期公式
T =2π√
L
g
解得
L= gT
2
4 π
2 =0.4 m
（2）在最高点A，沿着摆线的方向根据平衡条件有
Fmin=mgcosθ =0.495 N
在最低点B，由牛顿第二定律有
Fmax =mg+m v
2
L =0.510 N
从A 到B，机械能守恒，由机械能守恒定律得
mgR (1-cosθ)= 1
2 m v
2
联立三式解得
v = √2
5 m/ s≈0.283m/ s
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10．（12 分）（2024 年4 月北京东城区模拟）平抛运动、简谐运动、匀速圆周运动是三种典型的质点运动
模型，初速度和受力情况的不同决定了质点做何种运动。
（1）平抛运动是加速度为重力加速度g 的匀变速曲线运动。一质点以初速度
在竖直面内做平抛运动，
以抛出点为原点，以
的方向为x 轴的正方向，竖直向下为y 轴的正方向建立坐标系。
a．某时刻质点速度与水平方向的夹角为
，质点相对于抛出点的位移与水平方向的夹角为
，请证明
与
满足：
；
b．请写出质点的轨迹方程。
（2）简谐运动的质点所受回复力F 与位移x 成正比，且方向总和位移相反，即
，其中k 为常数。
如图所示，竖直平面内有一光滑的抛物线轨道，其轨迹方程与（1）问中求得的结果相同。现有一质量为m
的小珠子套在轨道上，且可在轨道上自由滑动。若将小珠子从轨道上距轨道中心O 点很近的地方由静止释
放，小珠子将围绕O 点做往复运动。请证明小珠子在轨道中心O 点附近的往复运动是简谐运动（当
很小
时，
）。
（3）做匀速圆周运动的质点，其合力总指向圆心，大小等于质量乘以向心加速度。若第（2）问的抛物线
轨道绕y 轴转动，请讨论并说明当以不同角速度匀速转动时，小珠子能否相对轨道静止？若能，请说明相
对静止的位置。
【名师解析】．（12 分）
（1）a．由平抛运动的位移规律得：
由平抛运动的速度规律得：
于是得到：
b．由平抛运动的位移规律得
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（2）设小珠子在某时刻的位置坐标为
，此时速度方向（切线方向）与水平方向的夹角为
，则质点
所受指向平衡位置的力
（因距O 点很近，所以
很小）
根据前面抛物线的规律可知：
，
代入得到：
，即物体做简谐运动。
（3）假设小珠子相对轨道静止处的位置坐标为
，
根据牛顿定律：
由
，得
由于轨道方程为
，即
于是可得
，由此式可知，当
时此式恒成立，与y 无关。
结论：①若
，小珠子可以相对轨道静止在任意位置处；
②若
，小珠子不能相对轨道静止，一定会滑向O 点，只能在O 处相对静止；
③若
，小珠子不能相对轨道静止，一定会被向外甩出轨道，只能在O 处相对静止。
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