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第4 讲 概率与统计的创新题型（新高考专用）
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................2
【考点一】概率和数列的综合问题..................................................................................................2
【考点二】概率和函数的综合问题..................................................................................................4
【专题精练】.................................................................................................................................6
考情分析：
目录
1
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概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实，题型新颖，综合性增强，难度加深，主要考查学生的阅
读理解能力和数据分析能力．要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息，搞清各数据、
各事件间的关系，建立相应的数学模型求解．
一、解答题
1．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，
若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率
均为0.8．由抽签确定第1 次投篮的人选，第1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2 次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量
服从两点分布，且
，则
．
记前
次（即从第1 次到第
次投篮）中甲投篮的次数为
，求
．
2．（2021·全国·高考真题）一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0 代，
经过一次繁殖后为第1 代，再经过一次繁殖后为第2 代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有
相同的分布列，设X 表示1 个微生物个体繁殖下一代的个数，
．
（1）已知
，求
；
（2）设p 表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p 是关于x 的方程：
的一个最小正实根，求证：当
时，
，当
时，
；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义．
【考点一】概率和数列的综合问题
一、单选题
1．（2024·山东聊城·三模）设正项数列
的前
项和
满足
表示从
个不同元素中任取
真题自测
考点突破
2
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个元素的组合数，则
（ ）
A．512
B．1024
C．5120
D．10240
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知数列
共有9 项，
，
，且满足：
（
，
），则符合条件的数列
共有（ ）个．
A．16
B．40
C．70
D．80
二、多选题
3．（2024·河南信阳·模拟预测）甲乙两个口袋中各装有1 个黑球和2 个白球，现从甲、乙两口袋中各任取
一个球交换放入另一口袋，重复进行
次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为
，恰有1 个黑球
的概率为
，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．数列
是等比数列
D．
的数学期望
4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知随机变量X 的分布列如下：
1
2
3
…
n
…
若数列
是等差数列，则（ ）
A．若n 为奇数，则
B．
C．若数列
单调递增，则
D．
三、填空题
5．（2024·江西·一模）斐波那契数列
，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那
3
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契
以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、
2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：
且
中，则B 中所有元素之和为奇数
的概率为 ．
四、解答题
6．（2025·广东广州·模拟预测）已知有穷数列
的通项公式为
，将数列
中各项重新排
列构成新数列
，则称数列
是
的“重排数列”；若数列
各项均满足
，则称数列
是
的“完全重排数列”，记项数为
的数列
的“完全重排数列”的个数为
．
(1)计算
，
，
；
(2)写出
和
，
之间的递推关系，并证明：数列
是等比数列；
(3)若从数列
及其所有“重排数列”中随机选取一个数列
，记数列
是
的“完全重排数列”
的概率为
，证明：当
无穷大时，
趋近于
．（参考公式：
）
规律方法：
概率问题与数列的交汇，综合性较强，主要有以下类型：
(1)求通项公式：关键是找出概率Pn或均值E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出
通项公式．
(2)求和：主要是数列中的倒序相加法求和、错位相减法求和、裂项相消法求和．
(3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限．
【考点二】概率和函数的综合问题
一、单选题
1．（2024·浙江·三模）定义函数集
．已知函数
4
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，
，
，
．若函数
，则在
为奇函数的条件下，
存在单调递减区间的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·河南·三模）有以下6 个函数：①
；②
；③
；④
；⑤
；⑥
.记事件
：从中任取1 个函数是奇函数；事件
：从中任
取1 个函数是偶函数，事件
的对立事件分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
3．（23-24 高三上·河北邢台·开学考试）欧拉是18 世纪最优秀的数学家之一，几乎每个数学领域都可以看
到欧拉的名字，如著名的欧拉函数.欧拉函数
的函数值等于所有不超过正整数n，且与n 互素(两个数
只有公约数1)的正整数的个数.例如：
，
.现从
中任选两个数，
则这两个数相同的概率是 .
4．（23-24 高二上·福建泉州·阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王
子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数
称为高
5
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斯函数，其中
表示不超过
的最大整数.设
，则除以2023 的余数是 .
三、解答题
5．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知某地居民某种疾病的发病率为0.02，现想通过对血清甲胎蛋白进行检
验，筛查出该种疾病携带者.
(1)若该检测方法可能出错，具体是：患病但检测显示正常的概率为0.01，未患病但检测显示患病的概率为
0.05.
①求检测结果显示患有该疾病的概率；
②求检测显示患有该疾病的居民确实患病的概率.（保留四位有效数字）
(2)若该检测方法不可能出错，采用混合化验方法：随机地按
人一组分组，然后将
个人的血样混合再化
验，如果混合血样呈阴性，说明这
人全部阴性；如果混合血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次
（每一小组都要按要求独立完成），
取何值时，总化验次数最少？
说明：函数
先减后增.
0.8858
0.8681
0.8508
0.8337
6．（2024·广东·一模）某工厂生产某种电子产品配件，关键环节是需要焊接“接线盒”，焊接是否成功直
接导致产品“合格”与“不合格”，公司检验组经过大量后期出厂检测发现“不合格”产品和“合格”产
品的性能指标有明显差异，得到如下的“不合格”产品和“合格”产品该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值
，将该指标大于
的产品判定为“不合格”，小于或等
于
的产品判定为“合格”．此检测标准的漏检率是将“不合格”产品判定为“合格”产品的概率，记为
；错检率是将“合格”产品判定为“不合格”产品的概率，记为
．假设数据在组内均匀分布，
以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
6
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(1)当漏检率
时，求临界值
和错检率
；
(2)设函数
，当
时，求
的解析式，并求
在区间
的最小值．
规律方法：
构造函数求最值时，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制．
一、单选题
1．（2024·福建三明·三模）随机变量
，函数
没有零点的概率是
，则μ 的值
为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2024·湖南常德·一模）将三个分别标注有
，x，
的三个质地均匀的小球放入一个不透明的小盒
中.无放回的随机取出2 个小球（每次取一球），分别记录下小球的标注为
.若
，
则
在
上单调递减的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·四川成都·模拟预测）对数的发明是数学史上的重大事件，它可以改进数字的计算方法、提高计
算速度和准确度.已知
，
，若从集合M，N 中各任取一个数x，y，则
为整数
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2024·安徽·模拟预测）科学家从由实际生活得出的大量统计数据中发现以1 开头的数出现的频率较高，
以1 开头的数出现的频数约为总数的三成，并提出定律：在大量b 进制随机数据中，以n 开头的数出现的
概率为
，如裴波那契数、阶乘数、素数等都比较符合该定律．后来常有数学爱好者用此定
专题精练
7
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律来检验某些经济数据、选举数据等大数据的真实性．若
（
，
），则k 的
值为（ ）
A．11
B．15
C．19
D．21
5．（2024·河南·二模）单调递增数列
满足：
.在
的条件下，
的概率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（23-24 高三下·云南·阶段练习）随着互联网普及和技术的飞速发展，网络游戏已成为当今社会的一种
流行文化，也是青少年学习、娱乐和社交的重要方式.但随着网络游戏的推广发展，一些青少年对其过度依
赖，甚至对心理健康产生了不可忽视的影响.“预防网络游戏沉迷，关爱青少年心理健康，已成为亟需破解
的现实问题.”某款网络游戏的规则如下：参与者每一局需投一枚游戏币，每局通关的概率为50%，若该局
通关，参与者可以赢得两个游戏币.遇到两种情况会自动结束游戏：一种是手中没有游戏币；一种是手中游
戏币到预期的
个.设当参与者手中有
个（
）游戏币时，最终手中没有游戏币的概率为
，
下列说法错误的是（ ）
A．
，
B．记
参与者通关的局数，在前13 局中，
，
C．
D．若参与者最初手中有20 个游戏币，他希望赢到100 个，则他输光的概率为
7．（24-25 高三上·福建·开学考试）某城市采用摇号买车的方式，有20 万人摇号，每个月摇上的人退出摇
号，没有摇上的人继续进入下月摇号，每个月都有人补充进摇号队伍，每个季度第一个月摇上的概率为
，
第二个月为
，第三个月为
，则平均每个人摇上需要的时间为（ ）个月.
A．7
B．8
C．9
D．10
8
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8．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）已知A 细胞有0.4 的概率会变异成
细胞，0.6 的概率死亡；
细
胞有0.5 的概率变异成A 细胞，0.5 的概率死亡，细胞死亡前有可能变异数次．下列结论成立的是（ ）
A．一个细胞为A 细胞，其死亡前是A 细胞的概率为0.75
B．一个细胞为A 细胞，其死亡前是
细胞的概率为0.2
C．一个细胞为
细胞，其死亡前是A 细胞的概率为0.35
D．一个细胞为
细胞，其死亡前是
细胞的概率为0.7
二、多选题
9．（2024·广西来宾·一模）甲，乙，丙，丁等4 人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者
将球等可能地传给另外3 人中的任何1 人，经过n 次传球后，球在甲手中的概率为Pn(n=1,2,⋯)，则下列
结论正确的是（ ）
A．经过一次传球后，球在丙中概率为
B．经过两次传球后，球在乙手中概率为
C．经过三次传球后，球在丙手中概率为
D．经过n 次传球后，
10．（2024·全国·模拟预测）甲、乙、丙三人做足球传球训练，规定：每次传球时，传球人将球传给另两
人中的任何一人是等可能的．假设第1 次由甲将球传出，第k 次传球后，球回到甲处的概率为
（
），则（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（22-23 高二下·贵州贵阳·阶段练习）甲乙丙丁
､
､
､
4 人做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随
机传向另外3 人中的1 人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3 人中的1 人，如此不停地传下去，
假设传出的球都能接住.记第
次传球之前球在甲手中的概率为
，易知
.下列选项正确的是
（ ）
A．
9
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B．
为等比数列
C．设第
次传球之前球在乙手中的概率为
D．第4 次传球后，球落在乙手中的传球方式有20 种
三、填空题
12．（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑白方块记录数据符号信息的平面图形
､
.某公司计划使用一
款由
个黑白方块构成的
二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器
每秒能随机生成
个不重复的二维码，为确保一个
二维码在1 分钟内被破译的概率不高于
，则
的最小值为 .
13．（2024·江苏连云港·模拟预测）已知某公司加工一种芯片的不合格率为p，其中
，若加工后的
30 颗这种芯片中恰有6 颗不合格的概率为
，且各颗芯片是否为不合格品相互独立，则当
取最大
值时，
．
14．（22-23 高二下·北京丰台·期末）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每
次投掷结果是正面的概率为p（
）.现在连续投掷该枚硬币10 次，设这10 次的结果恰有2 次是正
面的概率为
，则
；函数
取最大值时，
.
四、解答题
15．（2024·浙江·三模）为提高学生的思想政治觉悟，激发爱国热情，增强国防观念和国家安全意识，某
校进行军训打靶竞赛．规则如下：每人共有3 次机会，击中靶心得1 分，否则得0 分、已知甲选手第一枪
击中靶心的概率为
，且满足：如果第n 次射击击中靶心概率为p，那么当第n 次击中靶心时，第
次
击中靶心的概率也为p，否则第
次击中靶心的概率为
．
(1)求甲选手得分X 的分布列及其数学期望；
(2)有如下定义：设X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
，
称为X 的分布函数，
10
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对于任意实数
，
，有
．因此，若已知X
的分布函数，我们就知道X 落在任一区间
上的概率．
（i）写出（1）中甲选手得分X 的分布函数（分段函数形式）；
（ii）靶子是半径为2 的一个圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比，假如选
手射击都能中靶，以Y 表示弹着点与圆心的距离．试求随机变量Y 的分布函数．
16．（2024·福建龙岩·三模）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五
个层级，分别对应如下五组质量指标值：
.根据长期检测结果，得到
芯片的质量指标值
服从正态分布
，并把质量指标值不小于80 的产品称为
等品，其它产品称
为
等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100 件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.
(1)根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差的近似值为11，用样本平均数
作为
的近似值，用
样本标准差作为
的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为
等品的概率(保留小数点后
面两位有效数字)；
(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量
服从正态分布
，则
，
. )
(2)（i）从样本的质量指标值在
和[85，95]的芯片中随机抽取3 件，记其中质量指标值在[85，95]的
芯片件数为
，求
的分布列和数学期望；
（ii）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100 件一箱包装. 已知一件
等品芯片
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的利润是
元，一件
等品芯片的利润是
元，根据(1)的计算结果，试求
的值，使得
每箱产品的利润最大.
17．（2024·贵州遵义·二模）商场对某种商品进行促销，顾客只要在商场中购买该商品，就可以在商场中
参加抽奖活动．规则如下：先赋予参加抽奖的顾客5 分的原始分，然后从装有4 个红球，2 个白球，2 个黑
球的盒中有放回地随机取球若干次，每次取出一个球，若为红球，则加1 分，否则扣1 分，过程中若顾客
持有分数变为0 分，抽奖结束；若顾客持有分数达到15 分，则获得一等奖，抽奖结束．
(1)求顾客3 次取球后持有分数
的数学期望
；
(2)设顾客在抽奖过程中持有分数为
分最终获得一等奖的概率为
；
①证明：
是等差数列；
②求顾客获得一等奖的概率．
18．（2024·四川南充·一模）今年立秋以后，川渝地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论.根据专家推测，
主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，川渝地区上空晴朗少云，在
太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态.川东北某城市一室内
游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可自由选择A 和B 两个套餐之一；该游
泳馆在App 平台上推出了优惠券活动，下表是App 平台统计某周内周一至周六销售优惠券情况.
星期t
1
2
3
4
5
6
销售量y（张）
218
224
230
232
236
90
经计算可得：
，
，
.
(1)因为优惠券销售火爆，App 平台在周六时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，现剔
除周六数据，求y 关于t 的经验回归方程；
(2)若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为
，选择B 套餐的概率为
，并且A 套餐包含两张优惠券，B
套餐包含一张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为
，求
；
(3)请依据下列定义，解决下列问题：
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定义：如果对于任意给定的正数
，总存在正整数
，使得当
时，
（a 是一个确定的实
数），则称数列
收敛于a.
运用：记（2）中所得概率
的值构成数列
.求
的最值，并证明数列
收敛.
参考公式：，.
13
