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线段法 （讲义+笔记） 主讲教师：田鹏 授课时间：2025.04.11 粉笔公考·官方微信 1 线段法（讲义） 【例1】（2025 联考）实验室只有盐和浓度为40%的盐水，为制备120 克浓 度为50%的盐水，则需要浓度为40%的盐水量是： A.60 克 B.80 克 C.100 克 D.110 克 【例2】（2025 广东）某助农电商企业销售柠檬、蜜柚两种水果，由于季节 变化，这个月蜜柚的销量比上月增加了40%，而柠檬的销量降低了20%，最终当 月这两种水果的总销量比上个月增加4%，则蜜柚上月销量占这两种水果上月销 量的（ ）。 A.60% B.50% C.40% D.30% 【例3】（2023 上海）某公司生产A、B 两种产品，其中B 是A 的升级产品。 经过调研，预判2022 年市场对A 产品的需求比2021 年下降30%（A 产品的价格 不变）。因此公司决定增加对B 产品营销，使B 产品在2022 年的销售收入比2021 年增长70%，这样恰好使公司2022 年的总销售收入比2021 年增长10%。则2021 年B 产品的销售额占总销售额的比例是_____。 A.40% B.50% C.60% D.70% 2024 年1～10 月，全省规模以上工业增加值同比增长8.3%，较前三季度提 高0.1 个百分点。其中，10 月份同比增长8.7%，较上月提高0.9 个百分点。全 省规模以上高技术制造业增加值同比增长11.6%，较前三季度提高1.1 个百分点， 高于上年同期4.8 个百分点。全省规模以上装备制造业增加值同比增长9.0%， 高于全部规模以上工业0.7 个百分点。 【例4】（2025 山东事业单位）2023 年1～10 月全省规模以上工业增加值是 2023 年前三季度的多少倍？（ ） 2 A.1.25 B.1.05 C.1.15 D.0.95 【例5】（2024 联考）某人买了甲、乙两种金融产品，期限结束后，甲、乙 两种金融产品收益率分别是5%和3%，最终收益率为3.5%，那么购买甲、乙两种 金融产品的金额比例为： A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4 【例6】（2023 浙江）将一叠文件分为若干组，每组正好有10 份文件。已知 其中2 组文件中有18 份通知，其余每组文件中最多有5 份通知，且所有文件中 通知占比正好为60%。那么这叠文件最多可能有多少份？ A.50 B.60 C.70 D.80 【例7】（2024 江苏）甲瓶中有50 克浓度为80%的溶液，加水50 克混合后 倒出40 克至空瓶乙中；再往甲瓶中加水40 克，混合后又倒出40 克至乙瓶中。 最终乙瓶中溶液的浓度是： A.38% B.32% C.26% D.20% 【例8】（2021 广东选调）某单位有40 名职工，有部分人分A、B 两个批次 参与一次法律素质测评，每人只能参加一个批次，A 批次的平均成绩为86 分，B 批次的平均成绩为80 分，总的平均成绩为84 分，则该单位参与这次法律素质测 评的职工最多有（ ）人。 A.36 B.37 C.38 D.39 【例9】（2024 联考）高校管理学院某期培训班有不到100 名学员参加，期 3 中、期末两次考试平均分分别为68 分和75 分，期中考试不及格学员平均分为 53 分，及格学员平均分为74 分；期末考试不及格学员平均分为47 分，及格学 员平均分为83 分。问这期培训班有多少名学员参加？ A.42 B.54 C.63 D.77 ……全国居民人均消费支出21559 元，比2012 年增长78.9%，年均增长8.7%。 其中，城镇居民人均消费支出28063 元，比2012 年增长64.0%；农村居民人均 消费支出13328 元，比2012 年增长99.9%。 【例10】（2021 江苏）2019 年城镇居民人口占总人口的比重约为： A.52.7% B.53.8% C.54.1% D.55.9% 4 线段法（笔记） 【注意】说在课前： 1.关于区别：方程法、十字交叉、线段法。三个方法都可以用，原理是相同 的，适用范围也一样。如微信，方程法相当于1.0 版本，能够接收微信，但是比 较慢；在慢的基础上，进行了一定的优化，变成2.0 版本（十字交叉），比较快； 在快的基础上，比较容易出错，为了更清楚、更快、更准确，利用线段法。 2.关于秩序：听懂打1，不懂打0，及时互动。 3.学习内容： （1）什么时候用——明辨：特征、适用范围。 （2）怎么用——熟记：结论、操作形式。老师会推导原理，但是只推导一 遍，如果实在不理解，考试不考推导，原理不重要，重点是记住结论、操作形式。 举个例子： 20%的盐水X 克与35%的盐水Y 克，混合为26%的盐水 问：X 与Y 的比值 【注意】举个例子： 1.例：20%的盐水X 克与35%的盐水Y 克，混合为26%的盐水。问：X 与Y 的 比值。 （1）混合后总体的浓度居中，介于两个部分量的浓度中间。从口感上来说， 20%的盐水更淡，35%的盐水更咸，混合后，淡的会变咸一些，咸的会变淡一些。 （2）原理：根据混合前后溶质不变推导。盐是溶质，假设20%的盐水中盐 的质量为盐1、35%的盐水中盐的质量为盐2，盐1+盐2=总体，浓度（C）=溶质/ 溶液→溶质=浓度（C）*溶液，列式：20%X+35%Y=26%（X+Y）→（35%-26%）Y= （26%-20%）X→（X 量/Y 量）X/Y=（35%-26%）/（26%-20%）=9/6=3/2（Y 距离 /X 距离）。 2.结论：距离与量成反比。 3.操作：画一条线段，混合之前写两边、混合之后写中间，20%、35%写两边， 26%写中间，距离之比为6：9=2：3，距离与量成反比，则量之比为3：2。 5 【例1】（2025 联考）实验室只有盐和浓度为40%的盐水，为制备120 克浓 度为50%的盐水，则需要浓度为40%的盐水量是： A.60 克 B.80 克 C.100 克 D.110 克 【解析】1.混合溶液问题。只有盐（浓度为100%），画一条线段，混合之前 写两边、混合之后写中间，50%写中间，100%和40%写两边；距离与量成反比， 距离之比为（100%-50%）：（50%-40%）=5：1，则量之比为1：5，一共6 份，对 应120g，则一份为120/6=20g，所求=5*20g=100g，对应C 项。【选C】 变、变、变 1.实验室有20g 盐和若干浓度的盐水100g，混合为50%的盐水，则需要盐水 量的浓度是： 2.实验室有20g 盐和浓度为40%的盐水，混合为50%的盐水，则需要浓度为 6 40%的盐水量是： 【注意】变、变、变： 1.实验室有20g 盐和若干浓度的盐水100g，混合为50%的盐水，则需要盐水 量的浓度是： 答：混合溶液问题。盐的浓度为100%，画一条线段，混合之前写两边、混 合之后写中间，100%、40%写两边，50%写中间；距离与量成反比，距离之比为 （100%-50%）：（50%-40%）=50：10=5：1，则量之比为1：5，20 对应1 份，所求 =20*5=100。 2.实验室有20g 盐和浓度为40%的盐水，混合为50%的盐水，则需要浓度为 40%的盐水量是： 答：混合溶液问题。盐的浓度为100%，画一条线段，混合之前写两边、混 合之后写中间；距离与量成反比，量之比=20g：100g=1：5，则距离之比为5：1， 5 份对应50，则一份对应10，所求=50%-10%=40%。 【练习】（2024 广东事业单位）小红动手配制一瓶浓度为10%的盐水，在配 制过程中不小心加入了过多的盐，已知目前的溶液为300g，浓度为15%，则小红 还需要将（ ）的水加入溶液才能得到预期浓度的盐水。 7 A.120g B.130g C.140g D.150g 【解析】拓展.混合溶液问题。画一条线段，混合之前写两边、混合之后写 中间；水的浓度为0%，15%、0%写两边，10%写中间；距离与量成反比，距离之 比为（15%-10%）：（10%-0%）=1：2，则量之比为2：1，2 份对应300g，则1 份 对应150g，即需要加150g 的水，对应D 项。【选D】 总结 题型判断：混合溶液问题——线段法 解题技巧：熟记口诀 混合之前写两边，混合之后写中间 距离和量成反比，看好份数认真算 【注意】总结： 1.题型判断：混合溶液问题——线段法。 2.解题技巧：熟记口诀。 （1）混合之前写两边，混合之后写中间。 （2）距离和量成反比，看好份数认真算。 3.超级变变变：混合溶液的本质是两种不同浓度的溶液混合，浓度本质上是 百分数，混合百分比：%=A/B。 （1）浓度（%）=溶质/溶液。 （2）利润率（%）=利润/成本。如田老师卖衣服，卖一件上衣的利润为10%， 卖一件裤子的利润为20%，问卖一套的利润率，混合百分比，可以利用线段法。 （3）折扣（%）=售价/原价。如上衣打5 折，裤子打6 折，求总体折扣，混 8 合百分比，可以利用线段法。 （4）占比（%）=部分量/总量。如一班男生占比为50%，二班男生占比为90%， 问整个年级男生的占比，混合比重，可以利用线段法。 （5）增长率（%）=增长量/基期量。 4.距离与量成反比，%=A/B，量指的是分母B。 【例2】（2025 广东）某助农电商企业销售柠檬、蜜柚两种水果，由于季节 变化，这个月蜜柚的销量比上月增加了40%，而柠檬的销量降低了20%，最终当 月这两种水果的总销量比上个月增加4%，则蜜柚上月销量占这两种水果上月销 量的（ ）。 A.60% B.50% C.40% D.30% 【解析】2.根据题意，分为两个部分（蜜柚、柠檬），给了部分量的增长率 （40%、-20%）、混合后总销量的增长率（4%），混合百分比，利用线段法。画一 条线段，混合之前写两边、混合之后写中间，40%、-20%写两边，4%写中间；距 离与量成反比，距离之比为（40%-4%）：（4%+20%）=36%：24%=3：2，则量之比为 2：3。求蜜柚的占比，所求=2/（2+3）=40%，对应C 项。【选C】 【例3】（2023 上海）某公司生产A、B 两种产品，其中B 是A 的升级产品。 经过调研，预判2022 年市场对A 产品的需求比2021 年下降30%（A 产品的价格 不变）。因此公司决定增加对B 产品营销，使B 产品在2022 年的销售收入比2021 年增长70%，这样恰好使公司2022 年的总销售收入比2021 年增长10%。则2021 年B 产品的销售额占总销售额的比例是_____。 9 A.40% B.50% C.60% D.70% 【解析】3.根据题意，混合百分比问题，利用线段法。画一条线段，混合之 前写两边、混合之后写中间，-30%、70%写两边，10%写中间，距离之比为（10%+30%）： （70%-10%）=40%：60%=2：3，距离与量成反比，则量之比为3：2，问B 产品的 占比，所求=2/（3+2）=2/5=40%，对应A 项。【选A】 【练习】（2020 山东）由于改良了种植技术，农场2017 年种植的A 和B 两 种作物，产量分别增加了10%和25%。已知2017 年两种作物总产量增加了18%， 问2017 年A 和B 两种作物的产量比为： A.7：8 B.8：7 C.176：175 D.77：100 【解析】拓展.根据题意，混合百分比问题，利用线段法。r=增长量/基期量， 注意问的是2017 年，求的是现期量。画一条线段，混合之前写两边、混合之后 写中间，10%、25%写两边，18%写中间；距离与量成反比，距离之比为（18%-10%）： （25%-18%）=8：7，则量之比为7：8，2016 年的量之比为7：8。现期=基期*（1+r）， 2017 年A 和B 两种作物的产量比为7*（1+10%）：8*（1+25%）=77：100，对应D 项。【选D】 10 2024 年1～10 月，全省规模以上工业增加值同比增长8.3%，较前三季度提 高0.1 个百分点。其中，10 月份同比增长8.7%，较上月提高0.9 个百分点。全 省规模以上高技术制造业增加值同比增长11.6%，较前三季度提高1.1 个百分点， 高于上年同期4.8 个百分点。全省规模以上装备制造业增加值同比增长9.0%， 高于全部规模以上工业0.7 个百分点。 【例4】（2025 山东事业单位）2023 年1～10 月全省规模以上工业增加值是 2023 年前三季度的多少倍？（ ） A.1.25 B.1.05 C.1.15 D.0.95 【解析】4.2023 年1～10 月为基期时间，前三季度为1～9 月，求基期之比。 对应材料找数据，已知1～10 月增长率为8.3%，10 月增长率为8.7%；结合“2024 年1～10 月，全省规模以上工业增加值同比增长8.3%，较前三季度提高0.1 个 百分点”，则1～9 月增长率为8.3%-0.1%=8.2%。画一条线段，混合之前写两边、 混合之后写中间，8.2%、8.7%写两边，8.3%写中间；距离与量成反比，距离之比 为（8.3%-8.2%）： （8.7%-8.3%）=1：4，则量之比为4：1，一共5 份，所求=5/4=1.25， 对应A 项。【选A】 11 【例5】（2024 联考）某人买了甲、乙两种金融产品，期限结束后，甲、乙 两种金融产品收益率分别是5%和3%，最终收益率为3.5%，那么购买甲、乙两种 金融产品的金额比例为： A.1：1 B.1：2 C.1：3 D.1：4 【解析】5.收益率类似于利润率，给了两个部分的百分比和总体的百分比， 用线段法，混合之前写两边（甲的收益率→5%、乙的收益率→3%），混合之后写 中间（最终收益率→3.5%），根据“距离与量成反比”，距离之比=（5%-3.5%）： （3.5%-3%）=1.5%：0.5%=3：1，则量之比=1：3，收益率=利润/本金，量指的是 分母（本金），即甲、乙的本金比例为1：3，对应C 项。【选C】 【例6】（2023 浙江）将一叠文件分为若干组，每组正好有10 份文件。已知 其中2 组文件中有18 份通知，其余每组文件中最多有5 份通知，且所有文件中 通知占比正好为60%。那么这叠文件最多可能有多少份？ A.50 B.60 C.70 D.80 12 【解析】6.本题有难度，但借助线段法的话会比较好想。“每组正好有10 份文件。已知其中2 组文件中有18 份通知”→这2 组一共有20 份文件，其中有 18 份通知，则通知占比为18/20=90%；“其余每组文件中最多有5 份通知”→其 余每组通知占比最多为5/10=50%。数学题出现“最多/最少”，一般都是用临界 值做题，哪怕没有理解题意也能做，明显是混合比重问题。用线段法，混合之前 写两边（其中2 组文件的通知占比→90%、其余每组文件的通知占比→50%），混 合之后写中间（所有文件的通知占比→60%），根据“距离与量成反比”，距离之 比=（90%-60%）：（60%-50%）=30：10=3：1，则量之比=1：3，1 份对应20 份文 件，则3 份对应60 份文件，总文件数=20+60=80 份，而且正好是最大的选项， 对应D 项。【选D】 【注意】已知“所有文件中通知占比正好为60%”，通知总数/文件总数=60% →文件总数=通知总数/60%，要想文件总数尽可能多，60%是定值，则通知总数就 要尽可能多，最多就是其余每组均有5 份通知。 提速技巧——1：1 等量混合 引例1：（2013 浙江）某商店的两件商品成本价相同，一件按成本价多25% 出售，一件按成本价少13%出售，则两件商品各售出一件时盈利为多少： A.6% B.8% C.10% D.12% 引例2：（2017 联考）某饮料店有纯果汁（即浓度为100%）10 千克，浓度为 30%的浓缩还原果汁20 千克。若取纯果汁、浓缩还原果汁各10 千克倒入10 千克 纯净水中，再倒入10 千克的浓缩还原果汁，则得到的果汁浓度为： 13 A.40% B.37.5% C.35% D.30% 总结：量相同的先混合，混合比例是中点，中点公式：（a+b）/2。 【注意】提速技巧——1：1 等量混合： 1.引例1：（2013 浙江）某商店的两件商品成本价相同，一件按成本价多25% 出售，一件按成本价少13%出售，则两件商品各售出一件时盈利为多少： A.6% B.8% C.10% D.12% 答：“一件按成本价多25%”→利润率=25%，“一件按成本价少13%”→利润 率=-13%，问两件商品各售出一件时利润率为多少，混合百分比。用线段法，混 合之前写两边，混合之后写中间，利润率=利润/成本，量之比就是成本之比，各 卖一件→量之比=1：1，根据“距离与量成反比”，则距离之比=1：1，混合之后 就在中点处，正中间=两端之和/2。考试的时候不需要画线段，看到等量混合， 直接用结论→混合比例是中点，所求=[25%+（-13%）]/2=6%，对应A 项。 2.引例2：（2017 联考）某饮料店有纯果汁（即浓度为100%）10 千克，浓度 为30%的浓缩还原果汁20 千克。若取纯果汁、浓缩还原果汁各10 千克倒入10 千克纯净水中，再倒入10 千克的浓缩还原果汁，则得到的果汁浓度为： A.40% B.37.5% C.35% D.30% 答：三溶液混合，先两两混合，整体再和第三个混合。量相同的先混合，先 将10 千克浓度为100%的纯果汁和10 千克浓度为0%的纯净水混合，等量混合， 混合后的浓度=（100%+0%）/2=50%；再将20 千克浓度为50%的溶液和20 千克浓 度为30%的浓缩还原果汁混合，等量混合，混合后的浓度=（50%+30%）/2=40%， 对应A 项。 3.总结：量相同的先混合，混合比例是中点，中点公式：（a+b）/2。 14 【例7】（2024 江苏）甲瓶中有50 克浓度为80%的溶液，加水50 克混合后 倒出40 克至空瓶乙中；再往甲瓶中加水40 克，混合后又倒出40 克至乙瓶中。 最终乙瓶中溶液的浓度是： A.38% B.32% C.26% D.20% 【解析】7.50 克浓度为80%的溶液和50 克浓度为0%的水混合，等量混合， 混合后的浓度=（80%+0%）/2=40%，得到100 克浓度为40%的溶液，分成两个部 分，一部分是留在甲瓶中的60 克浓度为40%的溶液，一部分是倒入乙瓶中的40 克浓度为40%的溶液。再往甲瓶中加水40 克，甲瓶溶液变为60+40=100 克，水 里面没有溶质，所以甲瓶溶质仍为60*40%=24 克，此时甲瓶浓度=24/100=24%， 又将40 克浓度为24%的溶液倒入乙瓶中，相当于40 克浓度为40%的溶液和40 克浓度为24%的溶液混合，等量混合，混合后的浓度=（40%+24%）/2=32%，对应 B 项。【选B】 关于拓展： 平均数=总数/人数 浓度（%）=溶质/溶液 利润率（%）=利润/成本 折扣（%）=售价/原价 占比（%）=部分量/总量 增长率（%）=增长量/基期量 【注意】拓展：前面讲的是考试中的常见题型（占90%），还剩10%是混合平 均数，平均数虽然不是百分数，但本质也是比例（A/B），只要是比例的形式，就 15 可以混合。比如班上男生平均身高是190cm，女生平均身高是180cm，则全班平 均身高介于180cm～190cm 之间，这就是混合过程。考试出现最多的是“人均”， 人均=总数/人数，量之比就是人数之比，如果题目问人数之比，但材料给的是人 均，往往就可以用线段法。 【例8】（2021 广东选调）某单位有40 名职工，有部分人分A、B 两个批次 参与一次法律素质测评，每人只能参加一个批次，A 批次的平均成绩为86 分，B 批次的平均成绩为80 分，总的平均成绩为84 分，则该单位参与这次法律素质测 评的职工最多有（ ）人。 A.36 B.37 C.38 D.39 【解析】8.“某单位有40 名职工，有部分人分A、B 两个批次参与一次法律 素质测评”→A、B 两个批次只是其中一部分人，并不是所有人，即A 批次人数 +B 批次人数＜40。部分平均数混合得到总体平均数，给平均成绩，求人数，用 线段法。混合之前写两边（A 批次的平均成绩→86 分、B 批次的平均成绩→80 分），混合之后写中间（总的平均成绩→84 分），根据“距离与量成反比”，距离 之比=（86-84）：（84-80）=2：4=1：2，则量之比=2：1，A 批次人数为2 份，B 批次人数为1 份，参与的总人数=1 份+2 份=3 份，小于40 且满足是3 的倍数， 最大为39；或者结合选项，参与的总人数是3 的倍数，排除B、C 项，问最多， 选择最大的D 项。【选D】 【例9】（2024 联考）高校管理学院某期培训班有不到100 名学员参加，期 16 中、期末两次考试平均分分别为68 分和75 分，期中考试不及格学员平均分为 53 分，及格学员平均分为74 分；期末考试不及格学员平均分为47 分，及格学 员平均分为83 分。问这期培训班有多少名学员参加？ A.42 B.54 C.63 D.77 【解析】9.给期中、期末的平均分，求人数，用线段法，但是需要用两次。 先分析期中考试，混合之前写两边（不及格学员平均分→53 分、及格学员平均 分→74 分），混合之后写中间（总的平均分→68 分），根据“距离与量成反比”， 距离之比=（68-53）：（74-68）=15：6=5：2，则量之比=2：5，总人数是2+5=7 的倍数，排除B 项。再分析期末考试，混合之前写两边（不及格学员平均分→47 分、及格学员平均分→83 分），混合之后写中间（总的平均分→75 分），根据“距 离与量成反比”，距离之比=（75-47）：（83-75）=28：8=7：2，则量之比=2：7， 总人数是2+7=9 的倍数，只有C 项符合。【选C】 ……全国居民人均消费支出21559 元，比2012 年增长78.9%，年均增长8.7%。 其中，城镇居民人均消费支出28063 元，比2012 年增长64.0%；农村居民人均 消费支出13328 元，比2012 年增长99.9%。 【例10】（2021 江苏）2019 年城镇居民人口占总人口的比重约为： A.52.7% B.53.8% C.54.1% D.55.9% 【解析】10.问人数的比重，材料给的是人均消费支出，量之比就是人数之 比，用线段法。混合之前写两边（城镇居民人均消费支出→28063 元、农村居民 人均消费支出→13328 元），混合之后写中间（全国居民人均消费支出→21559 17 元），根据“距离与量成反比”，选项比较接近，要算得精确一点，截三位计算， 距离之比≈（280-215）：（215-133）=65：82，则量之比≈82：65，城镇人数对 应82 份，农村人数对应65 份，城镇人数的比重=82/（82+65）=82/147=56 -%， 对应D 项。【选D】 【注意】有同学好奇为什么不用增长率混合，注意线段法中的量是比例的分 母，如果混合的是增长率，r=增长量/基期量，基期是2012 年，不仅和问题时间 （2019 年）不对应，而且算出来的是2012 年城镇居民人均消费支出与农村居民 人均消费支出的比值，并不是人数的比值。如果混合的是平均数，人均消费支出 =总支出/人数，算出来的是2019 年人数的比值，和问题是对应的。 线段法 适用范围：混合比例（%、平均数） 常见：混合浓度、利润率、折扣、增长率、比重、平均数 操作技巧 混合之前写两边、混合之后写中间 距离和量成反比、看好份数认真算 注意事项 量相同的先混合，混合比例是中点 %/平均数=A/B，分母B，量之比为分母之比 【注意】线段法： 1.适用范围：混合比例（百分比、平均数）。常见：混合浓度、利润率、折 扣、增长率、比重、平均数。 18 2.操作技巧： （1）混合之前写两边，混合之后写中间。 （2）距离和量成反比，看好份数认真算。 3.注意事项： （1）量相同的先混合，混合比例是中点。 （2）百分比或平均数=A/B，量之比为分母之比。 4.课后有问题可以去微博或小红书私信老师：@粉笔田鹏。 【答案汇总】 1-5：CCAAC；6-10：DBDCD 19 遇见不一样的自己 Be your better self
