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专题 03 函数与导数
8大考点概览
考点01指对幂函数
考点02抽象函数问题
考点03比较大小问题
考点04导数切线问题
考点05利用导数研究单调性、极值、最值问题
考点06导数证明问题
考点07导数与三角函数交汇问题
考点08导数与数列交汇问题
考点1 指对幂函数
1．（2026·吉林长春·一模）已知 ，则 （ ）
A．8 B． C． D．
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
3．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数 是 且 的反函数，则函数 图象
必过定点（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·吉林白山·一模）（多选）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象
上所有点（ ）
A．横坐标变成原来的 （纵坐标不变）
B．横坐标变成原来的2倍（纵坐标不变）
C．向上平移1个单位长度
D．向左平移1个单位长度5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）设某死亡生物经过t年后，其机体内碳14所剩的质量
（ 为碳14的初始质量）.当该死亡生物经过11460年，其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为
_______；当其机体内碳14所剩质量与原有质量的比值为 ，则t=_______.
6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数 的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
考点2 抽象函数问题
1．（2026·黑龙江哈九中·一模）已知定义域为 的函数 满足 ，且 为奇函数，
则一定有（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·辽宁大连·一模）已知 是定义在 上的奇函数，且对任意 都有 .当
时， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．43．（2026·三省三校·一模）若定义在 上的函数 满足 ， 是奇函数，
，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2026·吉林长春·一模）已知 是定义在 上的奇函数， ，且 ，则
（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 是定义在 上的偶函数， 关于 中心对称，
则下列说法正确的是（ ）
A． 的一个周期为6 B．
C． D．
6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）定义在 上的函数 满足下列条件：
（1） ；（2）当 时， ，则（ ）
A．
B．当 时，
C．D．当 时，
7．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）（多选）已知定义在 上的偶函数 可导， 的导数为
是奇函数，则（ ）
A． B． 的一个周期为8
C． D． 的图象关于 对称
考点3 比较大小问题
1．（2026·吉林白山·一模）若 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026·辽宁辽阳·一模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·辽宁大连·一模）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
考点4 导数切线问题1．（2026·辽宁辽阳·一模）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·黑龙江·一模）曲线 在 处的切线方程为________．
3．（2026黑龙江哈九中·一模）若直线 是曲线 的一条切线，则 ________．
4．（2026·辽宁大连·一模）已知曲线 在点 处的切线与 轴平行，则点 的坐标为
__________.
5．（2026·黑龙江研远联合·一模）若直线 与函数 的图象相切，则 ______．
6．（2026·辽宁沈阳·一模）如果方程 能确定y是x的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函
数．隐函数的求导方法如下：在方程 中，把y看成x的函数 ，则方程可看成关于x的恒
等式 ，在等式两边同时对x求导，然后解出 即可．例如，求由方程 所确定的
隐函数的导数 ，将方程 的两边同时对x求导，则 （ 是中间变量，需要用
复合函数的求导法则），得 ．那么曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．考点5 利用导数研究单调性、极值、最值问题
1．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）（多选）已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数
B． 的单调递增区间为
C． 的极小值为3
D．若关于 的方程 恰有3个不等的实根，则 的取值范围为
2．（2026·黑龙江研远联合·一模）（多选）已知函数 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 是 上的增函数，则 的最小
值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·吉林长春·一模）若函数 ，且 恒成立，则实数 ____________.
5．（2026·黑龙江·一模）已知函数 ， ，若对任意的 ，存在唯一的
，使得 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x的方程 有两个不同实根，则实数a的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数 .
(1)若 ，求不等式 的解集；
(2)若 在 上存在极大值，求 的取值范围.
8．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知函数 （a为常数）．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设函数 的两个极值点分别为 ， （ ），求 的范围．
9．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知函数 ， ．
(1)若曲线 在 处的切线斜率为1，求 的值；(2)讨论 的零点个数；
(3)若 时，不等式 恒成立，求 的最小值．
考点6 导数证明问题
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 ，其中 .
(1)讨论 的单调性；
(2)（ⅰ）当 时，证明： ；
（ⅱ）当 时，设 ，且 .求证： .
2．（2026·黑龙江·一模）已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，求证： ．3．（2026·三省三校·一模）已知函数 ．
(1)若函数 过原点 的切线为 ，求实数 的值；
(2)若函数 的图象与 相交于两个不同点 ， ，记直线 的斜率为 ．
（i）当 时，求实数 取值范围；
（ii）当 时，证明： ．
4．（2026·吉林白山·一模）已知函数 ， 为 的导函数.
(1)讨论 的单调性；
(2)证明： ；
(3)若 ，求 的取值范围.
考点7 导数与三角函数交汇问题
1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)设 ，函数 有四个零点 ，且 .（i）当 时，证明： ；
（ii）证明： .
2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数 ，其中 ．
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明： 在区间 上存在唯一的极值点 与唯一的零点 ；
(3)在（2）的条件下，证明： ．
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数 .
(1)若 ，求 的单调区间；
(2) ， 成立，求实数a的取值范围；
(3)若 时， 与 的图象有三个交点，横坐标分别为 ， ， （
），求证： .考点8 导数数列交汇问题
1．（2026·吉林长春·一模）已知函数 .
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 ，使 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)证明： .
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知函数 ， ，记 的零点为 .
(1)求 ；
(2)求数列 中的最小项；
(3)证明： .
