关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
专题03 函数与导数
9 大考点概览
考点01 指对幂函数
考点02 函数的性质
考点03 函数的根与零点
考点04 函数的应用
考点05 导数的几何意义
考点06 极值与最值零点
考点07 恒成立问题
考点08 导数综合问题
考点09 导数与三角函数
1．（2026·哈尔滨三中·二模）若函数f ( x)=¿，则f (f (2))=（ ）
A．−3
B．2
C．3
D．4
2．（2026·辽宁省名校协作体·二模）函数f (x)=lg x + 2 x
x +1
，若f (a)+ f (b)=2,a>0,b>0，则
(a+b)
2的最小值为（ ）
A．√2
B．2
C．4
D．16
3．（2026·辽宁省名校协作体·二模）设f (x)=¿，若存在实数x1，x2，x3，x4满足x1< x2< x3< x4，
且f ( x1)= f ( x2)= f ( x3)= f ( x4)，则( x3−2)( x4−2)
x1 x2
的范围是（ ）
A．(0,12)
B．(4,16)
C．(9,21)
D．(15,25)
4．（2026·内蒙古包头·二模）设函数f ( x)=¿，若f ( x)=−3，则f ( x−8)=（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
5．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知实数m>n>1，若logmn+lognm= 10
3
且m
n=n
m，则
m
2+n
2=（ ）
A．9
B．21
C．27
D．30
考点1
指对幂函数
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
6．（2026·辽宁大连·二模）已知m+n=log4(4
m+ 4
n),m+n+ p=log4(4
m+ 4
n+ 4
p)，则p的最大
值是（ ）
A．1
B．1−log43
C．log43
D．log34
1．（2026·黑龙江大庆·二检）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，f (x +1)是偶函数，当
x∈[0,1]时，f (x)= x
2+ x，则f (2024)+ f (2025)+ f (2026)=（ ）
A．4
B．2
C．0
D．−2
2．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数f (x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时，f (x)= x，则
f(
7
2)
的值为（ ）
A．−1
2
B．1
2
C．7
2
D．3
2
3．（2026·吉林白山·二模）已知函数f ( x)=¿，若f (4−a)>f (a)，则实数a的取值范围是（ ）
A．(－∞，2)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－2)
D．(－2，＋∞)
4．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知定义在R上的函数f (x)满足f (x)=−f (2−x)，若函数
g(x)=ln(1−2
x)
与函数y = f (x)的图象的交点为(x1, y1)，(x2, y2)，⋯，(x8, y8)，则
∑
i=1
8
(xi+ yi)=（ ）
A．8
B．19
2
C．12
D．25
2
5．（2026·吉林G35 联合体·二模）已知函数f (x)的图象关于直线x =m对称，且f (x)在[m,+ ∞)上
单调递减，若∀x∈(0,+∞)，f (1+ x)>f (1−x)，则m 的取值范围是（ ）
A．(0,1)
B．(−∞,1)
C．(−∞,0)
D．(1,+ ∞)
考点2
函数的性质
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
6．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)（多选）已知f (x), g(x)是定义在R上的函数，若h(x)=¿，则
（ ）
A．当函数f (x), g(x)均有零点时，h(x)也有零点
B．当函数f (x), g(x)均为增函数时，h(x)也为增函数
C．当函数f (x), g(x)均为偶函数时，h(x)也为偶函数
D．当函数f (x), g(x)均为周期函数且有相同周期时，h(x)也为周期函数
7．（2026·吉林梅河口五中·二模）（多选）定义在R上的奇函数f (x)满足f (2+ x)= f (−x)，当
x∈[0,1]时，f (x)=√x，则下列结论正确的有（ ）
A．当x∈[2,3]时，f (x)=−√3−x
B．f (x)的图象在x = 3
2
处的切线方程为2 x +2√2 y −5=0
C．f (x)的图象与g(x)=lg|x−1|的图象所有交点的横坐标之和为10
D．f (x)的图象与直线y = x +b恰有一个公共点，则实数b∈(4 k −15
4 ,4 k −1
4)(k ∈Z)
8．（2026·内蒙古包头·二模）已知f (x)= xe
2 x
e
ax−1
是偶函数，则a=__________.
9．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x ≥0时，
f (x)= x
2+ x，则f (−3)=_______.
10．（2026·吉林长春·质量监测(二)）已知函数f (x)=2
x−2
−x，若f (2
a)+ f (−4)>0，则a的取值范
围是___________．
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）函数f (x)=3
x+ x +a
，若f (a)=0，则a的取值范围为（ ）
A．(−3,−2)
B．(−2,−1)
C．(−1,0)
D．(0,1)
2．（2026·辽宁大连·二模）若关于x的方程x
2−ax + 4 =0有两相异实根x1, x2，且0< x1< x2<4，则
实数a的取值范围是（ ）
A．(−∞,−4)∪(4 ,+ ∞)
B．(0,5)
C．(4,5) D．(4,8)
考点3
函数的根与零点
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3．（2026·辽宁辽阳·二模）已知[x]表示不超过x的最大整数，f (x)= x−[x]−1
2
，若f (x)在区间
(t ,3t )恰有两个零点，则t 的取值范围是______．
1．（2026·吉林G35 联合体·二模）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过程中，水面高度h（单
位：cm）关于时间t（单位：s）的函数解析式为h(t )= 100
2t +1 +k（k为参数）.已知刚开始退潮时水
面高度为100cm，若从t =a到t =a+10，水面高度下降了16cm，则a=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
2．（2026·东北三省三校·二模）人工智能（AI）领域中，神经网络是用于模仿神经元，用来学习规
律做预测和识别的数学模型.神经网络中的激活函数能把线性输入变成非线性输出.σ (x)=
1
1+e
−x 是
最常用的激活函数,下面关于σ (x)表述错误的是（ ）
A．σ (ln 2)= 2
3
B．0<σ (x)<1
C．σ ' (x)=σ (x)[1−σ (x)]
D．σ (2)< 7
8
1．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）f (x)=a x
3+bx +c (a≠0)在点(0,f (0))处的切线方程是
x−y +1=0，则b+c =（ ）
A．−2
B．0
C．1
D．2
2．（2026·辽宁辽阳·二模）函数y =(x +8)
2
3在x =0处的切线方程是（ ）
A．x−3 y +12=0B．x +3 y −12=0
C．4 x−3 y +12=0
D．x−3 y + 4 =0
3．（2026·吉林白山·二模）已知m>0，n>0，直线y = x
e +m+1与曲线y = ln x−n+3相切，则
1
m + 9
n
的最小值为（ ）
考点4
函数的应用
考点5
导数的几何意义
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
A．16
B．12
C．9
D．8
4．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知直线y =ax +b与函数y = ln x +√x的图象相切，若
a∈(0, 1
2 ]，则实数b的最小值为（ ）
A．−1
2
B．ln 2+ √2
2 −1
C．√e
2
D．2ln 2
5．（2026·辽宁沈阳·质量监测(二)）（多选）已知函数f (x)= x
e
x ，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线f (x)在x =0处的切线与直线y =−x垂直
B．若点P 是曲线y = f (x)上的动点，则点P 到直线y = x +2距离的最小值为√2
C．曲线f (x)的切线的倾斜角取值范围是[0,π
2 )∪[
5π
6 ,π)
D．若过点A (0,a)可以作曲线y = f (x)的三条切线，则0<a< 4
e
2
6．（2026·黑龙江大庆·二检）已知a,b∈R，若直线y = x−b与曲线y =e
x +a相切，则a+b=
___________.
7．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）若曲线f (x)=ax +ln x在x =1处的切线与直线x +2 y −1=0垂
直，则实数a=_____.
8．（2026·吉林梅河口五中·二模）已知直线l：y =ax 与曲线y =ln x和 y =e
x+b都相切，则
ab=_______.
9．（2026·哈尔滨三中·二模）若直线y =kx +b是曲线y =e
x−1和曲线y =ln(x +1)的公切线，则实
数k =______．
10．（2026·吉林G35 联合体·二模）若曲线y = x
2−x与曲线y = ln (ax)在它们的公共点处有相同的
切线，则a=_______．
1．（2026·内蒙古兴安盟·二模）函数f (x)=( x
2−x −1)e
x的极小值点是（ ）
A．−2
B．(−2,5e
−2)
C．1
D．(1,−e)
2．（2026·东北三省三校·二模）若函数f ( x)= 1
3 x
3−x +m的极大值为1，则函数f ( x)的极小值为
考点6
极值与最值零点
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（ ）
A．−1
3
B．−1
C．1
3
D．1
3．（2026·辽宁大连·二模）已知函数f (x)= xe
x ,g(x)=e x (1+ln x)，若f (x1)= g(x2)=m,m>0，
则lnm
x1 x2
的最大值为（ ）
A．1
e
2
B．1
C．2
D．e
2
4．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)（多选）已知函数f (x)= x
3−x
2−x +1，则（ ）
A．−1
3
是函数y = f (x)的一个极值点
B．1
3
是函数y = f (x)的一个极值点
C．直线x + y =1是曲线y = f (x)在(0, f (0))处的切线
D．直线x−y =1是曲线y = f (x)在(0, f (0))处的切线
5．（2026·东北三省三校·二模）函数f (x)=axe
x−x−1有两个不同的零点，则实数a 的取值范围
是__________.
1．（2026·吉林白山·二模）函数f (x)=aln x−2ln x
x
+ 2b
x −ab，若f (x)≥0恒成立，则a(b+1)的
取值范围是（ ）
A．(−∞,e]
B．(0,2e]
C．[2,+ ∞)
D．(−∞,2]
2．（2026·辽宁省名校协作体·二模）已知函数f (x)=(2a−x)ln x，其中a∈R．
(1)当a=1时，求f (x)在(1，f (1))处的切线方程；
(2)若函数f (x)存在单调递增区间，求实数a的取值范围；
(3)若a>0,b∈R，对任意的x>0，f (x)≤a+b恒成立，求b−5a的最小值．
考点7
恒成立问题
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
3．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数f ( x)=e
x−ax．
(1)讨论f ( x)的单调性；
(2)当x>0时，f ( x)≥x
2−x +1恒成立，求a的取值范围.
4．（2026·黑龙江大庆·二检）已知函数f (x)=ln x−ax + x (a∈R)有两个不同的零点，分别记为
m,n，且m<n.
(1)求实数a的取值范围；
(2)若k >0，不等式k +1<(a−1)(m+ kn)恒成立，求实数k的取值范围；
(3)有两组正实数(x1, x2, x3),( y1, y2, y3)，且xi> yi(i=1,2,3), x1+ x2+ x3+ y1+ y2+ y3=m+n.证明：
(√
x1
y1)
1
x1−y1(√
x2
y2)
1
x2−y2(√
x3
y3)
1
x3−y3 > m+n+9
m+n
.
1．（2026·哈尔滨三中·二模）已知函数f (x)=(m+1)ln x +m x
2，(m∈R)．
(1)讨论函数f (x)的单调性；
(2)若函数f (x)在定义域内单调递减，并且对任意正数x1, x2
都有|f (x1)−f (x2)|≥4|x1−x2|，求实
数m的取值范围．
考点8
导数综合问题
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
2．（2026·内蒙古兴安盟·二模）已知函数f (x)=ln x−1
2 x
2+ax , g(x)=sin x.
(1)当a=1时，求曲线y = f (x)在点(1,f (1))处的切线方程；
(2)讨论f (x)的单调性；
(3)当x ≥0时，g(x)≥x(1−tx
π)，求实数t的取值范围.
3．（2026·吉林G35 联合体·二模）已知函数f (x)=3 x
2e
x +2，g(x)= x
3+3 x
2+6．
(1)求f (x)，g(x)的单调区间；
(2)已知a≥1，函数h(x)= f (x)−ag(x)，讨论h(x)的极值点的个数；
(3)若∀x1, x2∈[t ,t +2]，|f (x1)−f (x2)|≥g(x1)−g(x2)，求t 的取值范围．
4．（2026·辽宁大连·二模）定义：若存在x1，x2(x1≠x2)，使得曲线y = f (x)在点(x1,f (x1))和点
(x2,f (x2))处有相同的切线l，则称切线l 为曲线y = f (x)的“自公切线”.已知函数f (x)=e|x|−a x
2．
(1)若函数f (x)在区间(0,+ ∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；
(2)证明：当x>0时，曲线y = f (x)不存在“自公切线”；
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(3)若曲线y = f (x)有且只有两条“自公切线”，求实数a 的取值范围．
5．（2026·哈尔滨师大附中·二模）已知f (x)=−1+a ln x（x>0）
(1)设函数g(x)= f (x)+ x,讨论函数g(x)的单调性；
(2)当a=1,0< x<e时,证明：1−x ≥ln x
f (x).
(3)当0< x ≤1时,1−x ≤ln x
f (x),求实数a 的取值范围.
6．（2026·吉林长春六中·二模）已知函数f (x)=aln x + b
x
在点(1, f (1))处的切线方程为
x + y −3=0．
(1)求实数a, b的值；
(2)设g(x)= f (x)−xe
x+3e
x．
（i）证明：g(x)存在唯一极小值；
（ii）设g(x)的极小值点为x1，证明：7
2 < g(x1)<2e+2．
1．（2026·辽宁盘锦高级中学·二模）已知函数f (x)=3 x
2−8sin (x +φ)，其中|φ|≤π.
考点9
导数与三角函数
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
(1)若函数f (x)是偶函数，求φ；
(2)当φ =0时，讨论函数f (x)在[0,+∞)上的零点个数；
(3)若∀x ≥0，f (x)≥0，求φ的取值范围.
2．（2026·内蒙古包头·二模）已知函数f ( x)= ln x−sin x +1.
(1)讨论f ( x)在x∈(0,π)上的单调性；
(2)已知f
′( x)为f ( x)的导数，若两个不相等的实数x1, x2∈(0,π)满足f
′(x1)= f
′(x2)，求证：
f (x1)+ f (x2)>0.
3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知f (x)为定义在(−π
2 ,π
2 )上的奇函数且连续可导，令
g(x)= f (x)cos x.当x∈(0,π
2 )时，有f
′ (x)−f (x)tan x>e
x.
(1)讨论g(x)在区间(−π
2 ,0)上的单调性，并证明：当x∈(0,π
2 )时，g(x)>1−e
x；
(2)当x∈(−π
2 ,0)
时，解不等式：f(
π
2 + x)sin x + f (−x)cos x<e
π
2 + x
−e
−x；
(3)我们可以找到满足题意的一个函数f (x)=e
x−e
−x
cos x (−π
2 < x<π
2 )
.现在利用这个函数，重新构造
函数h(x)，记h(x)=(f (x)+1)cos x + x +e
−x，若实x1, x2(x1< x2)满足h(x1)+h(x2)= 4，证明：
x1+ x2<0.
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
4．（2026·吉林长春·质量监测(二)）在生态系统中，某种小型濒危动物的种群数量偏离平衡值的波
动量y = f (x)（单位：千只）与时间x（单位：月），满足函数f (x)=e
−xcos x (x>0)，其波动呈现
“往复波动，逐渐稳定”的特征．
定义：若函数g(x)在(a,+ ∞)上满足：1．震荡性：g
′ (x)在(a,+∞)上无限次正负交替；2．衰减性：
任意给定正实数m，存在实数n，使得当x>n时，|g(x)|<m．则称g(x)为震荡衰减函数．
(1)求f (x)在(0,2π)内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长速率是否为0（不必
证明）．
(2)根据定义判断函数f (x)在(0,+ ∞)上是否为震荡衰减函数．如果是，给出证明；如果不是，说明
理由．
(3)设h(x)=|f (x)|+|f
′ (x)|(x >0)．求证：h(x)无最大值．
5．(2026·辽宁鞍山普通高中·二模)已知函数f (x)=e
−x+sin x−cos x
．
(1)证明：当x<0时，f (x)>0；
(2)设f (x)在[0, 2026π]上的零点从小到大构成有穷数列{xn}．
（i）求数列{xn}的项数n0
；
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考高考-总复习”~~~
（ii）求证：∑
k =1
n0
[xk−(k −1)π]> 2025π
4
．
12
