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专题 02 平面向量与复数
5大考点概览
考点01平面向量的基本定理及坐标表示
考点02平面向量的线性运算
考点03平面向量的数量积
考点04数系的扩充与复数的概念
考点05复数代数形式的四则运算
考点1 平面向量的基本定理及坐标表示
运算
1．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．5 D．20
【答案】B
【分析】根据 求出 ，再用模的坐标表示求解即可.
【详解】向量 ， ，由 ，得 ，则 ，
所以 .
故选：B
2．（2026·三省三校·一模）若向量 ， 满足 ， ，且 ，则 在 方向上的投影向量
的坐标为_____.
【答案】
【分析】根据 ，求出 ，再结合投影向量的定义得出答案.
【详解】因为 ，则 ，解得 ，
由于 ，所以 在 方向上的投影向量即为 ，则 在 方向上的投影向量的坐标为 .
故答案为： .
考点2 平面向量的线性运算
1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在平行四边形ABCD中，E是CD中点，F是BC上靠近C的三等分点，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算即可求解.
【详解】四边形ABCD 为平行四边形，
所以 ， ,
所以 .
故选：C
考点3 平面向量的数量积
1．（2026·吉林白山·一模）已知向量 ， ，且 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可.
【详解】 ， ，
，
故选：D2．（2026·吉林长春·一模）已知向量 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由向量数量积坐标运算等于0可得方程，解出即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得： .
故选：D
3．（2026黑龙江哈九中·一模）若向量 满足 ，且 ，则 的值为______.
【答案】
【分析】先利用向量的数量积的运算律得 ，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可.
【详解】因为 ，所以两边平方得 ，则 ，
因为 ，所以 .
故答案为：
4．（2026·黑龙江研远联合·一模）设 ， ，则 与 的夹角 ________．
【答案】
【分析】应用平面向量的夹角余弦公式计算结合夹角范围计算求角.
【详解】因为 ， ，
设 与 的夹角为 ， ，
所以 ，所以 ．
故答案为： ．5．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量 ， 满足 ，则向量 与 的夹角
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用向量坐标运算求出 ，再利用向量数量积公式求向量的夹角.
【详解】因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，又 ，
所以向量 与 的夹角为 ，
故选：B
6．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形 的边长为2，且F为AD边中点， 与 交于点 ，
则 ________．
【答案】 /
【分析】以 为基底表示 ，结合向量的数量积运算求得正确答案.
【详解】在正方形 中，因为 为AD中点，所以 ，且 ，则 ，
则
.
7．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）在直角三角形 中，斜边 的中点为 ，若 ，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】以 为基底向量得到向量 ，然后即可求得 .
【详解】 ，∵ 为斜边 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在直角 中， ，∴ ，
∴ .
故选：C
8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道 与两个固定反光点和 （ 为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P沿轨道l移动，激光灯P
发出的光线会同时照射到A和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个
反光点之间的能量耦合值W，W定义为 与 的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W的最小
值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积求出 ，几何意义为点P与原点的距离的平方减1，再利用点到直线
的距离公式求解即可.
【详解】设 ，坐标原点为 ，
则 ， ，
即
即 ，当 最小时W最小，
原点到直线 的距离为 ，
所以 ，
所以 .
考点4 数系的扩充与复数的概念
1．（2026·黑龙江哈三中·一模）已知复数 为纯虚数，则实数 （ ）
A．1 B． C．0 D．1或【答案】B
【分析】由纯虚数的定义列式求解即可.
【详解】因为复数 为纯虚数，所以 ，解得 .
故选：B.
2．（2026·辽宁沈阳·一模）若复数 是纯虚数，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断.
【详解】 ，则 ，有 .
故选：A
3．（2026·吉林长春·一模）复数 的虚部是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【分析】利用复数除法，结合复数的意义求解即得.
【详解】 ，
所以复数 的虚部是1.
故选：B
4．（2026·三省三校·一模）复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数的除法运算和共轭复数概念即可求解.
【详解】 ，
所以共轭复数为 ，故选：C
考点5 复数代数形式的四则运算
1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知复数 满足 ，（其中 为虚数单位），则复数 的
虚部为______.
【答案】
【分析】运用复数的模，复数除法等知识计算即可.
【详解】 ，
.
故复数 的虚部为 .
故答案为： .
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到 ，再由共轭复数得到 .
【详解】 ，所以 ，
故选：A
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根据复数的概念及复数乘法计算求解.
【详解】复数 ，则 .
4．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）复数 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．1【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简复数 ，从而根据模长公式得 .
【详解】复数 ，
故 .
故选：D.
5．（2026·黑龙江·一模）计算 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数运算法则计算即可得.
【详解】 .
6．（2026·黑龙江研远联合·一模）下列选项中，与复数 （i为虚数单位）相等的复数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数除法法则计算出 ，得到答案.
【详解】 ．
故选：A
7．（2026·辽宁大连·一模）已知 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的除法运算及复数的模计算可得.
【详解】 ， ，，
，故选：B
8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知复数 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算将 转化为 ，若 ，则 ，利
用这个公式求出 .
【详解】 ，
.
故选：A.
9．（2026·吉林白山·一模）（多选）已知复数z满足 ， 是z的共轭复数，则下列说法正确
的是（ ）
A．z的虚部为
B．复数 在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据复数的运算法则，求得 ，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算
公式，逐项分析判断，即可求解.【详解】由复数z满足 ，可得 ，
A，复数 的虚部为 ，正确；
B，由 ，得 ，则复数 在复平面内对应的点为 位于第三象限，正确；
C，由复数模的计算公式，可得 ，错误；
D，因为复数 和 都是虚数，不能比较大小，错误.
故选：AB
