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专题03 函数与导数
8 大考点概览
考点01 指对幂函数
考点02 抽象函数问题
考点03 比较大小问题
考点04 导数切线问题
考点05 利用导数研究单调性、极值、最值问题
考点06 导数证明问题
考点07 导数与三角函数交汇问题
考点08 导数与数列交汇问题
1．（2026·吉林长春·一模）已知
，则
（ ）
A．8
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算性质由外到内计算可得结果.
【详解】因为
，所以
，
所以
.
故选：C.
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知
，则
（ ）
A．25
B．5
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．
【详解】因为
，
，即
，所以
．
故选：C.
3．（2026·辽宁沈阳·一模）若函数
是
且
的反函数，则函数
图象
必过定点（ ）
考点1
指对幂函数
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的反函数是对数函数，结合对数的运算性质进行求解即可.
【详解】因为函数
是
且
的反函数，
所以
且
，
令
，
因为
，
所以函数
图象必过定点
.
故选：D
4．（2026·吉林白山·一模）（多选）为了得到函数
的图象，只需将函数
的图象
上所有点（ ）
A．横坐标变成原来的
（纵坐标不变）
B．横坐标变成原来的2 倍（纵坐标不变）
C．向上平移1 个单位长度
D．向左平移1 个单位长度
【答案】AC
【分析】利用对数的运算性质及换底公式，可将
化为
，结合函数图象的变换即可进
行判断.
【详解】因为
，
即,将函数
图象上所有点横坐标变成原来的
（纵坐标不变），可得到
的图象；
2
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又因为
，
所以还可以将函数
图象上所有点向上平移1 个单位长度，可得到
的图象．
故选：AC．
5．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）设某死亡生物经过t 年后，其机体内碳14 所剩的质量
（
为碳14 的初始质量）.当该死亡生物经过11460 年，其机体内碳14 所剩质量与原有质量的比值为
_______；当其机体内碳14 所剩质量与原有质量的比值为
，则t=_______.
【答案】
；
【分析】根据给定的碳14 质量随时间变化的公式
，分别代入不同的时间或质量比值来求
解相应的结果.
【详解】已知公式
，当
时，将其代入公式可得：
，所以
.
已知
，即
，两边同时除以
可得
.
因为
，所以
.
根据指数的性质，可得
，解得
.
故答案为：
；
.
6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）函数
的图象大致为（ ）
3
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，再根据指定区间函数值的符号即可求出结果.
【详解】
，
，则
，即定义域为
，
设
，则
，
故
为偶函数，图象关于
轴对称，排除BC，
当
时，
，
，
，
，排除A，
所以选项D 正确.
1．（2026·黑龙江哈九中·一模）已知定义域为
的函数
满足
，且
为奇函数，
则一定有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数
为奇函数可得
，又
，即可求解.
【详解】∵函数
为奇函数，∴
，
又∵
，
考点2
抽象函数问题
4
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∴
，故选项C 正确.
其他三个选项条件不足无法计算，故选C.
故选：C.
2．（2026·辽宁大连·一模）已知
是定义在
上的奇函数，且对任意
都有
.当
时，
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】利用函数的周期性，奇函数性质赋值计算即可.
【详解】由
可知，
是一个周期为4 的周期函数，
所以
，
将
代入
，得
，
又因为
是定义在
上的奇函数，故
所以
，
所以
，
所以
.
故选：B.
3．（2026·三省三校·一模）若定义在
上的函数
满足
，
是奇函数，
5
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，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
【答案】A
【分析】由
是奇函数可得
关于
中心对称，结合
，利用赋值法计
算可得
，即可得该函数周期，再利用
，则可计算出
为到
时的
的值，即可得解.
【详解】由
是奇函数，则
，故
关于
中心对称，
由
，令
，则
，即
，
由
，令
，则
，
故
，则
，
故
，即有
，故
以
为周期，
由
，则
，
，
，
，
，
则
.
4．（2026·吉林长春·一模）已知
是定义在
上的奇函数，
，且
，则
（ ）
6
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A．4
B．2
C．0
D．
【答案】D
【分析】根据题意，由条件可得函数
是以
为周期的周期函数，然后分别求得
的值，结合函数的周期性，代入计算，即可得到结果.
【详解】由
可得
，
用
替换
，则
，
即
，
所以函数
是以
为周期的周期函数，
由
，令
，则
，
且
是定义在
上的奇函数，则
，所以
，
令
，则
，且
，则
，
令
，则
，因为
，所以
，
所以
，
则
.
故选：D
5．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
是定义在
上的偶函数，
关于
中心对称，
则下列说法正确的是（ ）
A．
的一个周期为6
B．
C．
D．
7
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【答案】B
【分析】解题的关键在于根据已知条件推导出函数
的周期，结合函数的性质逐一分析选项求解.
【详解】选项A，
的图像向左平移个单位得到
，
又
关于
中心对称，
关于
中心对称，
，
将
式子中的
用
代替，得到
，
是定义在
上的偶函数，
，
，将此式子中的
用
代替，得到
，
则
是一个以
为周期的周期函数，故选项A 错误；
选项B，
关于
中心对称，
的定义域为
，
，
是定义在
上的偶函数，
，故选项B 正确；
选项C，
，
，但是
根据题中已知条件无法得到，故选项C 错误；
选项D，
是一个以
为周期的周期函数，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出
，故选项D 错误.
6．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）（多选）定义在
上的函数
满足下列条件：
（1）
；（2）当
时，
，则（ ）
8
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A．
B．当
时，
C．
D．当
时，
【答案】AD
【分析】根据赋值法、函数单调性的定义、累乘法对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】对于选项A，由
，
取
，得
，故A 项正确；
对于选项B，任取
，则
，依题意，
，
而
，
则
，即
，
即
在
上是增函数，
因为
，所以
，
得当
时，
，
而
，得当
时，
，故B 项错误；
对于选项C，由
，取
，因为
，
9
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故
，即
，故C 项错误；
对于选项D，由
，
取
，可得
，
整理得，
，
因为
，所以
且
，
故
，即
，
，
故D 项正确.
故选：AD.
7．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）（多选）已知定义在
上的偶函数
可导，
的导数为
是奇函数，则（ ）
A．
B．
的一个周期为8
C．
D．
的图象关于
对称
【答案】BCD
【分析】根据函数的奇偶性、周期性以及导数的运算法则逐项判断即可.
【详解】因为
是奇函数，所以
，
令
，可得
，解得
，A 错误；
因为
是偶函数，则
，且
，
10
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用
代替
可得
，即
.
又
，则
，所以
，从而有
，
所以
的一个周期为8，B 正确；
因为
是偶函数，则
，两边求导得
，
所以
是奇函数，所以
，C 正确；
由
，两边同时对
求导得
，
即
，所以函数
的图象关于直线
对称，D 正确.
故选：BCD
1．（2026·吉林白山·一模）若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先确定
的取值范围，再将转化为同指数的幂函数形式，结合幂函数与指数函数的单调性，比
较
、的大小，进而确定三者的大小关系.
【详解】由
，得
，即
.
由
，因幂函数
在
时单调递增，故
，即
.
又
单调递增，
，故
，结合
，得
.
故选：A.
2．（2026·辽宁辽阳·一模）若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
考点3
比较大小问题
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【分析】根据指数函数与对数函数的性质，分别求得
的取值范围，即可求解.
【详解】由指数函数的性质，可得
，即
，
又由对数函数的性质，可得
，
，所以
，
所以
.
故选：A.
3．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可.
【详解】因为
，
，
，所以
.
故选：A.
4．（2026·辽宁大连·一模）已知
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由对勾函数性质可得
，令
，求导，根据导数可得
在区间
上恒成立，进而可判断
的大小关系.
【详解】由题意得
，
令
，由对勾函数
可知，
12
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函数
在
上单调递增，
则
，
而
，
，
令
，
因为
，所以
，
因为
在区间
上单调递减，所以
在区间
上单调递减，
因为
，所以
，所以
，
令
，
可得
所以函数
在
上单调递增，
故
，即
，所以
，
所以存在实数
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
因为
，
，
，
，
所以
在区间
上恒成立，故
，
13
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综上
，故A 正确.
故选：A
1．（2026·辽宁辽阳·一模）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数的几何意义，求导得到切线的斜率，根据点斜式可得切线的方程.
【详解】由
得
，
所以
，即所求切线的斜率为4，
由点斜式可得所求切线方程为
，即
.
故选：B.
2．（2026·黑龙江·一模）曲线
在
处的切线方程为________．
【答案】
【分析】求出函数的导函数，代入
即可求出切线的斜率，再利用点斜式即可得到切线方程.
【详解】函数
，求导得
，则
，切点
，
由点斜式得切线方程为
，整理得
．
故答案为：
.
3．（2026 黑龙江哈九中·一模）若直线
是曲线
的一条切线，则
________．
【答案】e
【分析】设切点为
，求出切线斜率，利用切点在切线上，代入方程，即可得出结论.
【详解】设直线
与曲线
相切于点
．
考点4
导数切线问题
14
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因为
，所以
且
，
解得
，
．
故答案为.
4．（2026·辽宁大连·一模）已知曲线
在点
处的切线与
轴平行，则点
的坐标为
__________.
【答案】
【分析】设
，利用导数的几何意义建立方程计算即可.
【详解】易知
，设
，
所以曲线
在点
处的切线斜率为
，
由题意可知
，解之得
或
，
当
时，
，此时切点在x 轴上，不合题意；当
时，
；
所以
.
故答案为：
5．（2026·黑龙江研远联合·一模）若直线
与函数
的图象相切，则
______．
【答案】
【分析】设出切点坐标，求导函数，结合切线斜率，利用直线
与曲线
相切，从而可
得切点坐标，代入
，可求得
的值．
【详解】设直线
与函数
图象的切点为
，
，
15
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，
，
，
，
，又
在直线
上，
，
．
故答案为：
．
6．（2026·辽宁沈阳·一模）如果方程
能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函
数．隐函数的求导方法如下：在方程
中，把y 看成x 的函数
，则方程可看成关于x 的恒
等式
，在等式两边同时对x 求导，然后解出
即可．例如，求由方程
所确定的
隐函数的导数
，将方程
的两边同时对x 求导，则
（
是中间变量，需要用
复合函数的求导法则），得
．那么曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用给定隐函数的导数求法确定斜率，再求出切线方程即可.
【详解】由给定定义得，对
左右两侧同时求导，
可得
，将点
代入，得
，
解得
，故切线斜率为
，得到切线方程为
，
化简得方程为
，故B 正确.
16
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故选：B
1．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
的单调递增区间为
C．
的极小值为3
D．若关于
的方程
恰有3 个不等的实根，则
的取值范围为
【答案】AD
【分析】利用
判断A 选项；利用导数求出函数的单调区间和极值，从而判断选项B,C,D.
【详解】对于A，
，故
，又其定义域为R，
故
为奇函数，故A 正确；
对于B，
，所以在
上，
，
单调递减；
在
和
上，
，
单调递增，故B 错误；
对于C，由B 知，
在
处取极小值，极小值
，故C 错误；
对于D，方程
恰有3 个不等的实根，即
恰有3 个解，
且在
和
上，
单调递增；在
上，
单调递减，
所以
，即
，故D 正确.
故选：AD
2．（2026·黑龙江研远联合·一模）（多选）已知函数
，若
，则（ ）
考点5
利用导数研究单调性、极值、最值问题
17
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A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】先求导，利用基本不等式求出
，从而得到
单调递增，得到
，根
据函数单调性得到ABD 选项，C 选项可以举出反例.
【详解】
定义域为
，
，
当且仅当
，即
时，等号成立，此时
，
所以
恒成立，所以
单调递增，
因为
，所以
，
A 选项，因为
单调递增，所以
，A 正确；
B 选项，因为
单调递增，所以
，B 正确；
C 选项，
，但
与
大小不确定，例如
，
，
此时满足
，但
，此时
，C 错误；
D 选项，因为
，画出函数图象，如下图：
18
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可知
单调递增，所以
，D 正确.
故选：ABD
3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
是
上的增函数，则
的最小
值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
恒成立，进而分
两种情况讨论求解即可.
【详解】由
，得
，
所以
，
因为
是
上的增函数，则
恒成立，
即
恒成立，
当
时，
，此时
不恒成立，不满足题意；
当
时，等价于
对
恒成立，
则
，即
，则
，
设
，则
，
令
，得
；令
，得
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
则
，即
的最小值是
.
故选：B.
4．（2026·吉林长春·一模）若函数
，且
恒成立，则实数
____________.
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【答案】
【分析】求出
代入
，分
与
分别求出参数
的取值范围，则可写出答案.
【详解】因为
，所以
，
所以
恒成立等价于
恒成立，
当
时，
恒成立，等价于
恒成立，
又函数
在
上单调递减，当
时，
，
所以
；
当
时，
恒成立，等价于
恒成立，
又函数
在
上单调递减，当
时，
，
所以
；
综上所述：
.
故答案为：
.
5．（2026·黑龙江·一模）已知函数
，
，若对任意的
，存在唯一的
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
可得
，
当
时，
；当
时，
；
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
，
，
，
20
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所以
在
上的值域为
，记
，
，的对称轴为
，
，
，
所以函数
的值域为
，
又
，且
，在
上单调递减，
要使方程
有唯一解，则
的取值集合为
，
所以
，记
，
若对任意的
，存在唯一的
，使得
，
则
，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
．
6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）关于x 的方程
有两个不同实根，则实数a 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用同构思想变形给定等式，结合单调性可得函数
，再利用导数求出最小值即可.
【详解】方程
，令函数
，
而
，则函数
在R 上单调递增，又方程等价于
，
因此
，
令函数
，依题意，方程
有两个不同实根，
求导得
，当
时，
；当
时，
，
21
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函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
又
，当
时，恒有
，
则当且仅当
时，方程
有两个不同实根，
所以实数a 的取值范围为
.
7．（2026·辽宁辽阳·一模）已知函数
.
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若
在
上存在极大值，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据
确定
的值，此时不等式可化为
，设
，分析
函数的单调性，求函数的极小值，即可得不等式的解集.
（2）求出函数的导数，分类讨论，根据函数的单调性确定函数的极值情况，可得参数的取值范围.
【详解】（1）由
.
所以
.
由
.
设
，
.
则
，
.
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
22
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又
，所以
在
上恒成立.
即不等式
的解集为
.
（2）因为
，
.
所以
.
当
即
时，
在
上恒成立，
由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
故函数
在
上只有极小值，无极大值；
当
即
时，
由
或
；由
.
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值；
当
即
时，
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递增，无极值；
当
即
时，
由
或
；由
.
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值.
23
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综上，当
时，函数
在
上存在极大值.
8．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）已知函数
（a 为常数）．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)设函数
的两个极值点分别为
，
（
），求
的范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义求解，
（2）根据函数有两个不相等的极值点得到
，故
，变形得到函
数
，求导得到其单调性，得到
的值域，得到答案.
【详解】（1）当
时，
，
，
所以
，
，
故曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）若
在定义域内有两个极值点，则
是方程
即
的两个不相
等的正根，
从而得到
，即
，
又
，故
，且
24
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令
，则
，
，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
的值域为
，
所以
的范围是
.
9．（2026·黑龙江研远联合·一模）已知函数
，
．
(1)若曲线
在
处的切线斜率为1，求
的值；
(2)讨论
的零点个数；
(3)若
时，不等式
恒成立，求
的最小值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据切线的斜率和导函数的关系直接代入求解即可；
（2）求导后需要对参数进行分类讨论，要根据函数的单调性和最值求不同情况下的零点个数；
（3）先要通过变形把不等式左右两边同构，然后研究新函数的单调性，再根据
最小时为负确定单调性区
间，最后求出
的最小值.
【详解】（1）
，
依题意，
，解得
．
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（2）
的零点
的根．
设
，
①当
时，
没有零点；
②当
时，
，所以
在
内是增函数．
取
，取
，
所以
在
上有且仅有一个零点；
③当
时，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
．
当
时，
没有零点；
当
时，
在
上有且仅有一个零点；
当
时，
，
取
，取
，
所以
在
上有两个零点．
综上，当
时，
没有零点；当
或
时，
有且仅有一个零点；当
时，
有两个零点．
（3）
26
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，
构造函数
，则
．
而
， 令
，解得
，此时
单调递增，
令
，解得
，此时
单调递减，
而当
时，
，
与1 的大小不定，但当实数
最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
．
因为当
时，
单调递减，故
，
两边取对数得，
，所以
，
令
，则
，
令
得，
，令
得，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，
故a 的最小值是
．
1．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
(2)（ⅰ）当
时，证明：
；
（ⅱ）当
时，设
，且
.求证：
.
考点6
导数证明问题
27
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【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据导数分
和
两类讨论函数的单调性；
（2）（i）构造
，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明；
（ⅱ）法一：利用函数的单调性，先证
得
，结合（2）的不等式放缩得到
，结合
推出
，得
得证；
法二：构造
，根据单调性得到
，进而得到
的单
调性，后同法一；
法三：构造
，根据单调性得
，根据基本不等式得
，进而证明结论；
【详解】（1）
，
①当
时，
，
在
单调递增，
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减.
（2）设
，
则
，
28
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因为
在
上单调递增，
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
，当且仅当
时取等，
所以
，即
，当且仅当
，
时取等；
（ⅱ）法一：由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
，
由（2）可知，
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
所以
法二：
由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
；（同法一）
设
，
，易知
在
上单调递增，
所以当
时，
，即
，
上式整理得
，即
设
，
，所以
在
上单调递减，
29
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所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，即
，
所以
所以
（同法一）
法三：
由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
；（同法一）
设
，
，
所以
，所以
在
上单调递增，
显然
，所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，即
，
根据基本不等式，
，所以
，
所以
，
所以
2．（2026·黑龙江·一模）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求证：
．
【答案】(1)当
时，函数
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
(2)证明见解析
【分析】（1）求出
，当
时，根据
的形式可判断
，当
时，同样依据
的
形式可判断
在
、
上符号，从而得到单调性区间；
30
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（2）根据（1）中的单调性得到
，根据恒成立得
在
上恒
成立，
，求出其导数后可判断该函数为增函数，从而得不等式恒成立.
【详解】（1）由题意可知，函数
，
的定义域为
，
导数
，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
，
；
综上，当
时，函数
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（2）由（1）可知，当
时，
函数
在区间
上单调递增，在区间
，上单调递减．
所以
，
要证
，需证
．
即需证
恒成立，
令
，
则
所以函数
在区间
单调递增，
故
，
31
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所以
，
恒成立，
所以当
时，
．
3．（2026·三省三校·一模）已知函数
．
(1)若函数
过原点
的切线为
，求实数
的值；
(2)若函数
的图象与
相交于两个不同点
，
，记直线
的斜率为
．
（i）当
时，求实数
取值范围；
（ii）当
时，证明：
．
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）证明见解析；
【分析】（1）根据导数的几何意义求解；
（2）（ⅰ）法一：设
，分析
的单调性，求出
的范围；
法二：
，通过分析
的单调性与零点，结合
的取值范围，求出
的范围；
（ⅱ）将
参数化为圆上的点
，代入
得
，利用三角恒等式
得
，构造
分析单调性，证得
，从而推出
的取值范围.
【详解】（1）设切点为
，
，所以
，所以
，
所以函数
在
处的切线为
，
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将
代入得
，解得
，
（2）（ⅰ）当
时，原问题
有两个不等实根．
法一：设
，
则
∴当
时，
，当
时，
在
递减，
递增，
，
，
，
法二：
，令
，
则
，
在
上递增，
，使得
，
当
时，
，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
又
，
设
，则
当
时，
，当
时，
，
，
．
（ⅱ）设
，
，不妨设
33
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则
，即
，
令
，
则
，
是方程
两个根．
又
欲证
，只需证
设
则
∴当
时，
；当
时，
；
在
递减，
递增，
设
下面证明
，
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设
，
，则
故
．
在
递增，
，
，
，
又
在
递减，
，故
．
4．（2026·吉林白山·一模）已知函数
，
为
的导函数.
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：
；
(3)若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
在
单调递减；
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）利用导函数符号判断单调性；
（2）构造函数
，证明
，再证明
；
（3）令
，结合（1）中结论，讨论满足不等式的
的取值范围.
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【详解】（1）由题，
，
令
，
则对
，
，
所以
在
单调递减，即
在
单调递减.
（2）令
，
则对
，
，
所以
在
单调递减，
所以
，即
，
因为
，所以
，
即
得证.
（3）令
，则
，
若
，则
.
因为
，由（1）
在
单调递减，
可知
在
单调递减，所以
，
若
，因为
，
时，
，
所以
，
.
所以当
时，
，
单调递增，
所以
，矛盾；
36
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若
，则由
在
单调递减，可得
，
所以
在
单调递减，
，满足条件.
综上，
的取值范围是
.
1．（2026·辽宁大连·一模）已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)设
，函数
有四个零点
，且
.
（i）当
时，证明：
；
（ii）证明：
.
【答案】(1)单调递减区间为
，无单调递增区间.
(2)证明见解析.
【分析】（1）对
求导，根据
符号判断单调区间；
（2）（i）分析可得
为偶函数且在
单调递减，根据
，结合
题干可得
，构造函数
，根据
单调性即可求解；
（ii）根据
为偶函数，可得
，将问题转化为证明
，构造函数
，分析函数
单调性，可得
即可证明.
考点7
导数与三角函数交汇问题
37
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【详解】（1）函数
定义域为
，
(当且仅当
时取等号)，
所以
的单调递减区间为
,无单调递增区间.
（2）证明：
因为
，
所以
是偶函数.
因为
有四个零点
,且
，
所以
.
令
，则
或
，其中
，
当
时，
，
因为
（当且仅当
时取等号），
所以
在
单调递减，
因为
，
和
各有一解，且
，
所以
，即得
，
因为
即
，
38
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因为
，且
在
单调递减，
所以
，即
（i）因为
，
，
所以
，
又因为
在
单调递减，即得
，
所以
.
设
，则
，
所以
在
单调递减，则
，即
，得证.
（ii）因为
为偶函数，所以
.
，
因为
，且
，所以
，
所以
，即
，
设
，
（当且仅当
时取等号）
所以
在
上单调递增.
因为
，
所以
，
39
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所以
，
又因为
所以
.
2．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知函数
，其中
．
(1)若
，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：
在区间
上存在唯一的极值点
与唯一的零点
；
(3)在（2）的条件下，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）先求导，利用导数的几何意义得出斜率，从而求出切线方程；
（2）先求导，结合正弦函数的性质，利用导数研究函数的单调性和极值，进而证明结论；
（3）对不等式进行变形处理，结合（2）的条件，并借助
进行放缩构造函数，从而证明结论．
【详解】（1）若
，则
，求导得
，
，
又
，
所求的切线方程为
．
（2）函数
求导得：
．
当
时，
，
，又
，所以
．
当
时，令
，则
，
40
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，则
在
上单调递增，
在
上单调递增，
在
上单调递增，且
，
，
存在
，使得
．
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增．
，
又
，
存在
，使得
．
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
在
上存在唯一极（小）值点
．
，又
，
存在
，使得
，
在
上存在唯一零点
，得证．
（3）
，
，
，得
，
，
，
等价于
．
结合（2）的分析，
，
，
，即
，
41
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同理
，
．
在区间
上单调递减，要证
，只需证
．
又
在
上单调递增，
只需证
．
，
借助
，可得
，
令
，则
恒成立，
在
上单调递增，
，即
成立，得证．
不等式
成立．
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
.
(1)若
，求
的单调区间；
(2)
，
成立，求实数a 的取值范围；
(3)若
时，
与
的图象有三个交点，横坐标分别为
，
，
（
），求证：
.
【答案】(1)递减区间为
，递增区间为
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求得
，令
，得到
，分
和
，
42
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两种情况讨论，结合导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）令
，求得
，令
，求得
，结合指数函数与三角函数的性质，求得
单调递增，且
，再分
和
，两种情况讨论，即可求解；
（3）分
，
和
，利用导数，结合零点的存在性定理，求得函数
在
上递增，在
上递减，在
上递增，求得
的取值范围，即可得证.
【详解】（1）解：当
时，可得
，可得
，
令
，可得
，
当
时，
，可得
，
即
，
单调递减；
当
时，
，所以
，
单调递增，
则
，即
，
单调递增，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）解：令
，
可得
，令
，
则
，
当
时，
，
，
，故
，
当
时，
，
，故
，
43
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所以当
时，可得
，
单调递增，即
单调递增，
，
当
时，
，则
，
在
上单调递增，
所以
，所以
成立，满足题意；
当
时，存在
，使得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，不满足题意，
综上可得，实数
的取值范围为
.
（3）解：当
时，
，可得
，
设
，可得
，
设
，可得
，
设
，可得
，
当
时，
，可得
，
则
在
上单调递增，
因为
，
所以存在唯一
，使得
，
可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
44
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所以存在唯一的
，使得
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
由
，
，
，
又由
，
因为
，
，可得
，
，
可得
，
，所以
，
则存在唯一
，使得
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，
，则
在
上单调递增，
则
，则存在唯一
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，可得
，
在
上单调递增，
，
，
综上可得，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
要使得
与
的图像有三个交点，
则
，
，则
，
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又因为
，则
，则
，
所以
，得证.
1．（2026·吉林长春·一模）已知函数
.
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若
，使
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：
.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求出函数的导数，由导数几何意义和直线点斜式即可得解；
（2）设
，即
在
上恒成立，利用导数分
、
、
三种情况分析即可；
（3）利用放缩公式
，代入
，累加即可计算求解.
【详解】（1）
，所以
且
，
则
在
处的切线方程为
；
（2）
即
.
设
，则
，
令
，则
且
，
.
（i）当
，
时，显然
中的
，
，则
恒成立.
考点8
导数数列交汇问题
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（ii）
，
时，
，则
单调递增.
，则
在
上单调递增，
，所以
恒成立.
（iii）当
，
时，
，则
单调递增，
，又
，则存在唯一的
，
使得
，且当
时，
，
单调递减，此时
不满足恒成立条件，
综上所述，
；
（3）证明：由（2）得
，即
，
取
，
，所以
，即
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
……
当
时，
.
累加可得，
，即
.
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知函数
，
，记
的零点为
.
(1)求
；
(2)求数列
中的最小项；
(3)证明：
.
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【答案】(1)1
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）对
求导，确定单调性即可求解；
（2）由
通过作差得到
，构造函数
利用其单调性，确定数列单调性即可求解；
（3）令
，求导确定单调性，得到
，再通过
，分别令
和
，即可证
.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
有唯一零点1，即
；
（2）由
的零点为
，
得
，
两式相减得：
，
即
，
令
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
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所以由
，得到
，
所以
，所以数列
是递增数列，
所以数列
中的最小项是
；
（3）令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，当且仅当
时，等号成立，即
，
因为
，所以
,
所以
，
所以
，
所以
在
中，令
，得
当且仅当
时，等号成立，
当
时，
，
所以当且仅当
时，
，
中等号成立，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
当
时，在
中，令
，
得
，
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，
所以当
时，
，
当
时，
成立，
所以
，综上得证.
50
