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专题03 函数与导数
1．C.
2．C.
3．D
4．AC．
5．
；
.
6．D
1．C.
2．B.
3．A
4．D
5．B
6．AD
7．BCD
1．A.
2．A.
3．A.
4．A
1．B.
2．
.
3．e
考点1
指对幂函数
考点2
抽象函数问题
考点3
比较大小问题
考点4
导数切线问题
1
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4．
5．
．
6．B
1．AD
2．ABD
3．B.
4．
.
5．B
6．B
7．【详解】（1）由
.
所以
.
由
.
设
，
.
则
，
.
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
又
，所以
在
上恒成立.
即不等式
的解集为
.
（2）因为
，
.
所以
.
考点5
利用导数研究单调性、极值、最值问题
2
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当
即
时，
在
上恒成立，
由
；由
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
故函数
在
上只有极小值，无极大值；
当
即
时，
由
或
；由
.
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值；
当
即
时，
在
上恒成立，
所以函数
在
上单调递增，无极值；
当
即
时，
由
或
；由
.
所以函数
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
所以函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值.
综上，当
时，函数
在
上存在极大值.
8．【详解】（1）当
时，
，
，
所以
，
，
故曲线
在点
处的切线方程为
．
（2）若
在定义域内有两个极值点，则
是方程
即
的两个不相
3
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等的正根，
从而得到
，即
，
又
，故
，且
令
，则
，
，
所以
在
上单调递减，
所以
，即
的值域为
，
所以
的范围是
.
9．【详解】（1）
，
依题意，
，解得
．
（2）
的零点
的根．
设
，
①当
时，
没有零点；
4
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②当
时，
，所以
在
内是增函数．
取
，取
，
所以
在
上有且仅有一个零点；
③当
时，当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
从而
．
当
时，
没有零点；
当
时，
在
上有且仅有一个零点；
当
时，
，
取
，取
，
所以
在
上有两个零点．
综上，当
时，
没有零点；当
或
时，
有且仅有一个零点；当
时，
有两个零点．
（3）
，
构造函数
，则
．
而
， 令
，解得
，此时
单调递增，
5
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令
，解得
，此时
单调递减，
而当
时，
，
与1 的大小不定，但当实数
最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
．
因为当
时，
单调递减，故
，
两边取对数得，
，所以
，
令
，则
，
令
得，
，令
得，
，
所以
在
单调递增，在
单调递减，
所以
，
故a 的最小值是
．
1．【详解】（1）
，
①当
时，
，
在
单调递增，
②当
时，令
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
综上，当
时，
在
单调递增；
当
时，
在
上单调递增，
考点6
导数证明问题
6
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在
上单调递减.
（2）设
，
则
，
因为
在
上单调递增，
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
，当且仅当
时取等，
所以
，即
，当且仅当
，
时取等；
（ⅱ）法一：由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
，
由（2）可知，
，
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，
所以
，
所以
法二：
由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
；（同法一）
设
，
，易知
在
上单调递增，
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所以当
时，
，即
，
上式整理得
，即
设
，
，所以
在
上单调递减，
所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，即
，
所以
所以
（同法一）
法三：
由（1）已知，当
时，
在
单调递增；
因为
，所以
；（同法一）
设
，
，
所以
，所以
在
上单调递增，
显然
，所以
，即
，
因为
，所以
，所以
，即
，
根据基本不等式，
，所以
，
所以
，
所以
2．【详解】（1）由题意可知，函数
，
的定义域为
，
导数
，
当
时，
，
；
当
时，
，
；
，
；
8
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综上，当
时，函数
在区间
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减．
（2）由（1）可知，当
时，
函数
在区间
上单调递增，在区间
，上单调递减．
所以
，
要证
，需证
．
即需证
恒成立，
令
，
则
所以函数
在区间
单调递增，
故
，
所以
，
恒成立，
所以当
时，
．
3．【详解】（1）设切点为
，
，所以
，所以
，
所以函数
在
处的切线为
，
将
代入得
，解得
，
（2）（ⅰ）当
时，原问题
有两个不等实根．
法一：设
，
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则
∴当
时，
，当
时，
在
递减，
递增，
，
，
，
法二：
，令
，
则
，
在
上递增，
，使得
，
当
时，
，当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
又
，
设
，则
当
时，
，当
时，
，
，
．
（ⅱ）设
，
，不妨设
则
，即
，
令
，
10
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则
，
是方程
两个根．
又
欲证
，只需证
设
则
∴当
时，
；当
时，
；
在
递减，
递增，
设
下面证明
，
设
，
，则
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故
．
在
递增，
，
，
，
又
在
递减，
，故
．
4．【详解】（1）由题，
，
令
，
则对
，
，
所以
在
单调递减，即
在
单调递减.
（2）令
，
则对
，
，
所以
在
单调递减，
所以
，即
，
因为
，所以
，
即
得证.
（3）令
，则
，
若
，则
.
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因为
，由（1）
在
单调递减，
可知
在
单调递减，所以
，
若
，因为
，
时，
，
所以
，
.
所以当
时，
，
单调递增，
所以
，矛盾；
若
，则由
在
单调递减，可得
，
所以
在
单调递减，
，满足条件.
综上，
的取值范围是
.
1．【详解】（1）函数
定义域为
，
(当且仅当
时取等号)，
所以
的单调递减区间为
,无单调递增区间.
（2）证明：
因为
，
所以
是偶函数.
因为
有四个零点
,且
，
所以
.
令
，则
或
，其中
，
考点7
导数与三角函数交汇问题
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当
时，
，
因为
（当且仅当
时取等号），
所以
在
单调递减，
因为
，
和
各有一解，且
，
所以
，即得
，
因为
即
，
因为
，且
在
单调递减，
所以
，即
（i）因为
，
，
所以
，
又因为
在
单调递减，即得
，
所以
.
设
，则
，
所以
在
单调递减，则
，即
，得证.
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（ii）因为
为偶函数，所以
.
，
因为
，且
，所以
，
所以
，即
，
设
，
（当且仅当
时取等号）
所以
在
上单调递增.
因为
，
所以
，
所以
，
又因为
所以
.
2．【详解】（1）若
，则
，求导得
，
，
又
，
所求的切线方程为
．
（2）函数
求导得：
．
当
时，
，
，又
，所以
．
当
时，令
，则
，
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，则
在
上单调递增，
在
上单调递增，
在
上单调递增，且
，
，
存在
，使得
．
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增．
，
又
，
存在
，使得
．
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，
在
上存在唯一极（小）值点
．
，又
，
存在
，使得
，
在
上存在唯一零点
，得证．
（3）
，
，
，得
，
，
，
等价于
．
结合（2）的分析，
，
，
，即
，
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同理
，
．
在区间
上单调递减，要证
，只需证
．
又
在
上单调递增，
只需证
．
，
借助
，可得
，
令
，则
恒成立，
在
上单调递增，
，即
成立，得证．
不等式
成立．
3．【详解】（1）解：当
时，可得
，可得
，
令
，可得
，
当
时，
，可得
，
即
，
单调递减；
当
时，
，所以
，
单调递增，
则
，即
，
单调递增，
所以函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
.
（2）解：令
，
可得
，令
，
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则
，
当
时，
，
，
，故
，
当
时，
，
，故
，
所以当
时，可得
，
单调递增，即
单调递增，
，
当
时，
，则
，
在
上单调递增，
所以
，所以
成立，满足题意；
当
时，存在
，使得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，不满足题意，
综上可得，实数
的取值范围为
.
（3）解：当
时，
，可得
，
设
，可得
，
设
，可得
，
设
，可得
，
当
时，
，可得
，
则
在
上单调递增，
因为
，
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所以存在唯一
，使得
，
可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
所以存在唯一的
，使得
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
由
，
，
，
又由
，
因为
，
，可得
，
，
可得
，
，所以
，
则存在唯一
，使得
，
且
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
时，
，
，则
在
上单调递增，
则
，则存在唯一
，使得
，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，可得
，
在
上单调递增，
，
，
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综上可得，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
要使得
与
的图像有三个交点，
则
，
，则
，
又因为
，则
，则
，
所以
，得证.
1．【详解】（1）
，所以
且
，
则
在
处的切线方程为
；
（2）
即
.
设
，则
，
令
，则
且
，
.
（i）当
，
时，显然
中的
，
，则
恒成立.
（ii）
，
时，
，则
单调递增.
，则
在
上单调递增，
，所以
恒成立.
（iii）当
，
时，
，则
单调递增，
，又
，则存在唯一的
，
使得
，且当
时，
，
单调递减，此时
不满足恒成立条件，
综上所述，
；
考点8
导数数列交汇问题
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（3）证明：由（2）得
，即
，
取
，
，所以
，即
，
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
；
……
当
时，
.
累加可得，
，即
.
2．【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
又
，所以
有唯一零点1，即
；
（2）由
的零点为
，
得
，
两式相减得：
，
即
，
令
，则
在
上恒成立，
所以
在
上单调递增，
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所以由
，得到
，
所以
，所以数列
是递增数列，
所以数列
中的最小项是
；
（3）令
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，
当
时，
，
在
上单调递增，
所以
，当且仅当
时，等号成立，即
，
因为
，所以
,
所以
，
所以
，
所以
在
中，令
，得
当且仅当
时，等号成立，
当
时，
，
所以当且仅当
时，
，
中等号成立，
所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，
当
时，在
中，令
，
得
，
22
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所以
，
所以当
时，
，
当
时，
成立，
所以
，综上得证.
23
