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专题02 函数与导数
题型概览
题型01 函数的图像
题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
题型03 比较大小
题型04 函数与方程的综合应用
题型05 极最值问题
题型06 恒成立与能成立问题
题型07 证明不等式问题
题型08 切线问题
函数的图像
1．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知函数
，如图
是直线
与曲线
的三个交点，其横坐标分别是
，则正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
的单调减区间为
C．若
，则
D．若
，且
，点
的横坐标为
，则
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性
题型02
题型01
1
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2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）设函数
，若
在
上是减函数，则a 的取值
范围为 ．
3．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（多选题）（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
的图象关于点
对称，函数
的图象关于直线
对称，则下列说法正确的为（ ）
A．4 是
的一个周期
B．
是偶函数
C．
D．
5．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
有两个极值
B．过点
且与曲线
相切的直线有且仅有一条
C．当
时，若
是
与的等差中项，直线
与曲线
有三个交点
，则
D．当
时，若
，则
6．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知函数
及其导函数
的定义域均为
，记
，
2
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若
是奇函数，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选题）（2025·黑龙江·一模）已知函数
，
，则（ ）
A．
与
的图象存在相同的对称中心
B．
与
的图象存在相同的对称轴
C．当
时，
与
的图象有5 个公共点
D．将
的图象向右平移
个单位长度后，再向上平移1 个单位长度可得
的图象
比较大小
8．（2025·黑龙江·一模）已知实数
，
，
满足
，
，
，其中为自然对数的底数.则
，
，
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·黑龙江·一模）已知函数
是偶函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04
型03
3
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函数与方程的综合应用
10．（多选题）（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）设函数
且
，则（ ）
A．函数
和
的图像关于直线
对称
B．函数
和
的图像的交点均在直线
上
C．若
，方程
的根为
，方程
的根为
，则
D．已知
，若
恒成立，则
的取值范围为
11．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
，若
的零点个
数为4，则实数
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
极最值问题
12．（2025·黑龙江·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
有极小值，且
的极小值小于
，求实数
的取值范围．
题型05
4
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13．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
．
(1)当
时，若
，求
的极值点和极值、最值点和最值；
(2)讨论
在
上的单调性．
14．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数
，其中
.
(1)证明：当
时，
；
(2)若
时，
有极小值，求实数
的取值范围；
(3)对任意的
恒成立，求实数
的取值范围.
恒成立与能成立问题
15．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）
，用
表示
中的较小者，记为
，设函数
，若
，则a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
题型06
5
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C．
D．
16．（2025·黑龙江大庆·一模）已知函数
，若对任意的
，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
，若
时，关于
的不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（2025·黑龙江·一模）若函数
的图象恒在
图象的上方，则
的最大整数值为
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
19．（2025·黑龙江·一模）若不等式
对一切
恒成立，其中
，e 为自然对数的底
数，则
的可能取值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
证明不等式问题
20．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)设
是
的两个极值点，
①求证：
；
题型07
6
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②求证：
.
21．（2025·黑龙江·一模）已知函数
，
．
(1)若曲线
与
在点
处有相同的切线，求
的值；
(2)若
，证明：对任意的
，
．
22．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数
．
(1)若
，证明：
；
(2)记数列
的前
项和为
．
（i）若
，证明：
．
（ii）已知函数
，若
，
，
，证明：
.
切线问题
题型08
7
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23．（2025·黑龙江·一模）设函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
为增函数，求
的取值范围.
8
