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专题02 平面向量与复数
5 大考点概览
考点01 平面向量的基本定理及坐标表示
考点02 平面向量的线性运算
考点03 平面向量的数量积
考点04 数系的扩充与复数的概念
考点05 复数代数形式的四则运算
1．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．5
D．20
【答案】B
【分析】根据
求出
，再用模的坐标表示求解即可.
【详解】向量
，
，由
，得
，则
，
所以
.
故选：B
2．（2026·三省三校·一模）若向量
，
满足
，
，且
，则
在
方向上的投影向量
的坐标为_____.
【答案】
【分析】根据
，求出
，再结合投影向量的定义得出答案.
【详解】因为
，则
，解得
，
由于
，所以
在
方向上的投影向量即为
，
考点1
平面向量的基本定理及坐标表示
算
1
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则
在
方向上的投影向量的坐标为
.
故答案为：
.
1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）在平行四边形ABCD 中，E 是CD 中点，F 是BC 上靠近C 的三等分点，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用平面向量的线性运算即可求解.
【详解】四边形ABCD 为平行四边形，
所以
，
,
所以
.
故选：C
1．（2026·吉林白山·一模）已知向量
，
，且
，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】D
【分析】将垂直转化为数量积为零计算即可.
【详解】
，
，
，
故选：D
考点2
平面向量的线性运算
考点3
平面向量的数量积
2
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2．（2026·吉林长春·一模）已知向量
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由向量数量积坐标运算等于0 可得方程，解出即可.
【详解】因为
，
所以
，
解得：
.
故选：D
3．（2026 黑龙江哈九中·一模）若向量
满足
，且
，则
的值为______.
【答案】
【分析】先利用向量的数量积的运算律得
，然后再利用数量积的运算律及模长公式求解即可.
【详解】因为
，所以两边平方得
，则
，
因为
，所以
.
故答案为：
4．（2026·黑龙江研远联合·一模）设
，
，则
与
的夹角
________．
【答案】
【分析】应用平面向量的夹角余弦公式计算结合夹角范围计算求角.
【详解】因为
，
，
设
与
的夹角为
，
，
所以
，所以
．
故答案为：
．
3
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5．（2026·辽宁辽阳·一模）已知向量
，
满足
，则向量
与
的夹角
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量坐标运算求出，再利用向量数量积公式求向量的夹角.
【详解】因为
，
所以
，解得
，
所以
，
所以
，又
，
所以向量
与
的夹角为
，
故选：B
6．（2026·黑龙江·一模）如图，已知正方形
的边长为2，且F 为AD 边中点，
与
交于点
，
则
________．
【答案】
/
【分析】以
为基底表示
，结合向量的数量积运算求得正确答案.
【详解】在正方形
中，因为
为AD 中点，所以
，且
，
4
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则
，
则
.
7．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）在直角三角形
中，斜边
的中点为
，若
，则
（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【分析】以
为基底向量得到向量
，然后即可求得
.
【详解】
，∵
为斜边
的中点，
∴
，
∴
，
∴
，
在直角
中，
，∴
，
∴
.
故选：C
8．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）某广场地面上有一条直线轨道
与两个固定反光点
5
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和
（
为灯光照射的角度参数），一移动激光灯P 沿轨道l 移动，激光灯P
发出的光线会同时照射到A 和B，形成两个光斑.为了让光斑的亮度达到最佳效果，需要计算激光灯与两个
反光点之间的能量耦合值W，W 定义为
与
的数量积.则激光灯在轨道上滑行时能量耦合值W 的最小
值为（ ）
A．12
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积求出
，几何意义为点P 与原点的距离的平方减1，再利用点到直线
的距离公式求解即可.
【详解】设
，坐标原点为
，
则
，
，
即
即
，当
最小时W 最小，
原点到直线
的距离为
，
所以
，
所以
.
1．（2026·黑龙江哈三中·一模）已知复数
为纯虚数，则实数
（ ）
A．1
B．
C．0
D．1 或
考点4
数系的扩充与复数的概念
6
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【答案】B
【分析】由纯虚数的定义列式求解即可.
【详解】因为复数
为纯虚数，所以
，解得
.
故选：B.
2．（2026·辽宁沈阳·一模）若复数
是纯虚数，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用除法运算化简复数，根据纯虚数的特征，即可判断.
【详解】
，则
，有
.
故选：A
3．（2026·吉林长春·一模）复数
的虚部是（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】利用复数除法，结合复数的意义求解即得.
【详解】
，
所以复数
的虚部是1.
故选：B
4．（2026·三省三校·一模）复数
的共轭复数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由复数的除法运算和共轭复数概念即可求解.
【详解】
，
所以共轭复数为
，
7
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故选：C
1．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）已知复数
满足
，（其中为虚数单位），则复数
的
虚部为______.
【答案】
【分析】运用复数的模，复数除法等知识计算即可.
【详解】
，
.
故复数
的虚部为
.
故答案为：
.
2．（2026·内蒙古锡林郭勒盟二中·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】A
【分析】由复数的除法运算、乘方运算得到
，再由共轭复数得到
.
【详解】
，所以
，
故选：A
3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知复数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】根据复数的概念及复数乘法计算求解.
【详解】复数
，则
.
4．（2026·黑龙江海伦市六中·一模）复数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．1
考点5
复数代数形式的四则运算
8
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【答案】D
【分析】根据复数的除法运算化简复数
，从而根据模长公式得
.
【详解】复数
，
故
.
故选：D.
5．（2026·黑龙江·一模）计算
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用复数运算法则计算即可得.
【详解】
.
6．（2026·黑龙江研远联合·一模）下列选项中，与复数
（i 为虚数单位）相等的复数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数除法法则计算出
，得到答案.
【详解】
．
故选：A
7．（2026·辽宁大连·一模）已知
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】B
【分析】根据复数代数形式的除法运算及复数的模计算可得.
【详解】
，
，
9
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，
，故选：B
8．（2026·辽宁辽阳·一模）已知复数
，则
（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】利用复数的除法运算将
转化为
，若
，则
，利
用这个公式求出
.
【详解】
，
.
故选：A.
9．（2026·吉林白山·一模）（多选）已知复数z 满足
，
是z 的共轭复数，则下列说法正确
的是（ ）
A．z 的虚部为
B．复数
在复平面中对应的点在第三象限
C．
D．
【答案】AB
【分析】根据复数的运算法则，求得
，结合复数的概念，复数的几何意义，以及复数模的计算
公式，逐项分析判断，即可求解.
10
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【详解】由复数z 满足
，可得
，
A，复数
的虚部为
，正确；
B，由
，得
，则复数
在复平面内对应的点为
位于第三象限，正确；
C，由复数模的计算公式，可得
，错误；
D，因为复数
和
都是虚数，不能比较大小，错误.
故选：AB
11
