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小升初数学模块综合复习 259 个考点（答案版）
第一模块 数的认识【十七大考点】......................................................................................................................................1
第二模块 数的运算【十八大考点】....................................................................................................................................23
第三模块 式与方程【十八大考点】....................................................................................................................................58
第四模块 比和比例【二十二大考点】................................................................................................................................79
第五模块 常用的量【十二大考点】..................................................................................................................................109
第六模块 平面图形【三十四大考点】..............................................................................................................................118
第七模块 立体图形【二十五大考点】..............................................................................................................................160
第八模块 图形变换与位置方向【十八大考点】.............................................................................................................197
第九模块 统计和概率【十三大考点】..............................................................................................................................221
第十模块 一般应用题·整小分百应用题【二十三大考点】............................................................................................245
第十一模块 典型应用题·三十种典型问题【四十八大考点】........................................................................................277
第十二模块 数学思考【十一大考点】..............................................................................................................................341
第一模块 数的认识【十七大考点】
1．540600800读作( )，三千零一万五千写作( )。
【答案】 五亿四千零六十万零八百 30015000
【分析】
整数的读法：从高位到低位，一级一级地读；读亿级、万级时，先按照个级的读法去读，再在后面加
一个亿或万字；每一级末尾的0都不读出来，其它数位连续有几个0都只读一个零；整数的写法：先
写亿级，再写万级，最后写个级。哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0。据此进行解答。
【详解】由分析知，540600800读作五亿四千零六十万零八百，三千零一万五千写作 30015000。
1
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2．读出或写出下列小数。
0.8元读作( )元；十点零六元写作( )元。
【答案】 零点八 10.06
【分析】（1）小数的读法：整数部分是“0”的就读做“零”，整数部分不是“0”的按照整数的读法来读，
小数点读做“点”，小数部分要依次读出每个数位的数字。据此读出这个小数。小数的写法：整数部分
按整数的写法去写，小数部分要依次写出每个数。据此写出这个小数。
（2）小数的写法：整数部分按整数的写法去写，小数部分要依次写出每个数。据此写出这个小数。
【详解】由分析可得:0.8元读作零点八元；十点零六元写作 10.06元。
3．太原市位于山西省中部，境内地貌类型可分为山地、丘陵、平原、盆地、谷地五种，其中山地占
总面积的64.79%，丘陵占总面积的百分之十二点九四。
64.79%读作( )，百分之十二点九四写作( )。
【答案】 百分之六十四点七九 12.94%
【分析】百分数的读法：先读分母（即%），再读分子，读作“百分之……”。
百分数的写法：先写出“百分之”后面的数，然后在这个数的后面加“%”。
【详解】64.79%读作：百分之六十四点七九
百分之十二点九四写作：12.94%
4．山西总面积15.67万平方千米。截至2022年11月1日零时，山西常住人口为34915616人，横线
上的数读作( )，省略“万”位后面的尾数约是( )万；山西四季分明，冬季白天平均气
温11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度，横线上的数读作( )，表示( )摄氏度。
【答案】 三千四百九十一万五千六百一十六 3492 负二 零下二
【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的 0都不读出来，其余数位一
个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数；省略“万”位后面的尾数就是四舍五入到万位，就是
把万位后的千位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“万”字。
比0℃低的温度叫零下温度，通常在数字前面加“﹣”（负号）。负数的读法：先读“负”，数字部分按
数的读法去读。
【详解】34915616读作三千四百九十一万五千六百一十六，省略“万”位后面的尾数约是3492万；山
西四季分明，冬季白天平均气温 11摄氏度，夜间平均气温﹣2摄氏度读作负二，表示零下二摄氏度。
1．把“1”平均分成 1000份，其中52份是( )（填分数），用小数表示为( )。
52
【答案】 0.052
1000
1 52
【分析】把“1”平均分成 1000份，每一份是 ，也就是0.001，其中的52份是 ，也是 0.052。
1000 1000
2
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52
【详解】把“1”平均分成 1000份，其中52份是（ ）（填分数），用小数表示为（0.052）。
1000
2．李老师买了一袋糖果重3千克，把它平均分给8个小朋友，每人分到( )千克，每人分到
这袋糖果的( )。
3 1
【答案】
8 8
【分析】
每人分到的千克数＝糖果的总重量÷人数。将3千克的糖果看成单位“1”分给8个小朋友，就是平均分
1
成了8份，每份就是 。
8
【详解】
3
3÷8＝ （千克）
8
1
1÷8＝
8
3 1
则每人分到 千克，每人分到这袋糖果的 。
8 8
3．玉林某小区的绿化率为33%，是指( )占( )的33%。
【答案】 绿化面积 小区总面积
【分析】绿化率是指绿化面积占总面积的百分率，计算方法为：绿化率＝绿化面积÷总面积，据此解答。
【详解】由分析可知，玉林某小区的绿化率为33%，是指绿化面积占小区总面积的33%。
4．去年春节，小明收到了600元的压岁钱，他全部存进银行，记作﹢600元，开学的时候，他取出
80元买了一套数学绘本，记作( )元。
【答案】﹣80
【分析】用正负数来表示具有意义相反的两种量；存入的钱用正数表示，那么取出的钱用负数表示。
【详解】去年春节，小明收到了 600元的压岁钱，他全部存进银行，记作﹢600元，开学的时候，他
取出80元买了一套数学绘本，记作﹣80元。
1．地球上最大的洋——太平洋的面积约181344000平方千米，把这个数改写成用亿作单位的数是
( )亿平方千米，保留一位小数是( )亿平方千米。
【答案】 1.81344 1.8
【分析】改写成用“亿”作单位的数，就是在亿位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，
再在数的后面写上“亿”字，保留一位小数就是精确到十分位，要看百分位上的数字是几，然后根据四
舍五入的方法取近似值。
【详解】181344000平方千米＝1.81344亿平方千米
1.81344亿平方千米≈1.8亿平方千米
3
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把这个数改写成用亿作单位的数是 1.81344亿平方千米，保留一位小数是1.8亿平方千米。
2．2023年9月28日沪宁沿江高铁开通，线路全长278500米，武进就此迈入高铁时代，其中，总投
资1974000000元。请把横线上的数改写成( )万米，波浪线上的数保留一位小数约是( )
亿元。
【答案】 27.85 19.7
【分析】数的改写就是直接在原数的万位后面点上小数点，同时要在改写的小数后面写上“万”字，数
的大小不变；
四舍五入到亿位并保留一位小数，就是把19.74亿十分位后的百分位上的数进行四舍五入，再在数的
后面写上“亿”字。
【详解】278500＝27.85万
1974000000＝19.74亿
19.74亿≈19.7亿
所以，横线上的数改写成27.85万米，波浪线上的数保留一位小数约是19.7亿元。
3．地球到月球的平均距离是 384401千米，改写成用“万”作单位的数是( )万千米，精确到十
分位约是( )万千米。
【答案】 38.4401 38.4
【分析】改写成用“万”作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，
再在数的后面写上“万”字。求小数的近似数方法是：保留一位小数时，就把百分位上的数省略（当百
分位上的数等于或大于5时，应向十分位上进1后再省略），在表示近似数时，小数末尾的 0不能去
掉；据此解答。
【详解】根据分析：384401＝38.4401万，所以改写成用“万”作单位的数是38.4401万千米；38.4401
万≈38.4万，所以精确到十分位约是 38.4万千米。
4．地球赤道一周的长度大约是40076000米，改写成用“万”作单位是( )万米；截至2023 年年
底，中国人口总数约为1425722992人，省略“亿”后面的尾数，大约是( )亿人。
【答案】 4007.6 14
【分析】把一些较大的数改写成用“万”或“亿”作单位的数时，如果是整万或整亿的数，只要省略万位
或亿位后面的0，并加一个“万”或“亿”字；如果不是整万或整亿的数，要在万位或亿位的后边，点上
小数点，去掉小数点末尾的 0，并加上一个“万”或“亿”字。
求整数的近似数，要对省略的尾数部分的最高位上的数进行四舍五入，若小于5则直接舍去，若大于
或等于5，则向前进一位，并加上“万”或“亿”。
【详解】通过分析可得：
40076000＝4007.6
1425722992≈14亿
4
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地球赤道一周的长度大约是 40076000米，改写成用“万”作单位是4007.6万米；截至2023年年底，
中国人口总数约为 1425722992人，省略“亿”后面的尾数，大约是14亿人。
1． g g、 、0.408408、0.8484…、0.8282。
0.804 0.48
(1)上面的数中，循环小数有( )个，有限小数有( )个。
(2)上面的数中，最大的数是( )，保留两位小数是( )。
【答案】(1) 3 2
(2) 0.8484… 0.85
【分析】（1）小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的、可数的；而无
限小数的小数点后面的小数是无限的、不可数的。
一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫循环小数。
（2）先把循环小数的简写形式改写成无限小数形式，然后根据小数大小的比较方法进行比较，找出最
大的数。
这个最大的数保留两位小数，要看下一位，即小数点后面第三位上的数，根据“四舍五入”法取近似数。
【详解】（1）循环小数： g g、 、0.8484…；
0.804 0.48
有限小数：0.408408、0.8282；
上面的数中，循环小数有3个，有限小数有2个。
（2） g g＝0.804804…
0.804
＝0.4848…
0.48
0.8484…＞0.8282＞0.804804…＞0.4848…＞0.408408
即0.8484…＞0.8282＞ g g＞ ＞0.408408
0.804 0.48
所以，最大的数是 0.8484…，保留两位小数是0.85。
2．在 5.3，7.15454…，2020，1.55…，0.1010，3.706706…，1.2356024…这些数中，循环小数有( )
个，其中最小的循环小数用简便形式表示为( )。
【答案】 3/三
1.5
【分析】小数分为有限小数和无限小数，有限小数的小数点后面的小数是有限的，可数的；而无限小
数的小数点后面的小数是无限的，不可数的；
一个数的小数部分从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数，
据此解答。
5
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再根据小数比较大小的方法：先看整数部分，整数部分大的那个数就大；如果整数部分相同，就看十
分位上的数，十分位上的数大的那个数就大；如果十分位上的数也相同，就看百分位上的数，百分位
上的数大的那个数就大，…，依次类推，进行解答；
再根据循环小数简便写法：写循环小数时，可以只写第一个循环节，并在这个循环节的首位和末位数
字上面各记一个圆点。据此解答。
【详解】5.3，7.15454…，2020，1.55…，0.1010，3.706706…，1.2356024…中；
循环小数有：7.15454…，1.55…，3.706706…，一共3个循环小数。
7.15454…＞3.706706＞1.55…
1.55…＝
1.5
在5.3，7.15454…，2020，1.55…，0.1010，3.706706…，1.2356024…这些数中，循环小数有3个，
其中最小的循环小数用简便形式表示为 。
1.5
3．笑笑在作业本上写下以下几个分数，属于真分数的是( )，最大的一个分数是( )。
它的分数单位是( )，把它变成假分数是( )。
7 5 14 1 1 13
【答案】 ； ； 3
8 8 15 4 4 4
【分析】在分数中，分子小于分母的分数为真分数；分子大于或等于分母的分数为假分数；
假分数大于真分数，比较分数的大小，先通分再比较大小；分母是是几，分数单位就是几。带分数化
假分数，分母不变，分子＝整数部分×分母＋分子。据此解答。
7 5 14
【详解】 ，7＜8； ，5＜8； ，14＜15；
8 8 15
7 5 14
属于真分数的是（ 、 、 ）。
8 8 15
7 28 9 27 1 13 39 5 15
＝ ， ＝ ，3 ＝ ＝ ； ＝
3 12 4 12 4 4 12 4 12
15 27 28 39 5 9 7 1
＜ ＜ ＜ ，即， ＜ ＜ ＜3 。
12 12 12 12 4 4 3 4
1 1 13
所以，最大的一个分数是3 。它的分数单位是 ，把它变成假分数是 。
4 4 4
1
4．在分数单位是 的所有分数中，最小的假分数是( )，最大的真分数是( )。
6
6 5
【答案】
6 6
【分析】把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数单位。
分子比分母小的分数叫做真分数。最大的真分数的分子比分母小 1。
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。最小的假分数的分子与分母相等。
6
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1 6 7 8 9
【详解】分数单位是 的假分数有： 、 、 、 ……；
6 6 6 6 6
1 1 2 3 4 5
分数单位是 的真分数有： 、 、 、 、 ；
6 6 6 6 6 6
6 5
其中，最小的假分数是 ，最大的真分数是 。
6 6
3 3+15
1．
%12 :24
（填小数）。
8 8
【答案】37.5；32；9；40；0.375
3
【分析】根据分数和除法的关系，将 写成3÷8，根据商不变的规律，被除数和除数都乘4；
8
3
根据分数和比的关系，把 写成3∶8，根据比的基本性质，前项和后项都乘3；
8
3
因为 ＝3÷8＝0.375，把0.375的小数点向右移动两位，添上百分号就是 37.5%；
8
3＋15
3
中，分子为 3＋15＝18，利用分数的基本性质， 的分子和分母同时乘6。
8＋（） 8
3
【详解】 ＝3÷8＝（3×4）÷（8×4）＝12÷32；
8
3
＝3∶8＝（3×3）∶（8×3）＝9∶24；
8
3
＝3÷8＝0.375＝37.5%；
8
3 36 18 3 3＋15
＝ ＝ ，48－8＝40，所以 ＝ ；
8 86 48 8 8＋40
3
3＋15
综上所述： ＝37.5%＝12÷32＝9∶24＝ ＝0.375。
8 8＋40
2．0.3＝ ＝9÷( )＝( )∶20＝( )%。
3
【答案】 ；30；6；30
10
【分析】小数化成分数，一位小数先化成分母为10的分数，再化简成最简分数；
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；
分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号；
分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号；
小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号。
3
【详解】0.3＝
10
3 33 9 9
＝ ＝ ， ＝9÷30
10 103 30 30
3 32 6 6
＝ ＝ ， ＝6∶20
10 102 20 20
0.3＝30%
7
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3
即0.3＝ ＝9÷30＝6∶20＝30%。
10
3
3． ＝9∶( )＝( )%＝3÷( )＝( )（填小数）。
4
【答案】 12 75 4 0.75
【分析】分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变；
分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号；
分数与比的关系：分子相当于比的前项，分母相当于比的后项，分数线相当于比号；
分数化成小数，用分子除以分母即可；
小数化成百分数，小数点向右移动两位，同时在数的后面添上百分号。
3 33 9 9
【详解】 ＝ ＝ ， ＝9∶12
4 43 12 12
3
＝3÷4＝0.75
4
0.75＝75%
3
即 ＝9∶12＝75%＝3÷4＝0.75。
4
3
4． ( )10 60% 15( )( ) （填小数）。
( )
【答案】5；6；25；0.6
【分析】分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数的分子和分母，同时乘或除以相同的数（0
除外），分数的大小不变。据此先将百分数化成分数，根据分数与除法的关系，以及它们的基本性质
进行填空。百分数化小数，去掉百分号，小数点向左移动两位即可。
60 3
【详解】60%＝ ＝
100 5
10÷5×3＝6
15÷3×5＝25
60%＝0.6
3
61060%15250.6。
5
1
1．在3.14%、π、3.14、 、3.14中，最大的数是( )，最小的数是( )。
3
【答案】 3.14 3.14%
1
【分析】把3.14%转化为 0.0314，π用小数表示为3.1415926…， 转化为0.333…，3.14改写为3.1444…，
3
然后按照多位小数比较大小的方法进行比较即可；多位小数的大小比较，先看它们的整数部分，整数
部分大的那个数就大；整数部分相同的，十分位上的数大的那个数就大；十分位上的数也相同的，百
分位上的数大的那个数就大，依次往右进行比较，直到比出大小为止。
8
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【详解】3.14%＝0.0314
π＝3.1415926…
1
＝0.333…
3
3.14＝3.1444…
3.1444…＞3.1415926…＞3.14＞0.333…＞0.0314
1
所以，3.14＞π＞3.14＞ ＞3.14%
3
即最大的数是3.14，最小的数是3.14%。
22
2．在3.14，31.4%， ，π，3.1415这五个数中，最大的是( )，最小的是( )。
7
22
【答案】 31.4%
7
【分析】百分数与小数的互化，把百分号去掉，小数点向左移动两位；分数化成小数，用分数的分子
除以分母；小数比较大小，先比较整数部分，整数部分大的数就大，如果整数部分相同，再比较小数
部分十分位上的数，十分位上的数大的就大，如果十分位上的数相同就比较百分位上的数……直到比
出大小为止。据此解答。
【详解】31.4%＝0.314
22
＝22÷7＝3.142857……
7
π≈3.14159……
3.142857……＞3.14159……＞3.1415＞3.14＞0.314
22
则 ＞π＞3.1415＞3.14＞31.4%
7
22
即最大的是 ，最小的是31.4%。
7
10
3．在、314%、 、3.14中，最大的数是( )，最小的数是( )。
3
10
【答案】 314%
3
【分析】比较两个小数的大小，先看它们的整数部分，整数部分大的那个数大；如果整数部分相同，
十分位上的数大的那个数大；如果十分位上的数也相同，百分位上的数大的那个数大......，据此作答。
【详解】＝3.1415926……
10
≈3.3333……
3
3.14＝3.14444……
314%＝3.14
3.3333……＞3.14444……＞3.1415926……＞3.14
10
即： ＞3.14＞＞314%
3
9
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10 10
在、314%、 、3.14中，最大的数是 ，最小的数是314%。
3 3
【点睛】此题主要考查了小数比较大小的方法的应用，要熟练掌握。
3
4．在“ 、3.5%和0.315”三个数中，最大的是( )，最小的是( )。
8
3
【答案】 3.5%
8
【分析】分数化小数，用分母除以分子，能除尽的就化成有限小数，有的不能除尽，不能化成有限小
3
数的，一般保留三位数，据此将 转化成小数；
8
百分数化成小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号，据此将 3.5%转化成小数，最后比较几
个小数的大小，先看它们的整数部分，整数大的那个数就大，如果整数部分相同，十分位大的那个数
就大，如果十分位上的那个数也相同，百分位上大的那个数就大，依次类推对几个数进行判断即可。
【详解】由分析可得：
3
＝3÷8＝0.375
8
3.5%＝0.035
3
因为0.375＞0.315＞0.035，所以 ＞0.315＞3.5%，
8
3
综上所述：三个数中，最大的是 ，最小的是3.5%。
8
1．李叔叔的车牌号后四位由不同的四个数字组成，第一个数字是最小的合数；第二个数字是 10以内
最大的质数；第三个数字既是8的因数，又是8的倍数；第四个数字是2和3的最小公倍数，李叔叔
车牌号的后四位数字是( )。
【答案】4786
【分析】
一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。
两个数是互质数时，它们的最小公倍数是两数的乘积。
【详解】第一个数字是最小的合数，即 4；
第二个数字是10以内最大的质数，即7；
第三个数字既是 8的因数，又是8的倍数，即8；
第四个数字是2和3的最小公倍数，即2×3＝6；
李叔叔车牌号的后四位数字是 4786。
2．张老师的电脑登录密码是一个四位数：个位上的数是最小的合数，十位上的数是最大的一位数，
10
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百位上的数既不是质数也不是合数，千位上的数是8的最大因数，这个密码是( )。
【答案】8194
【分析】
一个数，如果只有 1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数。
一个数，如果除了 1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。
一个数的最大因数是它本身。
【详解】个位上的数是最小的合数，即 4；
十位上的数是最大的一位数，即 9；
百位上的数既不是质数也不是合数，即 1；
千位上的数是8的最大因数，即8；
这个密码是8194。
3．一个五位数，万位上是最小的奇数，百位上是最小的合数，个位上是最小的质数，其余各位上都
是0，这个数写作( )，这个数( )（填“是”或“不是”）3的倍数。
【答案】 10402 不是
【分析】最小的奇数是1，则万位上的数字是1；最小的合数是4，则百位上的数字是4；最小的质数
是2，则个位上的数字是2；其余各位上的数字是0，则千位和十位上的数字是0，所以这个数是 10402。
再结合3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数。
【详解】一个五位数，万位上是最小的奇数，百位上是最小的合数，个位上是最小的质数，其余各位
上都是0，这个数写作10402，这个数不是3的倍数。
4．一个四位数，千位上是比 10小的最大合数，百位上的数既不是质数也不是合数，十位上是最小的
质数，个位上是 2和3的倍数，这个数是( )。
【答案】9126/9026
【分析】一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数， 即除了1和它本身以
外还有其他因数，这样的数叫合数，比10小的最大合数为9；既不是质数也不是合数的是1 和0；最
小的质数是2；2和3的倍数有6、12、18…等，个位上可以填6；据此解答。
【详解】根据分析：比10小的最大合数为9，既不是质数也不是合数的是1和0，最小的质数是2，2
和3的倍数是一位数的只有6，所以这个数是9126或9026。
1．一个三位数43□，如果既是3的倍数也是 5的倍数，□里应填( )；如果既是2的倍数也是
3的倍数，□里最大填( )。
【答案】 5 8
【分析】2的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8；5的倍数特征：个位数是0或5；3的倍数特征：
11
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各个数位上的数字和是3的倍数；既是3的倍数也是5的倍数特征：个位数是0或5，且各个数位上
的数字和是3的倍数；既是2的倍数也是3的倍数特征：个位数是0、2、4、6或8，且各个数位上
的数字和是3的倍数；据此解答。
【详解】4＋3＋0＝7
4＋3＋5＝12
12是3的倍数，所以435既是3的倍数也是5的倍数，□里应填5；
4＋3＋8＝15
15是3的倍数，所以如果43□既是2的倍数也是 3的倍数，□里最大填8。
2．要使三位数4 0同时是2，3，5的倍数，“ ”可以填的数字有( )个。
【答案】3
【分析】同时是2、3、5的倍数的数的特征：个位上是0；各数位上的数字的和是3的倍数。据此解
答。
【详解】4 0的个位上是0；百位和个位的数字之和是4＋0＝4，而4＋2＝6，4＋5＝9，4＋8＝12，
6、9、12是3的倍数，则“ ”可以填的数字有2、5、8，一共有3个。
3．31□既是2的倍数又是3的倍数，□内最大可以填( )。
【答案】8
【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数
字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；据此解答即可。
【详解】□内填8，这个数就是2的倍数，3＋1＋8＝12，12是3的倍数，所以318也是3的倍数，则
□内最大可以填8。
4．有一个三位数 14□，如果它是5的倍数，□里可以填( )；如果它是3的倍数，里可以填
( )；如果它同时是2、5的倍数，□里可以填( )。
【答案】 0、5 1、4、7 0
【分析】2的倍数特征：末尾数字是0、2、4、6、8的数是2的倍数；3的倍数特征：各个数位上的数
字之和是3的倍数，这个数字就是3的倍数；5的倍数特征：末尾数字是0或5的数是5的倍数，据
此解答即可。
【详解】有一个三位数14□，如果它是5的倍数，□里可以填0、5；如果它是3的倍数，里可以填 1、
4、7；如果它同时是2、5的倍数，□里可以填 0。
1．39和78的最大公因数是( )，最小公倍数是( )
【答案】 39 78
12
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【分析】如果两个数中，大数是小数的倍数，那么小数就是这两个数的最大公因数，大数就是这两个
数的最小公倍数，据此解答。
【详解】78392，所以78是39的倍数，由分析可知，39和78的最大公因数是39，最小公倍数是
78。
2．54和36的最大公因数是( )；12和18的最小公倍数是( )。
【答案】 18 36
【分析】先分解质因数，两数公有质因数的乘积是这两个数的最大公因数，公有质因数和独有质因数
的乘积是这两个数的最小公倍数。据此解题。
【详解】54＝3×3×3×2
36＝3×3×2×2
3×3×2＝18
所以，54和36的最大公因数是18；
12＝3×2×2
18＝2×3×3
3×2×2×3＝36
所以，12和18的最小公倍数是36。
3．a＝2×2×3×5，b＝2×3；a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。
【答案】 6 60
【分析】把a和b公有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最大公因数，把它们公有的质因数和
独有的质因数连乘起来，所得的积就是它们的最小公倍数。
【详解】因为a＝2×2×3×5，b＝2×3，2×3＝6，2×2×3×5＝60，所以最大公因数是6，最小公倍数是 60。
4．已知A3n，B25n，（n为非零自然数），则A与B 的最大公因数是( )，最小公
倍数是( )。
【答案】 n 30n
【分析】求最大公因数也就是求这几个数的公有质因数的连乘积，最小公倍数是公有质因数与独有质
因数的连乘积，据此计算即可。
【详解】已知A3n，B25n，（n为非零自然数），则A与B 的最大公因数是n，最小公倍数
是3×2×5×n＝30n。
1．一个客厅长54分米，宽48分米，要用方砖铺地（整块数），方砖的边长最长是多少分米？需要
这种方砖多少块？
【答案】6分米；72块
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【分析】客厅长54分米，宽48分米，那么方砖的边长应是54和48的公因数。求方砖的最大边长，
就是求54和48的最大公因数。据此用短除法求出54和48的最大公因数即可。
长方形的面积＝长×宽，正方形的面积＝边长×边长，据此代入数据求出客厅地面的面积和一块方砖
的面积，再把它们相除即可求出需要方砖的块数。
254 48
【详解】 327 24
9 8
54和48的最大公因数为2×3＝6，则方砖的边长最长是6分米。
54×48÷（6×6）
＝2592÷36
＝72（块）
答：方砖的边长最长是6分米。需要这种方砖72块。
2．有一块长50厘米，宽40厘米的长方形木板，现在要把它分割成若干块正方形木板，要求每块正
方形木板是最大的正方形，并且没有剩余。每块正方形木板的边长是多少厘米？可以分割成多少块这
样的正方形木板？
【答案】10厘米；20块
【分析】全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。据此求出长方形木
板长和宽的最大公因数是分割成的最大正方形的边长，长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边
长，长方形木板的面积÷正方形木板的面积＝分割成的正方形木板的块数，据此列式解答。
【详解】50＝2×5×5
40＝2×2×2×5
2×5＝10（厘米）
50×40÷（10×10）
＝2000÷100
＝20（块）
答：每块正方形木板的边长是 10厘米，可以分割成20块这样的正方形木板。
3．五年级一班的学生进行队列表演，每行 16人或12人都正好是整行。已知这个班的学生人数不超
过50人，你能算出这个班有多少人参加队列表演吗？
【答案】48人
【分析】求这个班有多少人参加队列表演，就是求16和12的公倍数，且小于50；根据求最小公倍数
的方法：两个数的公有质因数的连乘积，就是这两个数的最小公倍数，据此解答。
【详解】16＝2×2×2×2
12＝2×2×3
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16和12的最小公倍数是：2×2×2×2×3＝48，这个班有48人参加队列表演。
答：这个班有48人参加队列表演
4．一座喷泉由内外双层构成。外面每 10分钟喷一次，里面每6分钟喷一次。上午9时30分同时喷
完一次后，下次同时喷水是什么时间？
【答案】10时
【分析】全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
求下次同时喷水是几时几分，先求出 10和6的最小公倍数，即同时喷水的间隔时间，然后根据起点
时间＋经过时间＝终点时间，推算出下次同时喷水时间。
【详解】10＝2×5
6＝2×3
2×3×5＝30（分钟）
9时30分＋30分钟＝10时
答：下次同时喷水是10时。
1．循环小数0.1578578578…的循环节是( )，小数点后第50位数字是( )。
【答案】 578 5
【分析】循环小数是指一个数的小数部分从某一位起，一个或几个数字依次重复出现的无限小数。重
复出现的部分是循环节。
这个小数的十分位不参与循环，那么将 50减去1，求出差。将差除以3，求出商和余数。余数是几，
小数点后第50位数字就对应循环节的第几位数字。
【详解】循环小数 0.1578578578…的循环节是578。
50－1＝49
49÷3＝16……1
所以，小数点后第 50位数字是5。
2．6÷7的商是一个小数，小数点后面第500位上的数字是( )，保留两位小数约是( )。
【答案】 5 0.86
【分析】根据小数除法计算法则求出 6÷7的商，发现商是一个循环小数。循环节有6个数字，将500
除以6，求出商和余数。余数是几，商小数点后面第500位上的数字就对应循环节中的第几个数字。
保留两位小数，看第三位小数的大小，然后按照“四舍五入”法求出近似数。
【详解】6÷7＝0.857142857142…
0.857142857142…≈0.86
500÷6＝83……2
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循环节中的第二个数是5，所以6÷7的商的小数点后面第500位上的数字是5，保留两位小数约是0.86。
1．单位换算。
320米＝( )千米 50分＝( )时
3
吨＝( )千克 0.5平方千米＝( )公顷
8
5
【答案】 0.32 375 50
6
【分析】低级单位换高级单位除以进率，根据1千米＝1000米，用320÷1000即可；根据1时＝60分，
3
用50÷60即可；高级单位换低级单位乘进率，根据1吨＝1000千克，用 ×1000即可；根据 1平方千
8
米＝100公顷，用0.5×100即可。
【详解】320米＝320÷1000千米＝0.32千米；
5
50分＝50÷60时＝ 时；
6
3 3
吨＝ ×1000千克＝375千克；
8 8
0.5平方千米＝0.5×100公顷＝50公顷。
【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。
2．单位换算。
3
分＝( )秒 60000平方米＝( )公顷
4
0.05吨＝( )千克 4.5米＝( )厘米
【答案】 45 6 50 450
【分析】①高级单位分化低级单位秒乘进率 60。
②低级单位平方米化高级单位公顷除以进率 10000。
③高级单位吨化低级单位千克乘进率 1000。
④高级单位米化低级单位厘米乘进率 100。
3
【详解】 分＝45秒 60000平方米＝3公顷
4
0.05吨＝50千克 4.5米＝450厘米
【点睛】单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间
的进率；由高级单位化低级单位乘进率，由低级单位化高级单位除以进率。
3．单位换算。
2
5米20厘米( )米（填分数） 2 时( )小时( )分
3
3 3
千克( )克 千米( )米 250毫升( )升（填分数）
8 20
16
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1 1
【答案】 5 2 40 375 150
5 4
【分析】把5米20厘米化成米数，用20除以进率100，然后再加上5；
2 2
把2 时化成复名数，整数部分 2是时数， 乘进率60就是分钟数；
3 3
3 3
把 千克化成克数，用 乘进率1000；
8 8
3 3
把 千米化成米数，用 乘进率1000；
20 20
把250毫升化成升数，用250除以进率1000，用分数表示，即可得解。
1
【详解】5米20厘米5 米
5
2
2 时2小时40分
3
3
千克375克
8
3
千米150米
20
1
250毫升 升
4
【点睛】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率，把低
级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。
4．单位换算。
5
分＝( )秒 4吨30千克＝( )吨
6
1.2km＝( )m 7800平方米＝( )公顷
【答案】 50 4.03 1200 0.78
5
【分析】高级单位换低级单位乘进率，根据 1分＝60秒，用 ×60即可；低级单位换高级单位除以进
6
率，根据1吨＝1000千克，用30÷1000再加上4即可；根据1km＝1000m，用1.2×1000即可；根据
1公顷＝10000平方米，用7800÷10000即可。
5 5
【详解】 分＝ ×60秒＝50秒
6 6
4吨30千克＝4吨＋30÷1000吨＝4吨＋0.03吨＝4.03吨
1.2km＝1.2×1000m＝1200m
7800平方米＝7800÷10000公顷＝0.78公顷
【点睛】本题考查单位换算，明确各单位之间的进率是解题的关键。
1．0.34的计数单位是( )，不改变0.34的大小，将它改写成三位小数是( )。
【答案】 0.01 0.340
17
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【分析】一位小数的计数单位是0.1，两位小数的计数单位是0.01……；根据小数的性质：在小数的末
尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变，这叫做小数的性质，据此解答即可。
【详解】0.34的计数单位是0.01，不改变0.34的大小，将它改写成三位小数是0.340。
【点睛】本题考查了小数的意义及小数的性质。
1
2．把0.05扩大到原数的( )倍是50；把3.5缩小到原数的 是( )。
100
【答案】 1000 0.035
【分析】从0.05到 50，小数点向右移动了3位，所以0.05扩大到原数的1000倍是50；把3.5 缩小到
1
原数的 ，小数点向左移动 2位，那么缩小后是0.035。
100
1
【详解】把0.05扩大到原数的1000倍是50；把3.5缩小到原数的 是0.035。
100
【点睛】本题考查了小数点的移动。小数点向右移动，原数扩大；小数点向左移动，原数缩小。
17
3．分数 的分子加34，要使比值不变，那么分母应扩大到原来的( )倍。
2018
【答案】3
【分析】根据分数的基本性质：分子和分母同时乘（或除以）同一个数（0除外），分数大小不变。
解答即可。
【详解】173417
5117
3
17
故，分数 的分子加34，要使比值不变，那么分母应扩大到原来的3倍。
2018
【点睛】熟练掌握分数的基本性质是解答本题的关键。
3
1．一个分数的分子比分母大 24，约分后等于1 ，这个分数原来是( )。
5
64
【答案】
40
3 8
【分析】把带分数化成假分数，即1 ＝ ；约分后分子比分母大 8－5＝3；则它们是用24÷3＝8来约
5 5
分的，用分子分母同时乘8，即可求出这个分数原来是多少。
3 8
【详解】1 ＝
5 5
24÷（8－5）
＝24÷3
＝8
18
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8 88 64
＝ ＝
5 58 40
3 64
一个分数的分子比分母大24，约分后等于1 ，这个分数原来是 。
5 40
2
2．一个分数被2约了2次，被3约了1次后得到 ，这个分数原来是( )。
3
24
【答案】
36
【分析】把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。运用分数的基本性质
进行约分，分子和分母同时除以它们的公因数。
2
根据题意，这个分数的分子、分母同时除以2、再除以2、再除以3，得到最简分数 ，求原来的分数，
3
用倒推法，最简分数的分子、分母同时乘 3、再乘2、再乘2，即可求出原来的分数。
2 2322 24
【详解】 ＝ ＝
3 3322 36
24
这个分数原来是 。
36
5 7
3．小东、小新、小凯三人读同一篇文章，小东用了 小时，小新用了 时，小凯用0.3小时，三人
6 20
中( )读得最快。
【答案】小凯
【分析】读同一篇文章，谁用的时间少，谁的速度就快；先将各分数通分化成同分母分数，再利用同
分母分数大小的比较方法比较大小即可。
5 510 50
【详解】 = =
6 610 60
7 73 21
= =
20 203 60
3 36 18
0.3= = =
10 106 60
50 21 18
＞ ＞
60 60 60
5 7
即 ＞ ＞0.3
6 20
所以，小凯读得最快。
【点睛】本题主要考查了异分母分数大小的比较；解答此题的关键是将异分母数化成同分母分数，再
比较大小。
5 2 5 ( ) 2 ( )
4．已知ab3，将 和 通分为 ， 。
a b a ( ) b ( )
5 6
【答案】 ；
a a
5 2
【分析】由ab3可知，a为b的3倍，因此，a、b的最小公倍数是a，即 和 的公分母是a，通分
a b
5 2 2 6
后， 不变，根据分数的基本性质， 的分子、分母都乘3，即 。
a b b a
19
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【详解】因为ab3
5 2
所以即 和 的公分母是a
a b
5 5 2 23 6
通分后， ，根据分数的基本性质， 。
a a b a a
【点睛】解答此题的关键是弄清这两个分数的公分母，也是难点，然后根据分数的基本性质，即可对
这两个分数通分。
a b
1．已知a和b互为倒数，那么 × 的积是( )。
3 7
1
【答案】
21
【分析】乘积是1的两个数互为倒数。
a b
已知a和b互为倒数，那么a 与b的积为1；再根据分数乘分数的计算法则计算 × ，并把ab＝1代
3 7
入式子中，即可求解。
【详解】已知a和b互为倒数，则ab＝1；
a b ab 1
× ＝ ＝
3 7 37 21
a b 1
那么 × 的积是 。
3 7 21
5
2．甲数是0.2，乙数的倒数是 ，则甲数与乙数的最简整数比是( )，比值是( )。
4
1
【答案】 1∶4
4
【分析】互为倒数的两个数的乘积是 1，据此求出乙数；根据比的基本性质，即比的前项和后项同时
乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，进而把比化成最简比；根据求比值的方法，就用最简
比的前项除以后项即得比值。
5 4
【详解】乙数的倒数是 ，则乙数是 ；
4 5
4
0.2∶
5
4
＝（0.2×5）∶（ ×5）
5
＝1∶4
1
1÷4＝
4
1
即甲数与乙数的最简整数比是 1∶4，比值是 。
4
1 2 5
3．A1 B C D0 ，( )最大，( )最小，( )等于( )。
2 3 5
【答案】 B A C D
20
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1 2 5
【分析】设A1 B C D0 ＝1，根据倒数的意义分别求出 A、B、C、D，再比较大小即可。
2 3 5
1 2 5 1 1 3 2 2
【详解】设A1 B C D0 ＝1，则A是1 的倒数，1 ＝ ，所以A＝ ；B 是 的倒数，即
2 3 5 2 2 2 3 3
3 5 3 2
B＝ ； ＝1，C是1的倒数，所以C＝1；D＝1。 ＞1＞ ，所以B 最大，A最小，C等于D（或
2 5 2 3
D等于C）。
【点睛】解决此类题可根据倒数的意义用设数法解决。
1．根据“白兔的只数比灰兔少40%”，这里是把( )当作单位“1”，则白兔的只数相当
于灰兔的( )%。
【答案】 灰兔的只数 60
【分析】一个整体可以用自然数 1表示，我们通常把它叫做单位“1”。单位“1”一般在关键字“是”、“占”、
“比”的后面或分率“的”的前面。
“白兔的只数比灰兔少40%”，是把灰兔的只数当作单位“1”，则白兔的只数是灰兔的（1－40%），据
此解答。
【详解】1－40%＝60%
根据“白兔的只数比灰兔少40%”，这里是把灰兔的只数当作单位“1”，则白兔的只数相当于灰兔的60%。
1
2．今年小麦的产量比去年减产 。由此可以得出的数量关系式是( )×( )＝( )。
11
1
【答案】 去年小麦的产量 1 今年小麦的产量
11
1 1
【分析】今年小麦的产量比去年减产 ，是将去年的产量看作单位“1”，则今年占的分率为1－ ，根
11 11
据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法，即用去年的产量乘今年所占的分率，可求
出今年的产量，据此解答即可。
【详解】由分析可得：
1 1
今年小麦的产量比去年减产 。由此可以得出的数量关系式是：去年小麦的产量×（1 ）＝今年小
11 11
麦的产量。
7
3．“六年级一班男生人数是女生人数的 ”。这句话中把( )看作单位“1”，把( )平均
8
7
分成8份，( )相当于其中的7份这句话中表示的数量关系是( )× ＝( )。
8
【答案】 女生人数 女生人数 男生人数 女生人数 男生人数
【分析】判断单位“1”的方法：一般是把“比、占、是、相当于”后面的量看作单位“1”，即分数“的”字前
7
面的量看作单位“1”；根据题意“六年级一班男生人数是女生人数的 ”，是把女生人数看作单位“1”，
8
再根据分数的意义，把一个整体平均分成若干份，其中的几份就是几分之几，则把女生人数平均分成
21
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8份，其中男生人数占其中的7份，根据求一个数的几分之几是多少的计算方法，男生人数＝女生人
7
数× ，据此解答。
8
7
【详解】根据分析可知，“六年级一班男生人数是女生人数的 ”。这句话中把女生人数看作单位“1”，
8
7
把女生人数平均分成8份，男生人数相当于其中的7份这句话中表示的数量关系是女生人数× ＝男
8
生人数。
31
4．磁悬浮列车的运行速度是 430千米/时，普通列车比它慢 。根据这些条件回答以下问题。
43
(1)单位“1”的量是指( )。
(2)普通列车的速度占磁悬浮列车速度的( )。
【答案】(1)磁悬浮列车速度
12
(2)
43
31
【分析】根据题意，普通列车比它（磁悬浮列车）慢 ，“比”的后面的量作为单位“1”，即将磁悬浮列
43
31 31
车的速度看作单位“1”；慢 ，即是它的（1－ ），据此解答即可。
43 43
【详解】（1）单位“1”的量是指磁悬浮列车的速度。
31 12
（2）1－ ＝
43 43
12
即普通列车的速度占磁悬浮列车速度的 。
43
1．下面的直线上，点A表示的数是( )，点B表示的数写成小数是( )，点C表示的数
写成分数是( )。
1 5
【答案】 ﹣1 0.5 1 /
4 4
【分析】从直线上数据分析，每个大格表示 1，每个大格被平均分成4个小格，则每个小格表示1÷4
1
＝0.25＝ ，0左边是负数，0右边是正数，据此解答即可。
4
【详解】下面的直线上，点A表示的数是﹣1，点B表示的数写成小数是0.5，点C表示的数写成分数
1
是1 。
4
【点睛】本题考查了对数轴的认识，解决本题的关键是找准单位长度。
22
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2．
直线上A点表示的数是( )，B点表示的数写成分数是( )，C 点表示的数写成百分数
是( )。
【答案】 ﹣2 1 160%
2
【分析】由上图可知：一大格表示1，A点在0的左边两格，在数轴上0左边的数表示负数，0右边的
数表示正数，所以 A点表示﹣2，B 点在0和1中间，所以表示1 ，一大格被平均分成5小格，所以
2
一小格表示：1÷5＝0.2，C 点在1后面3格位置，所以表示：1＋0.2×3＝1.6，再根据把小数转化成百
分数的方法：把小数点向右移动两位，再在后面添上百分号，即 1.6＝160%。
【详解】由分析可知：
直线上A点表示的数是﹣2，B 点表示的数写成分数是1 ，C点表示的数写成百分数是160%。
2
【点睛】本题考查正负数在数轴上的表示，以及把小数化成百分数，注意做此类题目要先看一大格和
一小格分别表示多少。
第二模块 数的运算【十八大考点】
1．在括号里填上合适的数。
176＋( )＝400 ( )－78＝341 780万－( )＝40万
【答案】 224 419 740万
【分析】
和－加数＝另一个加数，被减数＝减数＋差，减数＝被减数－差，据此解答。
【详解】400－176＝224，则176＋224＝400
78＋341＝419，则419－78＝341
780万－40万＝740万，则780万－740万＝40万
2．在一个减法算式里，减数是 88，差是302，那么被减数是( )。在一个加法算式里，和是
79，其中一个加数是35，另一个加数是( )。
【答案】 390 44
【分析】被减数＝减数＋差，和－一个加数＝另一个加数，代入数据计算即可。
【详解】88＋302＝390
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79－35＝44
在一个减法算式里，减数是88，差是302，那么被减数是390。在一个加法算式里，和是79，其中一
个加数是35，另一个加数是44。
3．☆×8＋20＝180，则☆＝( )。
【答案】20
【分析】
一个加数＝和－另一个加数，所以☆×8等于180减20的差，再根据一个乘数＝积÷另一个乘数可知，
☆等于差除以8，据此即可解答。
【详解】☆×8＋20＝180
☆×8＝180－20
☆×8＝160
☆＝160÷8
☆＝20
4．小马虎在计算 800－（320－ ÷4）时，把括号里的顺序弄错了，先算了320－ 的差，这样得
到的结果是790，这道题正确的结果应该是多少？
【答案】550
【分析】
根据题意可知，小马虎是先求320－ 的差，再求差除以4的商，最后用800减商，结果是790，综
合算式是800－（320－ ）÷4＝790，减数等于被减数减去差，所以（320－ ）÷4等于800－790
＝10，被除数等于除数乘商，所以 320－ 等于 10×4＝40，减数等于被减数减去差，所以 等于
320－40＝280，再把280代入800－（320－ ÷4）中计算出正确的结果即可解答。
【详解】800－（320－ ）÷4＝790
（320－ ）÷4＝800－790
（320－ ）÷4＝10
320－ ＝10×4
320－ ＝40
＝320－40
＝280
800－（320－280÷4）
＝800－（320－70）
＝800－250
＝550
答：这道题正确的结果应该是 550。
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1．根据28×12＝336，直接写出下面两个算式的得数。
3360÷12＝( ) 336÷24＝( )
【答案】 280 14
【分析】根据积÷一个因数＝另一个因数可知，336÷12＝28，再根据除数不变，被除数乘（或除以）几
（0除外），商就乘（或除以）相同的数可得，3360÷12＝28×10＝280；再根据被除数不变，除数乘（或
除以）几（0除外），商就除以（或乘）相同的数可得，336÷24＝28÷2＝14，据此即可解答。
【详解】根据28×12＝336，直接写出下面两个算式的得数。
3360÷12＝280
336÷24＝14
2．□÷16＝31……☆，☆最大是( )，此时被除数是( )。
【答案】 15 511
【分析】结合有余数的除法中余数和除数的关系可知，余数一定要小于除数，再根据被除数＝商×除数
＋余数，计算出余数最大的时候被除数是多少即可。
【详解】□÷16＝31……☆，可知☆表示余数，除数是16，故余数最大是15，此时被除数为：16×31＋
15＝496＋15＝511。
3．小红在计算“32＋ ÷8”时，弄错了运算顺序，先算加法后算除法，得数是10。正确的得数应该是
( )。
【答案】38
【分析】根据题意和整数四则混合运算规律可知，（32＋ ）÷8＝10，据此求出 的结果后，再根据
正确的顺序先计算除法再计算加法求出正确得数。
【详解】（32＋ ）÷8＝10，被除数＝除数×商，（32＋ ）＝8×10＝80，一个加数＝和－另一个加数，
＝80－32＝48。
32＋48÷8
＝32＋6
＝38
正确的得数应该是 38。
4．在一个除法算式中，商和余数都是 16，除数正好是余数的4倍，被除数是( )。
【答案】1040
【分析】这道除法算式的商是16，余数是16，除数是（16×4），被除数＝除数×商＋余数，据此算出
被除数。
【详解】16×4＝64
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64×16＋16
＝1024＋16
＝1040
在一个除法算式中，商和余数都是 16，除数正好是余数的4倍，被除数是1040。
1．计算172－18×8时，先算( )法，再算( )法，结果是( )，计算（172－18）
×8时，先算( )法，再算( )法，结果是( )。
【答案】 乘 减 28 减 乘 1232
【分析】172－18×8 中，有乘法和减法，属于两级运算，应先算乘法，再算减法。（172－18）×8中
有小括号，应先算小括号里面的减法，再算括号外面的乘法。
【详解】172－18×8
＝172－144
＝28
（172－18）×8
＝154×8
＝1232
计算172－18×8时，先算乘法，再算减法，结果是 28，计算（172－18）×8时，先算减法，再算乘
法，结果是1232。
1 1 1 2
2．计算 时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法。
8 3 4 5
【答案】 减 除 乘
【分析】四则运算分为两级：加法、减法叫做第一级运算，乘法、除法叫做第二级运算。
（1）在一个没有括号的算式里，如果只含同一级运算，按照从左往右的顺序依次计算；如果含有两级
运算，要先算第二级运算（乘除法），再算第一级运算（加减法）。
（2）在一个有括号的算式里，要先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外的。
根据以上运算法则，运算即可。
【详解】由分析可得：
1 1 1 2
8 3 4 5
1 4 3 2
＝ ÷（ － ）×
8 12 12 5
1 1 2
＝ ÷ ×
8 12 5
1 2
＝ ×12×
8 5
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3 2
＝ ×
2 5
3
＝
5
1 1 1 2
应该先算小括号里的减法，再按照从左往右的顺序，再算除法，最后算乘法。
8 3 4 5
3．在算式900÷3＋6×5中加上小括号和中括号，使运算顺序变成先算加法、再算乘法、最后算除法，
那么算式变为( )。
【答案】900÷[（3＋6）×5]
【分析】
当一个算式中有小括号和中括号的时候，优先计算小括号内的，再计算中括号内的，最后计算括号外
的，依题意，运算顺序变成先算加法、再算乘法、最后算除法，故用小括号括起（3＋6），接着用中
括号括起[（3＋6）×5]，最后即可得出结果。
【详解】在算式900÷3＋6×5中加上小括号和中括号，使运算顺序变成先算加法、再算乘法、最后算
除法，算式为900÷[（3＋6）×5]
1．在括号里填上合适的数。
930＋932＋934＋936＋938＝934×( )＝( )。
【答案】 5 4670
【分析】观察这个算式，930比934少4，938比934多4，930＋938＝934＋934，同理可知932＋936
＝934＋934。则先根据加法交换律，将算式变为930＋938＋932＋936＋934。再根据加法结合律，将
算式变为（930＋938）＋（932＋936）＋934。那么算式就等于5个934相加的和，即934×5，再根
据整数乘法计算方法解答。
【详解】930＋932＋934＋936＋938
＝930＋938＋932＋936＋934
＝（930＋938）＋（932＋936）＋934
＝（934＋934）＋（934＋934）＋934
＝934×5
＝4670
2．在横线上填上合适的数或字母。
140＋（60＋278）＝（ ＋ ）＋278
a×6.3＋a×3.7＝ ×（ ＋ ）
【答案】 140 60 a 6.3 3.7
【分析】加法结合律：a＋b＋c＝a＋（b＋c），三个数相加，先把前两个数相加，再和第三个数相加，
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或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，和不变；利用加法结合律将 140和60先凑整计算；
根据乘法分配律，先算6.3＋3.7，再用和乘a；据此解答。
【详解】根据分析可得：
140＋（60＋278）＝（140＋60）＋278
a×6.3＋a×3.7＝a×（6.3＋3.7）
1．74－（34－19）＝74－34＋19，观察这个等号左右两边算式的相同点和不同点，仿照算式，再写
出一个这样的算式：( )。
【答案】126－（26－9）＝126－26＋9
【分析】整数减法的性质：一个数连续减去两个数，可以用这个数减去两个数的和；用字母表示为：a
－b－c＝a－（b＋c）；据此解答即可。
【详解】74－（34－19）
＝74－34＋19
＝40＋19
＝59
74－（34－19）＝74－34＋19，观察这个等号左右两边算式的相同点和不同点，仿照算式，再写出一
个这样的算式：126－（26－9）＝126－26＋9。（答案不唯一）
【点睛】本题考查了整数减法的性质的灵活运用。
2．小华计算395－298时，先算出395－300＝95。要得到正确的结果，还需再( )。
【答案】计算95＋2＝97
【分析】根据减法的性质简算 395－298时，将298看成300－2，先计算395－300，再用差加上2即
可。
【详解】395－298
＝395－（300－2）
＝395－300＋2
＝95＋2
＝97
要得到正确的结果，还需再计算 95＋2＝97。
【点睛】本题考查学生对整数运算定律的认识和掌握情况，应根据算式中数据特点和运算符号，选择
合适的运算定律进行简算。
1．简便计算。
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46＋18＋54＋82 952－45－55
367＋198 761－199
【答案】200；852；
565；562
【分析】
（1）四个加数相加，观察数据的特点，46 和54 合起来是 100，而 18 和 82合起来是 100，所以可利
用加法交换律和加法结合律使计算简便。
（2）一个数连续减去两个数，观察数据的特点，45 和55合起来是 100，所以可利用减法的性质（一
个数连续减去两个数等于这个数减去两个数的和）使计算简便；
（3）367加上198，198比较接近整百数200，所以可通过相等变化将198变成200－2使计算简便（变
化时需加小括号）。
（4）761减去 199，199比较接近整百数 200，所以也可通过相等变化将 199变成 200－1 使计算简便
（变化时需加小括号）。
【详解】（1）46＋18＋54＋82
＝46＋54＋18＋82
＝（46＋54）＋（18＋82）
＝100＋100
＝200
（2）952－45－55
＝952－（45＋55）
＝952－100
＝852
（3）367＋198
＝367＋（200－2）
＝367＋200－2
＝567－2
＝565
（4）761－199
＝761－（200－1）
＝761－200＋1
＝561＋1
＝562
2．简便运算。
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697＋128－197 772－166－134 143＋79＋57＋321
385＋198 648＋327＋173 564－95－364－105
【答案】628；472；600；
583；1148；0
【分析】
（1）交换197和128的位置，然后先计算697－197，二者的差再加128；
（2）先计算166＋134的值，再计算772减去二者的和；
（3）交换79和57的位置，先分别计算143＋57和79＋321，最后再将二者的和相加；
（4）将385拆成383＋2，然后先计算198＋2，再将二者的和加383；
（5）先计算327＋173的值，求得的和再与648相加；
（6）交换 95 和364的位置，先计算 564－364的值，再计算 95＋105，最后用 564－364 的差减去 95
＋105的和。
【详解】697＋128－197
＝697－197＋128
＝500＋128
＝628
772－166－134
＝772－（166＋134）
＝772－300
＝472
143＋79＋57＋321
＝143＋57＋79＋321
＝（143＋57）＋（79＋321）
＝200＋400
＝600
385＋198
＝383＋2＋198
＝383＋（2＋198）
＝383＋200
＝583
648＋327＋173
＝648＋（327＋173）
＝648＋500
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＝1148
564－95－364－105
＝564－364－95－105
＝（564－364）－（95＋105）
＝200－200
＝0
1．在括号里填合适的数。
800×30＝( )×300 15×400＝4×( )
【答案】 80 1500
【分析】先根据积的变化规律将等式变成连乘的计算，再根据乘法结合律和交换律填上合适的数。
【详解】800×30
＝（80×10）×30
＝80×（10×30）
＝80×300
15×400
＝15×（4×100）
15×4×100
＝15×100×4
＝1500×4
800×30＝80×300，15×400＝4×1500
2．在计算时25×44，贝贝是这样想的：25×44＝25×4×11＝100×11＝1100，这是运用了( )律。
【答案】乘法结合律
【分析】乘法结合律：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。计算时，将44拆成
（4×11），算式变为：25×4×11，先算25×4＝100，然后再算100×11即可；据此解答。
【详解】计算25×44 时，贝贝是这样想的：
25×44
＝25×（4×11）
＝25×4×11
＝100×11
＝1100
他在计算中，用到的运算律是乘法结合律；
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1．计算下面各题，怎样简便就怎样算。
8×35×125 50×125×4×8 25×（68×4）
【答案】35000；200000；6800
【分析】
（1）利用乘法交换、结合律简算；
（2）利用乘法交换律和结合律简算；
（3）利用乘法交换、结合律简算。
【详解】8×35×125
＝8×125×35
＝1000×35
＝35000
50×125×4×8
＝50×4×125×8
＝（50×4）×（125×8）
＝200×（125×8）
＝200×1000
＝200000
25×（68×4）
＝（25×4）×68
＝100×68
＝6800
2．计算下面各题，怎样简便就怎样算。
96×5×20 4×（25×39） 125×37×8
【答案】9600；3900；37000
【分析】
（1）（2）再按照乘法结合律计算。
（3）按照乘法交换律计算。
【详解】96×5×20
＝96×（5×20）
＝96×100
＝9600
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4×（25×39）
＝4×25×39
＝100×39
＝3900
125×37×8
＝125×8×37
＝1000×37
＝37000
1．480÷16＝480÷4÷( )，960÷6÷5＝960÷( )。
【答案】 4 6×5/30
【分析】根据除法的性质，一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积，据此解答。
【详解】根据除法的性质：480÷16＝480÷4÷4，960÷6÷5＝960÷（6×5）＝960÷30。
2．如果180÷☆÷△＝6，那么☆×△＝( )。
【答案】30
【分析】一个数连续除以两个数，等于这个数除以后两个数的积，据此解答。
【详解】180÷☆÷△＝180÷（☆×△）＝6
则☆×△＝180÷6
所以☆×△＝30。
【点睛】熟练掌握除法的性质是解答此题的关键。
1．36×99＋36＝ ×（ ＋ ），这是根据乘法( )进行简便运算的。
【答案】 36 99 1 分配律
【分析】36×99＋36 表示99个36加1个36，可以用加法先算一共有几个36，然后再用乘法计算几个
36是多少。
乘法交换律：a×b＝b×a
乘法结合律：（a×b）×c＝a×（b×c）
乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c
据此判断本题是根据哪个运算定律进行简便运算。
【详解】由分析得，36×99＋36可以用加法先算一共有几个36：99＋1
然后再用乘法计算几个36是多少：36×（99＋1）
因此，36×99＋36＝36×（99＋1）
33
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根据乘法运算定律可知，这是根据乘法分配律进行简便运算的。
5 5
2．小红在计算（a＋ ）×12时，把算式错当成a＋ ×12进行计算，这样算出的结果与正确结果相差
6 6
( )。
【答案】11a
【分析】把原式按照乘法分配律进行去括号，将正确的算式减去错误的算式，求出差，即可求出这样
算出的结果与正确结果相差多少。
5 5
【详解】（a＋ ）×12－（a＋ ×12）
6 6
5 5
＝12a＋ ×12－a－ ×12
6 6
＝12a＋10－a－10
＝11a
所以，这样算出的结果与正确结果相差 11a。
【点睛】本题考查了含有字母式子的化简、分数乘法分配律，有一定计算能力是解题的关键。
1．脱式计算，能简算的要简算。
16 19 3
2716 3.6×0.6 2.460
23 23 5
【答案】32；63.6
16 19 19 16 16 16
【分析】 ×27＋16× ，把16× 化为 ×19，原式化为： ×27＋ ×19；再根据乘法分配律，原
23 23 23 23 23 23
16
式化为： ×（27＋19），再进行计算；
23
3 3
3.6×0.6＋ ×2.4＋60，把分数化成小数， ＝0.6；原式化为：3.6×0.6＋0.6×2.4＋60，再根据乘法分配
5 5
律，原式化为：0.6×（3.6＋2.4）＋60，再进行计算。
16 19
【详解】 ×27＋16×
23 23
16 16
＝ ×27＋ ×19
23 23
16
＝ ×（27＋19）
23
16
＝ ×46
23
＝32
3
3.6×0.6＋ ×2.4＋60
5
＝3.6×0.6＋0.6×2.4＋60
＝0.6×（3.6＋2.4）＋60
34
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＝0.6×6＋60
＝3.6＋60
＝63.6
2．脱式计算，能简算的要简算。
1 3 3 9 13 3 9 5 3
101
9 10 10 8 100 4 38 6 4
3 13
【答案】 ；13 ；2
10 100
1 3 3 9
【分析】 ，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算；
9 10 10 8
13
101，将101拆成（100＋1），利用乘法分配律进行简算；
100
3 9 5 3
，先算加法，再算乘法，最后算除法。
4 38 6 4
1 3 3 9
【详解】
9 10 10 8
1 3 3 8
=
9 10 10 9
1 8 3
=
9 9 10
3
=1
10
3
=
10
13
101
100
13
= 1001
100
13 13
= 100 1
100 100
13
=13
100
13
=13
100
3 9 5 3
4 38 6 4
3 9 19
=
4 38 12
3 3
=
4 8
3 8
=
4 3
=2
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1．计算下面各题，能简算的要简算。
18×34＋18×66 （40＋8）×25 125×88
102×45 99×99＋99 220×9＋31×220
【答案】1800；1200；11000
4590；9900；8800
【分析】（1）（5）（6）有相同的因数，按照乘法分配律计算。
（2）按照乘法分配律计算。
（3）把88分解成8×11，再按照乘法结合律计算。
（4）把102分解成100＋2，按照乘法分配律计算。
【详解】18×34＋18×66
＝18×（34＋66）
＝18×100
＝1800
（40＋8）×25
＝40×25＋8×25
＝1000＋200
＝1200
125×88
＝125×8×11
＝1000×11
＝11000
102×45
＝（100＋2）×45
＝100×45＋2×45
＝4500＋90
＝4590
99×99＋99
＝99×（99＋1）
＝99×100
＝9900
220×9＋31×220
36
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＝220×（9＋31）
＝220×40
＝8800
2．计算下面各题，能简算的要简算。
125×7×8 186÷[（160＋200）÷60] 101×68
99×87＋87 42＋84÷42＋84 1200÷25÷4
【答案】7000；31；6868；
8700；128；12
【分析】（1）按照乘法交换律简算；
（2）带有中括号的混合运算，先算小括号里的加法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的除法；
（3）、（4）按照乘法分配律简算；
（5）除加混合运算，先算除法，再按照从左到右的顺序依次计算；
（6）按照除法的性质简算。
【详解】（1）125×7×8
＝125×8×7
＝1000×7
＝7000
（2）186÷[（160＋200）÷60]
＝186÷[360÷60]
＝186÷6
＝31
（3）101×68
＝（100＋1）×68
＝100×68＋68
＝6800＋68
＝6868
（4）99×87＋87
＝（99＋1）×87
＝100×87
＝8700
（5）42＋84÷42＋84
＝42＋2＋84
＝44＋84
37
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＝128
（6）1200÷25÷4
＝1200÷（25×4）
＝1200÷100
＝12
1．计算下面各题，能简算的要简算。
1.25×5×8 1.42×0.8＋1.42×9.2 2.5×32×1.25
6.4÷[（4.3＋2.1）÷0.8] 7.8×101－7.8 13.6×[2.8÷（48.1－46.7）]
【答案】50；14.2；100
0.8；780；27.2
【分析】（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即 a×b＝b×a，故原式变为
1.25×8×5进行计算；
（2）乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，
即（a＋b）×c＝a×c＋b×c，运用乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c，故原式变为1.42×（0.8
＋9.2）进行计算；
（3）先把32写成4×8，再运用乘法结合律进行计算，故原式变为（2.5×4）×（8×1.25）；
（4）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的除法；
（5）根据乘法分配律的逆运算 a×c＋b×c＝（a＋b）×c，原式变为7.8×（101－1）进行计算；
（6）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法。
【详解】1.25×5×8
＝1.25×8×5
＝10×5
＝50
1.42×0.8＋1.42×9.2
＝1.42×（0.8＋9.2）
＝1.42×10
＝14.2
2.5×32×1.25
＝2.5×4×8×1.25
＝（2.5×4）×（8×1.25）
＝10×10
38
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＝100
6.4÷[（4.3＋2.1）÷0.8]
＝6.4÷[6.4÷0.8]
＝6.4÷8
＝0.8
7.8×101－7.8
＝7.8×（101－1）
＝7.8×100
＝780
13.6×[2.8÷（48.1－46.7）]
＝13.6×[2.8÷1.4]
＝13.6×2
＝27.2
2．计算下面各题，能简算的要简算。
62.45.25.2 8.5 102 76 0.25 4
0.125 2.5 80 4 1.36.72.364.2 8.53.63.6 2.6
【答案】319.28；867；76；
100；26.67；0.5
【分析】
62.45.25.2，先把算式变为62.45.25.21，然后根据乘法分配律，将算式变为62.415.2进行简算
即可；
8.5 102，先把102 拆分为100加2，然后根据乘法分配律，将算式变为8.5 100＋8.5 2进行简算即
可；
76 0.25 4，根据除法的性质，将算式变为76 0.25 4 进行简算即可；
0.125 2.5 80 4，根据乘法交换律和乘法结合律，将算式变为 0.125 80 2.5 4 进行简算即可；
1.36.72.364.2，先计算括号里面的乘法，再计算括号里面的减法，然后计算括号外面的乘法；
8.53.63.6
2.6，先计算小括号里面的加法，再计算中括号里面的减法，最后计算中括号外面的
除法。
【详解】62.45.25.2
＝62.45.25.21
39
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＝62.415.2
＝61.45.2
＝319.28
8.5 102
＝8.5 100＋2
＝8.5 100＋8.5 2
＝850＋17
＝867
76 0.25 4
＝76 0.25 4
＝76 1
＝76
0.125 2.5 80 4
＝0.125 80 2.5 4
＝ 0.125 80 2.5 4
＝1010
＝100
1.36.72.364.2
＝8.712.364.2
＝6.354.2
＝26.67
8.53.63.6
2.6
＝ 8.57.2 2.6
＝1.32.6
＝0.5
1．计算下面各题，能简算的要简算。
2 9 7 7 3 2 3 5
15 99
5 2 25 25 8 5 8 3
40
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1 3 1 7 5 7 2 7 7 6 9
24
3 4 6 8 16 9 3 8 12 7 14
4 3
【答案】 ；28；
3 8
1
22； ；1
16
【分析】按照从左到右的顺序，先计算左边的乘法，再计算除法；
7
根据乘法分配律，将原式转化成（1＋99）× ，先计算小括号里的加法，再计算小括号外的乘法；
25
5 3 2 3 3
将除以 转化成乘 ，根据乘法分配律，将原式转化成（ ＋ ）× ，先计算小括号里的加法，再计
3 5 5 5 8
算小括号外的乘法；
1 3 1
根据乘法分配律，将原式转化成 ×24＋ ×24－ ×24，分别计算出三个乘法的积，再计算加减法；
3 4 6
将左右两个小括号里的分数通分，先分别计算两个小括号里的减法，再计算小括号外的乘法；
先计算小括号里的加法，再计算中括号里的乘法，最后计算中括号外的除法。
2 9
【详解】 15
5 2
9
＝6÷
2
2
＝6×
9
4
＝
3
7 7
99
25 25
7
＝（1＋99）×
25
7
＝100×
25
＝28
3 2 3 5
8 5 8 3
3 2 3 3
＝ × ＋ ×
8 5 8 5
2 3 3
＝（ ＋ ）×
5 5 8
3
＝1×
8
3
＝
8
1 3 1
24
3 4 6
1 3 1
＝ ×24＋ ×24－ ×24
3 4 6
41
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＝8＋18－4
＝26－4
＝22
7 5 7 2
8 16 9 3
14 5 7 6
＝（ － ）×（ － ）
16 16 9 9
9 1
＝ ×
16 9
1
＝
16
7 7 6 9
8 12 7 14
7 7 12 9
＝ ÷[ ×（ ＋ ）]
8 12 14 14
7 7 21
＝ ÷[ × ]
8 12 14
7 7
＝ ÷
8 8
＝1
2．计算下面各题，能简算的要简算。
3 3 2 1 9 5 3 87
87
4 4 3 7 13 14 13 88
7 7 16 5 5 1 1 1
（ ） 55 （ ） 48
8 16 21 9 9 4 6 24
1 6 1
【答案】 ； ；86 ；
4 5 88
1 1
；9 ；18
3 9
【分析】（1）利用乘法分配律简便计算；
（2）先把分数除法化为分数乘法，再利用乘法交换律和乘法结合律简便计算；
（3）先把87化为88－1，再利用乘法分配律简便计算；
（4）（6）利用乘法分配律简便计算；
（5）按照四则混合运算的顺序，先计算分数除法，再计算加法。
3 3 2
【详解】（1）
4 4 3
3 2
＝ 1
4 3
3 1
＝
4 3
1
＝
4
42
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1 9 5 3
（2）
7 13 14 13
1 9 14 13
＝
7 13 5 3
1 14 9 13
＝
7 5 13 3
1 14 9 13
＝
7 5 13 3
2
＝ 3
5
6
＝
5
87
（3）87
88
87
＝881
88
87 87
＝88 1
88 88
87
＝87
88
1
＝86
88
7 7 16
（4）（ ）
8 16 21
7 16 7 16
＝
8 21 16 21
2 1
＝
3 3
1
＝
3
5 5
（5） 55
9 9
5 1 9
＝ 5
9 5 5
1
＝ 9
9
1
＝9
9
1 1 1
（6）（ ） 48
4 6 24
1 1 1
＝ 48 48 48
4 6 24
＝12 8 2
＝18
1．计算下面各题，能简算的要简算。
43
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4 3 1 2023
2.5×0.875＋0.25×1.25 2023
7 14 28 2024
9 2 1 3
3.9×0.73＋6.1×73% 3.2×2.5×1.25
8 5 10 4
1
【答案】2.5；10；2022
2024
7.3；10；3
【分析】2.5×0.875＋0.25×1.25，将2.5×0.875转化成0.25×8.75，利用乘法分配律进行简算；
4 3 1
，将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算；
7 14 28
2023
2023 ，将2023拆成（2024－1），利用乘法分配律进行简算；
2024
3.9×0.73＋6.1×73%，将百分数化成小数，利用乘法分配律进行简算；
3.2×2.5×1.25，将3.2拆成（4×0.8），利用乘法交换结合律进行简算；
9 2 1 3
，先算加法，再算乘法，最后算除法。
8 5 10 4
【详解】2.5×0.875＋0.25×1.25
＝0.25×8.75＋0.25×1.25
＝0.25×（8.75＋1.25）
＝0.25×10
＝2.5
4 3 1
7 14 28
4 3
= 28
7 14
4 3
= 28 28
7 14
=166
=10
2023
2023
2024
2023
=20241
2024
2023 2023
=2024 1
2024 2024
2023
=2023
2024
1
=2022
2024
3.9×0.73＋6.1×73%
＝3.9×0.73＋6.1×0.73
44
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＝（3.9＋6.1）×0.73
＝10×0.73
＝7.3
3.2×2.5×1.25
＝（4×0.8）×2.5×1.25
＝（4×2.5）×（0.8×1.25）
＝10×1
＝10
9 2 1 3
8 5 10 4
9 1 3
=
8 2 4
9 3
=
8 8
9 8
=
8 3
=3
49 3 1 3 3 10 1 5 8
2．计算下面各题，能简算的要简算。 1 24
72 4 8 10 5 17 8 6 23
4 87 8 9 5 4
5.50.83.580% 87
5 88 13 4 13 9
7 5
【答案】 ； ；72
9 17
1 4
8；86 ；
88 9
【分析】（1）先算括号里面的加法，再算括号外面的除法；
（2）先算括号里面的除法，再算括号里面的减法，最后算括号外面的乘法；
（3）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法；
4
（4）先把 化成0.8，80%化成0.8，再根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算；
5
（5）先把87拆成88－1，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算；
（6）先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律的逆运算 a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。
49 3 1
【详解】（1）
72 4 8
49 6 1
72 8 8
49 7
72 8
49 8
72 7
45
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7
9
3 3 10
（2） 1
10 5 17
3 5 10
1
10 3 17
1 10
1
2 17
1 10
2 17
5
17
1 5 8
（3）24
8 6 23
3 20 8
24
24 24 23
23 8
24
24 23
1
24
3
243
72
4
（4） 5.50.83.580%
5
0.85.50.813.50.8
0.85.513.5
0.810
8
87
（5）87
88
87
881
88
87 87
88 1
88 88
87
87
88
1
86
88
8 9 5 4
（6）
13 4 13 9
8 4 5 4
13 9 13 9
46
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8 5 4
13 13 9
4
1
9
4
9
1．计算。
1 4 25 1 9 5 1 1
1 17.636 2.6412.5 4 1.96 19
4 5 2 5 5 14 2 5
1 1 1 1
1
12 123 1234 123100
200
【答案】100；2；
101
【分析】（1）先将除法转化为乘法，除以一个分数等于乘这个分数的倒数。则将式子中的除法算式转
4 5
化为乘法：36 36 361.25 。再观察式子的过程中发现第一个乘法和第二个乘法都是有1.25，
5 4
则可以将这个式子利用在一道乘法算式中，其中一个因数乘几，要想使积不发生变化另外一个因数反
而要除以几，则2.6412.5转化成26.41.25，这样就可以利用乘法的分配律简便计算。
5
（2）按照分数的四则混合运算顺序，先算小括号里面的乘法1.96 ，将1.96转化为分数计算，同时
14
1 1 1
可以算出 19 ，将19 转化为假分数计算。最后根据运算顺序一步步的计算出结果。
2 5 5
（前项＋后项）项数
（3）等差数列的求和： ，将式子按照等差数列的方式转化。 再将其中的每个式子
2
1
111
2
1
进行转化，例：111
2
111。转化后的式子根据乘法的分配律转化为
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 ，则再根据 ，例： ，则式子简便计算。
12 23 34 100101 n(n1) n n1 12 1 2
1 4
【详解】1 17.636 2.6412.5
4 5
＝1.2517.6361.2526.41.25
＝1.2517.63626.4
＝1.2580
＝100
25 1 9 5 1 1
4 1.96 19
2 5 5 14 2 5
25 1 9 49 5 1 96
＝ 4
2 5 5 25 14 2 5
47
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25 7 48
＝ 6
2 10 5
125 60 7 48
＝
10 10 10 5
192 5
＝
10 48
＝2
1 1 1 1
1
12 123 1234 123100
1 1 1 1
＝111 221 3 31 100 1001
2 2 2 2
2 2 2 2
＝
12 23 34 100101
1 1 1 1
＝2
12 23 34 100101
1 1 1 1 1 1 1
＝21
2 2 3 3 4 100 101
1
＝21
101
200
＝
101
2．计算。
1 1 3 24 7
143
(80.5) 0.4
162.7 3.21
0.125
3 3 4 25 12
8 184 1
(20.1840.36)3320.18 57.6 28.8 14.48010
5 5 2
1 1 1
1
12 123 123 20
【答案】100；90
1
2018；10
2
2
21
【分析】第1、2小题，按照带括号的四则混合运算法则，要先算乘除，后算加减，有括号的先算括号
里面的，有中括号和小括号的要先算小括号再算中括号。
第3小题，利用乘法分配律及乘法分配律的逆运算进行简便运算，注意计算过程中，根据数字40.36
和20.18的特点，将40.36写成20.18×2的形式。
8 8
第4小题，观察数字特点结合数据之间的倍数关系，将57.6 改写成28.82 ，将14.480改写成
5 5
14.4240，再利用乘法分配律的逆运算进行简便运算。
第5小题，1 1 1 1 观察数据，1＝2× 1 ＝2× 1 ， 1 1 2 1 2 1 ，
12 123 123 20 2 12 12 3 6 23
48
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1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 …… 2 2 ，可总结出规律
123 6 12 34 12320 210 420 2021
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
① 2 ；又 1 ， ， ……则总结出规律
123n n(n1) 12 2 23 2 3 34 3 4
1 1 1
② ；据此计算即可。
n(n1) n n1
1 1 3
【详解】143 (80.5) 0.4
3 3 4
10 1 3
14 8.5 0.4
3 3 4
10
14 [25.50.3]
3
10
14 25.8
3
1486
100
24 7
162.7 3.21
0.125
25 12
19 1
16(2.70.3)
12 8
19
163 8
12
90
(20.1840.36)3320.18
20.183320.1823320.181
20.18(33661)
20.18100
2018
8 184 1
57.6 28.8 14.48010
5 5 2
8 184 1
28.82 28.8 14.424010
5 5 2
16 184 1
28.8 28.8 28.84010
5 5 2
16 184 1
28.8 4010
5 5 2
1
10
2
1 1 1
1
12 123 123 20
1 1 1 1
2 2 2 2
2 23 34 2021
1 1 1 1
2
2 23 34 2021
49
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1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 3 3 4 20 21
1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 3 3 4 20 21
1
2
21
2
21
1．计算。
8 6 2 5 3 7 4 9 2242621002 123252992
4718.751 2 0.46 51 71 91
15 25 3 3 4 4 5 5 12310981
【答案】20；123；50.5
8 6
【分析】 4718.751 2
0.46 ，先计算小括号里面的除法，然后将18.75化为分数，带分数化
15 25
为假分数；再计算小括号里面的减法，接着计算中括号里面的乘法，然后计算中括号里面的减法，最
后计算中括号外面的除法；
2 5 3 7 4 9 2 5 3 7 4 9
51 71 91 ，先将算式变为 50＋1 70＋1 90＋1 ，然后将带分数化为假
3 3 4 4 5 5 3 3 4 4 5 5
3 5 3 4 7 4 5 9 5
分数，再将除法化为乘法，然后根据乘法分配律，将算式变为50 70 90 ；
5 3 5 7 4 7 9 5 9
最后计算乘法，再计算加法即可；
2242621002 123252992
，先去掉括号，然后根据带符号搬家，将算式变为
12310981
2212423262521002992 2212 4232 1002992
，然后将分子加上括号，将算式变为 ，
12310981 12310981
根据
n＋1
2
－n 2＝n＋1＋n，可知算式变为
(12)(34)(99100)
；然后去掉括号，将算式变为
12310981
12345699100 12345699100
，将分母加上括号，算式变为 ，根据
12310981
12310981
(1100)1002
1＋2＋3＋…＋n＝ 1＋n n÷2，将算式变为 ，据此分别计算出分子和分母，再约
(110)102(91)92
分即可。
8 6
【详解】 4718.751 2
0.46
15 25
15 56
4718.751
0.46
8 25
50
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15 56
4718.75
0.46
8 25
75 15 56
47
0.46
4 8 25
135 56
47 0.46
8 25
189
47 0.46
5
9.20.46
20
2 5 3 7 4 9
51 71 91
3 3 4 4 5 5
2 5 3 7 4 9
＝ 50＋1 70＋1 90＋1
3 3 4 4 5 5
5 5 7 7 9 9
50 70 90
3 3 4 4 5 5
5 3 7 4 9 5
50 70 90
3 5 4 7 5 9
3 5 3 4 7 4 5 9 5
50 70 90
5 3 5 7 4 7 9 5 9
301401501
123
2242621002 123252992
12310981
2242621002123252992
＝
12310981
2212423262521002992
＝
12310981
2212 4232 1002992
12310981
(12)(34)(99100)
12310981
12345699100
12310981
12345699100
12310981
(1100)1002
(110)102(91)92
1011002
111021092
5050
5545
51
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5050
100
50.5
2．计算。
2000 2001
（1）20002000 2003
2001 2002
1 4
（2）1 17.636 2.6412.5
4 5
498381382
（3）
382498116
（4）10029929829722212
1000
【答案】（1）2002 ；（2）100；（3）1；（4）5050
1001
20002001＋2000 2001
【分析】（1）先根据带分数化为假分数的方法，将算式变为2000 2003 ，再将
2001 2002
20002001＋20001 2001
算式变为2000 2003 ，根据乘法分配律，将算式变为
2001 2002
20002001＋1
2001
2000 2003 ，然后计算出括号里面的加法，再将除法化为乘法，约分可得
2001 2002
2001 2001
2003 ，然后将2003拆分为2002＋1，根据乘法分配律，将算式变为
2002 2002
2001 2001 2001 2001 2001 2001 2001
2002 ＋1 ，约分可得 2001＋ ，再根据带符号搬家，得 ＋ 2001，然
2002 2002 2002 2002 2002 2002 2002
后计算出结果即可；
5 5
（2）先把带分数化为假分数，除法化为乘法，然后根据积不变性质，将算式变为 17.636 26.41.25，
4 4
5
然后将1.25化为假分数，再根据乘法分配律，将算式变为 （17.63626.4）进行简算即可；
4
498381382
（3）先把382拆分为381＋1，然后根据乘法分配律，将算式变为 ，1 498＝498，
381498＋1498116
498381382
加上括号，变为 ，然后计算出括号里面的减法，最后可得分子和分母都是相同的
381498＋（498116）
算式，约分可得结果为1。
（4）两个相邻的数的平方差等于这两个数的和，也就是（n＋1）－n＝（n＋1）2－n2（n为自然数），将算
式变为100＋99＋98＋97＋96＋…＋1，然后首尾依次相加，将算式变为（100＋1）×50进行简算即可。
2000 2001
【详解】（1）20002000 2003
2001 2002
20002001＋2000 2001
＝2000 2003
2001 2002
20002001＋20001 2001
＝2000 2003
2001 2002
20002001＋1
2001
＝2000 2003
2001 2002
20002002 2001
＝2000 2003
2001 2002
52
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2001 2001
＝2000 2003
20002002 2002
2001 2001
＝ 2003
2002 2002
2001 2001
＝ （2002＋1）
2002 2002
2001 2001 2001
＝ 2002 ＋1
2002 2002 2002
2001 2001
＝ 2001＋
2002 2002
2001 2001
＝ ＋ 2001
2002 2002
4002
＝ 2001
2002
2000
＝1 2001
2002
1000
＝1 2001
1001
1000
＝2002
1001
1 4
（2）1 17.636 2.6412.5
4 5
5 5
＝ 17.636 26.41.25
4 4
5 5 5
＝ 17.636 26.4
4 4 4
5
＝ （17.63626.4）
4
5
＝ 80
4
＝100
498381382
（3）
382498116
498381382
＝
（381＋1）498116
498381382
＝
381498＋1498116
498381382
＝
381498＋498116
498381382
＝
381498＋（498116）
498381382
＝
381498＋382
＝1
（4）10029929829722212
＝100＋9998＋972＋1
＝（100＋1）＋（99＋2）＋（98＋3）＋＋（5＋1 50）
53
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＝（100＋1）50
＝101 50
＝5050
1．计算。
1 9 11 13 15 3 5 9 17 33 65 129 257
10 9 8 7 6 2016
4 20 30 42 56 2 4 8 16 32 64 128 256
1 1
【答案】8 ；2007
8 256
1 9 11 13 15
【分析】10 9 8 7 6 ，根据带分数的意义以及带符号搬家，将算式变为
4 20 30 42 56
1 9 11 13 15 1 45 56 67 78
109876 ，将每个分数变为109876 ，根据
4 20 30 42 56 4 45 56 67 78
a＋b 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝ ＋ ，将算式变为109876 ，然后计算出
a b a b 4 4 5 5 6 6 7 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
109876，再把括号去掉，将算式变为8 ；能相互抵消掉的分数就互
4 4 5 5 6 6 7 7 8
1
相抵消，据此算式变为8 ，进而得出结果。
8
3 5 9 17 33 65 129 257
2016 ，先把所有的假分数化为带分数，然后根据减法的性质，将算式
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1 1 1 1 1 1 1
变为20161 1 1 1 1 1 1 1 ，再根据带符号搬家，将算式变为
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1 1 1 1 1 1 1
201611111111 ，据此加上括号，将算式变为
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1 1 1 1 1 1 1
20161＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
，计算第一个括号的结果为8，因为
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1 1 1 1 1 1 1 1
＝1，所以算式等于
2 4 8 16 32 64 128 256 256
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20168 ，也就是201681 ，据此计算出20168，
2 4 8 16 32 64 128 256 256 256 256
1
再去掉括号，将算式变为20081 ，最后计算出结果。
256
1 9 11 13 15
【详解】10 9 8 7 6
4 20 30 42 56
1 9 11 13 15
109876
4 20 30 42 56
1 45 56 67 78
109876
4 45 56 67 78
1 1 1 1 1 1 1 1 1
109876
4 4 5 5 6 6 7 7 8
1 1 1 1 1 1 1 1 1
8
4 4 5 5 6 6 7 7 8
1
8
8
54
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1
8
8
3 5 9 17 33 65 129 257
2016
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1 1 1 1 1 1 1
＝20161＋ 1＋ 1＋ 1＋ 1＋ 1＋ 1＋ 1＋
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1 1 1 1 1 1 1
＝20161 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1 1 1 1 1 1 1
＝201611111111
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1 1 1 1 1 1 1
＝20161＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
2 4 8 16 32 64 128 256
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20168
2 4 8 16 32 64 128 256 256 256
1
201681
256
1
20081
256
1
20081
256
1
2007
256
2．计算。
17 5 18 3 3 2 2 5 3 7 4 9
（1） 3 7 3 1 （2）51 71 91
20 18 5 20 5 9 3 3 4 4 5 5
2
2 2 2
（3）
1
7
2
7
7
1234567821234567712345679
3 5 9 17 33 65 129 257 513
（4）2018 `
2 4 8 16 32 64 128 256 512
【答案】（1）28；（2）123；
1
（3）1；（4）2008
512
【分析】（1）先根据“除以一个分数等于乘它的倒数”将小括号里的除法变成乘法，再利用乘法分配律
的逆运算进行简便计算。
2 5 3 7 4 9
（2）先根据“除以一个分数等于乘它的倒数”将原式变形：51 71 91 ＝
3 3 4 4 5 5
2 3 3 4 4 5 2 5 3 7 4 9
51 71 91 ，再观察数字规律，将51 改写成（50＋ ），同理71 70 、91 90 ，
3 5 4 7 5 9 3 3 4 4 5 5
进而利用乘法分配律进行简便运算。
（3）根据a2＝a×a，将原式变形，再根据数字规律简便运算；或者根据平方差公式：ababa2b2，
例如15115115212化简计算即可。
3 5 9 17 33 65 129 257 513 1
（4）观察数字规律，可以将题干中 、、、 、 、 、 、 、 分别写成1 的形式，即
2 4 8 16 32 64 128 256 512 n
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3 1 5 1 9 1 17 1 1 1 1 1 1 1
1 ， 1 ， 1 ， 1 ，……整理后发现， 、 、
2 2 4 4 8 8 16 16 512 512 256 256 256 128
1 1 1
，……根据次规律，采取“借一还一”法简便运算。
128 128 64
17 18 18 3 18 7
【详解】（1）原式3 17
20 5 5 20 5 9
18 17 3 7
3 17
5 20 20 9
18 7
10
5 9
28
5 3 7 4 9 5
（2）原式50 70 90
3 5 4 7 5 9
3 5 3 4 7 4 5 9 5
50 70 90
5 3 5 7 4 7 9 5 9
301401501
123
2 2 2 2
1 1 （1 1）
（3）原式＝ 7 7 7 7
123456781234567812345677123456781
2 2 2 2 2
1 1 1 1
7 7 7 7 7
1234567812345678123456771234567812345677 1
2 2 2 2
1 1
7 7 7 7
12345678123456771234567812345677
2 2
1
7 7
1234567812345677
1
2
2 2 2
1 1 11 1
或者：原式
7 7 7
123456782(123456781)(123456781)
2 2 2 2
1 1 12
7 7
123456782 12345678212
2 2
2 2
1 1 1
7 7
1234567821234567821
1
（4）原式
1 1 1 1 1 1 1 1 1
20181 1 1 1 1 1 1 1 1
2 4 8 16 32 64 128 256 512
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
201819
2 4 8 16 32 64 128 256 512 512 512
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1
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512
1
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1
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第三模块 式与方程【十八大考点】
1．（表示数）三个相邻自然数，中间数是 a，则另外两个数分别是( )和( )，三个数
的和是( )。
【答案】 a－1 a＋1 3a
【分析】与a相邻的两个自然数分别比它大 1和小1。据此，表示出前两空。利用加法求出三个数的
和。
【详解】a＋a－1＋a＋1＝3a
所以，另外两个数分别是（a－1）和（a＋1），三个数的和是3a。
2．（表示数量关系）用含有字母的式子填空。
(1)比m 的3倍多2的数是( )。
(2)x 与y的和的2.4倍是( )。
(3)除数是a，商是 3，余数是b，被除数是( )。
(4)校园里有杨树x棵，比香樟树棵数的2.5倍少8棵，香樟树有( )棵。
【答案】(1)（3m＋2）/（2＋3m）
(2)（2.4x＋2.4y）
(3)（3a＋b）/（b＋3a）
(4)（x＋8）÷2.5
【分析】（1）求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数多几就加几，据此用字母表示出这个数；
（2）求和用加法，求一个数的几倍是多少用乘法，据此用 x加y的和再乘2.4即可；
（3）根据商×除数＋余数＝被除数，用字母表示出被除数；
（4）杨树棵数加上 8正好是香樟树棵数的2.5倍，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数用除法，
用字母表示出香樟树的棵数。
【详解】（1）m×3＋2＝（3m＋2），比m 的3倍多2的数是（3m＋2）。
（2）（x＋y）×2.4＝（2.4x＋2.4y），x与y的和的2.4倍是（2.4x＋2.4y）。
（3）3×a＋b＝（3a＋b），除数是a，商是3，余数是b，被除数是（3a＋b）。
（4）校园里有杨树 x棵，比香樟树棵数的2.5倍少8棵，香樟树有（x＋8）÷2.5棵。
3．（表示图形公式）一个等腰三角形的底是14厘米，腰是a 厘米，底边上的高是b厘米。这个三角
形的周长是( )厘米，面积是( )平方厘米。
【答案】 14＋2a/2a＋14 7b
【分析】根据等腰三角形的特征“等腰三角形的两条腰相等”可知，这个等腰三角形的底是14 厘米，两
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条腰都是a厘米，把这三条边相加，即是这个三角形的周长；根据三角形的面积＝底×高÷2，即可求
出这个三角形的面积。
【详解】周长：14＋a＋a＝（14＋2a）厘米
面积：14×b÷2
＝14b÷2
＝7b（平方厘米）
这个三角形的周长是（14＋2a）厘米，面积是7b平方厘米。
4．（表示面积）小明用5张彩色长方形纸条摆出一个图案（如图）。每张长方形纸条的长是 8cm，
宽是xcm，图中阴影部分的面积之和是( )cm2；纸条的总面积是( )cm2（用含有字母
的式子表示）。
【答案】 128 40x
【分析】通过观察图形可知，图中阴影部分的面积是边长为 8cm 的2个正方形的面积和，根据正方形
的面积＝边长×边长，把数据代入公式求出阴影部分的面积；根据长方形的面积＝长×宽，把数据代
入公式求出1张彩色纸条的面积再乘5即可。
【详解】8×8×2
＝64×2
＝128（cm2）
8×x×5
＝8x×5
＝40x（cm2）
图中阴影部分的面积是128cm2，纸条的总面积是（40x）cm2。
1．一个平行四边形的停车位，高是x米，底是高的 2.4倍，这个平行四边形停车位的面积是( )
平方米；当x2.5时，这个平行四边形停车位的面积是( )平方米。
【答案】 （2.4x2） 15
【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，高×2.4＝底，平行四边形面积＝底×高，据此用字母表示出平
行四边形停车位的面积；求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。
【详解】x×2.4×x＝（2.4x2）平方米
2.4x2
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＝2.4×2.52
＝2.4×6.25
＝15（平方米）
这个平行四边形停车位的面积是（2.4x2）平方米；当x2.5时，这个平行四边形停车位的面积是15
平方米。
2．新农村改造，某村修一条长x米的小路。工程队每天修35米，修了y天，还剩( )米没修。
如果x＝200，y＝5，还剩( )米。
【答案】 x－35y 25
【分析】根据这条小路的总长度-工程队已修的长度剩下没修的长度，即还剩(x－35y)米没修，再把
x＝200，y＝5，带入计算即可。
【详解】由分析可知：
还剩(x－35y)米
将x＝200，y＝5带入：
20035520017525（米）
所以还剩(x－35y)米没修。如果x＝200，y＝5，还剩25米。
1．定义运算“△”：对于两个自然数 a和b，它们的最大公因数与最小公倍数的和记为ab。例如：
4621214。根据上面定义的运算，则5712( )。
【答案】231
【分析】根据题意，求得57和12的最大公因数和最小公倍数，然后把最大公因数和最小公倍数相加
即要。
【详解】57＝3×19
12＝2×2×3
57和12的最大公因数是：3
57和12的最小公倍数是：3×19×2×2＝228
57123＋228＝231
【点睛】解答此题的关键是，根据定义的新运算，找出运算方法，列式解答即可。
2．对于a、b定义新运算：a★b＝a（a－b）＋1，比如5★2＝5×（5－2）＋1＝5×3＋1＝16，如果4★x
＝13，那么x＝( )。
【答案】1
【分析】根据新的运算法则“a★b＝a（a－b）＋1”，将4★x＝13代入得一个关于x的方程4×（4－x）
＋1＝13，然后方程两边先同时减去 1，再同时除以4，然后根据减数＝被减数－差，求解 x的值即
60
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可。
【详解】4×（4－x）＋1＝13
解：4×（4－x）＋1－1＝13－1
4×（4－x）＝12
4×（4－x）÷4＝12÷4
4－x＝3
x＝4－3
x＝1
即如果4★x＝13，那么x＝1。
【点睛】定义新运算：这种新运算其实只是变了形的求式子值的问题，只要弄清新的运算法则，然后
再分步求值就可得出答案。
3．定义一种新运算“※”，规定A※B＝4A＋3B，已知6※X＝30，则X※9＝( )。
【答案】35
【分析】根据定义的新运算，将 6和X代入式子中求出 X的值，再将所求值与9代入求解即可。
【详解】6※X＝30，则4×6＋3X＝30
4×6＋3X＝30
解：24＋3X＝30
3X＝30－24
3X＝6
X＝6÷3
X＝2
2※9＝4×2＋3×9
＝8＋27
＝35
即X※9＝35
1．根据下图中的程序，当欢欢输入 x＝3时，输出的结果是( )。
【答案】16
【分析】
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根据题意，这个程序用式子表示是 x2＋2x＋1。把x＝3代入这个式子计算即可求值。
【详解】当x＝3时，
x2＋2x＋1
＝32＋2×3＋1
＝9＋6＋1
＝16
则输出的结果是 16。
2．最近，晓东迷上了编程，下面是晓东设计的一个猜年龄的程序：如果输入的年龄是 A，则输出的
结果是( )；如果输出的结果是54，则输入的年龄是( )。
【答案】 （A＋6）×1.5 30
【分析】（1）已知这个程序是年龄加6，求出和，然后再乘1.5，最后输出结果；如果输入的是字母A，
则可列式为：（A＋6）×1.5；
（2）如果输出的结果是54，可假设输入的年龄是x，按这个程序列方程为x61.554，求出解即可。
【详解】（1）由分析可知，如果输入的年龄是A，则输出的结果是（A＋6）×1.5；
（2）解：设输入的年龄是x，
x61.554
x61.51.5541.5
x636
x66366
x30
即如果输出的结果是54，则输入的年龄是30。
1．下图是用石子摆成的小房子，观察图形的变化规律，第 6个小房子要用( )个石子，第n
个小房子要用( )个石子。
（第1个） （第2个） （第3个） （第4个）
【答案】 60 （n＋1）2＋2n－1
【分析】看图，第 1个小房子需要（2×2＋1）个石子，第2个小房子需要（3×3＋3）个石子，第3个
62
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小房子需要（4×4＋5）个石子，第4个小房子需要（5×5＋7）个石子，那么第n个小房子需要（n＋
1）2＋2n－1个石子。将n＝6代入式子中，求出第6个小房子需要多少个石子。
【详解】第n个小房子需要（n＋1）2＋2n－1个石子，当n＝6时，
（6＋1）2＋2×6－1
＝72＋12－1
＝49＋12－1
＝60（个）
所以，第6个小房子要用60个石子。
2．下边是小东用计算器分别计算出了 1÷A、2÷A、3÷A三个算式的得数。你发现了什么规律？请你
根据发现的规律填空。
(1)5÷A＝( )。
(2)( )÷( )＝0.7272…。
【答案】(1)0.4545…
(2) 8 A
【分析】根据题意，分析算式的规律可知，被除数依次加 1，除数为A，商为循环小数，其中整数部
分为0，小数部分的循环节为4位数字，第一位是从0开始，依次加1，第二位是从9开始，依次减
1，第三位数字与第一位数字一样，第四位数字与第二位数字一样。据此解答即可。
【详解】（1）根据算式的规律可知，5÷A＝0.4545…
（2）根据算式的规律可知，8÷A＝0.7272…
3．观察下面算式的规律：
(1)根据规律填写：8272 ( )，102－( )2＝( )。
(2)用含有字母n（n＝1，2，3，…）的式子表示规律：n2－（n－1）2＝( )。
【答案】(1) 15 9 19
(2)2n－1
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【分析】通过观察，两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和，据此解答。
【详解】（1）根据规律填写：8272 8＋7＝15，102－92＝10＋9＝19。
（2）用含有字母n（n＝1，2，3，…）的式子表示规律：n2－（n－1）2＝n＋（n－1）＝2n－1。
【点睛】本题主要考查“式”的规律，发现两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和是解题的关
键。
1．鞋的尺码指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位，它们之间的关系可以用y2x10表示(y表
示码数，x表示厘米数）。淘气买了一双34码的鞋，鞋底长( )厘米；笑笑的鞋底长 23厘米，
是( )码。
【答案】 22 36
【分析】根据“码”或“厘米”之间的关系，用y2x10来表示，其中y表示码数，x表示厘米数，所以只
要把一个量代入就可以求另外一个量。
【详解】（1）已知鞋34码，所以代入公式可得：
2x1034
解：2x10103410
2x44
2x2442
x22
即淘气的鞋底长 22厘米。
（2）已知鞋底长23厘米，所以代入公式可得，
y22310
y4610
y=36
即笑笑的鞋是36码。
2．人们发现在一定温度范围内，某种蟋蟀每分钟叫的次数与温度（摄氏度）之间有如下的近似关系：
蟋蟀每分钟叫的次数除以7的商与3的和，就是当时的近似温度。如果蟋蟀每分钟叫x次，那么当时
的温度用算式表示是( )摄氏度；如果当时的温度是12摄氏度，那么蟋蟀每分钟大约叫
( )次。
【答案】 x÷7＋3 63
【分析】由题意可知，蟋蟀每分钟叫的次数除以7的商与3的和，就是当时的近似温度，即近似温度
＝蟋蟀每分钟叫的次数÷7＋3，据此用算式表示出当时的摄氏度即可；再根据近似温度＝蟋蟀每分钟
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叫的次数÷7＋3，蟋蟀每分钟叫的次数＝（近似温度－3）×7，据此计算即可。
【详解】蟋蟀每分钟叫的次数除以 7的商与3的和，就是当时的近似温度。如果蟋蟀每分钟叫x次，
那么当时的温度用算式表示是（x÷7＋3）摄氏度；
（12－3）×7
＝9×7
＝63（次）
则如果当时的温度是12摄氏度，那么蟋蟀每分钟大约叫63次。
【点睛】本题考查用字母表示数，明确蟋蟀每分钟叫的次数与温度之间的关系是解题的关键。
1．在①362056、②50x18、③52226、④2x712、⑤3a1545、⑥4x y30中，等式
有( )，方程有( )。（填序号）
【答案】 ①②③⑤⑥ ②⑤⑥
【分析】表示相等关系的式子叫做等式；含有未知数的等式叫方程，据此分析。
【详解】在①362056、②50x18、③52226、④2x712、⑤3a1545、⑥4x y30中，
等式有①②③⑤⑥，方程有②⑤⑥。
2．根据题中的数量关系写出相应的等式。
7
今年的产量是a吨，去年产量是今年的 ，去年的产量是500吨。
10
7
数量关系：( )的产量 ( )的产量。
10
等式：( )。
7
【答案】 今年 去年 a500
10
【分析】将今年的产量看作单位“1”，根据今年的产量×去年产量的对应分率＝去年的产量，列出等式
即可。
7
【详解】数量关系：今年的产量 去年的产量。
10
7
等式： a500。
10
1．根据等式的性质在括号里填上适当的符号和数。
(1)如果x＋4.5＝16.5，那么x＋4.5－4.5＝16.5( )。
(2)如果x－15＝25.6，那么x－15( )＝25.6＋15。
(3)如果4x＝7.2，那么4x÷4＝7.2( )。
(4)如果x÷5＝2.5，那么 x÷5( )＝2.5×5。
65
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【答案】(1)－4.5
(2)＋15
(3)÷4
(4)×5
【分析】等式的性质 1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式。
等式的性质2：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果还是等式。
（1）根据等式的性质1，等式的左边减去4.5，右边也要减去4.5；
（2）根据等式的性质1，等式的右边加上15，左边也要加上15；
（3）根据等式的性质2，等式的左边除以4，右边也要除以4；
（4）根据等式的性质2，等式的右边乘5，左边也要乘5；
【详解】（1）如果x＋4.5＝16.5，那么x＋4.5－4.5＝16.5－4.5。
（2）如果x－15＝25.6，那么x－15＋15＝25.6＋15。
（3）如果4x＝7.2，那么4x÷4＝7.2÷4。
（4）如果x÷5＝2.5，那么x÷5×5＝2.5×5。
2．已知4a＋3b＝38，那么2a＋( )＝19。
【答案】1.5b
【分析】把4a 看作（2×2a），3b看作（2×1.5b），则4a＋3b＝2×2a＋2×1.5b，根据乘法分配律，可以
把式子看作2×（2a＋1.5b）＝38，根据等式的性质，方程两边同时除以2即可解答。
【详解】4a＋3b＝38
即：2×2a＋2×1.5b＝38
2×（2a＋1.5b）＝38
2×（2a＋1.5b）÷2＝38÷2
2a＋1.5b＝19
1．解比例。
1 15 1 1 2
0.8:x : x: : 3∶40%＝x∶1.2
5 16 6 2 5
15 5
【答案】x ；x ；x9
4 24
1 15
【分析】（1）先根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，列出式子 x0.8 ，再
5 16
把小数转化为分数，最后根据等式性质 2，等式两边同时乘上5，计算即可；
2 1 1
（2）先根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，列出式子 x ，再根据等式性
5 6 2
66
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5
质2，等式两边同时乘上 ，计算即可；
2
（3）先根据比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积，列出式子40%x31.2，再把百分数
转化成小数，最后根据等式性质 2，等式两边同时除以0.4，计算即可。
1 15
【详解】（1）0.8:x :
5 16
1 15
解： x0.8
5 16
1 4 15
x
5 5 16
1 3
x
5 4
1 3
x5 5
5 4
15
x
4
1 1 2
（2）x: :
6 2 5
2 1 1
解： x
5 6 2
2 1
x
5 12
2 5 1 5
x
5 2 12 2
5
x
24
（3）3∶40%＝x∶1.2
解：40%x31.2
40%x3.6
0.4x3.6
0.4x0.43.60.4
x9
2．解比例。
3 1 5 1.6 x
:x : 9:x27:5
5 4 6 4 3
5
【答案】x＝2；x＝1.2；x＝
3
3 1 5 1 3 5 1
【分析】 ∶x＝ ∶ ，解比例，原式化为： x＝ × ，再根据等式的性质2，方程两边同时除以
5 4 6 4 5 6 4
即可；
1.6 x
＝ ，解比例，原式化为：4x＝1.6×3，再根据等式的性质2，方程两边同时除以4即可；
4 3
9∶x＝27∶5，解比例，原式化为：27x＝9×5，再根据等式的性质2，方程两边同时除以27即可。
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3 1 5
【详解】 ∶x＝ ∶
5 4 6
1 3 5
解： x＝ ×
4 5 6
1 1
x＝
4 2
1 1 1 1
x÷ ＝ ÷
4 4 2 4
1
x＝ ×4
2
x＝2
1.6 x
＝
4 3
解：4x＝1.6×3
4x＝4.8
4x÷4＝4.8÷4
x＝1.2
9∶x＝27∶5
解：27x＝9×5
27x＝45
27x÷27＝45÷27
5
x＝
3
1．看图列式计算。
【答案】x＝240
【分析】根据题中的等量关系：“计划＋实际比计划多的25%＝300”，列方程为x＋25%x＝300，再根
据等式的基本性质解方程即可。
【详解】x＋25%x＝300
解：1.25x＝300
1.25x÷1.25＝300÷1.25
x＝240
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2．看图列算式或者方程解决问题。
【答案】250页
3
【详解】观察图可知：把这本书看作单位“1”，设这本书有x页，已知看了 ，根据分数乘法的意义可
5
3
知看了 x页，根据已知条件可列等量关系式：这本书的页数－看了的页数＝还剩的页数，据此解答。
5
【解答】解：设这本书有x页。
3
x－ x＝100
5
2
x＝100
5
x＝250
1．妈妈买了苹果和梨各2.5千克，共付27元，已知苹果每千克6元，则梨每千克多少元？
【答案】4.8元
【分析】根据题意，设梨每千克x元；2.5千克梨是2.5x元；苹果每千克6元，2.5千克是（2.5×6）元；
买苹果和梨共付 27元，列方程：2.5x＋6×2.5＝27，解方程，即可解答。
【详解】解：设梨每千克x元。
2.5x＋6×2.5＝27
2.5x＋15＝27
2.5x＝27－15
2.5x＝12
x＝12÷2.5
x＝4.8
答：梨每千克4.8元。
【点睛】根据方程的实际应用，利用梨和苹果的数量，以及共付的钱数，设出未知数，找出相关的量，
列方程，解方程。
2．小兵看一本科技书，已看了 145页，比未看的80%少15页，未看的有多少页？
【答案】解：设未看的有x页。
80%x－15＝145
69
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【分析】设未看的有x页，由题意可知等量关系式：未看的页数×80%－15＝已看的页数，据此列方程
解答。
【详解】解：设未看的有x页。
80%x－15＝145
80%x＝160
x＝200
答：未看的有200页。
【点睛】本题考查用方程解决问题，明确等量关系是解题的关键。
4
1．一条铁路长 72 米，甲乙两个工程队同时从两端开始维修，乙队每天维修的长度是甲队的 ，4天
5
后修完。甲乙两队每天各修了多少米？
【答案】甲队：10米；乙队：8米
4 4
【分析】根据题意，设甲队每天修了x米，一定每天修的长度是甲队的 ，即乙队每天修 x米；甲队
5 5
4
4天修4x米，乙队4天修（ x×4）米，甲队修的米数＋乙队修的米数＝这条铁路的长度；列方程：
5
4
4x＋（ x×4）＝72，解方程，即可解答。
5
4
【详解】解：设甲队每天修x米，则乙队每天修 x米。
5
4
4x＋（ x×4）＝72
5
16
4x＋ x＝72
5
36
x＝72
5
36
x＝72÷
5
5
x＝72×
36
x＝10
4
乙队：10× ＝8（米）
5
答：甲队每天修 10米，乙队每天修8米。
【点睛】利用方程的实际应用，根据甲队与乙队每天修的长度之间的关系，设出未知数，找出相关的
量，列方程，解方程。
2．为节约用水，安安爸爸将家里的 2个普通水龙头换成了节水龙头。经测试，普通龙头每分钟流水
1
量为9升，节水龙头每分钟的流水量比普通龙头少 。
6
70
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（1）按照每个龙头每天平均使用 10分钟计算，每个月（按30天计算）安安家里可以节约用水多少升？
（2）安安发现节水龙头的节水效果还是很明显的，于是他对单元楼的 56户居民进行了统计，发现已
5
使用节水龙头的用户是未使用节水龙头的 。已使用节水龙头的用户有多少户？（用方程解答）
3
【答案】（1）900升
（2）35户
【分析】（1）根据题意，把普通水龙头每分钟的流水量看再单位“1”，根据求一个数的几分之几是多
少，用乘法求出节水龙头比普通水龙头每分钟流水节约水多少升，然后根据整数乘法的意义，用乘法
解答。
5
（2）根据调查结果，已使用节水龙头的用户是未使用节水龙头的 。由此可知，未使用的户数＋使用
3
5
的户数＝56户，设未使用的户数为x户，则使用的户数为 x户，据此列方程解答。
3
1
【详解】（1）9× ×10×2×30
6
＝1.5×10×2×30
＝15×2×30
＝30×30
＝900（升）
答：每个月安安家可以节约用水 900升。
5
（2）解：设未使用的户数为x户，则使用的户数为 x户。
3
5
x＋ x＝56
3
8
x＝56
3
8 3 3
x× ＝56×
3 8 8
x＝21
56－21＝35（户）
答：已使用节水龙头的用户有 35户。
【点睛】解答此题，首先弄清题意，分清已知与所求，再找出基本数量关系，由此列式或方程解答。
1．利用手机支付的方式已经走进了大多数人的生活。超市收银员对某一天购物付款的顾客人数进行
了统计，统计结果显示，用手机支付的有 412人，比用现金支付人数的5倍还多12人。用现金支付
的有多少人？（用方程解答）
【答案】80人
【分析】根据题意，设用现金支付的有x人，用手机支付的比用现金支付人数的5倍还多12 人；现金
71
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支付人数×5＋12人＝用手机支付的人数，列方程：5x＋12＝412，解方程，即可解答。
【详解】解：设用现金支付的有 x人。
5x＋12＝412
5x＝412－12
5x＝400
x＝400÷5
x＝80
答：用现金支付的有80人。
【点睛】本题主要考查了列方程解应用题，根据手机支付的人数与现金支付人数的关系，设出未知数，
找出相关的量，列方程，解方程。
2．学校买5个排球和8个足球共花了378元，每个足球的价格是每个排球价格的2倍，每个排球多
少元？（用方程解）
【答案】18元
【分析】设每个排球 x元，足球的价格是排球的2倍，则足球价格为2x元，买5个排球花了5x元，
买8个足球花了8×2x元，一共花了378元，据此列方程解答即可。
【详解】解：设每个排球x元，则每个足球2x元。
5x＋8×2x＝378
5x＋16x＝378
21x＝378
21x÷21＝378÷21
x＝18
答：每个排球18元。
【点睛】明确题目中排球单价和足球单价之间的关系是解答本题的关键，由此设出两个未知量，列出
方程。
3．小刚说：“我收集的邮票比小强少40枚。”小强说：“我收集的邮票是小刚的3倍。”小刚和小强各
收集了多少枚邮票？（用方程解）
【答案】小刚：20枚；小强：60枚
【分析】假设小刚收集了x枚邮票，小强收集的邮票数量是3x枚，根据数量关系：小强收集的邮票数
量－小刚收集的邮票数量＝40枚，代入未知数列出方程，解方程即可求出小刚和小强各收集了多少
枚邮票。
【详解】解：设小刚收集了x枚邮票，则小强收集的邮票数量是3x枚，
3x－x＝40
2x＝40
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x＝40÷2
x＝20
20×3＝60（枚）
答：小刚收集了 20枚邮票，小强收集了60枚邮票。
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把小刚收集的邮票数量设为未知数 x，找出题中数量间的相等
关系，列出包含 x的等式，解方程得到最终的结果。
1．客车和货车同时从相距572千米的两地相对出发，5.5小时后相遇，货车每小时行48千米，客车
每小时行多少千米？（用方程解）
【答案】56千米
【分析】两车相遇时，路程和恰好等于两地的距离572千米。据此将客车速度设为未知数，再根据“客
车路程＋货车路程＝两地距离”这一等量关系，列方程解方程即可。
【详解】解：设客车每小时行 x千米。
5.5x＋48×5.5＝572
5.5x＝572－264
5.5x＝308
x＝308÷5.5
x＝56
答：客车每小时行 56千米。
【点睛】本题考查了简易方程的应用，解题关键是根据题意找出等量关系并解方程。
2．京沪高速公路全长1200千米，一辆大客车和一辆小客车同时北京和上海出发相向而行，经过6
9
小时两车相遇，如果大客车的速度是小客车的 ，两辆汽车每小时各行多少千米？（列方程解答）
11
【答案】110千米；90千米
9
【分析】设小客车每小时行x千米，则大客车每小时行驶 x千米，总路程÷相遇时间＝速度和，根据
11
9
大客车速度＋小客车速度＝速度和，列出方程求出x的值是小客车速度，小客车速度× ＝大客车速
11
度。
【详解】解：设小客车每小时行x千米。
9
xx12006
11
20
x200
11
20 11 11
x 200
11 20 20
73
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x110
9
11090（千米）
11
答：小客车每小时行110千米，大客车每小时行90千米。
【点睛】用方程解决问题的关键是找到等量关系。
1．在溧水区中小学篮球比赛中，一名运动员在这场比赛中共投中 7个球，有2分球，也有3分球。
已知这名运动员一共得了16分，他投中2分球和3分球各多少个？
【答案】2分球：5个；3分球2个
【分析】根据题意，一名运动员在这场比赛中共投中7个球，设他投入3分球x个，则投入2分球（7
－x）个，x个3分球是3x分；（7－x）个2分球是（7－x）×2分；一共得16分，列方程：3x＋（7
－x）×2＝16，解方程，即可解答。
【详解】解：设他投入3分球x个；则他投入2分球（7－x）个。
3x＋（7－x）×2＝16
3x＋7×2－2x＝16
x＋14＝16
x＝16－14
x＝2
7－2＝5（个）
答：他投入2分求5个，投入3分球2个。
【点睛】利用鸡兔同笼的知识，找出 3分球和2分球之间相关的量，设出未知数，找出等量关系，列
方程，解方程。
2．六（2）班42名学生去公园野营，大帐篷限住 5人，小帐篷限住3人，一共租了10顶帐篷，正好
全部住满。大帐篷和小帐篷各租了多少顶？
【答案】大帐篷：6顶；小帐篷：4顶
【分析】根据题意，设大帐篷租了 x顶，则小帐篷租了（10－x）顶；大帐篷限住5人，x顶住5x名
学生；小帐篷限住3人，（10－x）顶小帐篷住（10－x）×3名学生；一共有42名学生；列方程：5x
＋（10－x）×3＝42，解方程，即可解答。
【详解】解：设大帐篷租了x顶；则小帐篷租赁（10－x）顶。
5x＋（10－x）×3＝42
5x＋30－3x＝42
2x＝42－30
2x＝12
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x＝12÷2
x＝6
小帐篷：10－6＝4（顶）
答：大帐篷租了 6顶，小帐篷租了4顶。
【点睛】利用鸡兔同笼的知识，设出未知数，找出它们之间的关系，列方程，解方程。
1
1．小明看一本科技书，第一天看了全书的 ，第二天看了全书的25%，还剩88页没有看。这本科技
5
书一共有多少页？（用方程解）
【答案】160页
1 1
【分析】根据题意，这本科技书一共有x页，第一天看了全书的 ，第一天看了 x页，第二天看了全
5 5
书的25%，第二天看了25%x 页，用这本科技书的总页数，减去第一天看了页数，减去第二天看了页
1
数，就是剩下没看的页数，列方程：x－ x－25%x＝88，解方程，即可解答。
5
【详解】解：设这本科技书一共有 x页。
1
x－ x－25%x＝88
5
0.8x－0.25x＝88
0.55x＝88
x＝88÷0.55
x＝160
答：这本科技书一共有160页。
【点睛】利用求一个数的几分之几是多少，求一个数的百分之几是多少的知识，设出未知数，找出相
关的量，列方程，解方程。
2
2．东方小学“蓓蕾艺术团”有女生48人，比男生人数的 还少6人。艺术团有男生多少人？（列方程
3
解答）
【答案】81人
2
【分析】假设男生的人数为x人，求一个数的几分之几是多少，用乘法，所以女生的人数可表示为（ ×x
3
－6）人，有女生人 48人，可列出方程，解方程即可求出艺术团有男生多少人。
【详解】解：设男生的人数为 x人，
2
×x－6＝48
3
2
x＝48＋6
3
75
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2
x＝54
3
2
x＝54÷
3
x＝81
答：艺术团有男生 81人。
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把男生的人数设为未知数 x，找出题中数量间的相等关系，列
出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
3
3．笑笑看一本210页的故事书，看了的页数是没看的 ，笑笑还有多少页没看？
4
【答案】120页
3
【分析】设没看的有x页，在看了 x页，根据看了的页数＋没看的页数＝210，据此列方程解答即可。
4
3
【详解】解：没看的有x页，在看了 x页。
4
3
x＋ x＝210
4
7
x＝210
4
x＝120
答：笑笑还有120页没看。
【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确数量关系是解题的关键。
1．东东家养白兔与黑兔的只数比是 3∶1，已知白兔和黑兔相差400只，东东家养白兔多少只？（用
方程解）
【答案】600只
【分析】因为白兔与黑兔的只数比是 3∶1，可得白兔是3份，黑兔是1份，设白兔是x只，则黑兔就
1 1
是 x只，白兔比黑兔多（x－ x）只等于400只，利用此等量关系解题即可。
3 3
【详解】解：设东东家养白兔 x只。
1
x－ x＝400
3
2
x＝400
3
x＝600
答：东东家养白兔多600只。
【点睛】此题的关键是根据白兔和黑兔的比，确定二者的份数，考查了方程的实际应用，找到合适的
等量关系即可解题。
2．为保障疫情期间的医疗物资供应，全国各地医疗物资生产企业加班加点生产，某企业接到生产一
76
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批防护服的生产任务，第一天生产的套数与总套数比是 1∶5，第二天生产了770套防护服，两天完
成的套数比未完成的套数少 20%。这批防护服的生产任务共是多少套？
【答案】3150套
【分析】根据题意，设这批防护服的生产任务共是x套；第一天生产的套数比与总套数比是1∶5；第
1
一天生产 x套；两天生产的套数比未完成的套数少20%，把未完成的套数看作单位“1”，两天生产的
5
套数是未完成套数的（1－20%），用未完成的套数×（1－20%）就是两天生产的套数；未完成的套
1 1
数用总套数减去第一天生产的套数，减去第二天生产的套数；即（x－ x－770）套，列方程： x＋
5 5
1
770＝（x－ x－770）×（1－20%），解方程，即可解答。
5
【详解】解：设这批防护服的生产任务共是 x套。
1 1
x＋770＝（x－ x－770）×（1－20%）
5 5
1 4
x＋770＝（ x－770）×0.8
5 5
1
x＋770＝0.64x－616
5
0.64x－0.2x＝770＋616
0.44x＝1386
x＝1386÷0.44
x＝3150
答：这批防护服的生产任务共是 3150套。
【点睛】根据方程的实际应用，利用比的应用以及百分数的应用，找出题干相关的等量关系，设出未
知数，列方程，解方程。
1．实验小学要对学校的餐具进行消毒，用 84消毒液与水按1∶9的质量比配制，一瓶1.2千克的消
毒液需要加水多少千克？
【答案】10.8千克
【分析】1∶9是消毒液与水的比。设一瓶1.2千克的消毒液需要加水x千克，所以1.2千克的消毒液∶x
＝1∶9，据此列出比例计算即可。
【详解】解：设一瓶 1.2千克的消毒液需要加水x千克。
1.2∶x＝1∶9
x＝1.2×9
x＝10.8
答：一瓶1.2千克的消毒液需要加水10.8千克。
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【点睛】本题考查了比的意义，关键是理解消毒液∶x＝1∶9。
2．淘气看一本书若每天看20页，15天看完。若每天看30页，几天可以看完？（用比例解）
【答案】10天
【分析】根据题意知道一本书的总页数一定，每天看书的页数×看书的天数＝一本书的总页数（一定），
由此判断每天看书的页数与看书的天数成反比例，设出未知数列出比例解答即可。
【详解】解：设x天可以看完，
30x＝20×15
30x＝300
30x÷30＝300÷30
x＝10
答：10天可以看完。
【点睛】关键是根据题意判断出每天看书的页数与看书的天数成反比例，列出比例解答即可。
3．甲、乙两仓库存放大米质量的比是3∶7，甲仓库运进6吨，乙仓库运出4吨后，甲、乙两仓库大
米质量比变为3∶5。两个仓库原来各有大米多少吨？
【答案】甲仓库21吨；乙仓库49吨
7
【分析】设甲仓库原来有大米 x吨，那么乙仓库原来有大米就是 x吨，甲仓库运进6吨，乙仓库运
3
7
出4吨后，甲乙两仓库大米质量分别是（x＋6）吨、（ x－4）吨。根据此时甲、乙两仓库大米质量
3
7
比变为3∶5，列方程：（x＋6）∶（ x－4）＝3∶5，解方程，即可解答。
3
【详解】解：设甲仓库原来有大米 x吨，由题意得：
7
（x＋6）∶（ x－4）＝3∶5
3
7
5×（x＋6）＝3×（ x－4）
3
5x＋30＝7x－12
7x－5x＝30＋12
2x＝42
x＝42÷2
x＝21
7
×21＝49（吨）
3
答：甲仓库原来有大米21吨，乙仓库原来有大米49吨。
【点睛】根据方程的实际应用，利用比的应用，比例的意义设出未知数，找出相关的量，列方程，解
方程。
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第四模块 比和比例【二十二大考点】
3
1．a除以b的商是 ，a与b的比是( )。
5
【答案】3∶5
3 3 3
【分析】根据比的意义可知：a÷b＝a∶b。a 除以b的商是 ，也就是a∶b的比值是 ，即a∶b＝ 。
5 5 5
3
根据分数与比的关系可知： ＝3∶5，所以a∶b＝3∶5。
5
3
【详解】a∶b＝a÷b＝ ＝3∶5
5
所以，a与b的比是3∶5。
2．东汉名医张仲景在《金匮要略》中曾写道“茯苓四两，桂枝三两，白术三两，甘草二两”。这就是
著名的苓桂术甘汤方。根据这个药方，请你写出两个比：( )、( )。
【答案】 4∶3 3∶2
【分析】根据药方的数值来写比，把其中一种药材的重量作比的前项，另一种药材的重量作比的后项，
中间加上“∶”即可。
【详解】茯苓与桂枝的质量比是 4∶3
白术与甘草的质量比是3∶2
因此根据这个药方，可写出两个比是 4∶3、3∶2。
1．7∶12的前项增加14，要使比值保持不变，后项应增加( )。
【答案】24
【分析】
比的前项加上前项的几倍，后项就加上后项的几倍，比值不变，据此分析。
【详解】14÷7×12＝24
7∶12的前项增加14，要使比值保持不变，后项应增加24。
2．将 7∶12 的前项乘 4，要使比值不变，后项应增加( )；比例 5∶3＝10∶6 的外项均加上
10，如果内项3不变，要使比例仍然成立，内项10应增加( )。
【答案】 36 70
【分析】
第一空，比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变；求出变化后的后项，再求
变化前后的后项之差。
第二空，根据在比例中，两内项之积等于两外项之积进行解答。
79
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【详解】12×4－12＝36
将7∶12的前项乘4，要使比值不变，后项应增加36。
5＋10＝15，6＋10＝16
15×16÷3＝80
新的比例是：15∶3＝80∶16
80－10＝70
比例5∶3＝10∶6的外项均加上10，如果内项3不变，要使比例仍然成立，内项10应增加70。
7
1． ∶0.35化成最简单的整数比是( )，比值是( )。
10
【答案】 2∶1 2
【分析】化简比根据比的基本性质，即比的前项和后项，同时乘或除以相同的数（0除外），比值不
变，化简比的结果还是一个比；求比值直接用最简比的前项÷后项即可，求比值的结果是一个数。
7
【详解】 ∶0.35＝0.7∶0.35＝70∶35＝（70÷35）∶（35÷35）＝2∶1＝2÷1＝2
10
7
∶0.35化成最简单的整数比是2∶1，比值是 2。
10
3 1
2．把 平方千米∶5公顷化成最简整数比是( )， ∶1.25的比值是( )。
20 8
1
【答案】 3∶1 /0.1
10
【分析】
根据1平方千米＝100公顷，统一单位后，第一空根据比的基本性质作答，即比的前项和后项同时乘
一个数或除以一个数（0除外）比值不变。第二空用比的前项除以后项即可求出比值。
3
【详解】 平方千米∶5公顷
20
＝15公顷∶5公顷
＝（15÷5）∶（5÷5）
＝3∶1
1
∶1.25
8
1 5
＝ ÷
8 4
1 4
＝ ×
8 5
1
＝
10
3 1 1
把 平方千米∶5 公顷化成最简整数比是3∶1， ∶1.25的比值是 。
20 8 10
80
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1
1． ＝0.25＝( )∶40＝4÷( )＝( )%＝( )（折扣）＝( )（成
（ ）
数）。
【答案】4；10；16；25；二五折；二成五
【分析】从0.25入手，先将小数化成分数，然后根据分数与除法和比的关系，分数中的分子相当于除
法中的被除数（比的前项），分数中的分母相当于除法中的除数（比的后项），结合它们通用的基本
性质进行转化；小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可；几折就是百分之几十，据此
确定折数；几成就是百分之几十，据此确定成数。
25 2525 1
【详解】0.25
100 10025 4
1
1:4110:41010:40
4
1
141444416
4
0.2525%
25%＝二五折
25%＝二成五
1
综上所述： 0.2510:4041625%＝二五折＝二成五。
4
2． ( ):1540%18( )＝( )成＝( )（填小数）。
5
【答案】2；6；45；四；0.4
2
【分析】从40%入手，百分数是40%＝四成，把40%化成小数是0.4，化成分数是 ，根据比与分数
5
2
的关系 ＝2∶5；根据比的基本性质比的前、后项都乘3就是6∶15；根据分数与除法的关系，根据
5
2 29 18 18
分数的基本性质 的分子、分母都乘9就是 ＝ ，根据分数与除法的关系， ＝18÷45，据此解
5 59 45 45
答。
2
【详解】 6:1540%1845＝四成＝0.4（填小数）。
5
2
1．实验小学男教师的人数占女教师的 ，男教师的人数与女教师人数的比是( )，男教师的人
3
数占全校教师总人数的( )%。
【答案】 2∶3 40
【分析】第一个空，将女教师人数看作单位“1”，两数相除又叫两个数的比，根据比的意义，写出男教
师与女教师对应分率的比，化简即可；
81
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2
第二个空，总人数是女教师人数的（1＋ ），男教师对应分率÷总人数对应分率＝男教师是总人数的
3
百分之几，据此列式计算。
2 2
【详解】 ∶1＝（ ×3）∶（1×3）＝2∶3
3 3
2 2
÷（1＋ ）
3 3
2 5
＝ ÷
3 3
2 3
＝ ×
3 5
2
＝
5
＝0.4
＝40%
男教师的人数与女教师人数的比是 2∶3，男教师的人数占全校教师总人数的40%。
2．明明家十月份用电量比九月份节约了 30%，九月份与十月份的用电量之比是( )。
【答案】10∶7
【分析】将九月份用电量看作单位“1”，那么十月份用电量是九月份的（1－30%）。据此，再求出九
月份和十月份的用电量之比。
【详解】1∶（1－30%）
＝1∶70%
＝（1×10）∶（70%×10）
＝10∶7
所以，九月份与十月份的用电量之比是 10∶7。
3．小明卡牌数量的 40%等于小亮卡牌数量的75%，那么小明卡牌数量与小亮卡牌数量的最简整数比
是( )。
【答案】15∶8
【分析】根据小明卡牌数量的 40%等于小亮卡牌数量的75%，写成等式的形式为小明卡牌数量×40%
＝小亮卡牌数量×75%，再根据比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，把等
式改写成比例的形式，据此解答。
【详解】因为小明卡牌数量×40%＝小亮卡牌数量×75%
所以小明卡牌数量∶小亮卡牌数量＝75%∶40%
75%∶40%
＝0.75∶0.4
＝（0.75×100）∶（0.4×100）
＝75∶40
82
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＝（75÷5）∶（40÷5）
＝15∶8
因此小明卡牌数量与小亮卡牌数量的最简整数比是15∶8。
1
4．从书架的上层取出 放到下层，这时两层的本数相等。原来上层和下层的本数比是( )。
6
【答案】3∶2
1
【详解】把上层原来的书本本数看作单位“1”，如果上层取出 放到下层，两层的本数相等，则现在下
6
1 1 1
层的本数是上层原来的（1－ ），原来下层的本数是上层原来的（1－ － ），据此可知原来上层
6 6 6
1 1
和下层的本数比是 1∶（1－ － ），再化简即可，化简比根据比的基本性质作答，即比的前项和后
6 6
项同时乘或除以一个数（0除外），比值不变；
1 1
【分析】1∶（1－ － ）
6 6
2
＝1∶
3
2
＝（1×3）∶（ ×3）
3
＝3∶2
【点睛】此题主要考查了分数和比的关系以及化简比的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，
它的前项和后项都是整数，并且是互质数。
1．配置一种盐水，在75克水中加入3克盐，盐与盐水的比是( )。( )克水中加入18
克盐才能配置成相同浓度的盐水。
【答案】 1∶26 450
【分析】根据比的意义，用盐的质量∶盐水的质量，用3∶（3＋75），化简，求出盐与盐水的比；根
盐的质量 盐的质量
据比的应用可知，盐的质量∶盐水的质量＝ ，用盐的质量÷ ，求出盐水的质量，
盐水的质量 盐水的质量
再减去盐的质量，即可解答。
【详解】3∶（75＋3）
＝3∶78
＝（3÷3）∶（78÷3）
＝1∶26
1
18÷ －18
26
＝18×26÷18
＝468－18
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＝450（克）
配置一种盐水，在 75克水中加入3克盐，盐与盐水的比是1∶26；450克水中加入18克盐才能配置
成相同浓度的盐水。
【点睛】熟练掌握比的意义以及比的应用是解答本题的关键。
2．六（1）班有男生30人，女生25人。男生人数是女生的( )倍，女生人数与男生人数的最
简单的整数比是( )，女生人数占总人数的 ，男生人数占总人数的 。
5 6
【答案】1.2；5∶6； ；
11 11
【分析】用男生人数除以女生人数，就是男生人数是女生人数的多少倍；用女生人数比男生人数，再
化简解答；用女生人数除以全班人数，就是女生人数占总人数的几分之几；用男生人数除以全班人数，
就是男生人数占总人数的几分之几。据此解答即可。
【详解】30÷25＝1.2
25∶30
＝（25÷5）∶（30÷5）
＝5∶6
25÷（30＋25）
＝25÷55
25
＝
55
5
＝
11
30÷（30＋25）
＝30÷55
30
＝
55
6
＝
11
所以，男生人数是女生人数的1.2倍，女生人数与男生人数的最简单的整数比是5∶6，女生人数占总
5 6
人数的 ，男生人数占总人数的 。
11 11
【点睛】本题考查比的意义、化简比，求一个数是另一个数的几分之几，关键是看把谁看成了单位“1”，
单位“1”的量为除数。
3．从甲地到乙地，小李用了 4小时，小张用了5小时。小李和小张所用的时间比是( )，小
李和小张的速度比是( )。
【答案】 4∶5 5∶4
【分析】根据比的意义，用小李用的时间比小张用的时间即可；根据路程不变，把路程看作“1”，速度
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＝路程÷时间，求出两人的速度，再求出两人的速度之比，据此解答即可。
【详解】小李和小张所用的时间比是：4∶5；
1
小李的速度：1÷4＝
4
1
小张的速度：1÷5＝
5
1 1 1 1
小李和小张的速度比是： ∶ 20 ∶ 20 5∶4。
4 5 4 5
【点睛】本题考查比的化简，解答本题的关键是掌握比的概念。
4．加工同一种零件，李师傅 15分钟可以完成，张师傅20分钟可以完成。李师傅和张师傅加工这种
零件所用时间的比是( )，李师傅和张师傅工作效率的比是( )。
【答案】 3∶4 4∶3
【分析】把这种零件看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，先分别求出李师傅的工作效
率和张师傅的工作效率，然后写出李师傅和张师傅的时间比以及工作效率比，再化简即可。
1
【详解】1÷15＝
15
1
1÷20＝
20
15∶20
＝（15÷5）∶（20÷5）
＝3∶4
1 1
∶
15 20
1 1
＝（ ×60）∶（ ×60）
15 20
＝4∶3
李师傅和张师傅加工这种零件所用时间的比是3∶4，李师傅和张师傅工作效率的比是4∶3。
【点睛】本题主要考查了比的意义和化简，熟记工作总量、工作时间和工作效率三者之间的关系是解
题的关键。
5．芳芳画了两个大小不同的正方形（如图），正方形甲与正方形乙周长的比是( )，面积的
比是( )。
【答案】 5∶3 25∶9
【分析】根据正方形的周长公式：C＝4a，正方形的面积公式：S＝a2，据此分别求出两个正方形的周
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长和面积，进而求出它们的周长之比和面积之比。
【详解】（10×4）∶（6×4）
＝40∶24
＝（40÷8）∶（24÷8）
＝5∶3
（10×10）∶（6×6）
＝100∶36
＝（100÷4）∶（36÷4）
＝25∶9
则正方形甲与正方形乙周长的比是 5∶3，面积的比是25∶9。
【点睛】本题考查比的意义，结合正方形的周长和面积的计算方法是解题的关键。
6．小铁环直径6分米，大铁环半径4分米。大铁环和小铁环半径的比是( )；周长的比是
( )；面积的比是( )。
【答案】 4∶3 4∶3 16∶9
【分析】比的意义：两个数相除又叫做两个数的比，比表示两个数之间的相除关系；已知小铁环直径
6分米，大铁环半径 4分米，根据圆的周长＝2πr＝πd，圆的面积＝πr2，分别求两个圆的周长和面积，
即可求得其周长比和面积比。
【详解】大铁环和小铁环半径比：4∶（6÷2）＝4∶3
大铁环和小铁环的周长比是（2π×4）∶（π×6）
＝8π∶6π
＝（8π÷2π）∶（6π÷2π）
＝4∶3
6÷2＝3（分米）
面积比是：（π×42）∶（π×32）
＝16π∶9π
＝（16π÷π）∶（9π÷π）
＝16∶9
小铁环直径6分米，大铁环半径4分米。大铁环和小铁环半径的比是4∶3；周长的比是4∶3；面积
的比是16∶9。
【点睛】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法的灵活应用、比的意义以及化简，要熟练掌握每个
知识点。
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1．星期天，乐乐帮妈妈包韭菜猪肉馅饺子，韭菜与猪肉的质量比是2:1。现在要准备450克这样的馅
料，需要韭菜、猪肉各多少克？
【答案】韭菜300克，猪肉150克
【分析】根据韭菜与猪肉的质量比是2:1，可把韭菜看作2份，猪肉看作1份，总份数为2＋1＝3份。
先用总重量除以总份数求出一份是多少克，即为猪肉的重量，再用一份的重量×2即为韭菜的重量。
【详解】450÷（2＋1）
＝450÷3
＝150（克）
150×2＝300（克）
答：需要韭菜300克，猪肉150克。
2．学校合唱图男、女生人数的比是 3∶5，已知男生比女生少18人。
（1）画图表示数量关系。
（2）女生有多少人？
【答案】（1）见详解
（2）45人
【分析】
（1）将比的前后项看成份数，画一条线段表示男生人数，将男生人数平均分成3份，女生有这样的 5
份，男生比女生少（5－3）份，少18人，据此画图标注数据
（2）人数差÷份数差，求出一份数，一份数×女生对应分率＝女生人数，据此列式解答。
【详解】
（1）
（2）18÷（5－3）
＝18÷2
＝9（人）
9×5＝45（人）
答：女生有45人。
3．实验小学扎染社团有28人，篆刻社团与扎染社团人数的比是5∶4，篆刻社团有多少人？
【答案】28÷4×5
【分析】篆刻社团与扎染社团人数的比是 5∶4，也就是扎染社团人数有4份，则篆刻社团人数有 5份，
用28除以4求得1份的数量，再乘5即是篆刻社团的人数。据此解答。
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【详解】28÷4×5
＝7×5
＝35（人）
答：篆刻社团有 35人。
3
1．学校开辟了700平方米的科学实验田，准备分给六年级 ，其余的按5∶3分给五年级和四年级。
7
三个年级实验田的面积分别是多少平方米？
【答案】六年级300平方米；五年级250平方米；四年级150平方米
3
【分析】将总面积看作单位“1”，将总面积乘 ，求出分给六年级的面积。利用减法求出分给五年级、
7
四年级的面积。将四年级、五年级的面积和除以（5＋3）份，求出一份的面积，从而利用乘法分别求
出四年级、五年级的面积。
3
【详解】六年级：700× ＝300（平方米）
7
700－300＝400（平方米）
400÷（5＋3）
＝400÷8
＝50（平方米）
五年级：50×5＝250（平方米）
四年级：50×3＝150（平方米）
答：六年级实验田的面积是 300平方米，五年级是250平方米，四年级是150平方米。
2．用一条长108厘米的铁丝做成一个长方体模型，要求长、宽、高的比为 2∶3∶4，如果每个面都
用铁皮做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少？
【答案】648立方厘米
【分析】先用“1084”求出长方体的一条长、宽、高的和，再根据按比例分配知识分别求出长方体的长、
宽、高；进而根据“长方体的体积长宽高”解答即可。
【详解】108427（厘米）
27234
279
3（厘米）
（厘米）
236
339（厘米）
4312（厘米）
6912648（立方厘米）
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答：这个铁盒的体积是648立方厘米。
【点睛】考查了长方体有关棱长的应用、按比例分配及长方体体积，综合题，牢记公式是关键。
3．客车和货车同时从相距480千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇。已知客车和货车的速
度比是5∶3，客车每小时行多少千米？（用方程解）
【答案】100千米
3
【分析】根据客车和货车的速度比是 5∶3，可知货车速度是客车速度的 ，设客车每小时行x千米，
5
3
则货车每小时行 x千米，根据客车速度×相遇时间＋货车速度×相遇时间＝总路程，列出方程解答即
5
可。
【详解】解：设客车每小时行 x千米。
3
3x＋ x×3＝480
5
9
3x＋ x＝480
5
24
x＝480
5
24 24 24
x÷ ＝480÷
5 5 5
5
x＝480×
24
x＝100
答：客车每小时行 100千米。
4．一个等腰三角形底角和顶角的度数比是 1∶3，这个三角形最大的角是多少度？
【答案】108度
【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，又因为等腰三角形底角和顶角的度数比是1∶3，所以三角
3
形的三个内角的比为1∶1∶3，即这个三角形最大的角的度数占三角形内角和的 ，再根据求一
113
个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。
3
【详解】180×
113
3
＝180×
5
＝108（度）
答：这个三角形最大的角是 108度。
5．用48厘米长的铁丝恰好围成一个长方形，这个长方形的长与宽的比是 2∶1。这个长方形的面积
是多少平方厘米？
【答案】128平方厘米
【分析】根据题意，48厘米是长方形的周长。长方形的周长＝（长＋宽）×2，则这个长方形的长＋宽
89
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2
＝周长÷2＝48÷2＝24（厘米）。这个长方形的长与宽的比是2∶1，则长占长、宽之和的 ，宽占长、
2+1
1
宽之和的 ，分别用24乘这两个分数，即可求出长方形的长和宽。最后根据长方形的面积＝长×宽，
2+1
代入数据计算即可。
【详解】48224（厘米）
2
长：24 16（厘米）
21
1
宽：24 8（厘米）
21
面积：16´8=128（平方厘米）
答：这个长方形的面积是128平方厘米。
1．为了促进学生发展，我校开展了“我为青春添光彩，争做‘三杏（星）’好少年”的积“杏”兑奖活动（三
杏即文明之杏、生活之杏、学习之杏）。同学们积攒到一定数量的“杏”就可以兑换自己喜欢的学习用
品，紫萱同学的积杏卡上共有200个杏，其中文明之杏、生活之杏、学习之杏的数量之比刚好是2∶3∶5，
那么紫萱同学获得文明之杏、生活之杏、学习之杏的数量分别是多少个？
【答案】40个；60个；100个
【分析】把200个平均分成（2＋3＋5）份，先用除法求出1份的个数，再用乘法分别求出2份（文明
之杏）、3份（生活之杏）、5份（学习之杏）的个数。
【详解】200÷（2＋3＋5）
＝200÷10
＝20（个）
20×2＝40（个）
20×3＝60（个）
20×5＝100（个）
答：紫萱同学获得文明之杏 40个，生活之杏60个，学习之杏100个。
【点睛】此题考查了比的应用。除按上述解答方法外，也可分别求出“三杏”所占的分率，再根据分数
乘法的意义解答。
2．六（1）班的劳动基地是一个半环形花坛，内圆靠墙（如图），花坛的最外围围了一圈栅栏，栅栏
的长度是13.42米，同学们把花坛的面积按照1∶3∶4分别种植了月季、野菊和兰草三种花。这三种
花的种植面积各是多少平方米？
【答案】1.57平方米，4.71平方米，6.28平方米
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【分析】如图所示，外围的圆弧长度是栅栏的长度减去 2个环宽，是13.42－2×2＝9.42米，利用长度
以及圆的周长公式求出外环的大半径，用大半径的长度减去环宽求出小半径，再代入圆环的面积公式，
再除以2就是花坛的面积；将花坛的面积利用设份数的方法进行按比例分配，先求出1份的面积，再
分别乘各种花所占的份数即可求出最终三种花的种植面积是多少。
【详解】13.42－2×2
＝13.42－4
＝9.42（米）
9.42÷3.14＝3（米）
3－2＝1（米）
（3.14×32－3.14×12）÷2
＝（3.14×9－3.14×1）÷2
＝（28.26－3.14）÷2
＝25.12÷2
＝12.56（平方米）
月季：
12.56÷（1＋3＋4）
＝12.56÷8
＝1.57（平方米）
野菊：
1.57×3＝4.71（平方米）
兰草：
1.57×4＝6.28（平方米）
答：三种花的种植面积分别是月季 1.57平方米、野菊4.71平方米、兰草6.28平方米。
3．某工厂一车间有 65人，二车间有70人，在总人数不变的情况下，因工作需要把一、二车间的人
数比调整为4∶5，应该从一车间调动几人到二车间？
【答案】5人
4
【分析】把一、二车间的人数比调整为4∶5，此时一车间的人数占总人数的 ，根据分数乘法的意
45
义，计算得出一车间的人数，再用一车间原来的人数减去变化后一车间的人数即可得解。
4
【详解】（65＋70）×
45
4
＝135×
9
＝60（人）
65－60＝5（人）
91
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答：应该从一车间调动5人到二车间。
1．在比例3∶7＝6∶14中，( )和( )是内项，( )和( )是外项。
【答案】 7 6 3 14
【分析】组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内
项。
【详解】在比例3∶7＝6∶14中，7和6是内项，3和14是外项。
2．有些比例只用到三个不同的数，如果让你在1～9中选择，选择的数可以是( )，一共有
( )种不同的选择。
【答案】 1、2、4或1、3、9 2
【分析】根据比例的基本性质，在数字1～9中的三个不同的数，有1×9＝3×3和1×4＝2×2两个等式，
据此写出比例式即可。
【详解】1×9＝3×3
组成的比例式为：1∶3＝3∶9；
1×4＝2×2
组成的比例式为：1∶2＝2∶4；
选择的数可以是 1、2、4或1、3、9，一共有2种不同的选择。
6 5
1．在一个比例中两个内项的积是 ，一个外项是 ，另一个外项是( )。
5 7
42
【答案】
25
【分析】根据比例的基本性质，比例的两内项积＝两外项积，直接用两个内项的积÷其中一个外项＝另
一个外项，据此分析。
6 5 6 7 42
【详解】 ÷ ＝ × ＝
5 7 5 5 25
6 5 42
在一个比例中两个内项的积是 ，一个外项是 ，另一个外项是 。
5 7 25
2．在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项为 6，另一个内项是( )。
1
【答案】
6
【分析】已知一个比例里的两个外项互为倒数，根据“乘积是1的两个数互为倒数”可知，这两个外项
的积等于1；
根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”可知，这个比例的两个内项的积也等于1，用
1除以已知的一个内项，即可求出另一个内项。
92
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1
【详解】1÷6＝
6
1
另一个内项是 。
6
3．在比例 4∶12＝6∶18中，如果将前一个比的前项加上8，那么后一个比的后项应减去( )，
比例才仍然成立。
【答案】12
【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
根据题意可知，比例4∶12＝6∶18中的两个外项发生变化，两个内项不变；运用比例的基本性质，
用两个内项的积除以其中一个变化的外项，即可求出另一个变化的外项，再用原来的外项减去变化后
的外项，即可求出它应减去的数。
【详解】12×6÷（4＋8）
＝12×6÷12
＝6
18－6＝12
后一个比的后项应减去12，比例才仍然成立。
1．解方程或比例。
2 3 3 1 8
x x18 1 :4 x:2.5 : x:
3 5 4 10 9
20
【答案】x54；x1；x
3
1
【分析】（1）先把方程左边化简为 x，两边再同时乘3；
3
（2）根据比例的基本性质，先把比例化为方程。两边再同时除以 4；
（3）根据比例的基本性质，先把比例化为方程。两边再同时乘 10。
2
【详解】x x18
3
1
解： x18
3
1
3 x183
3
x54
3
1 :4 x:2.5
5
8
解：4x 2.5
5
4x444
x1
93
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3 1 8
: x:
4 10 9
1 3 8
解： x
10 4 9
1 3 8
10 x 10
10 4 9
20
x
3
2．解方程或解比例。
75 25 4 3
3x12.830.6 :56 :x
x 81 7 7
【答案】x13；x243；x42
【分析】（1）先算12.83，然后方程的两边同时加上12.83的积，最后两边同时除以3；
（2）利用比例的基本性质，将比例式化成方程后两边同时除以 25；
4
（3）利用比例的基本性质，将比例式化成方程后两边同时除以 。
7
【详解】3x12.830.6
解：3x38.40.6
3x38.438.40.638.4
3x3393
x13
75 25
x 81
解：25x7581
25x25607525
x243
4 3
:56 :x
7 7
4 3
解： x56
7 7
4 4 4
x 24
7 7 7
7
x24
4
x42
1．下面每题中的两种量是否有比例关系，若有，写出成什么比例关系。
(1)某校三月份平均每天的用水量和三月份用水的总量( )。
(2)正方形的周长和它的边长( )。
(3)差一定，被减数和减数( )。
94
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(4)小麦的总产量一定，小麦每公顷产量和公顷数( )。
3 y
(5)若 ，那么x与y( )。
x 5
【答案】(1)成正比例
(2)成正比例
(3)不成比例
(4)成反比例
(5)成反比例
【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一
定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。
【详解】（1）三月份是 31天，三月份用水的总量÷平均每天的用水量＝三月份的天数（一定），平均
每天的用水量和三月份用水的总量成正比例。
（2）正方形周长公式；周长＝边长×4，周长÷边长＝4（一定），正方形周长和边长成正比例。
（3）被减数－减数＝差（一定），被减数与减数不成比例。
（4）小麦每公顷产量×公顷数＝小麦的总产量（一定），小麦每公顷产量和公顷数反比例。
3 y
（5） ＝ ，xy＝3×5；xy＝15（一定），x与y成反比例。
x 5
2．如图是用荞麦做作原料缝制的圆柱形状的枕头。
(1)当圆柱枕的长度不变时，所需要的荞麦总量和底面积成( )比例关系。
(2)如果缝制一个圆柱枕所用的荞麦总量保持不变，圆柱枕的长度和底面积成( )比例关系。
【答案】(1)正
(2)反
【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的
乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的
量成反比例。
【详解】（1）所需要的荞麦总量÷圆柱枕的底面积＝圆柱枕的长（一定），商一定，那么所需要的荞
麦总量和底面积成正比例关系。
（2）圆柱枕的长×底面积＝需要的荞麦总量（一定），积一定，那么圆柱枕的长度和底面积成反比例
关系。
【点睛】掌握正、反比例的意义及辨识方法是解题的关键。
5 x
3．x和y均不为0，当 y时，x与y成( )比例关系；当 y时，x与y成( )比例关
x 5
系。
95
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【答案】 反 正
【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一
定；如果是比值（商）一定，则成正比例；如果是乘积一定，则成反比例，据此解答。
5 x x
【详解】如果 y，则xy5（一定），那么x与y成反比例关系；如果 y，则 5（一定），那
x 5 y
么x与y成正比例关系。
【点睛】此题属于辨识正反比例关系，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是乘积一定，再做
判断。
1．磁悬浮列车匀速行驶，时间和路程的关系如下表。
时间/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9
路程/千米 7 14 21 28 35
（1）补充表格，然后在如图中描点，再顺次连接。
（2）时间和路程成什么比例？为什么？
（3）列车行驶4分半时，所行路程是多少千米？
【答案】（1）见解析
（2）正比例关系，理由见详解
（3）31.5千米
【分析】（1）横轴代表时间，纵轴代表人数，根据统计表，在统计图中找到对应的点，按顺序将各点
连接。
（2）如果时间和路程的的比值一定，则二者成正比例关系；如果时间和路程的的乘积一定，则二者成
反比例关系；
（3）根据路程÷时间＝速度，求出列车行驶速度，行驶速度×4分半的时间，求出所行驶的路程。
【详解】（1）填表如下：
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时间/分 1 2 3 4 5 6 7 8 9
路程/千米 7 14 21 28 35 42 49 56 63
统计图如下：
（2）因为路程÷时间＝速度（一定），可知速度没有变，路程与时间之间成正比例关系。
（3）4分半＝4.5分
7×4.5＝31.5（千米）
答：列车行驶4分半时，所行路程是31.5千米。
2．某林场计划组织志愿者完成一批栽种任务，每人栽种的棵数与栽种的人数的关系如下表所示。
每人栽种的棵数（棵） 5 10 15 20 30
人数（人） 60 30 20 15 10
（1）如果每人栽种的棵数用m表示，需要的人数用 t 表示。用式子表示出m、t 和栽种总棵数之间的
关系是( )，m 和t 成( )比例关系，判断的理由是( )。
（2）如果这批栽种任务需要25人完成，每人需要栽种多少棵？
【答案】（1）栽种总棵数＝mt；反；栽种总棵数一定，即m 和t 的积一定
（2）12棵
【分析】（1）每人栽种的棵数×人数＝栽种总棵数，据此用字母表示出m、t 和栽种总棵数之间的关
系。根据xy＝k（一定），x和y成反比例关系，确定比例关系。
（2）设每人需要栽种x棵，根据每人栽种的棵数×人数＝栽种总棵数（一定），列出反比例算式解答
即可。
【详解】（1）5×60＝300（棵）、10×30＝300（棵）、15×20＝300（棵）…
用式子表示出m、t 和栽种总棵数之间的关系是栽种总棵数＝mt，m 和t 成反比例关系，判断的理由
是栽种总棵数一定，即m和t 的积一定。
（2）解：设每人需要栽种x棵。
25x＝5×60
97
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25x＝300
25x÷25＝300÷25
x＝12
答：每人需要栽种 12棵。
1．在 地图上，6厘米代表实际距离( )千米，420千米画在该地图上是
( )厘米，把它改写成数值比例尺是( )。
【答案】 180 14 1∶3000000
【分析】观察线段比例尺可知，图上 1厘米表示实际30千米，图上厘米数×1厘米表示的实际距离＝
实际距离；实际距离÷1厘米表示的实际距离＝图上厘米数；根据图上距离∶实际距离＝比例尺，写
出图上距离与实际距离的比，化简即可得到数值比例尺。
【详解】6×30＝180（千米）
420÷30＝14（厘米）
1厘米∶30千米
＝1厘米∶3000000厘米
＝1∶3000000
6厘米代表实际距离180千米，420千米画在该地图上是14厘米，把它改写成数值比例尺是1∶3000000。
【点睛】比例尺没有单位名称。为了方便，通常把比例尺的前项化作 1（图上距离大于实际距离的，
常把后项化为1）。
2． 这是线段比例尺，表示图上距离1cm 相当于实际距离( )m，将这个比例尺
改成数值比例尺是( )。
【答案】 50 1∶5000
【分析】线段比例尺的意思是，表示图上距离1cm 相当于实际距离50m；然后根据“图上距离∶实际
距离＝比例尺”以及进率：1m＝100cm，把这个线段比例尺改写成数值比例尺。
【详解】1cm∶50m
＝1cm∶（50×100）cm
＝1∶5000
这是线段比例尺，表示图上距离1cm 相当于实际距离50m，将这个比例尺改成数值
比例尺是1∶5000。
【点睛】本题考查比例尺的意义，掌握线段比例尺、数值比例尺的互化以及长度单位的换算是解题的
关键。
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1．绿佳广场要建一个长60米、宽40米的长方形健身区，请在下图中画出健身区的平面图（比例尺
1∶2000）。
【答案】见详解
【分析】已知平面图的比例尺和长、宽的实际尺寸，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，分别求出长、
宽的图上尺寸，据此画出这个长方形健身区的平面图。注意单位的换算：1米＝100厘米。
【详解】60米＝6000厘米
40米＝4000厘米
1
6000× ＝3（厘米）
2000
1
4000× ＝2（厘米）
2000
画一个长为3厘米、宽为2厘米的长方形。
如图：
（以实际测量为准）
2．根据下面的条件在图中标出各场所的位置。
（1）公园在学校北偏东40°的1500米处。
99
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（2）超市在学校北偏西50°的1000米处。
（3）广场在学校南偏东30°的500米处。
（4）火车站在学校南偏西60°的2000米处。
【答案】见详解
【分析】以学校为观测点，以图上的“上北下南，左西右东”为准，图例表示图上1个单位长度相当于
实际距离500米。
（1）在学校北偏东 40°方向上画1500÷500＝3个长度单位的线段，即是公园；
（2）在学校北偏西 50°方向上画1000÷500＝2个长度单位的线段，即是超市；
（3）在学校南偏东 30°方向上画500÷500＝1个长度单位的线段，即是广场；
（4）在学校南偏西 60°方向上画2000÷500＝4个长度单位的线段，即是火车站。
【详解】如图：
3．操作。
（1）画出图形A关于直线MN对称的图形。
（2）画出图形A绕点O顺时针旋转90°后的图形。
（3）将图形A放大，使新图形与原图形对应线段长的比为 2∶1。
【答案】见详解
【分析】（1）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形 A的各顶点关于对称
轴MN的对称点后，依次连接各点即可。
（2）根据旋转的特征，将图形A 绕点0顺时针旋转90°，点O 位置不变，其余各部分均绕此点按相同
方向旋转相同度数，即可画出旋转后的图形。
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（3）将图形A按2∶1放大，图形A的每条线段长度都乘2，据此画出放大后的图形。
【详解】如图：
1．2022年冬奥会在北京和张家口举行，京张高铁为冬奥会提供交通运营服务保障。在一幅比例尺是
5
1∶300000的宣传画上，量得两地的距离是58厘米。一列火车从北京开往张家口，已经行了全程的 ，
6
还剩多少千米？
【答案】29千米
【分析】已知宣传画的比例尺为1∶300000，且量得两地距离为58厘米，则根据实际距离＝图上距离
5
÷比例尺，可求得两地的实际距离为174千米；又知一列火车从北京开往张家口，已经行了全程的 ，
6
5 1
可以把全程距离看作单位“1”，则还剩全程的1－ ＝ ，要求得还剩多少千米，根据求一个数的几分
6 6
5
之几是多少，用乘法计算，列式为：174×（1－ ）。
6
1
【详解】58÷ ＝58×300000＝17400000（厘米）＝174千米
300000
5
174×（1－ ）
6
1
＝174×
6
＝29（千米）
答：还剩29千米。
【点睛】需要熟悉图上距离、实际距离、比例尺三者间的关系，还要明确数量关系：全程距离×未行驶
的分率＝剩下的距离。
2．比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地相距25cm，两列火车同时从甲、乙两地相对开
出，甲车每小时行 45km，比乙车每小时慢 10km，几小时后相遇？
【答案】10小时
【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，已知图上距离，则实际距离＝图上距离÷比例尺，再根据两列
火车行驶的路程总和＝甲、乙两地距离，据此可得出答案。
101
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1
【详解】甲乙两地相距：25÷ ＝100000000（厘米）＝1000km
4000000
则：1000÷（45＋10＋45）
＝1000÷100
＝10（小时）
答：10小时后相遇。
【点睛】本题主要考查的是比例尺的应用及相遇问题，解题的关键是熟练掌握比例尺的灵活应用，进
而得出答案。
3．在比例尺是1∶4000000的地图上量得A、B 两个城市间的公路长9cm。一辆汽车从A城到B 城
用了7.2小时，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？
【答案】50千米
【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出A、B 两地间的实际距离，再根据路程÷时间＝速度，
求出这辆货车的速度即可。
1
【详解】9
4000000
＝9×4000000
＝36000000（厘米）
36000000厘米＝360千米
360÷7.2＝50（千米/时）
答：这辆汽车平均每小时行驶 50千米。
【点睛】本题主要考查比例尺的应用，求出实际距离是解题的关键。
1．在比例尺是1:5000的地图上，量得一块长方形土地的长是3.2厘米，宽是1.2厘米。这块土地的实
际面积是多少平方米？
【答案】9600
【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离∶比例尺”即可求出长方形菜地的长和宽
的实际长度，进而利用长方形的面积S ab，即可求出菜地的实际面积。
1
【详解】3.2÷ ＝16000（厘米）＝160（米）
5000
1
1.2÷ ＝6000（厘米）＝60（米）
5000
160×60＝9600（平方米）
答：这块土地的实际面积是 9600平方米。
【点睛】此题主要考查长方形的面积的计算方法以及图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要
注意单位的换算。
102
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2．学校要修建一个占地面积 420平方米的长方形篮球场地。在比例尺是1∶500的篮球场平面图上，
量得该篮球场地的长是5.6厘米，该篮球场地的实际宽是多少米？
【答案】15米
【分析】依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出篮球场的实际长是多少米，再根据“长方形的面
积＝长×宽”，求出篮球场地的实际宽是多少米即可。
1
【详解】5.6÷ ＝2800（厘米）
500
2800厘米＝28米
420÷28＝15（米）
答：该篮球场地的实际宽是 15米。
【点睛】此题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系以及长方形的面积公式的灵活运用。
1．下面是小明坐出租车从家去图书馆的路线图。已知出租车在 3千米以内（含3千米）按起步价9
元计算，以后每增加1千米车费就增加2元（不足1千米按1千米计算）。请你按图中提供的信息算
一算，小明一共要花多少元出租车费？
【答案】15元
【分析】小明要坐出租车从家去图书馆，先算出小明家到百货商场、百货商场到农业银行和农业银行
到图书馆的图上距离，根据实际距离＝图上距离÷比例尺，即可求出小明到图书馆的实际距离，用小
明到图书馆的实际距离减3千米，乘2就是起步价后的车费，再加上9元就是小明一共要花多少元出
租费。
1
【详解】（5＋3＋3）÷
50000
＝11×50000
＝550000（厘米）
550000厘米＝5.5千米
5.5－3＝2.5（千米），按3千米计算，
3×2＋9
＝6＋9
＝15（元）
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答：小明一共要花 15元出租车费。
【点睛】这道题重点考查用方向和距离解决实际问题的方法，要求小明一共要花多少元，出租车费必
须先利用比例尺求出实际的路程再分阶段求出需要的钱数。
2．下图是小明坐出租车从家去展览馆的路线图。已知出租车在3km以内（含3km）按起步价6元计
算，超出3km以后，每增加1km，车费就增加1.4元。小明从家出发，坐出租车去展览馆，一共要花
费多少钱？
【答案】22.8元
【分析】根据图上距离和比例尺，先求出实际距离，然后再分段计算所需的费用。
【详解】426（cm）
6250000=150000（0 cm）1（5 km）
61531.4
616.8
22.8（元）
答：一共要花费 22.8元。
【点睛】比例尺指的是图上距离与实际距离的比，再计算的时候注意单位换算。
1．妈妈调制一杯蜂蜜水，400克水中放了20克蜂蜜。涛涛和妹妹想配制同样口味的蜂蜜水，如果有
600克水，那么需要放多少克蜂蜜？（列比例解决问题）
【答案】30克
【分析】要配制同样口味的蜂蜜水，则蜂蜜和水的质量比的比值一定。设需要放 x克蜂蜜，根据题意
可得：x∶600＝20∶400，再根据比例的基本性质解出比例即可解答。
【详解】解：设需要放x克蜂蜜。
x∶600＝20∶400
400x＝600×20
400x＝12000
x＝12000÷400
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x＝30
答：需要放30克蜂蜜。
2．为了做好安保工作，某武警部队派人乘坐汽车到某地执行任务。5月15日10时出发，到 12时汽
车共行驶了200千米，照这样的速度，当天 16时可到达目的地。到达目的地时汽车共行驶了多少千
米？（用比例解）
【答案】600千米
【分析】在行驶过程中，速度是不变的，根据速度＝路程∶时间，列出比例方程，再根据比例的基本
性质以及等式的性质解方程。
【详解】解：设到达目的地时汽车共行驶了 x千米。
12时－10时＝2（小时），16时－10时＝6（小时）
2∶200＝6∶x
2x＝6×200
x＝1200÷2
x＝600
答：到达目的地时汽车共行驶了 600千米。
3．学校操场上的旗杆高4.5米，下午某一时刻量得它的影长是1.5米，同时测得一棵树的影长是0.5
米，树高多少米？（用比例解）
【答案】1.5米
【分析】同一时间、同一地点测得的物体高度与影子长度成正比例，即旗杆高度∶旗杆影长＝树的高
度∶树的影长，设树高x米，列方程求解即可。
【详解】解：设树高x米，
4.5:1.5x:0.5
1.5x4.50.5
1.5x2.25
x2.251.5
x1.5
答：树高1.5米。
1．小明家装修客厅，准备用边长为4分米的方砖铺，需要250块。如果改用边长为5分米的方砖铺，
需要多少块？（用比例解）
【答案】160块
【分析】正方形面积＝边长×边长，据此可以求出方砖面积，设需要x块，根据方砖块数×每块方砖的
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面积＝客厅面积（一定），列出反比例算式解答即可。
【详解】解：设需要 x块。
（5×5）x＝250×（4×4）
25x＝250×16
25x＝4000
25x÷25＝4000÷25
x＝160
答：需要160块。
2．聪聪的学校原来每天照明用电 120千瓦时，改用节能灯以后，平均每天只用电25千瓦时。原来
20天的用电量现在可以用多少天？（用比例解）
【答案】96天
【分析】设原来20天的用电量现在可以用x天，根据现在每天用电量×现在用的天数＝原来每天用电
量×原来用的天数，列出反比例算式解答即可。
【详解】解：设原来 20天的用电量现在可以用x天。
25x＝120×20
25x＝2400
25x÷25＝2400÷25
x＝96
答：原来20天的用电量现在可以用96天。
3．一辆运货汽车从甲地到乙地，平均每小时行70千米，8小时到达；回时空车原路返回，中午12：
00从乙地出发，19：00返回甲地。返回时货车每小时行多少千米？（用比例解）
【答案】80千米
【分析】根据终点时间－起点时间＝经过时间，求出返回时用的时间，设返回时货车每小时行 x千米，
根据速度×时间＝路程（一定），列出反比例算式解答即可。
【详解】19：00－12：00＝7（小时）
解：设返回时货车每小时行 x千米
7x＝70×8
7x＝560
7x÷7＝560÷7
x＝80
答：返回时货车每小时行80千米。
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1．书法组和朗诵组的人数比为 7∶5，如果将书法组的10名同学调到朗诵组去，这时书法组和朗诵
组的人数比为4∶5，原来书法组有多少人？
【答案】42人
7
【分析】由题意可知，书法组的人数原来占两组人数总和的 ，将书法组的 10名同学调到朗诵组去
75
4 7 4
后，书法组的人数原来占两组人数总和的 ，则这10名学生占两组总人数的（ － ），根
45 75 45
7 4
据除法的意义，用 10除以（ － ）即可求出两组的总人数，再根据按比分配的方法求出原来
75 45
书法组有多少人。
7 4
【详解】10÷（ － ）
75 45
7 4
＝10÷（ － ）
12 9
5
＝10÷
36
36
＝10×
5
＝72（人）
7
72× ＝42（人）
75
答：原来书法组有 42人。
【点睛】本题考查按比分配问题，求出两组原来共有多少人是解题的关键。
2．兴业机械厂原来甲车间与乙车间人数的比是2∶3，因工作需要，现在把甲车间的10名工人调到
乙车间，现在甲车间与乙车间人数的比是 3∶5，甲乙车间一共有多少人？
【答案】400人
2 3
【分析】根据题意，原来甲车间的人数占总人数的 ，后来甲车间的人数占总人数的 ，据此利用减法
5 8
求出甲车间调走的 10人占总人数的几分之几，从而利用除法求出甲乙车间一共有多少人。
2 3
【详解】10÷（ － ）
23 35
2 3
＝10÷（ － ）
5 8
1
＝10÷
40
＝400（人）
答：甲乙车间一共有400人。
【点睛】本题考查了比的应用，能根据比将甲车间的人数占总人数的几分之几表示出来是解题的关键。
3．某小学六年级原来男、女生人数的比是 12∶11，这学期又转来25名女生，现在男生人数比女生
107
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1
人数少 。六年级原来有学生多少人？
9
【答案】230人
11
【分析】题中男生人数是不变量，由题意可得，原来女生人数是男生人数的 ，现在女生人数是男生
12
1 9 9 11
人数的11 ，增加25名女生就增加了男生人数的 ，从而可求出男生人数，最后再结合
9 8 8 12
男女人数的比求得六年级原来有多少人。
1
【详解】11
9
8
＝1÷
9
9
8
9 11
25
8 12
108 88
＝25÷
96 96
5
＝25÷
24
120（人）
120121211
＝10×23
230（人）
答：六年级原来有学生230人。
【点睛】本题关键是抓住不变量解答，其次把握量率对应，运用分数除法的意义求解。
4．某实验小学共有学生1400人，如果转走20个女生，转进20个男生，则男生与女生人数的比为
15∶13，该小学有男生多少人？
【答案】750人
【分析】由题意可知，如果转走 20个女生，转进20个男生，此时学生的总人数不变，则男生占学生
15
总数的 ，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算即可。
1513
15
【详解】1400× ＝750（人）
1513
答：该小学有男生 750人。
【点睛】本题考查按比分配问题，明确总人数不变是解题的关键。
108
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第五模块 常用的量【十二大考点】
1．在括号里填上合适的单位。
放学后，小明用12( )走了720( )。回到家中，喝了一杯水大约200( )。今天
学习了长方形的面积，他估了估自己家房子的大小，大约是 130( )。
【答案】 分钟/min 米/m 毫升/mL 平方米/m2
【分析】根据情景和生活经验，对长度、时间、容积、面积单位和数据大小的认识，可知计量小明回
家走路的距离应该是720米，用时12分钟。计量一杯水的容积用“毫升”做单位更为合适。计量自己
家房子的面积用“平方米”做单位更为合适。
【详解】放学后，小明用12分钟走了720米。回到家中，喝了一杯水大约200毫升。今天学习了长方
形的面积，他估了估自己家房子的大小，大约是130平方米。
【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位，要注意联系生活实际，根据计量单位和数据的大小，
灵活的选择。
2．在括号里填上适当的单位名称。
小明身高1.58( )，体重40( )，他睡觉的床的面积大约是3( )，每晚睡眠
10( )，他卧室的空间大约是45( )。
【答案】 米/m 千克/kg 平方米/m2 小时/时 立方米/m3
【分析】根据长度单位、质量单位、面积单位、时间单位和体积单位的认识，以及生活经验进行填空。
【详解】小明身高1.58米，体重40千克，他睡觉的床的面积大约是3平方米，每晚睡眠10小时，他
卧室的空间大约是 45立方米。
【点睛】关键是建立单位标准，可以利用身边熟悉的事物建立单位标准。
1．在下面（ ）里填上合适的数。
3千克80克＝( )千克 0.27平方米＝( )平方分米
4.2升＝( )毫升 45分＝( )时
【答案】 3.08 27 4200 0.75
【分析】1千克＝1000克，1平方米＝100平方分米，1升＝1000毫升，1小时＝60分，高级单位换算
低级单位乘进率，低级单位换算高级单位除以进率，据此解答。
【详解】（1）3千克80克＝3千克＋80克＝3千克＋（80÷1000）千克＝3千克＋0.08千克＝3.08千
克
（2）0.27×100＝27（平方分米）
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（3）4.2×1000＝4200（毫升）
（4）45÷60＝0.75（时）
所以，3千克80克＝3.08千克，0.27平方米＝27平方分米，4.2升＝4200毫升，45分＝0.75时。
【点睛】本题主要考查单位换算，熟记单位之间的进率并掌握高低级单位之间换算的方法是解答题目
的关键。
2．在下面（ ）里填上合适的数。
2元8分＝( )元 ( )吨＝4吨50千克
0.6米＝( )厘米 ( )平方米＝560平方分米
【答案】 2.08 4.05 60 5.6
【分析】根据1元＝100分，1吨＝1000千克，1米＝100厘米，1平方米＝100平方分米，高级单位
换算成低级单位，乘进率，低级单位换算成高级单位，除以进率，据此解答。
【详解】8分＝0.08元，所以2元8分＝2.08元；
50千克＝0.05吨，所以4.05吨＝4吨50千克；
0.6米＝60厘米
5.6平方米＝560平方分米
【点睛】本题考查单位之间的互化，关键是熟记进率。
1．用24时计时法表示下面的时间：
凌晨4时( )；下午3时10分( )；晚上10时50分( )。
【答案】 4：00 15：10 22：50
【分析】普通计时法化成24时计时法的方法：没超过12时的，直接去掉限制词即可；超过12时的，
去掉限制词，再用当前时间加上 12时即可。
【详解】凌晨4时（4：00）；下午3时10分（15：10）；晚上10时50分（22：50）。
2．演出从下午4时开始，经过2小时30分后结束，结束时间是( )时( )分。（用24
时记时法）
【答案】 18 30
【分析】根据普通计时法和24小时计时法的互换，将下午四时的“下午”两个字去掉，再加上12小时
即可换算成24小时为单位，再加上经过时间，即可求出结束时间。
【详解】下午4时是16时
16时＋2小时30分＝18时30分
结束时间是18时30分。
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1．2023年是( )年，第一季度有( )天。
【答案】 平 90
【分析】公历年份除以 4，有余数是平年，没有余数是闰年，整百的年份除以400，有余数是平年，没
有余数是闰年，平年2月有28天，闰年2月有29天，一年有四个季度，第一季度有1、2、3月，其
中1、3月是大月，有31天，然后再将1、2、3月份的天数相加，即可解答。
【详解】2023÷4＝505……3
有余数，所以2023年是平年，2月有28天，
31＋28＋31
＝59＋31
＝90（天）
第一季度有90天。
2．晓宇出生于 2012年2月29日，出生那天，爷爷为他种下了第一棵“生日树”。此后，每到 2月29
日这天，爷爷都要种一棵“生日树”。直到现在，爷爷为晓宇种了( )棵树。
【答案】4
【分析】现在是2024年，用2024减2012求出经过的时间；因为生日是2月29日，所以是闰年出生
的，看一下2012年到2024年有几个闰年即可，因为4年一闰，除以4即可求出小明过了多少个生日。
加上出生时的一棵树即可。
【详解】2024－2012＝12（岁）
12÷4＝3（个）
3＋1＝4（棵）
故直到现在，爷爷为晓宇种了 4棵树。
1．教师节是( )月( )日，在一年中的第( )季度，这一季度有( )天。
【答案】 9 10 3/三 92
【分析】每年的9月10日是教师节。
一年有4个季度，从1月开始，每3个月为1个季度，据此确定9月属于第几个季度，教师节就在第
几个季度。
确定9月属于哪个季度，把这个季度的所有月份对应的天数相加，得到的就是这个季度的总天数。
【详解】教师节是 9月10日。
1月、2月、3月是第一季度，4月、5月、6月是第二季度，7月、8月、9月是第三季度
教师节在一年中的第三季度。
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7月有31天，8月有31天，9月有30天
31＋31＋30
＝62＋30
＝92（天）
这一季度有92天。
2．奶奶去年在我家连续住了两个月（62天），这两个月份是( )月和( )月；儿童节在
第( )季度，今年这一季度有( )天。
【答案】 7 8 二 91
【分析】两个月共62天，因此每个月均为31 天，1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月为大月，
大月为31天；4月、6月、9月、11月为小月，小月为30天；
儿童节是每年的 6月1日，第二季度为：4月、5月、6月；依此解答。
【详解】31＋31＝62（天），因此这两个月份是7月和8月；
儿童节是每年的 6月1日，6月在第二季度；30＋31＋30＝91（天）；
儿童节在第二季度，今年这一季度有 91天。
1．2023 年5月30 日，景海鹏、朱杨柱、桂海潮 3名航天员乘坐“神舟十六号”载人飞船于9 时31分
发射升空，当日 18时22分航天员入驻“天宫”，整个过程历时( )时( )分。
【答案】 8 51
【分析】经过时间的计算方法：经过时间＝结束时间－开始时间，计算时把 18时22分看作17时82
分，然后减去9时31分，据此解答。
【详解】18时22分－9时31分＝8小时51分
所以，整个过程历时8时51分。
【点睛】掌握经过时间的计算方法是解答题目的关键。
2．上海世博园今年 5月1日正式开馆接受游客参观，并于10月31日闭馆。在世博会期间计划每天
接待游客40万人，上海世博会将持续( )天，计划接待游客( )万人。
【答案】 184 7360
【分析】5月、7月、8月、10月每月31天，6月、9月每月30天，据此求出总天数，接待游客的总
人数＝每天接待游客的人数×总天数，据此解答。
【详解】分析可知，5月1日到10月31日有4个月每月为31天，有2个月每月为30天。
31×4＋30×2
＝124＋60
＝184（天）
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184×40＝7360（万人）
所以，上海世博会将持续184天，计划接待游客7360万人。
【点睛】掌握一年中大月的月份和小月的月份，并准确求出世博会持续的总天数是解答题目的关键。
3．1964年6月29日，我国自行研制的“东风二号”导弹发射成功。这一年全年有( )天，到今
天正好是( )周年。
【答案】 366 58
【分析】先根据判断平年、闰年的方法，判断出1964年是平年还是闰年，平年有365天，闰年有 366
天，再用今年的年份减去1964年，即可得出是几周年。
【详解】1964÷4＝491
没有余数，是闰年，一年有 366天。
2022－1964＝58（年）
这一年有366天，到今天正好是58周年。
【点睛】本题的解答关键是先判断出 1964年是平年还是闰年。
4．北京冬奥会2022年2月4日（星期五）开幕，2022年2月20日闭幕，是星期( )。
【答案】日
【分析】用闭幕日期减开幕日期得出经过的天数，再除以7，根据余数判断是星期几，据此即可解答。
【详解】20－4＝16（天）
16÷7＝2（个）……2（天），星期五往后数2天是星期日。
【点睛】计算出经过的天数是解答本题的关键。
1．丫丫爸爸早晨 6：30出发，从迁安开车去北京，平均每小时行驶85千米，大约3小时到达目的地。
迁安到北京大约有多少千米？爸爸什么时候到达目的地吗？
【答案】255千米；9：30
【分析】用汽车平均每小时行驶的路程乘 3小时，即可求得迁安到北京的路程；根据结束的时刻＝开
始的时刻＋经过的时间，计算可得爸爸什么时间能到达目的地。
【详解】85×3＝255（千米）
6：30＋3小时＝9：30
答：迁安到北京大约有255千米；爸爸9：30到达目的地。
2．暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每4天去一次，小军每6天去一次。7月 25日两
人同时参加了游泳训练，几月几日他们又再次相遇？
【答案】8月6日
【分析】小林每4天去一次，小军每6天去一次，4和6的最小公倍数就是他们相遇两次之间间隔的
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时间；从7月25日向后推算这个天数即可。
【详解】4＝2×2
6＝2×3
4和6的最小公倍数是：2×2×3＝12
他们相隔12天会再次相遇。
7月25再过12天就是8月6日。
答：8月6日他们又再次相遇。
1．军军想买一个储钱罐，可以怎样付钱？（写出两种）
【答案】1张10元和3张1角；2张5元和3张1角（答案不唯一）
【分析】根据题意，只要付出的钱数总和为 10元3角即可。
【详解】第1种：10元＋1角＋1角＋1角＝10元3角；
第2种：5元＋5元＋1角＋1角＋1角＝10元3角。
答：可以付1张10元和3张1角或2张5元和3张1角。
（答案不唯一）
2．小芳花了7元钱买了面额为6角和8角的邮票，两种邮票的数量相同，小芳买的两种邮票各有多
少枚？
【答案】5枚
【分析】先设出买的两种邮票各有x枚，根据“单价×数量＝总价”分别计算出买6角的邮票和买 8角的
邮票花的钱数，进而根据“买6角的邮票＋买8角的邮票花的钱数＝70角”列出方程解答即可。
【详解】7元＝70角
解：设小芳买的两种邮票各有 x枚
6x＋8x＝70
14x＝70
x＝5
答：小芳买的两种邮票各有 5枚。
【点睛】解答此类题的关键是先设出未知数，进而找出数量间的相等关系式，然后根据关系式列出方
程解答。
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1．一个碾米厂有 8台碾米机，若3台碾米机2小时可以碾米了1200千克，照这样计算，这个碾米厂
所有机器一天开机工作8小时，可以碾米多少吨？
【答案】12.8吨
【分析】1200千克＝1.2吨。根据除法的意义，先用1.2除以3，求出1台碾米机2小时可以碾米多少
吨，再除以2，即可求出 1台碾米机1小时可以碾米多少吨。根据乘法的意义，用1台碾米机 1小时
可以碾米的吨数乘 8，求出8台碾米机1小时可以碾米的吨数，再乘8，即可求出8台碾米机8小时
可以碾米多少吨。
【详解】1200千克＝1.2吨
1.2÷3÷2×8×8
＝0.2×8×8
＝12.8（吨）
答：可以碾米12.8吨。
2．一种钢管，每根长7.5米，每米重8.2千克。运送这样的钢管80根，用一辆载重5吨的货车一次
可以运完吗？
【答案】可以运完
【分析】用每根钢管的长度乘每米的千克数，求出一根钢管重多少千克，再乘 80根，求出80根钢管
的总重量为多少千克；
由低级单位千克转化成高级单位吨，除以进率1000，将总的千克数转化成以吨为单位，再跟5吨进
行比较即可。
【详解】由分析可得：
7.5×8.2×80
＝61.5×80
＝4920（千克）
4920千克＝4920÷1000＝4.92（吨）
4.92吨＜5吨，所以一次可以运完。
答：用一辆载重 5吨的货车一次可以运完。
1．用一根长1米的铁丝，围成一个棱长10厘米的正方体框架，这根铁丝够吗？
【答案】不够
【分析】正方体有 12条棱，且长度都相等，则用正方体的棱长10厘米乘12，即可求出正方体的棱长
之和。把1米换算成100厘米，再和正方体的棱长之和进行比较即可解答。
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【详解】1米＝100厘米
10×12＝120（厘米）
100＜120
答：这根铁丝不够。
2．用一块长6米、宽45分米的长方形红布，做两条直角边分别是2分米、3分米的三角形红旗，最
多可以做多少面？
【答案】900面
【分析】6米＝60分米，先用60×45求出长方形的面积，再用2×3÷2求出三角形的面积，最后用长方
形的面积除以三角形的面积，就是要求的答案。
【详解】6米＝60分米
（60×45）÷（2×3÷2）
＝2700÷3
＝900（面）
答：最多可做900面三角红旗。
1．一台插秧机的工作面宽3.5米，每小时行驶8千米。这台插秧机3小时可插秧苗的面积是多少公
顷？
【答案】8.4公顷
【分析】插秧机每小时行驶8千米，则3小时行驶8×3＝24千米。换算成米数是24000米，再乘工作
面宽求出3小时插秧苗的面积，最后换算成公顷数即可。
【详解】8×3＝24（千米）
24千米＝24000米
24000×3.5＝84000（平方米）
84000平方米＝8.4公顷
答：这台插秧机 3小时可插秧苗的面积是8.4公顷。
2．一块三角形玻璃，它的底是 12.5分米，高是8分米，每平方米玻璃的价钱是68元，买这块玻璃
要用多少钱？
【答案】34元
【分析】已知三角形玻璃的底和高，根据三角形的面积＝底×高÷2，以及进率“1平方米＝100平方分米”，
求出这块玻璃的面积；
再用每平方米玻璃的价钱乘玻璃的面积，即可求出买这块玻璃需要的钱数。
【详解】12.5×8÷2
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＝100÷2
＝50（平方分米）
50平方分米＝0.5平方米
0.5×68＝34（元）
答：买这块玻璃要用34元。
1．制作一个棱长为20分米的正方体无盖玻璃鱼缸，至少需要多大面积的玻璃？往里面装满水，能装
水多少升？
【答案】2000平方分米；8000升
【分析】无盖鱼缸只有5个面，需要的玻璃面积＝棱长×棱长×5，根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，
求出鱼缸容积。
【详解】20×20×5＝2000（平方分米）
20×20×20＝8000（立方分米）＝8000（升）
答：至少需要2000平方分米的玻璃，往里面装满水，能装水8000升。
2．王爷爷买了一个长方体鱼缸，从里面量长25厘米，宽12厘米，高16厘米，往里面倒入3升水，
水深多少厘米？
【答案】10厘米
【分析】1升×1000＝1000毫升，1毫升＝1立方厘米，据此统一单位；
水的体积÷长方体的长÷长方体的宽＝水的高度，将数值代入，由此可求得水的深度。
【详解】3升＝3000毫升＝3000立方厘米
3000÷25÷12
＝120÷12
＝10（厘米）
答：水深10厘米。
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第六模块 平面图形【三十四大考点】
1．线段有( )个端点，射线有( )个端点，直线( )端点。
【答案】 2/两 1/一 没有
【详解】 这是线段，有2个端点，不能延长，长度可以被度量。
这是射线，有1个端点，可以向一端无限延长，长度不能被度量。
这是直线，没有端点，可以向两端无限延长，长度不能被度量。
即线段有2个端点，射线有1个端点，直线没有端点。
2．经过两点能画( )条直线，过一点能画( )条射线。
【答案】 1 无数
【分析】直线的特点是没有端点，可以向两边无限延伸，而过两点画直线，确定了直线的方向，故只
能画1条，射线有1个端点，可以向一端无限延伸，过一点画射线，可以向任意方向画射线，所以能
画无数条。
【详解】经过两点能画1条直线，过一点能画无数条射线。
3．如图，直线有( )条，射线有( )条，线段有( )条。
【答案】 2 12 6
【分析】直线没有端点，依此计算出直线的条数；
以A点为端点的射线有2条，以B 点为端点的射线有4条，以C 点为端点的射线有2条，以D 点为
端点的射线有2条，以以E 点为端点的射线有2条，依此计算出射线的总条数即可。
以A点为首端的线段有2条，以B 点为首端的线段有2条，以D点为首端的线段有2条，
依此计算出线段的总条数即可。
【详解】2×6＝12（条）
2×3＝6（条）
图中直线有2条，射线有12条，线段有6条。
1．中（国）老（挝）铁路是中国与老挝友谊的“连心桥”。晓娟查阅有关资料了解到中老铁路的磨丁
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至万象市段的站点，如图所示。这一段铁路单程需要准备多少种不同的车票？
【答案】15种
【分析】由题意可得，图中单独的线段有 5条，由两条单独的线段组成的线段有4条，由三条单独的
线段组成的线段有 3条，由四条单独的线段组成的线段有2条，由五条单独的线段组成的线段有1
条，则图中共有 5＋4＋3＋2＋1条线段。
【详解】5＋4＋3＋2＋1
＝9＋3＋2＋1
＝12＋2＋1
＝14＋1
＝15（种）
答：这一段铁路单程需要准备 15种不同的车票。
【点睛】此题考查了线段的应用，关键是明确该铁路为单程票。
2．从武汉到广州的铁路上共有大小车站 8个（包括起点、终点），铁路局要为乘客准备多少种不同
的车票才能满足武汉到广州途中所有乘客的需求？
【答案】56种
【详解】1+2+3+4+5+6+7=28（条）
28×2=56（种）
准备56种不同的车票．
（提示：将这8个车站看成在一条直线上的 8个点，如图：
根据数线段的方法，可知有 28种不同的票价．但每种票价对应两种不同的车票，例如：
从武汉→A与A→武汉距离一样，但车票应不同．）
1．如图中，有( )组互相平行的线段，有( )组互相垂直的线段。
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【答案】 2 5
【分析】根据垂直和平行的性质：在同一平面内相交成直角的两条直线叫做互相垂直，不相交的两条
直线叫做平行线，据此解答即可。
【详解】有2组互相平行的线段，有5组互相垂直的线段。
2．在投沙包比赛中，沙包落地点到起掷线的垂直距离为最终成绩。如图是三个同学投掷沙包的示意
图，其中成绩最好的是( )。
【答案】小敏
【分析】
要看谁的成绩最好，就是看沙包落地点到起掷线的垂直距离哪个长，小敏在接近第四道横虚线处，与
起掷线的距离明显大于其他两人，据此解答即可。
【详解】如图：
小敏在接近第四道横虚线处，与起掷线的距离明显大于佳佳和小亮，所以其中成绩最好的是小敏。
1．比直角大的角叫( )角，比直角小的角叫( )角。
【答案】 钝 锐
【详解】根据对角的认识可知，和课本的角相等大小的是直角，比直角大的角叫钝角，比直角小的角
叫锐角。
如图：
2．下图中，有( )条线段，( )个角，( )个直角。
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【答案】 6 9 3
【分析】线段是直的，有两个端点，可测量。由此数出线段的数量即可；从一点引出两条射线所形成
的图形叫做角。和书本同样大小的角是直角，由此数出数量即可。
【详解】由分析作图如下：
图中，有6条线段，9个角，3个直角。
3．分分类，填一填。（把图形的序号填到对应的小房子里）
【答案】见详解
【分析】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。和书本的角相同大小的是直角，比直角大的是钝
角，比直角小的是锐角，由此解答。
【详解】由分析可知，①是锐角；②不是角；③是钝角；④是直角；⑤不是角。填写如下：
1．如下图，1( )°，2( )°。
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【答案】 100 50
【分析】角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条
边重合。角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。
在进行角度测量的时候一条边没有从零刻度线开始，在读数是应该用末端读数减去起始端读数；据此
解答即可。
【详解】150°－50°＝100°
所以，如下图，1100°，250°
2．倒车镜和后视镜能帮助司机观察。如图，司机能观察到汽车后方的角度大约为( )°。
【答案】100
【分析】根据题意可知，360°减去汽车前方观测到的最大角度，再减去汽车左侧观察到的角度以及汽
车右侧观察到的角度，即可求出汽车后方观察到的角度。
【详解】360°－180°－40°－40°
＝180°－40°－40°
＝140°－40°
＝100°
所以司机能观察到汽车后方的角度大约为 100°。
1．以A为端点画一条射线，过B、 C两点画一条直线。
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【答案】见详解
【分析】以A为端点，向一边画一条直的线即可；过 B 点和C点画一条直的线即可。
【详解】
见下图：
2．以点O为顶点，OB为一条边，画一个125°的角，再过点A分别画出OB的平行线和垂线。
【答案】见详解
【分析】使量角器的中心和O点重合，0°刻度线和OB 边重合，然后在量角器125°刻度线的地方点一
个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；依此画图并标上对应的度数
即可。
过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合，再用直尺紧靠
着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺的直角边上，
沿直角边画出另一条直线即可。
过一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经
过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线，依此画图并标上垂直符号即可。
【详解】画图如下：
3．如下图，过点 A画直线L的垂线，垂足为点B。再以A点为顶点、AB 为角的一条边画一个 70°
的角。
【答案】见详解
【分析】（1）把三角尺的一条直角边与已知直线L重合，沿着直线移动三角尺，使直线外的点 A在
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三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号，垂足为点B，这
条直线就是过点 A与已知直线L垂直的线。
（2）用量角器画角的方法：画角的顶点和一条边，将量角器的中心与A点重合，0°刻度线与AB 重合，
根据所画角的度数在相应的刻度线处点一个点，以A点为端点，画经过这个点的射线，所组成的图
形就是要画的角，据此画出 70°的角即可。
【详解】过点A画直线L的垂线，再以A点为顶点、AB 为角的一条边画一个70°的角如下图所示：
1．1周角＝( )直角＝( )平角＝( )°。
【答案】 4 2 360
【分析】1周角＝360°，1平角＝180°，1直角＝90°；求1周角等于几个平角、几个直角，用除法，用
周角的度数分别除以平角、直角的度数。
【详解】360°÷90°＝4
360°÷180°＝2
1周角＝4直角＝2平角＝360°
2．下图中已知∠1＝40度，∠2＝( )度，∠3＝( )度，∠4＝( )度。
【答案】 140 40 140
【分析】观察上图可知，∠1与∠2组成一个平角，所以∠2等于180°减∠1；∠1与∠4组成一个平角，
所以∠4等于180°减∠1；∠2与∠3组成一个平角，所以∠3等于180°减∠2；据此即可解答。
【详解】∠2＝180°－∠1＝180°－40°＝140°
∠4＝180°－∠1＝180°－40°＝140°
∠3＝180°－∠2＝180°－140°＝40°
3．钟面上3时整，时针和分针成一个( )，6时半时，时针和分针组成一个( )。（填“锐
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角”“直角”或“钝角”）
【答案】 直角 锐角
【分析】钟面上有 12个数字，将钟面平均分成了12大格，每两个数字之间的夹角是30°；
3时整，时针指向数字 3，分针指向数字12，时针和分针之间有3个大格，时针和分针形成的夹角为
3×30°＝90°；
6时半，时针指向数字6和7中间，分针指向数字6，时针和分针之间有半个大格，1个大格不到，
1×30°＝30°，时针和分针形成的夹角度数小于30°；
再根据钝角是大于 90°小于180°的角，直角是90°的角，锐角是大于0°小于90°的角判断。据此解答。
【详解】3×30°＝90°，钟面上3时整，时针和分针成一个直角；
1×30°＝30°，6时半时，时针和分针组成的角小于30°，时针和分针组成一个锐角。
1．长方形有( )个直角，相邻的两条边互相( )，相对的两条边互相( )。
【答案】 4 垂直 平行
【分析】长方形有 4个直角，两组对边相等。两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一
条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。同一平面内不相交的两条直线互相平行，
其中一条直线是另一条直线的平行线。据此解答即可。
【详解】长方形有 4个直角，相邻的两条边互相垂直，相对的两条边互相平行。
2．消防员要做一个长方形的防火安全公告栏，已经制作了三根长度分别是 12厘米，15厘米，15厘
米的木条，还需要制作一根长为( )厘米的木条。
【答案】12
【分析】长方形的对边相等，2根15厘米的木条作为一组对边，还差1根12厘米的木条与已有的12
厘米的木条组成一组相等的对边，所以还需要一根长为 12厘米的木条，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，已经制作了三根长度分别是12厘米，15厘米，15厘米的木条，还需要制作
一根长为12厘米的木条。
1．在一个长12米，宽比长少4米的长方形里，剪一个最大的正方形，这个正方形的周长是( )，
面积是( )，剩下的部分是一个( )，它的周长是( )，面积是( )。
【答案】 32米/32m 64平方米/64m2 长方形 24米/24m 32平方米/32m2
【分析】长12米，宽比长少4米，可用减法算出宽的长度为8米。剪一个正方形，那么正方形的边长
为8米。根据正方形的周长＝边长×4，正方形的面积＝边长×边长即可求出正方形的周长和面积。剩
下部分是一个长方形，长为8米，宽为4米。根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，长方形的面积＝长
×宽求解即可。
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【详解】根据题意作图如下：
大长方形的宽：12－4＝8（米）
正方形的周长：8×4＝32（米）
正方形的面积：8×8＝64（平方米）
小长方形的宽：12－8＝4（米）
小长方形的周长：（4＋8）×2
＝12×2
＝24（米）
小长方形的面积：4×8＝32（平方米）
故在一个长12米，宽比长少4米的长方形里，剪一个最大的正方形，这个正方形的周长是 32米，
面积是64平方米，剩下的部分是一个长方形，它的周长是24米，面积是32平方米。
2．一根铁丝恰好能围成一个长 7分米、宽5分米的长方形，这个长方形的周长是( )分米，
如果用这根铁丝恰好能围成一个正方形，这个正方形的边长是( )分米。
【答案】 24 6
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，代入相关数据即可求出长方形的周长是多少；再根据正
方形的周长＝边长×4，长方形的周长等于正方形的周长，用计算出的周长除以4，即可求出正方形的
边长，据此作答。
【详解】根据上述分析可列式为：
长方形的周长：
（7＋5）×2
＝12×2
＝24（分米）
24÷4＝6（分米）
所以这个长方形的周长是24分米，这个正方形的边长是6分米。
3．一个长方形的周长是36米，长和宽的比是5∶4，这个长方形的长是( )米，宽是( )
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米。
【答案】 10 8
【分析】根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，长＋宽＝周长÷2，代入数据，求出长方形的长
与宽的和，再根据长和宽的比是 5∶4，即长和宽一共是5＋4＝9份，再用长与宽的和除以总分数，
求出1份是多少，再乘长的份数求出长，用长和宽的和减去长即可求出宽。
【详解】5＋4＝9（份）
36÷2÷9×5
＝18÷9×5
＝2×5
＝10（米）
36÷2－10
＝18－10
＝8（米）
一个长方形的周长是36米，长和宽的比是5∶4，这个长方形的长是10米，宽是8米。
1．一个长方形的长和宽的长度分别为20厘米和 10厘米。将这个长方形的长和宽按1∶5缩小后，长
是( )厘米，宽是( )厘米，面积是( )平方厘米。
【答案】 4 2 8
1
【分析】把图形按照1∶n缩小，就是将图形的每一条边缩小到原来的 ，缩小后图形与原图形对应边
n
长的比是1∶n，据此确定缩小后的长和宽，根据长方形面积＝长×宽，求出缩小后的面积。
1
【详解】20× ＝4（厘米）
5
1
10× ＝2（厘米）
5
4×2＝8（平方厘米）
长是4厘米，宽是2厘米，面积是8平方厘米。
2．王叔叔家有一个长方形苗圃，长30米，宽20米。如果长增加2米，面积增加( )平方米；
如果宽增加2米面积增加( )平方米。
【答案】 40 60
【分析】长方形的面积＝长×宽，增加的长×原来的宽＝增加的面积，原来的长×增加的宽＝增加的面
积。
【详解】2×20＝40（平方米）
30×2＝60（平方米）
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故王叔叔家有一个长方形苗圃，长 30米，宽20米。如果长增加2米，面积增加40平方米；如果宽
增加2米面积增加60平方米。
3．一块长80厘米、宽65厘米的铁皮，剪去一个最大的正方形，这个剪去的正方形的边长是( )
厘米，剩下部分的面积是( )平方厘米。
【答案】 65 975
【分析】从长方形中能剪下的最大的正方形边长与这个长方形的宽相等，即能剪下的最大的正方形边
长是65厘米，剩余部分是一个长方形，一条边长度是65厘米，与之相邻的另一条的长度是 80与65
的差，即另一条边长度是15厘米，最后根据长方形面积公式：长×宽，65乘15即可求出剩余部分的
面积。
【详解】80－65＝15（厘米）
15×65＝975（平方厘米）
这个剪去的正方形的边长是 65厘米，剩下部分的面积是975平方厘米。
4．用5个边长是3厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的面积是( )平方厘米。
【答案】45
【分析】用5个正方形拼成一个长方形，只能摆成一排，那么拼成的长方形的长＝5×正方形的边长，
长方形的宽＝正方形的边长，再根据长方形的面积＝长×宽即可求出这个长方形的面积。
【详解】长方形的长：5×3＝15（厘米）
长方形的宽：3厘米
15×3＝45（平方厘米）
用5个边长是3厘米的正方形，拼成一个长方形，这个长方形的面积是 45平方厘米。
1．如图每小格的面积是1平方厘米。
（1）请在方格纸上画出周长是 20厘米的正方形。
（2）请在所画正方形上再画一条线段，将正方形分成面积分别是10平方厘米和15平方厘米的两个长
方形。
【答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】（1）正方形的周长＝边长×4，据此用20除以4求出正方形的边长，再画图即可；
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（2）根据长方形的面积＝长×宽，分别用面积除以正方形的边长即可求出长方形的宽，再画线即可。
【详解】（1）20÷4＝5（厘米）
如图所示：
（2）10÷5＝2（厘米）
15÷5＝3（厘米）
则两个长方形的宽分别为2厘米和3厘米，如图所示：
（画法不唯一）
2．下面每个方格的边长表示 1厘米。
（1）画一个长方形，面积是32平方厘米，长与宽的比是2∶1。
（2）画一个长方形，周长是28厘米，长与宽的比是4∶3。
【答案】见详解
【分析】（1）长方形的面积＝长×宽，32＝32×1＝16×2＝8×4，因为8∶4＝2∶1，所以长方形的长是
8厘米，宽是4厘米，据此作图；
（2）根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，即长方形的长与宽的和是28÷2＝14厘米，长与宽的比是 4∶3，
4 3
即长占长与宽的和的 ，宽占长与宽的和的 ，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，
43 43
4 3
则该长方形的长为 14× ＝8厘米，宽为14× ＝6厘米，据此作图即可。
43 43
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【详解】如图所示：
1．在下面图形中，( )是梯形，( )是平行四边形。
【答案】 ③ ②
【分析】梯形和平行四边形都有四条边，梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边分别平行。
据此解答。
【详解】①号图形有三条边，是个三角形。
②号图形有四条边，并且有两组对边分别平行，是个平行四边形。
③号图形有四条边，并且只有一组对边平行，是个梯形。
④号图形有五条边，是个五边形。
因此，③是梯形，②是平行四边形。
2．两个完全一样的梯形，它们的上底是 4厘米，下底是6厘米，高是5厘米，宁宁将它们拼成一个
平行四边形，所拼成的平行四边形的底是( )厘米，高是( )厘米。
【答案】 10 5
【分析】根据题意拼成的平行四边形如图所示
则该平行四边形的底为原来梯形的上底＋下底，平行四边形的高为原来梯形的高，据此填空即可。
【详解】4＋6＝10（厘米）
所拼成的平行四边形的底是 10厘米，高是5厘米。
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1．一个直角三角形的三边长度分别是 6cm、8cm 和10cm，长10cm 这条边上的高是( )cm，
用两个这样的直角三角形拼成的平行四边形的周长是( )cm 或( )cm。
【答案】 4.8 32 36
【分析】直角三角形两直角边可以看作底和高，较短的两条边是两直角边，根据三角形面积＝底×高
÷2，先求出这个三角形的面积，再根据三角形的高＝面积×2÷底，求出相应底上的高；
如图 ，将两个直角三角形长度相等的直角边拼在一起，可以拼成平
行四边形，平行四边形的底和临边分别是直角三角形的一条直角边和邻边，根据平行四边形周长＝临
边和×2，列式计算即可。
【详解】6×8÷2＝24（cm2）
24×2÷10＝4.8（cm）
（6＋10）×2
＝16×2
＝32（cm）
（8＋10）×2
＝18×2
＝36（cm）
一个直角三角形的三边长度分别是 6cm、8cm 和10cm，长10cm 这条边上的高是4.8cm，用两个这样
的直角三角形拼成的平行四边形的周长是 32cm 或36cm。
2．自行车的三角架是利用了三角形的( )性，伸缩门是利用了平行四边形的( )性，平
行四边形相邻两边的长度分别为 8厘米和5厘米，这个平行四边形的周长是( )厘米。
【答案】 稳定 不稳定 26
【分析】三角形具有稳定性，不易变形，人们在生活中经常来利用三角形的稳定性加固物件，例如自
行车的三角形，自行车的三角形车架、三角形房架、矩形门框的斜拉条、起重机的三角形吊臂车架，
都是利用了三角形的稳定性，起到加固作用；平行四边形具有不稳定性，易变形，伸缩门，衣帽架，
火车两车箱相连处，伸缩尺都是利用了平行四边形的不稳定性。平行四边形的对边相等，相邻两边的
长度和乘2等于平行四边形的周长；据此即可解答。
【详解】（8＋5）×2
＝13×2
＝26（厘米）
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自行车的三角架是利用了三角形的稳定性，伸缩门是利用了平行四边形的不稳定性，平行四边形相邻
两边的长度分别为 8厘米和5厘米，这个平行四边形的周长是26厘米。
1．一个平行四边形停车场，底50米，高21米。如果平均每个车位占地15平方米，那么这个停车场
一共可以停多少辆车？
【答案】70辆
【分析】根据平行四边形面积＝底×高，求出停车场面积，停车场面积÷每个车位占地面积＝可以停放
的车辆数，据此列式解答。
【详解】50×21÷15
＝1050÷15
＝70（辆）
答：这个停车场一共可以停 70辆车。
2．把一个长20厘米、宽15厘米的长方形框架拉成一个高18厘米的平行四边形，这个平行四边形的
面积是多少平方厘米？
【答案】270平方厘米
【分析】将长方形框架拉成平行四边形，如果长方形的长是平行四边形的底，平行四边形的高小于长
方形宽，如果长方形的宽是平行四边形的底，则平行四边形的高小于长方形的长，据此确定平行四边
形的底，根据平行四边形面积＝底×高，列式解答即可。
【详解】18＜20、18＞15
这个平行四边形的底15厘米，高18厘米。
15×18＝270（平方厘米）
答：这个平行四边形的面积是 270平方厘米。
1．过A点作平行四边形BC、DC 边上的高。
【答案】见详解
【分析】根据平行四边形高的定义，从平行四边形的 A 点向底边画一条垂线，这点和垂足之间的线段
叫做平行四边形的高，依此画图即可。
【详解】如图：
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【点睛】熟练掌握平行四边形高的画法是解答此题的关键。
2．在方格中画一个面积是24平方厘米的平行四边形，且平行四边形底与高的比是 3∶2。
【答案】见详解
【分析】平行四边形的面积是底乘高，从乘积是24的数字中找出比是3∶2的两个数分别作为平行四
边形的底和高，在方格中画出平行四边形即可。
【详解】24＝6×4
6∶4＝3∶2
平行四边形的底是 6厘米，高是4厘米。
作图如下：
1．一个等腰梯形三条边的长度分别是 11厘米，5厘米和3厘米，并且它的下底是最长的一条边。则
这个等腰梯形的周长是( )厘米。
【答案】24
【分析】根据题意，等腰梯形首先确定下底是11厘米；如果腰长是5厘米或3厘米，分别讨论这两种
情况，再进行解答。
【详解】（1）腰长为5厘米时：
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等腰梯形周长：
11＋5×2＋3
＝11＋10＋3
＝21＋3
＝24（厘米）
如果腰长为3厘米；上底是5厘米，下底是11厘米；无法构成等腰梯形，不符合题意。
【点睛】根据等腰梯形的周长公式求出梯形的周长，关键注意两种情况：腰长为 5厘米或3厘米时，
求出梯形的周长。
2．小明有3cm、4cm、5cm 的小棒若干根，他设计了如下的拼图方案：
照这样拼下去，第⑥个图形的周长是( )厘米，需要小棒( )根；第⑦个图形的周长是
( )厘米；第a 个图形需要小棒( )根。
【答案】 26 13 30 2a＋1
【分析】第①个图形需要3根小棒，第②个图形需要（3＋2×1）根小棒，第③个图形需要（3＋2×2）
根小棒，第④个图形需要（3＋2×3）根小棒，第⑤个图形需要（3＋2×4）根小棒……每增加一个三
角形就增加2根小棒，据此表示第a 个图形需要小棒的根数；第①个图形的周长为（3＋4＋5）厘米，
第②个图形的周长为（3＋4）×2厘米，第③个图形的周长为（3＋4＋5＋3×2）厘米，第④个图形的
周长为（3×2＋4）×2厘米，第⑤个图形的周长为（3＋4＋5＋3×4）厘米，第⑥个图形的周长为（3×3
＋4）×2厘米，第⑦个图形的周长为（3＋4＋5＋3×6）厘米，据此解答。
【详解】分析可知，第⑥个图形的周长：（3×3＋4）×2
＝（9＋4）×2
＝13×2
＝26（厘米）
第⑦个图形的周长：3＋4＋5＋3×6
＝3＋4＋5＋18
＝7＋5＋18
＝12＋18
＝30（厘米）
第a个图形需要小棒的根数：3＋2（a－1）
＝3＋2a－2
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＝（2a＋1）根
当a＝6时
2a＋1
＝2×6＋1
＝12＋1
＝13（根）
【点睛】分析图形找出小棒根数和图形中三角形个数的变化规律是解答题目的关键。
24 7
1．一块梯形菜地，上底长 m，下底长6.7m，高 m，这块梯形菜地的面积是多少平方米？
5 2
【答案】20.125平方米
【分析】根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，列式解答即可。
24 7
【详解】（ ＋6.7） 2
5 2
＝11.5×3.5÷2
＝40.25÷2
＝20.125（平方米）
答：这块梯形菜地的面积是 20.125平方米。
【点睛】关键是掌握并灵活运用梯形面积公式。
3
2．如图，长方形的长为 14厘米，宽为5厘米。阴影部分梯形的上底是长方形长的 ，下底比上底长
7
2
。阴影部分的面积是多少平方厘米？
3
【答案】40平方厘米
【分析】阴影部分是一个梯形，高等于长方形的宽。将长方形的长看成单位“1”，根据分数乘法的意义，
3 2 2
用14× 求出上底的长；再将上底的长看成单位“1”，下底比上底长 ，则下底是上底的（1＋ ），
7 3 3
2
用上底的长×（1＋ ）求出下底的长，最后将数据代入梯形的面积公式：S＝（a＋b）×h÷2计算即可。
3
3
【详解】上底：14× ＝6（厘米）
7
2
下底：6×（1＋ ）
3
5
＝6×
3
135
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＝10（厘米）
梯形的面积：（6＋10）×5÷2
＝16×5÷2
＝80÷2
＝40（平方厘米）
答：阴影部分的面积是40平方厘米。
【点睛】本题考查梯形的面积公式、求一个数的几分之几是多少及求比一个数多/少几分之几的数是多
少的综合运用。
1
1．将下图中的梯形各边缩小为原来的 。
3
【答案】见详解
1
【分析】先按要求计算出梯形各边缩小为原来的 后的长度，再根据原来形状画出缩小后的图形，据
3
此作图。
1 1
【详解】6 2，上底原来占6格，缩小为原来的 后是2格；
3 3
1 1
3 1，下底原来占3格，缩小为原来的 后是1格；
3 3
1 1
3 1，高原来占3格，缩小为原来的 后是1格。
3 3
具体作图如下（红色）：
1
【点睛】解答本题的关键是先计算出梯形各边分别缩小为原来的 后的长度，再根据图形的特征进行
3
作图。
2．（每一格的边长是1厘米）画一个梯形，面积是24平方厘米，上底是3厘米，下底是9厘米，再把
136
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这个梯形分成三部分，使它们的面积比是1∶2∶3（可先计算，再操作）。
【答案】见详解
【分析】因为每个小正方形的边长是1厘米，所以1个小正方形的面积是1平方厘米，面积是 24平方
厘米，上底是3厘米，下底是9厘米的梯形，可以根据梯形的面积公式求出梯形的高，按要求画出即
可，梯形的面积是 24平方厘米，把它分成三部分，它们的面积比是1：2：3，用按比例分配的方法
直接解答就可以了。
【详解】梯形的高：
24×2÷（3＋9）
＝48÷12
＝4（厘米）
1＋2＋3＝6
24÷6＝4（平方厘米）
4×1＝4（平方厘米）
4×2＝8（平方厘米）
4×3＝12（平方厘米）
画图如下：
三角形①∶三角形②∶长方形③＝1∶2∶3
【点睛】对于这类题目，可以求出梯形的高，用按比例分配的方法直接计算即可。
1．下图由( )条线段围成，把下图分成三角形，最少能分成( )个。
【答案】 5 3
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【分析】根据 图形中线段，通过数一数可得出由几条线段围成；在图形中连接两个顶
点可得到一个三角形和一个四边形；四边形又可以分成 2个三角形，可得到3个三角形。据此可得出
答案。
【详解】通过数一数可知 由 5条线段围成。在图形中连接两个顶点可得到一个三角形
和一个四边形，如图： ；四边形又可以分成2个三角形，如图： ，可
得到3个三角形。
2．下图中共有( )个三角形。
【答案】8
【分析】由图可知，图中有1个大三角形，3个黑色三角形，3个由黑色三角形与梯形组成的三角形，
1个由黑色三角形组成的三角形，将它们的数量相加即可求出一共有几个三角形。
【详解】1＋3＋3＋1
＝4＋3＋1
＝7＋1
＝8（个）
共有8个三角形。
1．一个三角形，两条边的长分别是 9厘米和12厘米，第三条边最长是( )厘米，最短是
( )厘米。（取整厘米数）
【答案】 20 4
【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据
此解答即可。
【详解】9＋12＝21（厘米）
12－9＝3（厘米）
第三条边应小于 21厘米，大于3厘米，即最长是20厘米，最短是4厘米。
138
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2．如果等腰三角形两边的长度分别是 3厘米、7厘米，那么它的周长是( )厘米。
【答案】17
【分析】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，等腰三角形有两条边一样，据此解
答即可。
【详解】当腰为3厘米时，3＋3＝6（厘米），6＜7，不能构成三角形；
当腰为7厘米时，3＋7＝10（厘米），10＞7，7－3＝4（厘米），4＜7，能构成三角形。
3＋7＋7
＝10＋7
＝17（厘米）
它的周长是17厘米。
1．求下面未知角的度数。
∠1＝( )° ∠2＝( )°，∠3＝( )°。
【答案】 36 30 108
【分析】（1）直角三角形两锐角之和等于 90°，所以∠1等于90°减54°；
（2）∠3与72°的角组成一个平角，所以∠3等于180°减72°，三角形内角和等于180°，∠2等于180°
减42°，再减去∠3。
【详解】（1）∠1＝90°－54°＝36°
（2）∠3＝180°－72°＝108°
∠2＝180°－42°－∠3＝138°－108°＝30°
2．如图，一个六边形的内角和是 720°，试一试，推导出123456( )°。
【答案】360
【分析】因为∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠3＋∠9＝180°，∠4＋∠10＝180°，∠5＋∠11＝180°，
∠6＋∠12＝180°，
139
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所以（∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6）＋内角和＝6×180°，
又因为这个六边形内角和是 720°，
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝6×180°－720°。据此计算。
【详解】6×180°－720°
＝1080°－720°
＝360°
所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°。
1．有一块三角形的麦田，底是500米，高是80米。已知每公顷可收小麦7.5吨，这块地一共可以收
多少吨小麦？
【答案】15吨
【分析】三角形的面积＝底×高÷2，根据题意先利用三角形面积公式求出麦田的面积，换算成公顷后
乘7.5吨，计算出结果即可。
【详解】500×80÷2
＝40000÷2
＝20000（平方米）
1公顷＝10000平方米
20000平方米＝2公顷
2×7.5＝15（吨）
答：这块地一共可以收15吨小麦。
2．一块长20米，宽3.2米的长方形红布，把它裁剪成两条直角边都是40厘米的三角形。可以做成
多少个三角形？
【答案】800个
【分析】先求出长方形红布的面积，再求出每块三角形的面积，用长方形红布的面积除以每块三角形
的面积，即可求出答案。
【详解】100厘米＝1米，则40厘米＝0.4米。
（20×3.2）÷（0.4×0.4÷2）
＝64÷0.08
＝800（个）
答：可以做成800个三角形。
1．如图，长方形ABCD内有个等边三角形BCE，1( )。如果等边三角形BCE的面积是4cm2，
140
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那么长方形ABCD的面积是( )cm2。
【答案】 30 8
【分析】根据长方形的特征可知，ABC 90，又因为三角形BCE是等边三角形，等边三角形的每个
角都是60°，所以ABE 906030；因为等底等高的长方形的面积等于三角形的面积的 2倍，所
以长方形ABCD的面积等于三角形BCE面积的2倍，据此解答。
【详解】906030
428（cm2）
130；长方形ABCD的面积是8cm2。
2．如图：甲的面积是45平方米，丙的面积是甲的1.4倍，丙的面积是( )平方米，乙的面积
是( )平方米。
【答案】 63 18
【分析】已知丙的面积是甲的 1.4倍，用甲的面积乘1.4，求出丙的面积；
从图中可知，甲、乙、丙3个三角形组成一个平行四边形，丙三角形与平行四边形等底等高，根据三
角形的面积＝底×高÷2，平行四边形的面积＝底×高，可知等底等高的三角形的面积等于平行四边形
面积的一半，由此得出：甲的面积＋乙的面积＝丙的面积＝平行四边形面积的一半，所以用丙的面积
减去甲的面积，即是乙的面积。
【详解】45×1.4＝63（平方米）
63－45＝18（平方米）
丙的面积是63平方米，乙的面积是18平方米。
3．一个三角形的面积比与它等底等高的平行四边形的面积少 2.3dm2，这个三角形的面积是( )，
平行四边形的面积是( )。
【答案】 2.3dm2/2.3平方分米 4.6dm2/4.6平方分米
【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，可知当平行四边形和三角形等底
等高时，平行四边形的面积是三角形面积的 2倍；
可以把三角形的面积看作1份，则与它等底等高的平行四边形的面积看作2份，相差（2－1）份；
141
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用三角形与平行四边形的面积差除以（2－1）份，求出一份数，即是三角形的面积，再乘2，就是平
行四边形的面积。
【详解】三角形的面积：
2.3÷（2－1）
＝2.3÷1
＝2.3（dm2）
平行四边形的面积：
2.3×2＝4.6（dm2）
这个三角形的面积是2.3dm2，平行四边形的面积是 4.6dm2。
1．画出下面各图给定边上的高。
【答案】见详解
【分析】从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的
高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。
从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高，垂足所在的边叫
做三角形的底。
【详解】如图：
本题考查平行四边形的高、三角形的高的作图方法，注意平行四边形、三角形的底和高要一一对应。
2．按要求在下面的方格纸上画图。
画一个三角形，面积是12平方厘米，底与高的比是3∶2。
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【答案】见详解(答案不唯一)
【分析】由三角形面积＝底×高÷2＝12，可知：底×高＝12×2＝24，将24分解因数后，看哪组两个因
数比是3∶1，据此确定三角形的底和高。
【详解】12×2＝24
24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6
6∶4＝3∶2
画图如下：
（画法不唯一）
【点睛】本题综合考查了三角形面积、比的化简和因数的分解综合知识。求得底与高的积，再将积分
解两个因数的乘积，找出符合比的要求的底和高的数值是解答的关键。
1．圆内最长的线段是( )，圆有( )条半径。
【答案】 直径 无数
【分析】根据圆的特征：在圆内最长的线段是直径，即经过圆心，两端在圆上的线段；圆有无数条半
径。据此可得出答案。
【详解】圆内最长的线段是直径，圆有无数条半径。
2．在一个边长是 10厘米的正方形中画一个最大的圆，圆的直径是( )厘米，圆和正方形组成
的图形有( )条对称轴。
【答案】 10 4
【分析】根据题意，在一个正方形中画一个最大的圆，那么圆的直径等于这个正方形的边长。
143
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根据轴对称图形的意义，找出这个图形的对称轴即可得解。
一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线
就是对称轴。
【详解】如图：
圆的直径是10厘米，圆和正方形组成的图形有4条对称轴。
1．刘老板承包了一个直径24米的半圆形鱼塘，他准备将此鱼塘打造为钓鱼人的乐园。在鱼塘的四周
围一圈篱笆，请你帮他算一算，他至少要准备多少米篱笆？
【答案】61.68米
【分析】求至少准备篱笆的长度，就是求这个半圆形鱼塘的周长；即用圆的周长一半加上直径的长度，
根据半圆的周长公式：周长＝π×直径÷2＋直径，代入数据，即可解答。
【详解】3.14×24÷2＋24
＝75.36÷2＋24
＝37.68＋24
＝61.68（米）
答：他至少要准备 61.68米篱笆。
2．一辆自行车轮胎的外半径是0.3米。如果每分钟转100周，通过一座 1000米长的桥需要几分钟？
（得数保留一位小数）
【答案】5.3分钟
【分析】先根据圆的周长公式 C＝2πr，求出自行车车轮转一周行驶的距离，再乘100周，即可求出自
行车每分钟行驶的距离；然后用桥的长度除以自行车每分钟行驶的距离，求出自行车通过这座桥所需
的时间。
【详解】2×3.14×0.3×100
＝6.28×0.3×100
＝1.884×100
＝188.4（米）
1000÷188.4≈5.3（分钟）
答：通过一座1000米长的桥需要5.3分钟。
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1．奶奶用20米长的篱笆正好围成了一个圆形的鸡舍，已知接头处用了0.532米，奶奶围成这个鸡舍
的占地面积是多少平方米？
【答案】30.1754平方米
【分析】用篱笆的长度减去接口处用去的 0.532米就得到圆形鸡舍的周长，然后用周除以3.14，再除
以2，就得到圆的半径，然后根据圆的面积公式
S
r2计算鸡舍的面积。
【详解】200.5323.142
＝19.468÷3.14÷2
＝6.2÷2
＝3.1（米）
3.143.12
＝3.149.61
＝30.1754（平方米）
答：奶奶围成这个鸡舍的占地面积是 30.1754平方米。
2．为了丰富学生的课后延时活动，手工社团的同学用一根铁丝围成一个长10厘米，宽5.7厘米的长
方形，又用这根铁丝围成了一个最大的圆形，这个圆形的面积是多少？
【答案】78.5平方厘米
【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出这根铁丝的长度，再根据圆的周长＝2×π×半径，可
得半径＝圆的周长÷π÷2，最后根据圆的面积＝πr²，求出这个圆的面积。
【详解】（10＋5.7）×2
＝15.7×2
＝31.4（厘米）
31.4÷3.14÷2
＝10÷2
＝5（厘米）
52×3.14
＝25×3.14
＝78.5（平方厘米）
答：这个圆形的面积是78.5平方厘米。
1．这是西周圆形圆孔钱平面图（如图）的面积大约是多少平方厘米？（得数保留一位小数）
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【答案】5.2平方厘米
【分析】根据图意可知，求这枚西周圆形圆孔钱（如图）的面积大约是多少平方厘米，实际上求的就
是环形的面积，根据环形面积公式：环形面积＝外圆面积－内圆面积，把数据代入公式进行解答。
【详解】2.7÷2＝1.35（厘米）
0.8÷2＝0.4（厘米）
3.14×（1.352－0.42）
＝3.14×（1.8225－0.16）
＝3.14×1.6625
＝5.22025
≈5.2（平方厘米）
答：这枚西周圆形圆孔钱（如图）的面积大约是5.2平方厘米。
【点睛】此题属于环形面积的实际应用，直接根据环形面积公式解答即可。
2．光明小学修建一个圆形花坛，周长是 25.12米，在花坛的周围修了一条宽1米的环形小路。这条
路的面积是多少平方米？
【答案】28.26平方米
【分析】根据圆的周长＝2πr，则r＝周长÷π÷2，求出花坛的半径；根据圆环的面积公式：S＝π（R2－
r2），代入求解即可。
【详解】25.12÷3.14÷2
＝8÷2
＝4（米）
4＋1＝5（米）
3.14×（52－42）
＝3.14×（25－16）
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：这条路的面积是28.26平方米。
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1．如下图，利用两面墙作边，用栅栏围成一个扇形羊圈。已知羊圈的直径是10米，则围成的羊圈面
积是多少平方米？至少需要多少米长的栅栏？
【答案】58.875平方米；23.55米
3 3
【分析】由图可知，羊圈的面积占整个圆面积的 ，需要栅栏的长度占整个圆周长的 ，利用
4 4
“S =r2”“C =d”分别求出羊圈的面积和需要栅栏的长度，据此解答。
圆形 圆形
3
【详解】3.14×（10÷2）2×
4
3
＝3.14×25×
4
＝78.5×0.75
＝58.875（平方米）
3
3.14×10×
4
＝31.4×0.75
＝23.55（米）
答：围成的羊圈面积是58.875平方米，至少需要23.55米长的栅栏。
【点睛】本题主要考查圆的周长和面积公式的应用，熟记公式是解答题目的关键。
2．请用圆规画一个直径 4厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是 108°的扇形，并试试求这个扇形的面
积和周长。
【答案】图见详解；3.768平方厘米；7.768厘米
【分析】直径为4厘米，则半径为2厘米，以点O圆心，OA＝2厘米为半径画圆，以圆心O 为顶点，
半径OA为边作108°圆心角，交圆O于点B，则引弧AB 和半径OA、OB围成的部分为所作扇形。
n
根据扇形的面积公式：S＝ r2，代入数据即可得解；扇形的周长等于圆的两条半径加上这两条
360
n
半径所夹的圆心角所对的弧 AB 的长度，弧AB 的长度等于圆的周长的 ，利用圆的周长公式代入
360
求解，再加上两条半径，即可得解。
【详解】如图：
147
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108 3
360 10
3
3.14×22×
10
＝3.14×4×0.3
＝3.768（平方厘米）
3
3.14×4× ＋2×2
10
＝12.56×0.3＋4
＝3.768＋4
＝7.768（厘米）
答：扇形的面积是 3.768平方厘米，扇形的周长是7.768厘米。
【点睛】此题主要考查画扇形的作图技巧以及扇形的周长、面积的计算方法。
1．大、小圆的半径之比是4∶1，则它们的直径之比是( )，面积之比是( )。
【答案】 4∶1 16∶1
【分析】因为大、小圆的半径之比是 4∶1，可以假设大圆半径为4，小圆半径为1；
根据圆的直径和半径的关系：d＝2r，圆的面积公式：S＝πr2，将数据代入列出比，进行化简即可。
【详解】由分析可得：
假设大圆半径为 4，小圆半径为1，
小圆直径：1×2＝2
大圆直径：4×2＝8
大圆和小圆直径的比是：
8∶2
＝（8÷2）∶（2÷2）
＝4∶1
大圆面积：
π×42
＝π×16
＝16π
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小圆面积：
π×12
＝π×1
＝π
大圆和小圆面积的比是：
16π∶π
＝（16π÷π）∶（π÷π）
＝16∶1
大、小圆的半径之比是4∶1，则它们的直径之比是4∶1，面积之比是16∶1。
2．大圆的半径等于小圆的直径，大圆的面积是小圆面积的( )倍。
【答案】4
【分析】由题意可知，假设小圆的直径为2，即大圆的半径为2，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此分
别求出大、小圆的面积，再用大圆的面积除以小圆的面积即可。
【详解】假设小圆的直径为2，即大圆的半径为2
大圆的面积：3.14×22
＝3.14×4
＝12.56
小圆的面积：3.14×（2÷2）2
＝3.14×12
＝3.14×1
＝3.14
12.56÷3.14＝4
则大圆的面积是小圆面积的 4倍。
1．在长为 8厘米、面积为32平方厘米的长方形纸中画有一个最大的半圆，半圆的面积是( )
平方厘米。
【答案】25.12
r2
【分析】在长方形里面想要画的最大的半圆，由半圆面积＝ （r是半圆的半径）可以得知半径越大
2
面积越大，而当半圆的半径等于长方形的宽时，半圆的面积最大。注意：这时半圆的直径是在长方形
的长上面的，半圆的直径要小于等于长方形的长才可以。已知长是 8厘米、面积为32平方厘米，则
这个长方形的宽＝长方形的面积÷长，则可以求出长方形的宽，则根据半圆的面积公式可以求半圆的
面积。
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【详解】长方形的宽：32÷8＝4（厘米）
半圆的直径：4×2＝8（厘米）
则半圆的直径＝长方形的长，则长方形的宽是半圆的半径。
半圆的面积：3.14×42÷2
＝3.14×16÷2
＝25.12（平方厘米）
2．用三张长3分米，宽2分米的长方形纸，分别剪出一个最大的圆、一个最大的正方形和一个最大
的三角形，( )的面积最大。
【答案】正方形
【分析】根据题意，最大圆的直径应为 2分米则半径为1分米，最大正方形的边长为2分米，最大三
角形的底为3分米，高为2分米，然后根据圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式进
行计算后再比较即可得到答案。
【详解】最大圆的面积为：3.14×12＝3.14（平方分米）
最大正方形的面积为：2×2＝4（平方分米）
最大三角形的面积为：3×2÷2＝3（平方分米）
所以最大正方形的面积＞最大圆的面积＞最大三角形的面积。
则正方形的面积最大。
【点睛】此题主要考查的是圆的面积公式、正方形的面积公式和三角形的面积公式的应用。
3．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处事的道理。
如图，外面正方形的边长为 10分米，那么正方形内最大圆的半径是( )分米，这个圆的面积
是( )平方分米。
【答案】 5 78.5
【分析】在“外方内圆”中，正方形的边长就是圆的直径，即圆的直径是10分米。先用圆的直径÷2求
出圆的半径；再根据圆的面积S r2求出这个圆的面积。
【详解】10÷2＝5（分米）
3.14×52
＝3.14×25
150
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＝78.5（平方分米）
所以，正方形内最大圆的半径是 5分米，这个圆的面积是78.5平方分米。
【点睛】解决此题关键是明确在正方形内画一个最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长。
4．如图，在圆内画了一个最大正方形，圆的面积是31.4平方厘米。正方形的面积是( )平方
厘米。
【答案】20
【分析】设圆的半径为r，根据圆面积公式和正方形面积公式可知，这个图形中的正方形的面积为 2r2，
圆的面积为πr2，用31.4÷3.14即可求出r2是多少，进而求出正方形的面积。
【详解】如图：
要使正方形的面积最大，正方形的对角线为圆的直径，
设圆的半径为r，圆的面积为πr2，正方形的面积为：2r2
3.14×r2＝31.4
r2＝31.4÷3.14
r2＝10
所以正方形的面积为：2×10＝20（平方厘米）
正方形的面积是 20平方厘米。
【点睛】本题主要考查了正方形和圆的关系，熟记相关公式是解答本题的关键。
1．画一画。（如图，O为圆心，A为圆周上的一点）
（1）以A点为圆心，画一个与已知圆同样大小的圆。
（2）画出这两个圆组成图形的两条对称轴。
【答案】见详解
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【分析】（1）画圆时，圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小，以点A为圆心，OA 为半径画出与已
知圆大小一样的圆；
（2）将图形沿着一条直线对折，如果直线两侧的部分能够完全重合，折痕所在的直线叫做它的对称轴，
两个圆心连线所在的直线与两个圆交点所在的直线就是这个图形的对称轴，对称轴用虚线表示，据此
解答。
【详解】分析可知：
【点睛】掌握圆的画法并根据对称轴的定义画出该图形的对称轴是解答题目的关键。
2．用圆能设计出很多美丽的图案，请你利用圆规和直尺，把下面这个风车图画在右边的方框中，要
求：大圆的直径为 4厘米。
【答案】见详解
【分析】我们先用圆规在白纸上面画出一个半径是2厘米的圆，然后给圆作相互垂直的两条对称轴，
之后再用大圆的半径作为直径画出四条一样的弧线，这时我们在分小一点，用刚才画弧线的半径作为
直径画小弧线，画四条使它成为螺旋桨状，最后我们就可以给图案上色了，把里面像花瓣螺旋桨状的
图案涂上色，这样美丽的图案就画好了。
【详解】作图如下：
【点睛】此题主要是让学生通过绘画圆形图案，进一步加深对圆的认识，体会图形的变换，增强空间
观念。
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1．如图，把圆分成甲、乙两部分。（A、B 两点是一条直径的两端点）这两部分相比，下列说法中
正确的是( )。
A．周长相等 B．甲的周长大 C．乙的周长大 D．无法比较
【答案】A
【分析】观察图形可知，甲乙两部分的周长都是圆周长的一半加上中间线段的长度；据此选择即可。
【详解】由分析可知：甲乙两部分的周长相等。
故答案为：A
【点睛】本题考查圆的周长，明确甲乙两部分周长的构成是解题的关键。
2．在下图中，平行线之间的三个图形的面积相比，正确的是( )。
A．平行四边形的面积最大 B．三角形的面积最大
C．梯形的面积最大 D．三个图形的面积都相等
【答案】D
【分析】由图可知，平行四边形、三角形、梯形的高相等，利用“平行四边形的面积＝底×高”“三角形
的面积＝底×高÷2”“梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2”求出三个图形的面积，最后比较大小，据此
解答。
【详解】假设平行四边形、三角形、梯形的高为h。
平行四边形的面积：4h
三角形的面积：8h÷2＝4h
梯形的面积：（2＋6）h÷2
＝8h÷2
＝4h
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因为4h＝4h＝4h，所以三个图形的面积相等。
故答案为：D
【点睛】掌握平行四边形、三角形、梯形的面积计算公式是解答题目的关键。
3．如图，甲、乙、丙三位同学用相同的正方形卡纸剪图形，甲剪了一个最大的扇形，乙剪了一个最
大的圆，丙剪了四个最大的圆，三个人剩下的卡纸( )。
A．甲最多 B．乙最多 C．丙最多 D．一样多
【答案】D
【分析】假设出正方形的边长，甲中扇形的半径等于正方形的边长，乙中圆的半径等于正方形边长的
1
一半，丙中小圆的半径等于正方形边长的 ，利用“S =r2”分别求出三位同学所剪图形的面积，所
圆形
4
剪的图形面积越大剩下的卡纸面积越小，所剪的图形面积相等时剩下卡纸的面积也相等，所剪的图形
面积越小剩下的卡纸面积越大，据此解答。
【详解】假设正方形的边长为 2。
1
甲：22
4
1
＝4
4
＝
乙：222
＝12
＝
丙：2424
2
1
＝ 4
2
1
＝ 4
4
＝
由上可知，甲、乙、丙三位同学剪的图形面积相等，所以三个人剩下的卡纸一样多。
故答案为：D
【点睛】熟练掌握圆的面积计算公式并求出三个图形的面积是解答题目的关键。
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1．求出下面图形的面积。（单位：厘米）
【答案】22平方厘米
【分析】如图： 组合图形可拆解成一个长为5厘米，宽为2厘米的长方形和
一个长为（6－2）厘米，宽为（5－2）厘米的长方形，利用长方形的面积公式分别求出这两个长方形
的面积，再相加即可求出组合图形的面积。
【详解】5×2＋（6－2）×（5－2）
＝10＋4×3
＝10＋12
＝22（平方厘米）
即图形的面积是 22平方厘米。
2．计算如图中阴影部分的周长和面积。（单位：厘米）
【答案】25.12厘米；32平方厘米
【分析】如下图：阴影部分的周长等于半径为4厘米的圆的周长；阴影部分可以转化成一个长为（4
＋4）厘米，宽为4厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算即可。
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【详解】周长：2×3.14×4
＝6.28×4
＝25.12（厘米）
面积：（4＋4）×4
＝8×4
＝32（平方厘米）
阴影部分的周长为 25.12厘米，面积为32平方厘米。
3．求出图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】100平方厘米
【分析】观察图形可知，把右边的阴影部分分成两部分，上部分是平行四边形，下部分是三角形，根
据平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，据此代入数值进行计算即可。
【详解】如图所示：
8×（18－7）÷2＋8×7
＝8×11÷2＋56
＝44＋56
＝100（平方厘米）
4．求下图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
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【答案】7平方厘米
【分析】阴影部分的面积＝梯形的面积－平行四边形的面积，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，平
行四边形面积＝底×高，据此解答。
【详解】（3＋6.5）×4÷2－3×4
＝9.5×4÷2－3×4
＝19－12
＝7（平方厘米）
5．计算下图中阴影部分的面积。
【答案】7.72m2
【分析】由图可知，阴影部分的面积＝梯形的面积－半圆的面积，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×
高÷2，半圆的面积＝πr2÷2，代入数据进行解答即可。
【详解】（3＋2＋2）×（2×2）÷2－3.14×22÷2
＝7×4÷2－3.14×4÷2
＝14－12.56÷2
＝14－6.28
＝7.72（m2）
6．求阴影部分的面积（图中的三角形都是等腰直角三角形）。（单位：分米）
【答案】12.5平方分米
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【分析】根据图形的特点，可以通过“旋转”把阴影部分拼在一起，阴影部分的面积等于大三角形的面
积减去正方形的面积，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，大三角形的高就是圆的直径，根据直角三
角形斜边上的高等于斜边的一半可知，大三角形的高为10÷2＝5分米，则正方形的面积等于两个底为
5分米，高为（5÷2）分米的三角形的面积；据此解答即可。
【详解】如图所示：
1 ×10×5－2× 1 ×（5÷2）×5
2 2
＝25－2× 1 ×2.5×5
2
＝25－1×2.5×5
＝25－12.5
＝12.5（平方分米）
7．求下图阴影部分的面积。
【答案】18dm2
【分析】将图形割补如下：
则阴影部分的面积等于两直角边均为 6dm的三角形的面积，代入三角形面积公式：S＝ah÷2计算即可。
【详解】6×6÷2
＝36÷2
＝18（dm2）
阴影部分的面积为 18dm2。
8．求阴影部分面积。
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【答案】20.52平方厘米
1
【分析】观察图形可知，阴影部分等于半径是6厘米的圆的面积的 ，减去底是6厘米，高是6厘米
4
的三角形面积，再乘2，根据圆的面积公式：S＝r2，三角形面积公式：S＝底×高÷2，代入数据即可。
1
【详解】( 3.1462662)2
4
1
＝( 3.1436362)2
4
＝(28.2618)2
＝10.262
＝20.52（平方厘米）
即阴影部分面积是 20.52平方厘米。
9．已知圆的周长是 18.84分米，求阴影部分的面积。
【答案】4.5平方分米
【分析】先用圆的周长除以2π，求出圆的半径，也就求出了等腰直角三角形的腰长；然后根据三角形
的面积＝底×高÷2，代入数据计算出阴影三角形的面积即可。
【详解】圆的半径：18.84÷（2×3.14）
＝18.84÷6.28
＝3（分米）
三角形的面积：3×3÷2
＝9÷2
＝4.5（平方分米）
因此阴影部分的面积是4.5平方分米。
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第七模块 立体图形【二十五大考点】
1．长方体有( )条棱，( )个顶点，( )个面。相对的棱长度( )。
【答案】 12 8 6 相等
【详解】如图 ，长方体有12条棱，8个顶点，6个面。相对的棱长度相等。
2．魔方是常见的( )体，它有( )个面，( )条棱，8个( )。
【答案】 正方 6 12 顶点
【分析】由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体，也叫立方体，是特殊的长方体。根据
正方体的特征：有 6个面，这6个面都是正方形，且面积相等；有12条棱，这些棱的长度都相等；
有8个顶点，据此解答。
【详解】魔方是常见的（正方）体，它有（6）个面，（12）条棱，8个（顶点）。
1．下列四幅图中，是正方体展开图的是第( )幅图。
（1） （2） （3） （4）
【答案】4
【分析】正方体展开图共有11种，如下图所示：
【详解】由分析可知：第（1）（2）（3） 幅图不是正方体展开图，第（4）幅图是正方体展开图。
160
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2．用 做成一个 ，那么“们”字的对面是“( )”字。
【答案】好
【分析】正方体展开图相对面的找法：①同一层间隔一面是相对面，“我”和“是”中间隔着“们”，故，“我”
和“是”相对面；“们”和“好”中间隔着“是”，故，“们”和“好”相对面；
②剩下两面必是相对面，故，“孩”和“子”是相对面。
【详解】由题意分析得：
用 做成一个 ，那么“们”字的对面是“好”字。
3．小红要用白色卡纸做一个长方体，他画出了展开图（如图）。如果F 面在底部，那么( )
面在上面；如果F 面在前面，从左面看是C面，那么上面是( )面。
【答案】 A B
【分析】如图，根据长方体展开图的特征可知：折成长方体后，A面与F 面相对，
B
面与D相对，C面
与E相对，因此，如果F 在底面，那么A面在上面。如果F 面在前面，从左面看是C面，那么上面是
B
面。据此解答。
【详解】把如图这个展开图折成一个长方体（数字在长方体内侧），如果F 面在底面，那么A面在上
面。如果F 面在前面，从左面看是C面，那么上面是
B
面。
4．丽丽从下面的长方形纸片中选择了三种不同的纸片各两张，粘贴成了一个长方体纸盒。她选的是
( )，这个纸盒的表面积是( )平方厘米。
【答案】 ABD 62
【分析】观察所给的纸片，可以有两种选择：①可选择ABD 粘成一个长方体，如下图1；②可选择
BCE 粘成一个长方体，如下图2；长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此算出不同选
择下，所粘纸盒对应的表面积。
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【详解】根据所给的纸片规格，可以有两种选择，都可以粘贴成一个长方体纸盒。
情况①：当选择ABD 时，这个纸盒的表面积：
5352322
151062
312
62（平方厘米）
即当她选的是ABD 时，这个纸盒的表面积是62平方厘米。
情况②：当选择BCE 时，这个纸盒的表面积：
5354342
1520122
472
94（平方厘米）
即当她选的是BCE 时，这个纸盒的表面积是94平方厘米。
1．一个正方体的棱长之和是 6分米，这个正方体的棱长是( )分米。
【答案】0.5
【分析】根据正方体的特征，正方体的 12条棱的长度都相等。用正方体的棱长总和除以12就是它的
棱长，据此列式解答。
【详解】6÷12＝0.5（分米）
【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体的特征，以及正方体棱长总和公式的灵活运用，关键是熟
记公式。
2．一个长方体和一个正方体的棱长总和相等，已知长方体的长、宽、高分别是 3分米、2分米、4
分米，那么正方体的体积是( )立方分米。
【答案】27
【分析】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，用（3＋2＋4）×4即可求出棱长总和，因为一
个长方体和一个正方体的棱长总和相等，再根据正方体的棱长总和＝棱长×12，用棱长总和÷12即可
求出正方体的棱长，最后根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答。
162
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【详解】（3＋2＋4）×4÷12
＝9×4÷12
＝36÷12
＝3（分米）
3×3×3＝27（立方分米）
正方体的体积是 27立方分米。
【点睛】此题主要考查长方体的棱长总和公式、正方体的棱长总和公式、正方体的体积公式的灵活运
用，关键是熟记公式。
3．用48分米长的铁丝焊接成一个长方体，已知长、宽、高的比是 3∶2∶1，这个长方体的体积是
( )立方分米。
【答案】48
3
【分析】铁丝的总长度等于长方体的棱长之和，先求出长、宽、高的和，长占长、宽、高和的 ，
321
2 1
宽占长、宽、高和的 ，高占长、宽、高和的 ，用分数乘法求出长、宽、高，最后利用“长
321 321
方体的体积＝长×宽×高”求出这个长方体的体积，据此解答。
【详解】48÷4＝12（分米）
3
长：12×
321
＝12× 1
2
＝6（分米）
2
宽：12×
321
1
＝12×
3
＝4（分米）
1
高：12×
321
1
＝12×
6
＝2（分米）
体积：6×4×2＝48（立方分米）
所以，这个长方体的体积是 48立方分米。
【点睛】本题主要考查比的应用，求出长方体的长、宽、高并掌握长方体的棱长之和与体积计算公式
是解答题目的关键。
1．小红用如图所示的一张硬纸折成一个无盖长方体纸盒。你能根据图中给出的数据，求出这张纸的
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面积是多少平方分米吗？先写出你的想法，再解答。
【答案】想法见详解；1.22平方分米
【分析】看图可知，折成的无盖长方体纸盒有前、后、左、右、下面 5个面，求出这个长方体纸盒的
表面积即可。长方体纸盒的长5厘米，宽2厘米，高8厘米，用长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，即可求
出表面积，注意统一单位。
【详解】我的想法：求这张纸的面积是多少平方分米，就是求折成的无盖长方体纸盒 5个面面积的和。
5×2＋5×8×2＋2×8×2
＝10＋80＋32
＝122（平方厘米）
＝1.22（平方分米）
答：这张纸的面积是1.22平方分米。
2．高老师家的柜式空调长0.5米，宽0.4米，高1.8米，为了防灰尘，高老师准备做一个长方体布罩
把它罩起来，请问做这只布罩至少需用多少平方米的布？（接头处忽略不计）
【答案】3.44平方米
【分析】求这只布罩需用多少平方米的布，实际是求长方体 4个侧面和上底面共5个面的面积，根据
长方体的表面积公式：S＝a×b＋a×h×2＋b×h×2，代入数据，即可求出做这只布罩需用多少平方米的
布。
【详解】0.5×0.4＋0.5×1.8×2＋0.4×1.8×2
＝0.2＋1.8＋1.44
＝3.44（平方米）
答：做这只布罩至少需用3.44平方米的布。
【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式求解。
3．学校要准备一件疫情隔离室，这间隔离室的长是6米，宽是5米，高是3米，门窗的面积是12.2
平方米。如果每平方米需要花 4元的涂料费，粉刷这个隔离室需要花费多少元？
【答案】335.2元
【分析】根据题意分析可知，先求出教室的表面积，用表面积减去地面的面积和门窗的面积得到需要
粉刷的面积，再用需要粉刷的面积乘以每平方米花的涂料费即可得到粉刷完需要的花费。
【详解】（6×5＋6×3＋5×3）×2－6×5－12.2
＝（30＋18＋15）×2－6×5－12.2
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＝63×2－6×5－12.2
＝126－30－12.2
＝96－12.2
＝83.8（平方米）
83.8×4＝335.2（元）
答：粉刷这个隔离室需要花费 335.2元。
1．做一个棱长5分米的无盖正方体金鱼缸，需要多少玻璃？
【答案】125平方分米
【详解】5×5×5＝125（平方分米）
答：至少需要125平方分米的玻璃。
2．一根铁丝恰好可以焊接成一个长 5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体框架。若这根铁丝也恰好
能焊接成一个正方体框架。
（1）这个正方体框架的棱长是多少厘米？
（2）给这个正方体框架的表面焊接上铁皮，铁皮的面积是多少平方厘米？
【答案】（1）4厘米；（2）96平方厘米
【分析】（1）因为同样的铁丝焊接成长方体和正方体，所以长方体和正方体的棱长总和相等。长方体
的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长＝棱长总和÷12，计算出正方体框架的棱长。
（2）求铁皮的面积就是求正方体的表面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，从而计算出铁皮的面积。
【详解】（1）（5＋3＋4）×4
＝12×4
＝48（厘米）
48÷12＝4（厘米）
答：这个正方体框架的棱长是 4厘米。
（2）4×4×6
＝16×6
＝96（平方厘米）
答：铁皮的面积是 96平方厘米。
【点睛】此题主要考查长方体、正方体的棱长总和公式、以及正方体的表面积公式的灵活运用，关键
是熟记公式。
1．把一个长方体木块截成两个完全一样的正方体（如图），这两个正方体的棱长之和比原来长方体
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增加了48厘米，原来长方体木块的表面积是多少平方厘米？
【答案】360平方厘米
【分析】把一个长方体截成两段完全一样的正方体，切一次增加 2个面，增加了8条棱，因为分成后
的两个正方体的棱长之和比原长方体增加 48厘米，即增加的8条棱的长度和是48厘米，进而用48÷8
＝6厘米得出一条棱的长度，则原长方体的长是6×2＝12厘米，宽和高都是6厘米，再根据长方体的
表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，据此计算即可。
【详解】48÷8＝6（厘米）
6×2＝12（厘米）
（12×6＋12×6＋6×6）×2
＝（72＋72＋36）×2
＝180×2
＝360（平方厘米）
答：原来长方体木块的表面积是 360平方厘米。
【点睛】此题应结合题意进行分析，理解增加两个面，增加了 8条棱，然后根据题中给出的条件，求
出一条棱的长度，进而根据长方体的表面积计算公式进行解答。
2．把一块正方体木块锯成三个完全一样的长方体，表面积比原来增加了64平方分米。原正方体的表
面积是多少平方分米？
【答案】96平方分米
【分析】根据题意，把一块正方体木块锯成三个完全一样的长方体，表面积比原来增加 4个截面的面
积；先用增加的表面积除以4，求出一个截面的面积，再根据正方体的表面积公式S＝6a2，用一个截
面的面积乘6，即是原正方体的表面积。
【详解】64÷4＝16（平方分米）
16×6＝96（平方分米）
答：原正方体的表面积是96平方分米。
3．一个长方体长 16分米，高7分米，沿着水平方向横切两个小长方体，表面积增加 160平方分米，
原来长方体的体积是多少立方分米？
【答案】560立方分米
【分析】增加的面积就是2个长方体的底面积，增加的面积÷2＝长方体的底面积，长方体的底面积÷
长方体的长＝长方体的宽，长方体的长×宽×高＝长方体的体积。据此解答。
【详解】160÷2÷16
166
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=80÷16
＝5（分米）
16×7×5
=112×5
＝560（立方分米）
答：原来长方体的体积是560立方分米。
4．生活中有许多物体的包装都是长方体，如图我们常见的香皂盒。
①要把2块香皂包装在一起可以怎样摆放？你想到了几种拼法？试着画一画。
②哪一种摆法需要的包装材料最少？算一算，至少需要多少平方厘米的包装纸。
【答案】①见详解
②258平方厘米
【分析】①根据题意：将2块香皂的左右面结合、或上下面结合或前后面结合。由此画出摆放方法。
②结合在一块的面的面积越大，那么减少的表面积就越大。根据题意，将香皂的上下面结合，所需要
的包装纸最少。此时长方体的长是 9厘米，宽是5厘米，高是3×2＝6厘米，根据
长方体的表面积＝（长宽＋长高＋宽高）2，将数值代入计算即可。据此解答。
【详解】①画图如下：
②上下面结合，减少的表面积最大。
此时长方体的高：3×2＝6（厘米）
9596562
＝4554302
＝129×2
＝258（平方厘米）
答：至少需要258平方厘米包装纸。
1．一个正方体棱长之和是24dm，这个正方体表面积是( )dm2，体积是( )dm3；如果
这个正方体的棱长都扩大3倍，体积扩大( )倍，表面积扩大( )倍。
167
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【答案】 24 8 27 9
【分析】正方体的 12条棱长都相等，正方体的表面积6a2，正方体的体积a3，据此解答即可。
【详解】棱长：24122（分米）
表面积：226
46
24（平方分米）
体积：222
42
8（立方分米）
如果这个正方体的棱长都扩大 3倍，体积扩大27倍，表面积扩大9倍。
【点睛】本题考查正方体的棱长、表面积和体积，解答本题的关键是掌握正方体的棱长、表面积和体
积的计算公式。
2．一个长方体的长宽高都扩大 5倍，表面积就扩大( )倍，体积扩大( )倍。
【答案】 25 125
【分析】根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，体积公式：V＝abh，再根据因数与积的
变化规律进行解答即可。
【详解】若原长宽高分别为a、b、h，则长宽高都扩大5倍后，分别为5a、5b、5h，
原来的表面积为：（ab＋ah＋bh）×2
扩大后的表面积为：（5a×5b＋5a×5h＋5b×5h）×2
＝（25ab＋25ah＋25bh）×2
＝（ab＋ah＋bh）×2×25
＝（ab＋ah＋bh）×50
表面积扩大：5×5＝25倍
原来的体积为：abh
扩大后的体积为：5a×5b×5h＝125abh
体积扩大：5×5×5＝125倍
所以一个长方体的长宽高都扩大 5倍，表面积就扩大25倍，体积扩大125倍。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，因数与积的变化规律的应用。
1．一个大正方体由若干个棱长 1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色
的小正方体有6个，这个大正方体的体积是( )立方厘米，表面积是( )平方厘米。
【答案】 27 54
168
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【分析】在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小正方体有 6个，正方体有六个面，那么每个
面都有一个小正方体一面涂色，那么这个大正方体一个面就有9个小正方体，所以这个大正方体的棱
长为3厘米，再根据正方体体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长，正方体表面积公式：表面积＝棱长×
棱长×6，代入数据，即可解答。
【详解】由分析可知，大正方体的棱长为 3厘米。
体积：3×3×3
＝9×3
＝27（立方厘米）
表面积：3×3×6
＝9×6
＝54（平方厘米）
一个大正方体由若干个棱长 1厘米的小正方体组成，在大正方体的表面涂色，其中只有一面涂色的小
正方体有6个，这个大正方体的体积是 27立方厘米，表面积是54平方厘米。
2．将一个棱长为 10厘米的正方体的表面涂色，然后切成棱长为2厘米的小正方体，一共可以切
( )个，其中两面涂色的小正方体有( )个，一面涂色的小正方体有( )个。
【答案】 125 36 54
【分析】先用10÷2 求出大正方体的每条棱长包含5个小正方体的棱长，再根据正方体的体积＝棱长×
棱长×棱长，用5×5×5可求出一共切出的小正方体的个数；
用n表示大正方体的棱长包含小正方体的棱长的个数，三面涂色的小正方体的块数＝8（顶点的个数），
两面涂色的小正方体的块数＝12（n－2），一面涂色的小正方体的块数＝6（n－2）2，没有涂色的小
正方体的块数＝（n－2）3。把n＝5代入计算即可。
【详解】10÷2＝5（个）
5×5×5＝125（个）
12×（5－2）
＝12×3
＝36（个）
6×（5－2）2
＝6×32
＝6×9
＝54（个）
所以，一共可以切 125个，其中两面涂色的小正方体有36个，一面涂色的小正方体有54个。
169
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1．一种饮料用长方体塑封纸盒密封包装。从外面量，纸盒长6厘米，宽4厘米，高10厘米。纸盒的
表面注明饮料的净含量是240毫升。请分析说明是否真实。
【答案】不真实
【分析】净含量比长方体的体积小一些。长方体的体积＝长×宽×高。据此解答。
【详解】长方体塑封纸盒体积：
6×4×10
＝24×10
＝240（立方厘米）
＝240（毫升）
答：因为盒子的体积是240毫升，而净含量也为240毫升，所以不真实。
【点睛】本题是一道有关长方体、正方体体积的计算、体积与容积的题目。
2．用一条长108厘米的铁丝做成一个长方体模型，要求长、宽、高的比为 2∶3∶4，如果每个面都
用铁皮做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少？
【答案】648立方厘米
【分析】先用“1084”求出长方体的一条长、宽、高的和，再根据按比例分配知识分别求出长方体的长、
宽、高；进而根据“长方体的体积长宽高”解答即可。
【详解】108427（厘米）
27234
279
3（厘米）
（厘米）
236
339（厘米）
4312（厘米）
6912648（立方厘米）
答：这个铁盒的体积是648立方厘米。
【点睛】考查了长方体有关棱长的应用、按比例分配及长方体体积，综合题，牢记公式是关键。
1．要砌一面长25米、厚40厘米、高2米的砖墙，至少需要棱长20厘米的方砖多少块？
【答案】2500块
【分析】根据题意，先将单位统一，再根据长方体体积＝长×宽×高，正方体体积＝棱长×棱长×棱长，
分别求出砖墙的体积和方砖的体积，用砖墙的体积除以方砖的体积，即可求出需要多少块方砖。
【详解】25米＝2500厘米
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2米＝200厘米
2500×40×200÷（20×20×20）
＝100000×200÷（400×20）
＝20000000÷8000
＝2500（块）
答：至少需要2500块方砖。
2．一块正方体石料的棱长为 6分米，如果1立方分米石料的质量是2.7千克，这块石料的质量是多
少千克？
【答案】583.2千克
【分析】先根据正方体的体积公式，棱长×棱长×棱长，求出石料的体积，再乘2.7即可求出石料的质
量即可。
【详解】6×6×6×2.7
＝36×6×2.7
＝216×2.7
＝583.2（千克）
答：这块石料的质量是583.2千克。
【点睛】解答本题的关键是掌握正方体的体积计算公式。
1．如下图，把一块长方形铁皮的两个角上各剪掉两个边长为 8厘米的小正方形，并把剪下的两个小
正方形焊接到长方形的另一边的中间，然后制成一个无盖的长方体盒子，这个盒子的体积是多少立方
厘米？（铁皮损耗忽略不计）
【答案】5376立方厘米
【分析】如图 ，长方体的长＝长方形铁皮的长－小正方形边长，
171
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长方体的宽＝长方形铁皮的宽－小正方形边长×2，长方体的高＝小正方形边长，根据长方体体积＝长
×宽×高，即可求出盒子体积。
【详解】50－8＝42（厘米）
32－8×2
＝32－16
＝16（厘米）
42×16×8＝5376（立方厘米）
答：这个盒子的体积是5376立方厘米。
【点睛】关键是确定长方体盒子的长、宽、高，掌握并灵活运用长方体体积公式。
2．把长36厘米、宽30厘米的长方形纸，从四个角各剪去一个边长为5厘米的正方形，再折成一个
无盖的长方体纸盒。
（1）这个纸盒的表面积是多少平方厘米？
（2）这个纸盒的容积是多少立方厘米？
【答案】（1）980平方厘米
（2）2600立方厘米
【分析】（1）观察可知，折成的长方体的长＝长方形的长－正方形边长×2，长方体的宽＝长方形的宽
－正方形边长×2，长方体的高＝正方形边长，纸盒表面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，据此列式解
答。
（2）根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。
【详解】（1）长：36－5×2
＝36－10
＝26（厘米）
宽：30－5×2
＝30－10
＝20（厘米）
26×20＋26×5×2＋20×5×2
＝520＋260＋200
＝980（平方厘米）
答：这个纸盒的表面积是980平方厘米。
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（2）26×20×5＝2600（立方厘米）
答：这个纸盒的容积是2600立方厘米。
【点睛】关键是熟悉长方体特征，掌握并灵活运用长方体表面积和体积公式。
1．把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，可以拼成一个近似( )，它的底面
积等于圆柱的( )，它的高等于圆柱的( )，它的体积和圆柱的体积( )。
【答案】 长方体 底面积 高 相等
【分析】根据圆柱的体积推导过程可知，把圆柱切割后，可以拼成一个近似长方体，拼成的长方体的
底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高，因为是分成多个扇形，物体所占空间大小是物
体的体积，所以长方体的体积等于圆柱的体积，据此解答。
【详解】把圆柱的底面分成许多相等的扇形，然后把圆柱切开，可以拼成一个近似长方体，它的底面
积等于圆柱的底面积，它的高等于圆柱的高，它的体积和圆柱的体积相等。
2．（1）在下图中标出圆柱和圆锥各部分的名称。
（2）上面的圆柱，从前面看，看到的图形是一个( )形；从右面看，看到的图形是一个( )
形；从上面看，看到的图形是一个( )。
【答案】（1）见详解
（2）长方；长方；圆
【分析】
（1）圆柱的底面是圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离是圆柱的高；
圆锥的底面是一个圆，顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
（2）圆柱从前面看、从右面看都是一个长方形，从上面看是一个圆。
【详解】（1）如图：
（2）上面的圆柱，从前面看，看到的图形是一个长方形；从右面看，看到的图形是一个长方形；从上
面看，看到的图形是一个圆。
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1．聪聪把一个底面直径是5cm、高10cm 的圆柱体外包装纸展开，侧面展开图是一个长( )cm，
宽( )cm 的长方形，要用一张宽为10cm 的长方形纸制作这个圆柱的外包装纸（含上、下底面），
这张纸的长度至少为( )cm 才够用（接缝处消耗忽略不计）。
【答案】 15.7 10 20.7
【分析】根据圆柱侧面展开图的特征，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形（特殊情况下是正方形），
长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。
（1）根据公式C＝πd，求出圆柱的底面周长，也就是长方形的长，长方形的宽等于圆柱的高。
（2）用一张宽为 10cm 的长方形纸制作这个圆柱的外包装纸（含上、下底面），如下图，需准备长等
于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高的长方形纸做圆柱的侧面；还需准备做 2个圆柱底面的长方形，
这个长方形的长正好是2个圆柱的底面直径，宽等于一个圆柱的底面直径；所以这张纸的长度至少是
圆柱的底面周长与一个圆柱的底面直径之和。
【详解】（1）3.14×5＝15.7（cm）
侧面展开图是一个长15.7cm，宽10cm 的长方形；
（2）圆柱的底面直径：10÷2＝5（cm）
15.7＋5＝20.7（cm）
要用一张宽为10cm的长方形纸制作这个圆柱的外包装纸（含上、下底面），这张纸的长度至少为20.7cm
才够用。
2．把一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，那么这个圆柱的高是底面半径的
( )倍。
【答案】6.28
【分析】根据题意可知，圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，则圆柱的底面周长＝圆柱
的高；根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2；即圆柱的高＝π×半径×2，根据等式的性质1，等式两边
同时除以半径，进而得出圆柱的高÷半径＝2π，据此解答。
【详解】根据分析可知，
圆柱的高÷半径＝2π
＝2×3.14
＝6.28
把一个圆柱的侧面沿高剪开，展开后正好是一个正方形，那么这个圆柱的高是底面半径的 6.28倍。
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1．把长3厘米、宽2厘米的长方形以长的边为轴旋转一周，会得到一个( )，它的表面积是
( )平方厘米，体积是( )立方厘米。
【答案】 圆柱体 62.8 37.68
【分析】根据圆柱的定义：一个长方形长 3厘米，宽2厘米，以长边为轴旋转一周，会得到一个圆柱
体，这个圆柱的底面半径是2厘米，高是3厘米，根据圆柱的表面积侧面积底面积2，圆柱的体
积底面积高，把数据分别代入公式解答即可。
【详解】表面积： 23.14233.14222
＝6.28×2×3＋3.14×4×2
＝12.56×3＋12.56×2
37.6825.12
62.8（平方厘米）
体积：3.14223
3.1443
＝12.56×3
37.68（立方厘米）
它的表面积是62.8平方厘米，体积是37.68立方厘米。
2．一个等腰直角三角形的一条直角边长6厘米，以这条直角边为轴旋转一周，可以得到一个( )，
它的体积是( )立方厘米。
【答案】 圆锥 226.08
【分析】直角边为 6厘米的等腰直角三角形，以直角边旋转一周，则可以形成一个圆锥，它的底面半
1
径是三角形的直角边长6厘米，高也是直角边长6厘米，根据圆锥体积＝ r2h，计算得出答案。
3
【详解】可以得出一个圆锥，它的底面半径是直角三角形直角边长 6厘米，高也是直角边6厘米，则
1
体积为： 3.14626226.08（立方厘米）。
3
1．纯鲜果汁厂新开发一款果汁，设计师设计了两款包装盒，一款为圆柱形桶装，桶的底面半径为 0.5
分米，高为2分米；另一款为长方体盒装，盒子长1分米、宽0.5分米、高2分米。
（1）如果采用同样的材料制作，（不考虑接口处损耗）两种包装各需要多大面积的材料？
（2）只考虑容积和包装材料，哪种包装方式更省材料？请说明理由。
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【答案】（1）7.85平方分米；7平方分米；
（2）圆柱形；理由见解析
【分析】（1）根据圆柱的表面积公式：表面积＝底面积×2＋侧面积，长方体的表面积公式：表面积＝
（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，分别求出圆柱形桶包装的面积和长方体盒装的面积，再进
行比较，即可解答。
（2）根据圆柱的体积底面积高，长方体的体积长宽高，分别求出两种包装的体积；然后用表
面积体积，分别求出两种包装每立方分米需要的材料，进而确定更省材料的一种包装。
【详解】（1）3.14×0.52×2＋3.14×0.5×2×2
＝3.14×0.25×2＋1.57×2×2
＝0.785×2＋3.14×2
＝1.57＋6.28
＝7.85（平方分米）
（1×0.5＋1×2＋0.5×2）×2
＝（0.5＋2＋1）×2
＝（2.5＋1）×2
＝3.5×2
＝7（平方分米）
答：圆柱形桶装包装需要7.85平方分米，长方体盒装包装需要7平方分米。
（2）3.14×0.52×2
＝3.14×0.25×2
＝0.785×2
＝1.57（立方分米）
1×0.5×2
＝0.5×2
＝1（立方分米）
7.851.575（平方分米）
717（平方分米）
7平方分米5平方分米，圆柱形桶装包装更省材料。
答：圆柱形桶装包装的更省材料。
2．学校为实验室配备了一只高 50厘米，直径40厘米的无盖圆柱形铁皮水桶。做这样一只水桶大约
需要多少平方分米的铁皮？（保留整十数）
【答案】80平方分米
【分析】由题意可知，铁皮水桶是无盖的，所以铁皮面积就是圆柱的侧面积加上一个底面积，根据公
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式：S ＝πdh，S ＝πr2，据此进行计算即可。
侧面积 圆
【详解】3.14×40×50＋3.14×（40÷2）2
＝3.14×40×50＋3.14×400
＝6280＋1256
＝7536（平方厘米）
7536平方厘米＝75.36平方分米≈80平方分米
答：做这样一只水桶大约需要 80平方分米的铁皮。
1．挖一个圆柱形水池，底面直径是 4米，深3米。在池的周围和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多
少平方米？这个水池可储水多少升？
【答案】50.24平方米；37680升
【分析】水池没有上面的面，抹水泥的面积＝底面积＋侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，根据圆柱
体积＝底面积×高，求出储水量，注意统一单位。
【详解】3.14×（4÷2）2＋3.14×4×3
＝3.14×22＋37.68
＝3.14×4＋37.68
＝12.56＋37.68
＝50.24（平方米）
3.14×（4÷2）2×3
＝3.14×22×3
＝3.14×4×3
＝37.68（立方米）
＝37680（升）
答：抹水泥的面积是50.24平方米，这个水池可储水37680升。
4
2．王师傅用铁皮做了一个无盖的圆柱形水桶，底面直径是10分米，高是底面直径的 。做这个水桶
5
至少需要铁皮多少平方分米？这个水桶最多能装水多少升？
【答案】329.7平方分米；628升
【分析】将底面直径看作单位“1”，底面直径×高的对应分率＝高，无盖的圆柱形水桶没有上面的面，
需要的铁皮面积＝底面积＋侧面积，侧面积＝底面周长×高；根据圆柱体积＝底面积×高，求出水桶
容积即可。
4
【详解】10× ＝8（分米）
5
10÷2＝5（分米）
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3.14×52＋3.14×10×8
＝3.14×25＋251.2
＝78.5＋251.2
＝329.7（平方分米）
3.14×52×8
＝3.14×25×8
＝628（立方分米）
＝628（升）
答：做这个水桶至少需要铁皮 329.7平方分米，这个水桶最多能装水628升。
1．一圆锥形谷堆的底面周长为 18.84米，高1.5米。
（1）这堆谷子有多少立方米？
（2）如果每立方米谷子的质量为 700千克，这堆谷子的质量是多少千克？
【答案】（1）14.13立方米；（2）9891千克
【分析】（1）根据底面周长公式：C＝2πr，用18.84÷2÷3.14求出谷堆的底面半径，然后利用圆锥的体
1
积计算公式V＝ πr2h，代入数据求得这堆谷子的体积；
3
（2）用这堆稻谷的体积乘700即可求出这堆稻谷的重量。
【详解】（1）稻谷堆的体积：
1
3.14(18.843.142)21.5
3
1
3.14321.5
3
1
3.1491.5
3
14.13（立方米）
答：这堆谷子有 14.13立方米。
（2）稻谷的重量：
14.137009891（千克）
答：这堆稻谷重 9891千克。
2．在建筑工地上有一个近似于圆锥形状的沙堆，测得底面直径 4米，高1.5米。每立方米沙大约重
1.5吨，这堆沙约重多少吨？
178
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【答案】9.42吨
【分析】根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出沙堆体积，沙堆体积×每立方米吨数＝这堆沙的吨数，据
此列式解答。
【详解】3.14×（4÷2）2×1.5÷3×1.5
＝3.14×22×1.5÷3×1.5
＝3.14×4×1.5÷3×1.5
＝6.28×1.5
＝9.42（吨）
答：这堆沙约重 9.42吨。
1．把一个圆柱沿底面直径竖直切成四块（如图1），表面积增加了48平方厘米；平行于底面切成三
块（如图2），表面积增加了50.24平方厘米；削成一个最大的圆锥（如图3），体积减少了多少立
方厘米？
【答案】25.12立方厘米
【分析】图1从“沿底面直径竖直切”可知，表面积增加了 4个长方形的面积，用48÷4即可求出一个长
方形的面积。图2从“平行于底面切”可知，表面积增加了4个圆柱的底面面积，用50.24÷4即可求出
一个底面积。根据圆面积：S＝πr2，可推出半径，再根据直径×高＝长方形的面积，求出圆柱的高。
2
图3从“削成一个最大的圆锥”可知，圆柱与圆锥等底等高，那么削去的体积就是圆柱体积的 。据此
3
解答。
【详解】长方形的面积：48÷4＝12（平方厘米）
底面积：50.24÷4＝12.56（平方厘米）
12.56÷3.14＝4
因为4＝2×2，
179
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所以半径是2厘米。
高：
12÷（2×2）
＝12÷4
＝3（厘米）
减少的体积：
1
12.56×3×（1－ ）
3
2
＝37.68×
3
25.12（立方厘米）
答：体积减少了25.12立方厘米。
【点睛】本题主要考查圆柱两种不同切法引起表面积的增加情况。解答此题的关键是根据增加的面积
求出这个圆柱的底面的半径和高。
2．如图，一个底面半径为5分米、高为8分米的圆柱，可以横着切成两半，也可以竖着切成两半，
怎样切成两块后的表面积大？请你试着计算说明。
【答案】纵切成两块后的表面积大；计算说明见详解
【分析】根据题意可知，横切后表面积增加两个底面的面积，纵切后表面积增加两个纵切面的面积，
每个纵切面的长等于圆柱的底面直径，宽等于圆柱的高，根据圆的面积公式：
S
r2，长方形的面积
公式：S ab，把数据代入公式求出一个横切面、一个纵切面的面积，然后进行比较即可。
【详解】横切面的面积：
3.1452
3.1425
78.5（平方分米）
纵切面的面积：
528
108
80（平方分米）
8078.5
答：纵切成两块后的表面积大。
【点睛】此题主要考查圆的面积公式、长方形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
180
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3．在探究圆柱体积公式的过程中，宁宁把一个圆柱的底面分成若干个相等的小扇形，然后把圆柱切
开，拼成一个近似的长方体（如图），拼成的近似长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了 200
平方厘米。已知圆柱的高是 10厘米，则圆柱的体积是多少？
【答案】3140立方厘米
【分析】
根据题意，把一个圆柱切拼成一个近似长方体，那么近似长方体的长等于圆柱底面周长的一半，长方
体的宽等于圆柱的底面半径，长方体的高等于圆柱的高，长方体的体积等于圆柱的体积。拼成的长方
体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积（即长方体的左右面）；这两个长方形的宽等于圆柱
的底面半径，长方形的长等于圆柱的高；已知表面积增加了200平方厘米，先用增加的表面积除以 2，
求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径。最后根据圆柱的体积公式 V＝πr2h，
求出圆柱的体积。
【详解】圆柱的底面半径：
200÷2÷10＝10（厘米）
圆柱的体积：
3.14×102×10
＝3.14×100×10
＝3140（立方厘米）
答：圆柱的体积是 3140立方厘米。
4．把一个圆锥沿着高切开，得到两个如图所示的物体，表面积比原来增加了24平方厘米。圆锥的高
是6厘米，那么圆锥的体积是多少立方厘米？
【答案】25.12立方厘米
【分析】把一个圆锥沿着高切开，增加两个等腰三角形，等腰三角形的底＝圆锥底面半径，等腰三角
形的高＝圆锥的高，增加的表面积÷2＝一个等腰三角形的面积，根据三角形的底＝面积×2÷高，求出
1
圆锥底面半径，再根据圆锥体积＝底面积×高× ，列式解答即可。
3
【详解】24÷2＝12（平方厘米）
12×2÷6＝4（厘米）
181
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1
3.14(42)26
3
1
3.14226
3
1
3.1446
3
25.12（立方厘米）
答：圆锥的体积是 25.12立方厘米。
1．把一个圆维的底面半径按 1∶3的比缩小，高不变。缩小后圆锥体积与原来圆锥的体积比是
( )∶( )。
【答案】 1 9
1
【分析】设原来圆锥的底面半径是 r，高是h，则它的体积是 πr2h，半径按1∶3的比缩小，求出缩小
3
后的体积，再求二者之比。
1
【详解】设原来圆锥的底面半径是 r，高是h，则它的体积是 πr2h；
3
1 1 1 1
缩小后的半径为 r，高还是h，体积变为 π（ r）2h＝ πr2h，
3 3 3 27
1 1 1
πr2h∶ πr2h＝
27 3 9
把一个圆维的底面半径按1∶3的比缩小，高不变。缩小后圆锥体积与原来圆锥的体积比是 1∶9。
2．两个圆柱的高相等，底面半径的比是 2∶5，两个圆柱的底面积比是( )，侧面积比是
( )，体积比是( )。
【答案】 4∶25 2∶5 4∶25
【分析】假设两个圆柱的高都是 h，底面半径的比是2∶5，分别将底面半径看作2和5，根据圆柱底
面积＝πr2，圆柱侧面积＝底面周长×高，圆柱体积＝底面积×高，分别表示出两个圆柱的底面积、侧
面积、体积，写出它们的底面积比、侧面积比、体积比，化简即可。
【详解】假设两个圆柱的高都是 h。
底面积比：（π×22）∶（π×52）＝4∶25
侧面积比：（2×π×2×h）∶（2×π×5×h）＝2∶5
体积比：（π×22×h）∶（π×52×h）＝4∶25
两个圆柱的底面积比是4∶25，侧面积比是2∶5，体积比是4∶25。
【点睛】关键是理解比的意义，掌握并灵活运用圆柱侧面积和体积公式。
3．一个圆柱和一个圆锥高的比是 2∶3，底面半径的比是5∶7，则该圆柱与圆锥底面周长比是
( )，底面积比是( )，体积比是( )。
【答案】 5∶7 25∶49 50∶49
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1
【分析】圆柱的体积计算公式“V＝πr2h”、圆锥体积计算公式“V＝ πr2h”，设圆锥的高为h，则圆柱的
3
2 5
高为 h，圆锥的底面半径为 r，则圆柱的底面半径为 r。分别求出圆柱、圆锥的底面周长、底面积、
3 7
体积，然后根据比的意义，即可分别写出圆柱、圆锥底面积周长、底面积、体积的比，再化成最简整
数比。
5
【详解】（2π× r）∶（2πr）
7
5
＝ r∶r
7
5
＝（ r÷r）∶（r÷r）
7
5
＝
7
＝5∶7
5
[π×（ r）2]∶πr2
7
25
＝ πr2∶πr2
49
25
＝（ πr2÷π2h）∶（πr2÷π2h）
49
25
＝
49
＝25∶49
5 2 1
[π×（ r）2× h]∶ π2h
7 3 3
25 2 1
＝[π×（ r2× h]∶ π2h
49 3 3
50 1
＝ π2h∶ πr2h
147 3
50 1
＝（ π2h÷π2h）∶（ πr2h÷π2h）
147 3
50 1
＝ ∶
147 3
50 1
＝（ ×3）∶（ ×3）
147 3
50
＝
49
＝50∶49
圆柱与圆锥底面周长比是5∶7，底面积比是25∶49，体积比是50∶49。
【点睛】解答此题的关键是圆柱体积计算公式、圆锥体积计算公式的灵活运用。本题考查的知识点：
圆面积的计算、圆周长的计算、圆柱体积的计算、圆锥体积的计算、比的意义及化简。
4．一个圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大( )倍；如果圆柱的高不变，半径扩大 3
倍，体积扩大( )倍。
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【答案】 3 9
【分析】根据圆柱体积=r2h，其中r表示底面圆半径，h为高；根据公式代入数据可计算出答案。
【详解】圆柱的高扩大3倍，底面半径不变，体积扩大3倍；如果圆柱的高不变，半径扩大3倍，体
积扩大32 9倍。
5．一个圆锥的半径扩大4倍，高不变，它的体积扩大( )倍。
【答案】16
1
【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高× ；设扩大前圆锥的半径为1，扩大后的半径为 1×4
3
＝4，高为h；代入圆锥公式，求出扩大前和扩大后圆锥的体积，再用扩大后圆锥的体积除以扩大前
圆锥的体积，即可解答。
【详解】设扩大前圆锥的半径为 1，则扩大后圆锥的体积为1×4＝4，高为h。
1 1
（3.14×42×h× ）÷（3.14×12×h× ）
3 3
1 1
＝（3.14×16×h× ）÷（3.14×1×h× ）
3 3
50.24 3.14
＝ h÷ h
3 3
＝16
一个圆锥的半径扩大4倍，高不变，它的体积扩大16倍。
【点睛】熟练掌握圆锥的体积公式是解答本题关键。
1．一个长方体木块，长为10分米、宽为8分米、高为6分米，把它削成一个最大的圆柱。几种切割
方法中体积最大是多少？
【答案】301.44立方分米
【分析】根据长方体切割出最大圆柱的特点可知，有3种切割方法：（1）以8分米为底面直径，以6
分米为圆柱高；（2）以6分米为底面直径，10分米为高；（3）以6分米为底面直径，8分米为高；
由此利用圆柱的体积公式计算出它们各自的体积，即可求得这个圆柱的最大体积是多少。
【详解】（1）以8分米为底面直径，以6分米为圆柱高；
体积为：
2
8
3.14× ×6
2
＝3.14×42×6
＝3.14×16×6
＝50.24×6
＝301.44（立方分米）
184
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（2）以6分米为底面直径，10分米为高；
2
6
3.14× ×10
2
＝3.14×32×10
＝3.14×9×10
＝28.26×10
＝282.6（立方分米）
（3）以6分米为底面直径，8分米为高；
2
6
3.14× ×2
2
＝3.14×32×2
＝3.14×9×8
＝28.26×8
＝226.08（立方分米）
301.44＞282.6＞226.08，301.44最大
答：这个最大圆柱的体积是 301.44立方分米。
2．有块正方体的木料，它的棱长是 6分米。把这块木料加工成一个圆锥。这个圆锥的体积最大是多
少？
【答案】56.52立方分米
【分析】根据题意和图形可知，要把正方体的木料加工成一个最大的圆锥，那么这个圆锥的底面直径
和高都等于正方体的棱长；
1
根据圆锥的体积公式V＝ πr2h，代入数据计算，即可求出这个圆锥的体积。
3
【详解】6÷2＝3（分米）
1
×3.14×32×6
3
1
＝ ×3.14×9×6
3
＝56.52（立方分米）
答：这个圆锥的体积最大是 56.52立方分米。
3．一个长16厘米，宽14厘米，高9厘米的长方体木料，把它加工成一个圆锥体（不能拼接），这
个圆锥体体积最大是多少立方厘米？
185
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【答案】461.58立方厘米
【分析】把这个长方体木料加工成一个圆锥体有三种情况：一种是以长、宽所在的面为底面，并且以
宽为底面直径，以长方体的高为高的圆锥体；一种是以宽、高所在的面为底面，并且以高为底面直径，
以长方体的长为高的圆锥体；一种是以长、高所在的面为底面，并且以高为底面直径，以长方体的宽
1
为高的圆锥体；利用“V r2h”分别求出三个圆锥的体积，最后比较大小，据此解答。
3
1
【详解】① 14229
3
1
＝ 729
3
1
＝ 972
3
＝372
＝147
＝147×3.14
＝461.58（立方厘米）
1
② 92216
3
1
＝ 4.5216
3
1
＝ 20.2516
3
＝6.7516
＝108
＝108×3.14
＝339.12（立方厘米）
1
③ 92214
3
1
＝ 4.5214
3
1
＝ 20.2514
3
＝6.7514
＝94.5
＝94.5×3.14
＝296.73（立方厘米）
因为461.58立方厘米＞339.12立方厘米＞296.73立方厘米，所以圆锥的体积最大是461.58立方厘米。
答：这个圆锥体体积最大是 461.58立方厘米。
【点睛】确定圆锥的底面直径和高并掌握圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。
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1．一个圆锥的体积是 24cm3，底面积是12cm2，这个圆锥的高是( )cm，与这个圆锥等底等高
的圆柱的体积是( )cm3。
【答案】 6 72
1
【分析】根据圆锥的体积公式：V＝ Sh，则h＝3V÷S，据此计算即可；与这个圆锥等底等高的圆柱
3
的体积是圆锥的 3倍，据此解答。
【详解】24×3÷12
＝72÷12
＝6（cm）
24×3＝72（cm3）
则一个圆锥的体积是24cm3，底面积是12cm2，这个圆锥的高是6cm，与这个圆锥等底等高的圆柱的
体积是72cm3。
2．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积之和是 32立方厘米，圆锥的体积是( )。
【答案】8立方厘米/8cm3
【分析】等底等高的圆柱和圆锥的体积比是3∶1，也就是圆柱是3份，圆锥是l 份，总共是4 份是32
立方厘米，每一份是（32÷4＝8）立方厘米，据此解答。
【详解】等底等高的圆柱和圆锥的体积比是 3∶1，
32÷（3＋1）
＝32÷4
＝8（立方厘米）
则圆锥的体积是 8立方厘米。
3．一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积差是800立方厘米，那么圆柱的体积是( )立
方厘米，圆锥的体积是( )立方厘米。
【答案】 1200 400
【分析】因为圆锥和圆柱等底等高，所以圆柱的体积是圆锥体积的3倍，即相差的是圆锥体积的 2倍，
也就是800立方厘米是2个圆锥的体积，用除法求出圆锥的体积，再乘3求出圆柱的体积。
【详解】因为圆锥和圆柱等底等高，所以圆柱的体积是圆锥体积的3倍，即相差的是圆锥体积的 2倍，
则圆锥体积为：
800÷（3-1）
＝800÷2
＝400（立方厘米）
400×3＝1200（立方厘米）
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圆柱的体积是（1200）立方厘米，圆锥的体积是（400）立方厘米。
【点评】明确等底等高的圆柱体积和圆锥体积之间的数量关系是解答的关键。
1．有一块棱长是 12厘米的正方体铁块，要把它熔化后做成长方体，已知长方体的长24厘米，宽18
厘米，高是多少厘米？
【答案】4厘米
【分析】根据题意，把一块正方体铁块熔化后做成长方体，则正方体、长方体的体积相等；先根据正
方体的体积公式 V＝a3，求出铁块的体积；再根据长方体的体积公式V＝abh，得出h＝V÷a÷b，据此
求出长方体的高。
【详解】铁块的体积：
121212
14412
1728（立方厘米）
长方体的高：
17282418
7218
4（厘米）
答：高是4厘米。
2．一个无盖的圆柱形小水桶，底面直径是 2分米，高是3分米，制作这样一个水桶至少需要多少平
方分米的铁皮？若水桶装满水后再放入一个和圆柱等底等高的圆锥形铁块（铁皮厚度忽略不计），则
水会溢出多少升？
【答案】21.98平方分米；3.14升
【分析】已知水桶无盖，需要铁皮的面积＝这个圆柱的侧面积＋一个底面的面积，根据圆柱的侧面积
公式：S dh，圆的面积公式：
S
r2，把数据代入公式求出需要铁皮的面积；等底等高的圆锥的体
1
积是圆柱体积的 ，所以把圆锥放入盛满水的水桶中，溢出水的体积就等于这个圆锥的体积，根据圆
3
1
锥的体积公式：V r2h，把数据代入公式解答。
3
【详解】3.14233.14(22)2
6.2833.141
18.843.14
21.98（平方分米）
1
3.14(22)23
3
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1
3.1413
3
3.14（立方分米）
3.14立方分米3.14升
答：做这个水桶至少需要铁皮 21.98平方分米，水会溢出3.14升。
3．如图，将甲容器装满水后，全部倒入空的乙容器中。已知乙容器的水深 5厘米，它的底面积是多
少平方厘米？（容器厚度忽略不计）
【答案】113.04平方厘米
【分析】根据题意甲容器的体积等于乙容器水的体积。甲容器是一个圆锥，底面半径是 6厘米，高是
1
15厘米，根据圆锥的体积公式：V r2h得出水的体积。乙是一个圆柱形，水也是一个圆柱形，即
3
根据圆柱的体积公式：V Sh，其中h是5厘米，且S V h，把数据代入公式解答。
1
【详解】 3.1462155
3
1
3.1436155
3
3.143655
3.1436
113.04（平方厘米）
答：它的底面积是 113.04平方厘米。
4．学校修缮运动场买来一些河沙，堆成了一个底面半径1.5米，高1.2米的近似圆锥形。将这些沙均
匀的铺在长4米，宽1.57米的长方体沙坑里，可以铺多厚？
【答案】0.45米
1
【分析】根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高× ，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积；由于体积
3
不变，圆锥形沙堆的体积＝长方体沙堆的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×高；高＝体积÷
（长×宽），代入数据，即可解答。
1
【详解】3.14×1.52×1.2× ÷（4×1.57）
3
1
＝3.14×2.25×1.2× ÷6.28
3
1
＝7.065×1.2× ÷6.28
3
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1
＝8.478× ÷6.28
3
＝2.826÷6.28
＝0.45（米）
答：可以铺0.45米厚。
5．一瓶葡萄酒，瓶子的容积是 1050 立方厘米，瓶子中酒深 15 厘米，乐乐拧紧瓶盖后把瓶子倒置、
放平，这时无酒部分的高度为 6厘米。瓶中有多少毫升的葡萄酒？
【答案】750毫升
【分析】根据题意可知，无论是正放还是倒放，瓶子里酒的体积不变，由此可知，瓶子的容积相当于
是以瓶子的底面为底面，高是（15＋6）厘米的圆柱的体积，根据圆柱的体积公式：V Sh，那么S V h，
据此求出瓶子的底面积，进而求出瓶子中酒的体积，最后将单位换算为毫升即可，1毫升＝1立方厘
米。
【详解】1050156
105021
50（平方厘米）
5015750（立方厘米）
750立方厘米＝750毫升
答：瓶中有750毫升的葡萄酒。
1．一个长方体水箱，从里面量长是 40厘米，宽是35厘米，水箱中浸没一个钢球（水未溢出），水
深15厘米。取出钢球后，水深12厘米。如果每立方分米钢重8千克，这个钢球重多少千克？
【答案】33.6千克
【分析】水面下降的体积就是钢球的体积，钢球体积＝水箱长×宽×水面下降高度，根据1立方分米＝
1000立方厘米，统一单位，钢球体积×每立方分米质量＝这个钢球的质量，据此列式解答。
【详解】40×35×（15－12）
＝40×35×3
＝1400×3
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＝4200（立方厘米）
＝4.2（立方分米）
4.2×8＝33.6（千克）
答：这个钢球重 33.6千克。
2．一个棱长是5分米的正方体容器，里面注入水后，水面升至3分米处，放入一块石头后，水面上
升到3.6分米。求这块石头的体积。
【答案】15立方分米
【分析】放入石头水面上升的体积就是石头的体积，正方体容器的棱长×棱长×水面上升的高度＝石头
的体积，据此列式解答。
【详解】3.6－3＝0.6（分米）
550.6
250.6
15（立方分米）
答：这块石头的体积15立方分米。
3．有一个内里棱长为6分米的正方体玻璃水缸，里面水深5.5分米。放入一个假山后，水缸里的水
溢出了2升，这个假山的体积是多少？
【答案】20立方分米
【分析】假山的体积＝玻璃水缸空余容积＋溢出的水的体积，玻璃水缸空余容积＝水缸底面积×（正方
体棱长－水深），据此列式解答。
【详解】2升＝2立方分米
6×6×（6－5.5）＋2
＝6×6×0.5＋2
＝18＋2
＝20（立方分米）
答：这个假山的体积是20立方分米。
4．一个无盖圆柱形容器，底面直径是20厘米，高30厘米，装有24厘米高的水，将一个石块放入水
中（完全浸没），水面上升到了27厘米。这个石块的体积是多少立方厘米？（容器的厚度忽略不计）
【答案】942立方厘米
【分析】这块石头的体积等于上升的这部分水的体积，根据圆柱的体积＝底面积×高，用圆柱的底面积
乘水上升的高度，所得结果即为这个石块的体积。
【详解】3.14(202)2(2724)
3.141023
3.141003
191
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3143
942（立方厘米）
答：这个石块的体积是942立方厘米。
5．一个圆柱形水槽里面盛有 10厘米深的水，水槽的内底面半径是 20厘米，将一块正方体铁块放入
水槽并完全浸没在水中，这时水面上升了0.5厘米，若把这个正方体铁块锻造成底面半径为 5厘米的
圆柱，这个圆柱的高是多少厘米？
【答案】8厘米
【分析】
水面上升的体积就是正方体铁块的体积，圆柱底面半径×水面上升的高度＝正方体铁块的体积，再根
据圆柱的高＝体积÷底面积，列式解答即可。
【详解】3.14×202×0.5÷（3.14×52）
＝3.14×400×0.5÷（3.14×25）
＝628÷78.5
＝8（厘米）
答：这个圆柱的高是8厘米。
1．下图是爸爸的工具箱，它的下半部分是棱长20厘米的正方体，上半部分是圆柱的一半，请你算出
工具箱的表面积。
【答案】2942平方厘米
【分析】圆柱中半圆的直径等于正方体的棱长，上半部分的面积＝圆柱侧面积的一半＋一个圆的面积，
下半部分的面积等于正方体 5个面的面积，工具箱的表面积＝上半部分的面积＋下半部分的面积，据
此解答。
【详解】3.14×20×20÷2＋3.14×（20÷2）2＋20×20×5
＝3.14×20×20÷2＋3.14×100＋20×20×5
＝62.8×20÷2＋314＋400×5
＝628＋314＋2000
＝942＋2000
192
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＝2942（平方厘米）
答：工具箱的表面积是2942平方厘米。
【点睛】灵活运用正方体和圆柱体的表面积计算公式是解答题目的关键。
2．三个半径分别是 3cm，2cm，1cm，高都是2cm 的圆柱体，粘接成如图的立体图形，则表面积是
多少平方分米？
【答案】1.3188平方分米
【分析】这个立体图形的表面积包含最下面圆柱的完整表面积，中间圆柱的侧面积和上边圆柱的侧面
积，据此列式解答。
【详解】3.14×32×2＋3.14×3×2×2＋3.14×2×2×2＋3.14×1×2×2
＝56.52＋37.68＋25.12＋12.56
＝131.88（平方厘米）
＝1.3188平方分米
答：表面积是1.3188平方分米。
【点睛】本题考查了组合体的表面积，所有上面的面都可以平移到大圆柱的上面，组成完整的大圆柱
表面积。注意单位的换算。
3．把一个底面直径是 8cm、高是12cm 的圆柱沿底面直径劈开,得到如下图所示的图形。请你计算出
这个图形的表面积。
【答案】296.96cm2
【详解】3.14×8×12÷2+3.14×(8÷2)2÷2×2+12×8=296.96(cm2)
1．2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F 遥十六运载火箭在酒泉卫星
发射中心发射升空，整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。下图是
实验小学科学小组制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不计，该整流罩的容积是多
少立方分米？
193
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【答案】175.84立方分米
1
【分析】根据圆锥的容积公式：V r2h，圆柱的容积公式：V r2h，把数据代入公式求出它们的容
3
积和即可。
1
【详解】 ×3.14×（4÷2）2×（18－12）＋3.14×（4÷2）2×12
3
1
＝ ×3.14×4×6＋3.14×4×12
3
1
＝3.14×4×（6× ）＋12.56×12
3
＝12.56×2＋150.72
＝25.12＋150.72
＝175.84（立方分米）
答：该整流罩的容积是175.84立方分米。
2．高铝砖是一种新型材料烧制成的建筑材料，具有耐高温的优点，经常用于高温窑炉内衬和作为装
饰材料等。下面是某公司生产的一种高铝砖的样式图。这样一块高铝砖的体积是多少立方厘米？
【答案】156250立方厘米
【分析】
观察图形可知，高铝砖的体积＝长为（25＋25＋25）厘米、宽为50厘米、高50厘米的长方体的体积
－长为25厘米、宽为50厘米、高为（50－25）厘米的长方体的体积，根据长方体的体积公式 V＝abh，
代入数据计算求解。
【详解】（25＋25＋25）×50×50－（50－25）×25×50
＝75×50×50－25×25×50
＝187500－31250
＝156250（立方厘米）
答：这样一块高铝砖的体积是 156250立方厘米。
194
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3．下图是李师傅从一个长6厘米、宽1厘米、高3厘米的长方体铁块的左右两个角各切掉一个正方
体后，加工成的一种零件。若每立方厘米铁重7.8克，那么这个零件重多少克？
【答案】124.8克
【分析】观察图形可知，切掉的两个正方体的棱长都是 1厘米。先用原来长方体铁块的体积减去切掉
的2个正方体的体积求出这个零件的体积，再用每立方厘米铁的重量乘零件的即可求出零件的重量。
长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。
【详解】6×1×3－1×1×1×2
＝18－2
＝16（立方厘米）
7.8×16＝124.8（克）
答：这个零件重 124.8克。
【点睛】本题主要考查长方体和正方体体积的应用。理解题意后，灵活运用体积公式是解题的关键。
4．求下面图形的表面积和体积。（单位：cm）
【答案】表面积∶675.36cm2
体积∶924.64cm3
【分析】观察图形可知，组合图形的表面积是由大正方体的表面积加上里面圆柱的侧面积组成，根据
大正方体的面积公式：S＝ 6a2，圆柱侧面积公式：S＝πRh 列式计算即可；组合图形的体积由大正方
体体积减去圆柱的体积，根据大正方体的体积公式：V＝a3，圆柱的体积公式：V＝πr2h列式计算即
可。
【详解】表面积＝大正方体的表面积＋圆柱的侧面积，
10×10×6＋3.14×4×6
=600+75.36
＝675.36（cm2）；
体积＝大正方体体积－圆柱的体积，
10×10×10－3.14×（4÷2）2×6
195
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=1000-75.36
＝924.64（cm3）。
故答案为：表面积∶675.36cm2
体积∶924.64cm3
【点睛】本题主要是考查正方体，圆柱表面积体积的灵活运用，关键是熟记公式。
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第八模块 图形变换与位置方向【十八大考点】
1．下列交通标识中，轴对称图形有( )。
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图
形。据此判断即可。
【详解】 和 是轴对称图形。所以轴对称图形有2个。
故答案为：C
【点睛】本题主要考查轴对称图形的意义，掌握轴对称图形的意义是解题关键。
2．李浩民把一张圆纸片对折后，按照下图样子挖去数字“2”，再把圆形纸片展开，得到的轴对称图形
是( )。
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据轴对称图形的意义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形
叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此解答。
【详解】A． ，不是轴对称图形；不符合题意；
B． ，是轴对称图形，与原图中的“2”相反，不符合题意；
C． ，不是轴对称图形，不符合题意；
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D． ，是轴对称图形，与原题中的“2”相同，符合题意。
李浩民把一张圆纸片对折后，按照下图样子挖去数字“2”，再把圆形纸片展开，得到的轴对称图形是
。
故答案为：D
【点睛】熟练掌握轴对称图形的意义是解答本题的关键。
3．下列图形中( )的对称轴最多。
A．长方形 B．正方形 C．圆形 D．等边三角形
【答案】C
【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都
能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴；据此解题即可。
【详解】A．长方形有2条对称轴；
B．正方形有4条对称轴；
C．圆有无数条对称轴；
D．等边三角形有 3条对称轴。
故答案为：C
【点睛】本题考查图形的对称轴的数量，根据轴对称图形和对称轴的概念解答。
1．从镜子里看到的钟面如图，正确的时间是( )。
A．4时 B．8时
C．12时 D．5时
【答案】B
【分析】在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称，据此解答即可。
【详解】由分析可知：
从镜子里看到的钟面显示的时间是 4时，则实际时间为8时。
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故答案为：B
【点睛】本题考查轴对称图形，明确轴对称图形的特点是解题的关键。
2．将一张正方形纸依次按照图 1、图2所示的方式对折，然后沿着图3中的虚线剪去，则将图3中
正方形纸展开铺平后的图案是( )。
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】找一张正方形纸，按照图中的顺序先向上对折，再向右对折，按位置剪去画的虚线的形状，
然后展开即可。
【详解】经过动手操作，这个缺口应该在正方形的中间，所以 A，B 肯定错误；剪的是斜切口，与正
方形的边不平行，所以D选项错误。
故答案为：C
【点睛】此题主要考查了剪纸问题，解答此题的关键是根据折纸的方式及剪的位置进行动手操作，可
以直观的得到答案。
3．点A和点B 是轴对称图形上的对称点，点A到对称轴的距离是3厘米，点A和点B 之间的距离
是( )厘米。
【答案】6
【分析】轴对称图形上的对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，所以两个对称点
的距离是对称点到对称轴距离的两倍，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，点A和点B 是轴对称图形上的对称点，点A到对称轴的距离是3厘米，点A
和点B 之间的距离是6厘米。
【点睛】本题主要考查学生对轴对称图形的认识及特征的掌握和灵活运用。
1．画出下面图形的一条对称轴。
【答案】见详解
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【分析】画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。（2）连结对称点。（3）画出对
称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。
【详解】
（第1、2幅图画出其中一条对称轴即可）
2．按要求画一画。
画出图形A的对称轴；以虚线为对称轴，画出图形 B 的轴对称图形。
【答案】见详解
【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，
这条直线就是对称轴。根据轴对称图形的意义，画出图形 A的对称轴。
根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，找到图形B 的各顶点关于对称轴的对称点后，
依次连接各点得到图形B 的轴对称图形。
【详解】如图：
1．钥匙开锁时钥匙的转动属于( )现象；小明将沙发沿着墙推动，沙发的运动属于( )
现象。（填“平移”或“旋转”）
【答案】 旋转 平移
【分析】在平面内，把一个图形围绕某一固定点或某条轴按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过
程，称为旋转；在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移。
200
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钥匙开锁时，钥匙绕着一条线在转动，属于旋转现象；小明将沙发沿着墙推动，沙发沿着墙所在的这
条直线运动，属于平移现象。
【详解】钥匙开锁时钥匙的转动属于旋转现象；小明将沙发沿着墙推动，沙发的运动属于平移现象。
2．查找地球仪上不同国家的位置时，地球仪在( )；从上往下刷漆时，刷子在( )。（“平
移”或“旋转”）
【答案】 旋转 平移
【分析】平移：在平面内，把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定距离的过程，称为平移。
旋转：在平面内，把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程，称为旋
转。
【详解】查找地球仪上不同国家的位置时，地球仪在旋转；从上往下刷漆时，刷子在平移。
1．看图填一填。
小船先向( )平移( )格，再向( )平移( )格。
【答案】 右 10 下 3
【分析】根据小船上对应点移动的方向和格数来确定小船移动的方向和格数。
【详解】
小船先向右平移 10格，再向平移3格。
【点睛】熟练掌握平移的特征是解答本题的关键。
2．看图填空。
201
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图形①向( )平移( )格得到图形②的位置。图形③向( )平移( )格得到
图形②的位置。
【答案】 右 4 上 4
【分析】先确定平移的方向，然后平移前图形的一个顶点，找到这个顶点在平移后图形中的对应顶点，
数出两顶点之间的方格数，由几个方格，就平移了几格，据此解答。
【详解】由分析可知，图形①向右平移4格得到图形②的位置。图形③向上平移4格得到图形②的位
置。
【点睛】本题主要考查图形的平移。
1．从5：15到5：45，分针绕钟面中心按( )时针方向旋转了( )度。
【答案】 顺 180
【分析】我们规定钟表旋转的方向就是顺时针方向；钟面圆周一周是360度，分针60分转一周，那么
每分钟转：360÷60＝6度；计算从5：15到5：45经过了多少分钟，分针旋转的角度等于经过的分钟
数乘每分钟旋转的度数，据此解答。
【详解】360÷60＝6（度）
5：45－5：15＝30（分）
30×6＝180（度）
因此从5：15到5：45，分针绕钟面中心按顺时针方向旋转了180度。
2．下图中的图①绕O点( )时针旋转( )度就正好能与图②完全重合。
【答案】 逆 90
【分析】决定旋转后图形的位置的要素：一是旋转中心或轴，二是旋转方向（顺时针或逆时针），三
是旋转角度，据此解答。
【详解】由分析可得：图①绕O点逆时针旋转 90度就正好能与图②完全重合。
3．如下图，空白三角形绕点 O顺时针旋转( )°得到灰色三角形。
202
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【答案】90
【分析】在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，
旋转方向和钟表的指针旋转方向相同，叫顺时针旋转，旋转方向和钟表的指针旋转方向相反，叫逆时
针旋转；据此可知，空白三角形绕点 O顺时针旋转 90°得到灰色三角形。
【详解】由分析可知：
空白三角形绕点 O顺时针旋转90°得到灰色三角形。
1．画出图形②先向下平移3格后的图形，再向右平移5格后的图形。
【答案】见详解
【分析】将图形的四个顶点分别向下数 3格，再向右移动5格，得到新的四个顶点位置，依次连接可
得出平移后的图形。
【详解】
2．（1）把△先向东平移3格，再向北平移2格，画出平移后的图形。
（2）把〇先向北平移5格，再向西平移1格，画出平移后的图形。
203
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【答案】见详解
【分析】（1）图上方位是上北下南，左西右东，把△先向东平移3格，再向北平移2格，也就是把△
移到右边3格，上边2格位置，据此画出△即可；
（2）把〇先向北平移5格，再向西平移1格，也就是把〇移到上边5格，左边1格位置，据此画出〇
即可。
【详解】（1）（2）见下图：
1．请在下面方格纸上画一个以 A点为顶点的三角形，使它的面积与长方形面积相等；再以A 为中心
顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。（每个方格都是边长1厘米的正方形）
【答案】见详解
【分析】根据长方形的面积公式：S＝ab，据此求出长方形的面积，即3×2＝6平方厘米；再根据三角
形的面积公式：S＝ah÷2，因为4×3÷2＝6平方厘米，则画一个底为4厘米，高为3厘米的三角形即
可；把三角形绕点 A顺时针旋转90°后，点 A的位置不动，其余各部分均绕点A按相同方向旋转相
同的度数即可。
204
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【详解】如图：
2．画出三角形AOB 绕点O顺时针旋转90°后得到的图形C。
【答案】见详解
【分析】把AO绕点O顺时针旋转90°找到A 点旋转后的对应点，BO绕点O 顺时针旋转90°找到B
点旋转后的对应点，再顺次连接各点，画出旋转后的图形即可。
【详解】
1
1．画出将长方形各边缩小到原来的 后的图形A；将梯形各边放大到原来的2倍的图形B。
3
205
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【答案】见详解
1
【分析】据图形放大、缩小的方法，先分别求出长方形各边缩小到原来的 后的长贺宽各是多少，梯
3
形放大2倍后的上底、下底、 高各是多少，再根据长方形、梯形的画法作图即可。
1
【详解】6× ＝2
3
1
3× ＝1
3
4×2＝8
2×2＝4
作图如下：
【点睛】此题考查的目的是理解掌握图形放大与缩小的方法及应用。
2．在方格纸上按要求画出图形。
（1）把图形A的各边放大到原来的2倍。
（2）把图形B 的各边缩小到原来的1 。
2
【答案】见详解
【分析】（1）把图形A的各边放大到原来的 2倍，即图形A的各边都乘2，据此画出放大后的图形。
（2）把图形B 的各边缩小到原来的1 ，即图形B的各边都除以2，据此画出缩小后的图形。
2
【详解】如图：
206
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1．若如图每个小正方形的边长表示 1厘米，请按要求画出相应的图形。
（1）把图①向右平移5格。
（2）把图②绕O点逆时针旋转90°，画出旋转后的图形。
（3）画出图③的另一半，使它成为一个以直线l为轴的轴对称图形。
（4）一个平行四边形的四个顶点用数对表示分别是：A（13，1），B（16，1），C（15，3），D（18，
3）。先在格子图中画出这个平行四边形，再画出它按 2∶1放大后图形。
【答案】见详解
【分析】（1）把长方形的4个顶点向右平移5格，然后连线即可；
（2）根据旋转的意义，找出图中三角形 3个关键处，再画出按逆时针方向旋转90度后的形状即可；
（3）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，在对称轴的
下边画出图形A的关键对称点，连接即可；
（4）数对表示各点，按照先列后行的方法找点，连线，即可得到平行四边形 ABCD；然后按2∶1的
比例画出梯形放大后的图形，就是把原平行四边形的底和高分别扩大到原来的2倍，原平行四边形的
底和高分别是3格、2格，扩大后的底和高分别是6格和4格。
【详解】如图所示：
207
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【点睛】本题考查了学生对于图形的运动的掌握情况。
2．按要求画一画。
（1）将图形①绕点A逆时针旋转90°。
（2）将图形①先向上平移4格，再向右平移3格。
（3）画出图形②所有的对称轴。
（4）将图形③放大，使得放大后的图形与原图形对应线段长的比是 2∶1。
【答案】见详解
【分析】（1）确定图形①的各个顶点绕点O点逆时针旋转90°后的位置，再依次连接。
（2）确定图形①的各个顶点向上平移4格，再向右平移3格的位置，再依次连接。
（3）根据轴对称图形知识，画出图形②的所有对称轴即可。
（4）将图形③的底和高同时扩大到原来的 2倍，画出放大后的图形即可。
【详解】根据要求，作图如下：
208
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【点睛】本题考查了图形的平移、旋转、放大与缩小、轴对称图形画法，准确画图是关键。
1．用lcm3的正方体摆立体图形，从三个面看到的形状如图，这个立体图形的体积是( )cm3。
【答案】4
【分析】综合三个面看到的形状可知，这个立体图形由一排两层组成，下面一层为 3个，上面一层为
1个，在最左端，据此解答。
【详解】根据分析这个立体图形由 4个小正方体组成，所以它的体积是4cm3。
【点睛】考查了根据三视图确定几何体，学生应掌握。
2．一个几何体，从上面看是 ，从左面看是 ，要搭成这样的几何体，最少需要( )
个小正方体，最多可以有( )个小正方体。
【答案】 6 9
【分析】这个几何体从上面看，至少有 5个小正方形，从左面看有两层，说明至少还需要加1个小正
方形，所以正方体最少的摆法如图： （摆法不唯一）；
小正方体最多的摆法，就是把后面一排全部补满，如图： ，据此解答。
【详解】根据分析得，下层5个小正方体，上层1个小正方体，共5＋1＝6（个）；
即这个几何体最少需要6个小正方体；
下层5个小正方体，上层4个小正方体，共5＋4＝9（个）；
即这个几何体最多需要9个小正方体。
【点睛】此题的解题关键是根据三视图来确定几何体的摆法，从而得出最少和最多需要的小正方体的
个数。
3．一个立体图形由 5个同样大小的 组成（如下图），如果再摆一个 ，从右面看形状不变，
有( )种摆法。
209
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【答案】6
【分析】根据观察右面的图形为： ，所以可以放在第一排上层两端和下层两端，还可以放在第
二排下层中间小正方形左右两边，一共有 2＋2＋2＝6种。
【详解】由分析可知：
一个立体图形由 5个同样大小的 组成（如下图），如果再摆一个 ，从右面看形状不变，有6
种摆法。
【点睛】本题主要考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。
1．用7个同样大的正方体摆成左边的物体，请在右边的方格纸上画出从前面，右面和上面看到的图
形。
【答案】见详解
【分析】观察图形可知，从前面看到的图形是2层，下层是3个正方形，上层2个正方形，靠左边；
从上面看到的图形是2层，下层是2个正方形，上层3个正方形，靠左边；从右面看到的图形是2
层，下层2个正方形，上层1个正方形，靠右边；由此即可画图。
【详解】根据题意画图如下：
【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何体以及三视图的画法，目的是训练学生的观察能力。
2．如图是一个由小立方体搭成的几何体从上面看到的图形，小正方形中的数字表示该位置上小正方
体的个数，请你分别画出这个儿何体从正面和左面看到的图形。
210
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从正面看 从左面看
【答案】图见详解
【分析】从正面看到 3列小正方形，左面2个，中间3个，右面1个，下齐；从左面看到3列，左面
1个，中间2个，右面3个，下齐。
【详解】如图：
【点睛】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，关键是培养学生的观察能力。
1．如图，乐乐在丁丁的( )方向；丁丁在乐乐的( )方向。
【答案】 西北 东南
【分析】分别以丁丁和乐乐为观测点，再根据“上北下南，左西右东”确定方向即可。
【详解】由分析可知：
乐乐在丁丁的西北方向；丁丁在乐乐的东南方向。
【点睛】本题考查方向和位置，明确“上北下南，左西右东”是解题的关键。
2．一架朝北偏东30方向飞行的飞机，接到立即返航的指令，返航时飞机应朝( )( )
方向飞行．
【答案】 南偏西 30
【详解】略
1．如图，乐乐先从家向( )走( )米到学校，再向( )偏( )( )°
方向走( )米到图书馆。（在图上测量时取整厘米数）
211
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【答案】 东 3000 南 东 60 1000
【分析】在地图上按照“上北下南，左西右东”确定方向，注意观测点的位置。根据图上距离和比例尺
的关系确定实际距离。
【详解】经测量，乐乐家与学校之间的图上距离是3厘米，学校与图书馆之间的实际距离是1厘米。
3×100000＝300000（厘米）
300000厘米＝3000米
1×100000＝100000（厘米）
100000厘米＝1000米
乐乐先从家向东走 3000米到学校，再向南偏东60°方向走1000米到图书馆。
【点睛】本题主要考查图上距离、实际距离与比例尺之间的关系，并会根据方向的描述确定物体的位
置。
2．图中从公园出发，向( )行( )千米到达书店，再向( )偏( )30°行
( )千米到达医院。
【答案】 东 1.5 东 北 2
【分析】依据图上标注的各种信息，以及地图上的方向辨别方法“上北下南，左西右东”就可以直接填
写答案。
【详解】从公园出发，向东行 1.5千米到达书店，再向东偏北30°行2千米到达医院。
【点睛】此题主要考查依据方向和距离描述线路的方法，关键是弄清楚地图上的方向规定。
1．某海域一艘轮船发生故障，向附近船只请求救援，故障船上雷达搜索附近显示：军舰：东偏北20°
方向200km处。商船：南偏东40°方向150km 处。请在平面图上画出军舰和商船所在的位置。
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【答案】见详解
【分析】根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以故障轮船的位置为观测点即可确定军舰、
商船的方向；根据军舰、商船与故障轮船的实际距离及图中所标注的线段表示的单位长度即可分别求
出军舰、商船与故障轮船的图上距离，进而即可画出军舰、商船的位置。
【详解】200÷50＝4（个）
150÷50＝3（个）
即军舰在东偏北 20°方向图上距离4个单位长度处；商船在南偏东40°方向图上距离3个单位长度处
（根据以上数据画图如下）。
【点睛】此题考查了利用方向、距离、角度在平面图中确定物体位置的方法。
2．根据乐乐的描述，画出他从学校到家行走的路线图。（1厘米表示100米）
【答案】见解析
【分析】根据要标出乐乐行走的方位、角度、距离画图即可。
【详解】如图：200÷100＝2（厘米）
300÷100＝3（厘米）
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【点睛】本题考查根据方向和距离确定物体的位置，会根据方向的描述确定位置是解本题的关键。
1．小伟坐在音乐教室的第3列第4行，用数对（3，4）表示，小冬坐在小伟正前方且他们之间有两
位同学，小冬的位置用数对表示是( )。
【答案】（3，1）
【分析】用数对表示物体的位置时，先说列，后说行，表示形式为（列数，行数）。小冬坐在小伟正
前方，说明小冬和小伟在同一列；他们之间有两位同学，说明小冬在第1行。即小冬在第3列、第1
行。
【详解】第3列、第1行用数对表示是（3，1），所以小冬的位置用数对表示是（3，1）。
【点睛】用数对表示物体的位置时，先表示列，后表示行，不能调换位置。
2．下图是中国象棋棋盘的一部分，若“帅”位于（5，1）位置，那么“马”的位置是( )。
【答案】（4，3）
【分析】根据用数对表示位置的方法，第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此填空即可。
【详解】由分析可知：
若“帅”位于（5，1）位置，那么“马”的位置是（4，3）。
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【点睛】本题考查用数对表示位置，明确用数对表示位置的方法是解题的关键。
1．一个三角形三个顶点用数对表示分别是（3，3）、（8，3）、（3，6），这个三角形按角分类是( )
三角形。
【答案】直角
【分析】利用方格图，在平面上标出这三个顶点，顺次连接画出这个三角形，即可进行解答。
【详解】
观察图形可知，这个三角形是直角三角形。
【点睛】此题主要考查数对表示位置的方法以及直角三角形的定义。
2．下图的等腰梯形中，A点用数对表示是（2，4），那么D点用数对表示是( )；将 D点平
移到点( )，这个梯形就变成了一个平行四边形。
【答案】 （4，4） （6，4）
【分析】根据数对表示位置时，第一个数字表示第几列，第二个数字表示第几行，先写列后写行；D
点在第4列，第4行，据此用数对表示出来即可；由于平行四边形上底和下底相等，D 点只能往右边
移动，使得BC＝AD时，这个梯形就变成了一个平行四边形；据此解答。
【详解】根据分析，A点用数对表示是（2，4），那么D点用数对表示是（4，4）；
根据平行四边形的特征，AD＝BC，所以点D要向右平移2格到点（6，4）的位置，这个梯形就变成
了一个平行四边形了。
【点睛】此题考查了用数对表示位置的应用，关键能够掌握表示方法以及平行四边形的特征。
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1．下面的方格图是学校的一块空地，现在要进行改建，请按要求进行设计。
（1）长方形是原来的劳动教育实践基地，现在要将它按 2∶1放大，且位置改在空地的东北角，请画
出放大后的长方形劳动教育实践基地。
（2）要在空地上建一个三角形菊花园，三个顶点的位置分别是：A（0，3），B（0，0），C（4，0），
请画出这个菊花园。
（3）要在空地的西北角建一块平行四边形草坪，面积是三角形菊花园的 2倍，请画出这块草坪。
（4）EF是一条主水管，要在点D 处安装一个水龙头，需要从点D处接一条分水管与主水管 EF 连通，
怎样接最节省水管，请画出来。
【答案】见详解
【分析】（1）原来长方形的长是3格，放大后长方形的长是3×2＝6格，原来长方形的宽是2格，放
大后长方形的宽是 2×2＝4格；
（2）用数对表示物体的位置时，括号里面逗号前面的数字表示列数，逗号后面的数字表示行数，找出
各点在图中的位置，再依次连接各点，最后标注字母；
（3）由图可知，三角形的底为4格，高为3格，当平行四边形和三角形等底等高时，平行四边形的面
积是三角形面积的 2倍，以4格为底，3格为高画出平行四边形；
（4）从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，把三角尺的一条直角边与已知直线重合，沿着直
线移动三角尺，使点D在三角尺的另一条直角边上，沿三角尺的另一条直角边画一条线段，并画出
垂直符号，据此解答。
【详解】分析可知：
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（平行四边形不唯一）
【点睛】掌握放大图形的作图方法、根据数对准确找出各点对应的位置、等底等高的三角形和平行四
边形的面积关系、以及过直线外一点作已知直线的垂线的方法是解答题目的关键。
2．（1）把图①绕点O顺时针旋转90°。
（2）画出图②向左平移5格后的图形，并用数对表示各个顶点的位置。
（3）把图②按照2∶1放大。
（4）画出图③的轴对称图形。
【答案】见详解
【分析】（1）把图①顺时针旋转90°，点O的位置不动，其余各部分均绕点O 按相同方向旋转相同的
度数即可；
（2）把图②的各点向左平移5格后，再顺次连接即可；然后根据用数对表示位置的方法，第一个数字
表示列，第二个数字表示行，据此用数对表示各个顶点的位置；
（3）把图②的各个边长都扩大到原来的 2倍，再顺次连接即可；
（4）根据轴对称图形的特征，对称点到对称轴的距离相等，对称点的连线垂直于对称轴，画出对应点，
然后顺次连接各点即可。
【详解】如图所示：
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【点睛】本题考查旋转图形、平移图形和轴对称图形，明确作旋转、平移和轴对称图形的方法是解题
的关键。
3．按要求操作。
（1）把三角形ABC 绕点C 顺时针旋转90°，画出旋转后的图形。
（2）把三角形ABC 向下平移3格，画出平移后的图形。
（3）把三角形ABC 按2∶1放大，画出放大后的图形。
（4）找到点D（16，2）标出D，从点D起向北偏东45°方向画一条射线。
【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）见详解；（4）见详解
【分析】（1）根据旋转的特征，三角形 ABC 绕点C 顺时针旋转90°，点C 的位置不动，这个图形的
各部分均绕此点按相同方向旋转相同的度数即可画出旋转后的三角形 A B C 。
1 1 1
（2）根据平移的特征，把三角形 ABC 的各顶点分别向下平移3格，依次连接即可得到平移后的三角
形A B C 。
2 2 2
（3）按2∶1的比例画出三角形放大后的图形，就是把原三角形的底和高分别扩大到原来的 2倍，原
三角形的底和高分别是4格和2格，扩大后的三角形的底和高分别是8格和4格，据此画图；
（4）用数对表示位置时，前一个数表示第几列，后一个数表示第几行；先根据数对确定D 点的位置，
再按上北下南，左西右东的方向找出射线的位置。
【详解】（1）根据题意，画出旋转后的图形是下图的三角形A B C 。
1 1 1
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（2）根据题意，画出平移后的图形是下图的三角形A B C 。
2 2 2
（3）原三角形的底和高分别是 4格和2格，
4×2＝8（格）
2×2＝4（格）
画出放大后的三角形是下图的三角形 A B C
3 3 3。
（4）D点的位置和射线如下图：
【点睛】本题考查了图形的平移、旋转、放大及位置与方向的知识应用。
4．按要求画图。（图中1小格的边长代表1cm）
（1）以A点为圆心画一个半径为2厘米的圆。
（2）画三角形，三个顶点的位置：B(7,7)，C(9,9)，D(9,5)。
（3）将三角形BCD绕D点顺时针旋转90，画出旋转后的三角形。
（4）将三角形BCD按2:1的比放大，画出放大后的三角形。
【答案】（1）、（2）、（3）、（4）见详解
【分析】（1）圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，根据圆的画，画一个半径为2厘米的圆，也就
是圆规两脚之间的距离是2厘米，据此作图即可。
（2）根据数对表示物体位置的方法，用数对表示物体的位置时，列数在前，行数在后。据此先在图中
确定
B
、C、D各点的位置，然后根据三角形的画法，画出这个三角形。
（3）根据图形旋转的性质，图形旋转后，图形的形状和大小不变，只是图形的位置发生了变化。据此
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画出将三角形BCD绕D点顺时针旋转90后图形。
（4）根据图形放大的方法，先求出放大2倍后，三角形的底和高各是多少厘米，然后根据三角形的画
法，画出放大后的三角形。
【详解】（1）作图如下；
（2）作图如下；
（3）作图如下；
（4）4×2＝8（厘米）
2×2＝4（厘米）
作图如下：
【点睛】本题考查的目的是理解掌握圆的画法、三角形画法，用数对表示物体位置的方法，图形旋转
的性质、图形放大的方法及应用。
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第九模块 统计和概率【十三大考点】
1．描述本周气温的变化趋势，用( )统计图合适，要描述某次数学测验成绩优秀的人数占全
班人数的百分比，用( )统计图合适。
【答案】 折线 扇形
【分析】条形统计图能清楚地看出各种数量的多少，便于相互比较；折线统计图不仅能看清数量的多
少，还能通过折线的上升和下降表示数量的增减变化情况；扇形统计图清楚地看出各部分数量与总数
量之间的关系，据此分析。
【详解】描述本周气温的变化趋势，用折线统计图合适，要描述某次数学测验成绩优秀的人数占全班
人数的百分比，用扇形统计图合适。
2．要直观反映数量的多少一般选择( )统计图；要反映数量的增减变化一般选择( )
统计图；要反映部分与整体的关系一般选择( )统计图。
【答案】 条形 折线 扇形
【分析】条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数
量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系，由此根据情况选择即可。
【详解】要直观反映数量的多少一般选择条形统计图；要反映数量的增减变化一般选择折线统计图；
要反映部分与整体的关系一般选择扇形统计。
1．人正常的眨眼可以消除眼睛的疲劳，如果眨眼次数过少，对眼睛的健康不利。下表是人在各种状
态下每分钟眨眼的次数。
状 态 平常 写字 看书 玩电脑游戏
每分钟眨眼次数（次） 24 18 15 10
从上表可以看出，在( )时，眼睛最容易疲劳，看书时眨眼的次数是平常状态下眨眼次数的
( )%。
【答案】 玩电脑游戏 62.5
【分析】
比较平常、写字、看书和玩电脑游戏时每分钟眨眼的次数，次数越少，眼睛就越疲劳，据此解答；
再用看书每分钟眨眼次数÷平常每分钟眨眼次数×100%，即可求出看书时眨眼的次数是平常状态下眨
眼次数的百分之几。
【详解】24＞18＞15＞10，玩电脑游戏时，眼睛最容易疲劳。
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15÷24×100%
＝0.625×100%
＝62.5%
在玩电脑游戏时，眼睛最容易疲劳，看书时眨眼的次数是平常状态下眨眼次数的 62.5%。
2．新华少儿书店去年第三季度文艺书、科技书销售情况如下表。
（1）请把上表填写完整。
（2）( )月份出售的科技书最多。
（3）第三季度平均每月出售文艺书( )本。
【答案】（1）见详解；（2）八；（3）940
【分析】（1）将7月的文艺书加上科技书，求出7月总计销售情况；
用8月合计的数量减去科技书的销量，求出文艺书的销量；
用9月合计的数量减去文艺书的销量，求出科技书的销量；
（2）根据统计表，找出哪个月出售的科技书多；
（3）先利用加法求出三个月文艺书的总销量，再除以3，求出第三季度平均每月出售文艺书多少本。
【详解】（1）830＋370＝1200（本）
1560－500＝1060（本）
1380－930＝450（本）
填表如下：
（2）八月份出售的科技书最多。
（3）（830＋1060＋930）÷3
＝2820÷3
＝940（本）
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所以，第三季度平均每月出售文艺书 940本。
【点睛】本题考查了统计表和平均数，平均数＝总数量÷总份数。
1．以下是A、B 两组某次科学测试的结果，其中A组的平均分是62分，B组的平均分是64.5分。
当学生得分为50分及以上它们便合格。
（1）该统计图的标题是( )。
（2）A组的合格率约是( )，B组的合格率约是( )。
（3）你认为A组和B 组哪一组的测试成绩更好？请说明理由。
【答案】（1）A、B 两组某次科学测试结果条形统计图
（2）91.67%；83.33%
（3）A组测试成绩更好；理由见详解
【分析】（1）根据题意，该统计图的标题是 A、B 两组某次科学测试结果条形统计图；
（2）根据百分率的计算方法，用A组的合格人数÷A组总人数×100%；求出A 组合格率；用 B 组的合
格人数÷B组总人数×100%，求出B 组的合格率；
（3）比较两组的合格率，根据合格率的高低进行说明（答案不唯一）。
【详解】（1）统计图的标题：A、B 两组某次科学测试结果条形统计图；
（2）A组合格率：（3＋4＋2＋2）÷（1＋3＋4＋2＋2）×100%
＝（7＋2＋2）÷（4＋4＋2＋2）×100%
＝（9＋2）÷（8＋2＋2）×100%
＝11÷（10＋2）×100%
＝11÷12×100%
≈0.9167×100%
＝91.67%
B 组合格率：（1＋5＋3＋1）÷（2＋1＋5＋3＋1）×100%
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＝（6＋3＋1）÷（3＋5＋3＋1）×100%
＝（9＋1）÷（8＋3＋1）×100%
＝10÷（11＋1）×100%
＝10÷12×100%
≈0.8333×100%
＝83.33%
A组的合格率约是 91.67%，B 组的合格率约是 83.33%。
（3）91.67%＞83.33%，A 组的测试成绩更好，因为A组的合格率大于B组的合格率。
【点睛】本题考查了条形统计图的分析和整理知识，结合题意分析解答即可。
2．某公司对应聘者甲、乙、丙、丁进行面试，并从专业知识、工作经验、仪表形象三个方面给应聘
者打分，每个方面满分20分，最后的得分制成条形统计图（如下图）。
（1）利用图中提供的信息，在专业知识方面4人中得分最高的是( )。在工作经验方面 4人得
分的平均分是( )分。在仪表形象方面4人得分最高的是( )分。
（2）如果专业知识、工作经验、仪表形象三个方面的重要性之比为 10∶7∶3，乙的最后总分应该是
多少分？
【答案】（1）乙；14.75；16
（2）16.05分
【分析】（1）在复式条形统计图中，找到表示甲、乙、丙、丁专业知识的直条，直条最长的表示得分
最高。
在工作经验方面，甲得17分，乙得15分，丙得15分，丁得12分，根据总数量÷总份数＝平均数，
用四人的总分和÷4 即可求出在工作经验方面4人得分的平均分，即（17＋15＋15＋12）÷4。
在复式条形统计图中，找到表示甲、乙、丙、丁仪表形象的直条，直条最长的表示得分最高，在通过
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最高直条顶端对应的数据，确定最高分数。
（2）乙的专业知识得分18分，工作经验得分15分，仪表形象得分12分。三个方面的重要性之比为
10 7
10∶7∶3，根据分数与除法的关系可知：专业知识占 ，工作经验占 ，仪表形象占
1073 1073
3 10 7 3
，所以求乙最后的得分列式为：18× ＋15× ＋12× 。
1073 1073 1073 1073
【详解】（1）表示甲、乙、丙、丁专业知识的直条中，表示乙的直条最长，所以在专业知识方面4
人中得分最高的是乙。
（17＋15＋15＋12）÷4
＝59÷4
＝14.75（分）
所以在工作经验方面4人得分的平均分是14.75分。
表示甲、乙、丙、丁仪表形象的直条中，表示丁的直条最长，丁得 16分，所以在仪表形象方面4人
得分最高的是16分。
10 7 3
（2）18× ＋15× ＋12×
1073 1073 1073
10 7 3
＝18× ＋15× ＋12×
20 20 20
＝9＋5.25＋1.8
＝16.05（分）
答：乙的最后总分应该是16.05分。
【点睛】读懂复式条形统计图不仅要善于运用横向、纵向、综合对比等不同的方法进行观察比较，还
要善于从统计图中获取信息，得到启示。
1．下表是雷州昌大昌两家商场营业额情况统计表。（单位：万元）
年份 2018年 2019年 2020年 2021年
第一家商场 9000 10000 13000 17000
第二家商场 5000 7000 11000 13000
（1）请你根据表中的数据，制成折线统计图。
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（2）第一家商场( )年至( )年营业额增长得最快，( )年至( )年营业额
增长得最慢。
【答案】（1）见详解
（2）2020；2021；2018；2019
【分析】（1）横轴代表年份，纵轴代表营业额，根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，
然后把各点用线段顺次连接起来。第一家商场用实线，第二家商场用虚线。
（2）计算出第一家商场各个年份营业额的增长量，即可找到哪年营业额增长最快、哪年最慢。
【详解】（1）由分析可绘图：
（2）10000－9000＝1000（元）
13000－10000＝3000（元）
17000－13000＝4000（元）
1000＜3000＜4000
则第一家商场2020年至2021年营业额增长得最快，2018年至2019年营业额增长得最慢。
2．下面是某商场下半年棉衣和衬衣的销售情况统计图。
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（1）根据下表中的数据在统计图中画出折线 B。
月份 7 8 9 10 11 12
销售量/件 200 400 800 1200 1800 1600
（2）根据图中折线的变化趋势可以看出，折线 A 表示( )的销售情况，折线B 表示( )
的销售情况。（填“棉衣”或“衬衣”）
（3）( )月份衬衣和棉衣的销售量相差最多。
（4）8月份棉衣的销售量是衬衣的 。
（5）11月份棉衣的销售量比 10月份多( )%。
【答案】（1）见详解
（2）衬衣；棉衣
（3）7
2
（4）
9
（5）50
【分析】（1）根据统计表中B 的数量的多少，先在图中描出各点，然后用线段顺次把各点连接起来
出折线B。
（2）观察折线A，A的销售量随着月份的变化越来越小，即冬季卖得比夏季少，可以判断折线 A表
示的是衬衣销售情况；
观察折线B，B 的销售量随着月份的变化越来越大，即冬季卖得比夏季多，可以判断折线B 表示的是
棉衣销售情况。
（3）观察复式折线统计图，两条折线的叉口越大的，表示这个月衬衣和棉衣的销售量相差最多。
（4）已知8月份棉衣的销售量为400件，衬衣的销售量为1800件；求8月份棉衣的销售量是衬衣的
几分之几，用8月份棉衣的销售量除以衬衣的销售量即可。
（5）已知11月份棉衣的销售量为 1800件，10月份棉衣的销售量为1200件；求11月份棉衣的销售
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量比10月份多百分之几，先用减法求出多的件数，再除以10月份棉衣的销售量即可。
【详解】（1）如图：
（2）根据图中折线的变化趋势可以看出，折线A表示衬衣的销售情况，折线B 表示棉衣的销售情况。
（3）7月份衬衣和棉衣的销售量相差最多。
2
（4）400÷1800＝
9
2
8月份棉衣的销售量是衬衣的 。
9
（5）（1800－1200）÷1200×100%
＝600÷1200×100%
＝0.5×100%
＝50%
11月份棉衣的销售量比 10月份多50%。
【点睛】本题考查绘制折线统计图以及分数、百分数的实际应用，掌握折线统计图的特点及作用，能
够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。
1．下图表示了甲乙两辆汽车同时从 A点出发，去往距离100千米的B 点的行驶情况。请根据图中的
信息回答问题。
（1）甲车出发( )分钟后追上乙车，比乙车早( )分钟到达B 点。甲车平均每分钟行
( )千米，乙车后40分钟平均每小时行( )千米。
（2）如果甲乙两车同时到达B 点，乙车驾驶员可以怎么做呢？（可以用文字或算式表示你的想法）
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【答案】（1）40；10；1；1.5；
（2）乙车驾驶员可以少休息10分钟
【分析】（1）由图可知，甲车和乙车的路程在出发40分钟后有相交点，说明甲车出发40分钟后追上
乙车；甲车出发100 分钟后到达B点，乙车出发110分钟后到达B 点，所以甲车比乙车提前（110－
100）分钟到达B 点；根据速度＝路程÷时间，甲车的速度为：100÷100＝1（千米／分）。最后 40分
钟，乙车走了（100－40）千米，则用（100－40）÷40即可求出乙车后40分钟的速度。
（2）乙车在出发20到70分钟的这段时间，路程不变，说明乙车在行程途中休息了（70－20）分钟，
若少休息10分钟，则可以提前10分钟到达，也就是100分钟可以到达（答案不唯一）。
【详解】（1）110－100＝10（分钟）
100÷100＝1（千米／分）
（100－40）÷40
＝60÷40
＝1.5（千米／分）
即甲车出发40分钟后追上乙车，比乙车早110－100＝10分钟到达B 点。甲车平均每分钟行 1千米，
乙车后40分钟平均每小时行1.5千米。
（2）乙车在行程途中休息了（70－20）分钟，若少休息10分钟，则可以提前10分钟到达，此时甲乙
两车同时到达B 点。
【点睛】本题主要考出复式折线统计图，读懂题干信息是解题的关键。
2．
（1）( )先到达终点。
（2）请用“快”或“慢”来描述比赛情况；壮壮是先( )后( )。
（3）请你计算出淘淘平均每分跑多少米。（得数保留一位小数）
【答案】（1）壮壮
（2）慢；块
（3）145.5米
【分析】（1）根据图可知，涛涛跑800米跑了5.5分钟，壮壮跑800米跑了4.5分钟，由此即可知道
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壮壮先到达终点；
（2）壮壮前2.5分钟的时候跑了400米，由于一共跑800米，则后400米跑了：4.5－2.5＝2（分钟），
所以前面跑的比较慢，后面跑的比较快，所以壮壮的速度是先慢后快，由此即可填空；
（3）根据公式：速度＝路程÷时间，跑了800米，用时5.5分钟，把数代入公式即可求解；保留一位
小数，看小数点后的第二位，如果小数点后的第二位大于等于 5，则进一，小于5，则舍去即可。
【详解】（1）壮壮先达到终点。
（2）壮壮是先慢后快。
（3）800÷5.5≈145.5（米/分）
答：淘淘平均每分跑145.5米。
【点睛】本题主要考查折线统计图的分析以及行程问题的公式，学会分析折线统计图是解题的关键。
1．如图是某厂今年四个季度的产值统计图。
（1）该厂第三季度的产值是全年产值的( )%。
（2）如果该厂今年的总产值是 800万元，那么这个厂今年第四季度的总产值是( )万元。
（3）你还能提出什么数学问题？并作答。（一个即可）
问题：
解答：
【答案】（1）30
（2）200
（3）第二季度比第一季度的产值高了多少万元？200万
【分析】（1）根据题意及统计图可知，该扇形统计图是将该厂今年全年产值看作单位“1”，用1减去
第一季度、第二季度、第四季度产值占全年产值的百分比，即可算出第三季度的产值占全年产值的百
分比。
（2）今年总产值乘第四季度产值占今年总产值的百分比，即可算出这个厂今年第四季度的总产值。
（3）结合已知条件提出问题，合理即可。
如问：第二季度比第一季度的产值高了多少万元？
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根据对应量＝单位“1”的量×对应分率，先分别计算出两个季度的产值，再用第二季度的产值减去第一
季度的产值，即可解答。
【详解】（1）110%35%25%
110%35%25%
170%
30%
该厂第三季度的产值是全年产值的 30%。
（2）80025%
8000.25
200（万元）
如果该厂今年的总产值是800万元，那么这个厂今年第四季度的总产值是200万元。
（3）问题：第二季度比第一季度的产值高了多少万元？（合理即可，答案不唯一）
80035%80010%
8000.358000.1
28080
200（万元）
答：第二季度比第一季度的产值高了 200万元。
2．“一手好字，受益一生。”育英小学积极响应教育局文件精神，10月初，开展了全校360名学生参
加的书写等级考核。本次考核评出五个等级（A＋、A、B、C、D），人数如图：
（1）得等级D的同学人数是全校人数的( )%。
（2）得等级B 的同学( )人。
（3）请你分享一个在书写上进步的好方法给大家。
【答案】（1）25%
（2）72
（3）规范的书写，养成良好的书写习惯
【分析】（1）将总人数看作单位“1”，1－ A＋的对应百分率－A的对应百分率－B 的对应百分率－C
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的对应百分率＝D的对应百分率；
（2）总人数×得等级 B 的对应百分率＝得等级B 的人数；
（3）答案不唯一，合理即可。
【详解】（1）1－5%－15%－20%－35%＝25%
得等级D的同学人数是全校人数的25%。
（2）360×20%＝360×0.2＝72（人）
得等级B 的同学72人。
（3）同学们要规范的书写，养成良好的书写习惯。
1．下表是福星村去年各项收入情况。
种类 收入/万元 占总收入的百分比
工业 5000
农业 2500
副业 2000
渔、牧业 3000
（1）完成上表。
（2）根据上表中的数据，制作统计图。
福星村去年各项收入情况统计图
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（3）从上面的统计图中，你获得了哪些信息？
从条形统计图中可以清楚地看出________________________。
从扇形统计图中可以清楚地看出________________________。
【答案】（1）和（2）见详解；
（3）从条形统计图中可以清楚地看出去年工业的收入为5000万元，渔、牧业的收入为3000万元；（答
案不唯一）
从扇形统计图中可以清楚地看出去年工业的收入占总收入的比重最大，副业的收入占总收入的比重最
少。（答案不唯一）
【分析】（1）用各项的收入除以总收入即可求出各项收入占总收入的百分比；
（2）根据统计表中的各项的收入完善条形统计图；根据第一题算出的百分比，完善扇形统计图；
（3）从条形统计图中可以直观的看出每项收入的多少；从扇形统计图中可以看出每项收入占总收入的
百分比，据此解答即可，答案不唯一。
【详解】（1）5000÷（5000＋2500＋2000＋3000）
＝5000÷12500
＝40%；
2500÷（5000＋2500＋2000＋3000）
＝2500÷12500
＝20%；
2000÷（5000＋2500＋2000＋3000）
＝2000÷12500
＝16%；
3000÷（5000＋2500＋2000＋3000）
＝3000÷12500
＝24%；
种类 收入/万元 占总收入的百分比
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工业 5000 40%
农业 2500 20%
副业 2000 16%
渔、牧业 3000 24%
（2）福星村去年各项收入情况统计图
福星村去年各项收入情况统计图
（3）从条形统计图中可以清楚地看出去年工业的收入为5000万元，渔、牧业的收入为3000万元；（答
案不唯一）
从扇形统计图中可以清楚地看出去年工业的收入占总收入的比重最大，副业的收入占总收入的比重最
少。（答案不唯一）
【点睛】本题综合性较强，掌握求百分比的方法以及条形统计图和扇形统计图的特点是解答本题的关
键。
2．如图是根据六（1）同学参加“阳光体育”活动人数情况绘制的两种统计图（每人只参加其中一项活
动，没有人不参加）。
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（1）根据图1和图2中的相关信息，可以知道六（1）班共有( )人。其中参加乒乓球项目的
有( )人。
（2）把图2“乒乓球”项目的条形补充完整。
（3）算一算，参加足球的人数比参加篮球的人数少百分之几？
【答案】（1）50；5；（2）见详解；（3）50%
【分析】（1）把全班人数看作单位“1”，打篮球的有20人，占全班人数的40%，根据已知一个数的百
分之几是多少，求这个数，用除法解答。根据减法的意义，用全班人数减去打篮球、踢足球和参加其
他项目的人数就是打乒乓球的人数。
（2）根据已知数据完成条形统计图。
（3）根据求一个数比另一个数少百分之几，用相差数除以另一个数再乘 100%，则用参加篮球的人数
比参加足球的人数之差除以参加篮球的人数，再乘100%即可求出参加足球的人数比参加篮球的人数
少百分之几。
【详解】（1）20÷40%＝50（人）
50－（20＋10＋15）
＝50－45
＝5（人）
可以知道六（1）班共有50人。其中参加乒乓球项目的有5人。
（2）统计图如下：
（3）（20－10）÷20×100%
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＝10÷20×100%
＝50%
答：参加足球的人数比参加篮球的人数少 50%。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图、条形统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提
供的信息，解决有关的实际问题。
3．王阿姨从单位下班先到菜场买菜，再回家。下面图①和图②记录了她的行程。
（1）王阿姨从单位下班，先买菜再回家，一共用了多少分钟？
（2）王阿姨买菜后步行回家时，平均每分钟走多少米？
【答案】（1）60分钟
（2）80米
【分析】（1）通过观察统计图可知，步行回家用的时间占总时间的25%，坐公交车到菜场和买菜用的
时间占总时间的（125%），坐公交车到菜场和买菜共用45分钟，根据已知一个数的百分之几是多少，
求这个数，用除法求出总时间。
（2）首先根据求一个数的百分之几是多少用乘法求出步行回家用的时间，然后根据速度＝路程时间，
列式解答即可。
【详解】（1）45（125%）
450.75
6（0 分钟）
答：一共用了60分钟。
（2）6025%1（5 分钟）
1.2千米1200米
1200158（0 米）
答：平均每分钟走 80米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握扇形统计图、折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提
供的信息，解决有关的实际问题。
4．如图，两幅统计图反映的是在六年级期末复习阶段，小军和小明两位同学每天在家学习的时间分
配情况和阶段性检测的成绩情况。观察这两幅图，解决下列问题。
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（1）小明在家学习的总时间是( )分钟。
（2）小军在( )这种方式上用的时间最多，在( )这种方式上用的时间最少。
（3）小明用在思考这种方式上的时间比小军多( )%。
（4）哪位同学的成绩提高比较快？请结合两幅统计图分析原因可能是什么。
【答案】（1）60
（2）做题；交流
（3）50
（4）见详解
【分析】（1）用加法把小明在家看书、思考、做题、交流的时间相加，即可解答；
（2）观察统计图，找出小军什么方式上用的时间最多，什么方式上用的时间最短；
（3）用小明用在思考这种方式上的时间减小军用在思考这种方式上的时间，再除以小军用在思考这种
方式上的时间，再乘100%，即可解答；
（4）根据条形统计图还有折线统计图分析，说法合理即可，例如：从折线统计图可以直接看出小明的
成绩提高较快，从条形统计图可知小明的思考时间是15分钟，小军的思考时间是10分钟，小明的思
考时间多，而且他还善于交流，交流时间是 10分钟，而小军只有5分钟，由此即可解答。（答案不
唯一）
【详解】（1）20＋15＋15＋10
＝35＋15＋10
＝50＋10
＝60（分钟）
（2）小军在做题上用的时间最多，在交流上用的时间最少。
（3）（15－10）÷10×100%
＝5÷10×100%
＝0.5×100%
＝50%
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（4）从折线统计图可以直接看出小明的成绩提高较快，从条形统计图可知：小明的思考时间是15分
钟，小军的思考时间是10分钟，小明的思考时间多，而且他还善于交流，交流时间是10分钟，而小
军只有5分钟，所以小明成绩提高快的原因主要是他善于思考、交流。
【点睛】本题考查的目的是理解掌握条形统计图、折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提
供的信息，解决有关的实际问题。
1．丰都某校一年级有5个班，平均每班有学生44人，二年级有6个班共有学生275人。
【答案】45人
【分析】丰都某校一年级有5个班，平均每班有学生 44人，则一年级共有44×5＝220人，再根据每班
的平均人数＝一二年级的总人数÷班级数，据此解答即可。
【详解】（44×5＋275）÷（5＋6）
＝（220＋275）÷11
＝495÷11
＝45（人）
答：这个学校一二年级平均每班有学生 45人。
【点睛】本题考查平均数，明确平均数的计算方法是解题的关键。
2．今年植树节，六（2）班甲、乙、丙三个小组植树，平均每个小组植树24棵，这三个小组植树棵
数的比是5:3:4，丙组植树多少棵？
【答案】24棵
【分析】根据平均数的意义，平均数×份数＝总数量，代入数据求出三个小组的总植树量，用三个小组
植树总数除以份数，得出每一份是多少棵，再根据按比例分配方法用乘法算出丙组植树多少棵。
【详解】由分析可得：
三个小组总植树棵数：24×3＝72（棵）
每份代表的棵数：
72÷（5＋3＋4）
＝72÷（8＋4）
＝72÷12
＝6（棵）
丙组植树棵数：6×4＝24（棵）
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答：丙组植树24棵。
【点睛】本题考查了通过平均数求出总数的方法，以及按比例分配知识，需要学生熟练掌握并且会灵
活运用。
3．小亮在期末考试中，语文和数学的平均分是84分，数学和外语的平均分是82分，语文和外语的
平均分是80分。这次考试中，小亮这三门课各得多少分？
【答案】语文82分；数学86分；英语78分
【分析】先求出三门课的总分数是（84×2＋82×2＋80×2）÷2＝246分，据此减去84×2，就是英语得分，
减去82×2，就是语文得分，减去 80×2，就是数学得分，据此即可解答。
【详解】（84×2＋82×2＋80×2）÷2
＝（168＋164＋160）÷2
＝492÷2
＝246（分）
246－168＝78（分）
246－164＝82（分）
246－160＝86（分）
答：这次考试中小亮语文82分，数学86分，英语78分。
【点睛】解答此题的关键是：先根据平均数的计算方法分别求出三门课程的总成绩和两门课程的总成
绩，然后相减即可。
4．甲班有51人，乙班有49人，某次考试两班平均成绩是81分，乙班平均成绩比甲班平均成绩高 7
分，那么甲、乙两班平均成绩各是多少分？
【答案】甲班平均分 77.57分，乙班平均分84.57分。
【分析】平均数＝一组数据的和÷这组数据的个数。则甲班的总分＝甲班的平均分×甲班的人数，乙班
的平均分＝乙班的平均分×乙班的人数。甲班和乙班的总分＝甲班的总分＋乙班的总分＝甲乙两班的
平均分×甲乙两班的人数。设甲班的平均分为 x分，乙班的平均分为（x＋7）分，根据上面的数量关
系式列出方程求出方程的解。
【详解】解：设甲班的平均分为 x分，乙班的平均分为（x＋7）分。
51x＋49（x＋7）＝（51＋49）×81
51x＋49x＋49×7＝100×81
100x＋343＝8100
100x＝8100－343
100x＝7757
x＝7757÷100
x＝77.57
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77.57＋7＝84.57（分）
答：甲班平均分为 77.57分，乙班平均分为84.57分。
1．天气预报：“明天降雨的概率是90%”，也就是明天( )下雨。（填“一定”、“可能”、或“不
可能”）
【答案】可能
【分析】对事件发生的可能性，可以用“一定”、“可能”、“不可能”等词语来描述；
无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件；
在任何情况下，都不会发生的事件，是“不可能”事件；
在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。
【详解】天气预报：“明天降雨的概率是90%”，也就是明天可能下雨。
【点睛】本题考查事件发生的可能性，掌握可能性的几种情况“一定”、“可能”、或“不可能”的应用。
2．太阳每天早晨( )从东方升起，三天后( )下雨。（填“可能”“一定”或“不可能”。）
【答案】 一定 可能
【分析】无论在什么情况下，都会发生的事件，是“一定”会发生的事件。在任何情况下，都不会发生
的事件，是“不可能”事件。在某种情况下会发生，而在其他情况下不会发生的事件，是“可能”事件。
结合生活实际，按要求填空即可。
【详解】太阳总是从东方升起，是自然规律，属于确定事件中的一定事件，所以太阳每天早晨一定从
东方升起；
三天后下雨，属于可能性中的不确定事件，在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件，所以三天
后可能下雨。
【点睛】此题应根据事件发生的确定性和不确定性进行分析解答。
1．将抽奖转盘的圆盘平均分成8格，有4格1元的，3格2元的，1格10元的。转动一次，抽到( )
元的可能性最大，抽到2元的可能性比抽到10元的可能性( )。
【答案】 1 大
【分析】比较三种钱数的格数，哪种钱数的格数多，摸到哪种钱数的可能性就大，反之，哪种钱数格
数最少，摸到的可能性就小；据此解答。
【详解】4＞3＞1
1元的格数最多，所以转动一次，抽到 1元的可能性最大，
2元的格数比10元的格数多，所以抽到2元的可能性比抽到10元的可能性大。
2．10张卡片上分别写着1－10各数。将卡片打乱，从中任意抽取一张，抽到奇数和偶数的可能性
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( )；抽到3的倍数的可能性比抽到 2的倍数的可能性( )。（用“大”“小”“一样大”填空）
【答案】 一样大 小
【分析】可能性的大小与数量的多少有关，数量多则被抽到的可能性就大，反之就小，若数量一样多，
则被抽到的可能性就一样大；10张卡片上分别写着1－10各数，奇数有：1、3、5、7、9共5个数，
偶数有：2、4、6、8、10共5个数；奇数和偶数的数量一样多，则抽到奇数和偶数的可能性一样大；
3的倍数有：3、6、9共3个数，2的倍数有：2、4、6、8、10共5个数，则抽到3的倍数的可能性
比抽到2的倍数的可能性小。据此填空即可。
【详解】10张卡片上分别写着 1－10各数。将卡片打乱，从中任意抽取一张，抽到奇数和偶数的可能
性一样大；抽到 3的倍数的可能性比抽到2的倍数的可能性小。
【点睛】本题考查可能性，结合奇数和偶数的定义是解题的关键。
1．一个袋子中有 2个黄球，3个红球，5个白球。如果从袋子中任意摸出一个球，摸到( )球
的可能性最大，至少摸出( )个球才能保证一定摸到2个黄球。
【答案】 白 10
【分析】不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。
因为白球的数量最多，所以摸到白球的可能性最大。要想摸出2个黄球，最坏情况是其他颜色的球都
被摸出，此时再摸出2个，一定是黄球，所以一共需要摸出（3＋5＋2）个球。
【详解】5＞3＞2
3＋5＋2＝10（个）
如果从袋子中任意摸出一个球，摸到白球的可能性最大，至少摸出 10个球才能保证一定摸到2个黄
球。
【点睛】本题考查可能性大小的判断以及利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，理解不确定事件发
生的可能性的大小与事物的数量有关。
2．盒子里有完全相同的红球和白球共 20个，红球与白球的个数比是3∶2，如果要想摸到红球和白
球的可能性相等，应再放入( )球( )个。
【答案】 白 4
【分析】已知红球和白球共20个，红球与白球的个数比是3∶2，可以把红球看作3份，白球看作2
份，一共是（3＋2）份；用红球和白球的总个数除以总份数，求出一份数；再用一份数分别乘红球、
白球的份数，即可求出红球、白球的个数；
根据可能性大小的判断方法可知，如果要想摸到红球和白球的可能性相等，那么红球和白球的个数应
相等；用红球的个数减去白球的个数，即是白球比红球少的个数，也就是需要再放入白球的个数。
【详解】一份数：
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20÷（3＋2）
＝20÷5
＝4（个）
红球：4×3＝12（个）
白球：4×2＝8（个）
12－8＝4（个）
应再放入白球4个。
【点睛】本题考查按比分配问题，先把比看作份数，求出一份数进而求出红球、白球的个数，再根据
可能性的知识求解。
3．盒子里有 7个红球，2个黄球，6个绿球，任意摸出一个球，摸到( )球的可能性最大。如
果想让摸到绿球的可能性最小，应最少去掉( )个绿球。
【答案】 红 5
【分析】盒子里哪种颜色球的数量越多，摸到该种颜色球的可能性就越大，盒子里哪种颜色球的数量
越少，摸到该种颜色球的可能性就越小，据此解答。
【详解】因为7＞6＞2，红球数量＞绿球数量＞黄球数量，所以摸到红球的可能性最大；如果想让摸
到绿球的可能性最小，那么盒子里绿球的数量应该最少，6－5＝1（个），此时1＜2＜7，绿球数量
＜黄球数量＜红球数量，所以应最少去掉 5个绿球才能使摸到绿球的可能性最小。
【点睛】掌握判断事件发生可能性大小的方法是解答题目的关键。
1．将黑桃5、6、7、8、9五张扑克牌洗一下反扣在桌上，从中任意摸一张，摸到牌面上的数是7的
可能性是( )。
1
【答案】
5
【详解】略
2．袋子中有10以内素数的数字卡片各一张。
（1）闭上眼睛摸一张，摸到2的可能性是 ；
（2）小明第一次摸出3放在袋子外，再去摸，摸到2的可能性是 。
1 1
【答案】（1） ；（2）
4 3
【分析】（1）10以内的素数有2、3、5、7 四个数，摸到每个数的可能性都是相等的，2的张数÷总张
数即可。
（2）把3放到外面，还剩3个数，摸到每个数的可能性还是相等的，2的张数÷总张数减1的差即可。
242
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1 1
【详解】（1）1÷4＝ ，摸到2的可能性是 ；
4 4
1 1
（2）1÷（4－1）＝ ，摸到2的可能性是 。
3 3
【点睛】对于一个事件，所有可能出现的结果数共m 中，其中满足某个条件的事件A 出现的结果数是
n
n中，那么事件A发生的概率为：P（A）＝ 。
m
1．聪聪和明明用 2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军
赢，这个游戏规则( )（填“公平”或“不公平”）。
【答案】不公平
【分析】先写出所有用2、3、4三个数字组成的三位数，再从中分别找出偶数和奇数，若偶数和奇数
的个数相等，则这个游戏规则公平；若偶数和奇数的个数不相等，则这个游戏规则不公平。
【详解】用2、3、4三个数字组成的三位数有：234、243、324、342、423、432，共6个；其中奇数
有：243、423，共2个；偶数有：234、324、342、432共4个；2个≠4个，这个游戏规则不公平。
【点睛】本题考查可能性的知识，先求出三位数字所组成的数，分出偶数和奇数，再进一步解答。
2．多多和真真在一张纸上玩游戏：将一块橡皮任意扔在纸上，橡皮落在■格子上算多多赢，落在□格
子上算真真赢。这个游戏规则( )。（填公平或者不公平）
【答案】公平
【详解】略
3．如下图，有①②③④四个转盘，小明和小红做转盘游戏，指针停在白色区域小明赢，停在黑色区
域小红赢。
(1)要让小明赢的可能性大，要在( )转盘上玩。
(2)要想让游戏公平，要在( )转盘上玩。
【答案】(1)④
(2)①
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【分析】转盘上白色区域的面积越大，小明赢的可能性越大；转盘上黑色区域的面积越大，小红赢的
可能性越大；转盘上两种颜色的区域面积相等时，他们赢的可能性大小相同，游戏公平，据此解答。
【详解】（1）④转盘的白色区域面积大于黑色区域面积，小明赢的可能性大。
（2）①转盘上白色区域和黑色区域面积相等，游戏公平。
【点睛】掌握可能性大小的判断方法是解答题目的关键。
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第十模块 一般应用题·整小分百应用题【二十三大考点】
1．一辆货车给建筑工地运送土石方，第一天运了285吨，第二天运了256吨，第三天运了315吨，
第四天运了244吨，这辆货车四天一共运送土石方多少吨？
【答案】1100吨
【分析】要求这辆货车四天一共运送土石方多少吨，就把这辆车四天运送的吨数相加即可。
【详解】285＋256＋315＋244
＝（285＋315）＋（256＋244）
＝600＋500
＝1100（吨）
答：这辆货车四天一共运送土石方 1100吨。
2．金鹰家电第二季度卖出甲、乙、丙3种品牌的空调共376台，甲品牌卖了126台，乙品牌卖了 76
台。丙品牌卖了多少台？
【答案】174台
【分析】一种方法是：首先算出甲、乙两种品牌的空调数量之和，就是用甲品牌的空调数量加上乙品
牌的空调数量，再用甲、乙、丙三种品牌的空调数量减去甲、乙两种品牌的空调数量之和，就是丙品
牌的空调数量。另外一种方法是：用甲、乙、丙三种品牌的空调数量分别减去甲、乙两种品牌的空调
数量，就是丙品牌的空调数量。据此解答即可。
【详解】方法一：376−（126＋76）
＝376−202
＝174（台）
方法二：376−126−76
＝250−76
＝174（台）
答：丙品牌卖了 174台。
3．一只啄木鸟每天能吃25只害虫，有102只啄木鸟，30天能吃多少只害虫？
【答案】76500只
【分析】根据题意，先求出102只啄木鸟每天吃多少只害虫，即（102×25）只；再乘30，就是 102只
啄木鸟30天能吃多少的害虫只数。
【详解】102×25×30＝76500（只）
答：102只啄木鸟30天能吃76500只害虫。
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4．一堆橘子有108个，如果平均分给18个人，平均每人分到多少个橘子？
【答案】6个
【分析】用橘子的个数除以平均分给的人数，即可求出平均每人分到多少个橘子。
【详解】108÷18＝6（个）
答：平均每人分到 6个橘子。
1．电影院楼上有 273个座位，楼下有13排，每排34个座位，这个电影院一共有多少个座位？
【答案】715个
【分析】先用13乘34计算出楼下的座位总数，再加上273计算出这个电影院一共有多少个座位；据
此解答。
【详解】13×34＋273
＝442＋273
＝715（个）
答：这个电影院一共有715个座位。
2．运输队要运730吨货物，已经运了5天，剩下的货物比已经运的少10吨，平均每天运多少吨？
【答案】74吨
【分析】根据题意，剩下的货物比已经运的少10吨，可得已经运走货物的质量－剩下货物的质量＝10
吨；然后根据一共要运730吨货物，利用和差问题中的数量关系：大数＝（和＋差）÷2，可求出运走
的货物质量；再用运走的货物质量除以运的天数，即可求出平均每天运的质量。
【详解】（730＋10）÷2
＝740÷2
＝370（吨）
370÷5＝74（吨）
答：平均每天运 74吨。
3．2022年我国成功举办了北京冬奥会，冰墩墩是北京冬奥会的吉祥物。原来玩具厂做一个冰墩墩毛
绒玩具需要材料 13.8克，改进制作方法后减少了材料损耗，每个只需材料 13.5克。原计划做180个
冰墩墩毛绒玩具所用的材料，现在可以做多少个？
【答案】184个
【分析】用原来做一个冰墩墩毛绒玩具需要材料的重量×原计划做冰墩墩毛绒玩具的数量180个，求出
原计划做180个冰墩墩毛绒玩具需要材料的重量，再除以改进制作方法后每个冰墩墩毛绒玩具需要材
料的重量，即可解答。
【详解】13.8×180÷13.5
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＝2484÷13.5
＝184（个）
答：现在可以做 184个。
4．李阿姨买了9.5千克苹果，给售货员100元，找回46.8元，每千克苹果多少元？
【答案】
5.6元
【分析】根据题意得：每千克苹果价格＝（100元－找回的46.8元）÷苹果质量9.5千克，运用小数的
四则运算法则计算得出答案。
【详解】（100－46.8）÷9.5
＝53.2÷9.5
＝5.6（元）
答：每千克苹果 5.6元。
1．阳光小学开展读书活动，小华积极参加读书活动，他看了一本 254页的故事书，前5天平均每天
看28页，剩下的页数打算3天看完，剩下的平均每天看多少页？
【答案】38页
【分析】已知前5天平均每天看28页，根据乘法的意义，用28乘5，先算出前5天看了故事书的页
数，用这本故事书的总页数减去前 5天看了故事书的页数，求出看了5天后剩下的页数，再除以3，
即可求出剩下的平均每天看多少页；据此列式计算即可解答。
【详解】（254－28×5）÷3
＝（254－140）÷3
＝114÷3
＝38（页）
答：剩下的平均每天看38页。
2．一种儿童无人航拍飞机原来每架 240元，降价后，原来买6架的钱现在可以多买2架，降价后这
种儿童无人航拍飞机每架多少元？
【答案】180元
【分析】已知原来买 6架的钱现在可以多买2架，即现在可以买6＋2＝8（架）；根据总价＝单价×数
量，用240乘6，即可求出原来买6架这样的儿童无人航拍飞机的总钱数；要求降价后这种儿童无人
航拍飞机每架多少元，根据除法的意义，用原来买6架这样的儿童无人航拍飞机的总钱数除以现在可
以买这样的儿童无人航拍飞机的架数，即可解答。
【详解】240×6÷（6＋2）
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＝240×6÷8
＝1440÷8
＝180（元）
答：降价后这种儿童无人航拍飞机每架 180元。
3．服装厂做一套童装原来需要 1.14米布，改进制作方法后，每套节约0.19米。原来做60套衣服用
的布，现在可以做多少套？
【答案】72套
【分析】总米数＝每套童装需要布的米数×数量，用1.14×60，求出原来做60套童装需要布的米数，
再用1.14－0.9，求出改进制作方法后每套童装需要布的米数，再用原来做60套童装需要的布的米数
÷改进制作方法后每套童装需要布的米数，即可解答。
【详解】1.14×60÷（1.14－0.19）
＝68.4÷0.95
72（套）
答：现在可以做 72套。
4．奇思家11月每天预订 4袋纯牛奶，零售价每袋1.10元，奇思家按批发价共付114元。这样每袋
比零售价便宜多少元？
【答案】0.15元
【分析】11月份是 30天；奇思家11月份每天预定 4袋纯牛奶，用4×30，求出11月份奇思家一共订
纯牛奶的袋数；再根据单价＝总价÷数量，用 114÷11月份订纯牛奶的袋数，求出按批发价每袋纯牛奶
的价钱；再用零售价－批发价，即可解答。
【详解】11月份＝30天
1.10－114÷（4×30）
＝1.10－114÷120
＝1.10－0.95
＝0.15（元）
答：这样每袋比零售价便宜 0.15元。
1．便民超市周一售出8箱纯奶和6箱酸奶，一共收入720元。已知售出1箱纯奶和1箱酸奶可收入
104元，每箱纯奶多少元？每箱酸奶多少元？
【答案】每箱纯奶 48元，每箱酸奶56元
【分析】用1箱纯奶和1箱酸奶的价钱乘6，求出6箱纯奶和6箱酸奶的价钱。用8箱纯奶和6箱酸
奶的价钱减去6箱纯奶和6箱酸奶的价钱，求出2箱纯奶的价钱，再除以2，求出每箱纯奶的价钱。
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用1箱纯奶和1箱酸奶的价钱减去每箱纯奶的价钱，求出每箱酸奶的价钱。
【详解】（720－104×6）÷（8－6）
＝（720－624）÷2
＝96÷2
＝48（元）
104－48＝56（元）
答：每箱纯奶48元，每箱酸奶56元。
2．甲、乙和丙三个人去郊游，他们合买了 8个面包平均分着吃，甲付了5个面包的钱，乙付了3个
面包的钱，丙没带钱。吃饭后算了一下，丙应该拿出 4.8元钱，那么丙应该给甲和乙各多少钱？
【答案】甲4.2元；乙0.6元
【分析】根据丙应该拿出4.8元钱，可知8个面包的总价为4.8×3＝14.4（元），因此每个面包的价钱
为14.4÷8＝1.8（元）。再求甲付 5个面包的价钱为（1.8×5）元，再减去每个人应付的4.8元，就可
求得丙应该给甲的钱，丙给甲后剩余的钱数就是丙应该给乙的钱数。
【详解】4.8×3÷8×5－4.8
＝14.4÷8×5－4.8
＝1.8×5－4.8
＝9－4.8
＝4.2（元）
4.8－4.2＝0.6（元）
答：丙应该给甲 4.2元，给乙0.6元。
【点睛】本题主要考查小数四则复合应用题，求出一个面包的钱数是解题的关键。
1．周末爸爸、妈妈带明明到游泳馆游泳，明明游了9次，爸爸、妈妈各游3次，哪个方案合适？
票价
方案一：成人：40元/次，儿童：25元/次
方案二：办卡：480元（15次）
成人、儿童均可使用。
【答案】选方案一合算
【分析】根据爸爸、妈妈和明明三人游泳的次数，分别计算两种方案所需钱数，然后比较即可得出答
案。
【详解】方案一：
40×3×2＋25×9
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＝240＋225
＝465（元）
方案二：
3＋3＋9＝15（次）
15＝15
办卡的次数刚好用完，需要 480元。
465＜480
所以方案一更省钱。
答：明明游9次，爸爸、妈妈各游3次，选方案一合算。
2．某地上网有两种收费方式，用户可以任选其一：A计时制：1元/小时；B 包月制：80元/月。此外，
每一种上网方式都加收通讯费 0.1元/小时。
（1）某用户每月上网40小时，选择哪种上网方式比较合算？
（2）某用户每月有 100元钱用于上网，选用哪种上网方式比较合算？
（3）请你为用户设计一个方案，使用户能合理地选择上网方式。
【答案】（1）A种
（2）B 种
（3）见详解
【分析】（1）根据上网时间，分别计算两种方式的总费用，比较后回答问题；
（2）先设每月上网x小时，根据题意得到 A种上网方式中，x＋0.1x＝100，求出x的值，同理求出
B 种方式的时间，比较后回答问题；
（3）先设每月上网x小时，收费y元，根据题意得：y ＝x＋0.1x＝1.1x，y ＝80＋0.1x，分别计算出
A B
当y ＝y 时，当y ＞y 时，当y ＜y 时的上网时间，合理地选择上网方式。
A B A B A B
【详解】（1）A种上网方式：40×1＋0.1×40
＝40＋4
＝44（元）
B 种上网方式：80＋0.1×40
＝80＋4
＝84（元）
44元＜84元
答：A种上网方式比较合算。
（2）解：设每个月上网x小时。
A种上网方式：x＋0.1x＝100
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1.1x＝100
1.1x÷1.1＝100÷1.1
x≈90.9
B 种上网方式：80＋0.1x＝100
80＋0.1x－80＝100－80
0.1x＝20
0.1x÷0.1＝20÷0.1
x＝200
90.9＜200
答：选择B 种上网方式比较合算。
（3）设每月上网x小时，收费y元，根据题意得： y ＝x＋0.1x＝1.1x，y ＝80＋0.1x。
A B
当y ＝y 时，即1.1x＝80＋0.1x
A B
1.1x－0.1x＝80＋0.1x－0.1x
x＝80
当y ＞y 时，即1.1x＞80＋0.1x
A B
1.1x－0.1x＞80＋0.1x－0.1x
x＞80
当y ＜y 时，即1.1x＜80＋0.1x
A B
1.1x－0.1x＜80＋0.1x－0.1x
x＜80
当每月上网为80小时时，选择两种上网方式都可以；
当每月上网大于 80小时时，选择B 种上网方式合算；
当每月上网小于 80小时时，选择A种上网方式合算。
【点睛】此题考查了学生的理解分析能力以及列方程解答的能力。
1．一套“百科知识”丛书售价88元，现在书店促销，每套丛书便宜24元，原来买120套丛书的钱，
现在可以买多少套？
【答案】165套
【分析】根据单价×数量＝总价，求出原来买120套丛书花多少元，再根据数量＝总价÷单价，用原来
买120套书的钱数除以现在每套的单价即可。
【详解】120×88÷（88－24）
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＝10560÷64
＝165（套）
答：现在可以买 165套。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握单价、数量、总价三者之间的关系及应用。
2．为推进“绿色莘县”建设，转变城市生活垃圾治理模式，莘县积极倡导“垃圾分类就是新时尚”理念，
引导市民积极参与生活垃圾分类，燕塔小区添置了一个“智能垃圾分类回收机”。
智能垃圾分类回收标准
纸类回收 旧衣服回收 金属回收 塑料回收 玻璃回收
0.80元/千克 0.50元/千克 1.50元/千克 0.20元/千克 公益回收
王阿姨往回收机里投递7千克废报纸和一些旧衣服，共得到8.20元钱。王阿姨投递了多少千克旧衣
服？
【答案】5.2千克
【分析】根据单价×数量＝总价，先用（7×0.8）求出7千克废报纸的钱数，再用8.2元减去废报纸的
钱数，得到旧衣服的钱数，最后用旧衣服的钱数除以每千克旧衣服回收的单价即可解题。
【详解】（8.2－7×0.8）÷0.5
＝（8.2－5.6）÷0.5
＝2.6÷0.5
＝5.2（千克）
答：王阿姨投递了 5.2千克旧衣服。
1．某超市搞商品促销活动。销售方式如下：
A促销方式：每盒饼干4.50元，买三送一；
B 促销方式：饼干每盒降价1.05元。
某幼儿园想买32盒饼干，你认为哪种方式更实惠？（请通过计算说明你的理由）
【答案】A促销方式更实惠
【分析】A：买三送一的意思就是每（3＋1）盒饼干中有1盒是送的，用32除以（3＋1）求出包含的
组数，再乘3就是需要付款的盒数，用需要付款的盒数乘每盒的钱数即可求出总价；B：用减法计算
降价后的单价，然后用饼干的盒数乘单价即可求出总价。计算后比较两种促销方式哪个更实惠。
【详解】A促销方式：
32÷（3＋1）×3
＝32÷4×3
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＝24（盒）
24×4.5＝108（元）
B 促销方式：
32×（4.5－1.05）
＝32×3.45
＝110.4（元）
108＜110.4
答：A促销方式更实惠。
【点睛】灵活运用单价、数量、总价之间的关系是解答此题的关键。
2．王叔叔一共要买 52盒牛奶，请你算一算，哪家超市便宜？一共需要多少钱？
A超市： B 超市：买1箱送10盒
2.5元/盒 58元/箱（24盒） 2.6元/盒 60元/箱（24盒）
【答案】B 超市便宜；106.8元
【分析】①A超市牛奶一箱24盒58元，单独购买一盒 2.5元，要买52盒牛奶，就要看52盒牛奶里
有几份24，有几份就要花费几个58元，还剩几盒就加上几个2.5元，这样计算出一共的花费；
②B 超市买一箱送10盒，意味着一箱是（24＋10）盒，先用52盒减去34盒，得到18盒，则要花费
一箱牛奶的钱数和 18盒牛奶的钱数，然后再与A超市的花费作比较。
【详解】A超市：52242（箱）……4（盒）
5822.54
＝116＋10
＝126（元）
B
超市：522410
5234
18（盒）
60182.6
＝60＋46.8
＝106.8（元）
106.8＜126
答：去B 超市便宜，一共需要106.8元。
【点睛】这是一道有关小数运算的实际应用，也是方案问题，关键是理解两种方案的异同，并结合具
体题意列出算式，尤其注意题目里“买送”的条件的含义。
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1．1名老师带45名学生去人民公园划船，大船限乘8人，每条30元，小船限乘6人，每条25元，
怎样租船最划算，需多少元钱？
【答案】租5艘大船1艘小船最划算，需175元
【分析】根据题意，结合实际可知，多租大船，少租小船，空的位置越少，花费越少。据此考虑即可。
【详解】45＋1＝46（人）
先考虑全部坐大船：46÷8＝5（条）……6（人）
剩下6人可以坐一条小船。
5×30＋25
＝150＋25
＝175（元）
答：租5艘大船1艘小船最划算，需175元。
2．红星小学有250名学生，现在要租车去旅游。有两种车选择，48座的大巴车，每辆租费480元；
20座的中巴车，每辆租费220元。怎样租车才能使每个旅客都有座位，又最省钱？
【答案】4辆大巴车和3辆中巴车
【分析】方案一：用学生的总人数除以大巴车的载客量，即 250÷48＝5（辆）⋯ ⋯ 10（名），剩余10
名学生，选择5辆大巴车和1辆中巴车，分别用大巴车和中巴车的数量乘租费，求出租大巴车和中巴
车的费用，再相加即可得解；
方案二：选择4辆大巴车，可载客4×48＝192人，250－192＝58（名），58名学生可选择租3辆中
巴车即可坐满，分别用大巴车和中巴车的数量乘租费，求出租大巴车和中巴车的费用，再相加即可得
解；
方案三：用学生的总人数除以中巴车的载客量，即250÷20＝12（辆）⋯ ⋯ 10（名），剩余10 名学生，
选择1辆大巴车和12辆中巴车，分别用大巴车和中巴车的数量乘租费，求出租大巴车和中巴车的费
用，再相加即可得解。分别求出三种方案里租车的费用，再比较大小即可得解。
【详解】方案一：选择5辆大巴车和1辆中巴车，
5×480＋1×220
＝2400＋220
＝2620（元）
方案二：选择4辆大巴车和3辆中巴车，
4×480＋3×220
＝1920＋660
＝2580（元）
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方案二：选择1辆大巴车和12辆中巴车，
1×480＋12×220
＝480＋2640
＝3120（元）
2580元＜2620元＜3120元
答：租4辆大巴车和3辆中巴车才能使每个旅客都有座位，又最省钱。
【点睛】最优化问题常用比较法进行解答，分别计算出三种方案的价格，再进行比较。
1．工程队修一条长 8.5千米的水渠，前3周平均每周修1.6千米，剩下的要用2周修完，剩下的平均
每周修多少千米？
【答案】
1.85千米
【分析】根据题意，前3周共修了1.634.8米 ，剩下8.54.83.7米，剩下的要用2周修完，用剩下
的工作量除以时间即可算出平均每周要修多少千米。
【详解】8.531.62
8.54.82
3.72
1.85（千米）
答：剩下的平均每周修1.85千米。
2．立山镇计划翻修一条长为 8.15千米的柏油路，已经修了8天，每天修0.45千米，剩下的需要7
天修完，剩下的平均每天要修多少千米？
【答案】0.65千米
【分析】根据工作效率×工作时间＝工作总量，即用0.45乘8即可求出8天修的长度，再用这条柏油
路的总长度减去 8天修的长度即可求出还剩下的长度，最后根据工作总量÷工作时间＝工作效率，即
用还剩下的长度除以7即可求出剩下的平均每天要修多少千米。
【详解】（8.15－0.45×8）÷7
＝（8.15－3.6）÷7
＝4.55÷7
＝0.65（千米）
答：剩下的平均每天要修0.65千米。
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1．为了鼓励居民节约用水，某市自来水公司规定了水费的计算方法。每户每月用水不超过12 吨（含
12吨），按每吨3元计算。超过12吨的，超过部分每吨收费4.5元。
（1）李老师家12月份用水10.5吨，需交水费多少元？
（2）赵老师家12月份交水费57.6元，实际用水多少吨？
【答案】（1）31.5元；
（2）16.8吨
【分析】（1）李老师家 12月份用水10.5吨，10.5吨＜12吨，所以按每吨3元收费；根据“单价×数量
＝总价”，求出李老师家12月份需交的水费。
（2）12吨水的费用为3×12＝36元，赵老师家12月份交水费57.6元，超过36元的部分则为超过12
吨部分的水费，按每吨4.5元收费，根据“总价÷单价＝数量”，求出这部分的用水量，再加上12吨，
即是赵老师家12月份实际的用水量。
【详解】（1）3×10.5＝31.5（元）
答：李老师家12月份需交水费31.5元。
（2）（57.6－3×12）÷4.5
＝（57.6－36）÷4.5
＝21.6÷4.5
＝4.8（吨）
一共：12＋4.8＝16.8（吨）
答：赵老师家12月份实际用水16.8吨。
2．节约用水，利在当代，功在千秋。为鼓励居民节约用水，福清市某自来水公司采取按月分段计费
的方法收取水费。具体标准如下表：
分段计费标准（不足 1吨，按1吨收费）
分段 户月用水量（吨） 水费标准（元/吨）
第一档 1~30 2.7
第二档 31~60 3.6
第三档 61吨及以上 4.1
（1）小思家这个月用水65吨，应缴水费多少元？
（2）小维家这个月缴费135元，他家可能用了多少吨水？
【答案】（1）209.5元
256
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（2）45吨
【分析】（1）小思家用水量超过60吨，分三段计费，先求出超出60吨的吨数，第一档满用水量×相
应每吨费用＋第二档满用水量×相应每吨费用＋超出60吨的用水量×相应每吨费用＝应缴水费，据此
列式解答。
（2）第一档满用水量×相应每吨费用＝第一档满用水量费用，第一档满用水量×相应每吨费用＋第二
档满用水量×相应每吨费用＝满第二档用水费用，与小维家水费比较，确定小维家用水量在第二档，
（小维家水费－第一档满用水量费用）÷第二档每吨费用＝超出30吨的用水量，再加上30吨是他家用
水量，据此列式解答
【详解】（1）65－60＝5（吨）
30×2.7＋30×3.6＋5×4.1
＝81＋108＋20.5
＝209.5（元）
答：应缴水费209.5元。
（2）30×2.7＝81（元）
30×2.7＋30×3.6
＝81＋108
＝189（元）
81＜135＜189
小维家用水量在第二档。
（135－81）÷3.6＋30
＝54÷3.6＋30
＝15＋30
＝45（吨）
答：他家可能用了 45吨水。
【点睛】关键是理解计费规则，掌握小数乘除法的计算方法。
6
1．白兔只数的 等于黑兔的只数，白兔有105只，黑兔有多少只？本题把( )看作单位“1”，
7
6
根据( )× ＝( )，黑兔有( )只。
7
【答案】 白兔只数 白兔只数 黑兔只数 90
6
【分析】白兔只数的 等于黑兔的只数，白兔的只数是单位“1”，白兔只数×黑兔对应分率＝黑兔只数，
7
据此分析。
257
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6
【详解】105× ＝90（只）
7
6
白兔只数的 等于黑兔的只数，白兔有105只，黑兔有多少只？本题把白兔只数看做单位“1”，根据
7
6
白兔只数× ＝黑兔只数，黑兔有90只。
7
1 ( )
2．女职工人数比男职工多 ，是把( )看作单位“1”，女职工人数是男职工的 。
5 ( )
6
【答案】男职工人数；
5
【分析】确定单位“1”，找含有分率的这句话中的关键词，如：比、相当于、等于、是、占……，把男
1
职工人数看作单位“1”，女职工人数是男职工的（1＋ ），据此分析。
5
1 6
【详解】1＋ ＝
5 5
1 6
女职工人数比男职工多 ，是把男职工人数看作单位“1”，女职工人数是男职工的 。
5 5
3 3
1．汽艇是水中的快速交通工具，它每分行驶 千米，帆船的速度是它的 ，帆船每分行驶多少千米？
5 11
9
【答案】 千米
55
3
【分析】求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。将汽艇的速度乘 ，求出帆船的速度。
11
3 3 9
【详解】 × ＝ （千米）
5 11 55
9
答：帆船每分行驶 千米。
55
2．苹果是一种营养价值极高的水果，苹果中的类黄酮有助于人体及时排出体内垃圾。一个苹果中，
3 4
碳水化合物的质量大约占苹果质量的 ，类黄酮的质量是碳水化合物质量的 。如果一个苹果重 160
20 3
克，那么这个苹果中含有类黄酮多少克？
【答案】32克
【分析】将苹果质量看作单位“1”，苹果质量×碳水化合物的对应分率＝碳水化合物的质量，再将碳水
化合物的的质量看作单位“1”，碳水化合物的质量×类黄酮的对应分率＝类黄酮的质量，据此列式解答。
3 4
【详解】160
20 3
4
24
3
32（克）
答：这个苹果中含有类黄酮 32克。
2
3．校园里有香樟树 28棵，银杏树比香樟树少 ，银杏树有多少棵？
7
（1）画线段图整理条件和问题。
258
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香樟树
银杏树
（2）结合线段图，列式解答。
【答案】（1）见详解
（2）20棵
【分析】（1）把香樟树28棵看作单位“1”，画出一条线段表示香樟树数量，将表示香樟树棵数的线段
平均分成7份，再取其中的5份的长度画出表示银杏树数量的线段，标注出银杏树比香樟树少2份，
可得出线段图。
2
（2）银杏树占香樟树28棵的 1 ，根据一个数乘分数的意义，用乘法解答。
7
【详解】
（1）
2
（2）28(1 )
7
5
28
7
20（棵）
答：银杏树有20棵。
1
4．红红家六月份水费60元，七月份水费比六月份多 ，红红家七月水费多少元？
4
【答案】75元
【分析】把六月份的水费看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法，利用六月份的水费乘七
1
月份水费比六月份多 ，求出七月份比六月份多的水费，再加上六月份的水费即可。
4
1
【详解】6060
4
6015
75（元）
答：红红家七月水费75元。
【点睛】本题考查了求一个数的几分之几是多少的问题。
5．一段路全长1000千米，第一天走了全长的20%，第二天走了全长的30%，两天一共走了多少千
米？
【答案】500千米
259
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【分析】从“第一天走了全长的 20%，第二天走了全长的30%”可知，以全长为单位“1”，两天一共走了
全长的（20%＋30%）。根据求一个数的百分之几是多少，用乘法计算，用全长的千米数×（20%＋30%），
即可求出两天一共走了多少千米。据此解答。
【详解】1000×（20%＋30%）
＝1000×50%
＝500（千米）
答：两天一共走了 500千米。
6．公园里原来有路灯40盏，如果把路灯的数量增加62.5%，公园里将会有多少盏路灯？
【答案】65盏
【分析】根据题意，把原来路灯的数量看作单位“1”，则现在的数量是原来的（162.5%），原来路灯
的数量×现在的对应百分率＝现在路灯的数量，据此列式解答。
【详解】40(162.5%)
401.625
65（盏)
答：公园里将会有 65盏路灯。
7．噪音对人体健康有害，绿化造林可降低噪音，一辆公共汽车行驶的噪音是80分贝，绿化带可以降
低12.5%的噪音，绿化带降低噪音后，人听到的噪音是多少分贝？
【答案】70分贝
【分析】把公共汽车行驶时人听到的声音 80分贝看作单位“1”，绿化带可使噪音降低12.5%，那么绿化
带降低噪音后人听到的声音是 80分贝的(112.5%)，根据分数乘法的意义，用80分贝乘这个分率即可
求解。
【详解】80(112.5%)
800.875
70（分贝）
答：人听到的噪音是70分贝。
【点睛】本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量求它的百分之几是多少用乘法求解。
1．为了激发同学们的潜能、展示特长、培养创新意识，学校每年都要举行科技节。今年科技节六年
3
级上交科幻画、小制作、小发明作品共 168件，其中小制作占 ，科幻画与小发明的数量比是5:1，
7
六年级交科幻画多少件？
【答案】80件
260
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3
【分析】根据题意，把六年级上交作品的总数看作单位“1”，其中小制作占 ，那么科幻画与小发明的
7
3 3
数量占作品总数的(1 )，用作品的总数量×（1－ ），求出科幻画与小发明作品的数量，再根据科
7 7
幻画与小发明作品的数量比是 5∶1，即把科幻画与小发明作品总份数分成5＋1＝6份，再用科幻画
与小发明作品的数量除以总份数，求出 1份的数量，进而求出科幻画的数量，即可解答。
3
【详解】168×（1－ ）
7
4
＝168×
7
＝96（件）
5＋1＝6（份）
96÷6×5
＝16×5
＝80（件）
答：六年级交科幻画80件。
2．在退林还耕活动中，工程队整理一块 200公顷的土地，第一天整理了这块地的20%，第二天整理
1
了这块地的 ，第二天比第一天多整理了多少公顷？
4
【答案】10公顷
【分析】将这块地的总公顷数看作单位“1”，已知第一天整理了这块地的20%，第二天整理了这块地的
1 1 1
，则第二天比第一天多整理了这块地的( 20%)，单位“1”已知，用乘法，用200乘( 20%)，即可
4 4 4
求出第二天比第一天多整理了多少公顷。
1
【详解】200( 20%)
4
2000.05
10（公顷）
答：第二天比第一天多整理了 10公顷。
2 4
3．食堂运来大米 30吨，第一周用去总量的 ，第二周用去剩下的 ，食堂还剩下多少吨大米？
5 5
【答案】3.6吨
2 2 2
【分析】把将30吨大米看作单位“1”，第一周用去总量的 ，还剩下（1－ ），用30×（1－ ），求
5 5 5
2
出第一周用去总量的 ，还剩下的大米的重量；再把第一周剩下大米的重量看作单位“1”， 第二周用
5
4 4 4
去剩下的 ，还剩下（1－ ），再用第一周剩下大米的重量×（1－ ），即可求出剩下大米的重量，
5 5 5
据此解答。
261
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2 4
【详解】30×（1－ ）×（1－ ）
5 5
3 1
＝30× ×
5 5
1
＝18×
5
＝3.6（吨）
答：食堂还剩下 3.6吨大米。
1
1．甲、乙、丙三人共同加工1260个零件，甲加工了全部零件的 ，乙加工零件是丙加工零件个数的
3
2
。三人谁加工零件最多？为什么？（说明道理）
3
【答案】丙；见详解
1
【分析】将加工的全部零件看作单位“1”，将全部零件数乘 ，求出甲加工了多少；
3
2
将加工的全部零件减去甲的，求出乙和丙一共加工了多少个。乙加工零件是丙加工零件个数的 ，那
3
2
么乙加工的和丙加工的数量比是 2∶3，那么乙加工的是两人一起加工的 。将两人一起加工的乘
32
2
，求出乙加工的，同理再求出丙加工了多少。比较三人加工的数量，找出加工零件最多的人。
32
1
【详解】甲：1260× ＝420（个）
3
1260－420＝840（个）
2
乙：840×
32
2
＝840×
5
＝336（个）
3
丙：840×
32
3
＝840×
5
＝504（个）
答：丙加工的零件最多，因为 504＞420＞336。
【点睛】本题考查了分数乘法和比的应用，求一个数的几分之几是多少，用这个数乘分率。
2．一台洗衣机去年售价是 5000元，今年均价上涨了20%。装修公司需要一次购买100台，商场为了
促销，若是一次性付清就优惠 7%。一次性付款需要多少元？
【答案】558000元
【分析】根据题意，一台洗衣机去年售价是5000元，今年比去年上涨了20%，把去年的售价看作单位
“1”，则今年的售价是去年的（1＋20%），单位“1”已知，用乘法计算，求出今年一台洗衣机的售价；
262
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然后根据“单价×数量＝总价”，求出购买100台洗衣机的总价钱；
又已知一次性付清就优惠7%，即优惠的钱数是原价的7%，那么一次性付清的总钱数是原价的（1－
7%），把原来购买100台洗衣机的总价钱看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法计算，求出一次性付款
的总钱数。
【详解】今年一台洗衣机的售价：
5000×（1＋20%）
＝5000×1.2
＝6000（元）
100台洗衣机的总价：6000×100＝600000（元）
100台洗衣机一次性付款的总钱数：
600000×（1－7%）
＝600000×0.93
＝558000（元）
答：一次性付款需要558000元。
【点睛】本题考查百分数乘法的实际应用，找出单位“1”，注意两个单位“1”的不同，单位“1”已知，根
据百分数乘法的意义解答。
3 1
1．果园里有桃树 240棵，苹果树的棵数是桃树的 ，也是梨树的 ，梨树有多少棵？
4 3
【答案】540棵
3
【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即用 240乘 即可求出苹果树的棵数；再用
4
1
苹果树的棵数除以 即可求出梨树的棵数。
3
3 1
【详解】240× ÷
4 3
1
＝180÷
3
＝180×3
＝540（棵）
答：梨树有540棵。
1
2．淘气每天坚持晨跑，今天跑了 1000米，比昨天多跑了 ，淘气昨天跑了多少米？
4
【答案】800米
1 1
【分析】将昨天跑的距离看作单位“1”，今天比昨天多跑了 ，今天跑的是昨天的（1＋ ），今天跑
4 4
的距离÷对应分率＝昨天跑的距离，据此列式解答。
263
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1
【详解】1000÷（1＋ ）
4
5
＝1000÷
4
4
＝1000×
5
＝800（米）
答：淘气昨天跑了 800米。
5
3．六年级参加美术兴趣小组的有 160人，比参加书法兴趣小组的 多10人，参加书法兴趣小组的有
6
多少人？
【答案】180人
【分析】将参加书法兴趣小组的人数看作单位“1”，参加美术兴趣小组的人数－10人，刚好是参加书
5
法兴趣小组的 ，根据部分数量÷对应分率＝整体数量，即可求出参加书法兴趣小组的人数。
6
5
【详解】（160－10）÷
6
5
＝150÷
6
6
＝150×
5
＝180（人）
答：参加书法兴趣小组的有 180人。
4．李明家八月份的电费为120元，比七月份节约20%，李明家七月份的电费是多少元？
【答案】150元
【分析】根据题意，将七月份的电费看作单位“1”，李明家八月份的电费为120元，比七月份节约20%，
则七月份的电费＝八月电费÷ 120%，据此解答。
【详解】120120%
12080%
1200.8
150（元）
答：李明家七月份的电费是 150元。
1
1．红叶服装厂生产一批校服，第一周生产了全部的 ，第二周生产了900件，这时已经生产的占全
5
部的1 ，这批校服共有多少件？
2
【答案】3000件
264
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1 1
【分析】把这批校服的总件数看作单位“1”，则第二周生产的件数占总件数的( )，已知第二周生产
2 5
了900件，已知一个数的几分之几，求这个用除法即这批校服共有件数＝900÷第二周生产的件数占总
件数的分率。
1 1
【详解】900( )
2 5
3
900
10
10
900
3
3000（件）
答：这批校服共有 3000件。
2．学生们参加社会实践活动。六年级有 120人报名参加，比五年级参加的人数多20%，五、六年级
1
参加社会实践活动的总人数占全校参加社会实践活动总人数的 。全校有多少人参加社会实践活动？
3
【答案】660人
【分析】已知六年级有120人报名参加，比五年级参加的人数多20%，把五年级参加活动的人数看作
单位“1”，则六年级参加活动的人数是五年级的（1＋20%），单位“1”未知，用六年级参加活动的人数
除以（1＋20%），求出五年级参加活动的人数；
1
又已知五、六年级参加社会实践活动的总人数占全校参加社会实践活动总人数的 ，把全校参加活动
3
1
的总人数看作单位“1”，单位“1”未知，用五、六年级参加活动的人数之和除以 ，即可求出全校参加
3
活动的总人数。
【详解】五年级参加活动的人数：
120÷（1＋20%）
＝120÷1.2
＝100（人）
全校参加活动的总人数：
1
（120＋100）÷
3
＝220×3
＝660（人）
答：全校有660人参加社会实践活动。
3．为扩大市民休闲区，打造生态绿轴，市政府进行环山水渠景观提升改造工程，第一期工程改造了
全长的1 ，第二期工程改造了全长的 30%，还剩800米没有改造。这条环山水渠长多少米？
2
【答案】4000米
265
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【分析】将这条环山水渠总长看作单位“1”，由题意可知，剩下的800米占这条水渠全长的（1－1 －
2
30%），根据已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数，用除法解答。
【详解】800÷（1－1 －30%）
2
＝800÷（1－1 － 3 ）
2 10
1
＝800÷
5
＝800×5
＝4000（米）
答：这条环山水渠长4000米。
4．甲、乙、丙三个修路队共同修完了一条公路。已知甲队完成了总任务的一半，乙队修了 360米，
丙队承担了全长的 20%。这条公路全长多少米？
【答案】1200米
【分析】把这条公路的全长看作单位“1”，已知甲队完成了总任务的一半即完成了50%，乙队修了 360
米，丙队承担了全长的 20%，那么乙队修路的长度占全长的（1－50%－20%），单位“1”未知，用乙
队修路的长度除以（1－50%－20%），即可求出这条公路的全长。
【详解】360÷（1－50%－20%）
＝360÷（1－0.5－0.2）
＝360÷0.3
＝1200（米）
答：这条公路全长 1200米。
1 3
1．在学校开展的“创文”读书节活动中，李华读一本书，第一天读了全书的 ，第二天读了剩下的 ，
5 8
还剩80页没有读，这本书共有多少页？
【答案】160页
1 1
【分析】将总页数看作单位“1”，第一天读了全书的 ，还剩全书的（1－ ），还剩全书的几分之几×
5 5
第二天读了剩下的几分之几＝第二天读了全书的几分之几，1－第一天读了全书的几分之几－第二天
读了全书的几分之几＝还剩全书的几分之几，剩下没有读的页数÷对应分率＝全书总页数，据此列式
解答。
1 1 3
【详解】80÷[1－ －（1－ ）× ]
5 5 8
266
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4 4 3
＝80÷[ － × ]
5 5 8
4 3
＝80÷[ － ]
5 10
＝80÷ 1
2
＝80×2
＝160（页）
答：这本书共有 160页。
【点睛】关键是确定单位“1”，理解分数除法的意义，本题关键是进行单位“1”的转化，将第二天读了
剩下的几分之几转化成读了全书的几分之几。
1
2．在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的 少2万方，第
3
二次运了剩下的1 多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？
2
【答案】42万方
【分析】方法一：把这堆石料的总方数设为未知数，用含有字母的式子表示出第一次和第二次运走的
石料，等量关系式：这堆石料的总方数－第一次运走的方数－第二次运走的方数＝剩下石料的方数；
方法二：运用逆推还原的方法解答，先把第一次运走之后剩下的方数看作单位“1”，（12＋3）万方刚
好占单位“1”的（1－1 ），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一次运走之后剩下的方数，再把这堆
2
1
石料的总方数看作单位“1”，第一次运走之后剩下的方数减去 2万方刚好占单位“1”的（1－ ），根据
3
量÷对应的分率＝单位“1”求出这堆石料的总方数，据此解答。
【详解】方法一：解：设这堆石料共有 x万方。
1
第一次运走的石料：（ x－2）万方
3
第二次运走的石料：[x－（ 1 x－2）]× 1 ＋3
3 2
＝[x－ 1 x＋2]× 1 ＋3
3 2
＝[ 2 x＋2]× 1 ＋3
3 2
＝ 2 x× 1 ＋2× 1 ＋3
3 2 2
1
＝ x＋1＋3
3
1
＝（ x＋4）万方
3
1 1
x－（ x－2）－（ x＋4）＝12
3 3
1 1
x－ x＋2－ x－4＝12
3 3
267
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1 1
（x－ x－ x）－（4－2）＝12
3 3
1
x－2＝12
3
1
x＝12＋2
3
1
x＝14
3
1
x＝14÷
3
x＝14×3
x＝42
方法二：
第一次运走之后剩下的方数：（12＋3）÷（1－1 ）
2
＝15÷ 1
2
＝15×2
＝30（万方）
1
这堆石料的总方数：（30－2）÷（1－ ）
3
2
＝28÷
3
3
＝28×
2
＝42（万方）
答：这堆石料共有 42万方。
【点睛】用方程解答时准确表示出第一次运走的方数和第二次运走的方数，用逆推法还原时多就加，
少就减，再除以 1减分率的差，分步计算，求出最初的结果。
11
3．为庆祝建党100周年，某校六年级90名学生参加合唱，其中女生占 ，后来又有若干名女生加
15
3
入，这时女生占总人数的 ，后来加入了多少名女生？
4
【答案】6名
11 4 4
【分析】最开始女生占 ，说明男生占 。将参加合唱的总人数看作单位“1”，将总人数乘 ，求出
15 15 15
1
男生人数。后来转入若干名女生，男生人数是不变的，将男生人数除以此时男生人数占的分率 ，求
4
出此时参加合唱的总人数。将后来的合唱总人数减去 90人，求出加入的女生人数。
268
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11 3
【详解】901 1 90
15 4
4 1
90 90
15 4
24490
9690
＝6（名）
答：后来加入了 6名女生。
【点睛】本题考查了分数乘除法应用题，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法。
3
4．果园里有苹果树和梨树一共 800棵，其中苹果树占总棵数的 。后来又栽种了一些梨树后，这时
5
2
苹果树占总棵数的 。后来又栽种了多少棵梨树？
5
【答案】400棵
3 2
【分析】先用800乘 ，求出苹果树的棵数，再根据种了一些梨树之后，苹果树占总棵数的 ，求出
5 5
此时的总棵数，再用现在的总棵数减去之前的，求出后来又栽种了多少棵梨树即可。
3 2
【详解】之后种的梨树：800 800
5 5
2
480 800
5
1200800
400（棵）
答：后来又栽种了 400棵梨树。
【点睛】本题考查分数乘除法，解答本题的关键是掌握题中的数量关系式。
1．一项工程，甲、乙两个施工队同时从两端开工，相向而行，速度之比是 7∶4，在距中点18千米
处相遇，此时甲、乙各修了多少千米？
【答案】甲修了84千米；乙修了48千米
7
【分析】由题意可知，甲、乙两个施工队的速度之比是7∶4，即甲修的长度占全程的 ，乙修的长
74
度占全程的 4 ，甲、乙在距中点18千米处相遇，即18千米占全程的（ 7 －1 ），再根据已知一
74 74 2
个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即用 18除以（ 7 －1 ）即可求出全程的长度，
74 2
再根据分数乘法的意义，求出甲、乙各修了多少千米。
【详解】18÷（ 7 －1 ）
74 2
＝18÷（ 7 －1 ）
11 2
269
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3
＝18÷
22
22
＝18×
3
＝132（千米）
7
132×
74
7
＝132×
11
＝84（千米）
4
132×
74
4
＝132×
11
＝48（千米）
答：甲修了84千米，乙修了48千米。
3
2．某厂原有职工 200人，男、女工人数比为7:3，后来招进一些女工，此时女工人数占全厂总数的 ，
7
招进多少女工？
【答案】45人
7
【分析】某厂原有职工200人，男、女工人数比为7:3，则男工人数占总人数的 ，根据求一个数
73
7
的几分之几是多少，用乘法计算，即用200乘 即可得到男工人数；后来招进一些女工，男工人数
73
3
不变，男工人数占全厂总数的（1－ ），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计
7
3
算，即用男工人数除以（1－ ）即可求出招进女工后全厂的总人数，再减去原来职工的总人数即可
7
求出招进多少女工。
7
【详解】200×
73
7
＝200×
10
＝140（人）
3
140÷（1－ ）
7
4
＝140÷
7
7
＝140×
4
＝245（人）
245－200＝45（人）
答：招进女工45人。
270
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【点睛】本题考查按比分配问题，明确男职工人数不变是解题的关键。
1
3．一堆钢材，第一次用去全部的 ，第二次用去15吨，已经用去的质量和剩下的质量比是 2∶3，这
5
堆钢材原来重多少吨？
【答案】75吨
【分析】把这堆钢材的总质量看作单位“1”，已经用去的质量和剩下的质量比是2∶3，则已经用去钢
2 1 2 1
材的质量是总质量的 ，第一次用去全部的 ，说明第二次用去的总质量的（ － ），第二次
23 5 23 5
用去15吨，根据量÷对应的分率＝单位“1”的量，代入数据即可求出这堆钢材原来重多少吨。
2 1
【详解】15÷（ － ）
23 5
2 1
＝15÷（ － ）
5 5
1
＝15÷
5
＝15×5
＝75（吨）
答：这堆钢材原来重75吨。
【点睛】本题考查分数除法的应用，找出量和对应的分率是解答题目的关键。
4．昨天张伯伯从菜地采摘了三种蔬菜，其中黄瓜占总质量的 40%，西红柿和茄子的质量比是2∶3，
且西红柿比茄子的质量少24千克。张伯伯一共采摘了多少千克蔬菜？
【答案】200千克
2
【分析】西红柿和茄子的质量比是2∶3，西红柿占西红柿和茄子质量总和的 ，茄子占西红柿和茄子
5
3 3
质量总和的 ，西红柿比茄子少24千克，西红柿比茄子少的24千克占西红柿和茄子质量总和的（ －
5 5
2
），据此先求出西红柿和茄子的质量和，因为黄瓜占总质量的40%，则西红柿和茄子的质量和占总
5
质量的（1－40%），用西红柿和茄子的质量和÷对应百分率，求出总质量。
3 2
【详解】24÷（ － ）÷（1－40%）
5 5
1
＝24÷ ÷0.6
5
＝120÷0.6
＝200（千克）
答：张伯伯一共采摘了200千克蔬菜。
【点睛】本题考查了比的意义，分数、百分数复合应用题，关键是找到对应分率和对应百分率。
5 5
1．把 米长的铁丝平均分成 5段，每段长( )米；把一段铁丝的 平均分成6份，每份是这段
8 8
271
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铁丝的( )。
1 1
【答案】 /0.125
8 6
【分析】第一个空，铁丝长度÷平均分的段数＝每段长度，除以一个数等于乘这个数的倒数，据此列式
计算；
第二个空，将铁丝长度看作单位“1”，1÷平均分的份数＝每份是这段铁丝的几分之几。
5 5 1 1
【详解】 ÷5＝ × ＝ （米）
8 8 5 8
1
1÷6＝
6
5 1 5 1
把 米长的铁丝平均分成 5段，每段长 米；把一段铁丝的 平均分成6份，每份是这段铁丝的 。
8 8 8 6
3 3
2．一袋大米 20千克，如果吃去 千克，还剩( )千克；如果吃去它的 ，还剩( )千克。
5 5
2
【答案】 19 8
5
3
【分析】根据题意，如果吃去 千克，求还剩多少千克，用大米的重量－吃去的重量解答；
5
3 3 3
把大米的重量看作单位“1”，吃去它的 ，还剩（1－ ），再用大米的重量×（1－ ），即可求出还
5 5 5
剩大米的重量。
3 2
【详解】20－ ＝19 （千克）
5 5
3
20×（1－ ）
5
2
＝20×
5
＝8（千克）
3 2 3
一袋大米20千克，如果吃去 千克，还剩19 千克；果吃去它的 ，还剩8千克。
5 5 5
1．已知甲数是乙数的 80%，那么甲乙两数的比是( )，甲数比乙数少( )%，乙数比甲
数多( )%，甲数是两数的和的( )。
4
【答案】 4∶5 20 25
9
【分析】根据题意及百分数的意义，假设甲数为80，则乙数为100，甲乙两数的比为80:100，再将比
化为最简整数比即可；将乙数看作单位“1”，甲乙两数的差除以乙数，即可算出甲数比乙数少百分之
几；将甲数看作单位“1”，甲乙两数的差除以甲数，即可算出乙数比甲数多百分之几；将甲乙两数的
和看作单位“1”，甲数除以两数的和，即可算出甲数占两数和的分率。
【详解】设甲数为 80，则乙数为100，
甲乙两数的比是：80:1008020:100204:5
272
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甲数比乙数少：10080100
20100
0.2
20%
乙数比甲数多：1008080
2080
0.25
25%
甲数是两数和的：8080100
80180
4
9
所以，已知甲数是乙数的80%，那么甲乙两数的比是4:5，甲数比乙数少20%，乙数比甲数多25%，
4
甲数是两数和的 。
9
1
2．学校田径队的男生人数比女生人数多 ，男生人数和女生人数的最简整数比是
4
( )∶( )。女生人数占男生人数的 ，男生人数占田径队总人数的 。
4 5
【答案】5；4； ；
5 9
1
【分析】设女生人数是4人；把女生人数看作单位“1”，男生人数是女生人数的（1＋ ），用女生人
4
1
数×（1＋ ），求出男生人数，再根据比的意义：用男生人数∶女生人数即可；
4
再用女生人数÷男生人数，求出女生人数占男生人数的几分之几；
用男生人数÷（男生人数＋女生人数），即可求出男生人数占田径队总人数的几分之几。
【详解】设女生人数是4。
1
4×（1＋ ）
4
5
＝4×
4
＝5
所以男生人数和女生人数的最简整数比是 5∶4。
4
4÷5＝
5
5÷（4＋5）
＝5÷9
273
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5
＝
9
1
学校田径队的男生人数比女生人数多 ，男生人数和女生人数的最简整数比是5∶4。女生人数占男
4
4 5
生人数的 ，男生人数占田径队总人数的 。
5 9
3．故事书有200本，科技书有160本，故事书的本数比科技书多百分之几？
【答案】25%
【分析】用故事书与科技书的本数差，除以科技书的本数，再乘 100%，即可解答。
【详解】（200－160）÷160×100%
＝40÷160×100%
＝0.25×100%
＝25%
答：故事书的本数比科技书多 25%。
1． 一道题全班有45人做对，5人做错，全班做这道题的正确率是( )%。
【答案】90
【分析】正确率是指做正确的人数占全班人数的百分比，计算方法是：正确率＝做正确的人数÷全班人
数×100%。据此解答。
【详解】45÷（45＋5）×100%
＝45÷50×100%
＝0.9×100%
＝90%
即全班做这道题的正确率是 90%。
2．六（3）班到校上课的学生有38人，请假的学生有2人，这天六（3）班学生的出勤率是( )%；
已知六（3）班学生体质检测达标率为 90%，未达标的有( )人。
【答案】 95 4
【分析】出勤率＝出勤人数÷全班人数，用六（3）班到校上课人数÷全班总人数×100%，代入数据，求
出出勤率；把全班人数看作单位“1”， 六（3）班学生体质检测达标率为90%，未达标的为（1－90%），
求出未达标占全班人数的百分比，再用全班人数×未达标人数占全班人数的百分比，即可求出未达标
的人数。
【详解】38÷（38＋2）×100%
＝38÷40×100%
＝0.95×100%
274
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＝95%
（38＋2）×（1－90%）
＝40×10%
＝4（人）
六（3）班到校上课的学生有38人，请假的学生有2人，这天六（3）班学生的出勤率是95%；已知
六（3）班学生体质检测达标率为 90%，未达标的有4人。
1．博物院修文物，10月比9月少修10%，11月比10月多修20%，11月与9月相比是多修还是少修
了？变化幅度是多少？
【答案】多修了；8%
【分析】10月比9月少修10%，将9月看成单位“1”，假设9月份修了100件，则10月就是9月的（1
－10%），求一个数的百分之几用乘法，得出10月份修了90件。11月比10月多修20%，以10月
份为单位“1”，11月份是10月份的（1＋20%），则11月份是108件，对比11月份和9月份，是多
修了。求一个数比另外一个数多（少）百分之几，用（大数－小数）÷单位“1”。
【详解】设9月份修了100件
1－10%＝90%
100×90%＝90（件）
90×（1＋20%）
＝90×120%
＝108（件）
（108－100）÷100×100%
＝8÷100×100%
＝8%
答：11月与9月相比是多修了，多修了 8%。
2．某种商品的价格，先涨了10%，后又降了10%。现价与涨价前价格相比，是涨了还是降了？变化
幅度是多少？
【答案】降了；降了 1%
【分析】把原价看作单位“1”，涨价10%后相当于原价的1＋10%＝110%，又降价10%，这时把后来的
价格看作单位“1”，这时的价格相当于原来的 110%×（1－10%），计算出结果，与1比较即可；然后
用原价减去现价，再除以原价即可求出变化幅度。
【详解】现在的商品价格：
1×（1＋10%）×（1－10%）
275
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＝1×1.1×0.9
＝0.99
0.99＜1
（1－0.99）÷1
＝0.01÷1
＝1%
答：现在的商品价格与原来相比降低了，变化幅度是降了 1%。
【点睛】本题考查求比一个数多（少）百分之几是多少，明确单位“1”是解题的关键。
2
1．王伯伯家的菜地一共有210平方米，他准备用这块菜地的 种豆角，剩下的按3:2的面积比种黄瓜
7
和茄子。黄瓜和茄子的种植面积分别是多少平方米？
【答案】黄瓜90平方米，茄子60平方米
2
【分析】用这块菜地的 种豆角，将这块地的面积看成单位“1”，可知黄瓜和茄子的种植总面积占总面
7
2
积的1 ，求一个数的几分之几用乘法，求出黄瓜和茄子的种植总面积。黄瓜的面积是3份，茄子的
7
3 2
面积是这样的2份，黄瓜种植的面积占两个面积总和的 ，茄子种植的面积占两个面积总和的 ，
32 32
再用乘法分别求出黄瓜和茄子的种植面积，据此解答。
2
【详解】210(1 )
7
5
210
7
150（平方米）
3 3
150 150 90（平方米）
32 5
2 2
150 150 60（平方米）
32 5
答：黄瓜的种植面积是90平方米，茄子的种植面积是60平方米。
2．便民超市运来三种蔬菜，其中黄瓜占总质量的40%，茄子和西红柿质量的比是2∶3，且茄子比西
红柿少24千克，三种蔬菜一共多少千克？
【答案】200千克
【分析】将比的前后项看成份数，茄子和西红柿的质量差÷份数差，求出一份数，一份数乘茄子和西红
柿的总份数＝茄子和西红柿的质量，将三种蔬菜总质量看作单位“1”，茄子和西红柿的质量占三种蔬
菜总质量的（1－40%），茄子和西红柿的质量÷对应百分率＝三种蔬菜总质量。
【详解】24÷（3－2）
＝24÷1
276
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＝24（千克）
24×（2＋3）
＝24×5
＝120（千克）
120÷（1－40%）
＝120÷0.6
＝200（千克）
答：三种蔬菜一共 200千克。
第十一模块 典型应用题·三十种典型问题【四十八大考点】
1．王阿姨要做一批香囊，她前6天做了168 个。照这样的速度，她做完这批香囊刚好需要11天。王
阿姨一共要做多少个香囊？
【答案】308个
【分析】用前6天做香囊个数除以6，求出平均每天做香囊个数，再乘11，求出这批香囊总个数。
【详解】168÷6×11
＝28×11
＝308（个）
答：王阿姨一共要做308个香囊。
2．学校购买6张学生桌花了270元。学校还想再购买39张同样的学生桌，还需要准备多少元？
【答案】1755元
【分析】用270÷6求出每张学生桌多少钱，再乘 39，就是想再购买39张同样的学生桌，还需要准备
多少元。
【详解】270÷6×39
＝45×39
＝1755（元）
答：还需要准备 1755元。
3．5个小朋友5个小时能叠300朵玫瑰花，那10个小朋友10小时能叠多少朵玫瑰花？
【答案】1200朵
【分析】用300除以5，求出5个小朋友1个小时能叠多少朵玫瑰花，再用5个小朋友1个小时能叠
的玫瑰花朵数除以 5，求出1个小朋友1个小时能叠多少朵玫瑰花；然后用1个小朋友1个小时能叠
277
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的玫瑰花朵数乘 10，求出10个小朋友1个小时能叠的玫瑰花朵数，再用10个小朋友1个小时能叠
的玫瑰花朵数乘 10，即可求出10个小朋友10小时能叠多少朵玫瑰花。
【详解】300÷5÷5
＝60÷5
＝12（朵）
12×10×10
＝120×10
＝1200（朵）
答：10个小朋友10小时能叠1200朵玫瑰花。
4．某外国语学校计划改造校园一条 126米的路，原计划安排7个工人6天修完。后来又增加了54
米的任务，并要求在6天完工。如果每个人每天工作量一定，需要增加多少人才能如期完工？
【答案】3人
【分析】根据题意，先计算出 1个人1天的工作量，用总数÷工人数÷天数；再用增加后的总数÷6天，
得出1天共需要完成的米数，用这个数除以1人1天完成的米数即可得出一共需要的人数，然后减去
原来的7人，就是还需要增加的人数。
【详解】每人每天修：12676
186
3（米）
现在总任务：12654180（米）
每天需要人数：18036
606
10（人）
增加人数：1073（人）
答：需要增加3人才能如期完工。
【点睛】本题主要考查学生对归一问题的理解与运用，掌握归一问题的基本数量关系是关键，培养学
生的分析思维能力。
1．某工厂计划生产 1200个零件，前8天加工了240个，照这样计算，完成这项生产任务要用多少天？
（用比例解）
【答案】40天
【分析】根据题意可知，工作总量∶工作时间＝工作效率（一定），相对应的工作总量和工作时间成
正比例关系。因此可以设完成这项生产任务需要的天数为 x，列比例解答。
278
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【详解】解：设完成这项生产任务要用 x天。
1200∶x＝240∶8
240x＝1200×8
240x＝9600
x＝40
答：完成这项生产任务要用 40天。
2．某地洪水过后要修补一条长 7.2千米的公路，前12天修了4.32千米，照这样的速度，剩下的还要
几天修完？（用比例方程解）
【答案】8天
【分析】根据题意，公路全长 7.2千米，前12天修了4.32千米，则剩下（7.2－4.32）千米；根据“照
这样的速度”可知工作效率一定，即工作量∶工作时间＝工作效率（一定），比值一定，则工作量和
工作时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。
【详解】解：设剩下的还要x天修完。
4.32∶12＝（7.2－4.32）∶x
4.32x＝12×（7.2－4.32）
4.32x＝12×2.88
4.32x＝34.56
x＝34.56÷4.32
x8
答：剩下的还要 8天修完。
【点睛】先确定工作效率不变，再根据工作效率、工作时间、工作量之间的关系，得出工作量和工作
时间成正比例关系，据此列出相应的比例方程。
1．育才小学为美化校园环境，购买了一些杜鹃花，要栽在一个长方形的花园里，如果每行栽 24棵杜
鹃花，正好可以栽 48行；如果每行栽36棵杜鹃花，要栽多少行才能栽完？
【答案】32行
【分析】先求出树的总棵树，再除以每行种的树的棵数，求出要栽的棵数即可。
【详解】24×48÷36
＝1152÷36
＝32（行）
答：要栽32行才能栽完。
【点睛】本题考查除数是两位数的除法，解答本题的关键是掌握题中的数量关系。
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2．古树村在脱贫工作中，要实现水泥路“户户通”目标。原计划每天修路200米，需要30天完成，实
际每天多修50米，需要多少天完成任务？
【答案】24天
【分析】用200×30求出修路的总长度，再用总长度除以现在每天修路的米数即可求出需要多少天完成
任务。
【详解】200×30÷（200＋50）
＝6000÷250
＝24（天）
答：需要24天完成任务。
【点睛】解决问题的关键在于求出修路的总长度以及现在每天实际修路的长度。
3．校服厂由于改进技术，现在做一套校服用布2.5米，比原来节省了0.5米。原来做200套校服所用
的布，现在可以做多少套？
【答案】240套
【分析】用现在做一套校服用布的长度加上 0.5米，即可计算出原来做一套校服用布的长度，再用原
来做一套校服用布的长度乘 200套，即可计算出这批布的长度，最后用这批布的长度除以现在做一套
校服用布的长度，即可计算出现在可以做多少套。
【详解】由分析可知：
（2.5＋0.5）×200÷2.5
＝3×200÷2.5
＝600÷2.5
＝240（套）
答：现在可以做 240套。
【点睛】本题考查小数乘除法的实际应用， 解决本题关键是抓住总长度不变。
4．六年级办公室买进一包白纸，计划每天用25张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天
只用了20张，实际比计划多用多少天？
【答案】5天
【分析】根据计划每天用25张，可以用20天可以求出办公室买了多少张白纸，用乘法。后来实际每
天只用了20张，可以求出办公室的白纸实际用多少天，用除法。最后根据数量关系式：实际的天数
－计划的天数＝实际比计划多的天数。
【详解】25×20÷20
＝500÷20
＝25（天）
25－20＝5（天）
280
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答：实际比计划多用5天。
1．为了喜迎国庆，人民广场进行部分路面整修，如果用面积为 9平方分米的方砖铺一部分路面，需
要800块，如果改用边长为6分米的方砖铺这部分路面，需要多少块？（用比例解）
【答案】200块
【分析】正方形面积＝边长×边长，设需要x块，根据方砖面积×需要的块数＝总面积（一定），列出
反比例算式解答即可。
【详解】解：设需要 x块。
66x9800
36x7200
36x36720036
x200
答：需要200块。
2．萌萌读一本书，计划每天读28页，15天读完。如果每天读35页，可以提前多少天读完？（要求
用两种方法解答，用比例解要写出判断过程。）
【答案】3天
【分析】第一种方法可以先用28×15求出总页数，用总页数除以35求出读完这本书需要多长时间，用
15减去求出的天数就是提前的天数；第二种方法可以列比例解答，根据每天读的页数×读的天数＝总
页数可知：每天读的页数与读的天数成反比例关系，设每天读 35页，x天读完，根据反比例关系列
出比例求出x的值，用15减去求出的天数即可求出提前多少天读完。
【详解】第一种：
28×15÷35
＝420÷35
＝12（天）
15－12＝3（天）
第二种：
解：设如果每天读 35页，要x天读完。
28×15＝35x
420÷35＝35x÷35
x＝12
15－12＝3（天）
答：可以提前3天读完。
281
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3．生产一批零件，计划每天生产400个，20天完成，结果提前4天完成任务。实际每天比原计划多
生产多少个？（用比例的知识解决问题）
【答案】100个
【分析】设实际每天生产x个，根据每天生产个数×相应天数＝零件总个数（一定），列出反比例算式
求出x的值是实际每天生产个数，实际每天生产个数－计划每天生产个数＝实际每天比原计划多生产
个数。
【详解】解：设实际每天生产 x个。
（20－4）x＝400×20
16x＝8000
16x÷16＝8000÷16
x＝500
500－400＝100（个）
答：实际每天比原计划多生产 100个。
1．东方小学合唱艺术团中合唱队与器乐队一共有96人。合唱队的人数是器乐队的2倍，合唱队和器
乐队各有多少人？
【答案】合唱队有 64人；器乐队有32人
【分析】把器乐队的人数看作1份，则合唱队的人数是2份，然后根据和倍问题的计算公式：和（倍
数1)1份数，计算出器乐队的人数，再用器乐队的人数乘 2，计算出合唱队的人数。
【详解】96(21)
963
32（人）
32264（人）
答：合唱队有64人，器乐队有32人。
2．有两个数的和是 275，其中一个数末尾添上一个零后和另一个数相等。你知道这两个数分别是多
少吗？
【答案】25和250
【分析】“一个数末尾添上一个零后和另一个数相等”说明一个数乘10等于另一个数，又知道两个数的
和是275，则这是一道和倍问题。和 275等于其中较小的数的11倍，据此解答。
【详解】275÷（10＋1）
＝275÷11
＝25
282
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25×10＝250
答：这两个数分别是25和250。
5
3．四季水果店运来苹果和梨子 540箱，苹果的箱数是梨子的 ，两种水果各运来多少箱？
4
【答案】苹果300箱；梨子240箱
5 5
【分析】苹果的箱数是梨子的 ，那么苹果的箱数就是总箱数的 ，把总数量看成单位“1”，用总数
4 45
5
量540箱乘 ，求出苹果的箱数，进而求出梨子的箱数。
9
5 5
【详解】 ＝
45 9
5
540× ＝300（箱）
9
540－300＝240（箱）
答：运来苹果300箱，梨子240箱。
【点睛】本题先根据苹果的箱数和梨的箱数之间的关系，找出苹果的箱数和总箱数之间的关系，进而
求解。
1．一个百分数，去掉百分号后比原来多 69.3，求这个百分数是多少。
【答案】70%
【分析】一个百分数，去掉百分号后是原来的100倍，两数差÷（倍数－1）＝一倍数，即原来的数，
将求出的小数化成百分数即可，小数化百分数，小数点向右移动两位，添上百分号即可。
【详解】69.3÷（100－1）
＝69.3÷99
＝0.7
＝70%
答：这个百分数是 70%。
2．野生动物园里一头大象的体重正好是一只老虎的9倍，大象比老虎重3.2吨。大象和老虎的体重
各是多少吨？
【答案】大象3.6吨；老虎0.4吨；
【分析】假设一只老虎的体重是x吨，则一头大象的体重是9x吨，根据题目中的数量关系：一只大象
的体重－一只老虎的体重＝3.2吨，代入未知数，即可列出方程，解方程求出大象和老虎的体重各是
多少吨。
【详解】解：设一只老虎的体重是 x吨，则一头大象的体重是9x吨。
9x－x＝3.2
8x＝3.2
283
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x＝3.2÷8
x＝0.4
0.4×9＝3.6（吨）
答：大象的体重是 3.6吨，老虎的体重是0.4吨。
【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把一只老虎的体重设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，
列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
1．妈妈买一套衣服用了 173元，其中上衣比裤子贵23元，买上衣和裤子各用了多少元？（先根据题
意把线段图补充完整，再解答）
【答案】
上衣98元；裤子75元
【分析】根据题目的意思，上衣比裤子贵23元，就是在裤子线段的基础上，多画出一部分表示 23元，
一套衣服包括上衣和裤子，一共是 173元。可以假设买了两件上衣，此时就要在总价的钱上面加上
23元，这样就是两件上衣的价格是196元，则平均每件上衣的价格就是98元。再用一套的价钱－上
衣的价钱就是裤子的价钱。
【详解】
（173＋23）÷2
＝196÷2
＝98（元）
173－98＝75（元）
答：买上衣用了 98元，买裤子用了75元。
2．足球被誉为“世界第一运动”。一个足球是由32块黑色五边形和白色六边形皮革制成的，白色皮革
块数比黑色皮革多 8块。黑色和白色皮革各有多少块？
【答案】黑色皮革有 12块，白色皮革有20块。
【分析】已知黑色和白色皮革的和是32块，白色皮革块数比黑色皮革多8块，求黑色和白色皮革各有
多少块，是和差问题。根据题意得到，从 32块中减去8块，正好是黑色皮革的2倍，据此解答。
【详解】黑色：（32－8）÷2
＝24÷2
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＝12（块）
白色：32－12＝20（块）
答：黑色皮革有 12块，白色皮革有20块。
1．去年爸爸比小明大24岁，爸爸今年的岁数正好是小明的4倍，爸爸今年多少岁？几年后爸爸的年
龄正好是小明的 3倍？
【答案】32岁；4年
【分析】爸爸与小明的年龄差是 24岁，而两人的年龄差不会发生变化，所以今年爸爸还是比小明大
24岁，而今年爸爸年龄是小明的4倍，即爸爸的年龄比小明多3倍，用 24除以3即可求出小明今年
8岁，8乘4可以求出爸爸今年的年龄。当爸爸的年龄是小明3倍时，爸爸的年龄比小明多2倍，用
24除以2可以求出此时小明的年龄，再用这个商减8即可求出几年后爸爸的年龄正好是小明的 3倍。
【详解】24÷（4－1）
＝24÷3
＝8（岁）
8×4＝32（岁）
24÷（3－1）
＝24÷2
＝12（岁）
12－8＝4（年）
答：爸爸今年32岁，4年后爸爸的年龄正好是小明的3倍。
2．爸爸今年38岁，妈妈今年36岁，几年后爸爸妈妈的年龄和是90岁？
【答案】8年
【分析】先用爸爸今年年龄加上妈妈今年年龄算出现在爸爸和妈妈的年龄和，再用90减去现在的年龄
和，求出爸爸和妈妈年龄和还差几岁到 90，最后除以2即可求解。
【详解】90－（38＋36）
＝90－74
＝16岁
16÷2＝8（年）
答：8年后爸爸妈妈的年龄和是90岁。
3．爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和 70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当
哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？
【答案】妹妹12岁、哥哥16岁、爸爸42岁
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【分析】三人增长的岁数一样。也就是爸爸增长的岁数＝哥哥的增长岁数＝妹妹增长的岁数。当妹妹
9岁时，设哥哥的年龄是x岁，爸爸的年龄是3x岁。当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34
岁时，爸爸是增长了（34－3x）岁，妹妹和哥哥也都增长了（34－3x）岁。这时候妹妹的年龄是（9
＋34－3x）岁，哥哥的年龄是（x＋34－3x）岁，根据哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍列出数量关系式：
哥哥的年龄＝妹妹的年龄×2。解方程得出哥哥的年龄为13岁，这时候爸爸的年龄39岁，妹妹的年龄
是9岁，三个人这时候的年龄总和是 61岁，现在三个人的年龄和是70岁，相差9岁，这个相差的 9
岁是三个人一起增长的年龄，所以每个人增长了3岁。
【详解】解：设当妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。
x(343x)[9(343x)]2
342x866x
6x2x8634
4x52
x524
x13
3×13＝39（岁）
9＋13＋39＝61（岁）
（70－61）÷3
＝9÷3
＝3（岁）
妹妹：9＋3＝12（岁）
哥哥：13＋3＝16（岁）
爸爸：39＋3＝42（岁）
答：现在妹妹12岁，哥哥16岁，爸爸42岁。
1．甲数比乙数大 198，甲数的小数点向左移动一位后正好和乙数相等。甲、乙两数各是多少？
【答案】甲数220；乙数22
【分析】根据“甲数的小数点向左移动一位后正好和乙数相等”可知甲数是乙数的10倍，根据甲数比乙
数大198可以得到198是甲数减去乙数的差，相当于是乙数的（10－1）倍，用它们的差除以9，即
可求出乙数，再乘 10，即可求出甲数，据此解答即可。
【详解】198÷（10－1）
＝198÷9
＝22
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22×10＝220
答：甲数是220，乙数是22。
2．某数的小数点向右移动一位，比原数大了144，原来的数是多少？
【答案】16
【分析】小数点向右移动一位，这个数就扩大到原来的10倍，所以移动后的数比原数大（10－1）倍，
大了144，即原数的（10－1）倍是144，求原数，根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用除法
解答即可。
【详解】144÷（10－1）
＝144÷9
＝16
答：原来的数是 16。
1．五一期间，小明一家开车从 A地到B 地，前2小时行了150千米。照这样的速度，从A地到B
地一共要用4小时，A、B 两地相距多少千米？
【答案】300千米
【分析】根据速度＝路程÷时间，用150÷2，求出车行驶的速度，再根据路程＝速度×时间，用车行驶
的速度×4，即可解答。
【详解】150÷2×4
＝75×4
＝300（千米）
答：A、B 两地相距 300千米。
2．运输公司的一辆汽车从甲地往乙地运送一批物资，原计划每小时行60千米，4小时到达。现在情
况有所变化，需要 3小时到达，每小时要行多少千米？
【答案】80千米
【分析】根据路程＝速度×时间，计算出两地之间的路程，再根据速度＝路程÷时间，计算出每小时要
行多少千米。
【详解】60×4÷3
＝240÷3
＝80（千米）
答：每小时要行 80千米。
3．国庆假期，小强一家骑自行车去五雷山进行户外运动。从慈利县城到五雷山全程约有24 千米。他
们去时用了3小时，返回用了1.8小时。他们往返的平均速度是多少？
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【答案】10千米/时
【分析】往返的平均速度等于往返的路程除以去时的时间与返回时间的和，据此解答。
【详解】（24×2）÷（3＋1.8）
＝48÷4.8
＝10（千米/时）
答：他们往返的平均速度是 10千米每小时。
【点睛】本题结合行程问题考查小数的除法计算。
4．一辆轿车和一辆货车同时从A、B两地相对开出，轿车每小时行驶65千米，行驶5小时后，轿车
到达A、B 的中点时，货车离中点还有 85千米。货车每小时行驶多少千米？
【答案】48千米
【分析】根据题意可知，货车的速度×5小时＋85千米＝轿车的速度×5小时，设货车每小时行驶x千
米，列方程为5x＋85＝65×5，然后解出方程即可。
【详解】解：设货车每小时行驶 x千米。
5x＋85＝65×5
5x＋85＝325
5x＋85－85＝325－85
5x＝240
5x÷5＝240÷5
x＝48
答：货车每小时行驶48千米。
【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。
1．在比例尺是1∶5000000的地图上量得甲、乙两地图上距离是7cm，一辆汽车从甲地到乙地行驶了
5小时，这辆汽车平均每小时行多少千米？
【答案】70千米
【分析】根据比例尺的意义，实际距离＝图上距离÷比例尺，注意单位的一致，1千米＝100000厘米，
运用分数除法计算得出甲乙两地的实际距离。再根据速度＝路程÷时间，可计算得出答案。
1
【详解】甲乙两地相距：7 7500000035000000（厘米）＝350千米
5000000
则平均速度为：350570（千米/小时）
答：这辆汽车平均每小时行 70千米。
2．小明一家去A地旅游，去时爸爸以平均每小时 95千米的速度行驶了3.6小时到达A地。原路返
回时，爸爸开车的速度提高了20%，照这样的速度，几小时就可以从A地返回家中？（用比例解答）
288
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【答案】3小时
【分析】已知去时速度是平均每小时 95千米，返回时速度提高了20%，把去时速度看作单位“1”，则
返回的速度是去时速度的（1＋20%），用去时速度乘（1＋20%）即是返回时的速度。
根据题意可知，往返的路程一定，即速度×时间＝路程（一定），乘积一定，则速度与时间成反比例
关系，据此列出反比例方程，并求解。
【详解】解：设3小时就可以从A地返回家中。
95×（1＋20%）×x＝95×3.6
95×1.2×x＝95×3.6
1.2x＝3.6
1.2x＝3.6÷1.2
x＝3
答：3小时就可以从A地返回家中。
3．一艘轮船以每小时45千米的速度从A港开往 B 港，行驶了全程的15%后，又行驶了1小时，这
时剩下的路程与已行驶的路程比为 4∶1。求A、B 两港相距多少千米？
【答案】900千米
【分析】利用速度×时间＝路程，计算出行驶1小时的路程：45×1＝45千米，这时未行路程与已行路
1 1
程的比是4∶1，即此时行了全程的 ，则这45千米是全程的（ －15%），根据分数除法的意
41 41
1
义，用45÷（ －15%）即可求得甲、乙两港相距的千米数。
41
1
【详解】451 15%
41
1
＝45÷（ －15%）
5
＝45÷5%
＝900（千米）
答：A、B 两港相距 900千米。
1．甲、乙两车同时从相距675千米的两地相对开出，经过4.5小时辆车相遇。甲车每小时行87.5千
米，乙车每小时行多少千米？
【答案】62.5千米
【分析】速度×时间＝路程，总路程÷相遇时间＝两车速度和，两车速度和－甲车速度＝乙车速度，据
此列式解答。
【详解】675÷4.5－87.5
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＝150－87.5
＝62.5（千米）
答：乙车每小时行 62.5千米。
2．青藏铁路是世界上海拔最高、线路最长的高原铁路，东起青海西宁，南至西藏拉萨，全长 1956
千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发，已知快车的速度为 85千米/时，慢车的速度为78 千米/
时。两列火车行驶多少时相遇？（先写出等量关系，再列方程解答。）
【答案】12时
【分析】
根据题意，先设两列火车行驶 x时相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝路程可知，用快车的速
度加上慢车的速度之和，再乘上 x就等于全长。据此列式为：（85＋78）x＝1956，求出x即可。
【详解】
根据题意可知，等量关系式为：（快车速度＋慢车速度）×相遇时间＝全长。
解：设两列火车行驶x时相遇。
（85＋78）x＝1956
163x＝1956
163x÷163＝1956÷163
x＝12
答：两列火车行驶 12时相遇。
1．甲、乙两车从两地同时出发，相向而行，甲车速度是每小时60千米，乙车速度是每小时 58千米，
甲乙两车在距离中点6千米处相遇，求两地之间距离？
【答案】708千米
【分析】根据题意可知，相遇时甲车比乙车多行驶了（6×2）千米，据此可列方程为：甲的速度×相遇
时间－乙的速度×相遇时间＝甲乙两车的路程差，设两车 x小时后相遇，列方程为60x－58x＝6×2，
然后解出方程，最后根据速度和×相遇时间＝路程和即可求出两地的距离。
【详解】解：设两车 x小时后相遇。
60x－58x＝6×2
60x－58x＝12
2x＝12
2x÷2＝12÷2
x＝6
（60＋58）×6
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＝118×6
＝708（千米）
答：两地相距708千米。
2．甲、乙两辆汽车同时从A、B 两地相向开出，甲车每小时行66千米，乙车每小时行58千米。两
车距中点20千米处相遇。A、B 两地相距多少千米？
【答案】620千米
【分析】根据题意可知，相遇时甲车比乙车多行驶了（20×2）千米，据此可列方程为：甲的速度×相
遇时间－乙的速度×相遇时间＝20×2，设两车 x小时后相遇，列方程为66x－58x＝20×2，然后解出方
程，最后根据速度和×相遇时间＝路程和即可求出A、B 两地的距离。
【详解】解：设两车 x小时后相遇。
66x－58x＝20×2
8x＝40
8x÷8＝40÷8
x＝5
（66＋58）×5
＝124×5
＝620（千米）
答：A、B 两地相距 620千米。
【点睛】本题考查了相遇问题的灵活应用，找到对应的数量关系式是解题的关键。
1．小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒跑5米，小刘每秒跑3米，他们从同一
地点同时出发，反向而跑。那么两人从出发到第二次相遇需多长时间？（用方程解）
【答案】100秒
【分析】根据题意可知，两人第二次相遇所跑的路程是这个周长为 400米的环形跑到的2圈，即路程
是400×2米。设两人从出发到第二次相遇需要 x秒，小李每秒跑5米，x秒跑5x米，小刘每秒跑3
米，x 秒跑3x米，第二次相遇正好是环形跑道的2圈，列方程：5x＋3x＝400×2，解方程，即可解答。
【详解】解：设两人从出发到第二次相遇需 x秒。
5x＋3x＝400×2
8x＝800
x＝800÷8
x＝100
答：两人从出发到第二次相遇需 100秒。
291
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【点睛】本题考查方程的实际应用，利用速度、时间和路程三者的关系进行解答；注意明确第二次相
遇时两个人跑了 2圈400米。
4
2．客货两车从甲乙两地同时相向而行，第一次相遇时货车行了全程的 ，后继续前进，分别到达乙
9
甲两地后立即返回，第二次相遇，已知两次相遇地点相距 96千米，甲乙两地相距几千米？
【答案】432千米
4
【分析】根据题意可知，可以设甲乙两地相距x千米，由于第一次相遇，货车行了全程的 ，即货车
9
4
行驶了 x千米，第一次相遇，两车走了1 个全程，第二次相遇，两车会走3个全程，即货车相当于
9
4 4
走了： x×3＝ x千米，由于第二次相遇，货车走的路程相当于一个全程加上第二次相遇到乙的距离，
9 3
4 1
即用货车走的路程减去全程，即可求出第二次相遇到乙的距离，即 x－x＝ x千米，由于第一次相
3 3
遇货车走的距离＋96＋第二次相遇地点到乙的距离＝甲乙两地的距离，据此即可列方程，再根据等式
的性质解方程即可。
【详解】解：设甲乙两地相距 x千米。
4 4
x×3－x＋96＋ x＝x
9 9
4 4
x－x＋96＋ x＝x
3 9
7
x＋96＝x
9
7
x－ x＝96
9
2
x＝96
9
2
x＝96÷
9
x＝432
答：甲乙两地相距 432千米。
【点睛】本题主要考查列方程解应用题，要注意第二次相遇两车一共走了 3个全程是解题的关键。
1．甲、乙两人同时从相距400米的两地出发，相向而行，甲每分钟行60米，乙每分钟行40米。甲
带着一只狗，狗每分钟跑100米，这只狗与甲一起出发，碰到乙时调头跑向甲，碰到甲又调头跑向乙，
直到两人相遇为止，这只狗一共跑了多少米？
【答案】400米
【分析】狗奔跑的时间与甲乙两人相遇的时间相等，可设分钟后两人相遇。根据题意可列出方程：
60x40x＝400，解此方程求出甲乙相遇的时间，再根据路程＝速度×时间，求出狗跑的路程即可。
【详解】60x+40x＝400
292
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100x＝400
100x100＝400100
x＝4
1004＝400（米）
答：这只狗一共跑了400米。
【点睛】本题考查相遇问题，解答本题的关键是理解狗奔跑的时间与甲乙两人相遇的时间相等。
2．带着小狗的小明和小兵同时从相距 1200 米的两地相向而行，小明每分行 55 米，小兵每分行 65
米，小狗每分跑 240 米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边
跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？
【答案】2400米
【分析】
根据题意可知，先设小明、小兵 x分相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝全长，算出他们的相
遇时间，再根据速度×时间＝路程这一公式，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案。
【详解】
解：设小明和小兵 x分相遇。
（55＋65）x＝1200
120x＝1200
120x÷120＝1200÷120
x＝10
240×10＝2400（米）
答：小狗一共跑了 2400米。
1．在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝4cm，动点P 从A点出发，沿A→B→C→D的
路线运动，到点D停止。动点Q 从D点出发，沿D→C→B→A的路线运动到点A停止。若P、Q 同
时出发，点P的速度为 1cm/s，点Q的速度为2cm/s，3s 后P、Q同时改变速度，点P 的速度变为2cm/s，
点Q的速度变为1cm/s，
（1）P点出发几秒后。P、Q两点相遇？
（2）当Q点出发几秒后，点P在点Q 在运动路线上相距的路程为8cm？
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16
【答案】（1） 秒；（2）8秒
3
【分析】（1）先设点P出发t 秒，根据相遇时间＝路程÷速度和，速度和不变。
（2）主要考虑两种情况，一种情况是 PQ相遇前相距 8cm；另一种情况是PQ相遇后相距8cm。找出
相等关系，即可求解。
【详解】（1）设点P出发t 秒，两点相遇。
16
t＋2t＝6＋6＋4，解得 t＝ 。两点不可能不变速就相遇。
3
16
所以P点出发 秒两点相遇。
3
16
答：P点出发 秒后，P、Q两点相遇。
3
（2）主要考虑两种情况：
一种情况是PQ相遇前相距8cm，
未改变速度前，两者相距最小为：6＋6＋4－（1＋2）×3＝7，即在改变速度前有出现相遇前8cm 这
一情况
设用时t ，6＋6＋4﹣（1＋2）×t ＝8
1 1
8
解得，t ＝
1
3
另一种情况是PQ相遇后相距8cm，
16
设相遇用时为t ，t ＝
2 2
3
经过t 后，PQ相距8cm，
3
t ×（1＋2）＝8，
3
8
t ＝ ，
3
3
16 8
故相遇后相距8cm 所需的时间为：t ＋t ＝ ＋ ＝8
2 3
3 3
答：当Q点出发8秒后，点P、点Q 在运动路线上相距的路程为8cm。
【点睛】本题考查了相遇问题，以及 s＝vt，主要是考虑问题要全面。
2．如图所示，正方形和圆相距 30厘米，正方形的边长和圆的直径都是10厘米，正方形沿着直线向
2
右做平移运动，圆沿着直线向左做平移运动。正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢 。当圆和正方
5
形完全重叠时，没有重合部分的面积是多少？正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间是
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多少秒？
【答案】21.5平方厘米；6.25秒
【分析】（1）当圆和正方形完全重叠时，此时是一个外方内圆的图形，那么没有重合部分的面积＝正
方形的面积－圆的面积；根据正方形的面积公式S＝a2，圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算即可求
解。
2
（2）已知正方形每秒运动3厘米，比圆的速度慢 ，把圆的速度看作单位“1”，则正方形的速度是圆
5
2 2
的（1－ ），单位“1”未知，用正方形的速度除以（1－ ），即可求出圆的速度。
5 5
正方形与圆同时开始运动到最后完全分开，总路程＝相距的 30厘米＋正方形的边长＋圆的直径；根
据时间＝路程÷速度，即可求出正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间。
【详解】（1）10×10－3.14×（10÷2）2
＝100－3.14×25
＝100－78.5
＝21.5（平方厘米）
（2）圆每秒运动：
2
3÷（1－ ）
5
3
＝3÷
5
5
＝3×
3
＝5（厘米）
经过的时间：
（30＋10＋10）÷（3＋5）
＝50÷8
＝6.25（秒）
答：当圆和正方形完全重叠时，没有重合部分的面积是 21.5平方厘米。
正方形与圆同时开始运动到最后完全分开经过的时间是 6.25秒。
【点睛】（1）本题考查圆的面积、正方形的面积公式的运用，明白当圆和正方形完全重叠时是一个外
方内圆的图形是解题的关键。
（2）本题考查分数除法的应用以及行程问题，先根据分数除法的意义求出圆的速度，再根据速度、时
间、路程之间的关系解答。
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1．在比例尺1∶2000000的地图上，量得A、B 两地的距离是10.5厘米。甲、乙两车同时从两地相
向开出，2小时后相遇。甲车与乙车的速度之比为3∶4，甲、乙两车每小时各行多少千米？
【答案】45千米；60千米
【分析】利用实际距离＝图上距离÷比例尺，由此计算出两地的实际距离，利用相遇时间＝两地距离÷
速度和，由此计算出两车的速度和，利用两车的速度比，分别计算两车的速度即可。
1
【详解】10.5÷
2000000
＝10.5×2000000
＝21000000（厘米）
21000000厘米＝210千米
210÷2＝105（千米/时）
105÷（3＋4）×3
＝105÷7×3
＝15×3
＝45（千米/时）
105÷（3＋4）×4
＝105÷7×4
＝15×4
＝60（千米/时）
答：甲车每小时行 45千米，乙车每小时行60千米。
2．在一幅比例尺是 1∶2000000的地图上，量得A、B 两个城市之间的距离为12厘米。一辆货车和
一辆客车从两地同时相对开出，2小时相遇。客车和货车的速度比是7∶5，货车每小时行多少千米？
【答案】50千米
【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，可得实际距离＝图上距离÷比例尺。用A、B 两个城市之
间的图上距离÷比例尺，即可求出两地的实际距离。从“2小时相遇”可知，用实际距离÷相遇时间，求
出两辆车的速度和。从“客车和货车的速度比是7∶5”可知，以速度和为单位“1”，货车速度就占速度
5
和的 。进而根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用速度和×货车的对应分率，就可求
7＋5
出货车每小时行多少千米。据此解答。
1
【详解】12
2000000
＝12×2000000
＝24000000（厘米）
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24000000厘米＝240千米
5
240÷2
7＋5
5
＝120
12
＝50（千米/小时）
答：货车每小时行 50千米。
1．小明早上以每分钟50米的速度从家向学校出发，12分钟后，小明的爸爸发现小明没有带文具盒，
骑自行车以每分钟 110米的速度去追小明，请问爸爸多少分钟后能追上小明？
【答案】10分钟
【分析】爸爸与小明相距（12×50）米，每分钟爸爸追小明（110－50）米。用相距路程除以速度差等
于追上的时间。
【详解】12×50÷（110－50）
＝600÷60
＝10（分钟）
答：爸爸10分钟后能追上小明。
【点睛】明确追及问题数量间的关系是解决本题的关键。
2．小红和小丽在 800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人
同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？
【答案】20分钟
【分析】路程÷时间＝速度，据此求出小红和小丽的速度，一整圈的路程相当于路程差，根据路程差÷
速度差＝小红超出小丽一整圈的时间，列式解答即可。
【详解】800÷4＝200（米/分钟）
800÷5＝160（米/分钟）
800÷（200－160）
＝800÷40
＝20（分钟）
答：20分钟后小红超出小丽一整圈。
【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系。
1．市实验小学学生步行到郊外旅行。六（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，六（2）班学
生组成后队，速度为6千米/时。前队出发 1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车
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在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为 12千米/时。
（1）后队追上前队的时间内，联络员走的路程是多少？
（2）六（1）班出发多长时间，两队相距 2千米？
【答案】（1）24千米
（2）六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。
【分析】（1）联络员走的时间就是后队追上前队的时间，设后队出发x小时后追赶上前队，根据后队
x小时走的距离＝4千米＋前队x小时走的距离，列方程求解。再用联络员的速度乘追上前队的时间
即是联络员走的路程；
（2）分三种情况①后队未出发前队出发走了2千米；②后队将要追及上前队之前，距离前队2千米；
③后队与前队相遇之后，前队由于速度慢行走在后面，前队后队可能再次相距 2千米。
【详解】（1）解：设后队出发x小时后追赶上前队，
6x＝4＋4x
6x－4x＝4＋4x－4x
2x＝4
2x÷2＝4÷2
x＝2
12×2＝24（千米）
答：后队追上前队的时间内，联络员走的路程是24千米。
（2）分三种情况
①后队未出发前队出发走了2千米，用的时间是2÷4＝0.5（小时）
即六（1）班出发0.5小时，两队相距2千米；
②后队出发还未追及上前队，设后队需 y小时两队相距2千米
（6－4）y＝2
2y＝2
2y÷2＝2÷2
y＝1
1＋1＝2（小时）
即六（1）班出发2小时，两队再次相距2千米；
③后队与前队相遇之后，设前队再需 z小时，两队相距2千米，
（6－4）z＝2
2z＝2
2z÷2＝2÷2
z＝1
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1＋2＋1＝4（小时）
即六（1）班出发4小时，两队第三次相距2千米。
答：六（1）班出发0.5小时、2小时、4小时，两队相距2千米。
【点睛】本题考查追及问题，速度差×追及时间＝路程差，以及分情况讨论问题的解题方法。
2．甲、乙两支“徒步队”到野外沿相同路线徒步，徒步的路程为24千米。甲队步行速度为4千米/时，
乙队步行速度为 6千米/时。甲队出发1小时后，乙队才出发，同时乙队派一名联络员跑步在两队之
间来回进行一次联络（不停顿），他跑步的速度为10千米/时。
（1）乙队追上甲队需要多长时间？
（2）联络员从出发到与甲队联系上后返回乙队时，他跑步的总路程是多少？
（3）从甲队出发开始到乙队完成徒步路程时止，何时两队间间隔的路程为 1千米？
25
【答案】（1）2小时；（2） 千米；（3）甲队出发 0.25小时、2.5小时或3.5小时，两队之间的间
3
隔路程为1千米
【分析】（1）根据速度×时间＝路程，用4×1即可求出甲队出发1小时后距离起始位置的路程；根据
路程差÷速度差＝追及时间，用 4×1÷（6－4）即可求出乙队追上甲队需要的时间。
（2）根据路程差÷速度差＝追及时间，用4×1÷（10－4）即可求出联络员追上甲队的时间；根据时间×
速度＝路程，用联络员追上甲队的时间×联络员的速度即可求出联络员追上甲队跑步的路程，用联络
员追上甲队的时间×乙队的速度即可求出乙队此时行走的路程，再用联络员追上甲队跑步的路程减去
乙队此时行走的路程，即可求出此时联络员和乙队相距的距离，再根据路程和÷速度和＝相遇时间，
用联络员和乙队相距的距离除以他们的速度和，即可求出联络员从遇到甲队再到和乙队相遇需要的时
间；然后用联络员的速度×联络员从遇到甲队再到和乙队相遇需要的时间即可求出联络员从甲队到遇
到乙队需要跑步的路程；最后用联络员追上甲队跑步的路程＋联络员从甲队到遇到乙队需要跑步的路
程，即可求出联络员跑步的总路程；
（3）需要分情况讨论，第一种情况：乙队未出发时，甲队行走1千米，根据时间＝路程÷速度，用1÷4
即可求出甲队出发多久和乙队第一次距离 1千米；第二种情况：乙队出发相遇前，乙队出发时，两队
相距4千米，要使两队的距离相差 1千米，根据追及距离÷速度差＝追及时间，用（4－1）÷（6－4）
即可求出乙队出发多久和甲队相距 1千米，再加上1小时，即可求出甲队出发多久和乙队第二次距离
1千米；第三种情况：乙队出发相遇后，从乙队出发到两人队相距1千米，追及距离是（4＋1）千米，
用（4＋1）÷（6－4）乙队出发多久再次和甲队相距1千米，再加上1小时，即可求出甲队出发多久
和乙队第三次距离 1千米。
【详解】（1）4×1＝4（千米）
4÷（6－4）
＝4÷2
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＝2（小时）
答：乙队追上甲队需要2小时。
（2）
联络员追上甲队用时：4÷（10－4）
＝4÷6
2
＝ （小时）
3
2 20
联络员追上甲队跑步的路程： ×10＝ （千米）
3 3
2
乙队此时行走的路程： ×6＝4（千米）
3
20 8
此时联络员和乙队相距的距离： －4＝ （千米）
3 3
联络员从遇到甲队再到和乙队相遇需要的时间：
8
÷（10＋6）
3
8
＝ ÷16
3
8 1
＝ ×
3 16
1
＝ （小时）
6
1 5
联络员从甲队到遇到乙队需要跑步的路程： ×10＝ （千米）
6 3
20 5 25
总路程： ＋ ＝ （千米）
3 3 3
25
答：他跑步的总路程是 千米。
3
（3）分情况讨论：
①乙队未出发时：1÷4＝0.25（小时）
②乙队出发相遇前：（4－1）÷（6－4）＋1
＝3÷2＋1
＝1.5＋1
＝2.5（小时）
③乙队出发相遇后：（4＋1）÷（6－4）＋1
＝5÷2＋1
＝2.5＋1
＝3.5（小时）
答：甲队出发0.25小时、2.5小时或3.5小时，两队之间的间隔路程为1千米。
【点睛】本题考查的是行程问题，明确两者之间是追及还是相遇是解答本题的关键，注意两者之间的
300
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距离变化。
1．若现在是9点零5分，再过( )分钟，时针和分针第一次重合。
485
【答案】
11
【分析】可以将这个问题看成一个追及的问题。钟表盘上，一圈是 360°，且分成了12个大格子，每
个大格子是30°。分针走一圈是60分钟，也是是360°，每分钟转6°，时针走一圈是12小时，也就是
720分钟，则时针每分钟旋转0.5°。9：05 时，时针指着9到10之间，分针指着1，由于是分针去追
时针，这时夹角是8个大格子＋时针移动的 5分钟则为242.5°。追及的问题，分针追时针，分针走的
度数减去时针的度数等于两个针一开始相差的度数。换句话说：追及的时间＝两个针一开始相差的度
数÷速度差。
【详解】分针每分钟走的度数：360°÷60＝6°
时针每分钟走的度数：360°÷720＝0.5°
8×30°＋5×0.5°
＝240°＋2.5°
＝242.5°
242.5÷（6－0.5）
＝242.5÷5.5
485
＝
11
【点睛】可以将钟表时针和分针问题，看成追及问题。注意：时针每分钟走 6°，分针每分钟走0.5°。
时针每小时走30°，分针小时走360°。
2．某天，小明于晚上6时整开始做家庭作业，这时钟面上的时针和分针在同一条直线上，写完作业
时时针和分针重合在一起。已知小明做作业的时间不到 1小时，小明做作业用了( )分钟。
360
【答案】
11
1
【分析】根据追及问题中“追及时间＝路程差÷速度差”来计算。分针1分钟走1小格，时针1分钟走
12
小格。6时整，时针指向6，分针指向12，两针重合时，分针共追了30小格，由此用追的格数除以
速度差即可求出时针与分针第一次重合经过的时间。
1
【详解】30÷（1－ ）
12
12
＝30×
11
360
＝ （分钟）
11
【点睛】此题可按追及问题来处理，分别找出时针和分针的路程差和速度之差是解题关键。
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1．一列火车通过一条长1140米的桥梁（车头上桥直至车尾离开桥）用了50秒，这列火车穿越长 1980
米的隧道用了80秒。求这列火车的车速和车身长。
【答案】28米/秒；260米
【分析】火车通过桥梁的总路程＝车身的长度＋桥梁的长度。根据路程＝速度×时间，则：50秒的火
车的路程＝50×车速＝1140米的桥梁＋车身的长度；80秒的火车的路程＝80×车速＝1980米的隧道＋
车身的长度。对比火车两次行驶的路程，发现路程中相差的时间是 30秒，且车身的长度则相差的路
程是840米，也就是30秒列车行驶了1980－1140＝840米，根据速度＝路程÷时间得出列车的车速。
根据车速乘时间求出50秒的路程，再减去桥梁的长度即可。
【详解】（1980－1140）÷（80－50）
＝840÷30
＝28（米/秒）
28×50－1140
＝1400－1140
＝260（米）
答：这列火车的车速是28米/秒，车身长260 米。
2．一列火车车长120米，它以每秒15米的速度向前行驶，一个人在火车前面 400米的地方沿着与火
车前进相同的方向向前走去，步行人每秒走 2米，经过几秒火车离开这个人？
【答案】40秒
【分析】因为火车与人是同向行驶，则当火车尾离开人时，即火车离开这个人；以火车尾来看，火车
尾与人相距一个火车车长加上 400米（如下图）
即相距120＋400＝520米，即火车尾要比人多走 520米，火车才能离开这个人；则火车离开这个人的
时间为520÷（15－2）＝40秒。据此解答。
【详解】（120＋400）÷（15－2）
＝520÷13
＝40（秒）
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答：经过40秒火车离开这个人。
【点睛】本题主要考查了火车行程问题，处理“火车类行程问题”的时候，我们可以根据实际问题选择“火
车头”或“ 火车尾”为研究对象，这样使问题得到简化。
1．某人在河里游泳，逆流而上。他在 A处丢失一只水壶，但向前又游了 20分钟后，才发现丢了水
壶，立即返回追寻，在离A处1000米的地方追到。假定此人在静水中的游泳速度为每分钟30米，
那么水流的速度为每分钟多少米？
【答案】25米/分
【分析】有题意可知：水壶的速度就是水流的速度，在A处丢失一只水壶后，水壶会顺着水流的速度
向下漂，人继续逆流而上，人和水壶的速度和就是人在静水中游泳的速度，所以 20分钟后，人和水
壶之间是距离是：20×30＝600（米），此后人返回去追水壶，变成了追及问题，此时人的速度是人在
静水中的速度＋水流速度，水壶的速度还是水流速度，所以人和水壶的速度差还是人在静水中的速度，
即可求出人追上水壶的时间 600÷30＝20（分钟），水壶所走的路程是1000米，所用的时间是 20＋20
＝40（分钟），进而就可求出水壶的速度即水流的速度。
【详解】20×30÷30＝20（分钟）
1000÷（20＋20）
＝1000÷40
＝25（米/分）
答：水流的速度为每分钟25米。
【点睛】此题关键是理清不管是人和水壶的速度差还是速度和都是人在静水中的速度。
2．一条小河上，A在B 上游150千米处。甲、乙两船分别从A、B两地同时出发，若相向而行， 3
小时后相遇；若同向而行，15小时后甲被乙追上。则甲船的静水速度是每小时多少千米？
【答案】20千米/小时
【分析】甲、乙两船不管是相向而行还是同向而行，两船的速度和与速度差都和水流速度无关。由相
向而行，3小时后相遇，可以求出两船的速度和，由同向而行，15小时后甲被乙追上，可以求出两船
的速度差，再根据和差问题即可求出甲船的速度。
【详解】速度和：150÷3＝50（千米/小时）
速度差：150÷15＝10（千米/小时）
甲船的速度：（50—10）÷2
=40÷2
＝20（千米/小时）
答：甲船在静水中的速度是 20千米/小时。
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【点睛】此题关键是理清两船的速度和与速度差都和水流速度无关。
3．一条船从甲港到乙港往返一次需要 2小时，由于返回时是顺水，比去时每小时多行了8千米，因
此第2小时比第1小时多行驶了6千米，那么甲、乙两港相距多少千米？
【答案】15千米
【分析】如下图所示：蓝色的部分是第 1小时逆水行的路程，红色的部分是第2小时行的路程。因为
6÷2＝3千米，则逆水 1小时后距离终点还有3千米，所以第2小时的时间内一部分时间还是逆水，
一部分时间是顺水，又因为顺水1小时比逆水1小时多行8千米，所以在第2小时的时间内有6÷8＝
3 3 1
（小时）是顺水，有1— ＝ （小时）是逆水，则可求出逆水速度，进而甲、乙两港之间的距离
4 4 4
也可以求出来。
【详解】逆水速度：（6÷2）÷（1—6÷8）
＝3÷（1—6÷8）
1
＝3÷
4
＝12（千米/小时）
甲、乙两港相距：12×1＋3
＝12＋3
＝15（千米）
答：甲、乙两港之间相距15千米。
【点睛】解决此题一定要画图，通过线段图可知逆水1小时后距离终点还有3千米，再依据比例知识
求出行驶3千米所用的时间，即可求出逆水的速度。
1．修一条路，如果甲工程队单独修需要 20天，乙工程队单独修需要30天，现在甲、乙两队合修需
要多少天？
【答案】12天
1 1
【分析】将这条路看作单位“1”，那么甲每天修这条路的 ，乙每天修这条路的 ，利用加法求出甲
20 30
乙两队一起每天修几分之几。工作时间＝工作总量÷工作效率，由此求出两队合修需要多少天。
1 1
【详解】1÷（ ＋ ）
20 30
1
＝1÷
12
304
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＝1×12
＝12（天）
答：甲、乙两队合修需要12天。
4
2．一项工程，甲独做30天完成，乙的工效比甲快 ，现两人合作，几天可以完成这项工程？
13
【答案】13天
1
【分析】把这项工程量看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知甲的工作效率为 ，
30
4 1 4
乙的工效比甲快 ，则乙的工作效率为 ×（1＋ ），最后根据工作总量÷工作效率之和＝工作时
13 30 13
间，据此进行计算即可。
1 1 4
【详解】1÷[ ＋ ×（1＋ ）]
30 30 13
1 1 17
＝1÷[ ＋ × ]
30 30 13
1 17
＝1÷[ ＋ ]
30 390
1
＝1÷
13
＝1×13
＝13（天）
答：现两人合作，13天可以完成这项工程。
3．一项工程，甲队单独做要 35天完成，乙队单独做要28天完成，现在两队合作，几天后剩下任务
1
的 ？
10
【答案】14天
1 1 1
【分析】将这项任务看作单位“1”，那么甲队每天完成 ，乙队每天完成 ，两队合作每天完成（
35 28 35
1 1 9
＋ ）。两队合作几天剩下任务的 ，说明得完成任务的 。工作时间＝工作总量÷工作效率，那
28 10 10
9 1
么将 除以工作效率和，即可求出几天后剩下任务的 。
10 10
1 1 1
【详解】（1－ ）÷（ ＋ ）
10 35 28
9 9
＝ ÷
10 140
9 140
＝ ×
10 9
＝14（天）
1
答：两队合作，14天后剩下任务的 。
10
305
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1．要生产一批童装，甲童装厂单独做要 15天完成，乙童装厂单独做要20天完成。现在甲童装厂先
做9天后，剩下的由乙童装厂单独完成，乙童装厂还要做多少天才能完成任务？
【答案】8天
【分析】把这批童装的数量看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知甲厂的工作
1 1 1
效率为 ，乙厂的工作效率为 ，根据工作效率×工作时间＝工作总量，即用 乘9即可求出甲厂
15 20 15
做9天的工作量，再用1减去甲厂做9天的工作量即可得到还剩下的工作量，最后根据工作总量÷工
1
作效率＝工作时间，即用还剩下的工作量除以 即可求出乙童装厂还要做多少天才能完成任务。
20
1 1
【详解】（1－ ×9）÷
15 20
3 1
＝（1－ ）÷
5 20
2 1
＝ ÷
5 20
2
＝ ×20
5
＝8（天）
答：乙童装厂还要做8天才能完成任务。
2．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做用30天完成。甲、乙两队合修3天后，余下的由乙队
做，需要多少天才能完成？
【答案】22.5天
1
【分析】把这项工程看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知甲的工作效率为 ，
20
1
乙的工作效率为 ，再根据工作效率×工作时间＝工作总量，据此求出甲、乙两队合修3天的工作总
30
量；再用单位“1”减去甲、乙两队合修 3天的工作量即可得到还剩下的工作总量，最后再根据工作总
量÷工作效率＝工作时间，据此可求出需要多少天才能完成。
1 1 1
【详解】[1－（ ＋ ）×3]÷
20 30 30
1 1
＝[1－ ×3]÷
12 30
1 1
＝[1－ ]÷
4 30
3 1
＝ ÷
4 30
3
＝ ×30
4
＝22.5（天）
答：需要22.5天才能完成。
306
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1．甲乙合作完成一项工作，一共用了 11天，期间甲因事请假3天，如果乙单独完成这项工作需要
15天。甲单独完成需要多少天？
【答案】30天
【分析】把甲、乙合作完成的工作量看作单位“1”。甲因病请假3天，所以这11天乙一直在做，求出
乙这 11 天完成的工作量，进而求出甲完成的工作量，再根据甲的工作时间求出甲的工作效率。
1
1 11113
15
11
1 8
15
【详解】 4
8
15
4 1
15 8
1
30
1
1
30
130
3（0 天）
答：甲单独完成需要30天。
【点睛】此题属于工程问题，解题的关键是求出甲完成的工作量。
2．工厂加工一批零件，李师傅单独做要12天完成，王师傅单独做要8天完成，两人合作3天后，李
师傅有事请假离开，剩下的由王师傅单独完成，王师傅还要几天完成？
【答案】3天
【分析】把这批零件的个数看作单位“1”，根据工作总量÷工作时间＝工作效率，据此可知李师傅的工
1 1
作效率为 ，王师傅的工作效率为 ，再根据工作效率×工作时间＝工作总量，即用王师傅和李师傅
12 8
的工作效率之和乘 3即可得到两人合作3天的工作总量，用1减去两人合作3天的工作总量即可得到
还剩下的工作总量，最后根据工作总量÷工作效率＝工作时间，据此解答即可。
1 1
【详解】1－（ ＋ ）×3
12 8
5
＝1－ ×3
24
5
＝1－
8
3
＝
8
3 1 3
＝ ×8＝3（天）
8 8 8
答：王师傅还要 3天完成。
307
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3．一项工程，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，现两人合作，若干天后，乙因事请假，甲
继续做完，从开工到结束共用 14天，甲、乙合作了多少天？
【答案】9天
1
【分析】把这项工程看作单位“1”，甲单独做20天，甲的工作效率是1÷20＝ ，乙单独做30天，乙
20
1 1 14
的工作效率是1÷30＝ ，甲从开工到结束干了14天，甲14天的工作量是 ×14＝ ，用1减去甲
30 20 20
14天的工作量，求出乙的工作量，再用乙的工作量÷乙的工作效率，即可求出乙工作的天数，也就是
甲、乙合作的天数，据此解答。
1 1
【详解】（1－ ×14）÷
20 30
7 1
＝（1－ ）÷
10 30
3 1
＝ ÷
10 30
3
＝ ×30
10
＝9（天）
答：甲、乙合作了 9天。
【点睛】本题考查工程问题，利用工作效率、工作时间和工作总量之间的关系，进行解答。
1．甲、乙、丙三人承包一项任务，发给他们的工资是 180元，三人完成这项任务的情况是：甲、乙
1 1
两人合作6天完成了这项任务的 ；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任务的 ；以后 3人合作
3 4
5天完成了这项任务。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各应得多少元？
【答案】甲应得33元，乙应得91元，丙得56元
1 1
【分析】甲、乙两人合作6天完成这项任务的 ，则甲和乙的工效是 ，将这项工作看成单位“1”，剩
3 18
2 1 2 1
下这项工作的 ，乙、丙合作 2天完成了余下任务的 ，则乙、丙合作2天完成了 的 ，则乙丙2
3 4 3 4
天完成了这项工作的 1 ，乙和丙的工效是 1 。甲乙丙合作5天完成了这项任务的1 ，则甲乙丙三人的
6 12 2
1
工效是 。分别求出甲乙丙三个人的工效，再根据工作总量＝工作时间×工作效率。再根据工作量算
10
出应得的钱。
1 2
【详解】1
3 3
2 1 1
3 4 6
2 1 1
3 6 2
308
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1 1
甲、乙的工效： 6
3 18
1 1
丙、乙的工效： 2
6 12
1 1
甲、乙、丙的工效： 5
2 10
1 1 1
甲工效：
10 12 60
1
甲的工作量： （65）
60
1
＝ 11
60
11
＝
60
11
甲的钱：180 33（元）
60
1 1 2
丙工效：
10 18 45
1
丙的工作量： （25）
45
2
＝ 7
45
14
＝
45
14
丙的钱：180 56（元）
45
1 1 2 7
乙工效：
10 60 45 180
7
乙的工作量： （625）
180
7
＝ 13
180
91
＝
180
91
乙的钱：180 91（元）
180
答：甲应得33元，乙应得91元，丙应得56元。
2．甲、乙、丙、丁四名工人承担一项工程任务，若由这4人中的某人单独完成全部任务，则甲需24
小时，乙需20小时，丙需16小时，丁需12小时。
（1）如果甲、乙、丙、丁四人同时作业，那么需要多少小时完成？
（2）如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的次序轮流作业，每轮中每人各工作1小时，那么
需要多少小时完成？
4 1
【答案】（1）4 小时；（2）17 小时
19 6
【分析】（1）将这项工程的工作总量看成单位“1”，工作效率＝工作总量÷工作时间。则甲的工作效率
309
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1 1 1 1
为 ，乙的工作效率为 ，丙的工作效率为 ，丁的工作效率为 。甲、乙、丙、丁四人同时作业，
24 20 16 12
工作时间＝工作总量÷甲乙丙丁工作效率总和。
19
（2）将甲乙丙丁看成一个循环，每个循环的工作效率是 ，完成了4个循环（也甲乙丙丁每个人完成
80
1
了4个小时，一共花了16个小时）以后工作总量还剩下 的工作总量没有完成，根据循环的顺序，
20
1 1 1
先给甲做了1小时完成了 ，还剩下 工作总量没有完成，将剩下的任务给乙完成只需要 小时。
24 120 6
将所有的时间加起来的得出所需要的时间。
1 1 1 1
【详解】（1）1÷24＝ 1÷20＝ 1÷16＝ 1÷12＝
24 20 16 12
1 1 1 1
1÷（ ＋ ＋ ＋ ）
24 20 16 12
1 1 1 1
＝1（ ）
24 12 20 16
1 2 1 1
＝1（ ）
24 24 20 16
1 1 1
＝1（ ）
8 16 20
2 1 1
＝1（ ）
16 16 20
3 1
＝1（ ）
16 20
15 4
＝1（ ）
80 80
19
＝1
80
80
＝1
19
80
＝
19
4
＝4 （小时）
19
4
答：甲、乙、丙、丁四人同时作业，那么需要4 小时完成。
19
19
（2）14
80
19
＝1
20
1
＝
20
1 1
1
20 24
1 1
＝
20 24
1
＝
120
310
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1 1 1 1
20 （小时）
120 20 120 6
1
4×4＋1＋
6
1
＝16＋1＋
6
1
＝17 （小时）
6
答：按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的次序轮流作业，每轮中每人各工作1小时，那么需要
1
17 小时完成。
6
【点睛】异分母分数加减法先通分转化为同分母加减法再进行计算。
分数的除法：除以一个不为 0的数相当于乘这个数的倒数。
分数的四则混合运算和整数的四则混合运算一样。
3．搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。有同样的仓库A和B，
甲在A仓库，乙在B 仓库同时开始搬运，丙帮助两库搬运，最后两个仓库货物同时搬完。问丙帮助
甲、乙各多少时间？
【答案】甲：3小时；乙：5小时
【分析】把一个仓库的工作量看作单位“1”，根据已知条件“搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，
1 1 1
乙需要12小时，丙需要15小时”可知，甲的工作效率是 ，乙的工作效率是 ，丙的工作效率是 ；
10 12 15
1 1 1
三人同时搬运，合作工作效率是（ ＋ ＋ ）；又因两个仓库是同样的仓库，两个仓库的工作总
10 12 15
量是“2”；先看成两个仓库的货物三人合作完成，根据“合作工作时间＝工作总量÷合作工作效率”，求
出三人同时搬运 2个仓库需要的时间；根据“工作量＝工作效率×工作时间”，求出合作工作时间内甲
在A仓库的工作量，再用“1”减去甲在A仓库的工作量，剩下的就是丙在A仓库的工作量，除以丙的
工作效率，即可求出丙在A仓库的搬运时间，用合作工作时间减去丙在 A仓库的搬运时间，就是丙
在B 仓库的搬运时间。
【详解】2个仓库三人合作工作时间：
1 1 1
2÷（ ＋ ＋ ）
10 12 15
6 5 4
＝2÷（ ＋ ＋ ）
60 60 60
11 4
＝2÷（ ＋ ）
60 60
15
＝2÷
60
60
＝2×
15
＝8（小时）
丙在A仓库的工作时间：
311
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1 1
（1－ ×8）÷
10 15
8 1
＝（1－ ）÷
10 15
1 1
＝ ÷
5 15
1
＝ ×15
5
＝3（小时）
丙在B 仓库时间：8－3＝5（小时）
答：丙帮助甲3小时，丙帮助乙5小时。
【点睛】本题考查复杂的工程问题，掌握工作效率、工作时间，工作量之间的关系是解题的关键。
1．李林为一家公司设计平面广告图，公司付给他报酬 5400元，按照规定超过1000元的部分应按20%
的税率缴纳个人所得税。李林在这次设计工作中，实际获得报酬多少元？
【答案】4520元
【分析】先用5400 减去1000，计算出超过免税部分的收入，再根据应纳税额收入税率，计算出李
林应缴纳的税款，最后用5400元减去应缴纳的税款，计算出实际获得报酬多少元。
【详解】5400(54001000)20%
540044000.2
5400880
4520（元）
答：实际获得报酬 4520元。
2．李玲爸爸2022年全年工资总额是105000元，其中72000元不需纳税。超过72000元的部分按照
下表规定纳税。李玲爸爸应缴纳个人所得税多少元？
级数 全年应纳税所得额 税率（%）
1 不超过36000元的 3
2 超过36000元至144000元的部分 10
3 超过144000元至300000元的部分 20
4 超过300000元至420000元的部分 25
5 超过420000元至660000元的部分 30
6 超过660000元至960000元的部分 35
312
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7 超过960000元的部分 45
【答案】990元
【分析】根据题意，年收入在72000元以下的不需纳税，李玲爸爸年收入是105000元，需纳税部分是
105000－72000＝33000元，对照税率表可知，33000＜36000，按3%的税率纳税，根据求一个数的百
分之几是多少，用应纳税部分乘 3%即是李玲爸爸应缴纳的个人所得税。
【详解】105000－72000＝33000（元）
33000＜36000
33000×3%
＝33000×0.03
＝990（元）
答：李玲爸爸应缴纳个人所得税 990元。
1．压岁钱是汉族的传统年俗，一般在新年倒计时由长辈将钱装在红包内给晚辈。压岁钱有很好的寓
意，通常认为有辟邪驱鬼，保佑平安。随着生活水平的提高，长辈们给的压岁钱也逐渐提高了。六年
级二班全体同学 2024年春节期间共收到压岁钱48000元。
（1）比去年同期增加了20%，请问同学们去年共收到多少元压岁钱？
（2）同学们在班长的带领下，打算集体存到银行，明年春节将本息一起取出，捐给贫困山区的孩子们
买衣服和文具。定期一年，年利率是1.75%，到期后同学们可以获得本息共多少元？
【答案】（1）40000元
（2）48840元
【分析】（1）比去年同期增加了20%，则可将去年同期收到的压岁钱看作单位“1”，则今年收到的是
（1＋20%），运用百分数除法计算得出答案；
（2）根据本息和＝本金×（1＋利率×期数），据此运用百分数乘法计算得出答案。
【详解】（1）将将去年同期收到的压岁钱看作单位“1”，则：
48000（120%）
48000120%
40000（元）
答：同学们去年共收到40000元压岁钱。
（2）到期后可获得本息：
48000（11.75%1）
48000（11.75%）
313
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480001.0175
48840（元）
答：到期后同学们可以获得本息共 48840元。
2．今年银行的利率分别是：定期一年1.8%，定期两年2.15%，小明家要存20000元定期。爸爸妈妈
有不同的方案。
（1）妈妈计划用20000元先存一年定期，到期后连本带利再存一年定期，两年一共可得多少利息？
（2）爸爸认为用20000元直接存两年的定期。到期可得利息多少？如果你是小明，你会支持谁的方案
【答案】（1）726.48元；
（2）860元，支持爸爸
【分析】利息＝本金×时间×利率。本息＝本金＋利息。
（1）两年妈妈一共取得的利息＝第一年的本金和利息×时间×利率＋第一年的利息。
（2）根据公式，求出爸爸的利息，再与妈妈的利息相比较，即可解答。
【详解】（1）20000×1×1.8%＝360（元）
20000＋360＝20360（元）
20360×1×1.8%＝366.48（元）
360＋366.48＝726.48（元）
答：两年一共可得 726.48元。
（2）20000×2×2.15%＝860（元）
860元＞726.48元，爸爸获得的利息高于妈妈获得的利息。
答：到期后可利息 860元，如果我是小明，会支持爸爸的方案。
1．火锅是我国独创的美食之一，老少皆宜。周末，乐乐一家三口去吃火锅，总消费在 200元以上。
结账时有两种优惠方式（如图）。
①团购代金券70元一张，可抵 100元消费，每桌限用2张，多余部分不找零钱，不足部分用现金补
齐。
②享受总消费七五折优惠。（两种优惠方式不能同时使用）
（1）使用代金券，乐乐一家最多可节省多少元？
（2）如果采用打折的方式，要想节省与使用代金券同样多的钱，乐乐一家要消费多少元？
（3）乐乐一家如果消费220元，使用优惠方式（ ）更划算。（填序号）
【答案】（1）60元
（2）240元
（3）①
314
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【分析】（1）总消费包含几个100元就可以使用几张代金券（最多2张），每张代金券节省（100－
70）元，每张代金券节省的钱数×使用的代金券张数＝节省的钱数，据此列式解答。
（2）将消费钱数看作单位“1”，几折就是百分之几十，1－折扣＝节省百分之几，节省钱数÷对应百分
率＝消费钱数，据此列式解答。
（3）分别计算出两种优惠方式的实际钱数，比较即可。①总消费包含几个 100元就可以使用几张代金
券（最多2张），每张代金券节省（100－70）元，每张代金券节省的钱数×使用的代金券张数＝节省
的钱数，总消费－节省的钱数＝实际钱数；②将消费钱数看作单位“1”，总消费×折扣＝实际钱数。
【详解】（1）200÷100＝2（张）
（100－70）×2
＝30×2
＝60（元）
答：乐乐一家最多可节省60元。
（2）60÷（1－75%）
＝60÷0.25
＝240（元）
答：乐乐一家要消费240元。
（3）220÷100＝2（张）……20（元）
220－（100－70）×2
＝220－30×2
＝220－60
＝160（元）
220×75%＝220×0.75＝165（元）
160＜165
乐乐一家如果消费 220元，使用优惠方式①更划算。
2．某公司需要更换 50张办公桌，通过调查，甲、乙、丙三个商场都有相同的办公桌，价格都是每张
500元。甲商场：打八五折销售。乙商场：买30张以上的（含30张），每张办公桌优惠60元，不
赠送。丙商场：每购买 10张办公桌免费赠送2张，不足10张不赠送。你认为应选择哪家商场最划算？
最少需要多少元？
【答案】丙商场；21000元
【分析】甲商场：打八五折销售，用单价乘数量，算出50张办公桌的总价，再乘85%即是甲商场需付
的钱数；
乙商场：买30张以上的（含30张），每张办公桌优惠60元，即每张办公桌的单价为（500－60）元，
用优惠后的单价乘购买数量，即是乙商场需付的钱数；
315
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丙商场：“买10张送2张”，看50张里面有几个（10＋2）张，求出实际需付钱的办公桌张数，再乘
单价即是丙商场需付的钱数；
最后比较甲、乙、丙三个商场的钱数，得出结论。
【详解】甲商场：八五折＝85%
500×50×85%
＝25000×85%
＝21250（元）
乙商场：（500－60）×50
＝440×50
＝22000（元）
丙商场：50÷（10＋2）
＝50÷12
＝4（组）……2（张）
4×10＋2
＝40＋2
＝42（张）
42×500＝21000（元）
21000＜21250＜22000
答：应选择丙家商场最划算，最少需要 21000元。
1．商品买卖中有成本、销售价、利润率，它们的关系是：利润率＝（销售价－成本）÷成本×100%。
现某种商品，每件成本120元，售价是150元，请问这件商品的利润率是多少？
【答案】25%
【分析】
根据关系式：利润率＝（销售价－成本）÷成本×100%，把成本 120元和售价 150元代入计算出利润
率即可。
【详解】（150－120）÷120×100%
＝30÷120×100%
＝0.25×100%
＝25%
答：这件商品的利润率是25%。
【点睛】本题考查了百分数的应用，明确利润率对应的公式是解题的关键。
316
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2．如果以每千克 12元的进价买进4000千克桃子，以15%的利润销售，除去运费100元，共得利润
多少元？
【答案】7100元
【分析】根据题意，把进价看作单位“1”，则卖价是（1＋15%），卖价是12×（1＋15%）元，用12×
（1＋15%）×4000，求出4000千克桃子卖价多少钱，用4000千克×进价，求出4000千克桃子进价，
再用卖价减去进价减去运费，即可解答。
【详解】12×（1＋15%）×4000－4000×12－100
＝12×1.15×4000－48000－100
＝13.8×4000－48000－100
＝55200－48000－100
＝7200－100
＝7100（元）
答：共的利润7100元。
【点睛】本题也可“先求出4000千克桃子的进价，进而得出进价的15%，再减去运费”进行解答。
1．书店以每本30元的价格买进了250本图书。销售时，先以每本35元的定价卖了150本，其余的
按定价的八折全部卖完。这个商店赚了（或亏了）多少元？
【答案】赚了550元
【分析】根据总价＝单价×数量，先用35元乘150，求出按定价卖得的钱数；由于打八折就是按照原
价的80%出售，那么现价＝原价×折扣，再用（35×80%）乘（250－150），求出按定价的八折卖得的
钱数；将两部分卖得的钱数相加，再与（30×250）元比较后求差即可。
【详解】35×150＋（35×80%）×（250－150）
＝5250＋28×100
＝5250＋2800
＝8050（元）
30×250＝7500（元）
8050－7500＝550（元）
答：这个商店赚了 550元。
【点睛】解答本题需明确进价、定价和折扣价的意义，熟练掌握单价、数量和总价之间的关系。
2．服装店有甲、乙两件羽绒服，成本价一共是2200元，甲羽绒服按20%的利润定价，乙羽绒服按
15%的利润定价。后来甲、乙两件羽绒服都按定价的九折出售，卖出后一共仍可获利131元。甲羽绒
服的成本价是多少元？
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【答案】1200元
【分析】甲、乙两件羽绒服，成本价一共是 2200元，按定价的九折出售，卖出后一共仍可获利131
元，即售价是（2200＋131）元是两件羽绒服定价的90%，把定价看作单位“1”，单位“1”未知，用售
价除以90%，求出两件羽绒服的定价；
甲羽绒服按20%的利润定价，即甲羽绒服的定价是甲成本的（1＋20%）；乙羽绒服按15%的利润定
价，即乙羽绒服的定价是乙成本的（1＋15%）；根据等量关系：甲羽绒服的成本×（1＋20%）＋乙
羽绒服的成本×（1＋15%）＝两件羽绒服的定价，列出方程，并求解。
【详解】（2200＋131）÷90%
＝2331÷0.9
＝2590（元）
解：设甲羽绒服的成本价是x元，则乙羽绒服的成本价是（2200－x）元。
（1＋20%）x＋（1＋15%）×（2200－x）＝2590
1.2x＋1.15×（2200－x）＝2590
1.2x＋2530－1.15x＝2590
0.05x＝2590－2530
0.05x＝60
x＝60÷0.05
x＝1200
答：甲羽绒服的成本价是1200元。
【点睛】从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程是解题的关键。
3．购进一批青菜，按30%利润定价。当卖出这批青菜的80%后。为了尽快卖完，决定将剩下的所有
青菜半价出售。售完后实际的利润率是多少？
【答案】17%
【分析】由题意可知，设数量是100，成本是 1，则定价为1＋1×30%＝1.3（元）。卖出80%的数量为：
100×80%＝80，则剩下的数量为20，降价后的价钱为：1.3×50%＝0.65（元），然后求出实际利润，
用实际利润除以成本价即可解答。
【详解】设数量是 100，成本是1，则定价为1＋1×30%＝1.3（元）
100－100×80%
＝100－80
＝20（棵）
总收入：1.3×80＋0.65×20
＝104＋13
＝117（元）
318
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实际利润：117－100＝17（元）
利润率：17÷100＝17%
答：售完后实际的利润率是 17%。
【点睛】本题考查利润率，明确利润率＝实际利润÷成本价是解题的关键。
4．甲乙两件商品的进价共 600元，甲商品按 45%的利润率定价，乙商品按40%的利润率定价，后来
甲打八折售出，乙打九折售出，两件商品共盈利110元，两件商品的进价各是多少？
【答案】460元；140元
【分析】设甲的进价是x元，则乙的进价是（600－x）元，根据两件商品共盈利110 元，据此列方程，
解方程即可。
【详解】解：设甲的进价是x元，则乙的进价是（600－x）元。
[x（1＋45%）×80%＋（600－x）（1＋40%）×90%]－600＝110
x＝460
600－460＝140（元）
答：甲的进价是 460元，则乙的进价是140元。
【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确数量关系是解题的关键。
1．水果店进了一批水果，希望卖出去之后得到50%的利润．当售出六成数量的水果时，由于天气原
因水果无法保存，于是商店决定打折处理，结果还是有一成数量的水果烂了，最终只得到了所期望利
润的34%．请问：商店打折处理时打了几折？
【答案】六折．
【详解】试题分析：设水果成本为单位“1”，则原计划利润为0.5，实际所得利润为 ×34%=17%=0.17，
所得总钱数为1.17，而卖出前六成水果共得钱数（1+50%）×0.6=0.9，因此后三成水果共卖得钱数为
1.17﹣0.9=0.27，打折后售价为 0.27÷30%=0.9，所以，商店处理折扣为 ×100%=60%，即打六折；
由此解答即可．
解：打折后的售价：[1+50%×34%﹣（1+50%）×0.6]÷30%
=[1.17﹣0.9]÷0.3
=0.9
所以商店处理折扣为： ×100%=60%，即打六折；
答：商店打折处理时打了六折．
点评：判断出单位“1”，根据题意，进行认真分析，求出打折后的售价，然后根据求一个数是另一个
数的百分之几，用除法解答即可；明确几折即百分之几十．
319
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2．某玩具厂生产某种款式的变形金刚，如果按原定价销售，每个可获利润48元．现在打八八折促销，
结果销售量增加了一倍，获得的利润增加了 25%．请问：打折后每个变形金刚的售价是多少元？
【答案】132元．
【详解】试题分析：设打折前能卖出x个，那么打折后卖出2x个，打折前获利润48x，打折后获利润
48x×（1+25%）=60x 元，因此，打折后每个玩具获利润 60x÷2x=30 元；设原定价为x元，则打折后
的售价为0.88x元，根据成本不变，可知：x﹣48=0.88x﹣30，解方程求出原定价，进而求出打折后的
售价．
解：设打折前能卖出x个，那么打折后卖出2x个，
打折前获利润48x，打折后获利润：48x×（1+25%）=60x（元），
打折后每个玩具获利润：60x÷2x=30（元）；
设原定价为x元，则打折后的售价为0.88x元，根据成本不变，可得：
x﹣48=0.88x﹣30
0.12x=18
x=150
打折后售价：150×88%=132（元）；
答：打折后每个变形金刚的售价是 132元．
点评：根据题意，进行认真分析，根据数量间的相等关系式，列出方程，求出每个变形金刚的原售价，
是解答此题的关键；用到的知识点：一个数乘分数的意义．
3．第八届中国（重庆）国际园林博览会吉祥物“山娃”深受市民喜欢。某特许商品零售商销售A、B
两种山娃纪念品，其中A种纪念品的利润率为 10%，B 种纪念品的利润率为30%。当售出的A种纪
念品的数量比B 种纪念品的数量少40%时，该零售商获得的总利润率为20%；当售出的A种纪念品
的数量与B 种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率是多少？（利润率＝利润÷成本）
【答案】17.5%
【分析】假设A每件的成本是a，B 每件的成本是b，根据成本×利润率＝利润，可知A 每件的利润是
10%a，B每件的利润是30%b，假设B 种售出x件，把B种售出的数量看作单位“1”，当售出的A 种
纪念品的数量比 B 种纪念品的数量少40%时，售出的A种纪念品的数量是B 种的（1－40%），所以
用（1－40%）x即可求出售出的A种纪念品的数量，也就是60%x 件，该零售商获得的总利润率为
20%；总利润率×成本＝总利润，据此可列方程为（60%x×a＋bx）×20%＝10%a×60%x＋30%b×x，然
5
后根据等式的性质化简，找出a 和b的关系，也就是a＝ b；假设当A、B 售出数量相同时，都售出
3
y件，根据总利润率＝总利润÷总成本，用（10%a×y＋30%b×y）÷（ay＋by）即可求出当售出的A 种
纪念品的数量与 B 种纪念品的数量相等时，该零售商获得的总利润率。
【详解】解：设A每件的成本是a，B 每件的成本是b，A每件的利润是10%a，B每件的利润是30%b，
320
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B 种售出x件。
（60%x×a＋bx）×20%＝10%a×60%x＋30%b×x
（0.6x×a＋bx）×0.2＝0.1a×0.6x＋0.3b×x
0.12ax＋0.2bx＝0.1a×0.6x＋0.3b×x
0.12ax＋0.2bx＝0.06ax＋0.3bx
0.12ax＋0.2bx－0.06ax＝0.3bx
0.06ax＋0.2bx＝0.3bx
0.06ax＝0.3bx－0.2bx
0.06ax＝0.1bx
0.06ax÷x＝0.1bx÷x
0.06a＝0.1b
a＝0.1b÷0.06
5
a＝ b
3
设当A、B 售出数量相同时，都售出 y件，
（10%a×y＋30%b×y）÷（ay＋by）×100%
＝（0.1ay＋0.3by）÷（ay＋by）×100%
＝[（0.1a＋0.3b）×y]÷[（a＋b）×y] ×100%
＝（0.1a＋0.3b）÷（a＋b）×100%
5 5
＝（0.1× b＋0.3b）÷（ b＋b）×100%
3 3
1 5
＝（ b＋0.3b）÷（ b＋b）×100%
6 3
7 8
＝ b÷ b×100%
15 3
7 8
＝ ÷ ×100%
15 3
7 3
＝ × ×100%
15 8
7
＝ ×100%
40
＝17.5%
答：零售商获得的总利润率是 17.5%。
【点睛】本题可用字母表示数，根据相应的数量关系列出方程以及式子进行化简，明确成本、数量、
利润和利润率之间的关系是解答本题的关键。
1．要将浓度为25%的酒精溶液1020克，配制成浓度为17%的酒精溶液，需加水多少克？
321
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【答案】480克
【分析】酒精溶液的25%是纯酒精，先算出纯酒精是多少克。设需加水x克，根据加水后的溶液的17%
是纯酒精重量，列方程解答。
【详解】解：设需加水x克，则
（1020＋x）×17%＝1020×25%
1020×17%＋17%x＝1020×25%
173.4＋0.17x＝255
173.4－173.4＋0.17x＝255－173.4
0.17x＝81.6
0.17x÷0.17＝81.6÷0.17
x＝480
答：需加水480克。
2．配制一种药液，该药液的浓度是 3%。
（1）如果药粉有90克，那么加水多少克？
（2）配制药液2千克，要多少克药粉？
【答案】（1）2910克
（2）60克
【分析】已知该药液的浓度是 3%，即药粉的质量占药液质量的3%，把药液的质量看作单位“1”。
（1）如果药粉有90克，单位“1”未知，用药粉的质量除以3%，求出药液的质量，再用药液的质量减
去药粉的质量，即是需加水的质量。
（2）配制药液 2千克，单位“1”已知，用药液的质量乘3%，求出药粉的质量。注意单位的换算：1千
克＝1000克。
【详解】（1）药液：
90÷3%
＝90÷0.03
＝3000（克）
水：3000－90＝2910（克）
答：加水2910克。
（2）2×3%
＝2×0.03
＝0.06（千克）
0.06千克＝60克
答：要60克药粉。
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1．为预防冬季传染病，学校安稳办每天都要配置不同浓度的消毒水对校园物品和环境进行消毒。现
有大小两个瓶子装满消毒水，已知大瓶中消毒水的质量是小瓶的 3倍，大小瓶消毒水的浓度分别是
5%、4%，现将两瓶消毒水混合在一起，混合后的消毒水的浓度是多少？
【答案】4.75%
【分析】假设小瓶消毒水质量 100克，则大瓶消毒水质量：100×3＝300（克），分别将大小瓶消毒水
的质量看作单位“1”，分别用大小瓶消毒水质量乘浓度，求出大瓶和小瓶纯药水的质量，大小瓶纯药
水质量和÷大小瓶消毒水质量＝混合后消毒水的浓度，据此列式解答。
【详解】假设小瓶消毒水质量 100克。
大瓶消毒水质量：100×3＝300（克）
300×5%＝300×0.05＝15（克）
100×4%＝100×0.04＝4（克）
（15＋4）÷（300＋100）
＝19÷400
＝0.0475
＝4.75%
答：混合后的消毒水的浓度是 4.75%。
2．甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水浓度的 3倍。将100克甲瓶盐水与300克乙瓶盐水
混合后得到浓度为 15%的新盐水，求：
（1）甲瓶盐水的浓度是多少？
（2）若现在有400克15%的盐水中依次加入5%的盐水100克、10%的盐水100克。则混合溶液中盐
和水的比是多少？
【答案】（1）30%
（2）1∶7
【分析】（1）根据“甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水浓度的3倍”，可以设乙瓶盐水的浓度是x，则甲瓶盐
水的浓度是3x；
根据“盐水的质量×浓度＝盐的质量”可得出等量关系：甲瓶盐水的质量×甲瓶盐水的浓度＋乙瓶盐水的
质量×乙瓶盐水的浓度＝（甲瓶盐水的质量＋乙瓶盐水的质量）×混合后的浓度，据此列出方程，并
求解。
（2）根据“盐水的质量×浓度＝盐的质量”分别求出混合前3种不同浓度盐水中盐的质量，再相加，即
是混合后盐的质量；再用这3种不同浓度的盐水质量之和减去混合后盐的质量，求出混合后水的质量；
最后根据比的意义写出混合溶液中盐和水的比，并化简比。
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【详解】（1）解：设乙瓶盐水的浓度是x，则甲瓶盐水的浓度是3x。
100×3x＋300x＝（100＋300）×15%
300x＋300x＝400×0.15
600x＝60
x＝60÷600
x＝0.1
x＝10%
甲：10%×3＝30%
答：甲瓶盐水的浓度是30%。
（2）盐的质量：
400×15%＋100×5%＋100×10%
＝400×0.15＋100×0.05＋100×0.1
＝60＋5＋10
＝75（克）
水的质量：
400＋100＋100－75＝525（克）
盐和水的比是：
75∶525＝（75÷75）∶（525÷75）＝1∶7
答：混合溶液中盐和水的比是 1∶7。
【点睛】（1）理解浓度的含义，利用混合前后盐的质量不变得出等量关系，根据等量关系列出方程是
解题的关键。
（2）本题考查比的意义以及比的化简，运用浓度的计算方法求出混合后盐和水的质量是解题的关键。
1．甲、乙、丙3个试管中各盛水10克、20克、30克，把某种浓度的药水10克，倒入甲管中，混合
后取10克倒入乙管中。再混合后从乙管中取出10克倒入丙管中，现在丙管中药水浓度为2%。最早
倒入甲管中的药水浓度是多少？
【答案】48%
【分析】用逆推法，先根据“溶剂=溶液×浓度”求出丙试管中药的质量（30＋10）×2%=0.8（克）；由
于丙中的药来自乙中倒入的 10克药水，用0.8除以10，求出乙管中的药水浓度，再乘乙管的药水质
量（20＋10）克，进而求出乙管中药的质量，同理，可依次求出甲管中药的质量，最后根据“浓度=
溶剂÷溶液”求出倒入甲液中的药水浓度。
【详解】①丙管中的药质量：（30＋10）×2%＝0.8（克）
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②乙管中药的重量：0.8÷10×（20＋10）＝2.4（克）
③甲管中药的重量：2.4÷10×（10＋10）＝4.8（克）
④倒入甲管中药水的浓度是：4.8÷10×100%＝48%
答：最早倒入甲管中的药水浓度是 48%。
【点睛】本题考查浓度配比问题，从看似混乱的信息中，通过耐心分析，找出突破点，适当运用逆向
思考是解题的关键。
2．甲桶中有若干千克纯水，乙桶中有若干千克纯酒精，第一次从甲桶往乙桶倒水，使得乙桶中液体
的质量增加2倍；第二次从乙桶往甲桶倒，使乙桶中液体的质量减少四分之一；第三次再从甲桶往乙
桶倒，使甲桶中液体的质量减少五分之一．最后甲桶中液体的质量恰好等于最初乙桶中液体的质量，
请问：最后甲、乙两桶中液体的浓度分别等于多少？
【答案】甲桶中液体的浓度是 20%，乙桶中液体的浓度是45.71%．
【详解】试题分析：先求出甲乙原有多少质量，设甲原有质量 y千克，乙原有质量x千克，第一倒水
之后，甲为：y﹣2x，乙为：3x；第二次倒完后，甲为：y﹣ x，乙为： x；第三次倒完后，甲为： y
﹣x，乙为：y 或乙为（ y+2x）；根据题意有： y﹣x=x，解得y= x；然后求出甲乙最后各有多少
质量的酒精，就可求出浓度．
解：设甲原有质量 y千克，乙原有质量x千克，第一倒水之后，甲为：y﹣2x，乙为：3x；第二次倒
完后，甲为：y﹣ x，乙为： x；第三次倒完后，甲为： y﹣x，乙为：y 或乙为（ y+2x）；根据题
意有： y﹣x=x，解得y= x．
甲桶含水 y÷y=80%，酒精的浓度= ÷y=20%
乙桶：酒精的浓度 y÷[（1+1﹣ ）y]= y÷ y=45.71%．
答：甲桶中液体的浓度是20%，乙桶中液体的浓度是45.71%．
点评：此题属于较难的浓度问题，根据浓度的变化，求出甲乙最后各有多少质量的酒精，是解答此题
的关键．
3．现有甲、乙、丙三种硫酸溶液．如果把甲、乙按照3：4的质量比混合，得到浓度为17.5%的硫酸；
如果把甲、乙按照 2：5的质量比混合，得到浓度为14.5%的硫酸；如果把甲、乙、丙按照5：9：10
的质量比混合，可以得到浓度为 21%的硫酸，请求出丙溶液的浓度．
【答案】28%．
【详解】试题分析：甲乙3：4混合变成2：5，混合液溶度下降了3%，相当于7份中的1份甲液换成
了乙液，溶度下降了3%；
那么继续把2份甲换成乙，得到的就是纯乙溶液的溶度：14.5%﹣3%×2=8.5%，
同理，也可以相当于7份中的1份乙液换成了甲液，溶度上升了3%，
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那么把4份乙换成甲，得到的就是纯甲溶液的溶度：17.5%+3%×4=29.5%，
又因为甲、乙、丙按照5：9：10的质量比混合，可以得到浓度为21%的硫酸
可得丙的溶度为：[（5+9+10）×21%﹣8.5%×9﹣29.5%×5]÷10=28%
解：甲乙3：4混合变成2：5，混合液溶度下降了：17.5%﹣14.5%=3%；
继续把2份甲换成乙，得到的就是纯乙溶液的溶度：14.5%﹣3%×2=8.5%．
把4份乙换成甲，得到的就是纯甲溶液的溶度：17.5%+3%×4=29.5%．
甲、乙、丙按照 5：9：10的质量比混合，可以得到浓度为21%的硫酸，所以丙的溶度为：
[（5+9+10）×21%﹣8.5%×9﹣29.5%×5]÷10
=[5.04﹣0.765﹣1.475]÷10
=2.8÷10﹣
=28%
答：丙溶液的浓度为28%．
点评：此题也可用浓度三角来解答：甲、乙按照3：4的质量比混合，得到浓度为17.5%的硫酸；甲、
乙按照2：5的质量比混合，得到浓度为 14.5%的硫酸；如果把这两种甲乙混合液等量混合，得到的
恰好是甲乙按照 5：9的质量比混合，得到浓度为（17.5%+14.5%）÷2=16%的硫酸．
如果把甲、乙、丙按照5：9：10的质量比混合，可以得到浓度为21%的硫酸，相当于把浓度为16%
的硫酸和丙按照 14：10混合，得到浓度为21%的硫酸混合液
1．把一些鸡和兔放在一只笼子里，从上面数有29个头，从下面数有92只脚，问鸡和兔各有多少只？
【答案】12只；17只
【分析】假设全是鸡，应该有（29×2）只脚，比实际少了（92－29×2）只，因为每只鸡比每只兔少（4
－2）只脚，少的脚数÷每只鸡比每只兔少的脚数＝兔的只数，总只数－兔的只数＝鸡的只数，据此列
式解答。
【详解】兔：（92－29×2）÷（4－2）
＝（92－58）÷2
＝34÷2
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＝17（只）
鸡：29－17＝12（只）
答：鸡和兔各有 12只、17只。
2．某中学利用暑假进行军训活动，晴天每日行15千米，雨天每日行10千米，10天共行135千米，
这期间雨天多少天？
【答案】3天
【分析】假设全是晴天，应该行（15×10）千米，比实际多了（15×10－135）千米，因为每个晴天比
每个雨天多行了（15－10）千米，比实际多行的距离÷每个雨天多算的距离＝雨天天数，据此列式解
答。
【详解】（15×10－135）÷（15－10）
＝（150－135）÷5
＝15÷5
＝3（天）
答：这期间雨天 3天。
3．为迎接建党100周年，某校举行了一次有关党史的知识竞赛，共15道题，每做对1道题得8分，
每做错1道题倒扣4分，小苗做完15道题，共得了72分，她做对了多少道题？
【答案】11道
【分析】假设15道题全对了，应该得120分，而小苗只得了72分，少了120－72＝48（分）；因为
每做错一题，就得不到8分，还会倒扣4分，所以每做错一题，小苗就少得4＋8＝12（分）；所以
她做错了48÷12＝4（道），做对了15－4＝11（道）。
【详解】158728＋4
4812
＝4（道）
15411（道）
答：她做对了11道题。
【点睛】此题属于典型的鸡兔同笼问题，解答此类题的关键是用假设法进行分析比较，进而得出结论；
也可以用方程，设其中的一个数为未知数，另一个数也用未知数表示，列出方程解答即可。
4．某玻璃工艺品公司委托专业运输公司运送400只工艺品。双方约定：每只运费2.5元，如果打破
一只，不但不给运费，还要赔偿 12.5元。结果运输公司共得到劳务费955元，搬运途中打破了几只
工艺品？
【答案】3只
【分析】假设全部完好无损，可得运费（400×2.5）元，实际得到955元，少得（400×2.5－955）元；
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因为每打破一只少得（2.5＋12.5）元，所以用（400×2.5－955）除以（2.5＋12.5），即可得到搬运途
中打破了几只工艺品。
【详解】假设全部完好无损。
（400×2.5－955）÷（2.5＋12.5）
＝（1000－955）÷15
＝45÷15
＝3（只）
答：搬运途中打破了3只工艺品。
【点睛】本题考查了鸡兔同笼问题，可以用假设法解答，还可以列方程解答。
1．有一条公路全长 500米，在公路的两侧从头到尾每隔5米种一棵杨树，一共要种多少棵？
【答案】202棵
【分析】
根据题意，全长 500 米的公路两侧从头到尾每隔 5米种一棵杨树，先根据“全长÷间距＝间隔数”，求
出公路一侧杨树的间隔数；再根据植树问题中的两端都栽的情况可知，“棵数＝间隔数＋1”，由此求
出公路一侧杨树的棵数，最后乘 2，即是公路两侧杨树的总棵数。
【详解】（500÷5＋1）×2
＝（100＋1）×2
＝101×2
＝202（棵）
答：一共要种202棵。
2．阳光小学六年级师生共342人排成两列纵队去烈士陵园祭扫，相邻的前后两排相距 0.4米，队伍
每分钟行50米。现在要通过一座长850米的大桥，从排头两人上桥到排尾两人离开桥，共需要多少
分钟？
【答案】18.36分钟
【分析】
六年级师生共342人排成两列纵队，则每列342÷2＝171（人），即171排。171排之间有170 个间隔，
相邻的前后两排相距 0.4米，用0.4 乘170即可求出队伍的长度。用队伍的长度加上大桥的长度，可
以求出从排头两人上桥到排尾两人离开桥所走的路程。最后根据路程÷速度＝时间，用队伍所走的路
程除以50，即可求出需要的时间。
【详解】342÷2＝171（排）
（171－1）×0.4
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＝170×0.4
＝68（米）
（68＋850）÷50
＝918÷50
＝18.36（分钟）
答：共需要18.36分钟。
3．学校将举行运动会，何老师沿操场一周插上彩旗。如果每隔10米插上一面彩旗，那么何老师至少
需要多少面彩旗才能完成任务？
【答案】40面
【分析】根据题意，要沿操场一周插上彩旗，观察图形可知，操场的周长＝直径为73米的圆的周长＋
2个85.39米的长度，根据圆的周长公式 C＝πd，代入数据计算求出操场的周长；
再根据封闭图形的植树问题可知，间隔数＝棵数；用操场一周的长度除以每相邻两面彩旗的间距，即
可求出需要彩旗的数量。
【详解】3.14×73＋85.39×2
＝229.22＋170.78
＝400（米）
400÷10＝40（面）
答：何老师至少需要40面彩旗才能完成任务。
4
4．把一根木头锯成两段用了 分钟，把这根木头锯成11段，需要多少分钟？
5
【答案】8分钟
【分析】根据题意，把一根木头锯成两段，需要锯211（次），用所用时间除以1求锯1次的时间；
把木头锯成11段需要11110（次），乘每次的时间即可。
4
【详解】 ÷（2－1）×（11－1）
5
4
＝ ÷1×10
5
4
＝ ×10
5
＝8（分钟）
答：需要8分钟。
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【点睛】锯木头问题中，抓住锯的次数＝锯出的段数－1，由此即可解答。
1．六一儿童节这天，中一班的王老师买来了一袋糖果准备分给小朋友们。如果每名小朋友分 4个，
那么还剩10个；如果每名小朋友分5个，那么就差5个。有多少名小朋友？
【答案】15名
【分析】设有x名小朋友。如果每名小朋友分4个，还剩10个，则x名小朋友一共分了4x个，加上
剩下的10个，可得这袋糖果一共有（4x＋10）个；如果每名小朋友分5个，一共分了5x个，再减去
差的5个，可知这袋糖果一共有（5x－5）个。糖果的总个数不变，据此列出方程：4x＋10＝5x－5，
根据等式的性质解出方程即可。
【详解】解：设有 x名小朋友。
4x＋10＝5x－5
10＝5x－5－4x
10＝x－5
10＋5＝x
x＝15
答：有15名小朋友。
2．卧龙自然保护区管理员把一些竹子分给若干只大熊猫，若每只大熊猫分7棵，还缺60棵竹子；若
每只大熊猫分5棵，还缺4棵竹子。问有大熊猫多少只？竹子多少棵？
【答案】28只；136棵
【分析】根据题意可知，两种分法共相差（60－4）棵竹子，是因为两种分法每只大熊猫分得竹子相差
（7－5）棵，看（60－4）里面有几个（7－5），就有几只大熊猫，再根据第一种或第二种分法求出竹
子的棵数。
【详解】大熊猫有：
（60－4）÷（7－5）
＝56÷2
＝28（只）
竹子有：
28×7－60
＝196－60
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＝136（棵）
答：有大熊猫28只，竹子136棵。
【点睛】本题考查盈亏问题中的“亏亏”情况，可以直接代入公式“（大亏－小亏）÷分配差＝份数”来计
算。
3．用绳子测量一口井的深度，把绳子三折来量，井外每折余16米，把绳子四折来量，井外每折余 4
米，井深和绳长各是多少？
【答案】144米；32米
【分析】把绳子三折来量，井外余 16米，也就是绳长比井深的3倍还多16×3＝48米；把绳子四折来
量，井外余4米，也就是绳长比井深的4倍还多4×4＝16米。根据盈亏问题公式可知，井深为（48
－16）÷（4－3）＝32米，则绳长为（32＋16）×3＝144米。
【详解】井深为：
（48－16）÷（4－3）
＝32÷1
＝32（米）
绳长为：
（32＋16）×3
＝48×3
＝144（米）
答：绳长为144米，井深为32米。
【点睛】本题为两次都有余的盈亏问题，公式为：（大盈－小盈）÷（两次分配的差）＝分配数量。
1．希望小学三年级 1班有学生36人，其中参加美术班的有24人，参加书法班的有18人，这两个班
都没有参加的有 4人，两个班都参加的有多少人？
【答案】10人
【分析】根据题意，先用36－4求出参加这两个兴趣班的学生人数，用参加美术班的人数加上参加书
法班的人数，再减去参加这两个兴趣班的学生人数，即可求出两个班都参加的有多少人，据此解答即
可。
【详解】36－4＝32（人）
24＋18－32
＝42－32
＝10（人）
答：两个班都参加的有10人。
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2．李老师给三（2）班出了两道数学题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第 1题做对的有26
人，第2题做对的有24人，两道题都做对的有8人，三（2）班一共有多少人？
【答案】42人
【分析】将第1题做对的人数加上第2题做对的人数，再减去两道题都做对的人数，计算出三（2）班
一共有多少人；据此解答。
【详解】2624842（人）
答：三（2）班一共有42人。
1．盒子里装有数量足够多的大小、质地完全相同的红、黄、白三种颜色的玻璃球，每次摸出 2个球。
为了保证有5次摸出的结果相同，则至少需要摸多少次？
【答案】25次
【分析】
根据题意，盒子里有红、黄、白三种颜色的玻璃球若干个，每次摸出2个球，可能会出现：红红、黄
黄、白白、红白、红黄、黄白，共 6种情况；
为了保证有 5 次摸出的结果相同，考虑运气最差的情况，即每种情况都摸出 4 次，此时只需再摸 1
次，就可保证5次找出的结果相同，据此解答。
【详解】6×4＋1
＝24＋1
＝25（次）
答：至少需要摸 25次。
2．把红、蓝、黄 3种颜色的筷子各3根混在一起。如果让你闭上眼睛，从中最少拿出几根才能保证
一定有2根同色的筷子？如果要保证有 2双不同色的筷子（指一双筷子为其中一种颜色，另一双筷子
为另一种颜色）呢？
【答案】4根；6根
【分析】考虑最不利的情况，红、蓝、黄各拿一根，再拿一根，无论什么颜色，都可保证一定有2根
同色的筷子；根据前边的分析，拿 4根能保证一定有2根同色的筷子，假设前4根是2红1蓝1黄，
再拿2根，无论是红蓝、红黄、蓝蓝、蓝黄、还是黄黄，都可再组成一双同色的筷子，据此分析。
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【详解】3＋1＝4（根）
4＋2＝6（根）
答：从中最少拿出 4根才能保证一定有2根同色的筷子，从中最少拿出6根才能保证一定有 2双不同
色的筷子。
1．爸爸妈妈上了一天班很辛苦。晚饭时，小丽要为父母做一个韭菜炒鸡蛋，这道菜有以下几道工序：
敲蛋（半分钟）、搅蛋（1分钟）、切韭菜（1分钟）、洗锅（半分钟）、炒蛋（4分钟）、烧热油
（1分钟）、热锅（1分钟）。她做好这个菜至少需要( )分钟。
【答案】7
【分析】要使需要的时间最短，应先洗锅，再敲蛋。然后热锅，在热锅的同时切韭菜。然后烧热油，
在烧热油的同时搅蛋，最后炒蛋。一共需要（半分钟＋半分钟＋1分钟＋1分钟＋4分钟）即可。
【详解】半分钟＋半分钟＋1分钟＋1分钟＋4分钟＝7分钟
她做好这个菜至少需要7分钟。
2．周末，妈妈让康康帮忙做三件事，所需时间：烧开水8分钟，洗茶杯2分钟，拖地10分钟。他完
成这些事最少需要( )分钟。
【答案】12
【分析】题目中提到，康康要做三件事：烧开水8分钟，洗茶杯2分钟，拖地10分钟。其中，烧开水
的时间可以和洗茶杯、拖地的时间同时进行，所以只需要计算洗茶杯和拖地的时间。据此列式解答。
【详解】2＋10＝12（分）
周末，妈妈让康康帮忙做三件事，所需时间：烧开水 8分钟，洗茶杯2分钟，拖地10分钟。他完成
这些事最少需要（ 12 ）分钟。
1．小明在平底锅里煎鸡翅，每次只能煎 2个鸡翅，两面都要煎，每面需要2分钟，煎5个鸡翅至少
需要( )分钟。
【答案】10
【分析】第一次先煎 2个鸡翅，剩下的3个鸡翅可以这样煎：先煎2个鸡翅的正面；煎熟后拿出第一
个，放入第三个，煎第二个的反面和第三个的正面；煎熟后第二个就熟了，再煎第一个和第三个的反
面，据此计算出时间即可。
【详解】前2个鸡翅煎2面，用时间4钟。剩下3个鸡翅：
第一次：放①的正面和②的正面，煎熟后①拿出；
第二次：放②的反面和③的正面，煎熟后，此时②完全熟了；
第三次：放①的反面和③的反面，煎熟后，此时①和③完全熟了。
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用时：23＝6（分钟）
全部时间：4＋6＝10（分钟）
所以煎5个鸡翅至少需要10分钟。
【点睛】此题考查的是烙饼问题的应用，一次最多烙2张，所需时间＝个数×煎一面所用时间。
2．小军煎鱼，一口锅最多能煎 2条鱼，每煎一面要2分钟，一口锅煎完6条鱼（正、反都要煎）最
少需要( )分钟。
【答案】12
【分析】煎一面需要 2分钟，鱼的两面都要煎，煎6条鱼需要煎12面，要用12×2＝24（分钟），而
已知平底锅一次最多能煎2条鱼，求煎6条鱼最少要用24÷2＝12（分钟）。
【详解】6×2×2÷2
＝12×2÷2
＝12（分钟）
所以一口锅煎完 6条鱼最少需要12分钟。
1．四（2）班30名同学和3名老师租船去游玩。
大船：限乘5人，48元/条
小船：限乘3人，35元/条
（1）红红列出算式（30＋3）÷3×35＝385（元），你觉得她解决的问题是？
（2）怎样租船最省钱？最少要花多少钱？
【答案】（1）全租小船要花多少钱？
（2）租6条大船和1条小船最省钱；323元
【分析】（1）四（2）班共有30＋3＝33（人）租船去游玩，全租小船的数量是（33÷3）条，然后乘
每条小船的租金 35，即可求得全租小船要花多少钱；
（2）根据题意，共有 30＋3＝33（人），大船每人需要花费：48÷5＝9（元）……3（元），小船每人
需要花费：35÷3＝11（元）……2（元），9＜11，所以尽量多租大船，且没空位时最省钱，用总人数
除以5，求出租最多的大船数量，再结合余数判断是否租小船；据此进行计算解答。
【详解】（1）（30＋3）÷3×35
＝33÷3×35
＝11×35
＝385（元）
答：我觉得她解决的问题是全租小船要花多少钱？
（2）48÷5＝9（元）……3（元）
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35÷3＝11（元）……2（元）
9＜11
所以尽量多租大船，且没空位时最省钱。
（30＋3）÷5
＝33÷5
＝6（条）……3（人）
3÷3＝1（条）
租6条大船和1条小船恰好坐满，需要租金：
48×6＋35
＝288＋35
＝323（元）
答：租6条大船和1条小船最省钱，最少要花323元。
2．学校组织校外研学活动，有老师 14人和学生326人参加。其中，每辆大客车可坐40人，租金每
天900元；每辆小客车可坐20人，租金每天500元。为满足所有师生需求而且最省钱，大客车和小
客车各需要租多少辆？
【答案】大客车8辆，小客车1辆
【分析】先分别计算出大客车、小客车平均每人的钱数，然后进行比较，看哪种车便宜，在设计方案
时尽量租便宜的车，而且不留空位时费用最低。
【详解】900÷40＝22（元）……20（元）
500÷20＝25（元）
22＜25，租大客车便宜些。
14＋326＝340（人）
340÷40＝8（辆）……20（人）
租8辆大客车，还剩下20人，刚好再租一辆小客车，大小客车正好坐满，这样最省钱。
900×8＋500
＝7200＋500
＝7700（元）
答：大客车需要租 8辆，小客车需要租1辆。
1．有 30张卡片。两人轮流从中取，每次至少取1张，最多取3张，谁取到最后一张谁就输。让你先
取，你有必胜的策略吗？怎样取才能获胜？
【答案】见详解
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【分析】我先取1张，那么还剩下29张，则只要使自己取到第29张，让对方取第30张，我就能获胜，
依此解答。
【详解】答：我有必胜的策略，我先取一张，再看对方取几张，我要取的张数与对方的取张数的和是
4张，这样下去，就能保证我会取到第 29张，让对方取第30张，这样我就会获胜。
【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。
2．有 60粒珠子，小明、小红轮流从中取(小明先取)，每次至少取1粒，至多取5粒，不许不取，谁
取到最后一粒谁就输．你认为小明有必胜的策略吗？该怎样取才能获胜？
【答案】小明有必胜的策略．小明先取 5粒，接下来，小红取几粒，只要保证小明与小红取的粒数和
为6，小明就能获胜．
【详解】(60－1)÷(1＋5)＝9(次)……5(粒)
小明有必胜的策略．小明先取5粒，接下来，小红取几粒，只要保证小明与小红取的粒数和为6，小
明就能获胜．
1．小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，
丙马过河需6分钟，丁马过河需7分钟。每次只赶两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几
分钟？
【答案】18分钟
【分析】先骑甲马把乙马赶过河，再骑甲马回，需3＋2＝5分钟；再骑丙马赶丁马过河，骑乙马回，
需7＋3＝10分钟；再骑甲马赶乙马过河不回，需3分钟。据此解答。
【详解】3＋2＋7＋3＋3
＝5＋7＋3＋3
＝12＋3＋3
＝15＋3
＝18（分钟）
答：最少需要的时间是18分钟。
【点睛】本题的关键是让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河，
然后再骑用时最少的回来，然后再过河。
2．小刚骑在马背上过河，共有甲、乙、丙、丁4匹马，甲马过河需7分钟，乙马过河要2分钟，丙
马过河要3分钟，丁马过河要8分钟。每次只能两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要多少
分钟？
【答案】22分钟
【分析】骑乙赶丙，骑乙回：3＋2＝5（分钟），再乙骑赶丁，骑乙回：8＋2＝10分钟；再骑乙赶甲
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过河不回，需7分钟。据此解答。
【详解】最少需要的时间是：
3＋2＋8＋2＋7＝22（分钟）
答：最少需要22分钟。
【点睛】本题的关键是让用时最少的两匹马先过河，然后骑用时最少的回来，再把用时最多的赶过河，
然后再骑用时最少的回来，然后再过河。
1．甲、乙、丙、丁 4个人都在自来水前等候打水，他们打水所需的时间分别是 3分钟、2分钟、1
分钟、和5分钟。如果只有一个水龙头，怎样适当安排他们的打水顺序，才能使他们的排队和打水所
需的时间总和最少？最少需要多长时间？
【答案】打水顺序是丙→乙→甲→丁，21分钟
【分析】要使他们所需的时间（所需时间包括排队时间和打水时间）的总和最少，应该让打水用时少
的先打水，即打水顺序是：丙→乙→甲→丁，即1分钟、2分钟、3分钟、5分钟。第一人打水用时1
分钟，此时4个人都在等，所以需要时间为：1×4＝4分钟。第二人打水2分钟：此时3个人在等，
所以需要时间为：2×3＝6分钟。第三人打水用时3分钟，此时2个人在等，所以需要时间是：3×2
＝6分钟；第四人打水用时5分钟，此时1个人在等，所以需要时间是：5分钟。再将这些时间相加，
就是所用的时间。
【详解】1×4＋3×2＋2×3＋5
＝4＋6＋6＋5
＝21（分钟）
答：打水顺序是丙→乙→甲→丁，最少需要21分钟。
【点睛】本题考查优化问题，要使所用时间总和最少，应该让打水用时少的先打水，这也是解决本题
的关键。
2．3名同学排队打水，只有一个水龙头，甲同学需要2分钟，乙同学需要3分钟，丙同学需要5分
钟，他们都打完水，等待时间的总和最少是多少分钟？
【答案】17分钟
【分析】要使等待时间的总和最少，那么让需要时间最短的人先打水，需要时间最多的人最后打水，2
分钟＜3分钟＜5分钟，因此应按甲、乙、丙的顺序打水，然后计算出他们等待时间的总和即可。
【详解】2×3＋3×2＋5
＝6＋6＋5
＝12＋5
＝17（分钟）
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答：等待时间的总和最少是 17分钟。
【点睛】熟练掌握优化问题的计算是解答此题的关键。
1．狼人杀是一款多人参与，通过语言描述推动、较量口才和分析判断能力的策略类游戏。黑夜，狼
人偷偷地杀掉一个角色，白天到来，被杀的角色被淘汰，其他角色通过一些线索进行分析信息、逻辑
推理找到狼人。下面是一场对局中四人的精彩对决，A说：“我不是狼人。”B 说：“D是狼人。”C说：
“B 是狼人。”D说：“我不是狼人。”已知他们四人分别是狼人、预言家、守卫、平民，并且他们四人
中只有一人说的是假话。你能推断出谁是狼人吗？
【答案】B
【分析】因为只有一人没有说真话，利用找矛盾的方法求。根据B说的“D是狼人”、D说的“我不是狼
人”可知B、D二人说的话相矛盾，所以没有说真话的人一定在B、D之间，其他人都说的真话，再
根据C 说的“B是狼人”，C 说的是真话，所以B是狼人。
【详解】解决这个问题的方法是第一步找到矛盾，第二步绕开矛盾，第三步通过余下的话——矛盾以
外的话推出结论。由分析得：这个狼人是 B。
【点睛】首先确定这道推理题目是有关真假话的题目，通常是在几句话中只有一句假话或者一句真话。
对于此类题目，我们采取“矛盾法”。这是因为再使用以往的列表法已经不能顺利推理出答案。所以要
在几句话中，先找到互为反义的两句话，结合题意，那句真话或者那句假话就在这两句话中，则可顺
利推理出剩下的两句话都是真话，或者都是假话，再把剩下的两句话按照合理的逻辑叙述即可推理出
正确答案。
2．有甲、乙、丙三个人，一个姓张，一个姓李，一个姓王；他们一个是银行职员，一个是计算机程
序员，一个是秘书；又知甲既不是银行职员也不是秘书；丙不是秘书；张不是银行职员；乙和丙都不
姓王。问：甲、乙、丙三人分别姓什么？各是什么职业？
【答案】甲姓王；是计算机程序员；乙姓张；是秘书；丙姓李；是银行职员
【分析】可结合列表法，即先列出一个包含题意的表格，再在表格中依据题目里的描述，把不符合的
条件划下去，剩下的就是符合条件的了。
【详解】表格如下：
张 李 王 银行职员 计算机程序员 秘书
甲 × × √ × √ ×
乙 √ × × × × √
丙 × √ × √ × ×
答：甲姓王；是计算机程序员；乙姓张；是秘书；丙姓李；是银行职员。
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【点睛】题意较为复杂，包含有每个人的姓氏和职位，借助表格可以快速理清条件，使思维简单而高
效，运用符号标记就可以准确确定答案。
3．丽丽给一个正方体的六个面分别贴上了 1～6这六个数字，掷第一次丽丽看到的是 ，掷第
二次丽丽看到的是 ，你能帮丽丽找到 1对面的数字是几，2对面的数字是几，3对面的数字是
几吗？
【答案】1对面的数字是 6、2对面的数字是4、3对面的数字是5或者1对面的数字是4、2对面的数
字是6、3对面的数字是5。
【分析】正方体共有六个面，从第一次看到的可以确定 1的对面不是2，3；3的对面不是1和2，从
第二次看到的可以确定3的对面不是4和6，可以确定3的对面是5，如果1的对面是4，则2的对
面是6，如果1的对面是6，则2的对面是4，据此即可解答。
【详解】根据分析可知，丽丽给一个正方体的六个面分别贴上了1～6这六个数字，掷第一次丽丽看到
的是 ，掷第二次丽丽看到的是 ，1对面的数字是6、2对面的数字是4、3对面的数字
是5或者1对面的数字是4、2对面的数字是6、3对面的数字是5。
【点睛】本题主要考查学生的分析推理能力。
1．水果店运来一筐梨子，第一天卖出这筐梨子的一半多2个，第二天卖出第一天余下的一半多 1个，
第三天卖出第二天余下的一半少 1个，最后还剩下3个。这筐梨子原来有多少个？
【答案】24个
【分析】第三天卖出第二天余下的一半少1 个，则剩下3个是第二天余下的一半多1个，第二天余下：
（3－1）×2＝4（个），第二天卖出第一天余下的一半多1个，则第二天余下4个是第一天余下一半少
一个，第一天余下：（4＋1）×2＝10（个），第一天卖出这筐梨子的一半多2个，则第一天余下的
10个是这筐梨的一半少2个，则这筐梨共有（10＋2） ×2＝24（个）。据此解答。
【详解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（个）
（4＋1）×2
＝5×2
＝10（个）
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（10＋2） ×2
＝12×2
＝24（个）
答：这筐梨子原来有24个。
【点睛】从结果出发，逐步向前一步一步推理，在向前推理的过程中，每一步运算都是原来运算的逆
运算；列式时注意运算顺序，正确使用括号。同时针对这类题目，也可采用列方程的方法解答。
1
2．一只猴子在山上摘桃子吃。第一天吃了一棵树上桃子数的 ，以后两天分别吃了当天这棵树上剩
10
1 1
下桃子数的 、 。这样，这棵树上还留下48个桃子。这棵树原有多少个桃子？
5 3
【答案】100个
1
【分析】从已知条件的最后结果出发，倒推进行思考。由猴子在第三天吃剩下桃子数的 后，树上还
3
1
有48个桃子这个条件出发，可以知道，猴子吃了2天后树上的桃子数为：48÷（1－ ）＝72（个），
3
1
同理推出，猴子第一天吃了以后，树上的桃子数为：72÷（1－ ）＝90（个），树上原有的桃子数为：
5
1
90÷（1－ ）＝100（个）。
10
1 1 1
【详解】48÷（1－ ）÷（1－ ）÷（1－ ）
3 5 10
3 5 10
＝48× × ×
2 4 9
＝100（个）
答：这棵树上原有桃子100个。
【点睛】本题考查倒推法，当从条件出发一步步向后推理感到困难或无从下手的时候，不妨从结果出
发，一步一步倒着推理，直到解决问题。
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第十二模块 数学思考【十一大考点】
1．六（1）班同学毕业联欢，按一红、两黄、三绿的顺序将气球连起来装饰教室，第128个气球是( )
色的。
【答案】黄
【分析】按一红、两黄、三绿的顺序将气球连起来装饰教室，可以把这六个气球看作一组，用除法计
算128里包含几个这样的组，余数是几，就在气球组里数几个，就能确定第 128个是什么颜色。
【详解】128123
1286
＝21（组）……2（个）
剩下的2个依次是红色、黄色。
故第128个气球是黄色。
2．△△□☆★△△□☆★△△□☆★……左起第30个是( )；△是12个时，其它三种图形（□☆★）
一共是( )个。
【答案】 ★ 15（答案不唯一）
【分析】把△△□☆★看作一个周期，每个周期中有 5个图形，前30个图形刚好是6个周期，所以第
30个图形就是周期中的最后一个图形；△为12个时，可以是5个周期多2个△，每个周期中□☆★
有3个图形，最后乘5求出图形的总个数，据此解答。
【详解】分析可知，△△□☆★一共有5个图形。
30÷5＝6
所以，30个图形是6个周期，左起第30个是★。
每个周期中有2个△。
2×5＋2
＝10＋2
＝12（个）
每个周期中□☆★一共有3个图形。
3×5＝15（个）
所以，△是12个时，其它三种图形（□☆★）一共是15个。（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查周期问题，找出这组图形排列的周期是解答题目的关键。
2
3．把 化成小数后，小数点后面第 2024位上的数字是( )。
7
【答案】8
341
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【分析】
分数化小数，直接用分子÷分母，结果用循环小数表示，循环小数记数时，在第一个循环节的第一个
数字和最末一个数字上分别记上一个圆点（循环节只有一个数字的只记一个圆点）“· ”，表示这个循
环小数的这几个（或一个）数字重复出现。
循环节即周期，确定周期后，用总量除以周期，如果正好是整数个周期，结果为周期的最后一个；如
果比整数格周期多 n个，也就是余数是n，那么结果为下一个周期里的第n个。
【详解】 2 ＝2÷7＝
0.285714
7
2024÷6＝337（组）……2（个）
2
把 化成小数后，小数点后面第 2024位上的数字是8。
7
4．我国成功申办了 2008年的第29届奥运会，按每四年举行一次，则2200年是第( )届奥运
会。
【答案】77
【分析】根据题意，先用2200减去2008，求出第29届奥运会之后经过的时间。每四年举行一次，用
经过的时间除以 4，即可求出到2200年又举行了多少届奥运会。最后用29加上又举办奥运会的届数，
即可求出2200年是第几届奥运会。
【详解】（2200－2008）÷4＋29
＝192÷4＋29
＝48＋29
＝77（届）
则2200年是第77届奥运会。
5．夏至是一年中白昼最长，黑夜最短的一天，这天某城市白昼与黑夜的时间比大约是7∶5，那么夏
至这天这个城市的白昼大约有( )小时。今年夏至时间是6月21日星期二，由此推算今年教
师节是星期( )。
【答案】 14 六
7
【分析】一天有24个小时，白昼占一天时间的 ，用分数乘法求出白昼的时长；教师节为9月10
75
日，先求出6月21 日至9月10日一共有多少天，1星期有7天，把7天看作一个周期，用总天数除
以7，如果可以整除，那么今年的教师节也是星期二；如果不可以整除，余数是几，就从星期二往后
数几天，据此解答。
【详解】一天＝24小时
7
24×
75
7
＝24×
12
342
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＝14（小时）
6月21日到9月10日的总天数为：30－21＋31＋31＋10
＝9＋31＋31＋10
＝31＋（9＋31＋10）
＝31＋50
＝81（天）
一周＝7天
81÷7＝11（周）……4（天）
星期二往后数4天是星期六。
所以，今年教师节是星期六。
【点睛】本题主要考查比的应用以及经过时间的计算，准确求出经过天数里面有几周余几天是解答题
目的关键。
1．如图：一张正方形桌子能围坐 8人，两张正方形桌子拼在一起能围坐12人，三张正方形桌子拼在
一起能围坐( )人，n张正方形桌子拼在一起能围坐( )人。
【答案】 16 4n4
【分析】根据题意，1张桌子可以坐8人可以写成1448（人），2张桌子可以坐12人可以写成
24412（人），n张桌子就可以坐(4n4)人，由此即可解决问题。
【详解】1张桌子可以坐8人可以写成1448（人），
2张桌子可以坐12人可以写成24412（人），
3张桌子可以坐16人可以写成34416（人），
则n张桌子就可以坐(4n4)人，
三张桌子拼在一起，能围坐（16）人，如果n张桌子拼在一起，能围坐(4n4)人。
【点睛】此类规律题一定要注意结合图形进行分析，发现规律：每多一张桌子，多坐 4人，从而得出
n张桌子可以坐（4n＋4）人。
2．找规律填空：
(1)如图摆2个六边形需要( )根小棒，摆3个六边形需要( )根小棒。
343
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(2)照这样，摆n个六边形需要( )根小棒（用含有字母n的式子表示）。
【答案】(1) 11 16
(2)5n＋1/1＋5n
【分析】看图，摆 1个六边形需要（1＋5）根小棒，摆2个六边形需要（1＋5×2）根小棒，摆3个六
边形需要（1＋5×3）根小棒。每多摆1个六边形就多需要5根小棒。那么，摆n个六边形需要（1＋
5×n）根小棒。
【详解】（1）1＋5×2
＝1＋10
＝11（根）
1＋5×3
＝1＋15
＝16（根）
所以，如图摆2个六边形需要11根小棒，摆3个六边形需要16根小棒。
（2）照这样，摆n个六边形需要（5n＋1）根小棒。
1．找规律填空。
1 ， 3 ， 3 ， 9 ，( )，( )。
2 2 4 8
27 243
【答案】
32 256
【分析】1 × 3 ＝ 3 ， 3 × 3 ＝ 9 ，据此可得：前两个数相乘的积等于第三个数。据此解答。
2 2 4 2 4 8
3 9 27
【详解】 × ＝
4 8 32
9 27 243
× ＝
8 32 256
27 243
则第一空是 ，第二空是 。
32 256
4 10 13 16
2．找规律 、1、 、 、 、…，这串数中第7个数是( )。
3 11 15 19
19
【答案】
23
10 13 16 4 10
【分析】根据 、 、 可得相邻两个分数的分子之差为3，分母之差为4，又因为 和 的分子之
11 15 19 3 11
7 7 16
差为6，分母之差为8，即两数之间应该是 ， ＝1。所以这串数中第7个数应该是 的分子加上 3，
7 7 19
分母加上4之后所得的数。
【详解】16＋3＝19
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19＋4＝23
19
所以这串数中第 7个数是23。
1．22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，则102－92＝( )＋( )。
【答案】 10 9
【分析】根据题意可知，两个连续自然数的平方差等于这两个自然数的和，即n2－（n－1）2＝n＋（n
－1），据此解答。
【详解】根据分析可知，22－12＝2＋1，32－22＝3＋2，42－32＝4＋3，则102－92＝10＋9。
2．数的计算中有一些有趣的对称形式，如：1223113221；2335225332。现在有两个与此规律
相同的等式，请完成填空。
(1)45594( )( )。
(2)633□6〇36，〇( )。
【答案】(1) 495 54
(2)693
【分析】观察可得规律是，两位数乘三位数，两位数的十位数字和三位数的个位数字相同，两位数的
个位数字和三位数的百位数字相同，三位数的十位数字是它的个位数字与百位数字的和。这样的两个
数相乘等于把三位数的十位数字加进两位数的中间使两位数成为三位数，而三位数变成两位数的两个
数相乘。
【详解】根据1223113221；2335225332，可得，
（1）4559449554
（2）639
6339669336，〇693。
3．观察下面的等式：第1个等式：（120×120）－（119×121）＝1，第2个等式：（120×120）－（118×122）
＝4，第3个等式：（120×120）－（117×123）＝9，第4个等式：（120×120）－（116×124）＝16，
按照以上规律，写出第5个等式是( )。
【答案】（120×120）－（115×125）＝25
【分析】每一个算式中的第一个积都是 120×120，第二个积中的第一个因数依次减1，第二个因数依次
加1；每一个算式的结果都等于第二个算式中比120增加或减少的数的平方，据此解答。
【详解】根据分析可知，第5个等式是：（120×120）－[（120－5）×（120＋5）]＝52，即（120×120）
－（115×125）＝25。
1．观察表一，寻找规律。表二、表三分别是从表一中截取的一部分，其中a＝( )，b＝( )。
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表一 表二 表三
【答案】 18 30
【分析】表二反映到表一中为：3，6，9，12，15，a，所以可知下面的数比上面的数大3，所以 a 为
15＋3＝18；表三反映到表一中得5，10，15，20，25，所以可知下面的数比上面的数大5，这一列右
面的一列规律是下面的数比上面的大 6，所以b为24＋6＝30；据此求解即可。
【详解】根据分析可知：
a为15＋3＝18；
b为24＋6＝30。
【点睛】本题考查数表中的找规律问题，关键是仔细观察，找出表中每行每列数字的变化规律。
2．将自然数按下图的规律排列，则 2011所在的位置是第( )行第( )列。
【答案】 15 45
【分析】观察不难发现，奇数列的第一行的数为所在列数的平方，然后向下每一行递减一个数至与列
数相同的行止，偶数行的第一列的数是所在行数的平方，然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，
根据此规律求出与 2011最接近的平方数，然后找出所在的列数与行数即可。
【详解】观察发现，第一行的第1、3、5列的数分别为1、9、25，为所在列数的平方，然后向下每一
行递减1至与列数相同的行止，第一列的第 2、4、6行的数分别为4、16、36，为所在行数的平方，
然后向右每一列递减1至与行数相同的列止，因为452＝2025，2025－2011＋1＝15所以自然数2011
在左起第45列，上起第15行。
【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出奇数列、偶数行的数的变化规律是解题的关键。
1．如图，某种细胞在培养过程中，每20分钟分裂一次（由1个变成2个），那么这种细胞由 1个分
裂到16个一共需要( )分钟。
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【答案】80
【分析】分裂一次：1×2＝2（个），分裂2次：2×2＝4（个），分裂3次：4×2＝8（个），分裂 4次：
8×2＝16（个），所以这种细胞由1个分裂到16个一共需要4次，每次20分钟，用“20×4”即可求解。
【详解】由分析可知：
1×2＝2（个）
2×2＝4（个）
4×2＝8（个）
8×2＝16（个）
一共分裂4次，需要时间：4×20＝80（分）
所以这种细胞由 1个分裂到16个一共需要80分钟。
【点睛】本题考查通过规律求需要多长时间分裂，先算出分裂的次数是此题的解题关键。
2．现有若干个圆环，它们的外直径都是 5厘米，环宽5毫米，将它们扣在一起（如图所示）拉紧后
测量总长度。
圆环个数 1 2 3 4 …
总长度（cm） 5 9 13 17 …
像这样，10个圆环拉紧后的长度是( )厘米。如果圆环的个数为n，拉紧后总长度是( )
厘米。
【答案】 41 （4n＋1）
【分析】根据图示可知：1个圆环的长度是5厘米；2个圆环的总长度是5＋4＝9（厘米）；3个圆环
的总长度是：5＋4＋4＝13（厘米）；……n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米。据
此解答即可。
【详解】10个圆环的总长度是：
4×10＋1
＝40＋1
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＝41（厘米）
n个圆环的总长度是：5＋4（n－1）＝（4n＋1）厘米
【点睛】此题关键是从简单情形入手，找出图形之间的联系，数字之间的运算规律，利用规律解决问
题。
1．数学里有很多奥秘，需要我们探索、发现与应用。下面的问题，让我们都来研究吧。
问题1：两个相邻自然数相乘，积的末位数学有什么特征？
（1）探究：请你在下框中举一些例子进行观察、比较。要从简单开始，有序思考寻找规律。
（2）发现：两个相邻自然数相乘，积的末位数字的特征是( )。
（3）应用：①下面四个选项中，只有选项( )是两个相邻自然数的乘积。
A．62 B．123 C．756 D．1416
②它是两个相邻自然数( )和( )的乘积。
问题2：两个相邻自然数相加或相乘，它们的和与积有什么联系？
（4）再探究：请你在下表中进行观察、比较，寻找联系。
相邻自然数 1与2 2与3 3与4 … 9与10 n与n+1
和 3 5 7 1 19 2n+1
积 2 6 12 1 90 n2n
①再观察：下图大正方形是由四个相同的小长方形拼接而成，你能找到n与n+1的“和”、“积”吗？（在
图上标出来）
②我发现，n与n+1的“和”、“积”的关系是：( )。（可用含有字母的式子表示出来）
【反思】
当你解决此题时，是不是觉得很神奇呢？原来复杂的问题也可以通过画图、转换等探索，而变得简单
有趣。只要真正热爱数学，你就能感受到学习的无穷魅力。
【答案】（1）见详解；
（2）积的末位的数字是0或2或6；
（3）①C；
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②27；28；
（4）①见详解；
②(2n1)2 4(n2n)1
【分析】（1）找一些相邻的两个自然数，然后相乘，计算出乘法算式的结果即可；
（2）根据（1）里面计算出的结果，观察积的末位数字，即可发现，相邻的两个自然数相乘的结果，
积的末位的数字是 0或2或6。
（3）①根据积的末位数字是0、2、6的特征，分别检验4个选项里的数字，找出符合要求的答案即可。
②通过计算，把这个数拆解成相邻两个自然数的乘积，即可写出这两个相邻的自然数是多少。
（4）①大正方形的边长＝n＋（n＋1）＝2n＋1，所以n与n＋1的和是大正方形的边长。
小长方形的面积＝长×宽，长是n＋1，宽是n，可得（n＋1）×n＝n2＋n，所以n与n＋1的积是小长
方形的面积。在图上标注即可。
②通过计算可以发现，(2n1)2 4n2 4n44(n2 n)1，所以n与n＋1的和的平方等于n与n＋1的
积的4倍加1。据此解答。
【详解】（1）例如：1×2＝2
2×3＝6
3×4＝12
5×6＝30
（2）通过举例，我发现两个相邻自然数相乘，积的末位数字是 0或2或6。
（3）①A．7×8＝56，8×9＝72，56＜62＜72，显然62不是两个相邻自然数的乘积；
B．10×11＝110，11×12＝132，110＜123＜132，显然123不是两个相邻自然数的乘积；
C．27×28＝756，显然756是两个相邻自然数的乘积；
D．37×38＝1406，38×39＝1482，1406＜1416＜1482，显然1416不是两个相邻自然数的乘积；
故答案为：C
②27×28＝756，所以它是两个相邻自然数 27和28的乘积。
（4）①根据分析得，n与n＋1的和是大正方形的边长；
n与n＋1的积是小长方形的面积。
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②我发现，n与n+1的“和”、“积”的关系是：(2n1)2 4(n2n)1。
【点睛】此题综合性较强，难度大，里面涉及到乘积的规律以及数与形的变换，找和与积之间的关系，
解法有些超纲，运用了（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2完全平方公式。
2．仔细观察表3，完成下列问题。
（1）小爱同学设计了一个由方格组成的圈数工具（如图1所示），在数表里圈了两组数（数表中的阴
影部分）。请你从中任选一组求这 6个数的和。列式并写出计算过程。
（2）如果小爱用这个圈数工具在数表中任意地圈数，请用含有字母a与b的等式表示这两个数之间的
关系（a与b的位置如图 2）。
（3）请你设计一个新的圈数工具在上面数表中圈数（圈数工具的方格与方格之间必须有连接的点或边），
使它圈出的5个数之和是其中一个数（a）的5倍。在下面的方格图里画图表示，每个工具都要在相
应的方格里写上a。至少设计出6种圈数工具。（与图例重复不得分。）
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【答案】（1）3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
（2）b＝a＋11
（3）见详解
【分析】（1）根据数表中数的排列规律以及图1中所圈数的关系，如果最上层的这个数为3，则第二
层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23。求这5个数的和即可。
（2）根据数表中数的排列规律及a、b的位置关系可知：b＝a＋11。
（3）根据题意找到符合题意的圈数工具，完成作图即可。
【详解】（1）如果最上层的这个数为 3，则第二层的数分别为：12、13，第三层的数为：21、22、23，
这6个数的和为：
3＋12＋13＋21＋22＋23
＝28＋21＋22＋23
＝49＋22＋23
＝71＋23
＝94
答：这六个数的和为94。（答案不唯一）
（2）图2中b＝a＋11
（3）如图所示：
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（答案不唯一，合理即可。）
【点睛】本题注意考查数与形结合的规律，关键根据图示发现这组图形的规律，并运用规律做题。
1．对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异
数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位
数的和与111的商记为F（n）。例如n＝123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位
上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213＋321＋132＝666，
666÷111＝6，所以F（123）＝6。
（1）计算：F（243），F（617）；
（2）若s，t 都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规
F(s)
定：k＝ ，当F（s）＋F（t）＝18时，求k的最大值。
F(t)
5
【答案】（1）9；14（2）
4
【分析】（1）根据F（n）的定义式，分别将n＝243和n＝617代入F（n）中，即可求出结论；
（2）由 s＝100x＋32、t＝150＋y结合F（s）＋F（t）＝18，即可得出关于x、y的二元一次方程，解
之即可得出x、y的值，再根据“相异数”的定义结合F（n）的定义式，即可求出F（s）、F（t）的值，
F(s)
将其代入k＝ 中，找出最大值即可。
F(t)
【详解】（1）（423＋342＋234）÷111
＝（765＋234）÷11
＝999÷11
＝9
（167＋716＋671）÷111
＝（883＋671）÷111
＝1554÷111
＝14
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（2）因为s、t 都是相异数，s＝100x＋32、t＝150＋y；
所以F（s）＝（302＋10x＋230＋x＋100x＋23）÷111
＝（302＋230＋23＋x＋100x＋10x）÷111
＝（555＋111x）÷111
＝x＋5
F（t）＝（510＋y＋100y＋51＋105＋10y）÷111
＝（510＋51＋105＋y＋100y＋10y）÷111
＝（666＋111y）÷111
＝y＋6
因为F（s）＋F（t）＝18，则x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18；
所以x＋y＝7
因为1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数，
x1 x2 x3 x4 x5 x6
所以 或 或 或 或 或
y6 y5 y4 y3 y2 y1
因为s 是相异数，所以 x≠2，x≠3，；
因为t是相异数，所以y≠1，y≠5；
x1 x4 x5
所以 或 或 ；
y6 y3 y2
F（s）6 F（s）9 F（s）10
所以 或 或 ；
F（t）12 F（t）9 F（t）8
所以k＝ F(s) ＝1 或 k＝ F(s) ＝1或k＝ F(s) ＝ 5 ，
F(t) 2 F(t) F(t) 4
5 ＞1＞1
4 2
5
答：k的最大值是 。
4
【点睛】本题考查二元一次方程的应用。解题的关键是（1）根据F（n）的定义式，求出F（243），
F（617）的值；（2）根据s＝100x＋32、t＝150＋y结合F（s）＋F（t）＝18，即可得出关于x、y
的二元一次方程。
1t n为偶数
n
2．设t ，t ，...，t 是有序的数，已知：t 1，t 2 ，若t 3 ，求m的值。
1 2 n 1 n 1 n为奇数 m 7
t
n1
【答案】21
【分析】由题意可知，当n为偶数时，t t 1，t t 1，t t 1，t t 1，t t 1，…
2 1 4 2 6 3 8 4 10 5
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1 1 1 1
当n为奇数时，t 1，t ，t ，t ，t ，…，根据规律按顺序写出这个数列，即可求得
1 3 t 5 t 7 t 9 t
2 4 6 8
m的值。
1 1 1 3 2
【详解】分析可知，t 1，t 112，t ，t 213，t ，t 1 ，t ，t 314，
1 2 3 2 4 5 3 6 2 2 7 3 8
1 1 4 3 3 5 2 2 5 3 1 1 5
t ，t 1 ，t ，t 1 ，t ，t 1 ，t ，t 415，t ，t 1 ，
9 4 10 3 3 11 4 12 2 2 13 5 14 3 3 15 5 16 17 5 18 4 4
4 4 7 3
t ，t 1 ，t ，…
19 5 20 3 3 21 7
综上所述，m的值为21。
【点睛】把n的值代入求出对应的值，再根据求出的结果判断m的值是解答题目的关键。
1．杭州亚运会，12 名运动员进行中国象棋比赛，如果每两人都比赛一场，那么一共要比赛多少场？
【答案】66场
【分析】第一人和其他11名运动员比赛11场，第二个人因为和第一个人比赛过，所以只需要和其他
10名运动员比赛10场……依次类推，总共需要比赛1110987654321场，据此解答。
【详解】1110987654321
1111029384756
12121212126
1256
606
66（场）
答：一共要比赛 66场。
2．往返于甲、乙两地的客车，中途停靠三个车站。
（1）有多少种不同票价？
（2）有多少种车票？
【答案】（1）10种
（2）20种
【分析】（1）甲乙两地之间有三个停靠车站，再加上甲、乙两个站，一共有3＋2＝5个站，每一个站
都和其他4个站组成一种不同的票价，一共有5×4＝20种，去掉重复的，一共有20÷2＝10种票价，
据此解答。
（2）车票与出发地和终点地的不同而不同，因此，在两个站点之间也会有两种不同的车票，即车票种
类为票价×2，即可解答。
【详解】（1）站点：3＋2＝5（站）
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5×（5－1）÷2
＝5×4÷2
＝20÷2
＝10（种）
答：有10种不同的票价。
（2）10×2＝20（种）
答：有20种车票。
【点睛】本题主要考查搭配问题的解决方法，注意车票不要重复；车票的票价和车票的种类不同。
3．有 1张五元纸币，2张两元纸币，8张1元纸币，要拿出9元钱，有几种情况？（用表格形式列举
出来）
【答案】5种，表格见详解
【分析】要求有几种拿法，就是考查9的组成；结合题意：9＝5＋2＋2，9＝5＋2＋1＋1，9＝5＋1＋1
＋1＋1，9＝2＋2＋1＋1＋1＋1＋1，9＝2＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，据此解答即可。
【详解】如图：
5元 2元 1元 合计
张数 1 2 0 9元
张数 1 1 2 9元
张数 1 0 4 9元
张数 0 2 5 9元
张数 0 1 7 9元
答：有1张五元纸币，2张两元纸币，8张1元纸币，要拿出9元钱，有5种情况。
【点睛】此题属于排列组合问题，解答时用列举法，注意按一定的顺序进行，避免遗漏。
1．周末，王老师要尽快通知校合唱队 30名同学来学校参加活动，如果用打电话的最佳方式，每分钟
通知到1人，通知到所有同学至少要( )分钟。那么7分钟最多能通知( )人。
【答案】 5 127
【分析】根据题意，发现每分钟通知 1人，接到通知的人又可以通知下一个人，这样最节省时间。
第1分钟通知1人；1＝21－1；
第2分钟通知2人，接到通知的一共有：1＋2＝3（人），3＝22－1；
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第3分钟通知4人，接到通知的一共有：3＋4＝7（人），7＝23－1；
……
第n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人；
据此找到规律，按规律解答。
【详解】规律：第 n分钟接到通知的一共有：（2n－1）人；
2n－1＝30
2n＝30＋1
2n＝31
因为24＝16，25＝32，16＜31＜32，所以n＝5。
当n＝7时
2n－1
＝27－1
＝128－1
＝127（人）
每分钟通知到1人，通知到所有同学至少要 5分钟。那么7分钟最多能通知127人。
2．春风小学教导主任接到校长的紧急通知，让学校舞蹈队参加一个演出。学校舞蹈队共有30 人，如
果一对一进行传达，每分钟通知 1人。教导主任怎样才能尽快通知到所有人？
（1）教导主任一个一个地通知需要( )分钟。
（2）小南设计了上面的分组法。
①请在括号里填出每个小组完成通知的时间。
②所有人接到通知，一共需要（ ）分钟。
（3）小宇设计了如下方案（如图），请把下表填写完整。
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第几分钟 1 2 3 4 5 … n
新通知的人数 1 2 …
一共通知的人数 1 3 …
由上表可知，通知 30人只需要( )分钟。
（4）小南和小宇的方案相比，( )设计的方案更快，因为每个人都( )，所以用的时间
最少。
【答案】（1）30
（2）①6；7；8；9；10
②10
（3）4；8；16；2n－1
7；15；31；2n－1
5
（4）小宇；不空闲
【分析】（1）教导主任一个一个地通知，每分钟通知1人，30人需通知30分钟。
（2）小南设计的分组法，30人分成5组，每组一个组长和5个组员，教导主任先通知组长，组长再
分别通知5个组员，可得出通知每组需要的时间，进而得出所有人接到通知，一共需要的时间。
（3）小宇设计的方案：
第1分钟新通知1人；
第2分钟新通知2人，2＝21＝22－1；接到通知的共有：1＋2＝3（人），3＝22－1；
第3分钟新通知4人，4＝22＝23－1；接到通知的共有：3＋4＝7（人），7＝23－1；
……
规律：第n分钟新通知2n－1人，接到通知的共有（2n－1）人。
按此规律解答。
（4）比较小南和小宇的方案用的时间，得出结论。
【详解】（1）1×30＝30（分钟）
教导主任一个一个地通知需要 30分钟。
（2）①小南设计的分组法：
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②所有人接到通知，一共需要 10分钟。
（3）小宇设计的方案：
第几分钟 1 2 3 4 5 … n
新通知的人数 1 2 4 8 16 … 2n－1
一共通知的人数 1 3 7 15 31 … 2n－1
由上表可知，通知 30人只需要5分钟。
（4）5＜10
小南和小宇的方案相比，小宇设计的方案更快，因为每个人都不空闲，所以用的时间最少。
1．王师傅做了 71 个零件，其中有1个是次品（比正品略轻），如果用天平称，至少称( )次
能保证找到次品。
【答案】4
【分析】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分
的，也应该使多的一份与少的一份只相差 1。
【详解】①将71个零件分成（24、24、23），先称（24、24），只考虑最不利的情况，即次品在多的
（24个）里面：
②不平衡，次品在天平升高的一端中，先将 24分成（8、8、8），称（8、8）；
③不平衡，可确定次品在较轻的 8个；将8分成（3、3、2），称（3、3）；
④不平衡，次品在 3个中；将3分成（1、1、1），称（1、1），无论平衡不平衡，都可确定次品，
共4次。
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至少称4次能保证找到次品。
2．学校食堂买回来 23袋食盐，其中22袋质量相同，另一袋的质量轻一些。如果用天平来称，至少
要称( )次才能保证找到质量较轻的那袋食盐。
【答案】3
【分析】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需
要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。据此答题即可。
【详解】将23袋瓜子按（8，8，7）分成3份，第一次称重，在天平两边各放8袋，手里留7袋；
（1）如果天平平衡，则次品在手里。
将手里的7袋分为（2，2，3），在天平两边各放2袋，手里留3袋；
如果天平平衡，则次品在手里，将手中的 3袋分成（1，1，1），在天平两边各放一袋，如果平衡，
则手中的1袋就是轻的，如果不平衡，升起的天平那一端的1袋就是轻的。
如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的2袋中；
接下来，将这两袋分别放在天平的两边就可以鉴别出次品；
（2）如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8袋中，将这8袋分成（3，3，2），在天平两边
各放3袋，手里留2袋；如果天平平衡，则次品在手中的2袋中接下来，将这两袋分别放在天平的两
边就可以鉴别出次品；如果天平不平衡，则找到次品在升起的天平托盘 3袋中；将3袋分成（1，1，
1），在天平两边各放一袋，如果平衡，则手中的1袋就是轻的，如果不平衡，升起的天平那一端的
1袋就是轻的。
所以至少称（3）次能保证找到这袋次品食盐。
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