2026秋初中数学新人教版九年级上册全册教案(文字版)

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第二十五章一元二次方程

本章是初中数学方程体系的收官章节，是在学生掌握一元一次方程、分式方程、整式乘除与因式分解知识基础上，学习的整式二次方程，是初中代数核心重难点内容。全章分为四大模块：一元二次方程的概念、一元二次方程的三种解法（配方法、公式法、因式分解法）、一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的实际应用。本章知识不仅是后续学习二次函数、一元二次不等式、高中圆锥曲线的基础，更是培养学生建模思想、降次转化思想、运算推理能力的关键内容。教学中以真实生活情境为载体，从具象问题抽象方程模型，通过“降次”核心思想化解二次方程求解难点，层层递进掌握解法，最终回归实际问题解决，实现“概念—解法—规律—应用”的完整知识闭环，贴合新课标核心素养育人要求。

25.1 一元二次方程的概念

【教材分析】

本节课是本章开篇内容，是学生认识一元二次方程的起始课，承担着铺垫全章知识的重要作用。教材通过校园草坪改造、图书增长率、正方体棱长计算等真实生活情境，抽象出含有未知数二次项的等式，对比一元一次方程，归纳出一元二次方程的定义、一般形式及相关概念。本节课的学习为后续解方程、利用方程解决实际问题奠定概念基础，是构建二次方程知识体系的核心开端。

【学情分析】

九年级学生已经熟练掌握一元一次方程的定义、一般形式，具备从实际问题中提取等量关系、列方程的基础能力，同时掌握整式的化简、移项等运算。但学生首次接触二次方程，对“二次项”“二次项系数不为0”的核心条件理解不透彻，容易混淆一元二次方程与一元一次方程、二元方程的区别，在整理方程为一般形式时，易出现符号、项数遗漏等错误，需要通过情境辨析、对比归纳突破易错点。

【教学目标】

1.知识与技能：理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的一般形式ax^2+bx+c=0(a不等于 0)，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数，能判断一个方程是否为一元二次方程，能根据实际问题列简单的一元二次方程。

2.数学思考：经历从生活实际问题抽象为一元二次方程的过程，感悟数学建模思想，通过对比一元一次方程，归纳一元二次方程的特征，提升类比推理、归纳总结的数学思维能力。

3.问题解决：能结合具体情境分析等量关系，列出一元二次方程，能独立完成方程的整理与辨析，解决基础的概念辨析问题。

4.情感态度：感受方程与生活的紧密联系，体会数学来源于生活、服务于生活，在自主探究与合作辨析中增强学习数学的兴趣，培养严谨的数学思维习惯。

【教学重点】

1.一元二次方程的概念及一般形式。

2.准确识别一元二次方程的各项及系数。

【教学难点】

理解一元二次方程一般形式中a不等于 0的核心条件，能将复杂整式方程整理为一元二次方程的一般形式。

【教学准备】

多媒体课件（校园改造、增长率、几何体计算情境素材）、课堂练习单、黑板板书提纲。

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

教师创设真实校园生活情境：学校计划改造一块长方形草坪，草坪长8m、宽6m，为了修建步道，在草坪四周均匀拓宽相同的宽度，拓宽后草坪总面积比原来增加了32㎡，你能列出方程求出拓宽的宽度吗？同时出示第二个情境：某图书馆2024年藏书量为1万册，2026年藏书量达到1.21万册，若两年藏书增长率相同，求年均增长率。引导学生思考：这两个问题列出的方程和之前学的一元一次方程有什么不同？从而引出本节课课题——一元二次方程的概念。

环节一：情境探究，列写方程，感知新知

1.教师活动：分步呈现两个生活情境，引导学生分析已知量、未知量，寻找等量关系，一步步引导学生列方程。提问1：第一个情境中，设拓宽宽度为xm，拓宽后的长和宽分别是多少？预设学生答案：长(8+2x)m，宽(6+2x)m。

2.教师提问2：草坪面积的等量关系是什么？预设学生答案：拓宽后面积-原面积=增加的32㎡，列出方程(8+2x)(6+2x)-48=32。

3.教师活动：引导学生化简方程，板书化简过程，最终得到4x^2+28x-32=0。继续引导学生分析增长率问题，设年均增长率为x，列出方程(1+x)^2=1.21，化简得x^2+2x-0.21=0。

4.学生活动：独立思考、小组交流，跟随教师思路分析等量关系，尝试自主列方程、化简方程，核对小组内答案。

5.教师提问3：观察这两个化简后的方程，和我们学过的一元一次方程kx+b=0相比，有什么相同点和不同点？预设学生答案：相同点：都是整式方程、只有一个未知数；不同点：未知数的最高次数是2，一元一次方程最高次数是1。

6.学生活动：自主观察对比，小组总结方程特征，举手发言分享结论。

[设计意图]依托真实校园、生活情境，让学生自主经历列方程、化简方程的过程，直观感知二次方程的特征，通过新旧知识对比，为概念归纳奠定基础，渗透建模思想。

环节二：归纳特征，定义概念，掌握形式

1.教师活动：结合学生总结的特征，正式给出一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

2.教师提问1：判断一个方程是一元二次方程，需要满足哪三个核心条件？预设学生答案：整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2。

3.教师活动：讲解一元二次方程的一般形式：ax^2+bx+c=0（a、b、c为常数）。逐一讲解各项定义：ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

4.教师提问2：为什么一般形式中必须规定a不等于 0？b、c可以为0吗？预设学生答案：若a=0，方程变为bx+c=0，是一元一次方程，不再是二次方程；b、c可以为0，不影响方程的二次属性。

5.学生活动：记录核心概念，思考并回答问题，小组互助理解a不等于 0的核心易错点。

6.教师举例：展示2x^2=0、3x^2+5x=0、x^2-4=0，说明特殊的一元二次方程形式，完善学生认知。

[设计意图]从具体方程到抽象概念，循序渐进归纳定义与一般形式，针对性突破a不等于 0的难点，完善学生对一元二次方程完整形式的认知。

环节三：辨析练习，巩固概念，突破易错点

1.教师活动：出示6道辨析方程，让学生判断是否为一元二次方程：①x^2+3x=1 ②2x+5=0 ③x^2+\frac{1}{x}=2 ④xy+2x=3 ⑤ax^2+2x=5 ⑥3x^2-1=0。

2.学生活动：独立判断，小组交流错题原因，举手作答。预设答案：①是；②否（一次方程）；③否（分式方程）；④否（两个未知数）；⑤否（未说明a不等于 0）；⑥是。

3.教师提问：总结判断一元二次方程的易错点有哪些？预设学生答案：分式方程不是、多元方程不是、二次项系数为0不是、最高次数不为2不是。

4.教师活动：出示例题：将方程2x(x-1)=3(x+2)整理为一般形式，并写出各项及系数。

5.学生活动：独立化简求解，上台板演。预设答案：一般形式2x^2-5x-6=0，二次项2x^2，系数2；一次项-5x，系数-5；常数项-6。

6.教师点评：强调整理方程时必须移项使右边为0，各项符号不可遗漏。

[设计意图]通过辨析题、化简例题，针对性巩固概念，排查学生易错点，提升学生整理方程、识别各项的能力。

环节四：课堂小结，梳理知识体系

1.教师引导学生自主梳理：本节课学习了哪些核心知识？一元二次方程的定义、一般形式、核心条件分别是什么？

2.学生活动：自主总结、小组互补，梳理知识框架。预设总结：①定义：一个未知数、最高次数2、整式方程；②一般形式ax^2+bx+c=0(a不等于 0)；③能整理方程、识别各项系数。

3.教师补充：明确本节课核心思想——建模思想，后续所有解方程、应用题都基于本节课概念展开。

4.学生记录课堂核心知识点，完善笔记。

5.教师提问：本节课还有哪些疑问？学生自由提问，教师答疑。

6.教师梳理全课逻辑：情境建模—概念归纳—辨析应用。

[设计意图]帮助学生梳理知识脉络，构建完整的概念体系，查漏补缺，夯实基础。

【板书设计】

25.1 一元二次方程的概念

1.定义：整式方程、一元、二次

2.一般形式：ax^2+bx+c=0(a不等于 0)

3.各项名称：二次项、一次项、常数项；对应系数

4.核心易错点：a不等于 0，右边必须化为0

【课堂练习】

一、填空题

1.方程3x^2-2x+1=0的二次项系数是______，常数项是______。（答案：3；1）

2.将方程x(x+4)=5化为一般形式为______。（答案：x^2+4x-5=0）

二、判断题

1.2x^2+5=0是一元二次方程。（√）

2.方程ax^2+bx+c=0是一元二次方程。（×）

三、选择题

下列方程中，属于一元二次方程的是（）

A.x+2y=3 C.x^2=0 D.2x+1=0（答案：C）

四、计算题

将方程4(x-1)^2=2x+3整理为一元二次方程一般形式，并写出各项系数。

答案：4x^2-10x+1=0，二次项系数4，一次项系数-10，常数项1。

五、解答题

已知长方形菜地长比宽多3m，面积为28㎡，设宽为xm，列出一元二次方程并整理为一般形式。

答案：x(x+3)=28，一般形式x^2+3x-28=0。

【课后作业】

1.变式题：若方程(m-2)x^2+3x+1=0是一元二次方程，求m的取值范围。（答案：m不等于 2）

2.生活情境题：某网店一款商品原价每件50元，连续两次降价，每次降价百分率相同，降价后每件售价40.5元，设降价百分率为x，列出一元二次方程并整理一般形式。（答案：50(1-x)^2=40.5，50x^2-100x+9.5=0）

3.拓展题：判断方程(x+1)^2-(x-1)^2=4是否为一元二次方程，说明理由。（答案：不是，化简后为一元一次方程）

【教学后记】

25.2 降次——解一元二次方程

25.2.1 配方法

第1课时：直接开平方法与简单配方

【教材分析】

配方法是解一元二次方程的基础方法，是推导公式法的前提。本节课从完全平方公式入手，先掌握(x+m)^2=p(p不等于 0)形式方程的直接开平方法，再初步掌握二次项系数为1的一元二次方程配方解法，为复杂配方奠定基础。

【学情分析】

学生已掌握完全平方公式、平方根的定义，具备基础开方运算能力。但首次接触“配方”转化思想，难以理解“凑完全平方式”的原理，容易出现配方时常数项配比错误、漏加平方项等问题。

【教学目标】

1.知识与技能：掌握直接开平方法解形如(x+m)^2=p(p不等于 0)的方程，理解配方的原理，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。

2.数学思考：经历配方转化过程，感悟“降次”转化的核心数学思想，提升代数变形、逻辑推理能力。

3.问题解决：能独立用直接开平方法、简单配方法解基础一元二次方程，纠正配方运算易错点。

4.情感态度：体会转化思想的数学价值，在运算探究中培养严谨细致的学习习惯。

【教学重点】

1.直接开平方法解方程。

2.二次项系数为1的一元二次方程的配方解法。

【教学难点】

理解配方的本质：方程两边同时加上一次项系数一半的平方，保持等式成立。

【教学准备】

多媒体课件、完全平方公式复习素材、课堂运算练习单。

【教学过程】

导入新课

创设生活情境：一个正方形花坛扩建后边长增加2m，扩建后正方形面积为36㎡，求原花坛边长。学生列出方程(x+2)^2=36，教师提问：这个方程如何求解？能不能转化为我们学过的平方根运算？引出直接开平方法和配方法课题。

环节一：复习旧知，铺垫配方基础

1.教师活动：提问完全平方公式2。

2.教师提问：填空凑完全平方式：。

3.学生活动：独立填空作答。预设答案：①9、3；②4、2。

4.教师引导总结规律：二次项系数为1时，常数项为一次项系数一半的平方。

5.学生记录配方核心规律，熟记凑平方方法。

6.教师点评纠错，夯实公式基础。

[设计意图]复习完全平方公式，提炼配方核心规律，为新课配方运算铺垫基础。

环节二：探究直接开平方法，掌握降次思路

1.教师活动：针对导入方程(x+2)^2=36，提问：根据平方根定义，方程可转化为哪两个一元一次方程？

2.学生思考作答。预设答案：x+2=6或x+2=-6。

3.教师板书求解过程，解得x_1=4，x_2=-8，结合实际情境舍去负根。

4.教师归纳：形如(x+m)^2=p的方程，当p>0时，有两个不相等实数根；p=0时，有两个相等实数根；p<0时，无实数根。

5.学生活动：记录规律，练习解方程(x-3)^2=16。预设答案：x_1=7，x_2=-1。

6.教师巡视指导，纠正漏根、符号错误。

[设计意图]从情境方程入手，让学生自主感悟“降次”思想，掌握直接开平方法的解题逻辑和根的情况判断。

环节三：探究配方法，掌握基础配方步骤

1.教师活动：出示方程x^2+6x+5=0，提问：如何将这个普通二次方程转化为完全平方式形式？

2.教师分步示范：①移项：x^2+6x=-5；②配方：两边加3²，x^2+6x+9=-5+9；③化为平方形式：(x+3)^2=4；④开方求解。

3.学生活动：跟随教师步骤自主运算，理解每一步配方原理。预设答案：x_1=-1，x_2=-5。

4.教师引导学生总结二次项系数为1的配方步骤：移项→配方（加一次项系数一半平方）→开方→求解。

5.学生小组复述步骤，相互纠错。

6.教师补充易错点：配方时等式两边必须同时加同一个数，保证等式成立。

[设计意图]分步示范配方过程，拆解难点，让学生理解配方本质，掌握基础解题步骤。

环节四：课堂小结与巩固

1.学生自主总结本节课知识点：直接开平方法、简单配方法步骤、降次思想。

2.教师梳理核心：配方的核心是凑完全平方式，实现二次降为一次。

3.学生梳理易错点，完善笔记。

4.教师答疑，解决学生运算困惑。

5.针对性抽查基础配方运算。

6.明确下节课学习复杂配方（二次项系数不为1）。

[设计意图]梳理知识，查漏补缺，衔接后续课程。

【板书设计】

25.2.1 配方法（1）

1.直接开平方法：(x+m)^2=p（p不等于 0）

2.配方规律：二次项系数为1，加一次项系数一半的平方

3.步骤：移项→配方→开方→求解

【课堂练习】

填空：x^2-8x+\_\_=(x-\_\_)^2（答案：16、4）

判断：方程(x+1)^2=-2有两个实数根（×）

选择：用配方法解x^2+4x-5=0，配方后为（ ）A.(x+2)^2=9 B.(x-2)^2=9（答案：A）

计算：用配方法解x^2-2x-3=0（答案：x_1=3，x_2=-1）

解答：正方形边长增加3m，面积增加27㎡，求原边长（答案：3m）

【课后作业】

1.变式题：用配方法解x^2+10x+9=0（答案：x_1=-1，x_2=-9）

2.生活题：矩形长比宽多2m，面积15㎡，用配方法求长宽（答案：长5m，宽3m）

【教学后记】

第2课时：二次项系数不为1的配方法

【教材分析】

本节课是配方法的进阶内容，在简单配方基础上，学习二次项系数不为1的一元二次方程配方解法，完善配方法完整解题体系，是推导公式法的核心基础，在全章运算中起到承上启下的作用。

【学情分析】

学生已掌握二次项系数为1的配方法，但对于二次项系数不为1的方程，不知道先化系数为1，容易直接配方导致错误，同时在分数配方运算中计算失误较多，运算规范性有待提升。

【教学目标】

1.知识与技能：掌握二次项系数不为1的一元二次方程的配方法完整步骤，能熟练用配方法解任意数字系数的一元二次方程。

2.数学思考：通过完整配方过程，深化降次转化思想，提升代数变形和综合运算能力。

3.问题解决：能规范完成复杂配方运算，规避配方常见运算错误。

4.情感态度：培养规范运算、严谨推理的数学素养，克服复杂代数运算的畏难情绪。

【教学重点】

二次项系数不为1的一元二次方程的配方法解题步骤。

【教学难点】

二次项系数化为1后，含分数的配方运算。

【教学准备】

多媒体课件、复杂配方例题、分层运算练习单。

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

创设情境：某长方形宣传栏面积为24㎡，长是宽的2倍多2m，列出方程2x^2+2x-24=0，提问：这个方程二次项系数为2，如何用配方法求解？引出本节课进阶配方内容。

环节一：复习回顾，衔接新知

1.教师提问：二次项系数为1的配方法步骤是什么？学生集体回答。

2.教师出示方程2x^2+4x-6=0，提问：和上节课方程有什么区别？预设答案：二次项系数不为1。

3.教师引导思考：如何转化为我们学过的二次项系数为1的方程？预设答案：方程两边同时除以二次项系数。

4.学生尝试自主化简方程，得到x^2+2x-3=0。

5.教师肯定学生思路，引出完整配方步骤。

6.学生整理转化思路。

[设计意图]通过新旧方程对比，让学生自主探究转化方法，培养转化思维。

环节二：示范讲解，掌握完整配方步骤

1.教师以2x^2+2x-24=0为例，分步示范完整步骤：①化二次项系数为1：两边同除以2，得x^2+x-12=0；②移项：x^2+x=12；③配方：加(\frac{1}{2})^2，得(x+\frac{1}{2})^2=\frac{49}{4}；④开方、求解。

2.学生跟随步骤运算，核对答案：x_1=3，x_2=-4，结合情境舍去负根。

3.教师引导学生归纳完整配方法五步：①化系数为1；②移项；③配方；④开方；⑤求解。

4.教师重点强调：分数配方时，准确计算一次项系数一半的平方，等式两边同步运算。

5.学生小组复述完整步骤，相互讲解易错点。

6.教师针对分数配方难点专项讲解示范。

[设计意图]分步拆解复杂配方过程，突破分数运算难点，构建完整配方知识体系。

环节三：专项练习，纠错巩固

1.教师出示例题：用配方法解方程3x^2-6x-9=0。

2.学生独立完成，上台板演。预设答案：x_1=3，x_2=-1。

3.教师点评典型错误：未化系数为1直接配方、配方只加左边不加右边、分数计算错误。

4.学生自主纠错，整理错题原因。

5.小组互助，帮扶运算薄弱学生。

6.教师巡视全员运算情况，针对性指导。

[设计意图]通过实战练习，排查运算易错点，规范解题格式，提升运算准确率。

环节四：课堂小结

1.学生总结完整配方法步骤及核心易错点。

2.教师升华：配方法核心是转化，将陌生方程转化为熟悉的完全平方式，实现降次求解。

3.学生完善笔记，梳理知识框架。

4.教师答疑解惑。

5.衔接后续：配方法是推导公式法的基础。

6.布置分层作业。

[设计意图]梳理完整知识，强化思想方法，夯实运算能力。

【板书设计】

25.2.1 配方法（2）

完整步骤：化系数为1→移项→配方→开方→求解

核心：等式两边同步运算，分数配方准确计算

【课堂练习】

填空：解方程2x^2-4x=6，先化为______（答案：x^2-2x=3）

判断：配方法解方程时，可直接对二次项系数不为1的方程配方（×）

选择：用配方法解3x^2+6x=0，配方后为（ ）A.(x+1)^2=1 B.(x-1)^2=1（答案：A）

计算：2x^2-8x+4=0（答案：x_1=2+\sqrt{2}，x_2=2-\sqrt{2}）

解答：利用配方法求2x^2-4x+5的最小值（答案：最小值3）

【课后作业】

1.变式题：3x^2-2x-1=0（答案：x_1=1，x_2=-\frac{1}{3}）

2.生活题：矩形周长18m，面积20㎡，用配方法求边长（答案：长5m，宽4m）

【教学后记】

25.2.2 公式法

【教材分析】

本节课依托配方法推导一元二次方程求根公式，是配方法的归纳与升华。公式法是解一元二次方程的通用方法，适用于所有有实数根的一元二次方程，同时引入根的判别式，可提前判断方程根的情况，是本章核心解题方法之一。

【学情分析】

学生已熟练掌握配方法，具备推导公式的运算基础，但对公式的推导过程理解不透彻，容易死记公式，运用判别式和公式解题时，常出现a、b、c取值符号错误、代入公式计算失误等问题。

【教学目标】

1.知识与技能：理解求根公式的推导过程，掌握根的判别式\Delta=b^2-4ac的用法，能熟练用公式法解一元二次方程。

2.数学思考：经历公式推导过程，体会从特殊到一般的数学思想，提升逻辑推理、归纳概括能力。

3.问题解决：能利用判别式判断方程根的情况，规范运用公式法求解各类一元二次方程。

4.情感态度：感受数学公式的简洁美、严谨美，培养主动探究、归纳总结的学习能力。

【教学重点】

1.根的判别式的应用。

2.公式法解一元二次方程的步骤。

【教学难点】

一元二次方程求根公式的推导过程。

【教学准备】

多媒体课件、公式推导板书素材、判别式专项练习题。

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

教师提问：用配方法解任意一元二次方程步骤繁琐，能否总结出通用公式，直接代入求解？创设问题：不解方程，能否快速判断方程有没有实数根？从而引出本节课公式法与根的判别式。

环节一：推导公式，探究新知

1.教师活动：以一般形式ax^2+bx+c=0(a不等于 0)为例，带领学生用配方法分步推导。①化系数为1：x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0；②移项：x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}；③配方：加(\frac{b}{2a})^2。

2.学生跟随推导，逐步运算，得到(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}。

3.教师讲解：因为4a^2>0，所以根的情况由b^2-4ac决定，定义\Delta=b^2-4ac为根的判别式。

4.教师归纳判别式规律：\Delta>0，两个不相等实数根；\Delta=0，两个相等实数根；\Delta<0，无实数根。

5.学生记录判别式规律，理解公式推导逻辑。

6.教师板书最终求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(\Delta不等于 0)。

[设计意图]依托配方法推导通用公式，让学生知其然更知其所以然，突破公式推导难点。

环节二：归纳步骤，示范解题

1.教师引导学生总结公式法解题步骤：①化为一般形式；②确定a、b、c的值；③计算\Delta判断根的情况；④代入公式求解。

2.教师示范例题：用公式法解方程2x^2-5x+2=0。分步板书，强调符号取值。

3.学生观察学习规范步骤，自主尝试解题。预设答案：x_1=2，x_2=\frac{1}{2}。

4.教师重点强调易错点：b为负数时，代入公式注意符号；\Delta<0直接判定无实数根。

5.学生小组交流易错点，相互提醒纠错。

6.教师抽查学生步骤掌握情况。

[设计意图]规范解题步骤，明确易错点，让学生掌握通用解题方法。

环节三：专项练习，巩固应用

1.教师出示练习题：①判断x^2+2x+2=0根的情况；②用公式法解3x^2-6x=0。

2.学生独立完成，上台板演。预设答案：①\Delta=-4<0，无实数根；②x_1=0，x_2=2。

3.教师点评典型错误：符号代入错误、判别式计算失误、忘记先判断根的情况。

4.学生自主纠错，整理错题。

5.小组互助讲解难题。

6.教师针对性辅导薄弱学生。

[设计意图]通过分层练习，巩固判别式和公式法的应用，提升运算准确率。

环节四：课堂小结

1.学生总结：判别式的三种情况、求根公式、公式法解题步骤。

2.教师梳理：公式法是通用解法，适用于所有可解的一元二次方程。

3.学生完善笔记，梳理知识框架。

4.教师答疑解惑。

5.对比配方法与公式法的优劣。

6.衔接下节课因式分解法。

[设计意图]梳理知识，对比方法，构建解题方法体系。

【板书设计】

25.2.2 公式法

1.判别式：\Delta=b^2-4ac

\Delta>0两不等根；\Delta=0两相等根；\Delta<0无实根

2.求根公式：x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}(\Delta不等于 0)

3.解题步骤：定abc→算判别式→代入求解

【课堂练习】

填空：方程x^2-3x+1=0的\Delta=______（答案：5）

判断：\Delta=0时，方程无实数根（×）

选择：方程2x^2+3x-1=0根的情况是（ ）A.两不等根 B.两相等根 C.无实根（答案：A）

计算：用公式法解x^2-4x+3=0（答案：x_1=1，x_2=3）

解答：不解方程，判断4x^2-4x+1=0根的情况（答案：两个相等实数根）

【课后作业】

1.变式题：用公式法解3x^2-2x-2=0（答案：x_1=\frac{1+\sqrt{7}}{3}，x_2=\frac{1-\sqrt{7}}{3}）

2.生活题：小球竖直上抛，高度h=-5x^2+10x，求小球落地时间（答案：2s）

【教学后记】

25.2.3 因式分解法

【教材分析】

因式分解法是解一元二次方程最简便的特殊解法，适用于能因式分解的一元二次方程。本节课依托整式因式分解知识，将二次方程转化为两个一元一次方程求解，进一步深化降次思想，完善一元二次方程解法体系。

【学情分析】

学生已掌握提公因式法、公式法因式分解，具备知识基础，但容易混淆因式分解法与公式法的适用场景，解题时容易出现漏根、直接除以含未知数式子导致丢根的错误。

【教学目标】

1.知识与技能：掌握因式分解法解一元二次方程的原理和步骤，能运用提公因式、公式法分解方程求解，能区分三种解法的适用场景。

2.数学思考：进一步深化降次转化思想，体会简便运算的数学优势，提升知识迁移能力。

3.问题解决：能根据方程特征选择最优解法，规避因式分解法解题易错点。

4.情感态度：体会数学解题的灵活性、简便性，提升解题效率，增强数学学习自信。

【教学重点】

因式分解法解一元二次方程的步骤和应用。

【教学难点】

理解“若ab=0，则a=0或b=0”的核心原理，规避丢根易错点。

【教学准备】

多媒体课件、因式分解复习素材、解法对比练习题。

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

创设情境：某社团活动报名人数满足方程x^2-5x=0，用公式法求解步骤繁琐，提问：能否用更简便的方法快速求解？引出因式分解法。

环节一：探究原理，感知新知

1.教师提问：若两个数的乘积为0，这两个数有什么特点？预设学生答案：至少其中一个数为0。

2.教师归纳核心原理：ab=0 \Leftrightarrow a=0或b=0。

3.教师引导学生对方程x^2-5x=0因式分解，得x(x-5)=0。

4.学生根据原理转化为两个一次方程：x=0或x-5=0，解得x_1=0，x_2=5。

5.教师对比公式法，凸显因式分解法的简便性。

6.学生感悟解法优势，理解降次核心。

[设计意图]从乘法零点原理入手，让学生自主探究因式分解法的核心逻辑，理解解法本质。

环节二：归纳步骤，分类解题

1.教师引导学生总结因式分解法步骤：①移项，使方程右边为0；②左边因式分解；③转化为两个一次方程；④求解。

2.教师分类示范：提公因式型3x^2+6x=0、平方差型x^2-4=0、完全平方型x^2-4x+4=0。

3.学生跟随解题，预设答案：x_1=0,x_2=-2；x_1=2,x_2=-2；x_1=x_2=2。

4.教师重点强调易错点：严禁方程两边直接除以含未知数的式子，会导致丢根。

5.学生记录易错点，小组复述解题步骤。

6.教师针对性纠错示范。

[设计意图]分类讲解常见题型，归纳解题步骤，突破丢根易错点。

环节三：解法对比，灵活选择

1.教师提问：配方法、公式法、因式分解法各适用于什么场景？

2.学生小组讨论总结：因式分解法适用于可分解方程，简便快捷；公式法通用所有方程；配方法多用于配方变形、求最值。

3.教师出示不同题型，学生快速选择最优解法。

4.学生实战练习，灵活解题。

5.教师点评解法选择合理性。

6.学生优化解题思路。

[设计意图]构建解法体系，培养学生择优解题的能力，提升解题效率。

环节四：课堂小结

1.学生总结因式分解法原理、步骤、易错点。

2.教师梳理三种解法的核心思想：降次转化。

3.学生完善知识体系。

4.教师答疑。

5.布置作业。

6.衔接根与系数的关系。

[设计意图]整合全小节解法知识，构建完整解题框架。

【板书设计】

25.2.3 因式分解法

1.核心原理：ab=0 \Rightarrow a=0或b=0

2.步骤：移项→分解→转化→求解

3.易错点：不直接除含未知数的式子，避免丢根

【课堂练习】

填空：x^2-7x=0因式分解得______（答案：x(x-7)=0）

判断：方程(x-1)(x+2)=0的根是x=1（×）

选择：适合因式分解法求解的方程是（）A.x^2+3x+1=0 B.x^2-9=0（答案：B）

计算：2x^2-8x=0（答案：x_1=0，x_2=4）

解答：用最优方法解x^2-6x+9=0（答案：x_1=x_2=3）

【课后作业】

1.变式题：(x-2)^2=3(x-2)（答案：x_1=2，x_2=5）

2.生活题：矩形面积30㎡，长和宽相差1m，用因式分解法求边长（答案：长6m，宽5m）

【教学后记】

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

【教材分析】

本节课是新人教版九年级上册第二十五章解一元二次方程的拓展内容，承接一元二次方程求根公式、根的判别式等前置知识，是一元二次方程知识体系的重要补充。本节课探究的根与系数的关系（韦达定理），搭建起方程系数与方程根之间的内在联系，打破了学生只能通过解方程求根的固有思维，可实现不解方程快速判断根的关系、求解根的代数式的值、确定方程未知系数等问题。同时，本节知识是后续二次函数、一元二次不等式学习的基础，在初中代数知识衔接中起到承上启下的关键作用，也是中考高频考点，侧重考查学生整体代换、推理归纳的数学能力。

【学情分析】

九年级学生已经熟练掌握一元二次方程的四种解法、求根公式及根的判别式，具备一定的解方程运算能力和简单的代数推理能力。学生习惯于通过解方程获取根的值，尚未发现系数与根之间的规律，对“不解方程求值”的思维模式较为陌生。同时，学生具备初步的自主探究、合作交流能力，但从特殊案例归纳一般规律、严谨推导代数结论的能力较弱，对于根与系数关系的适用条件（二次项系数不为0、方程有实数根）容易忽略，在综合运用知识解题时易出现漏洞，需要教师逐步引导、精准点拨。

【教学目标】

1.知识与技能：理解并掌握一元二次方程根与系数的关系，明确定理适用条件；能利用根与系数的关系，不解方程求两根和、两根积及含根的代数式的值，能根据方程的一个根求另一个根与未知系数。

2.数学思考：经历“计算特例—观察猜想—归纳验证—推导结论”的完整探究过程，体会从特殊到一般的数学思想，提升代数推理、归纳总结和整体代换的思维能力。

3.问题解决：能运用根与系数的关系解决基础计算、参数求解等数学问题，规范解题步骤，提升代数运算和问题解决能力。

4.情感态度：在自主探究与合作交流中感受代数规律的简洁性与严谨性，体验数学探究的乐趣，培养主动思考、严谨求实的数学学习态度，增强数学学习自信心。

【教学重点】

1.掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）的内容及适用条件。

2.熟练运用根与系数的关系进行代数式求值、求解方程未知参数。

【教学难点】

1.根与系数关系的严谨代数推导过程。

2.灵活运用整体代换思想，结合根与系数关系解决变形类代数式求值问题，规避忽略判别式的解题误区。

【教学准备】

多媒体课件、课堂练习题单、黑板板书模板、计算器（辅助验算）

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

创设真实情境：校园绿植养护社团培育盆栽，已知某绿植的生长高度满足一元二次方程 x^2-7x+12=0，方程的两个根代表绿植两次生长的高度（单位：cm）。老师不用解方程，就能快速算出两次生长高度之和为7cm、高度之积为12cm²。提问学生：老师没有解方程，为什么能快速得出两根的和与积？一元二次方程的根和系数之间是否存在固定规律？以此引出本节课课题——一元二次方程的根与系数的关系。

环节一：特例探究，初步猜想规律

教师活动：1.出示3个简单一元二次方程，布置学生解方程并记录两根和、两根积；2.引导学生观察方程系数与两根和、积的数值关系，小组讨论交流；3.巡视课堂，指导学困生计算，收集小组探究成果。

学生活动：1.独立解方程，准确计算每道方程的两根、两根和、两根积；2.小组合作观察数据，对比方程二次项、一次项、常数项，尝试总结规律；3.主动分享小组探究发现。

探究习题：①x^2-3x+2=0 ②x^2-5x+6=0 ③x^2+2x-3=0

预设答案：①根1、2，和3，积2；②根2、3，和5，积6；③根1、-3，和-2，积-3

教师提问1：观察上述二次项系数为1的一元二次方程，两根和、两根积与一次项系数、常数项有什么关系？预设学生答案：二次项系数为1时，两根和等于一次项系数的相反数，两根积等于常数项。

教师提问2：若方程为x^2+px+q=0，两根为x_1、x_2，猜想两根和与积的表达式？预设学生答案：x_1+x_2=-p，x_1x_2=q。

[设计意图]从简单特例入手，降低探究难度，让学生通过自主计算、观察对比，初步感知根与系数的关联，培养归纳猜想能力，为一般规律推导铺垫基础。

环节二：拓展延伸，完善猜想范围

教师活动：1.抛出问题：二次项系数不为1的一元二次方程，是否存在相同规律？出示2道变式方程；2.引导学生重复计算、观察、对比，修正猜想；3.组织学生小组交流，完善规律猜想。

学生活动：1.独立求解二次项系数不为1的方程，计算两根和、积；2.对比系数关系，发现原有猜想不适用，主动调整猜想；3.小组汇总结果，总结通用规律。

探究习题：①2x^2-6x+4=0 ②3x^2+3x-6=0

预设答案：①根1、2，和3，积2；②根1、-2，和-1，积-2

教师提问1：对比方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的系数，两根和、积与a、b、c有什么数量关系？预设学生答案：两根和等于-\frac{b}{a}，两根积等于\frac{c}{a}。

教师提问2：这个猜想是否适用于所有一元二次方程？需要满足什么前提？预设学生答案：需要保证方程有实数根，即判别式\Delta=b^2-4ac不等于 0，且a≠0。

[设计意图]突破特殊案例局限，拓展到一般一元二次方程，引导学生修正猜想、完善认知，培养学生严谨的探究思维，避免规律认知片面化。

环节三：严谨推导，验证定理结论

教师活动：1.结合一元二次方程求根公式，带领学生代数推导根与系数的关系；2.分步板书推导过程，讲解每一步变形依据；3.强调定理适用条件，梳理韦达定理完整内容；4.纠正学生推导中的易错点。

学生活动：1.跟随教师思路，自主书写推导过程；2.理解公式变形逻辑，记录关键步骤和适用条件；3.主动提问推导中的疑惑点。

推导过程：对于一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0,\Delta不等于 0)，两根x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}，x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}，计算可得x_1+x_2=-\frac{b}{a}，x_1x_2=\frac{c}{a}。

教师提问1：推导过程中a≠0和\Delta不等于 0的作用是什么？预设学生答案：a≠0保证是一元二次方程，\Delta不等于 0保证方程有实数根，定理才有意义。

教师提问2：若方程没有实数根，能否使用根与系数的关系？预设学生答案：不能，无实数根则不存在对应的根，定理不适用。

[设计意图]通过严谨的代数推导，将猜想转化为定理，培养学生逻辑推理能力，让学生知其然更知其所以然，夯实知识核心。

环节四：基础应用，巩固定理内容

教师活动：1.出示基础例题，讲解利用定理直接求两根和、积的方法；2.示范规范解题步骤，强调先判断判别式的解题流程；3.布置基础练习题，巡视纠错。

学生活动：1.跟随教师学习例题解法，记录解题规范；2.独立完成基础练习，主动核对答案；3.梳理基础题型解题思路。

例题：已知方程2x^2-4x-1=0的两根为x_1、x_2，求x_1+x_2、x_1x_2的值。

预设解答：a=2,b=-4,c=-1，\Delta=16+8=24>0，x_1+x_2=2，x_1x_2=-\frac{1}{2}。

教师提问1：解题第一步为什么要计算判别式？预设学生答案：验证方程有实数根，确保可以使用根与系数的关系。

教师提问2：代入公式时，符号容易出错的地方是什么？预设学生答案：一次项系数为负数时，-\frac{b}{a}的符号计算易出错。

[设计意图]通过基础例题应用，让学生熟练掌握定理基本用法，规范解题步骤，规避基础运算错误，夯实基础知识。

环节五：变式提升，突破重难点

教师活动：1.出示代数式变形求值、求未知参数两类变式例题；2.引导学生运用整体代换思想转化式子；3.点拨解题技巧，总结题型方法；4.针对学生易错点重点讲解。

学生活动：1.小组合作探究变式题型的解题思路；2.尝试自主转化代数式、列方程求解参数；3.总结两类题型的解题方法。

例题1：已知x_1、x_2是方程x^2-4x+2=0的两根，求x_1^2+x_2^2的值。

预设解答：x_1+x_2=4，x_1x_2=2，原式=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=16-4=12。

例题2：已知方程x^2+kx-6=0的一个根为2，求另一个根和k的值。

预设解答：设另一根为x_2，2x_2=-6得x_2=-3，2+(-3)=-k得k=1。

教师提问1：平方和式子转化的核心是什么？预设学生答案：利用完全平方公式整体代换，无需单独求根。

教师提问2：已知一根求参数的解题思路是什么？预设学生答案：利用两根积、两根和公式列方程求解。

[设计意图]通过变式题型突破教学重难点，渗透整体代换数学思想，提升学生知识迁移和综合解题能力。

环节六：课堂小结，梳理知识体系

教师活动：1.引导学生自主梳理本节课核心知识、解题方法和易错点；2.系统梳理知识框架，总结题型规律；3.强调定理适用条件和核心数学思想。

学生活动：1.自主回顾、小组互补总结知识点；2.记录易错点和解题技巧；3.构建本节课知识体系。

小结核心：1.韦达定理内容及适用条件；2.基础求值、变形求值、参数求解三类题型；3.整体代换、特殊到一般的数学思想；4.解题必验判别式。

[设计意图]帮助学生梳理知识脉络，查漏补缺，固化解题方法，培养总结归纳的学习习惯。

【板书设计】

25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

1.定理内容：ax^2+bx+c=0(a≠0,\Delta不等于 0)

x_1+x_2=-\frac{b}{a}x_1x_2=\frac{c}{a}

2.适用条件：①a≠0 ②\Delta不等于 0

3.常见变形：x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2

4.题型：基础求值、变形求值、参数求解

【课堂练习】

一、填空题

1.方程x^2-5x+3=0的两根和为______，两根积为______。（5；3）

2.已知方程2x^2+6x-1=0，则x_1+x_2=______。（-3）

二、判断题

1.任意一元二次方程都有根与系数的关系。（×，无实根不适用）

2.方程x^2+2x=0的两根积为0。（√）

三、选择题

1.已知方程3x^2-2x-5=0，两根积为（ ）A.-\frac{5}{3} B.\frac{5}{3} C.-\frac{2}{3} D.\frac{2}{3}（A）

四、计算题（预设解答）

已知x_1、x_2是方程x^2-6x+5=0的两根，求\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}的值。

解：x_1+x_2=6，x_1x_2=5，原式=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=\frac{6}{5}。

五、解答题（预设解答）

已知方程x^2+(m-2)x+2m=0的一个根为1，求m的值和另一根。

解：将x=1代入方程得1+m-2+2m=0，解得m=\frac{1}{3}；设另一根为x_2，1\cdot x_2=2\times\frac{1}{3}=\frac{2}{3}，另一根为\frac{2}{3}。

【课后作业】

一、变式练习题

1.已知x_1、x_2是方程4x^2-8x-1=0的两根，求x_1^2+x_2^2的值。（答案：\frac{17}{4}）

2.方程x^2-ax+4=0两根相等，求a的值。（答案：a=\pm4）

二、生活情境题（预设解答）

某文具店售卖笔记本，每月销量满足方程x^2-120x+3200=0，两根分别为两个月的销量（单位：本），求这两个月的销量总和与销量乘积。

解：由根与系数关系得，销量和=120本，销量积=3200本²。答：两个月销量总和为120本，乘积为3200本²。

【教学后记】

25.3 实际问题与一元二次方程

第1课时：传播问题、增长率问题

【教材分析】

本节课是一元二次方程实际应用的入门课时，是学生将代数知识转化为解决实际问题能力的核心内容。传播问题、增长率问题是生活中常见的数学模型，贴合学生生活实际，承接一元二次方程的解法知识，是代数建模思想的首次重点落地。通过本节课学习，学生可掌握列一元二次方程解应用题的基本步骤，学会提炼传播、增长类问题的等量关系，为后续面积、利润问题的学习奠定基础，同时提升学生用数学解决生活问题的实践能力。

【学情分析】

学生已经熟练掌握一元二次方程的各类解法，具备简单的应用题审题、找等量关系的能力。但九年级学生对“倍数传播”“连续增长”的数量变化规律认知模糊，难以快速提炼隐藏的等量关系，容易出现列式错误、忽略实际意义验根等问题。同时，学生建模思维尚未成熟，不会将生活情境转化为数学方程模型，需要教师通过真实情境引导、分步拆解问题，帮助学生建立解题思维。

【教学目标】

1.知识与技能：掌握传播问题、增长率问题的数量关系模型，能准确列一元二次方程求解，会根据实际意义检验方程根的合理性。

2.数学思考：经历“情境抽象—提炼等量关系—建立方程模型—求解验证”的建模过程，体会数学建模思想，提升抽象概括能力。

3.问题解决：能独立解决生活中的传播、增长率实际问题，规范应用题解题步骤，提升实际问题解决能力。

4.情感态度：感受一元二次方程在生活中的实用价值，体会数学与生活的紧密联系，激发数学应用意识，培养严谨的解题习惯。

【教学重点】

1.掌握传播问题、增长率问题的等量关系，建立一元二次方程模型。

2.规范列方程解应用题的完整步骤。

【教学难点】

1.准确提炼传播、连续增长问题中的隐藏等量关系。

2.根据实际情境舍去不合理的方程根。

【教学准备】

多媒体课件、生活情境案例素材、练习题单、板书模板

【教学过程】

导入新课

创设真实情境：秋冬季节流感高发，班级有1名同学患上流感，经过两轮传播后，共有25名同学感染流感。已知每轮传播中每名患病同学传染的人数相同，如何求出每名同学每轮传染的人数？生活中病毒传播、产量增长、人数倍增等问题，都可以用一元二次方程解决，由此导入本节课内容。

环节一：探究传播问题，建立基础模型

教师活动：1.结合流感传播情境，分步拆解传播过程；2.引导学生分析第一轮、第二轮的感染人数变化；3.组织学生小组讨论，提炼等量关系；4.示范列方程、求解、验根的完整步骤。

学生活动：1.跟随教师拆解传播过程，梳理每轮感染人数；2.小组合作分析数量关系，尝试列出方程；3.对比教师示范，规范解题步骤，总结传播问题模型。

例题：1人患流感，两轮传播后共25人患病，每轮每人传染人数相同，求每轮每人传染几人？

教师提问1：设每轮每人传染x人，第一轮后患病总人数是多少？预设学生答案：1+x人。

教师提问2：第二轮传播的传染源和新增患病人数分别是多少？预设学生答案：传染源1+x人，新增x(1+x)人。

教师提问3：两轮后总患病人数的等量关系是什么？预设学生答案：第一轮总人数+第二轮新增人数=25。

预设解答：(1+x)^2=25，解得x_1=4，x_2=-6，人数不能为负，舍去x=-6，答：每轮每人传染4人。

[设计意图]通过真实流感传播情境，分步拆解难点，帮助学生理解传播数量变化规律，建立传播问题通用数学模型，掌握验根的必要性。

环节二：探究增长率问题，拓展模型应用

教师活动：1.创设校园绿植产量增长情境，引出增长率问题；2.引导学生分析基数、增长率、增长次数、最终数量的关系；3.推导增长率通用公式；4.示范例题解题流程。

学生活动：1.结合生活增长实例，理解增长率概念；2.自主推导连续两次增长的数量关系式；3.独立完成例题求解，规范步骤。

例题：校园种植基地今年绿植产量为200kg，连续两年同比增长，两年后产量达到288kg，求每年的平均增长率。

教师提问1：设平均增长率为x，一年后产量是多少？预设学生答案：200(1+x)kg。

教师提问2：两年后产量的表达式如何书写？预设学生答案：200(1+x)^2kg。

预设解答：200(1+x)^2=288，解得x_1=0.2=20\%，x_2=-2.2（舍去），答：平均增长率为20%。

教师提问3：增长率为什么必须舍去负数根？预设学生答案：增长率为负代表减产，不符合题意，需舍去。

[设计意图]结合农业生产真实情境，推导增长率通用模型，让学生掌握连续两次增长问题的解题方法，完善一元二次方程应用模型体系。

环节三：归纳步骤，固化解题流程

教师活动：1.引导学生对比两类题型，总结列一元二次方程解应用题的通用步骤；2.梳理“审、设、列、解、验、答”六步解题法；3.重点强调验根的两个维度：方程成立、符合实际意义。

学生活动：1.小组合作归纳解题步骤；2.记录核心流程和易错点；3.理解每一步的解题意义。

通用步骤：1.审题：提炼已知量、未知量、等量关系；2.设元：合理设未知数；3.列方程：根据等量关系列一元二次方程；4.解方程：选用合适方法求解；5.验根：检验根是否符合实际情境；6.作答：规范书写答案。

[设计意图]固化解题流程，帮助学生形成标准化解题思维，规避步骤遗漏、不验根等常见错误，提升解题规范性。

环节四：分层练习，巩固新知

教师活动：1.布置基础、变式两类练习题，覆盖本节课核心题型；2.巡视学生解题情况，针对性纠错指导；3.收集典型错题，集中讲解。

学生活动：1.独立完成练习题，规范书写步骤；2.主动核对答案，订正错题；3.总结自身易错点。

[设计意图]通过分层练习，夯实基础、提升能力，帮助学生熟练掌握两类实际问题的解题方法，强化建模思维。

环节五：课堂小结，梳理知识

教师活动：1.引导学生自主总结本节课模型、步骤、易错点；2.系统梳理传播问题、增长率问题的通用公式；3.强调建模思想和实际验根的重要性。

学生活动：自主回顾知识，互补完善总结，记录核心公式和解题技巧。

[设计意图]梳理知识脉络，固化解题模型，帮助学生形成系统的知识认知。

环节六：布置作业，拓展延伸

教师活动：布置变式习题和生活情境作业，明确作业要求，提示解题注意事项。

学生活动：记录作业内容，明确课后练习重点。

[设计意图]通过课后练习巩固课堂知识，延伸知识应用场景，提升学生自主解题能力。

【板书设计】

25.3 实际问题与一元二次方程（第1课时）

1.传播问题模型：(1+x)^2=\text{总数量}

2.增长率问题模型：\text{基数}\times(1+x)^2=\text{最终数量}

3.解题六步法：审、设、列、解、验、答

4.核心易错点：必须舍去不符合实际的根

【课堂练习】

一、填空题

1.1人传播病毒，每轮传染x人，两轮后总人数为______。（(1+x)^2）

2.某商品原价100元，平均增长率x，两年后价格为______元。（100(1+x)^2）

二、判断题

1.解实际问题时，方程的根全部都可以直接使用。（×）

2.连续两次降价问题可套用增长率模型求解。（√）

三、选择题

某工厂产值两年内从50万增长到72万，平均增长率为x，方程正确的是（ ）

A.50(1+x)=72 B.50(1+x)^2=72 C.50+50x^2=72（B）

四、计算题（预设解答）

1人传播谣言，经过两轮传播后共81人知晓，求每轮每人传播人数。

解：设每轮每人传播x人，(1+x)^2=81，解得x=8（负根舍去），答：每轮每人传播8人。

五、解答题（预设解答）

某店铺营业额第一年为10万元，两年后营业额达12.1万元，求年平均增长率。

解：设年平均增长率为x，10(1+x)^2=12.1，解得x=10\%，答：年平均增长率为10%。

【课后作业】

一、变式练习题

1.病毒传播三轮后总人数为121人，求每轮传染人数。（答案：10人）

2.某商品连续两次降价，原价200元，现价162元，求平均降价率。（答案：10%）

二、生活情境题（预设解答）

班级文明评比人数逐年增长，第一年参与人数36人，连续两年增长后达到64人，求每年平均增长率。

解：设平均增长率为x，36(1+x)^2=64，解得x=\frac{1}{3}\approx33.3\%，答：年平均增长率约为33.3%。

【教学后记】

第2课时：面积问题、利润问题

【教材分析】

本节课是实际问题与一元二次方程的第二课时，聚焦几何面积、商业利润两类高频实际问题，是一元二次方程应用的进阶内容。本节课知识结合几何图形性质、商业销售数量关系，综合性更强，是对前一课时建模思想的深化和拓展。通过本节课学习，学生可掌握几何图形拼接、裁剪问题的等量关系提炼方法，理解利润问题的核心公式，进一步提升数学建模和综合解题能力，是中考应用题核心考点。

【学情分析】

学生已经掌握一元二次方程解应用题的基本步骤，熟悉传播、增长率基础模型。但面积问题需要结合几何图形边长、面积公式，学生容易忽略图形变化中的边长约束条件；利润问题涉及单价、销量、利润的联动变化，数量关系较为复杂，学生难以快速梳理变量之间的关联，容易出现公式混淆、列式错误、取值不符合实际的问题，需要教师分步引导、拆解难点。

【教学目标】

1.知识与技能：掌握面积问题、利润问题的核心等量关系，能熟练建立一元二次方程模型求解，能根据图形、销售实际情况取舍方程的根。

2.数学思考：经历几何图形、销售问题的数学建模过程，体会数形结合、建模转化的数学思想，提升综合分析问题的能力。

3.问题解决：能独立解决生活中的图形面积、商品销售利润实际问题，熟练运用解题六步法，提升综合应用能力。

4.情感态度：感受数学在几何设计、商业经营中的应用价值，培养学以致用的数学应用意识，养成严谨审题、规范解题的学习习惯。

【教学重点】

1.掌握面积问题、利润问题的等量关系，建立一元二次方程模型。

2.熟练运用解题步骤解决综合实际问题。

【教学难点】

1.梳理利润问题中单价、销量、总利润的联动变化关系。

2.结合图形边长取值范围、销售实际情况，准确取舍方程的根。

【教学准备】

多媒体课件、几何图形教具、销售情境案例、练习题单

【教学过程】

导入新课

创设真实情境：校园劳动基地有一块长30m、宽20m的矩形菜地，现要在菜地四周修建等宽的小路，剩余菜地面积为504m²，如何求出小路的宽度？同时校园小卖部售卖文具，涨价会导致销量下降，如何定价才能获得指定利润？这类面积设计、销售利润问题，都需要用一元二次方程解决，导入本节课学习内容。

环节一：探究面积问题，数形结合建模

教师活动：1.结合校园菜地修路真实情境，出示几何图形；2.引导学生分析修路后菜地的长、宽变化；3.梳理面积等量关系，示范列方程求解；4.强调边长的取值范围，讲解验根依据。

学生活动：1.观察图形变化，自主表示剩余菜地的长和宽；2.根据矩形面积公式列方程；3.求解并结合实际边长范围取舍根；4.总结面积问题解题方法。

例题：矩形菜地长30m、宽20m，四周修等宽小路，剩余菜地面积504m²，求小路宽度。

教师提问1：设小路宽为x m，剩余菜地的长和宽分别是多少？预设学生答案：长(30-2x)m，宽(20-2x)m。

教师提问2：面积问题的核心等量关系是什么？预设学生答案：剩余长×剩余宽=剩余面积。

预设解答：(30-2x)(20-2x)=504，整理得x^2-25x+24=0，解得x_1=1，x_2=24；因20-2x>0，x<10，舍去x=24，答：小路宽1m。

[设计意图]借助真实几何情境和图形直观展示，降低面积问题理解难度，渗透数形结合思想，让学生掌握几何面积建模方法和取值约束条件。

环节二：探究利润问题，梳理数量关系

教师活动：1.创设文具销售真实情境，讲解利润核心公式；2.分步分析涨价后单价、销量的变化规律；3.引导学生推导总利润表达式，建立方程模型；4.示范解题全过程，强调销售实际约束条件。

学生活动：1.记忆利润核心公式，理解变量联动关系；2.自主表示涨价后的单价、销量、总利润；3.列方程求解并验根，总结利润问题解题技巧。

核心公式：总利润=单件利润×销售数量；单件利润=售价-进价

例题：文具进价4元，原售价6元，日均销量200件，售价每涨0.5元，销量减少10件，若日均利润为480元，求售价涨了多少元？

教师提问1：设售价涨x元，单件利润和销量分别是多少？预设学生答案：单件利润(2+x)元，销量(200-20x)件。

教师提问2：总利润的等量关系如何列式？预设学生答案：(2+x)(200-20x)=480。

预设解答：整理得x^2-8x+4=0，解得符合销售实际的根，结合题意作答，舍去不合理根。

[设计意图]拆解复杂的销售数量关系，突破利润问题难点，让学生掌握商业问题建模方法，理解变量联动变化规律。

环节三：题型对比，总结解题模型

教师活动：1.对比本节课两类题型与上节课题型的差异；2.分类总结面积、利润问题的通用建模方法；3.梳理各类题型的易错点和取值约束条件。

学生活动：小组合作对比归纳，记录不同题型的核心模型和易错点，完善知识体系。

[设计意图]分类梳理各类实际问题模型，帮助学生区分题型、精准解题，提升知识归纳和迁移能力。

环节四：专项练习，强化综合应用

教师活动：布置多题型练习题，覆盖面积、利润基础题和变式题，巡视指导，讲解典型错题。

学生活动：独立完成练习，规范步骤，订正错题，总结解题经验。

[设计意图]通过专项练习强化重难点，提升学生综合解题和建模能力。

环节五：课堂小结，系统梳理

教师活动：引导学生总结本节课核心模型、公式、易错点，整合全章节实际问题题型。

学生活动：自主回顾、互补总结，固化解题方法和数学思想。

[设计意图]整合知识体系，帮助学生构建完整的一元二次方程实际应用知识框架。

环节六：布置作业，巩固提升

教师活动：布置变式习题和生活情境作业，侧重综合应用题型，明确解题要求。

学生活动：记录作业，明确课后练习重点。

[设计意图]通过课后综合练习，提升学生解决复杂实际问题的能力。

【板书设计】

25.3 实际问题与一元二次方程（第2课时）

1.面积问题：利用图形边长变化+面积公式建模，注意边长>0

2.利润问题：总利润=（售价-进价）×销量

3.核心思想：数形结合、数学建模

4.通用步骤：审、设、列、解、验、答

【课堂练习】

一、填空题

1.长25cm、宽15cm的矩形，截去等宽边框后，剩余面积221cm²，设边框宽x cm，方程为________。（(25-2x)(15-2x)=221）

2.商品进价5元，涨价x元，单件利润为______元。（\text{原售价}-5+x）

二、判断题

1.面积问题中求出的边长根无需检验，直接使用。（×）

2.利润问题中涨价越高，总利润一定越高。（×）

三、选择题

矩形草坪修横向小路，宽x m，正确的面积方程依据是（ ）

A.原面积-小路面积=剩余面积 B.剩余长×剩余宽=剩余面积（B）

四、计算题（预设解答）

矩形纸片长20cm、宽12cm，四周剪去相同小正方形，折成无盖纸盒，底面积128cm²，求小正方形边长。

解：设边长x cm，(20-2x)(12-2x)=128，解得x=2（合理根），答：边长2cm。

五、解答题（预设解答）

某玩具进价30元，售价40元，月销200件，每涨价1元销量减5件，月利润2250元，求涨价金额。

解：设涨价x元，(10+x)(200-5x)=2250，解得x=5，答：涨价5元。

【课后作业】

一、变式练习题

1.正方形场地拓宽边长，边长增加2m，面积增加36m²，求原边长。（答案：8m）

2.商品进价20元，售价30元，周销100件，每降价1元销量增10件，周利润1120元，求降价金额。（答案：2元）

二、生活情境题（预设解答）

家庭阳台矩形绿植区长4m、宽3m，铺设等宽防滑垫后，绿植种植面积为6m²，求防滑垫宽度。

解：设宽度x m，(4-2x)(3-2x)=6，解得x=0.5，答：防滑垫宽度0.5m。

【教学后记】

小结

【教材分析】

本节课是第二十五章一元二次方程的单元小结课，是对整章知识的系统梳理、整合与提升。本章涵盖一元二次方程的定义、解法、根的判别式、根与系数的关系、实际应用五大核心模块，小结课旨在串联零散知识点，构建完整的知识体系，梳理各类题型解题方法、数学思想和易错点。本节课既是对前期新知的复盘巩固，也是对单元知识的查漏补缺、综合拔高，为后续二次函数、高中方程学习奠定基础，是单元教学的收尾与升华环节。

【学情分析】

学生已经学完整章所有新知，掌握了一元二次方程的基础知识点和各类题型的基本解法，但知识碎片化，没有形成系统体系，对不同解法的适用场景、不同实际问题的模型区分不清晰。同时，学生存在综合题型解题能力薄弱、易错点反复出错、数学思想运用不灵活等问题，对知识的综合迁移、融会贯通能力不足，需要通过小结课系统梳理、专项突破、查漏补缺。

【教学目标】

1.知识与技能：系统梳理一元二次方程整章知识点，熟记定义、公式、定理；能熟练选择合适方法解方程，灵活运用根的判别式、韦达定理解题，精准解决各类实际应用问题。

2.数学思考：通过知识梳理、题型归类、错题复盘，构建单元知识体系，归纳数形结合、建模、整体代换、特殊到一般等数学思想，提升归纳总结和逻辑思维能力。

3.问题解决：能独立解决一元二次方程基础运算、参数求解、综合求值、实际应用各类题型，突破单元重难点和易错点，提升综合解题能力。

4.情感态度：培养自主梳理、查漏补缺的学习习惯，体会数学知识的系统性和逻辑性，增强综合运用知识解决问题的自信心，提升数学核心素养。

【教学重点】

1.梳理整章知识框架，熟练掌握一元二次方程的各类解法及适用条件。

2.灵活运用根的判别式、根与系数的关系解决综合题型。

3.熟练掌握四类实际问题的建模方法和解题流程。

【教学难点】

1.根据方程特点灵活选择最优解法。

2.综合运用知识点解决代数、几何、实际应用复合型题型。

【教学准备】

单元知识思维导图课件、易错点汇总清单、综合练习题单、错题案例素材

【教学课时】1课时

【教学过程】

导入新课

情境导入：经过本章学习，我们掌握了一元二次方程的定义、解法、根的性质和实际应用，能解决生活中的传播、增长、面积、利润等多种问题。但零散的知识不利于灵活运用，本节课我们系统梳理整章知识，构建完整知识体系，突破重难点、扫清易错点，综合提升解题能力。

环节一：梳理基础概念，夯实知识根基

教师活动：1.引导学生自主回顾一元二次方程的定义、一般形式、核心要素；2.强调二次项系数不为0、最高次数为2的关键条件；3.梳理方程的解的概念，辨析易混淆概念。

学生活动：1.自主梳理基础概念，小组互查互补；2.记录概念易错点；3.完成概念辨析小题，巩固认知。

核心知识点：1.定义：只含一个未知数，最高次数为2的整式方程；2.一般形式：ax^2+bx+c=0(a≠0)；3.核心要素：整式方程、一元、二次。

教师提问1：判断一元二次方程的核心依据是什么？预设学生答案：整式方程、未知数最高次数为2、二次项系数不为0。

教师提问2：ax^2+bx+c=0一定是一元二次方程吗？为什么？预设学生答案：不一定，需满足a≠0。

[设计意图]回归基础概念，查漏补缺，夯实整章知识根基，规避概念性基础错误。

环节二：归类解方程方法，优选解题策略

教师活动：1.梳理四种解方程方法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法；2.分类讲解各类方法的适用题型、解题步骤、优缺点；3.总结最优解法选择技巧；4.示范典型方程的解法优选。

学生活动：1.回忆各类解法步骤，对比差异；2.总结解法优选规律；3.针对性练习，熟练最优解题策略。

方法总结：1.直接开平方法：适用于(x+m)^2=n(n不等于 0)形式；2.因式分解法：适用于易分解、常数项为0的方程，计算最简捷；3.公式法：通用解法，适用于所有有实根的一元二次方程；4.配方法：基础方法，多用于公式推导、代数式变形。

教师提问1：解一元二次方程的首选方法是什么？预设学生答案：优先因式分解法，无法分解用公式法。

教师提问2：配方法的核心作用是什么？预设学生答案：配方变形，推导求根公式、解决最值类问题。

[设计意图]系统归类解方程方法，帮助学生掌握最优解题策略，提升解方程的速度和准确率。

环节三：整合根的性质，突破综合考点

教师活动：1.整合根的判别式、根与系数的关系两大核心知识点；2.梳理判别式三种取值对应的根的情况；3.回顾韦达定理内容、适用条件和常见变形；4.汇总两类知识点的常考题型和易错点。

学生活动：1.熟记公式和定理适用条件；2.小组合作梳理常考题型；3.练习综合求值、参数求解题型，巩固知识。

核心知识点：1.判别式：\Delta=b^2-4ac，\Delta>0两不等实根，\Delta=0两相等实根，\Delta<0无实根；2.韦达定理：x_1+x_2=-\frac{b}{a}，x_1x_2=\frac{c}{a}(a≠0,\Delta不等于 0)。

教师提问1：利用韦达定理解题的前提是什么？预设学生答案：方程是一元二次方程、有实数根。

教师提问2：已知两根求平方和的核心变形是什么？预设学生答案：完全平方公式整体代换。

[设计意图]整合根的两大核心性质，突破单元重难点，强化综合题型解题能力，规避高频易错点。

环节四：归类实际模型，强化建模应用

教师活动：1.分类梳理本章四类实际应用模型：传播问题、增长率问题、面积问题、利润问题；2.逐一回顾各类题型的核心等量关系、建模方法、取值约束条件；3.对比四类题型的异同，总结通用解题六步法；4.讲解综合易错题型。

学生活动：1.熟记四类实际问题模型公式；2.总结各类题型的解题技巧和验根要点；3.复盘错题，规避常见错误。

模型汇总：1.传播问题：(1+x)^2=\text{总数量}；2.增长率问题：\text{基数}(1+x)^2=\text{最终量}；3.面积问题：依托几何公式，结合边长变化建模；4.利润问题：总利润=单件利润×销量。

教师提问1：所有实际问题解方程后都必须做什么步骤？预设学生答案：根据实际意义检验根，舍去不合理的根。

教师提问2：面积、利润问题的核心易错点是什么？预设学生答案：忽略边长、销量、单价的取值范围，列式错误。

[设计意图]系统归类实际应用模型，固化建模思维，解决学生题型混淆、建模困难的问题，提升实际应用能力。

环节五：错题复盘，查漏补缺

教师活动：1.展示单元高频错题、典型错题；2.引导学生分析错误原因，梳理解题误区；3.针对性讲解纠错方法，强化易错点记忆。

学生活动：1.对照自身错题本，复盘错误；2.记录易错点和纠错方法；3.完成易错点专项练习。

高频易错点：1.忽略二次项系数不为0；2.使用韦达定理不验判别式；3.解方程符号出错；4.实际问题不验根、步骤不规范；5.利润、面积问题列式错误。

[设计意图]通过错题复盘，精准查漏补缺，解决学生共性问题，扫清知识盲区，完善知识体系。

环节六：整体总结，构建知识体系

教师活动：1.带领学生梳理整章思维导图，串联所有知识点；2.总结本章核心数学思想、解题方法；3.明确单元重难点和考试高频考点。

学生活动：跟随教师构建完整知识体系，梳理学习收获和不足，明确后续复习重点。

[设计意图]系统化整合整章知识，帮助学生形成完整的知识网络，提升知识综合运用能力。

【板书设计】

第二十五章一元二次方程单元小结

一、基础概念：定义、一般形式ax^2+bx+c=0(a≠0)

二、四种解法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法

三、根的性质：1.判别式（三种根的情况）2.韦达定理（适用条件+变形）

四、四大实际模型：传播、增长率、面积、利润问题

五、核心思想：建模思想、整体代换、数形结合、特殊到一般

六、解题关键：规范步骤、必验根、优选解法

【课堂练习】

一、填空题

1.方程(m-2)x^2+3x+1=0是一元二次方程，则m的取值范围是______。（m≠2）

2.方程x^2-6x+9=0的根的情况是______。（有两个相等的实数根）

3.已知方程x^2-4x-3=0两根为x_1、x_2，则x_1+x_2=______。（4）

二、判断题

1.因式分解法是解所有一元二次方程的最优方法。（×）

2.若\Delta<0，则无法使用韦达定理。（√）

3.实际问题求出的负根直接舍去。（√）

三、选择题

1.下列方程适合用直接开平方法求解的是（ ）

A.x^2-4x=0 B.(x-1)^2=4 C.x^2+2x-3=0（B）

2.某商品两年降价，原价100现价81，平均降价率x，方程为（ ）

A.100(1-x)^2=81 B.100(1+x)^2=81（A）

四、计算题（预设解答）

选用最优方法解方程：①x^2-5x+6=0 ②2(x-3)^2=8

解：①因式分解法，x_1=2，x_2=3；②直接开平方法，x_1=5，x_2=1。

五、解答题（预设解答）

已知x_1、x_2是方程2x^2-6x-1=0的两根，求x_1^2+x_2^2的值。

解：x_1+x_2=3，x_1x_2=-\frac{1}{2}，原式=3^2-2\times(-\frac{1}{2})=10。

【课后作业】

一、变式综合题

1.已知方程x^2+kx+4=0有两个相等实数根，求k的值。（答案：k=\pm4）

2.解方程3x^2-2x-1=0（两种方法求解）。（答案：x_1=1，x_2=-\frac{1}{3}）

二、生活综合情境题（预设解答）

某小区绿化面积逐年提升，今年绿化面积为2000m²，连续两年增长后面积达2420m²，求年平均增长率；若保持该增长率，下一年绿化面积可达多少平方米？

解：设年平均增长率为x，由题意列方程：2000(1+x)^2=2420，化简得(1+x)^2=1.21，解得x_1=0.1=10\\%，x_2=-2.1（增长率为负，舍去）。 下一年绿化面积：2420\\times(1+10\\%)=2662(\text{m}^2)。 答：年平均增长率为10%，下一年绿化面积可达2662平方米。

【教学后记】

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