广东2025中考数学压轴真题解析和答案(22题)

这道2025年广东中考压轴题22题（倒数第2题），还是很精彩的，其实准确来讲，整个2025年广东中考数学都是整体水准很高的，该简单的基础题一定不会难，该难的中档题以及压轴题那可是真难啊。

关键是证明勾股定理、黄金分割点、包括高中才学的正弦定理等等知识点都出现了。我们今天分享的22题就是证明勾股定理的这题，关键是这些知识点它不是机械的就让学生证明勾股定理，而是给出数组数据样本，然后让学生根据给出的样本数据来研究其数字组成规律，来证明勾股定理。

如果只是单纯证明勾股定理，我们大可用几何方法：根据直角三角形三边做辅助线形成的正方形，再根据面积法直接就可以证明了，其实也没啥难度。但是，让学生根据样本再来总结规律，而且是在中考临考时间和背景下，确实很难，具体题目如下：

第一问:

（10，24，26）。很简单，但估计如果在临考时学生还没有快速进入状态的话，可能还是有点懵圈，当然，大多数学生可能会用勾股定理计算而求解。但如果，能发现（10，24，26），其实就是（5，12，13）这组勾股数的2倍，那就直接填空就好了，既可以节省时间，又能为第二问证明打开思路。

第二问:

①，通过观察，上表20组勾股数，其中（3，4，5），（,4，3，5），（,5，12，13），（,7，24，25），（8，15，17），（,11，60，61），（,12，35，37），（13，84，85），（15，112，113），（16，63，65），（1,7，144，145），（19，180，181），（20，21，29）这13组勾股数根据规律，能用子母m、n（m、n皆为正整数，且m﹥n）代数式来表示三角形的三边：

设a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²。

证明如下：

a²=（m²-n²）²=（m²）²-2（mn）²+（n²）²

b²=4（mn）²。

a²+b²=（m²）²-2（mn）²+（n²）²+4（mn）²

即：a²+b²=（m²）²+2（mn）²+（n²）²。

c²=（m²+n²）²=（m²）²+2（mn）²+（n²）²。

所以，a²+b²=c²，根据勾股定理逆定理，a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²能够成为RT三角形三边长。

②根据表中数据可知，（6，8，10），（9，12，15），（21，28，35），这3组勾股数分别是（3，4，5）的2、3、7倍；（10，24，26），（14，48，50），（18，80，82），（22，120，122），这4组勾股数分别是（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61）的2倍，且经验算，（9，40，41）符合a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²。

因此，上表中所有数据能用含m、n、k（m、n、k皆为正整数，且m﹥n）代数式来表示三角形的三边，设为：

a=k（m²-n²），b=k2mn，c=k（m²+n²）

证明如下：

a²=k²（m²-n²）²=k²（m²）²-2k²（mn）²+k²（n²）²

b²=4k²（mn）²。

a²+b²=k²（m²）²-2k²（mn）²+k²（n²）²+4k²（mn）²。

即：a²+b²=k²（m²）²+2k²（mn）²+k²（n²）²。

c²=k²（m²+n²）²=k²（m²）²+2k²（mn）²+k²（n²）²。

所以，a²+b²=c²，根据勾股定理逆定理，k（m²-n²），k2mn，k（m²+n²）能够成为RT三角形三边长，因此，用a=k（m²-n²），b=k2mn，c=k（m²+n²）能够表示出上表中所有的勾股数。

第三问：

根据题意，设a=20，且RT三角形三边长均为正整数，由勾股定理：a²+b²=c²，即c²-b²=20²=400，则有（c+b）（c-b）=400。依据题意，对400进行因数分解，则分以下4种情况进行分析讨论：

①c+b=40，c-b=10，解得：c=25，b=15﹤a（a为最短边），

不合题意。

②c+b=100，c-b=4，解得：c=52，b=48，

所需花为4*120=480。

③c+b=200，c-b=2，解得：c=101，b=99，

所需花为4*220=880。

④c+b=50，c-b=8，解得：c=29，b=21，

所需花为4*70=280。

因此这块地最少需种植280株花。

综上所述，本题难就难在第二问需要对20组勾股数进行逐个甄别寻找规律，很多学生可能能找到一两组勾股数的规律比如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）这3组勾股数：a=2n+1，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1（n为正整数），然后予以证明也是对的，但是还是只是代表局部的这3组，不能代表全部，但实际临考应该可以拿一点分。

所以，这道题在考场上如果不是平时有做个本原勾股数及欧几里得公司此类型题的专门训练研究，或者是接触过高中数列知识点研究跟训练是很难在临考场拿到高分的，因此本题，的确是称得上一道创新性很高和难度很高的压轴题。

附上具体解析答案：