高考数学:孩子说「这些题我都会」,为什么还是错?

小满锦囊 · 第 10 期　｜　高中数学 · 导数

孩子说「这些题我都会」，为什么还是错？

导数第三课：从「会做」到「做对」，差的是三套流程。

一、　三个场面

导数讲到第三期。公式背了（第 8 期），口诀记了（第 9 期），这一期回答最后一个问题：怎么把会做的题，做对。

场面一。你问孩子“会吗”，他说会。翻开解析，每一步都点头；合上解析自己写——写到一半停住了。这不是没学会，是从来没人告诉他，拿到题的第一步该往哪看。

场面二。刷完一整页导数题，老师批下来：“过程都对，答案错。”再一看——最后一步，没化简。

场面三。切线方程做了三步，第四步卡住：切点的纵坐标，他把导函数代进去了。题目要的是原函数。

三个场面，一个共同点：不是不会，是没流程。这一期把三套流程讲完——判断题怎么查，计算题怎么分，切线题怎么走。

切点呢？你代的是哪个式子？——求导 → 代 k → 切点 → 点斜式

二、　判断题：先对号，再挑刺

老师先出两道判断题。孩子的做法是四个选项挨个试；老师的做法快得多——每个选项先回基本公式“对号入座”，再挑刺。

第 1 题　下列函数求导正确的是（　）

×A. (sin x)′ = −cos x　—— 多了负号

×B. (cos x)′ = sin x　—— 少了负号

×C. (2ˣ)′ = x·2ˣ⁻¹　—— 把指数函数套了幂函数的模板

√D. (1/x)′ = −1/x²　—— 正确，老师叮嘱：当结论直接记

D 选项老师给了两种算法：把 1/x 写成 x 的负一次方，套幂函数公式；或者用商法则硬算——两条路殊途同归。他顺势叮嘱：“这个结果经常考，可以当个结论来记。”

第 2 题　下列各式正确的是（　）

×A. (logₐx)′ = 1/x　—— 少了 ln a

×B. (logₐx)′ = ln a / x　—— ln a 的位置放错了

×C. (3ˣ)′ = x·3ˣ⁻¹　—— 又是幂函数模板

√D. (3ˣ)′ = 3ˣ·ln 3　—— 正确，aˣ 公式的原样应用

两道题排查下来，老师其实在做同一件事——三查：

负号在不在　·　ln a 有没有　·　模板对不对

选择题不考“会不会”，考的是“找得出错吗”。三查在手，错的选项自己会现形。

两道判断题的完整排查：先对号，再挑刺

三、　10 道计算题，其实只有 4 类

判断题练的是眼力，接下来十道计算题练的是手。老师没有挨道讲，而是先把十道题分成四类——

一类，和差。拆开逐项求导，加减号照抄。x² − ln x、−x³ + 3x² 都在这里。

二类，乘法。前导后不导。cos x·ln x 这种，两项都不能少。

三类，商。分母平方、中间减号。eˣ/(x−2)、cos(2x+1)/x、x²/cos 2x——后两道的上导、下导里还套着复合，是十道题里最难的两道。

四类，套着或者要变形。ln(6x+4)、√(2x−1) 用复合三步；1/x² + sin(x/2)cos(x/2) 得先化简再动手。

分完类你会发现：认出是哪一类，动作就自动出来了。十道题每一道的完整步骤，都在下面这张卡里——建议存下来，让孩子对照。

10 道题的完整分类卡：每一题属于哪类、结果是什么

四、　最值钱的一步：先化简，再求导

十道题里，老师两次停下来，讲的都是同一个动作。

第一次是 1/x² + sin(x/2)cos(x/2)。用乘法口诀硬算后半段，又长又容易错；老师认出它是正弦二倍角的一半，先写成 ½sin x——再求导，就剩两步。

第二次是 √(2x−1)。公式表里根本没有根号——先写成二分之一次方，再套复合三步，一步到位。还有 (x−1)² 这种，直接展开成 x² − 2x + 1，普通加减法就做完了，复合都省了。

老师原话：“能先计算先计算。”

求导本身不难，难的是把一个能化简的式子硬着头皮往下算。动手之前多看一眼，后面少走一半路。

五、　切线方程：固定四问

最后是综合题，也是导数大题第一问的固定形态。

f(x) = x − (ln x)²，求它在点 (1, f(1)) 处的切线方程

老师拿到题，先攻最难的地方：(ln x)² 的导数求起来麻烦，先单独求出来——外面像 x²（导数 2x），里面是 ln x（导数 1/x），外导乘内导，得 2ln x / x。第 9 期的口诀，在这里又用了一次。

然后，固定四问：

① 先求导　难项单独攻：f′(x) = 1 − 2ln x / x

② 求斜率　切点横坐标代进导函数：k = f′(1) = 1

③ 求切点　代入原函数：f(1) = 1，切点 (1, 1)

④ 点斜式　y − 1 = 1·(x − 1)，化简得 y = x

四步走完，答案就是 y = x

最要命的一处：切点的纵坐标，代的是原函数 f(1)，不是导函数 f′(1)。代错了，前面全白算。

切线四问：求导 → 代 k → 求切点 → 点斜式

高考也是这么走的。两道真题，一道顺着走，一道倒着走——

真题1 · 2026 全国一卷 · 第 4 题

曲线 y = 5x + 8ln x 在点 (1, 5) 处的切线方程为（　）

顺着四步走：求导 y′ = 5 + 8/x；代 x = 1，k = 13；切点 (1, 5) 题目已给；点斜式 y − 5 = 13(x − 1)，即 y = 13x − 8，选 D。整道题没有一步靠灵感，全是流程。

真题2 · 2024 新课标Ⅰ卷 · 第 13 题

曲线 y = eˣ + x 在点 (0, 1) 处的切线，也是 y = ln(x + 1) + a 的切线，则 a = ＿＿

这题要倒着走：先给第一条曲线走四步，得切线 y = 2x + 1；再让第二条曲线的导数 1/(x+1) 等于 2，解出切点横坐标 x = −1/2；切点既在切线上又在曲线上，代回去，a = ln 2。流程熟练了，倒着走也能走通。

六、　麻烦转给孩子

数学导数这个板块（第 8、9、10 期）到这里收官：第 8 期公式，第 9 期口诀，第 10 期流程。三句话可以转给孩子——

判断题，先对号再挑刺；计算题，认出类别再动手；切线题，四步走完再检查。

会做，和做对，差的是流程

下一期，我们换一个板块继续。

麻烦你转给孩子看一眼，尤其是那句「切点代的是原函数，不是导函数」。

七、　资料分享

这期分享：《导数与单调性 · 极值最值 · 零点》高考真题专项训练30题

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