高考数学:算不出来的题,画一下就有了

小满锦囊 · 第 11 期　｜　高中数学 · 选填提速

算不出来的题，画一下就有了

选填里最快的一条路：把式子变成一张图。

一、　有一道题，孩子只能空着

先看一道真题，2018 年全国Ⅰ卷理科第 9 题。题目只说：

f(x) = eˣ（x ≤ 0）；f(x) = ln x（x > 0）

g(x) = f(x) + x + a。若 g(x) 存在 2 个零点，求 a 的取值范围

你问孩子为什么不动笔，他说：“分段函数，还带一个 a，两边都要讨论，讨论不完。”

他没说错。真按代数做，要分 x ≤ 0 和 x > 0 两段，各解一个方程、各判一次根，最后还要把结果合起来——考场上没这个时间。

但考场上有一类孩子，拿到这种题先干一件事：画图。

他们把 g(x) = 0 改写成 f(x) = −x − a：左边是题目给定的曲线，右边是一条斜率固定为 −1 的直线，只有一个地方能动——截距。图一画出来，答案自己浮出来：直线往下移，交点个数不变；往上移，过了某个点就少一个。

题目给的是式子，答案藏在图上。

盯着式子算，越算越慌；画出来看一眼，答案就在交点上

二、　方程的根，就是图象的交点

为什么画个图就能出答案？因为“方程有几个根”和“两条曲线有几个交点”，本来就是同一件事。

g(x) = 0 有两个零点，等价于 f(x) 与 y = −x − a 有两个交点，等价于那条直线停在某个位置范围里。三句话说的是一个意思，只是代数问“解是多少”，图形问“交在哪里”——而选填恰好只问“有几个”。

式子问“是多少”，图形问“有几个”。

动作固定三步：拆 → 画 → 移。

① 拆　把方程拆成左右两条线——左边是题目给的曲线，右边是那条能动的直线

② 画　画准三样东西：端点、顶点、渐近线——这三样错了，图就骗人

③ 移　让能动的那条线平移或旋转，盯住交点个数在哪一刻变了——边界就在那一步

数形结合三步：拆 → 画 → 移

三、　三道题，看完就会

三道例题，把三个动作各演一遍。第一道——

|log₂x| = (1/2)ˣ，问实根个数

左边：对数图象加绝对值，x 轴上方的部分不动，下方的翻上去，成一个“V”。右边：底数小于 1 的指数曲线，从左上一路降到贴着 x 轴。两条线只有两处相交，实根 2 个。

这里的顺手之处：含绝对值的图象，先画原函数，再把 x 轴下方的翻上去——不用一上来就分 x>1、0     <x<1 去讨论。< span>      </x<1>

x² − 2|x| = a 有 4 个不同的实根，求 a 的取值范围

f(x) = x² − 2|x| 是偶函数，图象左右对称；x ≥ 0 时就是 x² − 2x，顶点 (1, −1)、过原点——整条曲线是个“W”，最低 −1。再画一条水平线 y = a，让它从上往下扫：a > 0 时 2 个交点；a = 0 时 3 个；−1 < a < 0 时 4 个；a = −1 时 2 个；再往下 0 个。所以 −1 < a < 0。

这类题的通用姿势：参数单独放一边，另一边是一个定死的图象，然后让水平线扫一遍——比对着式子讨论快得多，还不会漏。

f(x) = |x−1| + |x+2|。若 f(x) ≥ a 恒成立，求 a 的最大值

两个绝对值相加，图象是一条折线：先降、再平、再升。先找两个“拐点”——−2 和 1，中间那一段是水平线，高度 3，这就是整条折线的最低处。“f(x) ≥ a 恒成立”就是整条折线都得在 y = a 上方，所以水平线最高只能贴到 3——a 的最大值是 3。

看清楚：三道题没有一道是“算”出来的，全是画完之后看出来的。

三道例题与各自的草图：交点个数、水平线扫描、折线最低点

四、　高考也是这么考的

两道真题，官方答案自己就是画图做的。

真题1 · 2018 全国Ⅰ卷 · 理科第 9 题

就是开头那道：g(x) = f(x) + x + a 有 2 个零点，求 a

官方解析第一句话就是“画出 f(x) 的图象”。x ≤ 0 时 eˣ 从 0 爬到 1（x = 0 处取到 1）；x > 0 时 ln x + x 从 −∞ 一路上升，两支在 x = 0 处断开。直线 y = −x − a 斜率固定是 −1，只能上下平移。看图：直线只要不高过点 (0, 1)，左右两支各交一次，正好两个零点——于是 −a ≤ 1，即 a ≥ −1，选 C。

看清楚：这不是取巧，这是官方解析给的标准路线。命题组把这道题放在第 9 题，考的就是“会不会把零点问题搬上图象”。

真题2 · 2021 新高考Ⅰ卷 · 第 7 题

若过点 (a, b) 可以作曲线 y = eˣ 的两条切线，则（　）

A. eᵇ < a　　B. eᵃ < b　　C. 0 < a < eᵇ　　D. 0 < b < eᵃ

标准解法要设切点、写切线方程、构造关于切点横坐标的函数、求导找最大值——一道小题写满半页。图形解法：先画 y = eˣ，看点 (a, b) 在哪。在曲线上——只能作一条切线（它自己）；在曲线上方——一条都作不出来；在曲线下方、且在 x 轴上方——正好两条。把 (a, b) 和曲线一比：b < eᵃ 且 b > 0，选 D。

这个“三档”不是背出来的，是把点挪一挪、看一眼出来的。这也正是数形结合最值钱的地方：它把“算”换成了“看”。

五、　这条路的边界，也要讲清楚

方法讲完，必须把边界一起给孩子，不然就是把歪招递出去了。

数形结合能“看出位置”，不能“算出数值”。

题目要具体的根、具体的坐标，图上只看得见“在哪个区间”，数不出来，还得回去算；解答题不能只画图——图形是思路，卷面上要写的是推理和计算；两条线贴得很近、疑似相切的时候，肉眼经常看错，代两个值验一下再下结论；图形随参数“变形状”而不只是平移时，草图就不可靠了，老老实实算。

该画与别硬画：图能定位置，不能定数值

还要补一句：画不准的图比不画更危险。所以第②步里“端点、顶点、渐近线”三样必须画准，拿不准就用特殊值代一两个点校验——图是选填的望远镜，不是解答题的答题纸。

六、　麻烦转给孩子

第 8、9、10 期教的是“怎么把导数算对”，这一期教的是“算不动的时候，先停下来画一张图”。三句话可以转给孩子——

拿到方程，先想“它是什么形状”；参数放一边，让线动起来；画准端点、顶点、渐近线。

算不动的时候，先画一张图。

下一期，我们换一个板块继续。

麻烦你转给孩子看一眼，尤其是那句「官方解析的第一句话就是：画出图象」。

七、　资料分享

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