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高一数学上学期期中模拟卷

发布时间：2026-10-29 00:01:50 最近访问：2026-10-29 00:01:50

高一数学上学期期中模拟卷

适用年级：高一｜满分：150 分｜建议用时：120 分钟

第一部分：完整试题

请先独立完成全部试题，再查看文末答案与详细解析。

高一数学期中机动模拟卷（一）

满分 150 分　　建议用时 120 分钟

班级：____________　姓名：____________　学号：____________

一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分）

1．已知集合 A={x|log₂(x+1)≤2}，B={x|x²≥1}，则 A∩B=（　　）

A．[−1,3]B．[1,3]

C．(−1,3]D．[1,+∞)

2．设 a∈ℝ。条件 p 为“−1<a<1”，条件 q 为“对任意 x∈ℝ，都有 x²−2ax+1>0”。则 p 是 q 的（　　）

A．充分必要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

3．命题 p：“∀x∈[0,2]，x²+1>ax”的否定为（　　）

A．∀x∈[0,2], x²+1≤axB．∃x∈[0,2], x²+1<ax

C．∃x∈[0,2], x²+1≤axD．∀x∈[0,2], x²+1≥ax

4．当 x>1 时，函数 f(x)=x+4x−1 的最小值为（　　）

A．4B．5

C．6D．9

5．下列函数中，在其定义域内为偶函数，且在 (0,+∞) 上严格递增的是（　　）

A．f(x)=ln(x²)B．f(x)=2^x−2^−x

C．f(x)=log_1/2(x²+1)D．f(x)=1x²+1

6．已知定义在 ℝ 上的偶函数 f(x) 在 [0,+∞) 上严格递增，且 f(1)=0。则不等式 (x−2)f(x)<0 的解集为（　　）

A．(−1,1)∪(2,+∞)B．(−∞,−1)∪(2,+∞)

C．(−1,2)D．(−∞,−1)∪(1,2)

7．设 f(x)=log_1/2(3^x+1)。若 f(a²)>f(3a−2)，则实数 a 的取值范围为（　　）

A．[1,2]B．(−∞,1)∪(2,+∞)

C．(1,2)D．(−∞,1]∪[2,+∞)

8．关于 x 的方程 2^2x−(m+2)2^x+2m=0 恰有一个实数解，则实数 m 的取值集合为（　　）

A．(−∞,0]∪{2}B．(0,+∞)

C．{2}D．(−∞,0)∪{2}

二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分）

每题有多个选项符合题意。全部选对得6分；部分选对且无错选得3分；有错选或未选得0分。

9．设正实数 x,y 满足 xy=1，下列结论正确的是（　　）

A．x+y≥2

B．x²+y²≥2

C．1x+y≥12

D．(x+1)(y+1) 的最小值为 4

10．下列结论正确的是（　　）

A．√((√(2)−2)²)=√(2)−2

B．log₂3·log₃4=2

C．函数 y=√(x²−4x) 的一个单调递增区间为 [2,+∞)

D．函数 y=lnx−1x+1 的图像关于原点对称

11．已知函数 f(x) 的定义域为 ℝ，且对任意实数 x，均有 f(x+2)=f(x)，f(x)+f(−x)=2。下列结论一定正确的是（　　）

A．f(0)=1

B．函数 y=f(x) 的图像关于点 (1,1) 中心对称

C．函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=1 对称

D．f(12)+f(32)=2

三、填空题（共3题，每题5分，共15分）

12．设 a=log₂3，则 log₁₂18=__________（用 a 表示）。

13．函数 f(x)=log₂(m+x)+log₂(m−x) 在 [−1,1] 上均有定义，且存在 x∈[−1,1] 使 f(x)=1，则实数 m 的取值范围为__________。

14．若对任意 x∈[1,2)，总存在 y∈[1,3]，使 log₂(x+1x)+log₂(y+9y)=log₂m，则实数 m 的取值范围为__________。

四、解答题（共5题，共77分）

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）设 P=(−2,4]，Q={x|a−1≤x≤2a+1}，其中 a∈ℝ。（1）若 P∪Q=P，求 a 的取值范围；（2）若 P∩Q≠∅，求 a 的取值范围。

16．（15分）已知 f(x)=(p²−p−1)x^p−1 是幂函数，且 f(12)>f(2)。（1）求 p 及 f(x) 的解析式；（2）解关于 a 的不等式 f(a−1)≥f(2a+1)。

17．（15分）

（1）已知 a>0 且 a≠1，函数 F(x)=log_a(x²−2x+3) 在 [1,+∞) 上严格递减，求 a 的取值范围；

（2）函数 G(x)=2^mx+1x+2 在 [0,+∞) 上严格递增，且对任意 x≥0 都有 G(x)<4，求 m 的取值范围。

18．（17分）

（1）设 g(x)=(2^x−3)²+(2^−x−3)²，求 g(x) 在 [0,2] 上的最小值及此时 x 的值；

（2）已知 f(x)=log₃x，h(x)=f(3x)[2−f(x)]。当 x∈[13,9] 时，求 h(x) 的最大值、最小值及各自对应的 x。

19．（17分）设 F(x)=2^2x−4·2^x+10。

（1）用单调性的定义证明：F(x) 在 (1,+∞) 上严格递增；

（2）设 a>1，G(x)=log_aF(x)。是否存在常数 1<m<n，使 G(x) 在 [m,n] 上的值域恰为 [1+mlog_a2, 1+nlog_a2]？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由。

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第二部分：参考答案与详细解析

建议先独立完成全部试题并认真检查，再继续阅读以下答案与解析。

高一数学期中机动模拟卷（一）

参考答案与详细解析

本册供教师核对使用。解答题采用独立累加的建议分步评分；合理的等价解法按相应步骤给分。

一、单项选择题

答案速查　1 B　2 A　3 C　4 B　5 A　6 D　7 C　8 A

1．【答案】B

由真数条件及对数函数的单调性，A=(−1,3]；B=(−∞,−1]∪[1,+∞)。故 A∩B=[1,3]。注意 x=−1 不属于 A。

2．【答案】A

x²−2ax+1=(x−a)²+1−a²，其最小值为 1−a²。故 q⇔1−a²>0⇔−1<a<1⇔p。两端 a=±1 时可取 x=a 使式子为零，均不符合严格大于零。

3．【答案】C

全称量词变为存在量词，同时将“>”否定为“≤”，原量词范围保持不变。故选 C；B 漏掉了等号。

4．【答案】B

令 u=x−1>0，则 f(x)=1+u+4u≥1+2√(4)=5。当且仅当 u=2，即 x=3 时等号成立。

5．【答案】A

A 的定义域为 ℝ∖{0}，关于原点对称，且 f(−x)=f(x)；在正半轴上 x² 与 lnx 都严格递增。B 为奇函数，C、D 在正半轴上均严格递减。

6．【答案】D

由偶性知 f(x)=f(|x|)。故当 |x|>1 时 f(x)>0，当 |x|<1 时 f(x)<0，在 x=±1 时为零。按 −1,1,2 分段判断乘积符号，得 x<−1 或 1<x<2。

7．【答案】C

3^x+1>0，定义域为 ℝ。内层严格递增，外层严格递减，故 f 严格递减。原不等式等价于 a²<3a−2，即 (a−1)(a−2)<0，得 1<a<2。

8．【答案】A

令 t=2^x>0，原方程化为 (t−2)(t−m)=0。t=2 总对应一个实数解；当 m≤0 时，另一根不为正；当 m=2 时为同一个正根；当 m>0 且 m≠2 时有两个不同正根。故答案为 (−∞,0]∪{2}，其中 m=0 应保留。

二、多项选择题

答案速查　9 ABD　10 BD　11 ABD

建议评分：全部选对6分；部分选对且无错选3分；有错选或未选0分。

9．【答案】ABD

A：x+y≥2√(xy)=2，正确，等号在 x=y=1 时成立。

B：x²+y²=(x−y)²+2xy≥2，正确。

C：由 x+y≥2 得 1x+y≤12。例如 x=2,y=12 时严格小于 12，故 C 错误。

D：(x+1)(y+1)=2+x+y≥4，且 x=y=1 时取得 4，正确。

10．【答案】BD

A：√((√(2)−2)²)=|√(2)−2|=2−√(2)≠√(2)−2，错误，不能漏掉绝对值。

B：由换底公式，log₂3·log₃4=log₂4=2，正确。

C：定义域为 (−∞,0]∪[4,+∞)，[2,+∞) 不包含于定义域，故错误。其正半轴上的单调递增区间为 [4,+∞)。

D：定义域为 (−∞,−1)∪(1,+∞)，关于原点对称；f(−x)=lnx+1x−1=−f(x)，故为奇函数，D 正确。

11．【答案】ABD

A：令 x=0 得 2f(0)=2，所以 f(0)=1，正确。

B：f(2−x)=f(−x)=2−f(x)，故 f(2−x)+f(x)=2，图像关于 (1,1) 中心对称，正确。

C：轴对称要求 f(2−x)=f(x)，题设并不保证。例如在整数处令函数值为 1，在 (0,1) 上取值 2，在 (1,2) 上取值 0，再以 2 为周期延拓。该函数满足题设，但 f(12)=2≠0=f(32)，故 C 不一定成立。

D：将 x=12 代入 B 中恒等式，得 f(32)+f(12)=2，正确。

三、填空题

12．【答案】1+2a2+a

由换底公式，log₁₂18=log₂18log₂12=1+2log₂32+log₂3=1+2a2+a。底数 12>0 且不为 1，真数 18>0。

13．【答案】[√(2),√(3)]

在整个 [−1,1] 上均有定义，等价于 m>1。此时 f(x)=log₂(m²−x²)。

当 x∈[−1,1] 时，m²−x²∈[m²−1,m²]。存在 f(x)=1 等价于 m²−1≤2≤m²。结合 m>1，得 √(2)≤m≤√(3)。两端分别由 x=0、x=±1 取得，故端点均保留。

14．【答案】[15,20]

令 u=x+1x，在 [1,2) 上严格递增，值域为 [2,52)；令 v=y+9y，在 [1,3] 上严格递减，值域为 [6,10]。两项单调性可分别用作差后的因子 1−1/(x₁x₂)、1−9/(y₁y₂) 判断。

所有真数均为正，原等式等价于 m=uv。对固定 u∈[2,52)，存在 v∈[6,10] 等价于 6u≤m≤10u。

对所有这样的 u 均成立，须且只须 m≥15 且 m≤20。必要性：u=2 给出 m≤20；若 m<15，可取足够接近 52 的 u 使 6u>m。

充分性：若 15≤m≤20，对任意 2≤u<52，均有 6u<15≤m≤20≤10u，所以 m/u∈[6,10]，相应的 y∈[1,3] 必存在。故答案为 [15,20]。u=52 未取到，不使下端点 15 被排除。

四、解答题

15．（13分）设 P=(−2,4]，Q={x|a−1≤x≤2a+1}，其中 a∈ℝ。（1）若 P∪Q=P，求 a 的取值范围；（2）若 P∩Q≠∅，求 a 的取值范围。

【主要知识点】区间运算、包含关系、空集分类与端点判断。

【解题思路】先判定 Q 是否为空集，再分别把包含或相交关系转化为端点条件。

【规范解答】

（1）P∪Q=P⇔Q⊆P。由 a−1>2a+1 得 a<−2，此时 Q=∅，满足条件。

当 a≥−2 时，Q=[a−1,2a+1] 非空。因 P 左端开、右端闭，包含关系等价于 a−1>−2 且 2a+1≤4，即 −1<a≤32。

综上，（1）a∈(−∞,−2)∪(−1,32]。在 a=−2 时，Q={−3}，不满足包含；a=−1 时含 −2，也不满足。

（2）相交非空首先要求 a≥−2。此时两个区间有公共元素，须且只须 2a+1>−2 且 a−1≤4，解得 −32<a≤5。

该范围已满足 a≥−2。故（2）a∈(−32,5]。a=−32 时仅在被 P 排除的点 −2 处相接，交集为空；a=5 时公共点为 4，应保留。

【建议分步评分】以下各项独立计分。

1分　将并集条件转化为包含关系。

2分　判出 a<−2 时为空集且满足条件。

3分　非空时正确列出两项端点条件并解出范围。

1分　合并得到第（1）问结论。

1分　第（2）问先要求 Q 非空。

3分　列出相交的两项端点条件并求解。

2分　写出第（2）问范围并核对两端。

合计：13分。

解答题续

16．（15分）已知 f(x)=(p²−p−1)x^p−1 是幂函数，且 f(12)>f(2)。（1）求 p 及 f(x) 的解析式；（2）解关于 a 的不等式 f(a−1)≥f(2a+1)。

【主要知识点】幂函数定义、单调性、完整定义域与含参数不等式。

【解题思路】先用幂函数系数为 1 确定候选参数；再选出函数，按分母非零条件化为平方比较。

【规范解答】

（1）由幂函数的定义，p²−p−1=1，即 (p−2)(p+1)=0，所以 p=2 或 p=−1。

p=2 时，f(x)=x，不满足 f(12)>f(2)；p=−1 时，f(x)=x⁻²=1x²，且 f(12)=4>14=f(2)，符合条件。故 p=−1，f(x)=1x²。

（2）函数定义域为 ℝ∖{0}，所以先要求 a≠1 且 a≠−12。

在上述条件下，两分母的平方均为正，原不等式等价于 1(a−1)²≥1(2a+1)²，即 (a−1)²≤(2a+1)²。

化简为 3a(a+2)≥0，得 a≤−2 或 a≥0。剔除使原式无定义的 a=1；−12 本来不在所得范围内。

故解集为 (−∞,−2]∪[0,1)∪(1,+∞)。在 a=−2,0 时两边均有意义且相等，故保留。

【建议分步评分】以下各项独立计分。

2分　利用系数条件解出两个候选 p。

4分　分别检验并得出 p 与解析式。

2分　列出两个自变量不为零的限制。

3分　在正分母条件下正确化为平方比较。

2分　解得二次不等式。

2分　剔除无定义点并给出完整解集。

合计：15分。

解答题续

17．（15分）（1）已知 a>0 且 a≠1，函数 F(x)=log_a(x²−2x+3) 在 [1,+∞) 上严格递减，求 a 的取值范围；（2）函数 G(x)=2^mx+1x+2 在 [0,+∞) 上严格递增，且对任意 x≥0 都有 G(x)<4，求 m 的取值范围。

【主要知识点】复合函数单调性、对数底数、分式指数与恒成立条件。

【解题思路】第（1）问先看内层二次函数；第（2）问用作差确定增减，再将指数小于 2 化为一次式恒成立。

【规范解答】

（1）令 u=x²−2x+3=(x−1)²+2。在 [1,+∞) 上，u≥2>0 且严格递增。

因 F 严格递减，外层 log_au 必须严格递减，故 0<a<1。反之，该范围内内增外减，确实满足题意，故 a∈(0,1)。

（2）令 H(x)=mx+1x+2，分母在 [0,+∞) 上恒正。任取 0≤x₁<x₂，有 H(x₂)−H(x₁)=(2m−1)(x₂−x₁)(x₁+2)(x₂+2)。

由于 2^t 严格递增，G 严格递增等价于 2m−1>0，即 m>12。等号时为常函数，不合题意。

又 G(x)<4⇔H(x)<2⇔(m−2)x<3。该式对所有 x≥0 成立，当且仅当 m≤2：若 m≤2 则左边不大于零；若 m>2，取 x=3m−2 即不满足严格不等式。

两项条件合并得 m∈(12,2]。当 m=2 时，H(x)=2−3x+2<2 且严格递增，故右端应保留。

【建议分步评分】以下各项独立计分。

3分　第（1）问说明内层定义条件及严格递增性。

3分　正确分类底数并给出必要性、充分性。

3分　第（2）问写出作差式或等效单调性论证。

2分　得出严格递增条件。

3分　证明恒小于 4 的充要条件。

1分　合并范围并保留正确端点。

合计：15分。

解答题续

18．（17分）（1）设 g(x)=(2^x−3)²+(2^−x−3)²，求 g(x) 在 [0,2] 上的最小值及此时 x 的值；（2）已知 f(x)=log₃x，h(x)=f(3x)[2−f(x)]。当 x∈[13,9] 时，求 h(x) 的最大值、最小值及各自对应的 x。

【主要知识点】指数与对数换元、换元后的区间、二次函数最值及回代。

【解题思路】第（1）问以互为倒数的指数和换元；第（2）问以对数换元。两问均先确定新变量范围，再用配方及端点比较。

【规范解答】

（1）令 t=2^x+2^−x。当 0≤x₁<x₂ 时，t(x₂)−t(x₁)=(2^x₂−2^x₁)(1−2^{−(x₁+x₂)})>0，故 t 在 [0,2] 上严格递增，t∈[2,174]。

展开原式，并用 4^x+4^−x=t²−2，得 g=(t²−2)−6t+18=t²−6t+16=(t−3)²+7。由于 3∈[2,174]，最小值为 7，在 t=3 时取得。

令 u=2^x∈[1,4]，u+1u=3⇔u²−3u+1=0。得 u=3+√(5)2 或 u=3−√(5)2，后者小于 1，舍去。

故 g_min=7，对应 x=log₂3+√(5)2。

（2）令 s=log₃x，由 x∈[13,9] 得 s∈[−1,2]。又 f(3x)=1+s，所以 h=(1+s)(2−s)=−(s−12)²+94。

对称轴 s=12 在区间内，故最大值为 94，此时 x=3^1/2=√(3)。

两端 s=−1,2 到对称轴距离相等，且均有 h=0，故最小值为 0，在 x=13 或 x=9 时取得。真数 x,3x 在给定区间上均为正。

【建议分步评分】以下各项独立计分。

2分　第（1）问确定 t 的单调性及范围。

2分　化为二次式并配方。

2分　确定最小值与取等条件。

2分　解指数方程、舍根并回代。

3分　第（2）问换元并明确区间。

2分　正确化为二次函数并配方。

2分　给出最大值及对应 x。

2分　核对两端并写全最小值对应的 x。

合计：17分。

解答题续

19．（17分）设 F(x)=2^2x−4·2^x+10。（1）用单调性的定义证明：F(x) 在 (1,+∞) 上严格递增；（2）设 a>1，G(x)=log_aF(x)。是否存在常数 1<m<n，使 G(x) 在 [m,n] 上的值域恰为 [1+mlog_a2, 1+nlog_a2]？若存在，求 a 的取值范围；若不存在，说明理由。