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初、高中物理超前学的数学基础入门1 物理翻译
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适合人群：初高中物理教师、高中学生及家长
阅读时间：约10分钟
有同学问，能不能把高中物理需要的数学基础写一下。这个想法很好，但一口气写不完，也不容易读进去，所以我准备写成一个系列，分四篇：
第一篇，先讲清物理与数学的关系，把“为什么数学分数不等于物理能力”“为什么只背公式没有
用”说明白；
第二篇，按代数梳理必修一要用的数学结论，当一份可以记、可以照着补课的目录；
第三篇，按几何、三角函数与矢量梳理同样的一份结论清单；
第四篇，以物理图像为例，讲函数与函数图像在物理里的应用，把前面的工具用起来。
这是第一篇。先不急着补数学，先把“物理翻译”这件事讲明白。
先讲一个我印象很深的案例。
一个初升高数学能考110多分（满分120）的学生，学到运动学公式时，不知道函数在变化；做力的分解合成时，分解图能画出来，却不知道用哪个三角函数。
她给的理由很“充分”：数学里是 x、y，物理哪来的 x、y？数学里 sin 是 a/c，物理里为什么要这样用？
我问她：那你数学分是怎么考来的？
她回答得理所当然：
刷题啊，考试时套进去就行了。
这句话点破的，不是“数学好反而学不好物理”，而是一个更普遍的问题：她数学分数不低，但数
学在她那里只是考试时套进去的分数，不是解决计算问题的工具。
她缺的不是数学知识本身，而是数学的工具意识——不知道一个式子为什么要写、在什么情景里用、用了表示什么。
这个毛病带到物理里，就变成只记符号、背公式、套题型，没有把数学符号放回物理情景里去。
物理不是再背一套公式，而是用数学工具处理真实情景，所以一换情景就卡得更明显。
很多同学对知识的共同问题也在这里：把知识当成“答案库存”，而不是“解决问题的工具”。
数学分数可以靠刷题套题型刷出来,工具意识却刷不出来；物理恰好最不客气,一换情景就露馅。
她会解方程，但列不出物理方程；记得 sin=a/c，但斜面上一放就不知道选哪个；画得出函数图像，却说不清 x-t 图斜率、v-t 图面积在物理里是什么意思。
不是数学知识全不会，是知识没有变成工具。
所以，数学能考110多，物理却只有50多分，不奇怪。数学好，说明你有较好的数学训练；但物理要好，还多一道工序——物理翻译。
一、数学是骨骼，
但物理不能只剩骨骼
自然物理认为，数学是一切能被称为科学的骨骼。这里至少有两层意思。
第一层，没有数学能力，物理只能停留在哲学思考，不能成为科学。
这一点从牛顿的奠基之作《自然哲学的数学原理》的书名就能看出来。数学是科学赖以站立的骨架，这层意思大家比较熟悉。
第二层，数学只是骨骼，不能离开物理情景。或者说，对任何物理定义式、物理规律，只记、只背公式符号，没有任何作用。
骨骼没有披上物理情景的血肉，是很多人觉得物理无趣的根源，也是物理难学、总是学得迷迷糊糊的根源之一。
这个比喻我想说得再透一点。物理本来是一个个帮助我们认识这个世界的“帅哥美女”。
可你只得、只背下了他们的一副副骨骼，有什么趣味？有什么用？你背得出“肱骨”“股骨”“胫骨”，不等于认识这个人。
还可以换一个更古老的说法，叫有的放矢。
“的”是靶子，“矢”是箭。
物理是那个“的”，数学只是那支“矢”。
箭，是为射中靶子服务的。不少同学天天磨箭头、背箭谱，公式记得滚瓜烂熟，抬头却不知道靶子在哪儿——题目是个什么情景、要解决什么问题，一概没看清。
矢再利，没有“的”，往哪儿射？所以请记住：手里写着数学，眼睛要一直盯着物理这个“的”。
物理公式也是这样。
公式是骨骼，情景才是血肉。
只背公式，等于抱着一副骨骼标本，却以为自己认识了整个人。
很多同学学物理的痛苦就在这里：公式背了不少，题也刷了不少，可一换情景就认不出来。
因为在他脑子里，物理不是“一辆车在刹车”“一个箱子被推上斜面”“一个小球被绳子拉着转”，而是一堆 v、x、t、a、F 的符号在纸上排队。
二、物理符号不是数学里的抽象变量
物理符号，可能是物理学习中极少需要死记的东西。它和数学符号有一个很大的不同：
数学符号是抽象的变量，物理符号都有非常明确的物理意义。
数学里写 x、y，它们可以是任何数，重点在关系；物理里写 v、x、t、a、F，每一个都对应一个真实的物理量，有方向、有单位、有条件，有时还一词多义。
以必修一为例：
v 一会儿代表速度，一会儿又代表瞬时速度；
x 有时指位置，有时指位移；
t 有时指时间，有时指时刻；
到了运动学方程，有时为了方便，加速度不写负号只写大小，方程写成标量方程，更多时候又包含正负号，是矢量方程。
这就麻烦了。你如果只把 v 当成一个字母，把 x 当成另一个字母，那物理公式在你眼里就只是一串符号关系。
可物理题问的恰恰不是“这串符号怎么变形”，
而是：
这个 v 是哪一段的什么速度？
这个 x 是位置还是位移？
这个 t 是时间间隔还是某一时刻？
这个负号表示方向还是表示大小？
所以，物理公式不是抽象的变量关系，而是在特定情况、特定条件下各个物理量之间的关系。
这种关系，可以离开数学符号只用语言描述出来，但一定要依靠数学来运算。
曾经有物理老师感叹，如果中国也有字母符号，说不定更有可能先出现物理学。
换句话说：
数学是工具，物理是事情。
工具要用来办事，不能只拿来盘工具。
三、只背公式为什么没用：
物理题先考“翻译”，再考计算
数学题的条件，往往已经写在式子里；
物理题的条件，常常藏在情景里。
给你一道数学题：
已知 y=2x+1，求 x=3 时 y 是多少，你代入算就行。
给你一道物理题：
一辆汽车以 20 m/s 行驶，刹车加速度大小为 5 m/s²，问几秒停下。
你要先判断：
这是匀减速直线运动；
加速度方向和速度方向相反；
如果取初速度方向为正，加速度应取负；
然后才写 v=v₀+at，代入 0=20−5t。
如果你只背了 v=v₀+at，可能连 a 该代 5 还是 −5 都拿不准；题再换成“刹车后3秒内位移”，你直接代公式算出某个数，却没意识到汽车可能不到3秒就停了。
公式没错，错在你没有翻译情景。
物理考查的是物理思维，并不要求数学证明。
它先问你：
这是什么运动？
研究对象是谁？
过程从哪到哪？
正方向怎么取？
哪些量变、哪些量不变？
公式在这个条件下能不能用？
这些判断做完，数学运算往往并不复杂。
只背公式的人，恰恰跳过了前面所有判断直接去运算，于是式子列得挺像、数算得也对，物理情景却是错的。
四、把公式读成一句完整的物理话
怎么办？我建议第一步：
在写物理公式的时候，心里永远要把它的物理意义完整地读出来。
比如速度定义，手里写 v=Δx/Δt，心里念：
一段时间的速度，等于这段时间的位移比这段时
间；当时间比较长时，它叫这段时间的平均速度；当时间非常短时，它就可以看成这个时刻的瞬时速度。
比如匀变速直线运动的速度公式，手里写 v=v₀+at，心里念：一个过程的末速度，等于这段时间的初速度，加上这个过程的加速度与这段时间的乘积。
别小看这个“念”的过程。
念得出来，说明你至少把符号还原成了物理量；念不出来或磕磕巴巴，说明你只是记住了符号排列，并没有真正理解它们之间的关系。
实在不行，就用自己的语言完整地写一遍。写不完整，就意味着你并没有记住或理解，重新创建或推导一次。
始终牢记：
数学公式只是帮助我们书写与计算的工具。
五、一个典型坑：
比值定义法不是正比例函数
只背公式的另一个大坑，是把数学里的函数关系直接套到物理公式上。
比如速度定义式 v=Δx/Δt，有同学一看是除法，马上说：速度与位移成正比，与时间成反比。
这就错了。
正比例函数只能有两个变量，不能有三个变量。
在速度定义式里，位移 Δx 一变，对应的时间 Δt 一定跟着变，它们不是“一个变、另一个按住不变”的关系，所以不能说速度与位移成正比。
但牛顿第二定律 a=F/m 就不一样。
合外力 F 变化时，可以保持质量 m 不变；
质量 m 变化时，也可以保持 F 不变。
所以可以说：加速度与物体所受的合外力成正比，与质量成反比。
你看，两个式子外形都是除法，物理上的正比反比却不能乱套。
数学形式像，不等于物理关系就是。
读清了“谁在变、谁不变”，才知道这个式子在物理上到底在说什么。
六、数学弱一点，能不能学好物理
能。
但话说实在：不是“数学不重要”，而是必修一真正需要的数学工具并不多，可以边用边补。
高中物理不是让你先把整本高中数学学完再开门。必修一用到的，主要是正负号、比例关系、一次函数和图像斜率、二次函数、直角三角形里的三角函数、相似三角形、矢量的合成与分解、极限微元思想的初步。
它们当然要会，但不需要你一开始就达到数学竞赛的水平。
更重要的是，物理情景会反过来帮你理解数学。
你单纯看 v-t 图像可能觉得就是一条线，可放到物理里，斜率是加速度、面积是位移，图像一拐弯，运动情景就变了；
你单纯记三角函数可能不知道什么时候用 sin、什么时候用 cos，可画一个斜面、把重力按效果一分解，边角关系就出来了。
如果数学确实有点弱，还有一个可以取巧的办法：把图做规范一点，或者把角度画得偏离45度远一点，很多高考题通过作图都可以选出来。
这不是根本办法，但能帮你先入门、先建立信心。根本办法还是把工具用熟，用物理情景带着数学工具走。
入门阶段最怕的，不是数学弱，而是只背公式、不肯翻译情景。
七、上了考场：
把“列方程”和“解方程”分开
这一部分，请数学不太好的同学尤其认真看，因为它直接关系到你能不能及格。
你先要想明白一件事：
物理学习也好，上考场也好，考的都是物理思维和能力，不是数学运算。一张物理卷，真正拿计算来考你的分少得很。
所以下面这两件事，你心里一定要分得开：
列方程，是物理。
选研究对象、分析运动和受力、定正方向、找到等量关系，然后把方程一个一个列出来——这是“翻译”，是主要的得分点。
解方程，是数学。
方程列好以后，移项、代入、求解——这是后面的技术活。
分清楚这两件事，一个让人松一口气的结论就出来了：数学基础、运算基础差，只可能影响你的高分，不会影响你物理考及格。
难题最后那点结果分、运算分，你也许拿不到；但只要物理关系看对了、方程列对了，绝大部分步骤分已经在手里。
真正让人物理不及格的，从来不是算得慢，而是方程列错、情景翻译错——那是物理没懂，不是数学不行。
顺着这个道理，考场书写有一条硬规矩：
方程要一个一个地列，千万不要写连方程。
物理是按步骤计分的。
你老老实实地写：由受力分析得到第一个方程，由运动学关系得到第二个方程，再列第三个——对一个方程，就给你一个方程的分。
哪怕最后数没算出来，前面这些方程的分，老师一分都扣不掉。
可有些同学图省事，把三四个方程用等号一路连到底，写成一长串。
这种“连方程”，只要中间任何一步错了一个符号、代错一个量，整串一起判错——一错全错，一分没有。
本来能拿三步的分，结果全押在最后一个数上，太不划算。
所以我的建议是：哪怕你运算没把握，也要把对象、分析、一个个独立方程工工整整地摆到卷面
上，再单独去解。
把物理的分先稳稳揣进兜里，再去赚数学的分。
还有一层，是给运算没把握的同学松绑：
物理解题并不看重运算过程。
练习和考试时，你不需要把怎么移项、怎么消元一步步写清楚——方程一个一个单独列好，最后写一句“联立解得”，直接给出结果就行。
老师在黑板上演示计算过程，是为了让暂时不会解方程的同学看明白“这个方程怎么解”，不是要求你把演算抄到卷面上。
演算放草稿纸，卷面上只留方程和结论，既干净，又把该拿的分都留下了。
道理讲完了，接下来就动真格的。
从下一篇起，我把高一物理一上来要用的数学，一样一样列给你——先说代数
本篇自测三问：
你能不能把 v=Δx/Δt 完整读成一句物理话，并说清平均速度与瞬时速度怎么过渡？
2. 你能不能解释：为什么速度不能简单说与位移成正比，而加速度可以说与合外力成正比？
3. 给你一个力的分解图，你能根据角度选对 sin 和 cos 吗？
自由落体不是一个孤立的运动模型，而是多种物理思想方法的汇聚。
它让学生看到，物理学通过质疑、推理、实验、建模和规律迁移，一步步理解真实世界。
当学生理解了这些方法，后面的重力场、电场、曲线运动以及守恒规律，就会成为同一思想方法在不同情境中的继续生长。
数学是箭，物理是靶；
数学是骨骼，物理情景才是血肉。
别把物理学成背骨骼、空磨箭。
愿每个孩子们眼中有光、手里有法、脚下有路！
平哥物理学·自然物理｜
高中物理数学基础入门（一）
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愿世界上所有的学生都能觉醒“学习力”。我是平哥，42年高中物理教师，专注探索学习的本质，体系化解决学生学习问题，感谢你的阅读。
