研究生写的教案,被本科生上了一课

当我们把一份研究生的教学设计，原封不动地搬进本科生的《数学教学论》课堂，让大家把它拆开、讨论、再优化时，我们究竟在做什么？

是把一堂师范生的专业课，上成一次真实的教学研究演练。2026年11月13日，数学与应用数学2024级2班的《数学教学论》课上，我拿出自己带的第一个研究生的一份《余弦定理》教学设计，交给全班以小组为单位展开研讨。设计者本人不在现场——她要听的，是同门学弟学妹对她作品的"体检报告"。

这份设计长什么样

这份设计，结构完整，要素齐全。教学内容分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教学过程、分层作业设计、教学反思，七个部分环环相扣，是一条从课标到课堂的标准链路。

教学方法的选取上，用了问题驱动法与探究式教学法两条主线。课件里用机械臂做动态演示，把"三角形中边与角的关系"这类抽象内容，转成可视化的图形变化；导入从兰新铁路隧道测距的真实问题切入，引导学生借助向量完成定理推导，再以例题巩固应用。课标要求很明确——借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、能用它解决简单的实际问题。他的目标设定也紧扣这一点：理解向量法推导的过程，会应用余弦定理及其推论解三角形，并在推导中体会数学转化思想、提升逻辑推理能力。

六个问题与两组汇报

研讨提纲给了六个问题，从"设计包含哪些部分""用了什么教学方法"，到用青浦经验四条原理、波利亚给数学教师的十条建议、弗赖登塔尔关于数学教学的五句话、维果茨基的最近发展区理论，以及实践知能模型（李海，2019）逐一审视这份设计，再到提出优化方案、画出教学流程图、比较导入情境的得失。

两组汇报最有看头。

褚同学小组提了三条优化：增加批判性辨析，把勾股定理在钝角、直角、锐角三角形中的情形摆在一起对比，让学生看清余弦定理对三角形类型的判断作用；增加易错点提示，强调边角对应关系——角A对应边a，照此辨析边与角的对应；把小结改成学生自主梳理思维导图，用学生的归纳取代教师单向总结。他们还对导入动了心思，抛出一个"放风筝"的情境：已知风筝线长和它与地面的夹角、已知大树到人的距离，求风筝到大树的距离——这不是直角三角形，勾股定理失效，顺势引出余弦定理。

我让她先把图画清楚，又追问：怎么算？到树的距离是到树底还是树顶？他解释，若算到树顶，得先用勾股定理算人到树底的距离、再算树高加上去；我认为可以先让学生算到树底。这个导入"挺新的"，但我也直说，它"感觉在没事找事一样"，值得商榷。

第九组的分析更系统。他们先厘清了设计的构成与理论基础，又用青浦经验、弗赖登塔尔、维果茨基最近发展区、实践知能模型和波利亚的原理串成一条结论：教学应以实际问题为情境平台，引导学生自主思考、推导结论，从旧知搭建新知，在原有水平上探究新定理。原设计的兰新铁路隧道测距，被他们归为"实用类应用型情境"——从测距困难引出数学问题，贴合弗赖登塔尔"情境是数学教学的平台"一说，能让学生体会数学的应用价值。他们给出的创新思维是用卫星定位或无人机测绘：无人机测得地面两点与目标的距离、已知两边及其夹角，求两点间直线距离，恰好是余弦定理 c²=a²+b²-2ab·cosC 的用武之地。四条优化方案也实在：增加猜想验证活动，借助工具改变三角形角度、先猜想再证明；补充几何证明思路，在向量法之外简要给出几何视角；增加当堂反馈的小测，快速捕捉易错点；把小结交还学生自主归纳、教师补充完善。

用理论的透镜看设计

六个问题里，最见功力的第五个——把教学理论落到一份具体设计上。摊开来看，这份设计其实处处能对接上经典框架。

青浦经验的四条原理，在这里各得其所：隧道情境对应情意原理，用真实问题激活学习动机；复习向量、解直角三角形再到探究推导，是一条序进原理铺出的阶梯；探究环节本身就是活动原理的落地；而当堂小测与即时反馈，正是反馈原理的体现。

波利亚给教师的十条建议，核心是"让学生像数学家一样去发现"。第九组提议的"先猜想再证明"，正合波利亚的启发式要义——不是把结论端给学生，而是让他们自己撞见它。

弗赖登塔尔关于数学教学的五句话，在这份设计里几乎能逐句对上：情境是数学教学的平台（隧道测距）、数学化（从实际量到三角形元素）、再创造（向量法自主推导）、反思（小结归纳）、严谨性与形式化（定理表述与推论）。

维果茨基的最近发展区，解释了为什么设计要从向量数量积、解直角三角形这些已掌握的内容起步——新知必须长在旧知的边上，脚手架才立得住。

而我自己的实践知能模型（李海，2019）则提醒我们：一份好的教学设计，不只是实践知识的陈列，更是实践能力与实践情意的整体发展。写出这份设计的过程，本科生从读懂设计到挑出毛病、提出优化，本身就是职前教师实践知能在"知—能—情"三维上同步生长的过程。

导入之辩

很多教学设计容易陷入一个误区：为情境而情境，把真实问题硬塞进课堂，却忘了情境是为新知服务的。楚书文那枚"放风筝"的巧思，新则新矣，问题也正出在这里——要算风筝到树顶，得先退回勾股定理，而本节课恰恰要带领学生越过勾股定理、抵达更一般的余弦定理。导入若先绕回旧工具，逻辑上就拧了。我那句"在没事找事一样"，说的不是创意不好，而是情境与目标的咬合没对准。

这也正是研讨的价值：本科生不只学会了"这份设计长什么样"，更学会了"为什么这样设计、还能怎样更好"。那个"先算到树底还是树顶"的细节争辩，本身是一次微型的数学教学论现场课。

写在最后

课的最后，我把专业发展这件事摊开来讲了讲。一个师范生的成长，靠的是六条路径连成一线：专业阅读、专业谈论、专业思考、专业交流、专业设计、专业实践。

我讲了个馒头的故事——第一个馒头没吃饱，第二个也没吃饱，吃到第三个才饱。我们做过的每一件事，其实都是在吃第一个、第二个馒头，积累到一定程度，进步自然就来了。李阳阳从我的学生，到能拿出这样一份设计；台下的本科生从读一份设计，到能挑毛病、给方案——路径是一样的，只是各自处在不同的馒头序号上。

课后作业只有一题：我是如何习得数学教学理论的。把它发到微信群，既是收束，也是下一次研讨的起点。

这，或许就是数学教学论课堂最朴素也最动人的初心。

 附：本课涉及的几条教学理论线索——青浦经验四条原理（情意、序进、活动、反馈）；波利亚给数学教师的十条建议（启发式，让学生再发现）；弗赖登塔尔数学教育五句话（情境是平台、数学化、再创造、反思、严谨性）；维果茨基最近发展区理论；实践知能模型（李海，2019：实践知识、实践能力、实践情意三维一体）。