广东番禺中学附属学校2024~2025学年九年级9月月考数学试题答案解析_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

九年级数学 9 月作业训练 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） 2 x2 3 x2y 1 x x22y40 x2 2x10 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方 程，即可求解． 【详解】解：A、 x2y 1 ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； 2 x2 3 B、 x ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； C、 x22y40 ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； x2 2x10 D、 ，是一元二次方程，故该选项符合题意； 故选：D y x12 2. 对于二次函数 的图象，下列说法不正确的是（ ） A. 开口向下 B. 对称轴是直线𝑥=1 C. 当𝑥=1时， y 有最大值 0 D. 当𝑥<1时， y 随 x 的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，根据二次函数各项系数，顶点坐标，对称轴等知识即可求解， 掌握二次函数顶点式的特点是解题的关键． y x12 【详解】解：∵二次函数 ， ∴该函数图象开口向下，故选项A正确，不符合题意； x1 对称轴是直线 ，故选项B正确，不符合题意； （1，0） 顶点坐标为 ，故选项C正确，不符合题意； 第1页/共26页 学科网（北京）股份有限公司x1 y x 当 时， 随 的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 2x2 3kx10 3. 关于x的一元二次方程 根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握利用一元二次方程根的判别式判断方程解是解 题的关键． 先根据已知方程，求出根的判别式，然后根据判别式的正负，判断方程根的情况即可． 2x2 3kx10 a2 b3k c1 【详解】解：在关于x的一元二次方程 中， ， ， ， Δb2 4ac9k2 8 ， 因为k2＞0，所以 Δb2 4ac9k2 8＞0 ， 2x2 3kx10 所以关于x的一元二次方程 根的情况是有两个不相等的实数根． 故选A． y =x2 4. 将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式为（ ） y x22 3 y x22 3 A. B. y x22 3 y x22 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】本题考查了抛物线图像的平移，熟练掌握抛物线图像的平移方法是解题的关键．根据抛物线平移 y =x2 的方法：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可得到平移后的表达式．先确定抛物线 的顶点 0,0 2,3 坐标为 ，再根据点平移的规律得到平移后对应点的坐标为 ，然后根据顶点式写出平移后的 抛物线解析式． y =x2 0,0 0,0 【解答】解：抛物线 的顶点坐标为 ，把点 向左平移2个单位，再向上平移3个单位长 2,3 度所得对应点的坐标为 ， 第2页/共26页 学科网（北京）股份有限公司y x22 3 所以平移后的抛物线解析式为 ． 故选：A． x x x2 3x20 x2 3x x x 2 5. 设 1、 2是一元二次方程 的两个实数根，则 1 1 2 2 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 x x ax2 bxc0 a0 【分析】本题考查了根与系数的关系：若 1， 2是一元二次方程 （ ）的两根时， b c x x  x x  1 2 a 1 2 a x x 3 x x  2 x2 3x x x 2 ， ．根据根与系数的关系得到 1 2 ， 1 2 ，再将 1 1 2 2 变形 x x 2 x x 得到 1 2 1 2，然后利用整体代入的方法计算． x x 3 x x  2 【详解】解：由题意得， 1 2 ， 1 2 ， x2 3x x x 2 所以 1 1 2 2 x x 2 x x 1 2 1 2 32 2 92 7 ， 故选：D． 6. 中秋节当天，某微信群里的每两个成员之间都互发一条祝福信息，共发出72条信息，设这个微信群的 人数为x，则根据题意列出的方程是（ ） 1 1 x(x1)72 x(x1)72 A. x(x1)72 B. 2 C. x(x1)72 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据祝福信息的条数微信群的人数（微信群的人数1），即可得到方程． xx172 【详解】解：根据题意可得 ， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． y mxm y mx2 2x2 m m0 7. 函数 和函数 （ 是常数，且 ）的图象可能是（ ） 第3页/共26页 学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 m 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，关键是 的正负的确定，对于二次函数 b x 𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，当𝑎>0时，开口向上；当 a0 时，开口向下．对称轴为 2a ，与y轴的交点坐标 0，c 为 ． y mxm m0 y mx2 2x2 【详解】A．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向上，与图象不符，故 A选项错误； y mxm m0 y mx2 2x2 B．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向上，对称轴为 b 1 x  0 2a m ，则对称轴应在y轴左侧，与图象不符，故B选项错误； y mxm y mx2 2x2 C．由函数 的图象可知𝑚>0，即函数 开口向下，与图象不符，故C选项错 误； y mxm m0 y mx2 2x2 D．由函数 的图象可知 ，即函数 开口向上，对称轴为 b 1 x  0 2a m ，则对称轴应在y轴右侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． y ax2 4axc(a 0) A1,y ,B2,y ,C3,y  8. 已知抛物线 经过 1 2 3 三点，则下列说法正确的是 （ ） 第4页/共26页 学科网（北京）股份有限公司A. 若a0，则 y 3  y 2  y 1 B. 若 a0 ，则 y 1  y 3  y 2 C. 若a0，则 y 1  y 3  y 2 D. 若 a0 ，则 y 2  y 1  y 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 4a x 2 依据题意，由抛物线为 y ax2 4axc ，从而对称轴是直线 2(a) ，再由 a0 和a0进 行分类讨论，结合二次函数的性质即可判断得解． y ax2 4axc 【详解】解：由题意，∵抛物线为 ， 4a x 2 2(a) ∴对称轴是直线 ． 若a0，则a0， ∴抛物线开口向上． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小． A1,y ,B2,y ,C3,y  ∵经过 1 2 3 三点， 2(1)3222 又 ， y  y  y ∴ 1 3 2，故A错误，C正确． a0 a0 若 ，则 ， ∴抛物线开口向下． ∴此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， A1,y ,B2,y ,C3,y  ∵经过 1 2 3 三点， 2(1)3222 又 ， y  y  y ∴ 2 3 1，故B、D错误． 故选：C． 9. 某水利工程公司开挖的池塘，截面呈抛物线形，蓄水之后在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据 （单位：m），某学习小组探究之后得出如下结论，其中正确的为（ ） 第5页/共26页 学科网（北京）股份有限公司30m A. 水面宽度为 1 y  x²5 B. 抛物线的解析式为 25 3.2m C. 最大水深为 1 D. 若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最大水深减少为原来的3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用问题，计算较为复杂，在计算时需要理清楚实际数据在坐标系中对 应的位置．能够正确计算和分析实际情况是解题的关键． 利用建立的坐标系得到抛物线上点的坐标，然后通过待定系数法求出抛物线解析式，对照选项即可． y ax2 bxc 【详解】解：设解析式为 ， A(15,0),B(15,0),P(0,5) 将抛物线上点 ， 0152 a15bc  0152a15bc  5c  带入抛物线解析式中得 ，  1 a   45  b0  c5   解得 ， 1 y  x2 5 解析式为 45 ． 选项A中， AB30 ， CD24m ，水面宽度为24m故选项A错误，不符合题意； 1 y  x2 5 选项B中，解析式为 45 ，故选项B错误，不符合题意； 第6页/共26页 学科网（北京）股份有限公司1 CD,y  122 51.8 选项C中，池塘水深最深处为点 P(0,5) ，水面 C 45 ，所以水深最深处为点 1.853.2 P到水面 CD 的距离为 米，故选项C正确，符合题意； y 6 选项D中，若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，由抛物线关于 轴对称可知，抛物线上点横坐标 ， 1 4 21  21 y  62 5 5 1.8    2.4 带入解析式算得 45 5 5 ，即到水面 CD 距离为  5  米，而最深处 3 到水面的距离为 3.2 米，减少为原来的4 ．故选项D错误，不符合题意． 故选：C． x1 y ax2 bxc a0 10. 对称轴为直线 的抛物线 (a，b，c为常数，且 )如图所示，小明同学得出了 abc0 b2 4ac 4a2bc0 3ac0 abm(am＋b) 以下结论：① ，② ，③ ，④ ，⑤ (m为任意 x1 实数)，⑥当 时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 y ax2 bxc 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、 对称轴和抛物线与y轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的 符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，再进一步逐一分析判断即可． a0 c0 【详解】解：①由图象可知： ， ， b  1 ∵ 2a ， b2a0 ∴ ， 第7页/共26页 学科网（北京）股份有限公司abc0 ∴ ，故①错误； ②∵抛物线与x轴有两个交点， b2 4ac0 ∴ ， b2 4ac ∴ ，故②正确； ③∵抛物线与 x 轴的一个交点在1与0之间，对称轴为直线 x1 ， ∴另一个交点在2到 3 之间， x2 y 4a2bc0 ∴当 时， ，故③错误； y abca2ac0 ④当x1时， ， 3ac0 ∴ ，故④正确； x1 y abc ⑤当 时，y取到值最小，此时， ， y am2 bmc 而当xm时， ， abcam2 bmc ∴ ， abam2 bm abmamb 故 ，即 ，故⑤正确， x1 ⑥当 时，y随x的增大而减小，故⑥错误， 所以，正确的结论有：②④⑤，共3个 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） x2 2x3 11. 把方程 化为一般形式是____． 【答案】x2 2x30 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式是： ax2 bxc0 ( a ，b， c 是常数且 a0 )，通过移项变换即可 得到答案． 【详解】解：由 x2 2x3 得：x2 2x30， 故答案为：x2 2x30． 的 【点睛】此题考查了一元二次方程 一般形式，正确移项是解题关键． 第8页/共26页 学科网（北京）股份有限公司x2 4xa0 12. 已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是_______． a 4 4a 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可． x2 4xa0 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， Δb2 4ac42 41a0 ∴ ， a 4 ∴ ， a 4 故答案为： ． ax2 bxc0a 0 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程 ，若 b2 4ac0 ，则方程有两个不相等的实数根，若b24ac0，则方程有两个相等的实数根，若 b2 4ac0 ，则方程没有实数根． m3xm1 x50 x m 13. 若 是关于 的一元二次方程，则 的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的整式方程，同时需要注意未知数的二次项系数不为0．根据一元二次方程的定义，可知 m1 2 m30 且 ，由此即可求得m的值． m1 2 m30 【详解】解：由题意可知， 且 ， 解得： m 3 ，且 m3 或m1， ∴ m1， 故答案为：1． y ax2 bxca0 1,n 14. 已知抛物线 的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为 ，且与x轴的一个 交点的横坐标在3和2之间，则下列结论正确的是_________． abc0 abc0 3ac0 ax2 bxcn10 ① ；② ；③ ；④关于x的方程 有实根． 第9页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【答案】②④ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据所给函数图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线 的对称性和增减性依次对四个选项进行判断即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由所给函数图象可知，a0，b0， c0 ， abc0 ∴ ．故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线x1，且与x轴的一个交点的横坐标在3和2之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标在0和1之间． 又∵抛物线开口向下， x1 abc0 ∴当 时，函数值小于零，即 ．故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x1， b  1 ∴ 2a ，即 b2a ， abc0 又∵ ， ∴3ac0．故③错误； 1,n ∵抛物线的顶点坐标为 ， y ax2 bxca 0 y n1 ∴抛物线 的图象与直线 有交点， ax2 bxcn10 ∴关于x的方程 有实根．故④正确． ∴结论正确的是②④． 故答案为：②④． 36cm cm 15. 已知矩形的周长为 ，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长为______ ，宽为______ cm 时，旋转形成的圆柱的侧面积最大． 【答案】 ①. 9 ②. 9 第10页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【解析】 ab18 【分析】本题考查了二次函数的应用．设矩形的长是a，宽各为b，由矩形的周长为36，得 ．因 2πab ab 为旋转形成的圆柱侧面积是： ，所以要求侧面积最大，即求 的最大值，由此能求出结果． 【详解】解：设矩形的长为a，宽为b， ∵矩形的周长为36， 2ab36 ∴ ， 解得：b18a， 2πab ∵旋转形成的圆柱侧面积是： ， ab的 ∴要求侧面积最大，即求 最大值， aba18a18aa2 a92 81 ， a9 ab ∴当 时 有最大值81， b9 此时 ． 9cm 答：矩形的长，宽都为 时，旋转形成的圆柱侧面积最大． 故答案为：9；9． 16. 抛物线 y ax2 4ax 经过原点，且与 x 轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为 2,4 ．若点P为抛 t PQx Q y x4 t 4 PQ 物线上一动点，其横坐标为 ，作 轴，且点 位于一次函数 的图像上．当 时， 的 t t 长度随 的增大而增大，则 的取值范围是______． 5 1t  【答案】 2 【解析】 C2,4 a 【分析】将顶点 代入抛物线表达式中求 的值确定抛物线的解析式，然后求得抛物线和直线的交 P  t,t2 4t  Qt,t4 点坐标，设 ， ，分 t 1 和1t 4两种情况，利用坐标与图形性质，用 t 表示出 PQ ，根据二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：∵抛物线 y ax2 4ax 的顶点C的坐标为 2,4 ， 第11页/共26页 学科网（北京）股份有限公司4a8a  4 ∴ ， 解得：a 1， y  x2 4x ∴抛物线的解析式为 ， y0 x2 4x0 当 时，得： ， 解得： x0 或x4， A4,0 ∴ ， y  x2 4x  y  x4 联立方程组 ， x1 x4   y 3 y 0 解得 或 ， y  x2 4x y x4 1,3 4,0 ∴抛物线 与直线 的交点坐标为 ， ， P  t,t2 4t  Qt,t4 设 ， ， 2  5 9 PQt2 4tt4t2 5t4 t    t 1  2 4 当 时， ， 10 ∵ ， t 1 PQ t ∴当 时， 的长度随 的增大而减小，不符合题意； 2 PQt4  t2 4t  t2 5t4  t 5  9   当1t 4时，  2 4 ， 10 ∵ ， 5 5 1t  t  ∴当 2 时， PQ 的长度随 t 的增大而增大，当 2 时， PQ 的长度随 t 的增大而减小． 5 1t  故答案为： 2 ． 第12页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与坐标轴的交点，二次函数与一次函数的 交点，二次函数的性质等知识点，掌握二次函数的图像与性质是解答的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 解下列方程 2xx33 x （1） ； 1 x2 36x （2）4 ． 7 73 7 73 x  x  【答案】（1） 1 4 ， 2 4 x 122 33 x 122 33 （2） 1 ， 1 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握解一元二次方程的常用方法和步骤． 2x2 7x30 （1）首先将原方程整理为 ，再用公式法求解即可； 为 x2 24x120 （2）首先将原方程整理 ，再用公式法求解即可． 【小问1详解】 2xx33 x 解： ， 2x2 7x30 整理可得 ， a 2,b7,c3 ∵ ， 72 423730 ∴ ， 第13页/共26页 学科网（北京）股份有限公司7 73 7 73 x  22 4 ∴ ， 7 73 7 73 x  x  ∴ 1 4 ， 2 4 ； 【小问2详解】 1 x2 36x 解：4 ， x2 24x120 整理可得 ， a 1,b24,c12 ∵ ， 242 41125280 ∴ 24 528 x 122 33 21 ∴ ， x 122 33 x 122 33 ∴ 1 ， 1 ． 18. 抛物线y＝x2+4x+3. （1）求出该抛物线对称轴和顶点坐标． （2）在所给的平面直角坐标系中用描点法画出这条抛物线． 【答案】（1）对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣2，﹣1）；（2）图象如图所示．见解析. 【解析】 【分析】(1)根据二次函数一般式，转化为二次函数顶点式，即可求出顶点坐标和对称轴. (2)令y=0，计算出二次函数与x轴的交点坐标，在坐标系中标出，根据问题（1）确定顶点坐标的位置， 然后从左至右依次连线即可解决. 第14页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）y＝x2+4x+3＝x2+4x+4﹣4+3＝（x+2）2﹣1， 顶点坐标为（﹣2，﹣1）， 对称轴为x＝﹣1； （2）当y＝0时，x2+4x+3＝0， 则（x+1）（x+3）＝0， 解得：x ＝﹣1，x ＝﹣3， 1 2 ∴抛物线与x轴交于点（﹣1，0）（﹣3，0）， 图象如图所示． 【点睛】本题考查了二次函数顶点坐标和对称轴的确定，用描点法 画二次函数的图像，解决本题的关键是正确的将二次函数一般式转化为顶点式，求二次函数与x轴的交点 坐标. yx2 2x3 19. 已知二次函数 ； y axm2 k （1）把该二次函数化成 的形式． x y x （2）当 取何值时， 随 的增大而增大？ y x12 4 【答案】（1） x1 y x （2）当 时， 随 的增大而增大 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的转化方法，二次函数图像的性质， （1）根据配方法，可以将函数解析式化为顶点式； （2）根据（1）中的顶点式和二次函数的性质，即可得解； 解题的关键是掌握二次函数解析式的三种表示形式：（1）一般式： y ax2 bxc （ a0 ， a 、b、 第15页/共26页 学科网（北京）股份有限公司y axh2 k h,k c 为常数）；（2）顶点式： ，其中 为抛物线的顶点坐标；（3）交点式： y axx xx  x x x 1 2 （抛物线与 轴的交点的横坐标分别为 1、 2）． 【小问1详解】 y x2 2x3  x2 2x1  4x12 4 解： ， y axm2 k y x12 4 ∴把该二次函数化成 的形式为： ； 【小问2详解】 y x12 4 的 x1 解：根据（1）可知， 图像开口向下，对称轴为直线 ， x1 y x ∴当 时， 随 的增大而增大． x x2 axa20 20. 已知关于 的方程 ． （1）若该方程的一个根为2，求 a 的值及该方程的另一根． a （2）求证：不论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 2 4 a  x  【答案】（1） 3， 2 3 ； （2）证明见详解； 【解析】 a 【分析】（1）将方程的根代入求解即可得到 的值，再结合根与系数关系直接求解即可得到另一个根； （2）计算判别式结合完全平方公式即可得到证明； 【小问1详解】 解：∵方程的一个根为2， 42aa20 ∴ ， 2 a  解得： 3， 2 8 x2  x 0 3 3 ∴ ， 2  3 2 2x   2 1 3 ∴ ， 4 x  ∴ 2 3 ； 第16页/共26页 学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】 证明：由题意可得， Va2 41(a2)a2 4a8(a2)2 4 ， (a2)2 0 ∵ ， (a2)2 44 ∴ ， a ∴不论 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； 【点睛】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系及一元二次方程根与判别式的关系， b x x  1 2 a 解题的关键是熟练掌握 ，判别式大于0一元二次方程有两个不相等的实数根． 21. 如图，在长为10米，宽为8米的矩形土地上修建同样宽度的两条道路（互相垂直），其余部分种植花 卉，并使种植花卉的总面积为63平方米． （1）求道路的宽度； （2）园林部门要种植A、B两种花卉共400株，其中A种花卉每株10元，B种花卉每株8元，园林部门 采购花卉的费用不超过3680元，则最多购进A种花卉多少株？ 【答案】（1）道路的宽度为1米； （2）最多购进A种花卉240株． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，（1）设道路的宽度为x米，根据“种植 花卉的总面积为63平方米，”列方程求解即可； 400m （2）设购进A种花卉m株，则购进B种花卉 株，根据“园林部门采购花卉的费用不超过3680 元，”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设道路的宽度为x米， 10x8x63 根据题意得： ， 第17页/共26页 学科网（北京）股份有限公司x 1 x 17 解得： 1 ， 2 ， 178 ∵ ，故舍去， x1 ， 答：道路的宽度为1米． 【小问2详解】 400m 解：设购进A种花卉m株，则购进B种花卉 株， 10m8400m3680 根据题意得： , m240 解得： ， ∴最多购进A种花卉240株． 22. 春节期间，全国各影院上映多部影片，某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量 30 x80 y（单位：张）与售价x（单位：元/张）之间满足一次函数关系（ ，且x是整数），部分数据 如下表所示： 电影票售价x（元/张） 40 50 售出电影票数量y（张） 164 124 （1）请求出y与x之间的函数关系式； （2）设该影院每天的利润（利润票房收入运营成本）为w（单位：元），求w与x之间的函数关系式； （3）该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？ y 4x32430 x80，且x是整数  【答案】（1） w4x2 324x200030 x80 （2） （3）定价40元/张或41元/张时，每天获利最大，最大利润是4560元 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，求出相 应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． y x （1）根据题意和表格中的数据，可以计算出 与 之间的函数关系式； （2）根据利润票房收入运营成本和（1）中的结果，可以写出 w 与 x 之间的函数关系式； 第18页/共26页 学科网（北京）股份有限公司x （3）将（2）中的函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质和 的取值范围，可以求得该影院将电 x 影票售价 定为多少时，每天获利最大，最大利润是多少． 【小问1详解】 y x y kxb 解：设 与 之间的函数关系式是 ， 40kb164  50kb124 由表格可得， ， k 4  b324 解得 ， y x y4x324(30x80 x 即 与 之间的函数关系式是 ，且 是整数）； 【小问2详解】 由题意可得， wx(4x324)20004x2 324x2000 ， w x w4x2 324x2000(30x80) 即 与 之间的函数关系式是 ； 【小问3详解】 81 w4x2 324x20004(x )2 4561 由（2）知： 2 ， Q30 x80 x ，且 是整数， 当 x40 或41时， w 取得最大值，此时w4560， x 答：该影院将电影票售价 定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是4560元． 23. 在矩形 ABCD 中， AB 6cm ， BC 12cm ，点P从点A出发，沿AB边向点B以 1cm s 的速度移 动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以 2cm s 的速度移动，如果P、Q两点分别到达B、C两点后 就停止移动，回答下列问题： （1）运动开始后第几秒时， VPBQ 的面积等于8cm2 ？ 第19页/共26页 学科网（北京）股份有限公司APQCD S  cm2 （2）设运动开始后第t秒时，五边形 的面积为 ，写出S关于t的关系式，并指出t的取 值的范围； （3）t为何值时，S最小？求出S的最小值． 【答案】（1）2或4 （2） S t2 6t72 （0t 6） t 3 63 （3） ， 【解析】 t PAtcm,BQ2tcm VPBQ t 【分析】（1）设运动时间为 秒，则 ，然后再根据 的面积得到关于 的一元二 次方程，求解之即可得答案； S S S （2）根据 矩形ABCD △PBQ即可得出答案； （3）利用配方法将S关于t的关系式变形为顶点式，然后根据二次函数的性质求其最小值． 【小问1详解】 t PAtcm,BQ2tcm 解：设运动时间为 秒，则 ， PB ABPA6tcm ， Q VPBQ 的面积等于8cm2 ， 1  PBBQ8 2 ， 1  (6t)2t 8 2 ， t2 6t80 整理，得 ， (t2)(t4)0 ， t 2 t 4 或 ； 故运动开始后第2秒或第4秒时， VPBQ 的面积等于8cm2 ； 【小问2详解】 解：Q运动开始后第t秒时， 1 S  (6t)2t 6tt2  VPBQ 2 ， 第20页/共26页 学科网（北京）股份有限公司S S S 612(6tt2) 矩形ABCD VPBQ ， S t2 6t72 （0t 6）； 【小问3详解】 QS t2 6t72(t3)2 63 解： ， 又Q二次项系数为 10 ， 抛物线开口向上， 当 t 3 时，S最小，S的最小值为63． 【点睛】此题考查了一元二次方程与二次函数在解决图形面积问题中的应用，熟练掌握一元二次方程的解 法与运用配方法求二次函数的最值是解答此题的关键． 24. 如图，直线 y x3 与 x 轴、 y 轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线 y  x2 bxc 与 x 轴的另一个交点为A，顶点为P． （1）求该抛物线的解析式； （2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C，P，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在， 请直接写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由． y  x2 4x3 【答案】（1）  3     2, 2,2 51 2,2 51 2,7   2   （2）存在， 或 或 或 【解析】 【分析】（1）先由直线 y x3 与 x 轴、 y 轴分别交于点B、点C，求出点B和点C的坐标，再将点B、 点C的坐标代入 y  x2 bxc 列方程组求出b、 c 的值即可； （2）存在以C，P，M 顶点的等腰三角形，先由抛物线的解析式求出其顶点坐标和对称轴，再按 CM 或 PC 或PM 为底边进行分类讨论，根据勾股定理或等腰三角形的性质分别求出PM 的长即可求得 第21页/共26页 学科网（北京）股份有限公司点M 的坐标． 【小问1详解】 解：Q直线 y x3 与 x 轴、 y 轴分别交于点B、点C， 当 y0 时，由 x30 得 x3 ；当 x0 时， y3 ， B(3,0) C(0,3) ， ， 93bc0 b4   B(3,0) C(0,3) y  x2 bxc c3 c3 把 、 代入 ，得 ，解得 ， y  x2 4x3 该抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：存在． 理由如下： Q yx24x3(x2)21 ， 该抛物线的顶点为 P(2,1) ，对称轴为直线 x2 ， M(2,n) 设 ， CPM CM ①等腰三角形 以 为底边，如图1所示： PM  PC  22 (31)2 2 5  ， n1 2 5 n2 51 n2 51 由 得， 或 ， M(2 2 51) M(2,2 51) ， ， ； 第22页/共26页 学科网（北京）股份有限公司②等腰三角形 CPM 以PM 为底边，作 CD PM 于点D，如图2所示： D(2,3)  ， QCM CP ， DM  DP314 ， n347 ， M(2,7) ； ③等腰三角形 CPM 以 PC 为底边，作 CD PM ，交直线PM 于点D，如图3所示： D(2,3)  ， PD314 ， QPDC 90， DM2 CD2 CM2 ， QDM 4PM ， CM  PM ， 5 PM  (4PM)2 22  PM2 ，解得 2， 5 3 n1  2 2 ， 3 M(2, ) 2 ， 第23页/共26页 学科网（北京）股份有限公司 3     2, 综上所述，点M 的坐标为 2,2 51 或 2,2 51 或 2,7 或   2   ． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质、一次函数的图像与性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三 角形的性质、勾股定理等知识与方法，在解第（2）题时，应注意分类讨论，此题难度较大，属于压轴 题． y2 ax y ax2 y2 x y =x2 25. 我们定义：把 叫做函数 的伴随函数．比如： 就是 的伴随函数．数形结合 y ax2 a0 (m,n) y ax2 是学习函数的一种重要方法，对于二次函数 （ 的常数），若点 在函数 的图象上， m,n y 则点 也在其图象上，即从数的角度可以知道它的图象关于 轴对称．解答下列问题： y2 x （1） 的图象关于 轴对称； ① y 4x2 （2） 直接写出函数 的伴随函数的表达式 ； ② ① y 4x2 在如图 所示的平面直角坐标系中画出 的伴随函数的大致图象； y kx3k(k 0) y 4x2 （3）若直线 与 的伴随函数图象交于A、B两点（点A在点B的上方），连接 OA OB VABO k 、 ，且 的面积为12，求 的值； x 【答案】（1） y2 4x （2）① ；②见解析 （3）k 1 【解析】 (m,n) m,n y2 x 【分析】（1）根据点 和点 都在 的图象上即可得解； （2）①由伴随函数的定义即可得出答案；②描点连线画出函数图象即可； 第24页/共26页 学科网（北京）股份有限公司y kx3k 4  y  y  y2 4x x ky2 4y12k 0 1 2 k （3）由 ，消去 得到 ，由一元二次方程根与系数的关系 ， 16 y  y  y  y 2 4y y  48 y y 12 1 2 1 2 1 2 k2 C3,0 1 2 ，推出 ，求出 ，再由 1 S  OC y  y VAOB 2 1 2 ，计算即可得出答案． 【小问1详解】 (m,n) m,n y2 x 解：∵点 和点 都在 的图象上， y2 x x ∴ 的图象关于 轴对称； 【小问2详解】 y 4x2 y2 4x 解：①由伴随函数的定义可得：函数 的伴随函数的表达式 ； y2 4x ②在 中， x0 y0 当 时， ； x1 y 2 当 时， ， y 4 当x4时， ， 描点连线绘制函数图象如下： 【小问3详解】 解：如图： 第25页/共26页 学科网（北京）股份有限公司y kx3k  y2 4x x ky2 4y12k 0 由 ，消去 得到 ， 4 y  y  1 2 k y y 12 ∴ ， 1 2 ， 16 y  y  y  y 2 4y y  48 1 2 1 2 1 2 k2 ∴ ， y kx3k y0 kx3k 0 在 中，令 ，则 ， x3 解得 ， C3,0 ∴ ， 1 1 16 S  OC y  y 3 48 12 ∴ VAOB 2 1 2 ，即 2 k2 ， 解得：k 1． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质、一次函数的性质、伴随函数的定义等知识， 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 第26页/共26页 学科网（北京）股份有限公司