文档内容
计算-公式类计算-平方和公式-5 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
平方和公式 B 1.熟悉平方和公式 少考
2.运用公式进行复杂的计算。
知识提要
平方和公式
平方和公式
n(n+1)(2n+1)
12+22+32+⋯+n2=
6
精选例题
平方和公式
( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
1. 24× + +⋯+ - + +⋯+ = ．
2×3 4×5 20×21 12 12+22 12+22+⋯+102
60
【答案】
11
3 1 10 75
【分析】 虽然很容易看出 = ， = ⋯⋯ 可是再仔细一看，并没有什么效
7 3 21 2
果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我
1
们想到公式 12+22+32+⋯+n2= ×n×(n+1)×(2n+1)，
6
1 6
于是我们又有 = ．
12+22+⋯+n2 n×(n+1)×(2n+1)
减号前面括号里的式子有 10 项，减号后面括号里的式子也恰好有 10 项，是不是“一个对
一个”呢？( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
24× + +⋯+ - + +⋯+
2×3 4×5 20×21 12 12+22 12+22+⋯+102
( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
=24× + +⋯+ -6× + +⋯+
2×3 4×5 20×21 1×2×3 2×3×5 10×11×21
( 1 1 1 ) ( 1 1 1 )
=24× + +⋯+ -24× + +⋯+
2×3 4×5 20×21 2×4×3 4×6×5 20×22×21
[( 1 1 ) ( 1 1 ) ( 1 1 )]
=24× - + - +⋯+ -
2×3 2×4×3 4×5 4×6×5 20×21 20×22×21
( 1 1 1 )
=24× + +⋯+
2×4 4×6 20×22
( 1 1 1 )
=6× + +⋯+
1×2 2×3 10×11
( 1 )
=6× 1-
11
60
=
11
2. 计算：11×29+12×28+⋯+19×21= ．
【答案】 3315
【分析】
原式 =(202-92)+(202-82)+⋯+(202-12)
1
¿ =3600- ×9×10×19
6
¿ ¿
3. 计算：1×3+2×4+3×5+⋯9×11= ．
【答案】 375
【分析】
原式 =(2-1)(2+1)+(3-1)(3+1)+⋯+(10-1)(10+1)
¿
=(22+32+⋯+102)-9
10×11×21
¿ = -10
6
¿ ¿
4. 12+32+52+⋯+192= ．【答案】 2185
【分析】
12+32+52+⋯+192
(12+22+32+⋯+192 )-(22+42+⋯+182 )¿=¿
1
×19×20×39-4×(12+22+⋯+92 )¿=¿2470-
1
×9×10×19¿=¿2470-285¿=¿2185.¿
¿ 6 6
5. 对自然数 a 和 n，规定 a∇n=an+an-1，例如 3∇2=32+3=12，那么：
（1）1∇2+2∇2+3∇2+⋯+99∇2= ；
（2）2∇1+2∇2+2∇3+⋯+2∇99= ．
【答案】 （1）333300；（2）3×299-3
【分析】 （1）
原式 =12+1+22+2+32+3+⋯+992+99
¿ =99×100×199÷6+4950
¿ =333300;
（2）
原式 =21+20+22+21+23+22+⋯+299+298
¿
=(20+21+22+⋯298)×3
¿
=3×299-3.
6. 计算：1×4+3×7+5×10+⋯+99×151= ．
【答案】 256225
【分析】 观察可知式子中每一项乘积的被乘数与乘数依次成等差数列，被乘数依次为
1，3，5，⋯，99，乘数依次为 4，7，10，⋯，151，根据等差数列的相关知识，被乘数可
以表示为 2n-1，乘数可以表示为 3n+1，所以通项公式为 (2n-1)×(3n+1)=6n2-n-1．
所以，
原式 =(6×12-1-1)+(6×22-2-1)+⋯+(6×502-50-1)
1
¿ =50×51×101- ×50×51-50
2
¿ ¿
另解：如果不进行通项归纳，由于式子中每一项的被乘数与乘数的差是不相等，可以
先将这个差变为相等再进行计算．
1
原式= ×(3×8+9×14+15×20+⋯+297×302)
6
1 1 1 3 5
1 ׿(32+3×5+92+9×5+152+15×5+⋯+2972+297×5)¿=¿ ׿ [(32+92+152+⋯+2972)+5×(3+9+15+⋯+297) ] ¿=¿ ׿ [9×(12+32+52+⋯+992)+5×3×(1+3+5+⋯+99) ] ¿=¿ ×(12+32+52+⋯+992)+ ×(1+3+5+⋯+99).¿
= × 6 6 6 2 2
6
¿ ¿而 12+32+52+⋯+992 和 1+3+5+⋯+99 都是我们非常熟悉的．
12+32+52+⋯+992
(12+22+32+⋯+1002)-(22+42+62+⋯+1002)¿=¿
1
×100×101×201-4×
1
×50×51×101¿=¿
1
×100×101×(201-102)¿=¿
1
×99×100×101¿=¿166650,¿
¿ 6 6 6 6
1+3+5+⋯+99=502=2500，
所以
3 5
原式= ×166650+ ×2500=256225.
2 2
小结：从上面的计算过程中可以看出，
1
12+32+52+⋯+992= ×99×100×101,
6
而
1
1×2+2×3+⋯+99×100= ×99×100×101,
3
所以有
(12+32+52+⋯+992)×2=1×2+2×3+⋯+99×100.
