文档内容
方法精讲-数量 2
（笔记）
主讲教师：焦点
授课时间：2024.04.12
粉笔公考·官方微信数量关系-方法精讲 2（笔记）
数量关系 方法精讲2
学习任务：
1.课程内容：代入排除法、倍数特性法、方程法
2.授课时长：3小时
3.对应讲义：第222～227 页
4.重点内容：
（1）掌握代入排除法的适用范围及使用方法
（2）掌握倍数特性法的基础知识，以及余数型和比例型的解题思路
（3）掌握方程法中设未知数的技巧，熟悉不定方程的解题思路
目录（P222～227）
第一节 代入排除法
第二节 倍数特性法
第三节 方程法
【注意】今天讲解222到 227页，页数比较少，思维量比较大，会让你体会
到数学的神奇。今天会讲三大方法，公考、事业单位、选调生等等的考试中，只
要有数学运算的地方，使用范围、频率都是非常广的，是一种解题思维。
第一节 代入排除法
什么时候用？——看题型
特定题型：多位数、年龄、不定方程、余数
【注意】江苏数运考 15 题，题量比较大。要解决两个问题，第一个要解决
的问题是什么时候用代入排除？要会挑，提供两种角度。第一个角度是看题型，
如果题干中体现多位数、年龄、不定方程、余数，就可以优先考虑代入排除。
多位数：多涉及描述数位关系（如调换、和差等）
【引例 1】有一个三位数，其百位数是个位数的 2倍，十位数等于百位数和
1个位数之和，那么这三位数是：
A.432 B.693
C.854 D.472
年龄：涉及到年龄的问题
【注意】
1.江苏比较喜欢多位数问题，多位数的识别简单粗暴，如果出现数位的一些
关系，比如说这是一个三位数、四位数、五位数，就能识别出是多位数问题，就
知道可以使用代入排除了。
2.引例 1：条件一：“其百位数是个位数的2倍”，四个选项都符合。条件
二：“十位数等于百位数和个位数之和”，A 项不符合，B 项符合，已经发现 B
项符合所有条件，不用怀疑，直接选这个选项走人，这叫见好就收。
3.年龄问题非常容易识别，题干中出现岁数，就是年龄问题，年龄问题也可
以代入排除，一会例题中有年龄问题。
不定方程：未知数的个数大于方程的个数
【引例 2】3x+2y=10，x、y 均为正整数，求：x、y的值
A.2、2 B.4、1
C.1、4 D.3、2
余数：出现“剩”、“余”、“缺”等关键字
【引例 3】一个数，除以 7余 3，除以8余1，问：这个数可能是几？
A.13 B.14
C.16 D.17
【注意】
1.不定方程：未知数的个数大于方程的个数，一个等量关系就是一个方程。
2.引例 2：两个未知数，一个方程，未知数的个数大于方程的个数，是不定
方程，做的时候特点就是不确定，正向求解不好做，直接把选项代入。代入 A项：
3*2+2*2=10，只有 1 个等式，A 项符合所有条件，不用管其他选项，直接选择 A
项，这叫见好就收。
3.余数就是多余，多余的反面就是缺，故出现“剩”、“余”、“缺”等关键字，
2就是余数问题，可以优先考虑代入排除。
4.引例 3：除以几余几是最简单的描述，余数问题，考虑代入。“除以7余
3”，A、B、C项都不符合，只剩 D项了，不需要用D项再次代入验证选项条件，
能节约一秒是一秒，考场上分秒必争，直接选择 D项。
5.见好就收的思维：
（1）某个选项已经符合题干所有条件，直接选该选项走人。
（2）如果已经排除了 3 个错误选项，可以直接选剩下的选项，不用再验证
剩下的那个选项。
什么时候用？——看选项
选项信息充分：选项为一组数
例：甲、乙两人共有 100 个苹果，甲比乙多 70 个苹果。则甲、乙的苹果数
分别为：
A.90，10 B.85，15
C.80，20 D.75，25
【注意】什么时候用？——第二个角度就是看选项。有些同学读题很慢，可
以看选项，选项也可能给大家某种暗示。
1.选项信息充分：选项为一组数（两个数或者三个数）。
2.例：选项里有两个数，选项信息充分，优先考虑代入排除。列一个方程组，
甲+乙=100，甲-乙=70，解方程组，有些同学觉得很顺理成章，但是这是做填空
题或者简答题的思路。做选择题，选项为王，要结合选项做。直接口算，A 项，
相加100，相减是80，不符合题意。B项相加是100，相减是 70，符合题干所有
条件，当选。
【例 1】（2023 联考）某学校组织学生分组参观红色教育基地，租赁了若干
辆客车。其中，一辆大型客车可容纳 5 个小组，一辆中型客车可容纳 3 个小组，
大型客车比中型客车多容纳 16 个小组，那么至少租赁了大型客车和中型客车各
多少辆？
A.3；5 B.5；3
3C.4；3 D.5；6
【解析】1.核心思维是一样的，外表好像长一点，数学运算题至关重要的是
题型的识别，“一辆大型客车可容纳5个小组，一辆中型客车可容纳3个小组”，
有两种车，两个主体，“大型客车比中型客车多容纳 16个小组”，我比你多 16
个，用减法，出现简单的等量关系，一个方程，从题干角度来看，未知数个数大
于方程个数，是不定方程，指向代入排除法。如果不想读这个题干，可以看选项，
选项是一组数，选项信息充分，指向的方法仍然是代入排除。设大型车有 x 辆，
中型车有y辆，大型车容纳5个小组即5x，中型车容纳3个小组即3y，5x-3y=16。
代入时，是否按照 A、B、C、D 项的顺序？有一些细节要注意，假设 A 项符合这
个式子，3+5=8辆，不一定是最小的，选项里有比 8更少的，万一 A项和C项代
入都符合，就不敢选A项。代入时要抓住细节，提高解题效率。问最少，从小的
开始代，如果最少的符合，则 100%对。问代入最小的C项：20-9≠16，不符合。
A、B 项都是 8 项，先代哪个都行，代入 A 项，3*5-3*5=0，不符合。代入 B 项，
25-9=16，符合，选择 B 项。如果代入 B 项也不符合，则选 D 项，代入排除最多
代3次。【选B】
【注意】破题点：选项信息充分，直接代入；问最少，从小的开始代。
代入排除法
怎么用？
第一步，先排除：
奇偶、倍数、尾数
【例】若甲、乙均为整数，当需满足以下条件时，则甲等于多少？
①：甲=2乙，A.12，B.11，C.7，D.10
②：甲=3乙，A.1，B.9，C.7，D.12
③：甲+10乙=21，A.1，B.10，C.11，D.14
第二步，再代入：
最值原则：问最大从最大代入，问最小从最小代入。
好算原则、居中原则
4【注意】怎么用？
1.第一步，先排除：
（1）奇偶、倍数、尾数。
（2）例：若甲、乙均为整数，当需满足以下条件时，则甲等于多少？
①甲=2乙，A.12，B.11，C.7，D.10，甲是2的倍数，甲一定是偶数，排除
B、C项，剩下两个代入一个必出答案。
②甲=3乙，A.1，B.9，C.7，D.12，甲是 3的倍数，排除 A、C项，剩二代一
必出答案。
③甲+10乙=21，A.1，B.10，C.11，D.14，10乙的尾数是 0，21的尾数是1，
1+0=1，甲的尾数必须是1，排除 B、D项，剩下两个代入一个必出答案。
2.第二步，再代入：
（1）最值原则：问最大从最大代入，问最小从最小代入。
（2）好算原则、居中原则。
①好算原则：整十整百的比较好代，哪个好算代哪个。
②居中原则：如果卖东西能挣 300元，售价定多少合适？A.7，B.10，C.15，
D.19，如果销量一定，售价越高挣的越多。通过代入某一个选项知道数据是偏大
还是偏小的，如果代入B项是挣 250元，则没有必要代入 A项。知道偏大偏小时
从中间代入效率更高。
【例 2】（2023 联考）美术培训班有 3 名学员，他们的年龄满足以下条件：
他们的年龄都是正整数；2 号学员的年龄是 1 号学员年龄的一半；3 号学员比 2
号学员大 7 岁；3 名学员的年龄之和是不超过 70 的素数，且该素数的各位数字
之和为 13。那么这3位学员的年龄分别是多少岁？
A.12；6；13 B.20；10；17
C.24；12；19 D.30；15；22
【解析】2.识别和例1差不多，第一个角度，年龄问题，考虑代入排除。第
二个角度，选项是一组数，选项信息充分，考虑代入排除。给了 1号学员、2 号
学员、3 号学员，如果选项不给三个数，给两个数也可以认为是选项信息充分，
本题选项给了 3 个数更是选项信息充分。条件一：“2 号学员的年龄是 1 号学员
5年龄的一半”，四个选项都符合。条件二：“3 号学员比 2 号学员大 7 岁”，四个
选项都符合。“3 名学员的年龄之和是不超过 70 的素数”，素数是除了 1 和它本
身以外没有其他约数，A项三数相加是 31，是素数，“且该素数的各位数字之和
为13”，3+1≠13，排除。B项三数相加是 47，4+7≠13，排除。C项三数相加是
55，55=5*11，55是合数，排除。前三个选项都不对，直接选择 D项。【选D】
【注意】
1.破题点：年龄问题且选项信息充分，直接代入。
2.假设选项如下图，且代入 A项时符合题干所有条件，则不用再验证其他选
项了。
【例 3】（2023 广东）某工厂加工出一批正方体奶酪，抽检时质检员从奶酪
中切下了一个厚度为 2 厘米的长方体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为 144
立方厘米，则奶酪原本的边长为多少厘米？
A.4 B.6
C.8 D.10
【解析】3.几何问题，正方体棱长相等。“如果剩余奶酪的体积为 144立方
6厘米”，假设棱长是 x，切完后长和宽不变，还是 x，只有高变成 x-2，V=x*x*
（x-2）=144，其实就是方程，考场上遇到正面求解比较麻烦的，比如幂次很高，
带平方、立方、多次方或者分数，直接代入选项，如果按顺序代，肯定有答案，
从逻辑上讲，可以居中代入，如果代入 B 项小了，再代 C、D 项中的一个必出答
案。如果代入 B 项大了，则是 A 项。代入 B 项：6*6*4=144，选择 B 项。【选 B】
【注意】考场思维：选项为王，方程不好解，直接代入选项即可。
【注意】
1.代入排除法重点把握什么时候用？把握三个角度，第一个角度是从题型，
第二个角度是选项角度，第三个角度是只剩两项或者正面硬刚得不出答案时可以
代入选项得到答案。
2.用起来很简单，可以通过尾数、奇偶、倍数优先排除，如果没有发现这些
特点，可以一个个选项去验证，代入时注意细节，问最大，从最大开始代，问最
小，从最小开始代，不大不小的，可以居中去代。或者看谁顺眼、看谁好算就优
先代。
第二节 倍数特性法
1.基础知识：整除型
2.余数型
3.比例型
【注意】今天最重要的是第二节，倍数特性法，是代入排除法的一种延伸应
用。很多题目可以通过倍数特性直接秒杀，还有一些题目倍数特性是解题的方法
之一。
71.基础知识：整除型，偶尔出现。
2.余数型：偶尔出现。
3.比例型：比例考查最多，使用频率最广，这几年江苏省考、国考、联考都
频繁出现。
一、余数型
1.基础知识：整除型
如果，A=B*C（B、C均为整数）
那么，A能被B整除，且 A能被 C整除
题型：
①平均分配（物品/人数）
②三量关系
【引例】一堆苹果分给一些人，平均每人分 3个恰好分完……，问这堆苹果
有多少个？
A.119 B.120
C.121 D.122
【注意】基础知识：整除型。
1.如果，A=B*C（B、C 均为整数）。那么，A 能被 B 整除，且 A 能被 C 整除。
2.题型：
（1）平均分配（物品/人数）。
（2）三量关系。后面会学到很多三量关系，比如 S=V*t，S既是V的倍数又
是t的倍数。
3.引例：“平均每人分 3 个恰好分完”，总的苹果数=3*n，n是人数，人数是
整数，则总的苹果数是 3的倍数，可以排除错误选项 A、C、D项，选择B项。
整除判定法则
1.一般用口诀法
3/9 看各位数字之和
2/5 看末1位
84/25 看末2位
【注意】口诀法：口诀可以推导但是不重要，记住结论即可。
1.3/9 看各位数字之和：比如 120，1+2+0=3，3 能被 3 整数，所以 120 是 3
的倍数。比如 1234，1+2+3+4=10，10不是9的倍数，则1234 不是9的倍数。
2.2/5 看末1位：最后一位是偶数则是 2的倍数，最后一位是 0或者5则是
5的倍数。
3.4/25 看末 2 位：比如 2024，24 是 4 的倍数，则 2024 就是 4 的倍数。24
不是25 的倍数，则2024不是 25 的倍数。
2.没口诀的用拆分法（判断 X能否被7整除：把 X拆成 7的倍数±零头，只
看零头能否被 7整除）
补例：786能否被7整除？
例：以下哪个是 11的倍数？
A.649 B.651
C.659 D.669
【注意】
1.没口诀的用拆分法（判断 X能否被7整除：把 X拆成 7的倍数±零头，只
看零头能否被 7整除）。
2.补例：786能否被7整除？
答：786=777+9，777 是 7 的倍数，9 不是 7 的倍数，则 789 不是 7 的倍数，
也可以拆成 700+86、770+16。
3.例：以下哪个是 11的倍数？
A.649 B.651
C.659 D.669
答：在 600 附近找 11 的倍数，660 是 11 的倍数，660-11=649，11 也是 11
的倍数，则 649是11的倍数，直接选择 A项。
3.复杂倍数用因式分解
（判断 X能否被12整除：只需判断 X既是3的倍数又是 4的倍数即可）
9tips：注意分解后的2个数必须互质（互质：公约数只有 1）
【注意】复杂倍数用因式分解：
1.判断X能否被12整除：只需判断X是否既是3的倍数又是4的倍数即可。
比如 2024 是否为 12 的倍数，拆分比较麻烦，12=3*4，如果 2024 既是 3 的倍数
又是4的倍数，则是 12的倍数。2+0+2+4=8，不是3的倍数，则不是 12的倍数。
2.tips：注意分解后的 2 个数必须互质（互质：公约数只有 1）。注意12不
能拆成 2*6，因为 3 和 4 没有公因子，2 和 6 有公因子 2，一定要分成两个互质
的数。比如 45拆成5*9还是 3*15？应该拆成5*9。
整除判定法则小结
1.一般用口诀法
（3/9 看各位数字之和；2/5 看末1位；4/25看末2位）
2.没口诀的用拆分法
（判断 X 能否被 7 整除：把 X 拆成 7 的倍数±零头，只看零头能否被 7 整
除）
3.复杂倍数用因式分解
（判断 X能否被12整除：只需判断 X既是3的倍数又是 4的倍数即可）
tips：注意分解后的2个数必须互质
【拓展】(2021北京)为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企业
扩大招聘规模，计划在年内招聘高校毕业生 240名，但实际招聘的高校毕业生数
量多于计划招聘的数量。已知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到 7个部门培
训，并在培训结束后将他们平均分配到 9个分公司工作。问该企业实际招聘的高
校毕业生至少比计划招聘数多多少人?
A.6 B.12
C.14 D.28
【解析】拓展.“实际招聘的高校毕业生数量多于计划招聘的数量”，实际招
的要多于 240，“企业将招聘到的高校毕业生平均分配到 7个部门培训”，出现
平均分，说明总人数=7*每个部门的人数 n，总人数是7的倍数，“并在培训结束
10后将他们平均分配到 9 个分公司工作”，总人数=9*n，说明总人数既是 7 的倍数
又是9的倍数，是63的倍数，总人数大于240，63的1倍不行、2倍不行，3 倍
不行，一定是 4倍及以上，看问题，实际总人数还得尽量少，又得大于 240，只
能是63*4，63*4-240=12，也可以通过尾数法得到尾 2，选择 B项。【选B】
【注意】破题点：出现平均分考虑倍数关系。
2.余数型
如果，所求=ax±b，那么，所求∓b 能被 a 整除。（多退少补）（a、x 均为整
数）
【引例 1】一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还剩 3 个……，问这
堆苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
【引例 2】一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还缺 3 个……，问这
堆苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
【注意】余数型。
1.如果，所求=ax±b，那么，所求∓b 能被 a 整除。多退少补，a、x 均为整
数。
2.引例 1：剩3个就是多 3个，要转化为整除型，多的3 个可以自己偷偷吃
掉，这样给大家分时正好一人分 10个，总数-3=10*n，问总数，用选项-3，排除
不是10 的倍数的，排除A、B、D 项，选择C项。
3.引例 2：缺 3 个，可以去水果店再买 3 个，这样大家都能一人 10 个，总
数+3=10*n，选项+3后，排除不是 10的倍数的，排除B、C、D项，选择A项。
【例 1】（2023广东）某社区计划组建多支社工团队，为此招募了一批社工。
如果每支团队由 3 名社工组成，则剩余 2 名社工；如果每支团队由 4 名社工组
11成，同样剩余 2名社工。则该社区可能招募了多少名社工？
A.32 B.34
C.36 D.38
【解析】1.“如果每支团队由 3名社工组成，则剩余 2名社工”，类似于分
苹果，相当于每人分 3个苹果，剩 2个苹果，平均分组有剩余，核心思路是多退
少补，剩 2人，多就减掉，总数-2=3n，选项-2后，B、C项不是 3的倍数，排除
B、C项。“如果每支团队由 4 名社工组成，同样剩余2名社工”，总数-2=4*n，A
项32-2=30，30不是4的倍数，排除A项，选择D项。【选D】
【注意】破题点：“每”平均分组，且有“剩余”——考虑余数型倍数关系。
【例 2】（2021 联考）不超过 100 名的小朋友站成一列。如果从第一人开始
依次按 1，2，3，…，9 的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是 7；如果按 1，
2，3，…，11的顺序循环报数，最后一名小朋友报的是 9。那么一共有多少名小
朋友？
A.98 B.97
C.96 D.95
【解析】2.没说平均分组，但是循环报数的本质就是平均分组，只不过不是
恰好的，“最后一名小朋友报的是 7”，第一种理解，可以理解为少了 2 个人，
要补上 2 人，总数+2=9 的倍数，选项+2 后只有 B 项符合是 9 的倍数，当选。第
二种理解，多 7 人，总数-7=9 的倍数，选项-7 后，只有 B 项满足是 9 的倍数，
选择B项。【选 B】
【注意】
1.破题点：循环报数就是平均分组、最后 1名不是9，即为有剩余或不足—
—考虑余数型倍数关系
2.后面的条件没有用就选择 B 项是否靠谱？考试有类题目可能某一个或者
两个条件就能锁定答案，不需要验证其他条件，不用管没有用到的其他条件，只
要能找到唯一靠谱的选项即可。
123.不依靠选项也能快速算出答案，“最后一名小朋友报的是 7”，说明总数
+2=9的倍数，“最后一名小朋友报的是 9”，说明总数+2=11 的倍数，既是 9的
倍数，又是 11 的倍数，则是 99 的倍数，要求不超过 100，如果是 99 的 2 倍就
超过了，则只能是 99的1倍，总数+2=99，故总数是97人。
3.比例型
男生人数/女生人数=5/3，则：
（1）男生人数是5的倍数
（2）女生人数是3的倍数
（3）全班人数是5+3的倍数
（4）男女生人数差是5-3的倍数
如果：A/B=m/n（m与n互质）
那么：A是m的倍数
B是n的倍数
A+B是m+n的倍数
A-B是m-n的倍数
【注意】比例型：考频非常高，做的时候会出现两种情况，一种是可以直接
秒的，一种是作为工具去延伸考查。
1.男生人数/女生人数=5/3，人数是整数，男生是 5 份，女生是 3 份，全班
是8份，人数差是 2份，则：
（1）男生人数是5的倍数。
（2）女生人数是3的倍数。
（3）全班人数是5+3=8 的倍数。
（4）男女生人数差是5-3=2 的倍数。
2.如果：A/B=m/n（m与n 互质，互质就是最简分数，不能再约分，如果男生
人数/女生人数=500/300，这种表述是不对的，除了 1 还有 100 这个公因子，要
约掉100，变成5/3才是最简），那么：
（1）A是m的倍数。
（2）B是n的倍数。
13（3）A+B是m+n的倍数。
（4）A-B是m-n的倍数。
3.一个式子里会出现 4 个倍数关系，考试时不需要把所有倍数关系都写出
来，一般只用一个，求谁找谁。比如求 A+B，只需要看A+B是 m+n的倍数。
重点来了
①什么时候用比例型倍数特性？
当题目中出现比例、分数、百分数、倍数，所求量为具体量时，可考虑比例
型倍数特性
如：5：3，5/9，30%，3 倍等等
②怎么用呢？
先找与问题有直接关系的比例，转化为 A/B=m/n的形式，求谁找谁
不行时再找间接关系的比例
【注意】比例型：
1.什么时候用：当题目中出现比例、分数、百分数、倍数，所求量为具体量
时，可考虑比例型倍数特性。比如男：女=5：3，男生占全班总人数的 5/9，男生
所占比重为 30%，班上男生人数是女生人数的 3 倍等等，都可以转化为 A/B=m/n
的形式，问的也是具体的数据（比如具体的人数、具体的钱数、具体的时间数），
如果问利润率、百分数则不是问具体数据。
2.怎么用：先找与问题有直接关系的比例，转化为 A/B=m/n 的形式，求谁找
谁，不行时再找间接关系的比例。问班里年龄在 30 岁以上的，但是直接找找不
到，可以借助 30岁以下的来做。
【例 1】（2022 联考）某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志
愿服务队。其中，20 至 30 岁（不含 30 岁）的人数占总人数的 68%，30 岁及以
上的人数是不到 20 岁人数的 7 倍。已知 30 岁以下的人数比 30 岁及以上的人数
多66人，问这支服务队共多少人？
A.90 B.120
C.150 D.180
14【解析】1.出现 68%、7 倍，有比例、百分数、倍数，问人数，想到比例型
的倍数特性，用 68%还是 7 倍？先直接后间接，问总人数，68%里面直接就有总
人数，转化为 A/B=m/n 的形式，20～30 岁的人数/总人数=68/100=17/25，求谁
找谁，找分母的倍数关系，总数是 25的倍数，25的倍数看后两位，90、20、80
都不是 25的倍数，排除A、B、D 项，选择C项。【选C】
【注意】
1.破题点：问总人数，有占比，找对应倍数看选项。
2.如果 D项是200，只能排除 A、B项。C、D 项选哪个？再用别的条件验证，
“临时抽调一支一百多人的志愿服务队”，排除D项，选择 C项。
【例 2】（2023 事业单位）前年，某制衣车间共生产两个品牌服装 10 万件。
去年，A 品牌多生产10%，B品牌多生产 15%，两个品牌生产总量增加 12%。则去
年生产了 B品牌服装（ ）万件。
A.6.6 B.5.4
C.4.6 D.4.5
【解析】2.看到10%、15%、12%，出现百分数，问具体数据，考虑比例型倍
数特性。问 B品牌，直接的是 15%，“B品牌多生产15%”，去年的B品牌/前年
的B品牌=1+15/100=115/100=23/20，问去年，去年的B品牌是 23的倍数，选项
的单位是万件，依次为 66000、54000、46000、45000，通过拆分的思路来做，A
项：66000=46000+20000，46000 是23的倍数，20000不是23的倍数，66000不
是23的倍数，排除。同理可以排除 B、D项，选择C项。【选 C】
【注意】破题点：问 B 的数量，有 B 的增长率（比例），转化成比例关系找
倍数。
比例转化练习：
①A 占B的65%
②C 比D多25%
15③甲比乙少 30%
转化建议：先化成最简分数，再把“比”后主体当分母
【注意】练习：
1.转化方法不唯一，故只是给出转化建议：先化成最简分数，再把“比”后
主体当分母。
2.A 占 B 的 65%：65%=65/100=13/20，“比”后主体当分母，即 A/B=13/20。
3.C 比D多25%：25%=1/4，如果正常转化，为C/D=1+1/4=5/4，比较慢，考
虑“比”后主体当分母，D 是 4 份，C 比 D 还多 1/4，则 C 是 5 份，C/D 为 5/4。
4.甲比乙少 30%：30%=3/10，把“比”后主体当分母，乙对应 10份，甲比10
份少了 3/10，即甲比 10份少 3份，甲是 7份，甲/乙=7/10，此时甲是 7的倍数，
乙是10 的倍数，甲+乙是17 的倍数，乙-甲是3的倍数。
【例 3】（2023 联考）某高校今年共有 231 名本科毕业生被录取为硕士研究
生。其中推荐录取人数比上年度减少 1/6，而考试录取人数比上年度增加 31/150，
总体录取人数比上年度高 10%，那么，这所高校今年推荐录取的研究生人数为：
A.40 人 B.45人
C.50 人 D.55人
【解析】3.给的条件和例 2很像，给出增长率，量之间是相加关系，增长率
之间是混合关系，也可以用混合增长率来做，但不需要。给出比例、分数、百分
数、倍数，考虑倍数特性，先看下是否能直接秒杀。“推荐录取人数比上年度减
少1/6”，“比”后是分母，去年推荐录取人数是6份，今年推荐录取人数/去年推
荐录取人数=5/6，问今年推荐录取人数，为 5的倍数，选项都是 5的倍数。直接
倍数不好使，考虑间接倍数，找和推荐录取人数有关系的其他的量。
“考试录取人数比上年度增加 31/150”，今年考试录取人数/去年考试录取
人数=181/150，今年考试录取人数是 181的倍数，不可能是 2、3、4 倍，因为一
共才 231 个人，故今年考试录取人数是 181，今年推荐录取人数是 231-181=50
人，对应 C项。【选C】
【注意】
161.破题点：问今年推荐录取，有比例，用倍数特性，但直接不好使（选项的
锅），已知今年总人数和考试录取的比例，可以间接利用倍数关系。
2.倍数特性用不到所有条件是正常的，“总体录取人数比上年度高 10%”是
线段法会用到的。
【例 4】（2022国考）高校某专业 70多名毕业生中，有 96%在毕业后去西部
省区支援国家建设。其中去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的 20%，
比任职大学生村官的毕业生少 2 人，比在西部地区参军入伍的毕业生多 1人，其
余的毕业生选择去国有企业西部边远岗位工作。问去国有企业西部边远岗位工作
的毕业生有多少人？
A.32 B.29
C.26 D.23
【解析】4.“70 多”即 7 开头的两位数，不可能是 80 多、90 多、100 多；
出现“有 96%在毕业后去西部省区支援国家建设”，存在比例，考虑倍数特性，去
西部省区支援国家建设/总毕业生数=96/100=24/25，总毕业生数是 25 的倍数，
且要满足是“70多”，只能是 75。故去西部省区支援国家建设的人数为 24*3=72
人。
“其中去偏远中小学支教的毕业生占该专业毕业生总数的 20%”→去偏远中
小学支教的毕业生数=75*20%=15；“比任职大学生村官的毕业生少 2 人”→任职
大学生村官的毕业生数=15+2=17；“比在西部地区参军入伍的毕业生多 1 人”→
西部地区参军入伍的毕业生数=15-1=14人；“其余的毕业生选择去国有企业西部
边远岗位工作”，此处“其余”对应的总体是去西部省区支援国家建设的 72 人。
所求=72-15-17-14，尾数法，答案为 26，对应C项。【选C】
【注意】
1.破题点：给人数范围和比例，通过倍数关系结合范围确定具体值。
2.例 1、2、3是利用倍数特点，排除错误数据；例 4是利用倍数特点，锁死
具体数据。
17【注意】倍数特性法：非常重要。
1.重点是比例型，这几年考查多。江苏的15题数运中，会有 1～2题利用到
比例型的思维，可能和其他题型结合考查。数学运算的考法很多，如果有一个考
点每一年都考查 1～2次，就算考频非常高了。
（1）例1、2、3是根据排除的思路，找到倍数特点，排除错误选项；例4是
利用倍数特点和范围，锁定数据，顺藤摸瓜，给什么条件做什么。
（2）如果题目中出现比例、分数、百分数、倍数，可以考虑比例型倍数特
性，先看问题，问谁就找和问题直接有对应的比例，转换为 A/B=m/n的形式，直
接比例直接对应，没有则考虑间接找。
2.整除型：出现平均分，即三量关系 A=B*C，A 既是 B 的倍数，又是 C 的倍
数。
3.如果平均分组有剩余，考虑余数型，多退少补，转化为整除型倍数特性。
4.基本功是整除判定，课下需要多练习。
第三节 方程法
一、普通方程
二、不定方程
一、普通方程
找等量关系、设未知数、列方程、解方程
设未知数的技巧：
181.设小不设大（避免分数）
2.设比例份数（出现比例）
3.设中间量（方便列式）
4.同等条件下，求谁设谁（避免陷阱）
【注意】优先倍数特性，倍数特性就考虑列方程。普通方程：
1.找等量关系、设未知数、列方程、解方程。
2.设未知数的技巧：未知数没设好，方程就会不好解，此时可以代入，但如
果方程很长，代入很多次也费劲，故需要注意设未知数的技巧。
（1）设比例份数（出现比例）。比如男/女=5/3，求男生，选项都是 5 的倍
数，此时需要方程法，利用倍数特性，顺势按照比例，设男为 5x，女为3x。
（2）设小不设大（避免分数）。如果男/女=2/1，设女为 x，男为2x。
（3）设中间量（方便列式）。中间出现固定的数和几个量相等，为中间量。
（4）同等条件下，求谁设谁（避免陷阱）。
【例 1】（2022 联考）某单位四个党史宣讲小组各有若干组员，现增加 2 人
并重新分配，使得四个小组人数相等。此时与原先相比，第一小组人数增加 10
人，第二小组人数减少 1人，第三小组人数增加一倍，第四小组人数减半。则原
先人数最多的小组与人数最少的小组之间相差：
A.15 人 B.21人
C.24 人 D.32人
【解析】1.存在4个小组，如果问增加2人之后的总人数，则答案是 4的倍
数。但本题问的是最多和最少差多少，不能用倍数特性，考虑设未知数列方程，
存在明显相等，存在中间量，设固定的中间量，设“使得四个小组人数相等”的
每一组都为 x人，原来第一组为 x-10，第二组为 x+1，第三组为 x/2，第四组为
2x。原来的总数=x-10+x+1+x/2+2x=4.5x-9，则4.5x-9+2=4x→0.5x=7→x=14，原
来最多的一定是 2x=28，最少的要么是第一组（4），要么是第三组（7），是第一
组，故所求=28-4=24人，对应 C 项。【选C】
19【注意】破题点：主体太多，从中间量入手；设相等时每组人数为 x，反推
之前的人数。
二、不定方程
ax+by=M
方法：分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，尝试代入排除
【注意】不定方程：
1.形式：ax+by=M。
2.方法：分析奇偶、倍数、尾数等数字特性，尝试代入排除。
3.先排除，再代入。
1.奇偶性
ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性
【例】3x+4y=25，x=？（x、y均为正整数）
A.2 B.3
C.4 D.5
【注意】奇偶性：
1.ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性。
2.例：未知数系数一奇一偶，根据常识，4*任何整数=偶数，奇数+偶数=奇
20数，则3x为奇数，如果 x是偶数，则 3x一定是偶数，故x一定为奇数，排除 A、
C项，剩二代一，B项：3*3=9，则 4y=16→y=4，符合正整数的条件，对应 B项。
3.如果想不到奇偶特性，可以一个一个代入，A项：x=3，6+19=25，4y=19→
y不为整数，排除；B项：9+16=25→4y=16，x、y都是正整数，当选。
2.倍数特性
ax+by=M，当a或b与M 有公因子时，考虑倍数特性。
【例】7x+3y=60，x可能为多少？（x、y均为正整数）
A.5 B.6
C.7 D.8
【注意】倍数特性：
1.ax+by=M，当a或b与 M有公因子时，考虑倍数特性。
2.例：3 和 60 有公因子 3，都是 3 的倍数，则 7x 也得是 3 的倍数，原理是
“7x=60-3y=3*（20-y）”，7 不是 3 的倍数，则 x 是 3 的倍数，选择 B 项，如果
还有一个选项是 9，则剩二代一。
3.尾数法
ax+by=M，当a或b尾数是 0 或5时，考虑尾数特性
【例】37x+20y=271，x=？（x、y均为正整数）
A.1 B.3
C.2 D.4
【注意】尾数法：
1.ax+by=M，当a或b尾数是 0或5时，考虑尾数特性。
2.例：37x+20y=271，x=？（x、y均为正整数）
A.1 B.3
C.2 D.4
答：20y 尾数必然是 0，271 尾数是 1，则 37x 尾数是 1，代入验证，B 项满
足。
3.例：37x+15y=271，x=？（x、y均为正整数）
21A.1 B.3
C.2 D.4
答：15y 的尾数可能是 0 或 5，则 37x 的尾数也有 2 种可能，可能是 1、6，
代入选项验证，只有 B 项满足。如果选项中有 8，会存在纠结，此时剩二代一。
不定方程
方法：代入排除
先排：分析奇偶、倍数、尾数等数字特性排除选项
ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，考虑奇偶特性
ax+by=M，当a或b与M 有公因子时，考虑倍数特性
ax+by=M，当a或b的尾数是 0或5时，考虑尾数特性
再代：代入选项验证等式是否成立
【例 2】（2023 上海事业单位）为进一步推进垃圾分类工作，某街道准备张
贴宣传广告，设计了甲乙两种广告准备印制。已知制作一张甲类宣传广告需要 4
分钟，制作一张乙类宣传广告需要 7 分钟，若只有一台机器且每次仅能制作一
张，恰好 143分钟后所有宣传广告制作完毕，那么至多制作（ ）张乙类宣传广
告。（假设制作两张广告之间的时间忽略不计）
A.16 B.17
C.18 D.19
【解析】2.出现2个主体，即 2个未知数，但只给出1 个等量关系（143分
钟），为不定方程问题，设甲的张数是 x，乙的张数是 y，则 4x+7y=143，先排除
再代入，未知数系数一奇一偶，考虑奇偶特性，4x一定是偶数，143是奇数，则
7y是奇数，奇数*奇数=奇数，则 y是奇数，求的刚好是y，排除 A、C项。
剩二代一，问“至多”，优先代入 D项：4x+7*19=143→4x+133=143→x不取
整，但张数一定是整数，故排除 D项，选择B项。【选B】
【注意】
1.破题点：甲乙两个主体，但只有 1个等量关系，不定方程。
222.本题即使觉得 B项好算，先代入 B项，发现 B项和题干不违背，也不能选
择B项，因为还有更大的 D项存在，不确定 B项是不是“至多”。
【例 3】（2020 四川下）某人花 400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙
三个品种的樱桃单价分别为 28 元/盒、32元/盒和33元/盒，问他最多购买了多
少盒丙品种的樱桃？
A.3 B.4
C.5 D.6
【解析】3.存在甲乙丙三个主体，即 3个未知数，只有1 个等量关系（400），
不定方程。没有表述“恰好”，但默认是“恰好”，否则有无数组解。设甲、乙、
丙三个品种各买 x、y、z盒，则 28x+32y+33z=400，可以考虑奇偶特性和倍数特
性的时候，优先用倍数特性，因为奇偶特性的本质是讨论2的倍数特性，倍数特
性肯定排除的比奇偶特性多，比如 2的倍数可以排除2项，但是 4的倍数可以排
除 3 项。28、32、400 都是 4 的倍数，则 33x 是 4 的倍数、z 是 4 的倍数，对应
B项。如果用奇偶特性，可以排除 A、C项，剩二代一，问最多，先代入 D项，存
在不是整数的未知数，则排除 D 项，选择B项。【选B】
【注意】破题点：甲乙丙三个主体，但只有 1个等量关系，不定方程。
【例 4】（2022江苏）某企业年终评选了 30名优秀员工，分三个等级，分别
按每人 10 万元、5 万元、1 万元给予奖励。若共发放奖金 89 万元，则获得 1 万
元奖金的员工有：
A.14 人 B.19人
C.20 人 D.21人
【解析】4.存在三个等级，有 2 个等量关系，为不定方程组，设按每人 10
万元、5万元、1万元给予奖励的人数依次为x、y、z，根据题干列式：x+y+z=30
①，10x+5y+z=89②。可以消元，建议先观察，②出现系数 10，尾数是 0，当未
知数系数尾数出现 0，是非常好做的，10x 尾数必然为 0，则 5y+z 的尾数为 9，
5y尾数为 0或5，则z的尾数为 9或4，排除C、D项。
23剩二代一，没有问最大、最小，可以代入好算的，A项比 B项小，若觉得数
小的好算，先代入A项：z=14，根据①得到 x+y=30-14=16，根据②得到 10x+5y=75
→2x+y=15＜x+y→x＜0，x 不可能是负数，不符合题意，排除 A 项，选择 B 项。
【选B】
【注意】破题点：三个等级，但只有 2个等量关系，不定方程（组）。
【注意】方程法：
1.普通方程：要想方程解得快，需要课下多练习，其次需要将未知数设的巧
妙，根据具体题目来使用技巧。
2.不定方程：核心是代入排除，如果明显能够利用奇偶、倍数、尾数排除最
好，如果不能，考虑直接代入选项，若选项数字大，尽量先排除，否则计算量大，
如果选项数字小，即使能排除，不排除直接代也快，目的是求快。
3.不定方程很难居中代入，有 2 个未知数，会互相牵扯，例 4 如果居中代
入，不会更快。
【课后练习 1】（2020 江苏）在统计某高校运动会参赛人数时，第一次汇总
的结果是 1742人，复核的结果是 1796人，检查发现是第一次计算有误，将某学
院参赛人数的个位数字与十位数字颠倒了。已知该学院参赛人数的个位数字与十
位数字之和是 10，则该学院的参赛人数可能是（ ）
A.164 人 B.173人
C.182 人 D.191人
24【解析】1.出现数位变化，多位数问题，出现年龄、不定方程、多位数、余
数问题，考虑代入排除。已知该学院参赛人数的个位数字与十位数字之和是 10，
无法排除选项；A 项个位和十位颠倒即 164 变成 146，两个数存在差值，即对应
1742 和 1796 的差值，1796-1742=54，验证选项，用尾数法判断，判断尾数是 4
后进一步判断是不是 54，A 项：164-146≠54，B 项：173-137≠54，C 项：182-
128=54，C项满足题干所有条件，当选。【选 C】
【课后练习 2】（2020 江苏）某企业预计今年营业收入增长 15%，营业支出
增长 10%，营业利润增加 600 万元。已知该企业去年的营业利润为 1000 万元，
则其今年的预计营业支出是：
A.9000 万元 B.9900万元
C.10800 万元 D.11500万元
【解析】2.出现百分数，看到比例、分数、百分数、倍数，考虑比例型倍数
特性，A/B=m/n，先直接后间接，问“预计营业支出”，15%和收入相关，10%和支
出相关，某企业预计今年营业支出增长 10%，默认比去年增长，10%=1/10，“比”
后是分母，去年支出是10份，则今年支出/去年支出=11/10，所求是 11的倍数，
只有B项满足。【选 B】
【答案汇总】
代入排除法 1-3：BDB
余数型 1-2：DB
比例型 1-4：CCCC
方程法 1-4：CBBB
25遇见不一样的自己
Be your better self
26
