文档内容
方法精讲-数量 2
（笔记）
主讲教师：李晟
授课时间：2024.06.10
粉笔公考·官方微信方法精讲-数量 2（笔记）
【注意】本节课讲解三大方法：代入排除法、倍数特性法和方程法，是做题
的基本思维。
第一节 代入排除法
什么时候用？
看题型：多位数、余数、不定方程、年龄
看选项：选项为一组数（选项信息充分）
【注意】代入排除法：代入排除就是把选项代入题干中验证，广东省考 10
道题中一般有1～2题可以用代入排除法。学习重点是什么时候用：
1.看题型：多位数、余数、不定方程、年龄。
2.看选项：选项为一组数（选项信息充分）。
多位数问题：涉及到一个数各个位数上的变化
【示例1】有一个三位数，其百位数是个位数的2倍，十位数等于百位数和
个位数之和，那么这三位数是：
A.211 B.431
C.693 D.825
余数问题：出现“剩”、“余”、“缺”等关键字
【示例2】某班学生若按照每组5名学生分组，则余下3名学生，那么该班
总人数是多少？
A.41 B.42
C.43 D.44
不定方程：未知数个数＞方程个数（第三节详细讲）
【示例3】3x+2y=10，x、y均为正整数，求：x、y的值：
A.2、2 B.4、1
C.1、4 D.3、2
年龄：涉及到年龄的问题
【注意】
11.多位数问题：
（1）涉及到一个数各个位数上的变化，出现百位、十位、个位的描述，为
多位数问题。
（2）例 1：有一个三位数，其百位数是个位数的 2倍，十位数等于百位数
和个位数之和，那么这三位数是：
A.211 B.431
C.693 D.825
答：题干涉及百位、十位、个位等相关位数的描述变化，为多位数问题，代
入选项进行验证。已知“其百位数是个位数的2倍”，B、D项不满足，排除B、
D项；已知“十位数等于百位数和个位数之和”，A项不符合，排除，选择C项。
2.余数问题：广东省考重点题型，近几年每年都会考查。
（1）出现“剩”、“余”、“缺”等关键字，涉及平均分组、平均分配。
（2）例 2：某班学生若按照每组 5 名学生分组，则余下 3 名学生，那么该
班总人数是多少？
A.41 B.42
C.43 D.44
答：平均分组后余下3名学生，总人数-3人是5的倍数，观察选项，43-3=40，
40是5的倍数，选择C项。
3.不定方程：之前学习过的一元一次方程、二元一次方程组是定方程，即方
程的解是固定的；不定方程的解是不固定的，未知数个数＞方程个数，例如 2
个未知数、1个方程，3个未知数、1个或2个方程，在第三节课会详细讲解。
例3：3x+2y=10，x、y均为正整数，求：x、y的值：
A.2、2 B.4、1
C.1、4 D.3、2
答：1个方程、2个未知数，为不定方程，代入选项验证，代入A项：x=2、
y=2，6+4=10，满足，选择A项。
4.年龄：涉及到年龄描述的问题，例如小明和妈妈年龄之和、妈妈年龄是小
明的几倍。
2什么时候用？
看题型：多位数、余数、不定方程、年龄
看选项：选项为一组数（选项信息充分）
【示例3】3x+2y=10，x、y均为正整数，求：x、y的值：
A.2、2 B.4、1
C.1、4 D.3、2
【注意】什么时候用：
1.看题型：多位数、余数、不定方程、年龄。
2.看选项：选项为一组数（选项信息充分），至少每个选项都有2个数。
3.例：3x+2y=10，x、y均为正整数，求：x、y的值：
A.2、2 B.4、1
C.1、4 D.3、2
答：观察选项，每个选项都有2个数字，选项信息充分，可以直接把选项代
入做验证。
【例1】（2020江苏）在统计某高校运动会参赛人数时，第一次汇总的结果
是1742人，复核的结果是1796人，检查发现是第一次计算有误，将某学院参赛
人数的个位数字与十位数字颠倒了。已知该学院参赛人数的个位数字与十位数字
之和是10，则该学院的参赛人数可能是：
A.64人 B.73人
C.82人 D.91人
【解析】1.已知“将某学院参赛人数的个位数字与十位数字颠倒了。已知该
学院参赛人数的个位数字与十位数字之和是10”，涉及个位、十位相关的描述，
为多位数问题，用代入排除法。已知“第一次汇总的结果是 1742人，复核的结
果是1796人”，两次汇总结果人数相差了1796-1742=54人，个位和十位颠倒导
致相差54人，代入选项验证，A项：64-46≠54，排除；B项：73-37≠54，排除；
C 项：82-28=54，已知“该学院参赛人数的个位数字与十位数字之和是 10”，
2+8=10，满足题干所有要求，对应C项。【选C】
3【注意】做题中最多代入 3 次，代入 A、B项不满足题意，再代入 C项，如
果C项正确，则选择C项；如果C项错误，直接选择D项。
【例2】（2023联考）美术培训班有3名学员，他们的年龄满足以下条件：
他们的年龄都是正整数；2 号学员的年龄是 1 号学员年龄的一半；3 号学员比 2
号学员大 7 岁；3 名学员的年龄之和是不超过 70的素数，且该素数的各位数字
之和为13。那么这3位学员的年龄分别是多少岁？
A.12；6；13 B.20；10；17
C.24；12；19 D.30；15；22
【解析】2.观察选项，每个选项都有3个数，选项信息充分，考虑代入排除
法；出现年龄相关描述，为年龄问题，考虑代入排除法。已知“2号学员的年龄
是1号学员年龄的一半；3号学员比2号学员大7岁”，无法排除选项；已知“3
名学员的年龄之和是不超过70的素数，且该素数的各位数字之和为13”，素数
就是质数，代入选项，A 项：12+6+13=31，各位数字之和=3+1=4≠13，排除；B
项：20+10+17=47，各位数字之和=4+7=11≠13，排除；C 项：24+12+19=55，55
不是质数（只有1和本身两个约数的数是质数），排除，对应D项。【选D】
【例3】（2023广东）某工厂加工出一批正方体奶酪，抽检时质检员从奶酪
中切下了一个厚度为2厘米的长方体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为 144
立方厘米，则奶酪原本的边长为多少厘米？
A.4 B.6
C.8 D.10
【解析】3.根据题意可知，阴影部分高为 2，长方体体积=长*宽*高，假设
正方体奶酪原来的边长为a，长和宽不变，高变为a-2，长方体体积=a*a*（a-2）
4=144，出现a³，直接计算比较麻烦，结合选项代入排除，代入A项：4*4*2≠144，
排除；B项：6*6*4=36*4=144，符合，对应B项。【选B】
【注意】代入排除法：
1.范围：
（1）典型题：多位数、年龄、不定方程、余数。
（2）看选项：选项为一组数。
（3）剩两项：排除两项后，只剩两项把握不准时，代入其中一项即得答案。
2.方法：
（1）优先排除：尾数、奇偶、倍数。
（2）直接代入：最值（问最多：从大到小代入，问最少：从小到大代入）、
好算（例如选项为A.137、B.100，同等条件下，先代入B项）。
第二节 倍数特性法
基础知识：整除判定方法
三种题型：
整除型
余数型
比例型
5【注意】倍数特性法：代入排除的延伸，通过倍数关系排除干扰选项。
1.基础知识：整除判定方法。
2.三种题型：
（1）整除型。
（2）余数型。
（3）比例型。
整除判定方法
1、口诀法（针对常见数）
2、因式分解
3、拆分法（通用）
【注意】整除判定方法：口诀法、因式分解法考查较多。
1.口诀法（针对常见数）。
2.因式分解。
3.拆分法（通用）。
1、口诀法（针对常见数）
3/9看各位数字之和
2/5看末1位
4/25看末2位
8/125看末3位
2、因式分解
X/45，只需判断X是5和9的倍数即可
注意：分解后的2个数必须互质（互质即没有公约数）
3、拆分法（通用）
验证X是否是m的倍数：X=am+n（若n能被m整除，则X能被m整除）
例：273 能否被 13 整除，273=260+13,13 能被 13 整除，所以 273 能被 13
整除。
【注意】整除判定方法：
61.口诀法（针对常见数）：
（1）3/9看各位数字之和：例如12345能否被3整除，1+2+3+4+5=15，15/3
是整数，则12345能被3整除；12345能否被9整除，1+2+3+4+5=15，15/9不是
整数，则12345不能被9整除。
（2）2/5看末1位：能被2整除的数一定是偶数，即末位是0、2、4、6、8；
能被5整除的数末位是0或5。
（3）4/25看末2位：例如78218能否被4整除，看末两位，18/4不是整数，
则78218不能被4整除；78208能否被4整除，看末两位，08/4是整数，则78208
能被 4 整除；78200 能否被 4 整除，看末两位，00/4 是整数，则 78200 能被 4
整除；21705 能否被 25 整除，看末两位，05/25 不是整数，则 21705 不能被 25
整除；21750能否被25整除，看末两位，50/25是整数，则21750能被25整除。
能被25整除的情况：末两位是00、25、50、75。
（4）8/125看末3位：例如72160能否被8整除，看末三位，160/8是整数，
则72160能被8整除。
2.因式分解：针对比较大的合数。
（1）X/45，因式分解，45=5*9，一个数既能被 5整除、又能被 9 整除，这
这个数一定能被45整除，只需判断X是5和9的倍数即可。
（2）注意：分解后的2个数必须互质（互质即两个数之间除了 1 之外没有
其他公约数）。例如45可以拆为5*9，但不能拆为3*15，30既是3的倍数、又
是15的倍数，但30不是45的倍数，3、15还有公约数3。
（3）例：24=3*8，一个数既是 3 的倍数、又是 8 的倍数，则这个数是 24
的倍数，24不能拆成4、6，4、6有公约数2；12=3*4；6=2*3。
3.拆分法（通用）：
（1）验证X是否是m的倍数：X=am+n（若n能被m整除，则X能被m整除）。
（2）例：
①273能否被13整除。
答：可以直除，看结果是否是整数；也可以拆分，273=（ ）+（ ），第
一个数是 13 的倍数且越接近 273 越好，273=260+13，13 能被 13 整除，则 273
能被13整除。
7②794能否被11整除。
答：794=770+24，24不是11的倍数，则794不是11的倍数。
整除判定方法
1.口诀法（针对常见数）
（3/9看各位数字之和；2/5看末1位；4/25看末2位;8/125看末3位）
2.因式分解
X/45，只需判断X是5和9的倍数即可
注意：分解后的2个数必须互质（互质即没有公约数）
3.拆分法（通用）
验证X是否是m的倍数：X=am+n（若n能被m整除，则X能被m整除）
例：273 能否被 13 整除，273=260+13,13 能被 13 整除，所以 273 能被 13
整除。
【注意】整除判定方法：
1.口诀法（针对常见数，判断是否是3/9、4/25的倍数考查较多）：3/9看
各位数字之和；2/5看末1位；4/25看末2位;8/125看末3位。
2.因式分解：
（1）X/45，只需判断X是5和9的倍数即可。
（2）注意：分解后的2个数必须互质（互质即没有公约数）。
3.拆分法（通用）
（1）验证X是否是m的倍数：X=am+n（若n能被m整除，则X能被m整除）。
（2）例：273能否被13整除，273=260+13,13能被13整除，所以273能被
13整除。
倍数特性常见考法
1.整除型
2.倍数型
3.比例型
【注意】倍数特性常见考法：广东省考每年都会考查，余数型考查最多。
81.整除型。
2.倍数型。
3.比例型。
1、整除型
怎么用：如果满足A=B*C（B、C均为整数），那么，A能被B整除，且A能
被C整除
常见题型：①平均分配物品
②三量关系：A=B*C
【示例】一堆苹果分给一些人，恰好平均每人分3个。问这堆苹果有多少个？
A.119 B.120
C.121 D.122
【注意】整除型：
1.怎么用：如果满足A=B*C（B、C均为整数），那么A能被B整除且A能被
C整除。
2.常见题型：
（1）平均分配物品。
（2）三量关系：A=B*C。
3.例：一堆苹果分给一些人，恰好平均每人分3个。问这堆苹果有多少个？
A.119 B.120
C.121 D.122
答：苹果总数=3*人数，则苹果总数是 3 的倍数，观察选项，只有 120 是3
的倍数，选择B项。
【例】（2024 广东）档案室需要整理 300 份档案，要求每天整理的档案数
量相同，且规定了完成的期限。如果要提前一天完成，那么每天需要多整理 10
份档案。则规定的期限为多少天？
A.6 B.7
C.8 D.9
9【解析】例.已知“档案室需要整理300份档案”，300=天数*每天效率，每
天效率=300/天数、天数=300/每天效率。
方法一：选项对应天数，每天效率是整数，即300/天数是整数，观察选项，
只有300/6是整数，对应A项。
方法二：代入排除，代入 A项：300=6天*50份，提前 1 天完成，即 5天完
成，300=5天*60份，60-50=10份，满足题意，对应A项。【选A】
2.余数型
如果，总数=ax±b，那么，总数∓ b能被a整除（多退少补）。（a、x均为
整数）
【示例 1】一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还剩 3 个。问这堆苹
果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
【示例 2】一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还缺 3 个。问这堆苹
果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
【注意】余数型：
1.如果，总数=ax±b，那么，总数∓ b能被a整除（多退少补），a、x均为
整数。
2.例 1：一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还剩 3 个。问这堆苹果
有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
答：平均分组有剩余，总数-3=10*人数，观察选项，123-3 是 10 的倍数，
选择C项。
3.例 2：一堆苹果分给一些人，平均每人分 10 个，还缺 3 个。问这堆苹果
有多少个？
10A.117 B.120
C.123 D.126
答：“缺”说明不够，需要补上3个苹果，总数+3=10*人数，观察选项，117+3
是10的倍数，选择A项。
【例1】（2024事业单位）企业招聘了 100多名应届毕业生，其中 13人被
分配到总部工作，剩下的人正好分配到7个分公司，也能被平均分配到9个分公
司工作，问企业招聘了多少名应届毕业生？
A.126 B.139
C.176 D.189
【解析】1.方法一：已知“其中 13人被分配到总部工作，剩下的人正好分
配到7个分公司，也能被平均分配到9个分公司工作”，总人数-13既是7的倍
数、又是9的倍数，为余数问题，考虑代入排除法。代入选项，A项：126-13=113，
113不是9的倍数，排除；B项：139-12=126，1+2+6=9，126是9的倍数，126/7=18，
也可以拆分，126=140-14，14 是 7 的倍数，则 126 既是 9 的倍数、又是 7 的倍
数，满足，对应B项。
方法二：一个数既是7的倍数又是9的倍数，7和9之间互质，7、9最小公
倍数是63，则这个数是63的倍数，说明总人数-13是63的倍数。结合选项，结
果只能在 63 的 2 倍、3 倍左右，先试 2 倍，63*2=126=总人数-13→总人数
=126+13=139，对应B项。【选B】
【注意】如果总数-13是7的倍数、总数-11是9的倍数，则不能用方法二。
【例2】（2024广东）某社区计划组织志愿者为社区内的独居老人提供服务。
按已有志愿者的数量，如果每位志愿者服务 10位老人，则有5 位老人无人提供
服务；如果增加2位志愿者，则每位志愿者最多服务8位老人就能为所有老人提
供服务。那么该社区最多有多少位独居老人？
A.50 B.55
C.60 D.65
11【解析】2.已知“如果每位志愿者服务 10位老人，则有5位老人无人提供
服务”，为余数问题，总老人数-5 是 10 的倍数，排除 A、C 项。已知“如果增
加2位志愿者，则每位志愿者最多服务8位老人就能为所有老人提供服务”，“最
多”是不确定的条件，可以服务8个人、7个人、6个人，无法排除选项；剩余
B、D项，剩二代一，问最多，从大的选项开始代入，代入D项：一共65名老人，
志愿者人数=（65-5）/10=6人，增加2名志愿者后为6+2=8名志愿者，65/8＞8，
说明至少有一位志愿者服务老人数超过8，不满足要求，排除，对应B项。【选
B】
三、比例型
已知男生人数/女生人数=5/3，问：
（1）男生人数是_____的倍数
（2）女生人数是_____的倍数
（3）全班人数是_____的倍数
（4）男女生人数差是_____的倍数
如果：A/B=m/n（m与n互质）
那么：A是m的倍数
B是n的倍数
A+B是m+n的倍数
A-B是m-n的倍数
男生人数/女生人数=5/3，则：
（1）男生人数是5的倍数
（2）女生人数是3的倍数
（3）全班人数是5+3的倍数
（4）男女生人数差是5-3的倍数
【注意】比例型：
1.已知男生人数/女生人数=5/3，男生人数对应5份，女生人数对应3份，
总人数=男生人数+女生人数=5份+3份=8份，男女生人数差=男生人数-女生人
数=5份-3份=2份，问：
12（1）男生人数（分子）是5的倍数。
（2）女生人数（分母）是3的倍数。
（3）全班人数是5+3的倍数。
（4）男女生人数差是5-3的倍数。
2.如果：A/B=m/n（m与n互质）；那么：A是m的倍数；B是n的倍数；
A+B是m+n的倍数；A-B是m-n的倍数。
比例问题三步走
识别：出现分数、百分数、比例、倍数，求与之相关的具体数时，可优先考
虑比例倍数
转化比例：A/B=m/n（互质）
先分析与题目所求直接相关的比例，若得不到答案，再分析其他的比例
求谁分析谁
【例1】（2022联考）某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志
愿服务队。其中，20 至 30 岁（不含 30 岁）的人数占总人数的 68%，30 岁及以
上的人数是不到 20岁人数的 7倍。已知 30 岁以下的人数比30 岁及以上的人数
多66人，问这支服务队共多少人？
A.90 B.120
C.150 D.180
【解析】1.出现百分数（68%）和倍数（7倍），求总人数，与总人数有直
接关系的条件为“20 至30岁（不含 30岁）的人数占总人数的 68%”。（1）识
别：出现总人数相关的百分数，求人数，考虑倍数特性。（2）转化比例：20～
30岁的人数/总人数=68/100=17/25，写成A/B=m/n的形式，总人数为分母部分，
即总人数为25的倍数，25的倍数为 25、50、75、100，看末两位是25的倍数即
可，排除A、B、D项，对应C项。【选C】
【例2】（2024联考）某单位为解决职工暑期“带娃难”的问题，开设了暑
托班。开班时男孩与女孩的比例为3：4，后来有2个男孩、1个女孩退出暑托班，
13此时男孩与女孩的比例为2：3。那么开班时女孩有多少人？
A.10 B.12
C.14 D.16
【解析】2.出现两个比例关系，与男孩、女孩有关系，求具体人数，考虑倍
数特性。（1）识别：出现女孩人数相关的比例，求女孩人数。（2）转化比例：
“开班时男孩与女孩的比例为3：4”，开班男孩人数/开班女孩人数=3/4，开班
时女孩人数为 4 的倍数，排除 A、C 项。“后来有 2 个男孩、1 个女孩退出暑托
班，此时男孩与女孩的比例为2：3”，（开班男孩人数-2）/（开班女孩人数-1）
=2/3，开班女孩人数-1=3的倍数，代入B项：12-1=11，不是3的倍数，排除，
对应D项。【选D】
【注意】比例转化小技巧：
1.A是B的n/m：A/B=n/m。
2.A比B多n/m：A/B=1+n/m=（m+n）/m。
3.A比B少n/m：A/B=1-n/m=（m-n）/m。
【例3】（2023联考）某高校今年共有231名本科毕业生被录取为硕士研究
生。其中推荐录取人数比上年度减少1/6，而考试录取人数比上年度增加31/150，
总体录取人数比上年度高10%，那么，这所高校今年推荐录取的研究生人数为：
A.40人 B.45人
C.50人 D.55人
【解析】3.给出相关的比例关系，求今年推荐录取的人数，分析倍数特性，
求谁先分析谁，根据“其中推荐录取人数比上年度减少 1/6”，今年推荐/去年
推荐=1-1/6=5/6，今年推荐的研究生人数是5的倍数，四个选项均符合；“考试
录取人数比上年度增加 31/150”，今年考上/去年考上=1+31/150=181/150，今
年考上的人数是 181 的倍数，总共只有 231 名，则今年考上的人数=181 人，则
今年推荐的人数=231-181=50人，对应C项。【选C】
【例4】（2024联考）大学生创业主要集中在高科技、智力服务、连锁加盟
14和自媒体运营四个领域。某学院今年选择创业的大学毕业生不到 50人，其中选
择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占 1/7、1/2 和 1/3。
那么该学院今年选择高科技领域创业的大学毕业生有多少人？
A.1 B.3
C.5 D.7
【解析】4.“某学院今年选择创业的大学毕业生不到50人”，总人数≤50
人。出现三个比例关系（1/7、1/2、1/3），可以根据比例关系确定具体人数。
“选择智力服务领域、连锁加盟领域和自媒体运营领域的分别占1/7、1/2和1/3”，
智力服务领域/总人数=1/7、连锁加盟领域/总人数=1/2，自媒体运营领域/总人
数=1/3，总人数是7、2、3的倍数，则总人数是7、2、3的公倍数，7*3*2=42，
符合总人数≤50人，故总人数为 42人。智力服务领域=42*（1/7）=6 人，连锁
加盟领域=42*（1/2）=21人，自媒体运营领域=42*（1/3）=14人，则高科技领
域=42-6-21-14=1人，对应A项。【选A】
【注意】给出人数范围和相关比例，可根据比例确定具体的人数。
第三节 方程法
什么时候用：若题目没有明显特征或其它技巧没法用时
怎么用：设未知数——找等量关系——列方程——解方程
普通方程
15不定方程
不定方程组
【注意】方程法：
1.什么时候用：若题目没有明显特征或其它技巧没法用时。
2.怎么用：设未知数——找等量关系——列方程——解方程。
（1）普通方程。
（2）不定方程。
（3）不定方程组。
一、普通方程
设未知数的技巧：
1.设小不设大（避免分数）
2.设比例份数（出现比例）
3.设中间量（方便列式）
4.同等条件下，求谁设谁（避免陷阱）
【注意】设未知数的技巧：
1.设小不设大（避免分数）：甲是乙的2倍，设乙为x，则甲为2x。
2.设比例份数（出现比例）：甲乙之比=3：4，设甲为3x，乙为4x。
3.设中间量（方便列式）：甲比乙多3个，丙比乙少2个。甲、丙都跟乙有
关系，设乙为x，则甲为x+3，丙为x-2。
4.同等条件下，求谁设谁（避免陷阱）。
【例1】（2024国考）甲、乙、丙三种农产品价格分别为30元/包、24元/
包和20 元/包。某日销售三种农产品共 240包，总销售额为6000 元，已知甲的
销售量是乙的2倍，问丙销售了多少包？
A.90 B.75
C.60 D.45
【解析】1.根据“甲的销售量是乙的2倍”，设乙的销量为x，则甲的销量
为2x，丙的销量=240-3x，“总销售额为6000元”，列方程：30*2x+24x+20*（240-3x）
16=6000→60x+24x+4800-60x=6000→24x=1200→x=50，所求=240-150=90，对应 A
项。【选A】
二、不定方程：
形式：ax+by=M
方法：代入排除
1.先排除
①奇偶性：a和b一奇一偶
②倍数特性：a或b与M存在公约数
③尾数法：a或b有一个是5或者10的倍数
2.再代入
1.奇偶性
ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，可考虑奇偶性
【例】3x+4y=25，x=？（x、y均为正整数）
A.2 B.3
C.4 D.5
2.倍数特性
ax+by=M，当a或b与M有公因子时，可考虑倍数特性
【例】7x+3y=60，x可能为多少？（x、y均为正整数）
A.4 B.6
C.7 D.9
3.尾数法
ax+by=M，当a或b尾数是0或5时，考虑尾数
【例】37x+20y=271，x=？（x、y均为正整数）
A.1 B.2
C.3 D.4
【注意】
1.奇偶性：
17（1）ax+by=M，当a、b恰好一奇一偶时，可考虑奇偶性。
（2）例：3x+4y=25，x=？（x、y均为正整数）
A.2 B.3
C.4 D.5
答：x、y 的系数分别为 3、4，系数一奇一偶，分析奇偶性。两个数相加=
奇数，则3x和4y一奇一偶，4y一定是偶数，则3x一定是奇数，x一定是奇数，
排除 A、C 项。剩二代一，代入 B 项：x=3，4y=25-3*3=16，y=4，符合，选择 B
项。
（3）奇偶性的运算：
①加减法：奇数±奇数=偶数，偶数±偶数=偶数，奇数±偶数=奇数。等号
右边是偶数，则等号左边同奇同偶；等号右边是奇数，则等号左边一奇一偶。
②乘法：偶数*任意整数=偶数，奇数*奇数=奇数。
2.倍数特性：
（1）ax+by=M，当a或b与M有公因子（公约数）时，可考虑倍数特性。
（2）例：7x+3y=60，x可能为多少？（x、y均为正整数）
A.4 B.6
C.7 D.9
答：x和y的系数为7和3，都是奇数，不能用奇偶性，发现3和60存在公
约数，3y 一定是3的倍数，60一定是3的倍数，则7x一定是3的倍数，7不是
3的倍数，则x是3的倍数，排除A、C项。代入D项：x=9时，7*9=63＞60，不
符合，排除D项，选择B项。验证7x是3的倍数：3y一定是3的倍数，60一定
是3的倍数，7x=60-3y=3*（20-y），则7x必然是3的倍数。
3.尾数法：
（1）ax+by=M，当a或b尾数是0或5时，考虑尾数。0*任意整数的尾数为
0；5*任意整数的尾数为0或5，5*奇数的尾数为5，5*偶数的尾数为0。
（2）例：37x+20y=271，x=？（x、y均为正整数）
A.1 B.2
C.3 D.4
答：20y 的尾数为 0，271 的尾数为 1，尾数 1+尾数 0=尾数 1，则 37x 的尾
18数为1，结合选项，3*7=21，选择C项。
【例2】（2022事业单位）食品厂加工某件产品，需要使用特定的包装袋，
包装袋有大小两种规格，大的包装袋每袋能装23件产品，小的包装袋每袋能装
6件产品。把133件产品装入包装袋内，要求每个包装袋都恰好装满。则最少需
要的包装袋为多少个？
A.7 B.8
C.9 D.10
【解析】2.设大包装袋需要x个，小包装袋需要y个，“大的包装袋每袋能
装23件产品，小的包装袋每袋能装 6件产品。把133件产品装入包装袋内”，
列式：23x+6y=133，求x+y的最小值。总数133为定值，要想个数少，尽量用大
的包装袋，x尽量大，y尽量小，方程的系数一奇一偶，奇数+偶数=奇数，则23x
为奇数，x为奇数，x=1、3、5、7、9、……，23x≤133，x的最大值为5，当x=5
时，6y=133-23*5=18，解得y=3。最少需要的包装袋为x+y=8个，对应B项。【选
B】
【例3】（2023上海）足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，
这是由当值主裁判决定的。某场比赛的主裁判确定伤停补时的规则为：每次处理
受伤增加 30 秒，每次换人增加 20 秒，其他情况每次增加 10秒。在下半场即将
结束时，主裁判确定伤停补时的时长为 4 分30秒。若已知下半场比赛时间内，
处理受伤、换人和其他情况都存在且共计有 10次，那么下半场两队总共换了多
少次人？
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】3.出现“都存在”，说明取值大于0。有两个等量关系，“主裁判
确定伤停补时的时长为 4分 30秒”、“处理受伤、换人和其他情况都存在且共
计有10次”，设处理受伤x次，换人y次，其他情况z次，列式：x+y+z=10①，
4分30秒=270秒，30x+20y+10z=270→3x+2y+z=27②，三个未知数两个方程，为
不定方程组，先消元，保留所求的主体y，剩下两个未知数谁好消就消掉谁，消
19z，②-①：2x+y=17，两个未知数一个方程，分析奇偶性，2x是偶数，17是奇数，
则y是奇数，排除B、D项。剩二代一，验证取值大于0即可，代入A项：y=1，
2x=17-1=16，解得x=8，z=1，符合取值为整数且大于0，对应A项。【选A】
【例 4】（2024 联考）商店销售甲、乙、丙、丁四种商品，每件分别盈利
15 元、9 元、4元和 1 元。某日销售这四种商品共 40件，共盈利 201 元。四种
商品每种至少销售1件，且甲、丁商品销量相同。问当天丙商品的销量为多少件？
A.21 B.27
C.29 D.31
【解析】4.“四种商品每种至少销售1件”，说明取值不能为0。“甲、丁
商品销量相同”，设甲为x件，乙为y件，丙为z件，丁为x件，“某日销售这
四种商品共 40 件，共盈利 201 元”，列式：x+y+z+x=40→2x+y+z=40①，
15x+9y+4z+x=201→16x+9y+4z=201②，三个未知数两个方程，先消元，保留z，
剩下两个未知数谁好消就消掉谁，消 x，①*8-②：4z-y=119，不定方程奇偶性
不好用，可以考虑范围，4z=119+y，y≥1，则4z≥120，z≥30，对应D项。【选
D】
【练习1】（2023广东）某社区计划组件多支社工团队，为此招募了一批社
工。如果每支团队由3名社工组成，则剩余2名社工；如果每支团队由4名社工
组成，同样剩余2名社工，则该社区可能招募了（ ）名社工。
A.32 B.34
C.36 D.38
20【解析】练习 1.已知“如果每支团队由 3名社工组成，则剩余 2 名社工；
如果每支团队由 4 名社工组成，同样剩余 2 名社工”，总数-2 是 3 的倍数、总
数-2是4的倍数，总数-2既是3的倍数又是4的倍数，四个选项-2分别为30、
32、34、36，30不是4 的倍数，32不是3的倍数，34不是3或4的倍数，排除
A、B、C项，对应D项。或者总数-2是12的倍数，结合选项（38-2=36），只有
D项满足。【选D】
【练习2】（2020广东）某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，
需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装
15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋多少个？
A.2 B.3
C.5 D.7
【解析】练习2.设大的文件袋有x个，小的文件袋有y个，列式：24x+15y=153
→8x+5y=51，采用尾数法，5y 的尾数为 5 或 0，51 的尾数为 1，要么尾数 1+尾
数0=尾数1，要么尾数6+尾数5=尾数1。8x的尾数不能为1，尾数1+尾数0=尾
数1，这种情况不满足。尾数 6+尾数 5=尾数 1，8x的尾数为6，排除 B、C项；
代入D项，当x=7时，7*8=56＞51，此时y为负数，文件袋个数不能为负数，排
除，对应A项。【选A】
预习范围（P187～P191）：第四节：工程问题；第五节：经济利润问题
预习要求：尽量做一遍，不会的题目要熟悉每道题的题干。
下节课课前10分钟答疑
【答案汇总】
代入排除法1-3：CDB
整除型1：A
余数型1-2：BB
比例型1-4：CDCA
方程法1-4：ABAD
21遇见不一样的自己
Be your better self
22
