2016年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

2016 年考研数学二真题与解析 一、选择题 1—8小题．每小题4 分，共32分． 1 １．当x 0 时，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ） 1 1 （A）(2,) （B）(1,2) （C）( ,1) （D）(0, ) 2 2 1 1 1 2 2  【详解】ln(12x)~ 2x，是阶无穷小，(1cosx) ~ x是 阶无穷小，由题意可知2 1   1 2  所以的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）． 2．下列曲线有渐近线的是 1 1 （A） y  xsinx （B） y  x2 sinx（C） y  xsin （D） y  x2 sin x x 1 y 1 【详解】对于 y  xsin ，可知lim 1且lim(y x) limsin  0，所以有斜渐近线 y  x x x x x x x 应该选（C） 3．设函数 f(x)具有二阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，则在[0,1]上（ ） （A）当 f'(x) 0时， f(x) g(x) （B）当 f'(x) 0时， f(x) g(x) （C）当 f(x) 0时， f(x) g(x) （D）当 f(x) 0时， f(x) g(x) 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然 g(x) f(0)(1 x) f(1)x就是联接(0, f(0)),(1, f(1))两点的直线方程．故当 f(x) 0时，曲线是凹 的，也就是 f(x) g(x)，应该选（D） 【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F(x) f(x) g(x) f(x) f(0)(1 x) f(1)x，则F(0) F(1) 0，且F"(x) f"(x)，故当 f(x) 0时，曲线是凹的，从而F(x) F(0) F(1) 0，即F(x) f(x) g(x) 0，也就是f(x) g(x)，应该选（D） x  t2 7, 4．曲线 上对应于t 1的点处的曲率半径是（ ） y  t2 4t 1 10 10 （Ａ） （Ｂ） (Ｃ）10 10 （Ｄ）5 10 50 100 y" 1 【详解】 曲线在点(x, f(x))处的曲率公式K  ，曲率半径R ． (1 y'2)3 K 2  dx dy dy 2t 4 2 d2y t2 1 本题中  2t,  2t 4，所以  1 ，    ， dt dt dx 2t t dx2 2t t3 y" 1 1 对应于t 1的点处 y'3,y" 1，所以K   ，曲率半径R  10 10． (1 y'2)3 10 10 K 应该选（C） 2 5．设函数 f(x)arctanx，若 f(x) xf'()，则lim （ ） x0 x2 2 1 1 （Ａ）1 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 3 2 3 1 1 【详解】注意（1） f'(x) ，（2）x 0时,arctanx  x x3 o(x3)． 1 x2 3 1 f(x) arctanx xarctanx 由于 f(x) xf'()．所以可知 f'()   ，2  ， 12 x x (arctanx)2 1 x(x x3)o(x3) 2 xarxtanx 3 1 lim  lim  lim  ． x0 x2 x0 x(arctanx)2 x0 x3 3 2u 6．设u(x,y)在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足  0 及 xy 2u 2u   0，则（ ）． x2 y2 （A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部； （C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上． 【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值．并且如果在 u u 2u 2u 2u 2u 内部存在驻点(x ,y )，也就是   0，在这个点处 A ,C  ,B   ，由 0 0 x y x2 y2 xy yx 条件，显然AC B2  0，显然u(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最 小值点必定都在区域D的边界上． 所以应该选（A）． 0 a b 0 a 0 0 b 7．行列式 等于 0 c d 0 c 0 0 d （A）(ad bc)2 （B）(ad bc)2 （C）a2d2 b2c2 （D）a2d2 b2c2 【详解】 0 a b 0 a 0 b a 0 b a 0 0 b a b a b  a0 d 0 b0 c 0  ad bc  (ad bc)2 0 c d 0 c d c d c 0 d c 0 d c 0 0 d 应该选（B）． 8．设, , 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量 k ， l 线性无关是向量, , 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 线性无关的 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件 【详解】若向量, , 线性无关，则 1 2 3 1 0   （ k ， l ）(, , )0 1(, , )K ，对任意的常数k,l，矩阵K 的秩都等 1 3 2 3 1 2 3 1 2 3   k l 于2，所以向量 k ， l 一定线性无关． 1 3 2 3 1 0 0       而当 0, 1, 0 时，对任意的常数k,l ，向量 k ， l 线性无关，但 1 2 3 1 3 2 3       0 0 0 , , 线性相关；故选择（A）． 1 2 3二、填空题（本题共6 小题，每小题4分，满分24 分. 把答案填在题中横线上） 1 1 9． dx  ．  x2 2x5 1 1 1 dx 1 x1 1   3 【详解】 dx    arctan |1   ( ) ．  x2 2x5 (x1)2 4 2 2  2 4 2  8   10．设 f(x)为周期为4的可导奇函数，且 f'(x) 2(x1),x 0,2 ，则 f(7) ． 【 详 解 】 当 x  0,2  时 ， f(x)  2(x1)dx  x2 2xC ， 由 f(0) 0 可 知 C  0 ， 即 f(x) x2 2x； f(x)为周期为4奇函数，故 f(7) f(1) f(1)1． 7 11．设z  z(x,y)是由方程e2yz  x y2  z  确定的函数，则dz|  ． 4  1 , 1   2 2 7 1 【详解】设F(x,y,z) e2yz  x y2  z ，F 1,F  2ze2yz 2y,F  2ye2yz 1，当x  y  4 x y z 2 z F 1 z F 1 1 1 时，z  0，   x   ，   y   ，所以dz|   dx dy． x F 2 y F 2  1 , 1   2 2 z z 2 2   12．曲线L的极坐标方程为r ，则L在点(r,) , 处的切线方程为 ．  2 2 x  r()coscos   【详解】先把曲线方程化为参数方程 ，于是在 处， x  0,y  ， y  r()sinsin 2 2 dy sincos 2    2 |  |   ，则 L在点(r,) , 处的切线方程为 y   (x0)，即 dx  cossin    2 2 2  2 2 2  y   x .  2 13．一根长为1的细棒位于 x轴的区间  0,1  上，若其线密度(x) x2 2x1，则该细棒的质心坐标 x  ． 11  1 x(x)dx  1 (x3 2x2  x)dx 【详解】质心坐标x  0  0  12  11 ．  1 (x)dx  1 (x2 2x1)dx 5 20 0 0 3 14．设二次型 f(x ,x ,x ) x2  x2 2ax x 4x x 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围 1 2 3 1 2 1 3 2 3是 ． 【详解】由配方法可知 f(x ,x ,x ) x2  x2 2ax x 4x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3 (x ax )2 (x 2x )2 (4a2)x2 1 3 2 3 3 由于负惯性指数为1，故必须要求4a2  0，所以a的取值范围是  2,2  ． 三、解答题 15．（本题满分10分） 1 x  (t2(et 1)t)dt 求极限 lim 1 ． x 1 x2ln(1 ) x 【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限． 【详解】 1 1  x (t2(et 1)t)dt  x (t2(et 1)t)dt 1 lim 1  lim 1  lim(x2(ex 1) x) x 1 x x x x2ln(1 ) x  1 1 1  1  limx2(  o( ) x x x 2x2 x2  2 16．（本题满分10分） 已知函数 y  y(x)满足微分方程x2  y2y'1 y'，且 y(2) 0，求 y(x)的极大值和极小值． 【详解】 dy 解：把方程化为标准形式得到(1 y2) 1 x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分 dx 1 1 2 可得方程通解为： y3  y  x x3 C，由 y(2) 0得C  ， 3 3 3 1 1 2 即 y3  y  x x3  ． 3 3 3 dy 1 x2 d2y 2x(1 y2)2 2y(1 x2)2 令   0，得x  1，且可知  ； dx 1 y2 dx2 (1 y2)3 当x 1时，可解得 y 1， y" 1 0，函数取得极大值 y 1； 当x  1时，可解得 y  0， y" 2 0，函数取得极小值 y  0． 17．（本题满分10分）  xsin( x2  y2) 设平面区域D  (x,y)|1 x2  y2  4,x  0.y  0 ．计算 dxdy x y D 【详解】由对称性可得 xsin( x2  y2) ysin( x2  y2) 1 (x y)sin( x2  y2)  dxd   dxd   dxdy x y x y 2 x y D D D 1 sin( x2  y2) 1  2 3   dxd  2d rsinrdr   2 1 2 0 1 4 D 18．（本题满分10分） 2z 2z 设 函 数 f(u) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， z  f(excos y) 满 足  (4zexcosy)e2x ． 若 x2 y2 f(0) 0, f'(0) 0，求 f(u)的表达式． 【详解】 设u excos y，则z  f(u) f(excos y)， z 2z  f'(u)excosy,  f"(u)e2xcos2 y f'(u)excos y; x x2 z 2z   f'(u)exsin y,  f"(u)e2xsin2 y f'(u)excos y； y y2 2z 2z   f"(u)e2x  f"(excos y)e2x x2 y2 2z 2z 由条件  (4zexcosy)e2x， x2 y2 可知 f"(u) 4f(u)u 这是一个二阶常用系数线性非齐次方程． 对应齐次方程的通解为： f(u)C e2u C e2u其中C ,C 为任意常数． 1 2 1 2 1 对应非齐次方程特解可求得为 y*  u． 4 1 故非齐次方程通解为 f(u)C e2u C e2u  u． 1 2 41 1 将初始条件 f(0) 0, f'(0) 0代入，可得C  ,C   ． 1 16 2 16 1 1 1 所以 f(u)的表达式为 f(u) e2u  e2u  u． 16 16 4 19．（本题满分10分）   设函数 f(x),g(x)在区间 a.b 上连续，且 f(x)单调增加，0 g(x)1，证明： x   （1） 0  g(t)dt  xa, x a,b ； a ab g(t)dt b （2）  a f(x)dx   f(x)g(x)dx． a a 【详解】 x x x   （1）证明：因为0 g(x)1，所以 0dx   g(t)dt   1dt x a,b ． a a a x   即0  g(t)dt  xa, x a,b ． a x x a g(t)dt （2）令F(x)  f(u)g(u)du a f(u)du， a a  x  则可知F(a) 0，且F'(x) f(x)g(x) g(x)fa g(t)dt，  a  x 因为0  g(t)dt  xa, 且 f(x)单调增加， a  x  所以 fa g(t)dt f(a xa) f(x)．从而  a   x    F'(x) f(x)g(x) g(x)fa g(t)dt f(x)g(x) g(x)f(x) 0， x a,b  a    也是F(x)在 a,b 单调增加，则F(b) F(a) 0，即得到 ab g(t)dt b  a f(x)dx   f(x)g(x)dx． a a 20．（本题满分11分） x   设函数 f(x) ,x 0,1 ，定义函数列 1 x f (x) f(x)， f (x) f(f (x))，, f (x) f(f (x)), 1 2 1 n n1 设S 是曲线 y  f (x)，直线x 1, y  0所围图形的面积．求极限limnS ． n n n n 【详解】 x x f (x) 1 x x x f (x) , f (x) 1   ， f (x) ,， 1 1 x 2 1 f (x) x 12x 3 13x 1 1 1 xx 利用数学归纳法可得 f (x) . n 1nx 1 1 x 1 1 1 1 ln(1n) S   f (x)dx   dx   (1 )dx  (1 )， n 0 n 01nx n 0 1nx n n  ln(1n) limnS  lim1  1． n n n n  21．（本题满分11分） f 已知函数 f(x,y)满足  2(y1)，且 f(y,y)(y1)2 (2 y)ln y，求曲线 f(x,y) 0所成的 y 图形绕直线 y  1旋转所成的旋转体的体积． 【详解】 f 由于函数 f(x,y)满足  2(y1)，所以 f(x,y) y2 2yC(x)，其中C(x)为待定的连续函数． y 又因为 f(y,y)(y1)2 (2 y)ln y，从而可知C(y)1(2 y)ln y， 得到 f(x,y) y2 2yC(x) y2 2y1(2 x)lnx． 令 f(x,y) 0，可得(y1)2 (2 x)lnx．且当 y  1时，x 1,x  2． 1 2 曲线 f(x,y) 0所成的图形绕直线 y  1旋转所成的旋转体的体积为 2 2 5 V  (y1)2dx  (2 x)lnxdx (2ln2 ) 1 1 4 22．（本题满分11分） 1 2 3 4   设A0 1 1 1 ，E为三阶单位矩阵．   1 2 0 3  （1） 求方程组AX  0的一个基础解系； （2） 求满足AB  E的所有矩阵． 【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 1          A0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2，         1 2 0 3  0 4 3 1  0 0 1 3 0 0 1 3 得到方程组AX  0同解方程组x  x 1 4  x  2x 2 4  x 3x 3 4 1    2  得到AX  0的一个基础解系  ． 1  3       1   x y z   1 1 1 x y z  （2）显然B矩阵是一个43矩阵，设B   2 2 2  x y z  3 3 3   x y z  4 4 4 对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下： 1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 1 0 0     (AE)0 1 1 1 0 1 00 1 1 1 0 1 0     1 2 0 3 0 0 1 0 4 3 1 1 0 1 1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 1 2 6 1     0 1 1 1 0 1 00 1 0 2 1 3 1      0 0 1 3 1 4 1 0 0 1 3 1 4 1  由方程组可得矩阵B对应的三列分别为  x   2  1  y   6  1 z  1 1  1      1      1     x  1  2   y  3  2  z   1   2  2  c ， 2  c ， 2  c ，  x   1  1 3   y   4  2 3   z   1  3 3   3      3      3                       x   0   1   y   0   1  z   0   1  4 4 4 即满足AB  E的所有矩阵为  2c 6c 1c   1 2 3 12c 32c 12c  B  1 2 3   13c 43c 13c  1 2 3     c c c  1 2 3 其中c ,c ,c 为任意常数． 1 2 3 23．（本题满分11分） 1 1  1 0  0 1     1 1  1 0  0 2 证明n阶矩阵 与 相似．                   1 1  1 0  0 n1 1  1 0  0 1     1 1  1 0  0 2 【详解】证明：设A ，B  ．                   1 1  1 0  0 n 分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下： 1 1  1 1 1  1 E  A  (n)n1，    1 1  1 所以A的n个特征值为  n,    0； 1 2 3 n      0  而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且A~   ；       0  0  1 0   2 E B  (n)n1    0 0  n 所以B的n个特征值也为  n,    0； 1 2 3 n对于n1重特征值 0，由于矩阵(0E B) B的秩显然为1，所以矩阵B对应n1重特征值 0 的特征向量应该有n1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对      0  角化，且B ~         0 1 1  1 0  0 1     1 1  1 0  0 2 从而可知n阶矩阵 与 相似．                   1 1  1 0  0 n