2016年数学二解析_数学二真题+解析[87-25]_数学二解析

2016 年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8小题．每小题4 分，共32分．
1
１．当x 0 时，若ln(12x)，(1cosx)均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（ ）
1 1
（A）(2,) （B）(1,2) （C）( ,1) （D）(0, )
2 2
1
1 1 2 2 
【详解】ln(12x)~ 2x，是阶无穷小，(1cosx) ~ x是 阶无穷小，由题意可知2
1 

1
2 
所以的可能取值范围是(1,2)，应该选（B）．
2．下列曲线有渐近线的是
1 1
（A） y  xsinx （B） y  x2 sinx（C） y  xsin （D） y  x2 sin
x x
1 y 1
【详解】对于 y  xsin ，可知lim 1且lim(y x) limsin  0，所以有斜渐近线 y  x
x x x x x x
应该选（C）
3．设函数 f(x)具有二阶导数，g(x) f(0)(1 x) f(1)x，则在[0,1]上（ ）
（A）当 f'(x) 0时， f(x) g(x) （B）当 f'(x) 0时， f(x) g(x)
（C）当 f(x) 0时， f(x) g(x) （D）当 f(x) 0时， f(x) g(x)
【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解1】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然
g(x) f(0)(1 x) f(1)x就是联接(0, f(0)),(1, f(1))两点的直线方程．故当 f(x) 0时，曲线是凹
的，也就是 f(x) g(x)，应该选（D）
【详解2】如果对曲线在区间[a,b]上凹凸的定义不熟悉的话，可令
F(x) f(x) g(x) f(x) f(0)(1 x) f(1)x，则F(0) F(1) 0，且F"(x) f"(x)，故当
f(x) 0时，曲线是凹的，从而F(x) F(0) F(1) 0，即F(x) f(x) g(x) 0，也就是f(x) g(x)，应该选（D）
x  t2 7,
4．曲线 上对应于t 1的点处的曲率半径是（ ）
y  t2 4t 1
10 10
（Ａ） （Ｂ） (Ｃ）10 10 （Ｄ）5 10
50 100
y" 1
【详解】 曲线在点(x, f(x))处的曲率公式K  ，曲率半径R ．
(1 y'2)3 K
2

dx dy dy 2t 4 2 d2y t2 1
本题中  2t,  2t 4，所以  1 ，    ，
dt dt dx 2t t dx2 2t t3
y" 1 1
对应于t 1的点处 y'3,y" 1，所以K   ，曲率半径R  10 10．
(1 y'2)3 10 10 K
应该选（C）
2
5．设函数 f(x)arctanx，若 f(x) xf'()，则lim （ ）
x0 x2
2 1 1
（Ａ）1 （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
3 2 3
1 1
【详解】注意（1） f'(x) ，（2）x 0时,arctanx  x x3 o(x3)．
1 x2 3
1 f(x) arctanx xarctanx
由于 f(x) xf'()．所以可知 f'()   ，2  ，
12 x x (arctanx)2
1
x(x x3)o(x3)
2 xarxtanx 3 1
lim  lim  lim  ．
x0 x2 x0 x(arctanx)2 x0 x3 3
2u
6．设u(x,y)在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足  0 及
xy
2u 2u
  0，则（ ）．
x2 y2
（A）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；
（B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；
（C）u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；（D）u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．
【详解】u(x,y) 在平面有界闭区域D上连续，所以u(x,y)在D内必然有最大值和最小值．并且如果在
u u 2u 2u 2u 2u
内部存在驻点(x ,y )，也就是   0，在这个点处 A ,C  ,B   ，由
0 0 x y x2 y2 xy yx
条件，显然AC B2  0，显然u(x,y)不是极值点，当然也不是最值点，所以u(x,y)的最大值点和最
小值点必定都在区域D的边界上．
所以应该选（A）．
0 a b 0
a 0 0 b
7．行列式 等于
0 c d 0
c 0 0 d
（A）(ad bc)2 （B）(ad bc)2 （C）a2d2 b2c2 （D）a2d2 b2c2
【详解】
0 a b 0
a 0 b a 0 b
a 0 0 b a b a b
 a0 d 0 b0 c 0  ad bc  (ad bc)2
0 c d 0 c d c d
c 0 d c 0 d
c 0 0 d
应该选（B）．
8．设, , 是三维向量，则对任意的常数k,l，向量 k ， l 线性无关是向量, ,
1 2 3 1 3 2 3 1 2 3
线性无关的
（A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件
（C）充分必要条件 （D） 非充分非必要条件
【详解】若向量, , 线性无关，则
1 2 3
1 0
 
（ k ， l ）(, , )0 1(, , )K ，对任意的常数k,l，矩阵K 的秩都等
1 3 2 3 1 2 3 1 2 3
 
k l
于2，所以向量 k ， l 一定线性无关．
1 3 2 3
1 0 0
     
而当 0, 1, 0 时，对任意的常数k,l ，向量 k ， l 线性无关，但
1 2 3 1 3 2 3
     
0 0 0
, , 线性相关；故选择（A）．
1 2 3二、填空题（本题共6 小题，每小题4分，满分24 分. 把答案填在题中横线上）
1 1
9． dx  ．
 x2 2x5
1 1 1 dx 1 x1 1   3
【详解】 dx    arctan |1   ( ) ．
 x2 2x5 (x1)2 4 2 2  2 4 2  8
 
10．设 f(x)为周期为4的可导奇函数，且 f'(x) 2(x1),x 0,2 ，则 f(7) ．
【 详 解 】 当 x  0,2  时 ， f(x)  2(x1)dx  x2 2xC ， 由 f(0) 0 可 知 C  0 ， 即
f(x) x2 2x； f(x)为周期为4奇函数，故 f(7) f(1) f(1)1．
7
11．设z  z(x,y)是由方程e2yz  x y2  z  确定的函数，则dz|  ．
4  1 , 1  
2 2
7 1
【详解】设F(x,y,z) e2yz  x y2  z ，F 1,F  2ze2yz 2y,F  2ye2yz 1，当x  y 
4 x y z 2
z F 1 z F 1 1 1
时，z  0，   x   ，   y   ，所以dz|   dx dy．
x F 2 y F 2  1 , 1   2 2
z z 2 2
 
12．曲线L的极坐标方程为r ，则L在点(r,) , 处的切线方程为 ．
 2 2
x  r()coscos  
【详解】先把曲线方程化为参数方程 ，于是在 处， x  0,y  ，
y  r()sinsin 2 2
dy sincos 2    2
|  |   ，则 L在点(r,) , 处的切线方程为 y   (x0)，即
dx  cossin    2 2 2 
2 2
2 
y   x .
 2
13．一根长为1的细棒位于 x轴的区间  0,1  上，若其线密度(x) x2 2x1，则该细棒的质心坐标
x  ．
11
 1 x(x)dx  1 (x3 2x2  x)dx
【详解】质心坐标x  0  0  12  11 ．
 1 (x)dx  1 (x2 2x1)dx 5 20
0 0 3
14．设二次型 f(x ,x ,x ) x2  x2 2ax x 4x x 的负惯性指数是 1，则 a 的取值范围
1 2 3 1 2 1 3 2 3是 ．
【详解】由配方法可知
f(x ,x ,x ) x2  x2 2ax x 4x x
1 2 3 1 2 1 3 2 3
(x ax )2 (x 2x )2 (4a2)x2
1 3 2 3 3
由于负惯性指数为1，故必须要求4a2  0，所以a的取值范围是  2,2  ．
三、解答题
15．（本题满分10分）
1
x
 (t2(et 1)t)dt
求极限 lim 1 ．
x 1
x2ln(1 )
x
【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．
【详解】
1 1
 x (t2(et 1)t)dt  x (t2(et 1)t)dt 1
lim 1  lim 1  lim(x2(ex 1) x)
x 1 x x x
x2ln(1 )
x
 1 1 1  1
 limx2(  o( ) x
x x 2x2 x2  2
16．（本题满分10分）
已知函数 y  y(x)满足微分方程x2  y2y'1 y'，且 y(2) 0，求 y(x)的极大值和极小值．
【详解】
dy
解：把方程化为标准形式得到(1 y2) 1 x2，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分
dx
1 1 2
可得方程通解为： y3  y  x x3 C，由 y(2) 0得C  ，
3 3 3
1 1 2
即 y3  y  x x3  ．
3 3 3
dy 1 x2 d2y 2x(1 y2)2 2y(1 x2)2
令   0，得x  1，且可知  ；
dx 1 y2 dx2 (1 y2)3
当x 1时，可解得 y 1， y" 1 0，函数取得极大值 y 1；
当x  1时，可解得 y  0， y" 2 0，函数取得极小值 y  0．
17．（本题满分10分）  xsin( x2  y2)
设平面区域D  (x,y)|1 x2  y2  4,x  0.y  0 ．计算 dxdy
x y
D
【详解】由对称性可得
xsin( x2  y2) ysin( x2  y2) 1 (x y)sin( x2  y2)
 dxd   dxd   dxdy
x y x y 2 x y
D D D
1 sin( x2  y2) 1  2 3
  dxd  2d rsinrdr  
2 1 2 0 1 4
D
18．（本题满分10分）
2z 2z
设 函 数 f(u) 具 有 二 阶 连 续 导 数 ， z  f(excos y) 满 足  (4zexcosy)e2x ． 若
x2 y2
f(0) 0, f'(0) 0，求 f(u)的表达式．
【详解】
设u excos y，则z  f(u) f(excos y)，
z 2z
 f'(u)excosy,  f"(u)e2xcos2 y f'(u)excos y;
x x2
z 2z
  f'(u)exsin y,  f"(u)e2xsin2 y f'(u)excos y；
y y2
2z 2z
  f"(u)e2x  f"(excos y)e2x
x2 y2
2z 2z
由条件  (4zexcosy)e2x，
x2 y2
可知
f"(u) 4f(u)u
这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．
对应齐次方程的通解为：
f(u)C e2u C e2u其中C ,C 为任意常数．
1 2 1 2
1
对应非齐次方程特解可求得为 y*  u．
4
1
故非齐次方程通解为 f(u)C e2u C e2u  u．
1 2 41 1
将初始条件 f(0) 0, f'(0) 0代入，可得C  ,C   ．
1 16 2 16
1 1 1
所以 f(u)的表达式为 f(u) e2u  e2u  u．
16 16 4
19．（本题满分10分）
 
设函数 f(x),g(x)在区间 a.b 上连续，且 f(x)单调增加，0 g(x)1，证明：
x  
（1） 0  g(t)dt  xa, x a,b ；
a
ab
g(t)dt b
（2）  a f(x)dx   f(x)g(x)dx．
a a
【详解】
x x x  
（1）证明：因为0 g(x)1，所以 0dx   g(t)dt   1dt x a,b ．
a a a
x  
即0  g(t)dt  xa, x a,b ．
a
x
x a g(t)dt
（2）令F(x)  f(u)g(u)du a f(u)du，
a a
 x 
则可知F(a) 0，且F'(x) f(x)g(x) g(x)fa g(t)dt，
 a 
x
因为0  g(t)dt  xa, 且 f(x)单调增加，
a
 x 
所以 fa g(t)dt f(a xa) f(x)．从而
 a 
 x   
F'(x) f(x)g(x) g(x)fa g(t)dt f(x)g(x) g(x)f(x) 0， x a,b
 a 
 
也是F(x)在 a,b 单调增加，则F(b) F(a) 0，即得到
ab
g(t)dt b
 a f(x)dx   f(x)g(x)dx．
a a
20．（本题满分11分）
x  
设函数 f(x) ,x 0,1 ，定义函数列
1 x
f (x) f(x)， f (x) f(f (x))，, f (x) f(f (x)),
1 2 1 n n1
设S 是曲线 y  f (x)，直线x 1, y  0所围图形的面积．求极限limnS ．
n n n
n
【详解】
x
x f (x) 1 x x x
f (x) , f (x) 1   ， f (x) ,，
1 1 x 2 1 f (x) x 12x 3 13x
1 1
1 xx
利用数学归纳法可得 f (x) .
n 1nx
1 1 x 1 1 1 1 ln(1n)
S   f (x)dx   dx   (1 )dx  (1 )，
n 0 n 01nx n 0 1nx n n
 ln(1n)
limnS  lim1  1．
n n n n 
21．（本题满分11分）
f
已知函数 f(x,y)满足  2(y1)，且 f(y,y)(y1)2 (2 y)ln y，求曲线 f(x,y) 0所成的
y
图形绕直线 y  1旋转所成的旋转体的体积．
【详解】
f
由于函数 f(x,y)满足  2(y1)，所以 f(x,y) y2 2yC(x)，其中C(x)为待定的连续函数．
y
又因为 f(y,y)(y1)2 (2 y)ln y，从而可知C(y)1(2 y)ln y，
得到 f(x,y) y2 2yC(x) y2 2y1(2 x)lnx．
令 f(x,y) 0，可得(y1)2 (2 x)lnx．且当 y  1时，x 1,x  2．
1 2
曲线 f(x,y) 0所成的图形绕直线 y  1旋转所成的旋转体的体积为
2 2 5
V  (y1)2dx  (2 x)lnxdx (2ln2 )
1 1 4
22．（本题满分11分）
1 2 3 4
 
设A0 1 1 1 ，E为三阶单位矩阵．
 
1 2 0 3 
（1） 求方程组AX  0的一个基础解系；
（2） 求满足AB  E的所有矩阵．
【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 0 0 1 
       
A0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 2，
       
1 2 0 3  0 4 3 1  0 0 1 3 0 0 1 3
得到方程组AX  0同解方程组x  x
1 4

x  2x
2 4

x 3x
3 4
1
 
 2 
得到AX  0的一个基础解系  ．
1  3 
 
 
 1 
 x y z 
 1 1 1
x y z 
（2）显然B矩阵是一个43矩阵，设B 

2 2 2

x y z
 3 3 3
 
x y z 
4 4 4
对矩阵(AE)进行进行初等行变换如下：
1 2 3 4 1 0 0 1 2 3 4 1 0 0
   
(AE)0 1 1 1 0 1 00 1 1 1 0 1 0
   
1 2 0 3 0 0 1 0 4 3 1 1 0 1
1 2 3 4 1 0 0 1 0 0 1 2 6 1
   
0 1 1 1 0 1 00 1 0 2 1 3 1 
   
0 0 1 3 1 4 1 0 0 1 3 1 4 1 
由方程组可得矩阵B对应的三列分别为
 x   2  1  y   6  1 z  1 1
 1      1      1    
x  1  2   y  3  2  z   1   2 
2  c ， 2  c ， 2  c ，

x
 
1
 1
3
 
y
 
4
 2
3
 
z
 
1
 3
3

 3      3      3    
                 
x   0   1   y   0   1  z   0   1 
4 4 4
即满足AB  E的所有矩阵为
 2c 6c 1c 
 1 2 3
12c 32c 12c 
B  1 2 3
 
13c 43c 13c
 1 2 3 
 
 c c c 
1 2 3
其中c ,c ,c 为任意常数．
1 2 3
23．（本题满分11分）
1 1  1 0  0 1
   
1 1  1 0  0 2
证明n阶矩阵 与 相似．
   
     
   
   
1 1  1 0  0 n1 1  1 0  0 1
   
1 1  1 0  0 2
【详解】证明：设A ，B  ．
   
     
   
   
1 1  1 0  0 n
分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：
1 1  1
1 1  1
E  A  (n)n1，
  
1 1  1
所以A的n个特征值为  n,    0；
1 2 3 n
 
 
 0 
而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且A~
 
；

 
 
 0
 0  1
0   2
E B  (n)n1
  
0 0  n
所以B的n个特征值也为  n,    0；
1 2 3 n对于n1重特征值 0，由于矩阵(0E B) B的秩显然为1，所以矩阵B对应n1重特征值 0
的特征向量应该有n1个线性无关，进一步矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对
 
 
 0 
角化，且B ~
 

 
 
 0
1 1  1 0  0 1
   
1 1  1 0  0 2
从而可知n阶矩阵 与 相似．
   
     
   
   
1 1  1 0  0 n