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2024 年中考第二次模拟考试（上海卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题
目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．在下列图形中，为中心对称图形的是( )
A．等腰梯形 B．平行四边形 C．正五边形 D．等腰三角形
【答案】B
【分析】根据中心对称与轴对称的概念和各图形的特点即可求解．
【详解】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180°后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合；
是中心对称图形的只有B．
故选B．
2．下列方程有实数根的是
A． B． C． +2x−1=0 D．
【答案】C
【详解】A．∵x4＞0，∴x4+2=0无解，故本选项不符合题意；
B．∵ ≥0，∴ =−1无解，故本选项不符合题意；
C．∵x2+2x−1=0， =8＞0，方程有实数根，故本选项符合题意；
D．解分式方程 = ，可得x=1，经检验x=1是分式方程的增根，故本选项不符合题意．
故选C．
3．计算： （ ）
A． ； B． ； C． ； D．0．
【答案】C
【分析】根据零向量的定义即可判断．
【详解】 ．故选C．
4．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ）
A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠BAC＝∠BCD
C．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC
【答案】C
【分析】根据正方形的判定：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案．
【详解】解：A，不能，只能判定为矩形，不符合题意；
B，不能，只能判定为平行四边形，不符合题意；
C，能，符合题意；
D，不能，只能判定为菱形，不符合题意．
故选C．
5．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线平分这条弦所对的弧，并且垂直于这条弦；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧．
【答案】C
【分析】利用垂径定理及其推论逐个判断即可求得答案．
【详解】A．如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，
是真命题；
B．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线一定经过圆心，并且垂直于这条弦，正确，是真命
题；
C．如果一条直线经过圆心，并且平分弦，那么该直线不一定平分这条弦所对的弧，不一定垂直于这条弦，
例如：任意两条直径一定互相平分且过圆心，但不一定垂直．错误，是假命题；
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧，正确，是真命题．
故选C．
【点睛】本题考查了垂径定理及其推论，对于一个圆和一条直线来说如果一条直线具备下列，①经过圆心，
②垂直于弦，③平分弦（弦不是直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，五个条件中的任何
两个，那么也就具备其他三个．
6．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP
相切，半径长为5的⊙B与⊙A内含，那么OB的取值范围是（ ）A．4OB7 B．5OB7 C．4OB9 D．2OB7
【答案】A
【分析】作⊙A半径AD，根据含30度角直角三角形的性质可得 ，再确认⊙B与⊙A相切时，OB的
长，即可得结论．
【详解】解：设⊙A与直线OP相切时的切点为D，
∴ ，
∵∠POQ=30°，⊙A半径长为2，即 ，
∴ ，
当⊙B与⊙A相切时，设切点为C，如下图，
∵ ，
∴ ，
∴若⊙B与⊙A内含，则OB的取值范围为 ．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系、切线的性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌
握圆与圆内含和相切的关系是解题关键．
二、填空题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）
7．分解因式： ．
【答案】 /
【分析】原式提取2，再利用平方差公式分解即可．【详解】解：
=2（m2-9）
=2（m+3）（m-3）．
故答案为：2（m+3）（m-3）．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8．方程 的解是 ．
【答案】x＝﹣1．
【分析】把方程两边平方后求解，注意检验．
【详解】把方程两边平方得x+2＝x2，
整理得（x﹣2）（x+1）＝0，
解得：x＝2或﹣1，
经检验，x＝﹣1是原方程的解．
故本题答案为：x＝﹣1．
【点睛】本题考查无理方程的求法，注意无理方程需验根．
9．函数 中自变量x的取值范围是 ．
【答案】 且
【分析】根据二次根式中被开方数大于等于0及分母不为0即可求解．
【详解】解：由题意可知： ，解得： 且 ，
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是
解题的关键．
10．△ABC中，AD是中线，G是重心， ，那么 = （用 表示）.
【答案】 .
【详解】试题分析： ∵在△ABC中，点G是重心， ，∴ ，又∵ ， ，
∴ ；故答案为 ．考点：1．平面向量；2．三角形的重心．
11．有四张质地相同的卡片，它们的背面相同，其中两张的正面印有“粽子”的图案，另外两张的正面印
有“龙舟”的图案，现将它们背面朝上，洗均匀后排列在桌面，任意翻开两张，那么两张图案一样的概率
是 .
【答案】
【详解】解: 列树状图得
共有12种情况，两张图案一样的有4种情况，所以概率是 .
12．在方程 中，如果设y=x2﹣4x，那么原方程可化为关于y的整式方程是 ．
【答案】
【分析】先把方程整理出含有x2-4x的形式，然后换成y再去分母即可得解．
【详解】方程 可变形为x2-4x+ +4=0,
因为 ，所以 ，
整理得，
13．如果⊙O 与⊙O 内含，OO＝4，⊙O 的半径是3，那么⊙O 的半径r的取值范围是 ．
1 2 1 2 1 2
【答案】 /
【分析】由题意，⊙O 与⊙O 内含，则可知两圆圆心距 ，据此代入数值求解即可．
1 2【详解】解：根据题意，两圆内含，
故 ，
解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了两圆位置关系的知识，熟练掌握由数量关系判断两圆位置关系是解题关键．
14．某单位10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200万元，假设该公司11、12两个月的增长
率都为x，那么可列方程是 ．
【答案】100（1＋x）2＝200
【分析】根据题意，设平均每月的增长率为x，依据10月份的营业额为100万元，12月份的营业额为200
万元，即可列出关于x的一元二次方程．
故答案为：100（1＋x）2＝200
【详解】设平均每月的增长率为x，
根据题意可得：100（1＋x）2＝200．
故答案为：100（1＋x）2＝200．
【点睛】此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出方程是解题关键．
15．菱形ABCD中，已知AB＝4，∠B：∠C＝1：2，那么BD的长是 ．
【答案】4
【分析】根据题意画出示意图（见详解），由菱形的性质可得BO＝ BD，BD⊥AC，在Rt△ABO中，由
cos∠ABO即可求得BO，继而得到BD的长．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴ ，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC：∠BCD＝1：2，∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝ ∠ABC＝30°，BO＝ BD，BD⊥AC．
在Rt△ABO中，cos∠ABO＝ ＝ ，
∴BO＝AB⋅cos∠ABO＝4× ＝2 ．
∴BD＝2BO＝4 ．
故答案为：4 ．
【点睛】本题考查菱形的性质，熟知菱形的对角线互相垂直，利用垂直构造直角三角形，再利用三角函数
求解线段长度是解题的关键．
16．如图，已知在⊙O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为点D．如果CD=4，AB=16，那么OC = ．
【答案】10
【分析】根据垂径定理求出AD的长，设半径OC=OA=r，则OD=r-4，再根据勾股定理列出关于r的方程，
解出即可得出OC的长．
【详解】设半径OC=OA=r，则OD=OC-CD=r-4
半径OC垂直于弦AB，垂足为点D，AB=16
∴AD= AB=8，
在Rt AOD中,OD2+AD2=OA）即（r-4）2+82=r2
解得：△r=10
故答案为10.
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握定理是解题的关键.
17．新定义：有一组对角互余的凸四边形称为对余四边形.如图，已知在对余四边形 中， ，， ， ，那么边 的长为 ．
【答案】9
【分析】连接AC，作 交BC于E点，由 ， ，可得AE=6，BE=8，并求出AC的长，
作 交AD于F点，可证 ，最后求得AF和DF的长，可解出最终结果．
【详解】解：如图，连接AC，作 交BC于E点，
， ，
，设AE=3x，BE=4x，
，则 ，
解得x=2，则AE=6，BE=8，
又 ， CE=BC-BE=4，
，
作 交AD于F点，
， ，
， = = ，
又 ， 同理可得DF=3，CF=4，
，
AD=AF+DF=9．
故答案为：9．【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及解直角三角形，勾股定理，有一定难度，熟练掌握直角三角形和
勾股定理知识点，根据题意做出正确的辅助线是解决本题的关键．
18．如图，在RtABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，⊙O是以BC为直径的圆，如果⊙O与⊙A相切，
那么⊙A的半径长为 ．
【答案】
【分析】分两种情况：①如图， 与 内切，连接 并延长交 于 ，根据 可得结
论；②如图， 与 外切时，连接 交 于 ，同理根据 可得结论．
【详解】解：有两种情况，分类讨论如下：
①如图1， 与 内切时，连接 并延长交 于 ，
与 相内切，
为切点，，
，
根据勾股定理得： ，
；
即 的半径为 ；
②如图2， 与 外切时，连接 交 于 ，
同理得 ，
即 的半径为 ，
综上， 的半径为 或 ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相切两圆的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线得出 是 的半径．
第Ⅱ卷
三、解答题（本大题共7个小题，共78分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（10分）计算： ．
【答案】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【详解】解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂、绝对值，特殊角的三角函数值，解题的关键
是准确熟练地化简各式．
20．（10分）如图，AH是△ABC的高，D是边AB上一点，CD与AH交于点E.已知AB=AC=6，cosB=
，
AD∶DB=1∶2.
（1）求△ABC的面积；
（2）求CE∶DE.
【答案】解：（1） ；（2） .
【详解】试题分析：（1）根据题意和锐角三角函数可以求得BH和AH的长，从而可以求得△ABC的面积；
（2）根据三角形的相似和题意可以求得CE：DE的值．
试题解析：解：（1）∵AB=AC=6，cosB= ，AH是△ABC的高，∴BH=4，∴BC=2BH=8，AH=
，∴△ABC的面积是； = =8 ；
（2）作DF⊥BC于点F．∵DF⊥BH，AH⊥BH，∴DF∥AH，∴ ．∵AD：DB=1：2，
BH=CH，∴AD：AB=1：3，∴ ，∴ ，即CE：DE=3：1．点睛：本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合
的思想解答．
21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A是反比例函数y＝ 的图象与正比例函数y＝kx的图
象在第一象限内的交点，已知点A的纵坐标为2．经过点A且与正比例函数y＝kx的图象垂直的直线交反
比例函数y＝ 的图象于点B（点B与点A不是同一点）．
(1)求k的值；
(2)求点B的坐标．
【答案】(1)2
(2)（4， ）
【分析】（1）根据题意得到 ，解方程求得k＝2；
（2）先求得A的坐标，根据正比例函数的解析式设直线AB的解析式为y x+b，把A的坐标代入解得b
，再与反比例函数的解析式联立成方程组，解方程组即可求得点B的坐标．
【详解】（1）解：∵点A是反比例函数y 的图象与正比例函数y＝kx的图象在第一象限内的交点，点
A的纵坐标为2，∴ ，
∴ ＝4，
解得k＝±2，
∵k＞0，
∴k＝2；
（2）∵k＝2，
∴反比例函数为y ，正比例函数为y＝2x，
把y＝2代入y＝2x得，x＝1，
∴A（1，2），
∵AB⊥OA，
∴设直线AB的解析式为y x+b，
把A的坐标代入得2 b，
解得b ，
解 得 或 ，
∴点B的坐标为（4， ）．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，
待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是求出直线AB的解析式，本题属于中等题型．
22．（10分）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯形ABCD的上底BC表示主跨桥，两
腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为
1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P为圆心，半径为3m的圆形保护区．(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；
(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡
度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅
坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到
古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计
是否可行．
表：轮椅坡道的最大高度和水平长度
1：
坡度 1：20 1：12 1：10 1：8
16
最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30
水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40
【答案】(1)主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m
(2)轮椅坡道的设计不可行，理由见解析
【分析】（1）根据斜坡AB的坡度以及天桥的高度可求出AE，由勾股定理求出AB，进而求出EF＝BC的
长，再计算主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；
（2）根据坡度的定义求出新方案斜坡 的水平距离 进而求出点M到点G的最大距离，再由表格中
轮椅坡道的最大高度和水平长度的对应值进行判断即可．
【详解】（1）解：如图，作直线AD，则AD过点 和点 ，过点B、C分别作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足
为E、F，延长EB，延长FC，则射线EB过点 ，射线FC过点 ，由题意得，BE＝CF＝4m，AP＝
25m， E＝5m，
∵斜坡AB的坡度为1：2.4，即 ＝1：2.4，
∴AE＝4×2.4＝9.6（m），
又∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AE＝DF＝9.6m，
∴BC＝AD﹣AE﹣DF＝5.8（m），
AB＝ ＝ ＝10.4（m）＝CD，
∴主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为AB+BC+CD＝10.4+5.8+10.4＝26.6（m），
答：主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和为26.6m．（2）解：∵斜坡 的坡度为1：4，即 ＝1：4，
∴ E＝5×4＝20（m），
∴A ＝20﹣9.6＝11.4（m），
G＝4NG＝4×0.9＝3.6（m），
∴AG＝11.4﹣3.6＝7.8（m），
点M到点G的最多距离MG＝25﹣7.8﹣3＝14.2（m），
∵14.2＜14.4，
∴轮椅坡道的设计不可行．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据坡度和坡角构造直角三角形，然后分别用解直角三角
形的知识坡道的水平距离是解答本题的关键．
23．（12分）已知：如图，在梯形 中， ， ， 是 的中点， 的延长线交边
于点 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）如果 ，求证四边形 是菱形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可知 ， ．再由 是 中点，即
AE=CE．即可以利用“AAS”证明 ，得出 ，即证明四边形 是平行四边形．
（2）由 和 是 中点，即可推出 ．又因为 ，即证明
，即可推出 ．即四边形 是菱形．
【详解】（1）∵ ，∴ ， ．
又∵ 是 中点，
∴AE=CE，
∴在 和 中 ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形．
（2）∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ．
∴四边形 是菱形．
【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角
形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．
24．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点 ，与 轴的正半轴交于
点 ，点 在线段 上，且 ，联结 ，将线段 绕着点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
过点 作直线 轴，垂足为 ，交抛物线于点 ．(1)求抛物线的表达式；
(2)联结DF，求cotEDF的值；
(3)点P在直线l上，且∠EDP=45°，求点P的坐标．
【答案】(1) ；
(2) ；
(3) 或 ．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）证明 ，再根据全等三角形的性质得 ， ，可得 ，
，求出 ，则 ， ，过点 作 于 ，根据等腰直角三角形
的性质可得 ，则 ，在 中，根据余切的定义即可求解；
（3）分两种情形①点 在点 的上方时；②点 在点 的下方时，根据相似三角形的判定和性质即可解决
问题．
【详解】（1）解：把点 ，点 代入 ，
得： ，
解得： ，
抛物线的解析式为 ；
（2）解：如图：，
， ，
，
，
，
， ，
，
过点 作直线 轴，垂足为 ，交抛物线 于点 ．
，
，
，
，
， ，
过点 作 于 ，
，
，
，
在 中， ；
（3）解：①当点 在点 的上方时，， 是公共角，
，
，
，
设 ，则 ，
又 ， ，
，解得 ，
点 的坐标为 ；
②当点 在点 的下方时，
， 是公共角，
，
，
，
设 ，则 ， ， ，，解得 ，
点 的坐标为 ；
综上所述，当 时，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查二次函数的应用、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角
形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质．
25．（14分）如图，半径为1的⊙O与过点O的⊙P相交，点A是⊙O与⊙P的一个公共点，点B是直线
AP与⊙O的不同于点A的另一交点，联结OA，OB，OP．
(1)当点B在线段AP上时，
①求证：∠AOB＝∠APO；
②如果点B是线段AP的中点，求△AOP的面积；
(2)设点C是⊙P与⊙O的不同于点A的另一公共点，联结PC，BC．如果∠PCB＝α，∠APO＝β，请用含α
的代数式表示β．
【答案】(1)①见解析；②
(2)β＝60°﹣
【分析】（1）①利用圆的半径相等可得∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，则∠AOB＝∠APO；
②首先利用△AOB∽△APO，得 ，可得AP的长，作AH⊥PO于点H，设OH＝x，则PH＝ ﹣
x，利用勾股定理列方程求出OH的长，从而得出AH，即可求得面积；（2）联结OC，AC，利用圆心角与圆周角的关系得∠ACB＝ ∠AOB＝ β，∠ACO＝ ∠APO＝ β，再
利用SSS说明△OAP≌△OCP，得∠OAP＝∠OCP，从而解决问题．
【详解】（1）①证明：∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∵PA＝PO，
∴∠BAO＝∠POA，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠AOP，
∴∠AOB＝∠APO；
②解：∵∠AOB＝∠APO，∠OAB＝∠PAO，
∴△AOB∽△APO，
∴ ，
∴OA2＝AB•AP＝1，
∵点B是线段AP的中点，
∴AP＝ ，
作AH⊥PO于点H，
设OH＝x，则PH＝ ﹣x，
由勾股定理得，12﹣x2＝（ ）2﹣（ ）2，
解得x＝ ，∴OH＝ ，
由勾股定理得，AH＝ ＝ ，
∴△AOP的面积为 ＝ ；
（2）解：如图，联结OC，AC，
∵∠AOB＝∠APO，
∴∠AOB＝β，
∴∠ACB＝ ∠AOB＝ β，∠ACO＝ ∠APO＝ β，
∴∠OCP＝β+α，
∵OA＝OC，AP＝PC，OP＝OP，
∴△OAP≌△OCP（SSS），
∴∠OAP＝∠OCP＝β+α，
在△OAP中，2（α+β）+β＝180°，
∴β＝60°﹣ ．
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，圆心角与圆周角的关系，相似三角形的判定与性质，
全等三角形的判定与性质等知识，求出大圆半径是解题的关键．
