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2024 年中考第三次模拟考试（呼和浩特卷）
数学·全解全析
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．与2024互为相反数是（ ）
A．2024 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，根据只有符号不同的
两个数是互为相反数解答即可．
【详解】解：2024互为相反数是 ．
故选B．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项法则，积的乘方和幂的乘方运算法则，同底数幂的除
法法则以及完全平方公式计算各项同后再判断即可．
【详解】解：A、 ，故A不符合题意；
B、 ，故B不符合题意；
C、 ，故C符合题意；
D、 ，故D不符合题意；
故选：C．
3．下面图形中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）A．科克曲线 B．笛卡尔心形线 C．阿基米德螺旋线 D．赵爽弦图
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．观察四个选项中的图形，判断轴对称图形的
关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度
后与原图重合，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．
【详解】解：A、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
4． 年1月 日，国家统计局公布了 年中国经济运行数据．初步核算，全年国内生产总值（
） 万亿元，比上年增长 ，远远超过全球 的平均增速．数据 万亿用科学记数
法表示为
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，科学记数法的表现形式为 的形式，其中
， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数
点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是正整数，当原数绝对值小于1时， 是负整数；
由此进行求解即可得到答案．
【详解】解： 万亿 ，
万亿用科学记数法表示为 ．
故选： ．
5．如图， ，点 为直线 上方一点，连接 ．若 ， ，
，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了平行线的性质、等边对等角、几何图中角度的计算，由两直线平行同旁内角互补
得出 ，由等边对等角求出 ，再由 ，计
算即可得出答案．
【详解】解： ， ，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
6．点 满足二元一次方程组 的解，则点Q关于原点对称点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题主要考查解二元一次方程组，以及根据求出的值判断出Q点关于原点的对称点的坐标．
关键在于正确求解出此二元一次方程组的解，最终选择正确的坐标点．
【详解】解二元一次方程组 ，
由 可得： ，
将 代入 可求得： ，将 代入 可求得： ，
由此可得Q点的坐标为 ，
由于点 与点Q关于原点对称，
故 点坐标为 ．
故答案为：B．
7．如图是某企业2020年5~10月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是（
）
A．5~6月份月利润增长量大于9~10月份月利润增长量
B．5~10月份月利润的中位数是700万元
C．5~10月份月利润的平均数是760万元
D．5~10月份月利润的众数是1000万元
【答案】B
【分析】先从统计图获取信息，再对选项逐一分析，选择正确结果．
【详解】解：由折线统计图知这组数据为500、600、700、700、900，1000、
A.5～6月份利润增长了 ，9～10月份利润，增长了 ，故A说法与图中反
映的信息不相符，故本选项不符合题意；
B.5～10月份利润的中位数为700万元，故B说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意．
C.5～10月份利润的平均数为 （万元），故C说法与图中反映的
信息不相符，故本选项不符合题意；
D.700出现了2次，是出现次数最多的，5~10月份月利润的众数700万元，故D说法与图中反映的信息
不相符，故本选项不符合题意；故选：B．
8．如图，在 中， ， ．将 绕点 按顺时针方向旋转至 的位置时，
点 恰好落在边 的中点处，则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据题意，判断出 斜边 的长度，根据勾股定理算出 的长度，且
，所以 为等边三角形，可得旋转角为 ，同理， ，故 也
是等边三角形， 的长度即为 的长度．
【详解】解：∵在 中， ， ，将其进行顺时针旋转， 落在 的中点处，
∴ 是由 旋转得到，
∴ ，
∵ ，点 恰好落在边 的中点处，
∴ ，
根据勾股定理： ，
又∵ ，且 ，
∴ 为等边三角形，∴旋转角 ，
∴ ，且 ，
∴ 也是等边三角形，
∴ ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转性质的应用以及勾股定理的计算，解题的关键在于通过题中所给的条件，
判断出图形旋转的度数，知道图形旋转的角度后，有关线段的长度也可求得．
9．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，过点P作 轴于点A，
连接 ，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． 的面积是3 D．点 在 上，当 时，
【答案】D
【分析】由反比例函数 上的图象交于点 ，可得 ，判断A正确；把 代入
，判定B正确；由反比例函数中k的几何意义可判断C正确；根据 的增减性可D
错误．
【详解】解：∵反比例函数 的图象交于点 ，
∴ ，故A正确，不符合题意；∴ ，
把 代入 得： ，
解得 ，故B正确，不符合题意；
∵ 轴， ，
∴ 的面积是 ，故C正确，不符合题意；
当 时， 中，y随x的增大而减小，
∴ 时， ，即 ，故D错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数，一次函数的交点问题，解题的关键是掌握函数图象上点坐标的特征，
求出t和k的值．
10．如图，在平面直角坐标系中，经过 的一次函数 的图象与经过 的一次函数 的图象相交
于点C．若点C的纵坐标为3，则函数 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数图象判别，求一次函数解析式，解题的关键是设点 ，一次函数 的解析式为 ，一次函数 的解析式为 ，求出 ， ，
然后再求出 ，最后进行判断即可．
【详解】解：设点 ，一次函数 的解析式为 ，一次函数 的解析式为
，
把 分别代入两个函数解析式得：
， ，
解得： ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ 的图象为开口向下，顶点为 的抛物线，
所以C选项符合题意．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方
法是解题的关键．
【详解】解：原式 ，故答案为： ．
12．若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】 且 / 且
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ 且 ；
∴x的取值范围是 且 ；
故答案为： 且 ．
【点睛】本题考查代数式有意义．熟练掌握二次根式的被开方数大于等于0，分式的分母不为0，是解
题的关键．
13．如图，在 中，直径 与弦 相交于点P，连接 ， ， ，若 ， ，
则 ．
【答案】40°/40度
【分析】此题主要考查了圆周角定理，三角形外角性质，解题关键是灵活运用圆周角定理得到角的关
系．
先根据圆周角定理得出 ，根据三角形外角性质求出 的度数，再根据直径所对的圆周角
是直角求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 为直径，即 ，
∴ ，
故答案为： ．14．若方程 的两根满足 ，则a的值为 ．
【答案】2
【分析】
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是理解若 是一元二次方程 的两根
时， ， ．
根据根与系数的关系得出 ， ，再把 转化为 ，然后整体
代入求解即可．
【详解】解：∵方程 的两根满足 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
经检验， 是原方程的解．
故答案为：2．
15．从 ，2， ， 这四个数中任选两数，分别记作m，n，那么点 在函数 图象上的概率是
．
【答案】
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与点 恰好在反比例函
数 图象上的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，点 恰好在反比例函数 图象上的有： ， ，
∴点 在函数 图象上的概率是： ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
16．如图，抛物线 经过 ， 两点，与 轴交于点 ，连接 ， ， ．
抛物线的对称轴上是否存在点 ，使得 是以 为直角边的直角三角形，则点 的坐标为
．
【答案】 或
【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、锐角三角函数的应用，解题关键是利用正切函
数的定义求 点的纵坐标．
先根据题意求出抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论： 、 ，结合正切函
数即可求解．
【详解】解：依题得：当 时， ，、
，
又 ，则函数的对称轴为： ，
设点 的坐标为： ，
当 为直角时，过点 作 轴的平行线 ，交过点 与 轴的平行线于点 ，交 的延长线
于点 ，
，
又 ，
，
，
在 和 中，
， ， ， ，
，
，即 ，
解得 ，
故点 ；
当 为直角时，同理可得点 的坐标为： ；
故答案为： 或 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）计算： ；（2）先化简，再求值： ，其中 ， ．
【答案】（1） ；（2） ，
【分析】
本题考查分式的化简求值、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
（1）先化简，然后计算乘除法，最后算加减法即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，最后将 、 的值代入计算即可．
【详解】
解：（1）
；
（2）
，
当 ， 时，原式 ．
18．（7分）如图， 时代，万物互联、互联网、大数据、人工智能与各行业应用深度融合，为了保证信
号通畅，某通信公司在某山上建设 基站．已知斜坡 的坡度为 （即 ），
点 处的通讯塔 垂直于水平地面，在 处测得塔顶 的仰角为 ，在 处测得塔顶 的仰角为
，斜坡路段 长 米．(1)填空： ______ ，点 处到水平地面 的距离为______米．
(2)求通讯塔 的高度（结果保留根号）．（参考数据： ）
【详解】（1）解：∵在 处测得塔顶 的仰角为 ，
∴
作 ，如图所示：
∵
∴
∴
∵ 米
∴ 米
故答案为：
（2）
解：作 于点 ，作 于点 ，，即 ，
则 米，
米，
设 ，则 ， ，
由题意知 ，
，
，
又 ，
，
， （米），
（米），
（米），
（米），
通讯塔 的高度 米．
19．（10分）为了抓住开学的商机，某商店决定购进A，B两种计算器，若购进A种计算器8件，B种计
算器3件，需要625元；若购进A种计算器6件，B种计算器5件，需要675元．
(1)求购进A种计算器每台需___________元，B种计算器每台需___________元．
(2)若该商店决定拿出0.5万元全部用来购进这两种计算器，考虑到市场需求，要求购进A种计算器的数量不少于B种计算器数量的4倍，那么A种计算器最少购进多少件？
【详解】（1）设该商店购进一件A种计算器需要a元，购进一件B种计算器需要b元．
由题意得： ，
解得： ，
∴购进一件A种计算器需要50元，购进一件B种计算器需要75元；
（2）设该商店购进A种计算器x个，购进B种计算器y个，
由题意得： ，
∴ ，
代入 可得
∴解得
∵x为正整数，
∴A种计算器最少购进73件．
【点睛】本题综合考查二元一次方程组和不等式的实际应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合
题意的相应的关系式是解决问题的关键，注意第二问应求得整数解．
20．（7分）某学校为了解全校学生利用课外时间进行体育锻炼的情况，学校团委随机抽取若干名学生，
调查他们一周的课外锻炼时间，并根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计表．根据图表信息，解答
下列问题：
锻炼时间（小时） 频数（人） 频率
18
a
45
36 n
21合计 b 1
(1)填空： ___________， ___________， ___________；
(2)将频数分布直方图补充完整（画图后请标注相应的频数）；
(3)若该校有3000名学生，请根据上述调查结果，估算该校学生一周的课外锻炼时间不足三小时的人
数．
【详解】（1）解： （人）,
,
,
故答案为：30，150，0.24
（2）解：如图所示：
（3）解： （人）
即估算该校学生一周的课外锻炼时间不足三小时的人数为960人．
21．（7分）如图，双曲线 与直线 交于A、B两点，点 的纵坐标为6；(1)求反比例函数的解析式；
(2)根据图象直接写出不等式 的解集；
(3)将直线 向下平移后，与y轴交于点C，与x轴交于点D，当四边形 为平行四边形时，
求直线 的解析式．
【详解】（1）解：把 代入 得：
解得 ，
∴ ，
把 代入 ，
解得 ，
∴反比例函数的解析式为 ；
（2）∵两个函数均关于原点对称，
∴ 关于原点对称，
∴ ，
由图象可知： 时： 或 ；
（3）设直线 向下平移后的解析式为 ，
在 中，令 得 ，当 时， ，
∴ ， ，
当四边形 是平行四边形时， 的中点恰为 的中点，∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴直线 的解析式为 ．
22．（9分）如图，在 中， 为直径， 为弦．过 延长线上一点 ，作 于点 ，交
于点 ，交 于点 ， 是 的中点，连接 ， ．
(1)判断 与 的位置关系，并说明理由；
(2)若 ， ， ，求 的长．（用两种做法解答）
【详解】（1）解： 与 相切，理由如下：
如图所示，连接 ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ．
∵M点为 的中点，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，又∵ 是 的半径
∴ 为 的切线，即 与 相切；
（2）
解：方法一：如图2-1所示，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；方法二：如图2-2所示，过点C作 于H，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，则 ，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ．【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的
性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
23．（10分）已知正方形 ，动点 在 上运动，过点 作 射线 于点 ，连接 ．
(1)如图1，在 上取一点 ，使 ，连接 ，求证： ；
(2)如图2，点 在 延长线上，求证： ；
(3)如图3，若把正方形 改为矩形 ，且 ，其他条件不变，请猜想 和 的
数量关系，直接写出结论，不必证明．
【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，且 ，
∴ ，∴ ．
（2）证明：如图所示，过点 作 交 的延长线于点 ，
∴ ，
∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
（3）解： ，理由如下，
如图所示，过点 作 交 于点 ，∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∴ ，
同（1）的证明方法得， ，
∴ ，
∴ ，
∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查正方形、矩形、直角三角形的综合，掌握正方形的性质，矩形的性质，直角三
角形的勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识的综合运用是解题的关
键．
24．（12分）已知，二次函数 与 轴的一个交点为 ，且过 和 点．
(1)求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
(2)将二次函数 向右平移 个单位，得到的新抛物线，当 时，y随x增
大而增大，当 时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；
(3)已知M、P、Q是抛物线 上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是 ， ，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求 ．
【答案】(1) ，二次函数的表达式为 ，顶点为 ；
(2)新函数的解析式为 或 或 ；
(3) 的度数是 或 ．
【分析】（1）根据二次函数上的三个点的坐标列方程组即可求得 、 、 的值，进而求得二次函数
表达式及顶点坐标；
（2）将二次函数 的图象向右平移 个单位得 新图象的对称轴
为直线 ，由 时， 随 增大而增大， 时， 随 增大而减小，且抛物线开口
向下，得 ，进而有 ，或 或 ，即可得到答案；
（3）当 在 左侧时，过 作 于 ，先求出 ， ，
，进而得 ，于是可求得 ，当 在 右侧时，
同理可得 是等腰直角三角形， ，于是可求得 ，从而即可得解．
【详解】（1）解：∵二次函数 与 轴的一个交点为 ，且过 和 ，
∴ ，
解得 ，
∴二次函数的表达式为 ，
∴二次函数化为顶点式为 ，∴二次函数顶点为 ；
（2）解：如图∶
将二次函数 ，的图象向右平移 个单位得 的图象，
∴新图象的对称轴为直线 ，
∵当 时， 随 增大而增大，当 时， 随 增大而减小，且抛物线开口向下，
∴ ，
解得 ，
∵ 是整数，
∴ ，或 或 ，
∴ 或 或 ，
∴符合条件的新函数的解析式为 或 或 ；
（3）解：当 在 左侧时，过 作 于 ，如图，∵点 、 的横坐标分别是 、 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵点 与点 关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线 ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，即 ，
当 在 右侧时，如图，同理可得 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
综上所述， 的度数是 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，抛物线的平移变换，等腰直角三角形的判定
等知识，解题的关键是掌握数形结合的思想．
