文档内容
难点与新考法 01 数与式中的计算、动点与规律探究（8 大题型）
题型一：几个非负数和为0问题
题型二：数轴动点问题
题型三：估算二次根式的大小
题型四：代数式求值
题型五：整除问题
题型六：个位数字规律探究
题型七：数或式的规律探究
题型八：图形规律探究
题型一：几个非负数和为0问题
非负数和为0问题的解题关键
若几个具有非负性的数或式子相加和为 0,则每一个加数均为0;常见的非负数有绝对值( )、
二次根式( )、偶次方(c",n为正整数)
【中考母题学方法】
【典例1】（2024•成都）若 ， 为实数，且 ，则 的值为 ．
【变式1-1】难点01结合相反数的定义列出代数式
（2024•龙马潭区校级二模）已知 与 互为相反数， ．
【变式1-2】难点02结合二元一次方程组求解
（2022•黔东南州）若 ，则 的值是 ．
【变式1-3】新考法01 结合三角形求解
（2023•永州模拟）若 ，则以 ， 为边长的等腰三角形的周长为 ．
【变式1-4】新考法02 结合三角函数求解
（2024•武威二模）在 中，若 与 互为相反数，则 ．
【中考模拟即学即练】1．（2024•雨花台区模拟）已知 ， 都是实数，若 ，则 的值是
A． B．0 C．1 D．2024
2．（2024•蓬江区校级一模）若 、 为实数，且满足 ，则 的值为
A．1或 B．1 C． D．无法确定
3.（2023•邹城市一模）已知 与 互为相反数，则 的值是
A．6 B．5 C． D．2
4．（2024•广州模拟）在平面直角坐标系中，已知 ，则点 位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2024•甘州区三模）已知 ， 的平方根是 ．
6．（2024•金平区一模）已知 ，则 的值为 ．
7．（2024•广西模拟）已知 、 、 都是实数，若 ，则 ．
8.（2023•甘州区校级模拟） 的三边长 ， ， 满足 ，则 的周长为
．
9.（2024•凉州区一模）已知 、 均为锐角，且满足 ，则 ．
10．（2024•西城区校级一模）已知 ，若 ，求代数式 的值．
11．（2024•恩施市模拟）已知 ．
（1）求 ， 的值；
（2）求 的平方根．题型二：数轴动点问题
数轴上的三种动点问题
数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情
况多变。动点问题虽然较难，但观察总结过这类题目考型后会发现其实总体来说就分为三类:
一、数轴上点移动后的表示
点的移动问题方法：“三找”：
(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度
二、两个点之间的距离
1、距离公式：AB=｜a-b｜=｜b-a｜（或者：右边的数-左边的数）
2、中点公式：点M表示的数为：（a+b)/2；
3、移动公式：当点A向右移动m个单位，则A表示的数为：a+m；
当A向左移动m个单位，则A表示的数为a-m.
三、数轴上动点移动问题
点的移动问题就是将点的移动后表示与用绝对值表示两点之间的距离结合起来。
方法：(1)找起点；（2）找方向；（3）找长度（4）根据距离公式列方程
【中考母题学方法】
【典例2】（2024•新华区校级二模）已知在纸面上有一数轴（如图所示）．
（1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数 的点重合，则此时表示数4的点与表示数 的
点重合；
（2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数 的点重合，回答下列问题：①表示数9的点与表示数 的点重合；
②若这样折叠后，数轴上的 ， 两点也重合，且 ， 两点之间的距离为10（点 在点 的左侧），
求 ， 两点所表示的数分别是多少？
③在②的条件下，在数轴上找到一点 ，设点 表示的数为 ．当 时，直接写出 的值．
【变式2】难点新考法新定义阅读理解 分类讨论位置关系问题
（2024秋•宝安区期中）阅读理解： 、 、 为数轴上三点，若点 到 的距离是点 到 的距离的3
倍，我们称点 是【 ， 】的和谐点．若点 到 的距离是点 到 的距离的3倍，我们称点 是【
， 】的和谐点．
（1）如图1，点 表示的数为 ，点 表示的数为3．表示0的点 到点 的距离是1，到点 的距离是
3，那么点 【 ， 】的和谐点，点 【 ， 】的和谐点．（请在横线上填是或不是）
（2）如图2， 、 为数轴上两点，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为3．则【 ， 】的和谐
点有 个，并求出所有【 ， 】的和谐点所表示的数．
（3）如图3， 、 为数轴上两点，点 所表示的数为 ，点 所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁
从点 出发，以3个单位每秒的速度向右运动，另一只电子蚂蚁 从点 出发，以1个单位每秒的速
度向左运动，当点 到达点 时， 、 两点同时停止运动，设运动的时间为 秒．
①当 时，若点 是【 ， 】的和谐点且在 、 之间，则 所表示的数是否为定值，若为定值，
请求出该值，若不为定值，请说明理由．
②直接写出当 是【 ， 】的和谐点时， 的值为 ．【中考模拟即学即练】
1．（2024•献县模拟）如图1，电脑显示屏上画出了一条不完整的数轴，并标出了表示 的点 ．小明同
学设计了一个电脑程序：点 ， 分别从点 同时出发，每按一次键盘，点 向右平移2个单位长度，
点 向左平移1个单位长度．例如，第一次按键后，屏幕显示点 ， 的位置如图2．
（1）第 次按键后，点 正好到达原点；
（2）第6次按键后，点 到达的点表示的数字比点 到达的点表示的数字大多少？
（3）第 次按键后，点 ， 到达的点表示的数互为相反数，求 的值．
2．（2024•恩施市校级模拟）如图，已知数轴上原点为 ，点 表示的数为 ， 在 的右边，且 与
的距离是24，动点 从点 出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点 从点 出
发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为 秒．
（1）写出数轴上点 表示的数 ，与点 的距离为3的点表示的数是 ．
（2）点 表示的数 （用含 的代数式表示）；点 表示的数 ，（用含 的代数式表示）．
（3）假如 先出发2秒，请问点 总运动时间 为何值时， ， 相距5个单位长度？（4）若点 是数轴上一点，是否存在整数 ，使得 的值最小？如果存在，请写出最小整数
；如果不存在，请说明理由．
题型三：估算二次根式的大小
解题方法 平方法
在估算二次根式的大小时常使用的是平方法,对于几个正的二次根式,可以通过比较它们平
方后的结果来确定二次根式的大小关系.
【中考母题学方法】
【典例3】（2024•天津）估计 的值在
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【变式3-1】难点01 结合二次根式的运算估值
（2024•江北区校级模拟）若 为正整数，且满足估算 ，则 的值为
A．18 B．19 C．20 D．21
【变式3-2】难点02 求整数部分和小数部分
（2024•南海区校级模拟）已知 的整数部分是1，则小数部分是 ；若 的小数部分为 ，则
．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•游仙区模拟）设 ，则对于实数 的范围判断正确的是A． B． C． D．
2.（2024•沙坪坝区模拟）估计 的值应在
A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间
3.（2024•琼山区校级三模）已知 ， ， ， ．若 为整数，且
，则 的值为
A．43 B．44 C．45 D．46
4.（2024•历城区模拟）大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可
能以小数形式全部写出来，因为 的整数部分是1，于是可以用 表示 的小数部分．类似的，
的小数部分可以表示为 ．
5．（2024•市南区校级二模）已知 是 的整数部分， 是它的小数部分，求 的值．
题型四：代数式求值
1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2、整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关
系.
③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
【中考母题学方法】【典例4】（2024•徐州）若 ， ，则代数式 的值等于 ．
【变式4-1】难点 结合方程组求代数式的值
（2024•大庆模拟）已知 ， ，则 ．
【变式4-2】新考法 解题方法型阅读理解题
（2024•香坊区二模）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决
数学问题的重要思想方法．例如，代数式 的几何意义是数轴上 所对应的点与2所对应的点之间的
距离：因为 ，所以 的几何意义就是数轴上 所对应的点与 所对应的点之间的距离．
则代数式 的最小值是 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•广安）若 ，则 ．
2．（2024•锦江区模拟）若 ，则 的值为 ．
3．（2024•阳谷县一模）已知 ，则代数式 的值是 ．
4．（2024•内江）已知实数 、 满足 的两根，则 ．
5.（2024•仁怀市模拟）如果实数 ， 满足方程组 ，那么代数式 的值为 ．
6.（2024•南岗区校级一模）阅读材料：若 满足 ，求 的值．
解：设 ， ，则 ， ．
所以 ．
带仿照上例解决下面问题：
若 满足 ，则 的值是 ．7.（2024•枣庄一模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知 ，求代数式
的值．”可以这样解： ．根据阅读材料，解决问题：若
是关于 的一 元一次方程 的解，则代数式 的值是
．
8．（2024•邢台三模）已知： ， ．
（1）求 ；
（2）若 的值与 的值无关，求 ， 满足的关系式．
9．（2024•萧山区一模）化简： ．
方方在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是4，请计算 ．
（2）如果化简的结果是单项式，求被污染的数字．
题型五：整除问题解题方法 因式分解法
利用平方差公式对整式或高次幂进行因式分解或降幂,直到式子中出现整数因式,则可以判
断该整式或高次幂可以被整数因式整除
【中考母题学方法】
【典例5】（2023•河北）若 为任意整数，则 的值总能
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【变式5】新考法 新定义阅读理解题
（2023•重庆）对于一个四位自然数 ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称
为“天真数”．如：四位数 7311， ， ， 是“天真数”；四位数 8421，
， 不是“天真数”，则最小的“天真数”为 ；一个“天真数” 的千位数字
为 ，百位数字为 ，十位数字为 ，个位数字为 ，记 ， ，若
能被10整除，则满足条件的 的最大值为 ．
【中考模拟即学即练】
1．（2024•丰润区一模）若 、 都是任意整数，如果 的值总能被3整除，则 不能取
A． B．1 C．2 D．4
2.（2024•渝北区模拟）一个四位数 ，记作 ，若 ，则称 为“和美数”．例如：
四位数1235， ， 是“和美数”．若一个“和美数”为 ，则这个数为 ；对于
“和美数” ，去掉个位上的数字得到三位数 ，去掉千位上的数字得到三位数 ，当
能被11整除时，满足条件的 的最大值与最小值的差为 ．
3.（2024•九龙坡区校级模拟）对于一个四位正整数 ，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千
位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数 是“优胜数”．则符合条件的 的最大数与最小数的差为 （A） ， （A） ，若 能被7整除，
则所有满足条件的四位正整数 的和为 ．
4．（2024•秦淮区模拟）证明： 能被 整除．
5．（2024•邯山区校级三模）有一电脑 程序如图，能处理整式的相关计算，已知输入整式 ，整
式 后，屏幕上自动将整式 补齐，但由于屏幕大小有限，只显示了整式 的一部分：
．
（1）嘉淇想：把 设为 ，再利用 来解决问题，请利用嘉淇的想法求程序自动补全的整式
；
（2）在（1）的条件下，嘉淇发现：若 为任意整数，整式 的值总能被某个大于1的正整数整除，
求这个正整数的值．
6．（2024•古冶区二模）如果一个四位自然数 的各数位上的数字互不相等且均不为 0，满足
，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129， ， 是“递减数”．
（1）判断四位数5324是不是“递减数”；
（2）若一个“递减数”为 ，求这个“递减数”；
（3）若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数 与后三个数字组成的三位数 的和能被9整除，
直接写出满足条件的递减数的最大值．
题型六：个位数字规律探究
解题方法 周期判断法
第一步：计算出前几个算式的结果
第二步：观察个位数字的循环规律，重复出现的数为一个周期，如 2"的个位数字以24、
8、6为一个周期循环出现，周期内有4个数;3"的个位数字以3、9、7、1为一个周期循环
出现，周期内有4个数;4"的个位数字以4、6为一个周期循环出现，周期内有2个数
第三步：用n÷周期中数字的个数得到的余数，代表了所求个位数字处在周期中的第几位
【中考母题学方法】
【典例6】（2024•碑林区校级自主招生）如果 是一个自然数，那么 的“双阶乘”记为 ，其表示从2
到 的所有偶数的积，如果 ，那么 的末尾数字为 ．
【变式6-1】难点01 不确定n的值求个位数字
的末尾数是 ．
【变式6-2】难点02 结合因式分解求个位数字
（2024 秋•南安市校级月考）发现： ， ， ， ， ， ，
， ，依据上述规律，通过计算判断 的结果的个位
数字是
A．2 B．4 C．6 D．8【中考模拟即学即练】
1．（2024•头屯河区二模）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．在营
养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 来表示．即：
， ， ， ， ， ，请你推算 的个位数字是
A．6 B．4 C．2 D．8
2．（2024•赤峰一模）观察下列等式： ， ， ， ， ， ， ，
根据其中的规律可得 的结果的个位数字是
A．0 B．1 C．7 D．8
3．（2024•兴宁市校级模拟） 的计算结果的个位数字是
A．8 B．7 C．6 D．5
4．（2024•青山湖区校级三模）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型．
在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型 来表示．即：
， ， ， ， ， ，请你推算 的个位数字是 ．
5.设 ，则 的个位数字是 ．
6．（2024春•项城市校级期中）已知： ；
；
；
；
（1）当 时， ；（2）试求 的值；
（3） 的值的个位数是 ．
题型七：数或式的规律探究
解题方法
1.数字规律的解题步骤
第一步：按顺序给数标序数
第二步：对比序数(1，2，3，…，n)和数值间的关系，并用含序数的式子表示
第三步：根据规律表示出第n个式子，并检验
第四步：代入n的值，求第n个数
2.求第n个单项式的解题关键
找单项式的系数或者指数与序号的对应关系,可将问题转化成找数与序号之间的规律
3.猜想第n个等式的解题关键
找到等式里边每一个变化的数字与序号之间的对应关系,常见的数字规律同问题1;证明第,
个等式的正确性,即通过整式或分式运算,将等号一边变形为另一边的结果,
【中考母题学方法】
【典例7】（2024•绵阳）如图，将全体正偶数排成一个三角数阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有
1个数为2，第二行有2个数为4，6， 第 行有 个数 ．探究其中规律，你认为第 行从左至右第3
个数不可能是
A．36 B．96 C．226 D．426
【变式7-1】难点01两组数求第n个数的和（2023•牡丹江）观察下面两行数：
1，5，11，19，29， ；
1，3，6，10，15， ．
取每行数的第7个数，计算这两个数的和是
A．92 B．87 C．83 D．78
【变式7-2】难点02根据第一个数字与层数的关系判断数字所在位置
（2023•恩施州）观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：
，4， ，16， ，64， ①
0，7， ，21， ，71， ②
根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为 ；取每行数的第2023个数，则这两个数的和
为 ．
【变式7-3】难点03单项式的系数变成正负交替的分数
（2024•盘龙区校级模拟）按一定规律排列的式子： ， ， ， ， ，第 个式子是
A． B．
C． D．
【变式7-4】猜想第n个等式
（2024•宁夏）观察下列等式：
第1个： ；
第2个： ；
第3个： ；
第4个： ．
按照以上规律，第 个等式为 ．
【中考模拟即学即练】1．（2024•巧家县二模）按一定规律排列的多项式： ， ， ， ， ，
．第 个多项式是
A． B． C． D．
2．（2024•湖北模拟）一串数字如下：1， ，5， ，9， 如此下去，则第2023个数字与第2024
个数字的和等于
A．4047 B． C．2 D．
3．（2024•西山区校级模拟）按一定规律排列的一列单项式如下： ， ， ， ， ，则第
9个单项式是
A． B． C． D．
4．（2024•娄底模拟）杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261
年所著的《详解九章算法》一书中出现，它揭示了 为非负整数）展开式的项数及各项系数有关规
律，如下：则 展开式中所有项的系数和是
A．2048 B．1024 C．0 D．
5.（2023秋•邛崃市校级月考）观察下列等式：
第1层：
第2层：
第3层：
第4层：
在上述数字宝塔中，从上往下数，2023在第 层．
6．（2024•永安市二模）观察下列等式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式： ；
（2）写出你猜想的第 个等式（用含 的等式表示），并证明．题型八：图形规律探究
解题方法
解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形
与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而
推出一般性的结论．
【中考母题学方法】
【典例8】（2024•哈尔滨）如图，用棋子摆出一组形如正方形的图形，按照这种方法摆下去，摆第5个图
形需要棋子
A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚
【变式8-1】难点01两种基础图形变化
（2024•湖北模拟）用边长相等的正方形和等边三角形卡片按如图所示的方式和规律拼出图形．拼第 1个图
形所用两种卡片的总数为7枚，拼第2个图形所用两种卡片的总数为12枚 若按照这样的规律拼出的第
个图形中，所用正方形卡片比等边三角形卡片多10枚，则拼第 个图形所用两种卡片的总数为
A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚
【变式8-2】难点02图形不易识别个数固定累加
（2024•成都模拟）将小圆圈按如图所示的规律摆放下去，如果用 表示六边形一边上的小圆圈数， 表示
这个六边形中小圆圈的总数，请写出 和 满足的关系式是 ．【变式8-3】难点03图形个数不固定累加
（2024•济宁一模）如图都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排列下去，第 1个图形
中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正方形的个数是15个，
第9个图形中小正方形的个数是
A．100 B．99 C．98 D．80
【变式8-5】新考法 跨化学学科
（2024•重庆）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，如图是这类物质前四种化合物的分子结构模
型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第 1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，
第3种如图③有8个氢原子， 按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是
A．20 B．22 C．24 D．26
【中考模拟即学即练】
1．（2024•重庆模拟）观察下列一组图案，每个图案都是若干个“ ”组成，其中图①中共有7个“ ”，
图②中共有13个“ ”，图③中共有21个“ ”，图④中共有31个“ ” ，按此规律，图形⑩中的“”个数是
A．113 B．117 C．125 D．133
2．（2024•丹东二模）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等
原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷 癸烷（当碳原子数目
超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷 等，甲烷的化学式为 ，乙烷的化学式为
，丙烷的化学式为 ，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十三烷的氢原子的个数为
A．24 B．26 C．28 D．30
3．（2024•益阳三模）如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第
①个图形中“●”的个数为3，第②个图形中“●”的个数为8，第③个图形中“●”的个数为15，
以此类推，则第⑧幅图形中“●”的个数为
A．63 B．80 C．100 D．120
4．（2024•西山区校级模拟）如图所示第1个图案是由黑白两种颜色的正六边形地面砖组成，第2个，第3个图案可以看作是第1个图案经过平移而得，那么第8个图案中有白色六边形地面砖 块．
A．33 B．34 C．35 D．36
5．（2024•东昌府区校级模拟）由同样大小的棋子按照一定规律组成如图所示的图形，其中图 1有3颗棋
子，图2有9颗棋子，图3有18颗棋子， ，则图 有 颗棋子．
6．（2024•香坊区校级三模）观察图给出的四个点阵， 表示每个点阵中的点的个数，按照图形中的点的
个数变化规律，猜想第 个点阵中的点的个数 为 ．
