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▹讲师：余贞
更多干货关注 粉笔教师教育 粉笔教师第 一 节 ： 质 点 运 动 学
一、位置矢量
（一）概念
在选定的参考系上建立直角坐标系，某时刻质点位于𝑃点，其位置可用从坐标原点𝑂指向𝑃点的有向线段𝒓 =
𝑂𝑃表示，𝒓称为该时刻质点的位置矢量，简称位矢。
𝑧
（二）特征
位置矢量是描述某一时刻质点所在空间方位的物理量。
𝑃
（三）公式
在直角坐标系中，位矢的分量表达式为
𝑂
𝒓 = 𝑥𝒊 + 𝑦𝒋 + 𝑧𝒌
𝑦
式中，𝑥、𝑦、𝑧分别表示𝒓在𝑥、𝑦、𝑧轴上的投影；
𝒊、𝒋、𝒌分别表示沿𝑥、𝑦、𝑧轴上的单位矢量。
𝑥二 、 质 点 运 动 方 程
当质点运动时，其位矢𝒓随时间而变，位矢𝒓是时间𝑡的函数，即
𝒓 = 𝒓(t)
这称为质点的运动方程。在直角坐标系中，其分量形式为
𝑥 = 𝑥(𝑡)
ቐ𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑧 = 𝑧(𝑡)三 、 位 移
（一）特征
位移是描述质点位置变化的物理量。
（二）公式
在直角坐标系中，位移的分量表达式为
Δ𝒓 = 𝒓 − 𝒓 = 𝑥 − 𝑥 𝒊 + 𝑦 − 𝑦 𝒋 + 𝑧 − 𝑧 𝒌
2 1 2 1 2 1 2 1【例】质点运动学方程为𝑟 = 4𝑡2𝑖Ԧ + 2𝑡 + 3 𝑗Ԧ（单位：m）。
（1）求质点轨迹；（2）求自𝑡 = 0𝑠至𝑡 = 1𝑠质点的位移。四 、 速 度
𝑧
在直角坐标系中，速度的分量表达式为
d𝒓 d𝑥 d𝑦 d𝑧
𝒗 = = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌
𝑃
d𝑡 d𝑡 d𝑡 d𝑡
𝑂
𝑦
𝑥
五 、 加 速 度
在直角坐标系中，加速度的分量表达式为
d𝒗 d2𝒓 d2𝑥 d2𝑦 d2𝑧
𝒂 = = = 𝒊 + 𝒋 + 𝒌
d𝑡 d𝑡2 d𝑡2 d𝑡2 d𝑡2（真题 2016 年上 · 高中）一质点沿𝑥轴正方向运动，其速度按𝑣 = 𝑘 𝑥的规律变化，式中𝑘是
正常数。当𝑡 = 0时，质点位于原点𝑂处。求该质点的速度及加速度随时间𝑡的变化规律。
涉及的数学公式：
𝑥𝑛+1
1.∫ 𝑥𝑛d𝑥= + 𝐶(𝑛 ≠ −1)
𝑛+1
2.牛顿—莱布尼茨公式
𝑏
න 𝑓(𝑥) d𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑎【例1】飞机着陆时为尽快停止采用降落伞制动，刚着陆时，𝑡 = 0时速度为𝑣 ，且坐标𝑥 = 0，假设
0
其加速度为𝑎 = −𝑏𝑣2 ，𝑏 =常量，求飞机速度和坐标随时间的变化规律。
𝑥 𝑥（真题2022上·高中）一质量𝑚 = 1𝑘𝑔的物体在外力𝐹的作用下由静止开始在水平面上做直线运动，
已知物体与水平面间的动摩擦因数𝜇 = 0.2，外力𝐹随时间𝑡的变化关系如图，设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，空气阻力不计，𝑔 = 10𝑚/𝑠2 ，求：
1. 第3秒末物体的瞬时速度
2．力𝐹在前3𝑠内所做的功六 、 曲 线 运 动
（一）曲线运动的描述
轨道上任一点𝑃点的切线和法线构成的坐标系称为自然坐标系，𝝉、𝒏分别代表切线和法线方向的单位矢
量。
设𝑡 = 0时质点位于𝑂点，𝑡时刻质点位于𝑃点，则弧长𝑂𝑃就是质点在𝑡时刻的自然坐标值，以𝑠表示，即
𝑠 = 𝑠(𝑡)
该公式是以自然坐标表示的质点运动学方程。d𝑣 d2𝑠
切向加速度为𝒂 = 𝝉 = 𝝉
𝜏
d𝑡 d𝑡2
𝑣2
法向加速度为𝒂 = 𝒏
𝑛
𝑅
在自然坐标系中，质点加速度的表达式为𝒂 = 𝒂 + 𝒂
𝜏 𝑛
加速度大小为𝑎 = 𝑎2 + 𝑎2
𝜏 𝑛
切向加速度表示速度大小的变化率
法向加速度表示速度方向的变化率（二）圆周运动
1.角坐标
角坐标是描述质点在圆周上的位置的物理量。以𝑥轴作为参考轴，设𝑡时刻质点位于𝐴点，则半径𝑂𝐴与𝑥
轴的夹角𝜃称为该时刻质点的角坐标。𝜃随时间变化的表达式为
𝜃 = 𝜃 𝑡
上式称为圆周运动的运动学方程。角坐标的单位为rad。2.角位移
质点由𝐴点到达𝐵点，转过的角度∆𝜽称为角位移。
角位移是矢量，方向由右手螺旋定则确定：以弯曲的四指代表质点运动的方向，则与四指垂直的大
拇指所指的方向即为角位移的方向。单位为rad。3.角速度
d𝜽
角速度为矢量，用𝝎表示，公式为：𝝎 =
d𝑡
角速度的方向与角位移的方向一致。当质点作圆周运动时，由于d𝜽只有两个可能的取向，因此𝝎常用标
d𝜃
量表示，即：𝜔 =
d𝑡
在国际单位制中，角速度的单位为弧度每秒，符号为rad ⋅ s−1 。
4.角加速度
d𝝎
角加速度是表示角速度变化快慢的物理量。角加速度为矢量，用𝜷表示，公式为：𝜷 =
d𝑡
方向与角速度方向一致，在国际单位制中，角加速度的单位为弧度每二次方秒，符号为rad ⋅ s−2 。5.角量和线量之间的关系
描述圆周运动的物理量𝜃、𝜔、𝛽称为角量。质点的速度、切向加速度和法向加速度等统称为线量。在
d𝑡时间内，质点发生d𝜽角位移时，它所通过的路程d𝑠 = 𝑅d𝜃，则角量与线量之间的关系为
d𝑠 𝑅d𝜃
𝑣 = = = 𝑅𝜔
d𝑡 d𝑡
d𝑣 𝑅d𝜔
𝑎 = = = 𝑅𝛽
𝜏
d𝑡 d𝑡
𝑣2
𝑎 = = 𝑅𝜔2
𝑛
𝑅（真题2017 年上· 高中）如图所示，半径为𝑅的刚性圆环轨道，水平固定在光滑的桌面上，一
物体贴着轨道内侧运动，物体与轨道间的滑动摩擦力系数为𝜇，设物体在某时刻经过𝐴点时的速
率为𝑣 ，求：
0
（1）此后𝑡时刻物体的速率。
（2）从A点开始在𝑡时间内的路程。【例1】掷铁饼运动员手持铁饼转1.5圈后松手，此时铁饼的速度𝑣 = 25 𝑚/𝑠。该铁饼转动时沿
半径𝑅 = 1.0 𝑚的圆周运动并且均匀加速，则铁饼在此过程中的角加速度为（ ）𝑟𝑎𝑑/𝑠2 。
A.33.2
B.34.8
C.35.7
D.36.1七 、 牛 顿 第 二 定 律
牛顿第二定律：
运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿直线的方向上。（《自然哲学的数学原
理》）
d𝒗 d2𝒓
表达式为：𝑭 = 𝑚𝒂 = 𝑚 = 𝑚
d𝑡 d𝑡2（真题2017年下· 高中）一质量为𝑚的小球，从高出水面ℎ处的A点自由落下，如图所示。已知小
球在水中受到的黏滞阻力与小球的运动速率𝑣成正比(比例系数为𝑘)。设小球在水中的浮力忽略不计,以
小球恰好垂直落入水中时为计时起点(𝑡 = 0)。求小球在水中的运动速率𝑣与时间𝑡的关系。第 二 节 力 学 基 本 定 理 与 守 恒 律
一、动量定理
（一）冲量
𝐹
变力𝑭在𝑡 至𝑡这段时间内的冲量为
0
𝑡
𝑰 = න 𝑭d𝑡
𝑡
0
（二）动量
质量是𝑚、速度是𝒗的质点的动量𝒑为
𝒑 = 𝑚𝒗
𝑂 𝑡 d𝑡 𝑡 𝑡
0（三）质点的动量定理
1.微分形式
d𝒑 d 𝑚𝒗
𝐹 = =
d𝑡 d𝑡
2.积分形式
𝑡
𝑰 = න 𝑭d𝑡 = 𝑚𝒗 − 𝑚𝒗
0
𝑡
0二 、 功 和 功 率
1．恒力的功
公式：𝐴 = 𝐹 ∙ ∆𝑟 = 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃∆𝑟
𝑟
式中，𝜃为恒力𝑭与位移∆𝒓的夹角。
2．变力的功
𝑏 𝑏 𝑏
公式：𝐴 = ∫ d𝐴 = ∫ 𝑭 ∙ d𝒓 = ∫ 𝐹𝑐𝑜𝑠𝜃d𝑠
𝑎 𝑎 𝑎
该公式表明质点从𝑎点移至𝑏点时，变力对质点所做的功等于𝑎𝑏段上所有元功的和。其中，d𝐴是力𝑭在
位移元d𝒓上做的元功；𝜃是𝑭与d𝒓之间的夹角；d𝑠为d𝒓相应的路程元。
（二）功率
d𝐴 𝑭∙d𝒓
公式：𝑃 = = = 𝑭 ∙ 𝒗 = 𝐹𝑣𝑐𝑜𝑠𝜃
d𝑡 d𝑡(真题2015年下·高中）一物体在几个力同时作用下运动，其位移为∆𝑟 = 8𝑖Ԧ − 2𝑗Ԧ + 4𝑘(SI),其中一个
分力为𝐹 = 6𝑖Ԧ + 4𝑗Ԧ − 𝑘(SI)，则该分力在此过程的功为（ ）。
A.36J B.48J C.56J D.60J【例1】传送机通过滑道将长为𝐿、质量为𝑚的柔软匀质物体以初速𝑣 向右送上水平台
0
面，物体前端在台面上滑动𝑠距离后停下来，已知滑道上的摩擦可忽略不计，物与台面间
的摩擦因数为𝜇，而且𝑠 > 𝐿，试计算物体的初速度𝑣
0三 、 动 能 定 理
质量为𝑚的质点在合外力𝑭作用下，由𝑎点运动到𝑏点时，速率由𝑣 变化到𝑣，有
0
𝑏 𝑏 d𝑣 𝑏 d𝑠 𝑣 1 1
𝐴 = න d𝐴 = න 𝑚 ⋅ d𝑠 = න 𝑚 ⋅ d𝑣 = න 𝑚𝑣d𝑣 = 𝑚𝑣2 − 𝑚𝑣 2
0
d𝑡 d𝑡 2 2
𝑎 𝑎 𝑎 𝑣
0
合外力对物体作的功总等于物体动能的增量【例1】一链条，总长为𝑙，放在光滑的桌面上，其中一端下垂，长度为𝑎，如图所示，假
定开始时链条静止。求链条刚刚离开桌边时的速度。四 、 保 守 力 与 势 能
（一）保守力与非保守力
1．保守力
（1）概念
力对物体做的功只与运动物体的始、末位置有关，与路径无关，这样的力称为保守力。
（2）保守力做功的特点
∮ 𝑭 ⋅ d𝒓 = 0
𝐿
质点沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作
∮ 表示沿闭合曲线积分，上式表明：
𝐿
的功为零。2．非保守力
力对物体所做的功与物体的始、末位置和运动路径都有关，这样的力称为非保守力，如摩擦力。
（二）势能
保守力场中，物体空间位置的单值函数称为势能，用𝐸 表示。保守力的功等于势能
增量的负值，为
p
𝐴 = − 𝐸 − 𝐸 = −Δ𝐸
p𝑏 pa p
式中，𝐸 是末位置的势能，𝐸 是初位置的势能。
p𝑏 pa【例】有一保守力𝑭 = −𝐴𝑥 + 𝐵𝑥2 𝒊，沿𝑥轴作用于质点上，式中𝐴、𝐵为常量，取𝑥 = 0时
𝐸 = 0，则与此力相应的势能为（ ）。
p
𝐴 𝐵 𝐴 𝐵
A． 𝑥2 − 𝑥3 B． 𝑥2 − 𝑥3
2 3 3 2
𝐵 𝐴 𝐵 𝐴
C． 𝑥3 − 𝑥2 D． 𝑥3 − 𝑥2
3 2 2 3
