考研数学历年真题(2008-2017)年数学一公众号：小乖考研免费分享_04.数学一历年真题_普通版本数学一_真题集（仅是真题，可以直接打印的）

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的 （1）若函数 在 处连续，则（ ） (A) (B) (C) (D) （2）设函数 可导，且 则（ ） (A) (B) (C) (D) （3）函数 在点 处沿向量 的方向导数为（ ） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线 （单 位:m/s）虚线表示乙的速度曲线 ，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的 时刻记为 （单位:s）,则（ ） (A) (B) (C) (D) （5）设 为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ） (A) 不可逆 (B) 不可逆 (C) 不可逆 (D) 不可逆 1（6）已知矩阵 ，则（ ） (A) A与C相似，B与C相似 (B) A与C相似，B与C不相似 (C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似 （7）设 为随机事件，若 ,则 的充分必要条件是（ ） A. B C. D. （8）设 来自总体 的简单随机样本，记 则下列结论中不正确的是：（ ） (A) 服从 分布 (B) 服从 分布 (C) 服从 分布 (D) 服从 分布 二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。 （9） 已知函数 ,则 __________ （10）微分方程 的通解为 __________ （11）若曲线积分 在区域 内与路径无关，则 （12）幂级数 在区间（-1,1）内的和函数 （13）设矩阵 ， 为线性无关的3维列向量组，则向量组 的秩为 （14）设随机变量X的分布函数为 ，其中 为标准正态分布函数，则EX= 三、解答题：15~23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （15）（本题满分10分） 设函数 具有2阶连续偏导数， ,求 ， （16）（本题满分10分） 2求 （17）（本题满分10分） 已知函数 由方程 确定，求 得极值 （18）（本题满分10分） 在 上具有2阶导数， 设函数 证（1） 方程 在区间 至少存在一个根； （2） 方程 在区间 内至少存在两个不同的实根. （19）（本题满分10分） 设薄片型物体 是圆锥面 被 柱 面 割 下 的 有 限 部 分 ， 其 上 任 一 点 弧 度 为 。记圆锥与柱面的交线为 （1）求 在 平面上的投影曲线的方程 （2）求 的质量 （20）（本题满分11分） 设三阶行列式 有3个不同的特征值，且 （1）证明 （2）如果 求方程组 的通解 （21）（本题满分11分） 设二次型 在正交变换 下的标准型为 求 ， 的值及一个正交矩阵 . （22）（本题满分11分） 设随机变量X，Y互独立，且 的概率分布为 ，Y概率密度为 3(1)求 (2)求 的概率密度 （23）（本题满分11分） 某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量 是已知的，设n次测量结 果 相互独立，且均服从正态分布 ，该工程师记录的是 n 次测量的绝对误差 ，利用 估计 (I)求 的概率密度 (II)利用一阶矩求 的矩估计量 (III)求 的最大似然估计量 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将 所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）若反常积分 收敛，则（ ） （2）已知函数 ，则 的一个原函数是（ ） （3）若 是微分方程 的两个解，则 （ ） 4（4）已知函数 ，则（ ） （A） 是 的第一类间断点 （B） 是 的第二类间断点 （C） 在 处连续但不可导 （D） 在 处可导 （5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（ ） （A） 与 相似 （B） 与 相似 （C） 与 相似 （D） 与 相似 （6）设二次型 ，则 在空间直角坐标下表示 的二次曲面为（ ） （A）单叶双曲面（B）双叶双曲 （C）椭球面 （D）柱面 （7）设随机变量 ，记 ，则（ ） （A） 随着 的增加而增加 （B） 随着 的增加而增加 （C） 随着 的增加而减少 （D） 随着 的增加而减少 （8）随机试验 有三种两两不相容的结果 ，且三种结果发生的概率均为 ，将试验 独立重复做2次， 表示2次试验中结果 发生的次数， 表示2次试验中结果 发生的次数，则 与 的相关系数为（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. （9） （10）向量场 的旋度 （11）设函数 可微， 由方程 确定，则 （12）设函数 ，且 ，则 （13）行列式 ____________. （14）设 为来自总体 的简单随机样本，样本均值 ，参数 的置信度为0.95的双侧置 信区间的置信上限为10.8，则 的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 5（15）（本题满分10分）已知平面区域 ，计算二重积分 . （16）（本题满分10分）设函数 满足方程 其中 . 证明：反常积分 收敛； 若 ，求 的值. （17）（本题满分10分）设函数 满足 且 是从点 到点 的光滑曲线，计算曲线积分 ，并求 的最小值 （18）设有界区域 由平面 与三个坐标平面围成， 为 整个表面的外侧，计算曲面积分 （ 19 ） （ 本 题 满 分 10 分 ） 已 知 函 数 可 导 ， 且 ， ， 设 数 列 满 足 ，证明： （I）级数 绝对收敛； （II） 存在，且 . 6（20）（本题满分11分）设矩阵 当 为何值时，方程 无解、有唯一解、有无穷多解？ （21）（本题满分11分）已知矩阵 （I）求 （II）设3阶矩阵 满足 ，记 将 分别表示为 的线性组 合。 （22）（本题满分11分）设二维随机变量 在区域 上服从均匀分布，令 （I）写出 的概率密度； （II）问 与 是否相互独立？并说明理由； （III）求 的分布函数 . （23）设总体 的概率密度为 ，其中 为未知参数， 为来 自总体 的简单随机样本，令 。 （1）求 的概率密度 7（2）确定 ，使得 为 的无偏估计 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题 （1）设函数 在 连续，其2阶导函数 的图形如下图所示，则曲线 的拐点个数为（ ） （A）0 （B）1 (C) 2 (D) 3 （ ） （ ） 8（4）设D是第一象限中曲线 与直线 围成的平面区域，函数 在D上连续，则 （ ） （A） （B） (C) ( D) （5）设矩阵 ， ，若集合 ，则线性方程组 有无穷多个解的充分必要条 件为（ ） （A） （B） （C） （D） （6）设二次型 在正交变换 下的标准形为 ，其中 ，若 ，则 在正交变换 下的标准形为（ ） （A） （B） （C） （D） （7）若 为任意两个随机事件，则（ ） （A） （B） （C） （D） （ ） 9二、填空题 （9） （10） _________. （11）若函数由方程 确定，则 . （12）设 是由平面 与三个坐标平面所围成的空间区域，则 （13） 阶行列式 n （14）设二维随机变量 服从正态分布 ，则 三、解答题 （15）设函数 ， ，若 与 在 是等价无穷小，求 ， ， 值。 （16）设函数 在定义域 上的导数大于零，若对任意的 ，曲线 在点 处的切线与 直线 及 轴所围成的区域的面积为4，且 求 的表达式。 10（17）已知函数 ，曲线 ，求 在曲线 上的最大方向导数. （18）（本题满分10分） （Ⅰ）设函数 可导，利用导数定义证明 （Ⅱ）设函数 可导， 写出 的求导公式. （19）（本题满分10分） 已 知 曲 线 的 方 程 为 起 点 为 ， 终 点 为 ， 计 算 曲 线 积 分 （20）（本题满分11分） 设向量组 是3维向量空间 的一个基， ， ， 。 （Ⅰ）证明向量组 是 的一个基； （Ⅱ）当k为何值时，存在非零向量 在基 与基 下的坐标相同，并求出所有的 。 （21）（本题满分11分） 11设矩阵 相似于矩阵 . （Ⅰ）求 的值. （Ⅱ）求可逆矩阵 ，使得 为对角阵. （22）（本题满分11分） 设随机变量 的概率密度为 对 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记 为观测次数. （Ⅰ）求 的概率分布； （Ⅱ）求 . （23）（本题满分11分） 设总体 的概率密度为 其中 为未知参数， 为来自该总体的简单随机样本. （Ⅰ）求 的矩估计. （Ⅱ）求 的最大似然估计. 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分． １．下列曲线有渐近线的是（ ） （A） （B） 12（C） （D） 2．设函数 具有二阶导数， ，则在 上（ ） （A）当 时， （B）当 时， （C）当 时， （D）当 时， 3．设 是连续函数，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 4．若函数 ，则 （ ） （A） （B） （C） （D） 5．行列式 等于（ ） （A） （B） （C） （D） 6．设 是三维向量，则对任意的常数 ，向量 ， 线性无关是向量 线性无关的 （A）必要而非充分条件 （B）充分而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）非充分非必要条件 7．设事件A与B想到独立， 则 （ ） （A）0.1 （B）0.2 （C）0.3 （D）0.4 8．设连续型随机变量 相互独立，且方差均存在， 的概率密度分别为 ，随机变量 的概率密度为 ， 随机变量 ，则（ ） （A） （B） （C） （D） 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．曲面 在点 处的切平面方程为 ． 1310．设 为周期为4的可导奇函数，且 ，则 ． 11．微分方程 满足 的解为 ． 12．设 是柱面 和平面 的交线，从 轴正方向往负方向看是逆时针方向，则曲线 积分 ． 13．设二次型 的负惯性指数是1，则 的取值范围是 ． 14．设总体X的概率密度为 ，其中 是未知参数， 是来自总体的简单 样本，若 是 的无偏估计，则常数 = ． 三、解答题 15．（本题满分10分） 求极限 ． 16．（本题满分10分） 设函数 由方程 确定，求 的极值． 17．（本题满分10分） 设函数 具有二阶连续导数， 满足 ．若 ， 求 的表达式． 1418．（本题满分10分） 设 为曲面 的上侧，计算曲面积分： 19．（本题满分10分） 设数列 满足 ， 且级数 收敛． （1）证明 ； （2）证明级数 收敛． 20．（本题满分11分） 设 ，E为三阶单位矩阵． （1）求方程组 的一个基础解系； （2）求满足 的所有矩阵 ． 21．（本题满分11分） 证明 阶矩阵 与 相似． 22．（本题满分11分） 15设随机变量 X 的分布为 ，在给定 的条件下，随机变量 服从均匀分布 ． （1）求 的分布函数； （2）求期望 23．（本题满分11分） 设总体X的分布函数为 ，其中 为未知的大于零的参数， 是来自总体的 简单随机样本， （1）求 ； （2）求 的极大似然估计量 ． （3）是否存在常数 ，使得对任意的 ，都有 ？ 162013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题（1~8题，每题4分） xarctanx 1.已知极限lim c，其中k，c为常数，且c0，则（ ） x0 xk 1 1 A. k 2,c B. k 2,c 2 2 1 1 . k 3,c D. k 3,c 3 3 2.曲面x2 cos(xy) yzx0在点(0,1,1)处的切平面方程为（ ） A. x yz 2 B. x yz 0 C. x2yz 3 D. x yz 0 1 1  9 3.设 f(x) x ，b 2 f(x)sinnxdx(n1,2, )，令S(x)  b sinnx，则S( )（ ） 2 n 0  n1 n 4 3 1 1 3 A . B. C.  D.  4 4 4 4 4.设L :x2  y2 1，L :x2  y2 2，L :x2 2y2 2，L :2x2  y2 2为四条逆时针方向的平面曲线，记 1 2 3 4 ，则maxI ,I ,I ,I  1 2 3 4 A. I B. I C. I D I 1 2 3 4 5.设A,B,C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则（ ） A.矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价 B矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价 C矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价 D矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价 1 a 1 2 0 0     6.矩阵 a b a 与 0 b 0 相似的充分必要条件为（ ）         1 a 1 0 0 0     A. a 0,b2 B. a 0,b 为任意常数 17C. a 2,b0 D. a 2,b 为任意常数 7.设X 1 ,X 2 ,X 3 是随机变量，且X 1  N(0,1)，X 2  N(0,22)，X 3  N(5,32)，P i  P2 X i 2(i 1,2,3)， 则（ ） A. P  P  P B. P  P  P 1 2 3 2 1 3 C. P  P  P DP  P  P 3 2 2 1 3 2 8.设随机变量X  t(n),Y  F(1,n)，给定a(0a0.5)，常数c满足PX ca，则P  Y c2 ( ) A. B. C. D 二、填空题（9-14小题，每小题4分） 1 9.设函数y=f(x)由方程y-x=ex(1-y) 确定，则limn[f( )1]＝ 。 n0 n 10.已知y=e3x –xe2x，y=ex –xe2x，y= –xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解y= 1 2 3 。 xsint d2y 11.设 (t为参数)，则  。 y tsintcost dx2  t 4  lnx 12. dx 。 1 (1x)2 13.设A=(a )是3阶非零矩阵， A 为A的行列式，A 为a 的代数余子式.若a +A =0(i，j=1,2,3），则｜A｜＝ ij ij ij ij ij 。 14.设随机变量Y服从参数为1的指数分布，a为常数且大于零，则P{Y≤a+1|Y＞a}= 三．解答题： （15）（本题满分10分） 1 f(x) x ln(t1) 计算 dx，其中f(x)＝ dt. 0 x 1 t (16)(本题10分) 设数列｛a｝满足条件：a 3,a＝1，a n(n1)a＝0(n2). n 0 1 n2 n  S（x）是幂级数 a xn的和函数. n n0 （1）证明：S(x)S(x)0; 18（2）求S(x)的表达式. （17）（本题满分10分） x3 求函数 f(x,y)(y )exy的极值. 3 (18)(本题满分10分) 设奇函数f(x)在 1,1 上具有二阶导数，且f(1)=1，证明： （I）存在（0,1），使得f()1. （Ⅱ）存在（1,1），使得f() f（ ）1. 19.(本题满分10分) 设直线L过A（1,0,0），B（0,1,1）两点将L绕z轴旋转一周得到曲面，与平面z 0,z 2所围成的立体为 。 （1）求曲面的方程； 19（2）求的形心坐标。 20.（本题满分11分） 1 a 0 1 设A   ,B  ，当a,b为何值时，存在矩阵C使得AC-CA=B,并求所有矩阵C。 1 0 1 b 21.（本题满分11分） a  b  1 1     设二次型 f(x ,x ,x )2(a x a x a x )2 (bx b x b x )2，记 a ， b 。 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3  2  2     a b     3 3 （1）证明二次型f对应的矩阵为2T T ； （2）若,正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y2  y2。 1 2 22.（本题满分11分） 2, x1,  Y x, 1 x2, 设随机变量X的概率密度为 令随机变量  1, x2  （1）求Y的分布函数； 20（2）求概率PX Y . 23.(本题满分11分) 2    e x, x0, 设总体X的概率密度为 f(x;)x3 其中为未知参数且大于零， X 1 ,X 2 ，  ,X n 为来自总体X的简   0, 其他 单随机样本。 （1）求的矩估计量； （2）求的最大似然估计量。 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的， 请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. （1）曲线 渐近线的条数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （2）设函数 ，其中 为正整数，则 （A） （B） （C） （D） （3）如果函数 在 处连续，那么下列命题正确的是（ ） （A）若极限 存在，则 在 处可微 （B）若极限 存在，则 在 处可微 （C）若 在 处可微，则极限 存在 （D）若 在 处可微，则极限 存在 （4）设 sinxdx(k=1,2,3),则有D 21（A）I< I