文档内容
2017年青海省中考数学试卷
一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）
1．（4分）﹣7×2的绝对值是 ； 的平方根是 ．
2．（4分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ ；计算： ＝ ．
3．（2分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一
带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为 ．
4．（2分）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一
起，如图，则∠3+∠1﹣∠2＝ ．
5．（2分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A＝50°，则∠BDC＝
度．
6．（2分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠ ＝55°，则∠ 的度
数为 ． β α
7．（2分）若单项式2x2ym与 可以合并成一项，则nm＝ ．
8．（2分）有两个不透明的盒子，第一个盒子中有3张卡片，上面的数字分别为1，2，2；第二个
盒子中有5张卡片，上面的数字分别为1，2，2，3，3．这些卡片除了数字不同外，其它都相同，从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为 ．
9．（2分）已知扇形的圆心角为240°，所对的弧长为 ，则此扇形的面积是 ．
10．（2分）如图，在一个4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做
格点．点A在格点上，动点P从A点出发，先向右移动2个单位长度到达P ，P 绕点A逆
1 1
时针旋转90°到达P ，P 再向下移动2个单位长度回到A点，P点所经过的路径围成的图
2 2
形是 图形（填“轴对称”或“中心对称”．）
11．（2分）如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且
拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是
米（结果保留根号）．
12．（4分）观察下列各式的规律：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
可得到（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ；
一般地（x﹣1）（xn+xn﹣1+x5+…+x2+x+1）＝ ．
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）．
13．（3分）估计2+ 的值（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
14．（3分）在某次测试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小明说：“我们组考87分的人最多”，小华说：“我们组7位同学成绩排在最中间的恰好也是87分”．上面两位
同学的话能反映出的统计量是（ ）
A．众数和平均数 B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和中位数
15．（3分）某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府
实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的80%．
设把x公顷沙漠改造为绿洲，则可列方程为（ ）
A．54+x＝80%×108 B．54+x＝80%（108﹣x）
C．54﹣x＝80%（108+x） D．108﹣x＝80%（54+x）
16．（3分）已知AB，CD是 O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6， O的半径为5，则弦AB与
CD的距离为（ ） ⊙ ⊙
A．1 B．7 C．4或3 D．7或1
17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交DB于
点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．1：3 B．3：4 C．1：9 D．9：16
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，Rt△OEF绕点O旋转，在旋转过程中，
两个图形重叠部分的面积是正方形面积的（ ）
A． B． C． D．
19．（3分）如图，已知A（﹣4， ），B（﹣1，2）是一次函数y ＝kx+b（k≠0）与反比例函数y ＝
1 2
（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，若y ＞y ，则x的取
1 2值范围是（ ）
A．x＜﹣4 B．﹣4＜x＜﹣1 C．x＜﹣4或x＞﹣1 D．x＜﹣1
20．（3分）如图，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿着矩形的边顺时针方向运动一周回到
点A，则点A、P、D围成的图形面积y与点P运动路程x之间形成的函数关系式的大致图
象是（ ）
A． B．
C． D．
三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题5分，第23题7分，共17分）．
21．（5分）计算：（3﹣ ）0﹣6cos30°+ ．
π
22．（5分）解分式方程： ．23．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．
（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，
不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题9分，第26题8分，共26分）
24．（9分）某地图书馆为了满足群众多样化阅读的需求，决定购买甲、乙两种品牌的电脑若
干组建电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的电脑单价分别3100元和4600元．
（1）若购买甲、乙两种品牌的电脑共50台，恰好支出200000元，求甲、乙两种品牌的电脑各
购买了多少台？
（2）若购买甲、乙两种品牌的电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过160000元，
共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱．25．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作 O交AC于点D，点E在BC边
上，且满足EB＝ED． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）连接AE，若∠⊙C＝45°，AB＝10 ，求sin∠CAE的值．
26．（8分）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：
抽取的彩色弹力球数n 500 1000 1500 2000 2500
优等品频数m 471 946 1426 1898 2370
0.942 0.946 0.951 0.949 0.948
优等品频率
（1）请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图
（2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到0.01）
（3）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它
们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率．
（4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为 ，求取出了多少个黑球？
五、（本大题共2小题，第27题11分，第28题12分，共23分）
27．（11分）请完成如下探究系列的有关问题：
探究1：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以
AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，则线段CF，BD之间的位置关系为
，数量关系为 ．
探究2：如图2，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否
仍然成立？为什么？（请写出证明过程）
探究3：如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，
请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．28．（12分）如图，抛物线y＝ x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点
C关于x轴对称．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）求直线BD的解析式．
（3）在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大？若存在，求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．2017 年青海省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共12小题15空，每空2分，共30分）
1．（4分）﹣7×2的绝对值是 1 4 ； 的平方根是 ± ．
【考点】21：平方根；28：实数的性质．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用绝对值以及平方根的性质分析得出答案．
【解答】解：﹣7×2＝﹣14的绝对值是：14；
的平方根是：± ．
故答案为：14；± ．
【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
2．（4分）分解因式：ax2﹣2ax+a＝ a（ x ﹣ 1 ） 2 ；计算： ＝ ．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用；6A：分式的乘除法．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式得出答案，再利用分式的乘除运算
法则计算得出答案．
【解答】解：ax2﹣2ax+a
＝a（x2﹣2x+1）
＝a（x﹣1）2；
＝ ×
＝ ．
故答案为：a（x﹣1）2； ．
【点评】此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式和分式的乘除运算，正确分解因式是解题关键．
3．（2分）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一
带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为 4.4×1 0 9 ．
【考点】1I：科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数
绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将4400000000用科学记数法表示为4.4×109．
故答案为：4.4×109．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|
a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2分）平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一
起，如图，则∠3+∠1﹣∠2＝ 24 ° ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【分析】首先根据多边形内角和定理，分别求出正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个
内角的度数是多少，然后分别求出∠3、∠1、∠2的度数是多少，进而求出∠3+∠1﹣∠2
的度数即可．
【解答】解：正三角形的每个内角是：
180°÷3＝60°，
正方形的每个内角是：
360°÷4＝90°，
正五边形的每个内角是：
（5﹣2）×180°÷5
＝3×180°÷5
＝540°÷5
＝108°，
正六边形的每个内角是：（6﹣2）×180°÷6
＝4×180°÷6
＝720°÷6
＝120°，
则∠3+∠1﹣∠2
＝（90°﹣60°）+（120°﹣108°）﹣（108°﹣90°）
＝30°+12°﹣18°
＝24°．
故答案为：24°．
【点评】此题主要考查了多边形内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）n边
形的内角和＝（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．（2）多边形的外角和指每个顶点处取一
个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．
5．（2分）如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，若∠A＝50°，则∠BDC＝
115 度．
【考点】IJ：角平分线的定义；K7：三角形内角和定理．
【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理求解．
【解答】解：∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°．
∵∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，
∴∠DBC+∠DCB＝65°，
∴∠BDC＝115°．
【点评】本题主要利用了角平分线的性质和三角形的内角和是180度．
6．（2分）如图，直线a∥b，Rt△ABC的顶点B在直线a上，∠C＝90°，∠ ＝55°，则∠ 的度
数为 35 ° ． β α【考点】JA：平行线的性质．
【专题】1：常规题型．
【分析】先过点C作CE∥a，可得CE∥a∥b，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得答
案．
【解答】解：过点C作CE∥a，
∵a∥b，
∴CE∥a∥b，
∴∠BCE＝∠ ，∠ACE＝∠ ＝55°，
∵∠C＝90°，α β
∴∠ ＝∠BCE＝∠ABC﹣∠ACE＝35°．
故答α案为：35°．
【点评】此题考查了平行线的性质．此题注意掌握辅助线的作法，注意掌握两直线平行，内错
角相等定理的应用．
7．（2分）若单项式2x2ym与 可以合并成一项，则nm＝ 1 6 ．
【考点】35：合并同类项．
【专题】11：计算题．
【分析】根据同类项的定义计算．
【解答】解：由题意得，n＝2，m＝4，
则nm＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查的是合并同类项，要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断
同类项的两条标准：带有相同系数的代数项；字母和字母指数．
8．（2分）有两个不透明的盒子，第一个盒子中有3张卡片，上面的数字分别为1，2，2；第二个盒子中有5张卡片，上面的数字分别为1，2，2，3，3．这些卡片除了数字不同外，其它都相
同，从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为 ．
【考点】X6：列表法与树状图法．
【专题】1：常规题型．
【分析】分别求得第一个盒子抽到卡片数字是2的概率为 ，从第二个盒子抽到卡片数字是2
的概率为 ，于是得到结论．
【解答】解：从第一个盒子抽到卡片数字是2的概率为 ，从第二个盒子抽到卡片数字是2的
概率为 ，所以从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为 × ＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式．准确的求出概率是解题的关键．
9．（2分）已知扇形的圆心角为240°，所对的弧长为 ，则此扇形的面积是 ．
【考点】MN：弧长的计算；MO：扇形面积的计算．
【专题】1：常规题型．
【分析】利用弧长公式列出关系式，把圆心角与弧长代入求出扇形的半径，即可确定出扇形的
面积．
【解答】解：设扇形所在圆的半径为r，
∵扇形的圆心角为240°，所对的弧长为 ，
∴l＝ ＝ ，
解得：r＝4，
则扇形面积为 rl＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了扇形面积的计算，以及弧长公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
10．（2分）如图，在一个4×4的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点．点A在格点上，动点P从A点出发，先向右移动2个单位长度到达P ，P 绕点A逆
1 1
时针旋转90°到达P ，P 再向下移动2个单位长度回到A点，P点所经过的路径围成的图
2 2
形是 轴对称 图形（填“轴对称”或“中心对称”．）
【考点】O4：轨迹；P3：轴对称图形；Q3：坐标与图形变化﹣平移；R5：中心对称图形．
【专题】1：常规题型．
【分析】先依据题意画出图形，然后再依据轴对称图形的性质即可做出判断．
【解答】解：如图所示：
该图形是轴对称图形．
故答案为：轴对称．
【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形的性质，熟练掌握相关知识是解题的
关键．
11．（2分）如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米（假设拉线是直的），且
拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平地面的高度是 5 0
米（结果保留根号）．
【考点】T8：解直角三角形的应用．
【专题】1：常规题型．【分析】根据解直角三角形的方法即可得到结论．
【解答】解：如图，作AC⊥OB于点C，
∵AO＝100米，∠AOC＝60°，
∴AC＝OA•sin60°＝100× ＝ 米．
故答案为：50 ．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
12．（4分）观察下列各式的规律：
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
可得到（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ x 8 ﹣ 1 ；
一般地（x﹣1）（xn+xn﹣1+x5+…+x2+x+1）＝ x n + 1 ﹣ 1 ．
【考点】37：规律型：数字的变化类；4B：多项式乘多项式；4F：平方差公式．
【专题】2A：规律型．
【分析】直接利用已知中的基本形式进而得出变化规律求出答案即可．
【解答】解：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
则（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x8﹣1．
（x﹣1）（xn+xn﹣1+x5+…+x2+x+1）＝xn+1﹣1．
故答案是：x8﹣1；xn+1﹣1．
【点评】此题主要考查了平方差公式，正确得出式子变化规律是解题关键．
二、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合要求，请把你认为正确的选项序号填入下面相应题号的表格内）．13．（3分）估计2+ 的值（ ）
A．在2和3之间 B．在3和4之间 C．在4和5之间 D．在5和6之间
【考点】2B：估算无理数的大小．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接得出2＜ ＜3，进而得出2+ 的取值范围．
【解答】解：∵2＜ ＜3，
∴4＜2+ ＜5，
∴2+ 的值在4和5之间，
故选：C．
【点评】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出 的范围是解题关键．
14．（3分）在某次测试后，班里有两位同学议论他们小组的数学成绩，小明说：“我们组考87
分的人最多”，小华说：“我们组7位同学成绩排在最中间的恰好也是87分”．上面两位
同学的话能反映出的统计量是（ ）
A．众数和平均数 B．平均数和中位数
C．众数和方差 D．众数和中位数
【考点】WA：统计量的选择．
【专题】1：常规题型；542：统计的应用．
【分析】根据中位数和众数的定义回答即可．
【解答】解：一组数据中出现次数最多的数为众数，所以87分是众数；一组数据中最中间一个
数或中间两个数的平均数是这组数据的中位数，所以小华说的87分是中位数
故选：D．
【点评】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义．
15．（3分）某地原有沙漠108公顷，绿洲54公顷，为改善生态环境，防止沙化现象，当地政府
实施了“沙漠变绿洲”工程，要把部分沙漠改造为绿洲，使绿洲面积占沙漠面积的80%．
设把x公顷沙漠改造为绿洲，则可列方程为（ ）
A．54+x＝80%×108 B．54+x＝80%（108﹣x）
C．54﹣x＝80%（108+x） D．108﹣x＝80%（54+x）
【考点】89：由实际问题抽象出一元一次方程．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用已知表示出绿洲面积和沙漠面积，进而绿洲面积占沙漠面积的80%得出等
式求出答案．【解答】解：把x公顷沙漠改造为绿洲后，绿洲面积变为（54+x）公顷，沙漠面积变为（108﹣x）
公顷，根据“绿洲面积占沙漠面积的80%”，
可得方程：54+x＝80%（108﹣x），
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键是设出未知数以及改造后的绿洲
与沙漠的关系为等量关系列出方程．
16．（3分）已知AB，CD是 O的两条平行弦，AB＝8，CD＝6， O的半径为5，则弦AB与
CD的距离为（ ） ⊙ ⊙
A．1 B．7 C．4或3 D．7或1
【考点】M2：垂径定理．
【专题】1：常规题型．
【分析】连接OC、OA，作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，根据垂径定理求出CF，
AE，根据勾股定理求出OE、OF，即可得出答案．
【解答】解：如图所示，连接OA，OC．作直线OF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝ AB＝4，CF＝ CD＝3，
根据勾股定理，得
OE＝ ＝3，OF＝ ＝4，
所以当AB和CD在圆心的同侧时，则EF＝OF﹣OE＝1，
当AB和CD在圆心的异侧时，则EF＝OF+OE＝7．
故选：D．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意有时要
考虑两种情况．
17．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交DB于
点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）A．1：3 B．3：4 C．1：9 D．9：16
【考点】L5：平行四边形的性质；S9：相似三角形的判定与性质．
【专题】552：三角形．
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝3：4，
∴DE：AB＝3：4，
∴S△DFE ：S△BFA ＝9：16．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积
之比等于相似比的平方．
18．（3分）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，Rt△OEF绕点O旋转，在旋转过程中，
两个图形重叠部分的面积是正方形面积的（ ）
A． B． C． D．
【考点】LE：正方形的性质；R2：旋转的性质．【专题】556：矩形 菱形 正方形．
【分析】根据旋转的性质可知两个图形重叠部分的面积是正方形面积的 ，
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，OF⊥OE，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠AFB＝∠COE，
在△OBM与△OCN中，
，
∴△OBM≌△OCN（ASA），
∴四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积，
即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的 ．
故选：A．
【点评】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能
推出四边形OMBN的面积等于三角形BOC的面积是解此题的关键．
19．（3分）如图，已知A（﹣4， ），B（﹣1，2）是一次函数y ＝kx+b（k≠0）与反比例函数y ＝
1 2
（m≠0，x＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，若y ＞y ，则x的取
1 2
值范围是（ ）A．x＜﹣4 B．﹣4＜x＜﹣1 C．x＜﹣4或x＞﹣1 D．x＜﹣1
【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．
【专题】1：常规题型．
【分析】观察函数图象得到当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数图象都在反比例函数图象上方；
【解答】解：y ＞y 在图象上表示一次函数图象在反比例函数图象上方的部分，
1 2
故应在A与B之间的部分，
此时x的取值范围是﹣4＜x＜﹣1，
故选：B．
【点评】题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐
标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．
20．（3分）如图，在矩形ABCD中，点P从点A出发，沿着矩形的边顺时针方向运动一周回到
点A，则点A、P、D围成的图形面积y与点P运动路程x之间形成的函数关系式的大致图
象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】E7：动点问题的函数图象．
【专题】1：常规题型．
【分析】分三种情形讨论即可．
【解答】解：由题意可知，点A、P、D围成的图形均为三角形．
点P从点A运动到点B的过程，其面积为y＝ •AD•x，函数为一次函数，
①点P从点B运动到点C的过程，其面积为y＝ •AD•AB＝常数，函数图象平行x轴；
②
点P从点B运动到点C的过程，其面积为y＝ •AD•（AB+BC+CD﹣x），函数为一次函数，
③
故选：A．
【点评】本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
三、（本大题共3小题，第21题5分，第22题5分，第23题7分，共17分）．
21．（5分）计算：（3﹣ ）0﹣6cos30°+ ．
π
【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂；T5：特殊角的三角函数值．
【专题】1：常规题型．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值和负指数幂的性质分别化简得出
答案．
【解答】解：原式＝1﹣6× +3 ﹣2
＝﹣1．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
22．（5分）解分式方程： ．
【考点】B3：解分式方程．
【专题】1：常规题型．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分
式方程的解．
【解答】解：方程两边同乘（x2﹣4），得
2+x（x+2）＝x2﹣4，
整理得 2+x2+2x＝x2﹣4，
2x＝﹣6，
x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x2﹣4＝5≠0，
∴原方程的解为x＝﹣3．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程注意要检验．
23．（7分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AD∥BC．（1）在图中，用尺规作线段BD的垂直平分线EF，分别交BD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，
不写作法）
（2）连接DF，证明四边形ABFD为菱形．
【考点】KG：线段垂直平分线的性质；L9：菱形的判定；N2：作图—基本作图．
【专题】1：常规题型．
【分析】（1）直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
（2）结合垂直平分线的性质得出△ADE≌△FBE，即可得出AE＝EF，进而利用菱形的判定方
法得出答案．
【解答】解：（1）如图：
（2）证明：如图，连接DF，
∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠EBF，
∵AF垂直平分BD，∴BE＝DE．
在△ADE和△FBE中， ，
∴△ADE≌△FBE（ASA），
∴AE＝EF，
∴BD与AF互相垂直且平分，
∴四边形ABFD为菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定以及线段垂直平分线的性质与作法，正确应用线段垂直
平分线的性质是解题关键．
四、（本大题共3小题，第24题9分，第25题9分，第26题8分，共26分）
24．（9分）某地图书馆为了满足群众多样化阅读的需求，决定购买甲、乙两种品牌的电脑若干组建电子阅览室．经了解，甲、乙两种品牌的电脑单价分别3100元和4600元．
（1）若购买甲、乙两种品牌的电脑共50台，恰好支出200000元，求甲、乙两种品牌的电脑各
购买了多少台？
（2）若购买甲、乙两种品牌的电脑共50台，每种品牌至少购买一台，且支出不超过160000元，
共有几种购买方案？并说明哪种方案最省钱．
【考点】9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】1：常规题型．
【分析】（1）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了y台，根据题意建立二元
一次方程组，求出其解即可；
（2）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了（50﹣x）台，根据题意建立不等式
组求出其解即可．
【解答】解：（1）设甲种品牌的电脑购买了 x 台，乙种品牌的电脑购买了 y 台，则
，
解得 ，
答：甲种品牌的电脑购买了20台，乙种品牌的电脑购买了30台．
（2）设甲种品牌的电脑购买了x台，乙种品牌的电脑购买了（50﹣x）台，则
，
解得 ，
∴x的整数值为47，48、49，
当x＝47时，50﹣x＝3；当x＝48时，50﹣x＝2；当x＝49时，50﹣x＝1．
∴一共有三种购买方案：甲种品牌的电脑购买47台，乙种品牌的电脑购买3台；甲种品牌的
电脑购买48台，乙种品牌的电脑购买2台；甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑
购买1台．
∵甲、乙两种品牌的电脑单价分别3100元和4600元．
∴甲种品牌的电脑购买49台，乙种品牌的电脑购买1台比较省钱．
【点评】本题考查了二元一次方程组的运用，一元一次不等式组的运用，方案设计题型的运用，
解答时找到等量关系建立方程或者方程组和建立不等式是关键．25．（9分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作 O交AC于点D，点E在BC边
上，且满足EB＝ED． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线；
（2）连接AE，若∠⊙C＝45°，AB＝10 ，求sin∠CAE的值．
【考点】KW：等腰直角三角形；ME：切线的判定与性质；T7：解直角三角形．
【专题】1：常规题型．
【分析】（1）连接OD，OE，由圆周角定理就可以得出∠ADB＝90°，可以得出∠CDB＝90°，根
据E为BC的中点可以得出DE＝BE，就有∠EDB＝∠EBD，OD＝OB可以得出∠ODB＝
∠OBD，由的等式的性质就可以得出∠ODE＝90°就可以得出结论；
（2）连接BD，作EF⊥AC于点F．根据已知条件得到△ABC为等腰直角三角形．根据平行线
的性质得到∠BOD＝90°．得到四边形OBED为正方形．求得AC＝20．解直角三角形即可
得到结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OD、OE．
在△ODE和△OBE中
∵ ，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE＝∠ABC＝90°，
∴DE是 O的切线．
（2）解：⊙如图，连接BD，作EF⊥AC于点F．
∵AB为 O的直径，
∴BD⊥A⊙C，
∵∠C＝45°，∠ABC＝90°，
∴△ABC为等腰直角三角形．
∴D点为AC的中点，∴OD∥BC，
∴∠BOD＝90°．
∴四边形OBED为正方形．
∵AB＝10 ，
∴AC＝20．
∴CD＝10，DE＝5 ，
∵EF⊥AC，
∴EF＝DF＝5，
∴AF＝15，
∴AE＝ ，
∴sin∠CAE＝ ．
【点评】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理及其推论、三角函数的应用等几何知识点及
其应用问题；熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
26．（8分）某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：
抽取的彩色弹力球数n 500 1000 1500 2000 2500
优等品频数m 471 946 1426 1898 2370
0.942 0.946 0.951 0.949 0.948
优等品频率
（ 1 ） 请 在 图 中 完 成 这 批 彩 色 弹 力 球 “ 优 等 品 ” 频 率 的 折 线 统 计 图（2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到0.01）
（3）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它
们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率．
（4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋
子中摸出一个黄球的概率为 ，求取出了多少个黑球？
【考点】V7：频数（率）分布表；V9：频数（率）分布折线图；X8：利用频率估计概率．
【专题】54：统计与概率．
【分析】（1）利用表格或者折线图即可；
（2）求出五种情形下的平均数即可解决问题；
（3）根据概率公式计算即可；
（4）构建方程即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，（2） ＝ ＝0.9472≈0.95．
（3）P（摸出一个球是黄球）＝ ＝ ．
（4）设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，则 ，解得x＝5．
答：取出了5个黑球．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布折线图、样本估计总体的思想等知识，解题的关键是
灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
五、（本大题共2小题，第27题11分，第28题12分，共23分）
27．（11分）请完成如下探究系列的有关问题：
探究1：如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D为BC上一动点，连接AD，以
AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF，则线段CF，BD之间的位置关系为
CF ⊥ BD ，数量关系为 CF ＝ BD ．
探究2：如图2，当点D运动到线段BC的延长线上，其余条件不变，探究1中的两条结论是否
仍然成立？为什么？（请写出证明过程）
探究3：如图3，如果AB≠AC，∠BAC≠90°，∠BCA仍然保留为45°，点D在线段BC上运动，
请你判断线段CF，BD之间的位置关系，并说明理由．【考点】LO：四边形综合题．
【专题】152：几何综合题．
【分析】探究1：（1）只要证明△BAD≌△CAF（SAS），推出CF＝BD，推出∠B＝∠ACF，推出
∠B+∠BCA＝90°，推出∠BCA+∠ACF＝90°即可；
探究2：结论不变．证明方法与探究1类似；
探究3：当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB或CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，
可推出∠ACB＝∠AGC，所以AC＝AG，于是得到CF⊥BD．
【解答】解：探究1：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∵四边形ADEF为正方形，
∴∠DAF＝90°，
∴∠CAD+∠CAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF．
∴在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD；
故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；
探究2：探究1中的两条结论是否仍然成立．
理由如下：
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝90°+∠CAD，
∵四边形ADEF为正方形，∴∠DAF＝90°+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAF．
∴在△ABD和△ACF中， ，
∴△ABD≌△CAF（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠BCF＝90°，
∴CF⊥BD．
探究3：线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD．
理由如下：
如图，过点A作AP⊥AC，交BC于点P．
∵∠BCA＝45°，∴∠APD＝45°，AP＝AC．
∵四边形ADEF为正方形，∴AD＝AC．
∴△APD≌△ACF（SAS），
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠BCA+∠ACF＝90°，
∴线段CF，BD之间的位置关系是CF⊥BD．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，正确的作出辅助
线是解题的关键．
28．（12分）如图，抛物线y＝ x﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D与点
C关于x轴对称．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）求直线BD的解析式．（3）在直线BD下方的抛物线上是否存在一点P，使△PBD的面积最大？若存在，求出点P的
坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】FA：待定系数法求一次函数解析式；H7：二次函数的最值；HA：抛物线与x轴的交点．
【专题】16：压轴题．
【分析】（1）由待定系数法即可解决问题；
（2）求出点D、B坐标，理由待定系数法可解；
（3）如图，作PE∥y轴交BD于E，设P（m， m2﹣ m﹣2），则E（m，﹣ m+2），构建二次函
数，了也重合时的性质即可解决问题；
【解答】解：（1）解方程 ，得x ＝﹣1，x ＝4，
1 2
∴A点坐标为（﹣1，0），B点坐标为（4，0）．
当x＝0时，y＝﹣2，
∴C点坐标为（0，﹣2）．
（2）∵点D与点C关于x轴对称，∴D点坐标为（0，2）．
设直线BD的解析式为y＝kx+b，则 ，
解得 ，
∴直线BD的解析式为 ．
（3）如图，作PE∥y轴交BD于E，设P（m， m2﹣ m﹣2），则E（m，﹣ m+2）
∴PE＝﹣ m+2﹣（ m2﹣ m﹣2）＝﹣ m2+m+4，
∴S△PBD ＝ •PE•（x
B
﹣x
D
）＝ ×（﹣ m2+m+4）×4＝﹣m2+2m+8＝﹣（m﹣1）2+9，
∵﹣1＜0，
∴m＝1时，△PBD的面积最大，面积的最大值为9．
∴P（1，﹣3）．
【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、三角形的面积等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．
