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绝密★启用前
2025 年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟
数学试卷
本卷满分150分，考试用时150分钟
一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一
个 选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 .
1. 已知全集 ， ， ，则集合 的真子集个数
为
A． B． C． D．
2. 设复数 ，则
A． B． C． D．
3. 已知 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值为
A． B． C． D．
4. 某学生准备测量如图中某建筑物 高度，选择高为 的大楼
进行测量，在大楼顶部 处测得该建筑物的顶部 的仰角为 ，底
部 的俯角为 ，则该建筑物的高度为
A． B．
C． D．
5. 直线 ，圆 ，则圆 上的点 到直线 的距离等于 的点
有
A． 个 B． 个
C． 个 D． 个
6. 要得到函数 的图象，只要将函数 的图象
A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
7. 函数 的定义域为 ，且 ， ，则
数学试卷 第 1 页 共 4 页A． B． C． D．
8. 已知 为坐标原点，已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作 的垂线交
双曲线于 ，现将 轴左侧的半平面绕 轴旋转 ，原来的左焦点 经旋转后得到点 ，求
三棱锥 的外接球表面积为
A． B. C. D．
二、选择题: 本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符 合 题 目
要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 若正实数 满足 ，则下列结论正确的是
A． 的最大值为 B． 的最小值为
C． 的最大值为 D． 的最小值为
10. 已知棱长为1的正方体 ，点 满足 ，点 是线段
的中点，则下列说法正确的是
A．当 时，
B．点 是底面 上的动点，且 ，则 最大值为
C． 的中点到平面 的距离为
D． 与平面 所成角的正弦值的取值范围为
11. 下列不等关系中，正确的是
A． B．
C． D．
三、填空题: 本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 的展开式中 的系数为 ．
13. 若函数 定义域为 ，则a的取值范围是 .
14. 抛物线 的顶点为坐标原点 ，抛物线上两点 满足： ，过点 作 的垂
数学试卷 第 2 页 共 4 页线，垂足为 ，若点 是圆 的一个动点，则 的最大值为 ．
四、解答题: 本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （13分）
在 直 三 棱 柱 中 ， ， ， 分 别 是
的中点．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 和平面 的夹角的余弦值．
16. （15分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且 ．
（1）证明：数列 是等差数列；
（2）令 ，求数列 的前n项和 ．
17. （15分）
已知函数 ，直线 .
（1）若点 是函数 图象上的一点，求点 到直线 距离的最小值；
（2）若 ，讨论函数 的零点的个数.
数学试卷 第 3 页 共 4 页18. （17分）
某单位有400名员工，其中男员工240人，女员工160人，该单位为了了解该单位员工的高密度脂蛋
白胆固醇情况，以便调整食堂菜品，使员工身体更加健康。该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值
为1.4，女员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值为1.5，该单位男员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为 0.6，
女员工的高密度脂蛋白胆固醇的方差为0.3. 为了让员工吃得更健康，该单位设立了营养餐厅A和素食餐
厅B两家餐厅，经过统计分析发现：一个员工第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选择了A
餐厅的员工第二天选择A餐厅的概率为 ，第二天选择B餐厅的概率为 ；前一天选择了B餐厅的员工
第二天选择A餐厅的概率为 ，第二天选择B餐厅的概率为 ，如此往复.
（1）求该单位全部员工的高密度脂蛋白胆固醇的均值与方差；
（2）按男女员工的比例分配进行分层抽样抽取5名员工，再从这5名员工中随机选择3人参加座谈会，
记抽到男员工的人数为 ，求 的分布列及数学期望；
（3）设第n天选择A餐厅用餐的概率为 ，求 ；经过一年（365天）后，在A餐厅和B餐厅就餐
的员工趋于稳定，如果A餐厅准备每天180人的用餐，是否合理，请说明理由.
19. （17分）
已知椭圆 过点 分别为椭圆 的左右焦点， 为
椭圆 上关于原点 对称的两点（点 在第一象限）， 是椭圆 上异于 的点，直线 与直线
的斜率之积为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）椭圆 上存在两个不同的点 关于直线 对称，求 的取值范围；
（3）若直线 和 分别交椭圆 于点 ，且直
线 的斜率为 ，求直线 的斜率.
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