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2021 年山东省日照市中考数学试卷
一、选择题：本题共12个小题，每小题3分，满分36分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
1. 在下列四个实数中，最大的实数是（ ）
A. -2 B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．
【详解】解： 正数大于0，负数小于0，正数大于负数，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．
2. 在平面直角坐标系中，把点 向右平移两个单位后，得到对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移时，点的坐标变化规律“左减右加”进行计算即可．
【详解】解：根据题意，从点 到点 ，点 的纵坐标不变，横坐标是 ，
故点 的坐标是 ．
故选：D．
【点睛】此题考查了点的坐标变化和平移之间的联系，平移时点的坐标变化规律是“上加下减，左减右加”．
3. 实验测得，某种新型冠状病毒的直径是120纳米（1纳米 米），120纳米用科学记数法可表示为
（ ）
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
【答案】B
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【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．确定 的值时，要看把原
数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：120纳米 米 米．
故选：B．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数，表示时关键要确定 的值以及 的值．
4. 袁隆平院士被誉为“世界杂交水稻之父”，他研究的水稻，不仅高产，而且抗倒伏．在某次实验中，他
的团队对甲、乙两种水稻品种进行产量稳定实验，各选取了8块条件相同的试验田，同时播种并核定亩产，
结果甲、乙两种水稻的平均产量均为1200千克/亩，方差为 ， ．为保证产量稳定，
适合推广的品种为（ ）
A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙均可 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据方差的意义求解即可．
【详解】解： ， ，
，
为保证产量稳定，适合推广的品种为甲，
故选：A．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平
均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均
数越小，即波动越小，数据越稳定．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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【分析】根据合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式解决此题．
【详解】解：A．由合并同类项的法则，得 ，故A不符合题意．
B．由积的乘方以及幂的乘方，得 ，故B不符合题意．
C．由同底数幂的除法，得 ，故C不符合题意．
D．由完全平方公式，得 ，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式，熟练掌握
合并同类项、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法以及完全平方公式是解决本题的关键．
6. 一张水平放置的桌子上摆放着若干个碟子，其三视图如图所示，则这张桌子上共有碟子的个数为
（ ）
A. 10 B. 12 C. 14 D. 18
【答案】B
【解析】
【分析】从俯视图看只有三列碟子，主视图中可知左侧碟子有6个，右侧有2个，根据三视图的思路可解
答该题．
【详解】解：从俯视图可知该桌子共摆放着三列碟子．主视图可知左侧碟子有6个，右侧有2个，
而左视图可知左侧有4个，右侧与主视图的左侧碟子相同，共计12个，
故选：B．
【点睛】本题的难度不大，主要是考查三视图的基本知识以及在现实生活中的应用．
7. 若不等式组 的解集是 ，则 的取值范围是（ ）【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找
不到确定不等式组的解集．
【详解】解：解不等式 ，得： ，
且不等式组的解集为 ，
，
故选：C．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8. 下列命题：① 的算术平方根是2；②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；②天气预报说明天的
降水概率是 ，则明天一定会下雨；④若一个多边形的各内角都等于 ，则它是正五边形，其中真
命题的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意义及多边形的内角和等知识分别判断后即可确
定正确的选项．
【详解】解：① 的算术平方根是 ，故原命题错误，是假命题；
②菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，正确，是真命题；
②天气预报说明天的降水概率是 ，则明天下雨可能性很大，但不确定是否一定下雨，故原命题错误，
是假命题；
④若一个多边形的各内角都等于 ，各边也相等，则它是正五边形，故原命题错误，是假命题；
真命题有1个，
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解算术平方根的定义、菱形的对称性、概率的意
义及多边形的内角和等知识，难度不大．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
9. 如图，平面图形 由直角边长为1的等腰直角 和扇形 组成，点 在线段 上，
，且 交 或交 于点 ．设 ，图中阴影部分表示的平面图形
（或 ）的面积为 ，则函数 关于 的大致图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点 的位置，分点 在 上和点 在弧 上两种情况讨论，分别写出 和 的函数解析
式，即可确定函数图象．
【详解】解：当 在 上时，即点 在 上时，有 ，
此时阴影部分为等腰直角三角形，
，
该函数是二次函数，且开口向上，排除 ， 选项；
当点 在弧 上时，补全图形如图所示，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
阴影部分的面积等于等腰直角 的面积加上扇形 的面积，再减去平面图形 的面积即减去
弓形 的面积，
设 ，则 ，
， ，
当 时， ， ，
，
当 时， ， ，
，
在 ， 选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项 符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，图形的面积等内容，选择题中利用特殊值解决问题是常
见方法，构造图形表达出阴影部分面积是本题解题关键．
10. 如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔 的高度，他从古塔底部点
处前行 到达斜坡 的底部点 处，然后沿斜坡 前行 到达最佳测量点 处，在点 处测
得塔顶 的仰角为 ，已知斜坡的斜面坡度 ，且点 ， ， ， ， 在同一平面内，小明【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
同学测得古塔 的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过 作 于 ， 于 ，得到 ， ，设 ，
，根据勾股定理得到 ，求得 ， ，
，于是得到结论．
【详解】解：过 作 于 ， 于 ，
， ，
斜坡的斜面坡度 ，
，
设 ， ，
，
，
， ，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题，解直角三角形的应用 坡角坡度问题，正确的
作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11. 抛物线 的对称轴是直线 ，其图象如图所示．下列结论：① ；②
；③若 和 是抛物线上的两点，则当 时， ；④抛
物线的顶点坐标为 ，则关于 的方程 无实数根．其中正确结论的个数是（
）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与 轴交点位置判断 ， ， 符号．②把 分别代入函
数解析式，结合图象可得 的结果符号为负．③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的
点 值越大．④由抛物线顶点纵坐标为 可得 ，从而进行判断 无实数
根．
【详解】解：① 抛物线图象开口向上，
，
对称轴在直线 轴左侧，
， 同号， ，
在
抛物线与 轴交点 轴下方，
，
，故①正确．
② ，
当 时 ，由图象可得 ，
当 时， ，由图象可得 ，
，即 ，
故②正确．
③ ， ，
，
点 ， 到对称轴的距离大于点 ， 到对称轴的距离，
，
故③错误．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
④ 抛物线的顶点坐标为 ，
，
，
无实数根．
故④正确，
综上所述，①②④正确，
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数 中 ， ，
与函数图象的关系．
12. 数学上有很多著名的猜想，“奇偶归一猜想”就是其中之一，它至今未被证明，但研究发现，对于任
意一个小于 的正整数，如果是奇数，则乘3加1；如果是偶数，则除以2，得到的结果再按照上述
规则重复处理，最终总能够得到1．对任意正整数 ，按照上述规则，恰好实施5次运算结果为1的 所
有可能取值的个数为（ ）
.
A 8 B. 6 C. 4 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用第5次运算结果为1出发，按照规则，逆向逐项计算即可求出 的所有可能的取值．
【详解】解：如果实施5次运算结果为1，
则变换中的第6项一定是1，
则变换中的第5项一定是2，
则变换中的第4项一定是4，
则变换中的第3项可能是1，也可能是8．
则变换中的第3项可能是1，计算结束，1不符合条件，第三项只能是8.
则变换中第2项是16．
则 的所有可能取值为32或5，一共2个，
故选：D．
【点睛】本题考查科学记数法，有理数的混合运算，进行逆向验证是解决本题的关键．
二、填空题：本题共4个小题，每小题4分，满分16分．不需写出解题过程，请将答案直接【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
写在答题卡相应位置上．
13. 若式子 有意义，则x的取值范围是___．
【答案】 且
【解析】
【详解】∵式子 在实数范围内有意义，
∴x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0，
故答案为x≥-1且x≠0．
14. 关于 的方程 （ 、 为实数且 ）， 恰好是该方程的根，则 的值为
_______．
【答案】-2
【解析】
【分析】根据方程的解的概念，将 代入原方程，然后利用等式的性质求解．
【详解】解：由题意可得 ，
把 代入原方程可得： ，
等式左右两边同时除以 ，可得： ，
即 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查方程的解的概念及等式的性质，理解方程的解的定义，掌握等式的基本性质是解题关键．
15. 如图，在矩形 中， ， ，点 从点 出发，以 的速度沿 边向
点 运动，到达点 停止，同时，点 从点 出发，以 的速度沿 边向点 运动，到达点 停
止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当 为_____时， 与 全等．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【答案】2或
【解析】
【分析】可分两种情况：① 得到 ， ，② 得到
， ，然后分别计算出 的值，进而得到 的值．
【详解】解：①当 ， 时， ，
，
，
，
，解得： ，
，
，
解得： ；
②当 ， 时， ，
，
，
，解得： ，
，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得： ，
综上所述，当 或 时， 与 全等，
故答案为：2或 ．
【点睛】主要考查了全等三角形的性质，矩形的性质，解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
16. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的边 、 分别在 轴和 轴上， ，点
是边 上靠近点 的三等分点，将 沿直线 折叠后得到 ，若反比例函数
的图象经过 点，则 的值为_______．
【答案】48
【解析】
【分析】过 作 于 ，交 于 ，设 ， ， ，通过证得△
△ ，得到 ，解方程组求得 、 的值，即可得到 的坐标，代入
即可求得 的值．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：过 作 于 ，交 于 ，
，
，
，
，
，
△ △ ，
，
设 ，
， ，
正方形 的边 、 分别在 轴和 轴上， ，点 是边 上靠近点 的三等分点，
， ，
，
解得 ， ，
，
反比例函数 的图象经过 点，
，
故答案为48．
【点睛】本题考查了正方形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，求得【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
的坐标是解题的关键．
三、解答题：本题共6个小题，满分68分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）若单项式 与单项式 是一多项式中的同类项，求 、 的值；
（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1）m=2，n=-1；（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据同类项的概念列二元一次方程组，然后解方程组求得 和 的值；
（2）先通分算小括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值．
【详解】解：（1）由题意可得 ，
② ① ，可得： ，
解得： ，
把 代入①，可得： ，
解得： ，
的值为2， 的值为 ；
（2）原式
，
当 时，
原式 ．
【点睛】本题考查同类项，解二元一次方程组，分式的化简求值，二次根式的混合运算，理解同类项的概【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
念，掌握消元法解二元一次方程组的步骤以及完全平方公式 的结构是解题关键．
18. 为庆祝中国共产党建党100周年，某校加强了学生对党史知识的学习，并组织学生参加《党史知识》
测试（满分100分）．为了解学生对党史知识的掌握程度，从七、八年级中各随机抽取10名学生的测试成
绩，进行统计、分析，过程如下：
收集数据：
七年级：86 88 95 90 100 95 95 99 93 100
八年级：100 98 98 89 87 98 95 90 90 89
整理数据：
成绩x（分）
85＜x≤90 90＜x≤95 95＜x≤100
年级
七年级 3 4 3
八年级 5 a b
分析数据：
统计量
平均数 中位数 众数
年级
七年级 94.1 95 d
八年级 93.4 c 98
应用数据：
（1）填空： ______， ______， ______， ______；
（2）若八年级共有200人参与答卷，请估计八年级测试成绩大于95分的人数；
（3）从测试成绩优秀的学生中选出5名语言表达能力较强的学生，其中八年级3名，七年级2名.现从这5
名学生中随机抽取2名到当地社区担任党史宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到同年级学生
的概率．
【答案】（1）1，4，92.5，95；（2）80；（3）
【解析】
【分析】（1）利用唱票的形式得到 、 的值，根据中位数的定义确定 的值，根据众数的定义确定 的
值；
（2）用200乘以样本中八年级测试成绩大于95分所占的百分比即可；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果，找出两同学为同年级的结果数，然后根据概率公式求解．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：（1） ， ，
八年级成绩按由小到大排列为：87，89，89，90，90，95，98，98，98，100，
所以八年级成绩的中位数 ，
七年级成绩中95出现的次数最多，则 ；
故答案为1，4，92.5，95；
（2） ，
估计八年级测试成绩大于95分的人数为80人；
（3）画树状图为：
的
共有20种等可能 结果，其中两同学为同年级的结果数为8，
所以抽到同年级学生的概率 ．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表或树状图展示所有可能的结果求出 ，再从中选出符合
事件 或 的结果数目 ，求出概率．也考查了统计图．
19. 某药店新进一批桶装消毒液，每桶进价35元，原计划以每桶55元的价格销售，为更好地助力疫情防
控，现决定降价销售．已知这种消毒液销售量 （桶）与每桶降价 （元）（ ）之间满足一次
函数关系，其图象如图所示：
（1）求 与 之间的函数关系式；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）在这次助力疫情防控活动中，该药店仅获利1760元．这种消毒液每桶实际售价多少元？
【答案】（1）y=10x+100；（2）这种消毒液每桶实际售价43元
【解析】
【分析】（1）设 与 之间的函数表达式为 ，将点 、 代入一次函数表达式，即可
求解；
（2）根据利润等于每桶的利润乘以销售量得关于 的一元二次方程，通过解方程即可求解．
的
【详解】解：（1）设 与销售单价 之间 函数关系式为： ，
将点 、 代入一次函数表达式得： ，
解得： ，
故函数的表达式为： ；
（2）由题意得： ，
整理，得 ．
解得 ， （舍去）．
所以 ．
答：这种消毒液每桶实际售价43元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用以及用待定系数法求一次函数解析式等知识，正确利用销量
每件的利润 总利润得出一元二次方程是解题关键．
20. 如图， 的对角线相交于点 ， 经过 、 两点，与 的延长线相交于点 ，点 为
上一点，且 ．连接 、 相交于点 ，若 ， ．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（1）求 对角线 的长；
（2）求证： 为矩形．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用弧相等，圆周角定理推出 ，可求 的长度进而求 的长度；
（2）利用对角线相等的平行四边形是矩形可得．
【详解】解： 是直径，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，
．
（2） ，
是平行四边形【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
∴AC=OB
为矩形．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，相似和矩形的判定，考的知识点比较全，但是难度中等，掌握圆和矩
形的基本性质和相似以及灵活应用是解决本题的关键．
21. 问题背景：
如图1，在矩形 中， ， ，点 是边 的中点，过点 作 交
于点 ．
实验探究：
（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的 绕点 按逆时针方向旋转 ，如图2所示，得到
结论：① _____；②直线 与 所夹锐角的度数为______．
（2）小王同学继续将 绕点 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论
是否仍然成立？并说明理由．
拓展延伸：
在以上探究中，当 旋转至 、 、 三点共线时，则 的面积为______．
【答案】（1） ，30°；（2）成立，理由见解析；拓展延伸： 或
【解析】
【分析】（1）通过证明 ，可得 ， ，即可求解；
（2）通过证明 ，可得 ， ，即可求解；【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
拓展延伸：分两种情况讨论，先求出 ， 的长，即可求解．
【详解】解：（1）如图1， ， ， ，
，
如图2，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，
绕点 按逆时针方向旋转 ，
，
，
， ，
又 ，
，
直线 与 所夹锐角的度数为 ，
故答案为： ， ；
（2）结论仍然成立，
理由如下：如图3，设 与 交于点 ， 与 交于点 ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
将 绕点 按逆时针方向旋转，
，
又 ，
，
， ，
又 ，
，
直线 与 所夹锐角的度数为 ．
拓展延伸：如图4，当点 在 的上方时，过点 作 于 ，
， ，点 是边 的中点， ，
， ， ，
， ，
，
、 、 三点共线，
，
，
，
，
由（2）可得： ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
的面积 ；
如图5，当点 在 的下方时，过点 作 ，交 的延长线于 ，
同理可求： 的面积 ；
故答案为： 或 ．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，旋
转的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
22. 已知：抛物线 经过 ， ， 三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点 为直线 上方抛物线上任意一点，连 、 、 ， 交直线 于点 ，设【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，求当 取最大值时点 的坐标，并求此时 的值；
（3）如图2，点 为抛物线对称轴与 轴的交点，点 关于 轴的对称点为点 ．
①求 的周长及 的值；
②点 是 轴负半轴上的点，且满足 （ 为大于0的常数），求点 的坐标．
【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）k= ，P（ ， ）；（3）① ， ；②（0，
）或（0， ）
【解析】
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，过点 作 轴交直线 于点 ，则 ，进而可得 ，再运用待
定系数法求得直线 的解析式为 ，设点 ，则 ，从而得出
，再利用二次函数性质即可得出答案；
（3）①如图2，过点 作 于点 ，则 ，利用配方法求得抛物线对称轴为直
线 ，得出 ，运用勾股定理即可求得 的周长 ；再证明
是等腰直角三角形，利用三角函数求得 ， ，即可求得答案；
②设 ，则 ，根据 ，求得 、 ，再利用 ，
求得 ，根据 ，可得 ，化简得 ，解方程即
可求得答案．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【详解】解：（1） 抛物线 经过 ， ， ，
设 ，将 代入，得 ，
解得： ，
，
抛物线的解析式为 ；
（2）如图1，过点 作 轴交直线 于点 ，
，
，
， ，
，
设直线 的解析式为 ，
， ，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得： ，
直线 的解析式为 ，
设点 ，则 ，
，
，
当 时， 取得最大值 ，此时， ， ；
（3）①如图2，过点 作 于点 ，则 ，
，
抛物线对称轴为直线 ，
，
， ，
点 关于 轴的对称点为点 ，
，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
，
的
周长 ；
在 中， ， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
；
②设 ，则 ，
，
，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
，
，
，
， ，
，
，即 ，
，
，
，
整理得， ，
， ，【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，即 ，
当△ ，即 时，
，
或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，两点间距离公式，三角函
数，等腰直角三角形性质及判定，轴对称性质，二次函数图象和性质，解一元二次方程等知识，综合性强，
难度大，属于中考数学压轴题，解题关键是添加辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理和三角函数定
义解题．【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
