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日照市 2023 年初中学业水平考试数学试题
（满分120分，时间120分钟）
注意事项：
1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共6页．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自
己的姓名、准考证号、座号等填写在答题卡规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡
一并交回．
2．第I卷每小题选出答案后，必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改
动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案标号．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内，在试卷
上答题不得分；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．
第I卷（选择题36分）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将符合题目要求选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．
1. 计算： 的结果是（ ）
A. 5 B. 1 C. -1 D. -5
【答案】A
【解析】
【分析】把减法化为加法，即可求解 。
【详解】解： = ，
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的减法运算，掌握有理数的减法法则是关键．
2. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．下列窗花作品既是轴对称图形又是
中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，
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直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转 ，如果旋
转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3. 芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计4积更小的晶体管．
目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000014米，将数据0.000000014
用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】科学计数法的记数形式为： ，其中 ，当数值绝对值大于1时， 是小数点向右
移动的位数；当数值绝对值小于1时， 是小数点向左移动的位数的相反数．
【详解】解： ，
故选A．
【点睛】本题考查科学计数法，掌握科学计数法的记数形式是解题的关键．
4. 如图所示的几何体的俯视图可能是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【详解】解：从上边看，是一个六边形和圆形．
故选：C．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图是解题关键．
5. 在数学活动课上，小明同学将含 角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上，测得
，则 的度数是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质和三角形的外角性质即可求解．
【详解】解：如图：
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
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故 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，熟练掌握以上性质是解题的关键．
6. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据整式乘法运算法则及加法法则逐一判断即可．
【详解】A、 ，故错误；
B、 ，故正确；
C、 ，故错误；
D、 不是同类项，不能合并，故错误；
故选：B．
【点睛】本题考查整式乘法与加法运算法则，熟记基本的运算法则是解题关键．
7. 《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人
出六，不足十六．问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，
又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？设人数为x，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设人数为x，根据每人出9钱，会多出11钱，可得鸡的价格为 钱，根据每人出6钱，又
差16钱，可得鸡的价格为 钱，由此列出方程即可．
【详解】解：设人数为x，
由题意得， ，
故选D．
【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元一次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．
8. 日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．
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数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角 ，再沿
方向前进至C处测得最高点A的仰角 ， ，则灯塔的高度 大约是（
）（结果精确到 ，参考数据： ， ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】在 中，得出 ，设 ，则 ， ，在 中，
根据正切得出 ，求解即可得出答案．
【详解】解：在 中， ，
，
设 ，则 ， ，
在 中， ，
，
，
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灯塔的高度AD大约是 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形中的仰俯角问题，解题的关键是弄清有关的直角三角形中的有关角的度
数．
9. 已知直角三角形的三边 满足 ，分别以 为边作三个正方形，把两个较小的正方形放
置在最大正方形内，如图，设三个正方形无重叠部分的面积为 ，均重叠部分的面积为 ，则（ ）
A. B. C. D. 大小无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由勾股定理可得 ，易得 ，然后用 分别表示 和 ，即
可获得答案．
【详解】解：如下图，
∵ 为直角三角形的三边，且 。
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
，
∴ ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理以及整式运算，结合题意正确表示出 和 是解题关键．
10. 若关于 的方程 解为正数，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】将分式方程化为整式方程解得 ，根据方程的解是正数，可得 ，即可求出
的取值范围．
【详解】解：
∵方程 的解为正数，且分母不等于0
∴ ，
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∴ ，且
故选：D．
【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出
整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键．
11. 在平面直角坐标系 中，抛物线 ，满足 ，已知点 ， ，
在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用解不等式组可得 且 ，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增
减性判断即可解题．
【详解】解不等式组可得: ，且
所以对称轴 的取值范围在 ，
由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是 ，其次是 ，最远的是 ，
即根据增减性可得 ，
故选C．
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
12. 数学家高斯推动了数学科学的发展，被数学界誉为“数学王子”，据传，他在计算
时，用到了一种方法，将首尾两个数相加，进而得到
．人们借助于这样的方法，得到
（n是正整数）．有下列问题，如图，在平面直角坐标系中的一系列格点 ，其中
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，且 是整数．记 ，如 ，即 ，即 ，
即 ，以此类推．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用图形寻找规律 ，再利用规律解题即可．
【详解】解：第1圈有1个点，即 ，这时 ；
第2圈有8个点，即 到 ；
第3圈有16个点，即 到 ，；
依次类推，第n圈， ；
由规律可知： 是在第23圈上，且 ，则 即 ，故A选
项不正确；
是在第23圈上，且 ，即 ，故B选项正确；
第n圈， ，所以 ，故C、D选项不正确；
故选B．
【点睛】本题考查图形与规律，利用所给的图形找到规律是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题 84分）
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二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．不需写出解答过程，请将答案直接写在
答题卡相应位置上．
13. 分解因式： _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提取公因式法和平方差公式，即可分解因式．
【详解】 ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查提取公因式法和平方差公式，掌握平方差公式，是解题的关键．
14. 若点 在第四象限，则m的取值范围是__________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负进行求解即可。
【详解】解：∵点 在第四象限，
∴ ，
解得 ，
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查了根据点所在的象限求参数，解一元一次不等式组，熟知第四象限内点的符号特点
是解题的关键。
15. 已知反比例函数 （ 且 ）的图象与一次函数 的图象共有两个交点，
且两交点横坐标的乘积 ，请写出一个满足条件的k值__________．
【答案】 （满足 都可以）
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【解析】
【分析】先判断出一次函数 的图象必定经过第二、四象限，再根据 判断出反比例函
数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，从而可以得到反比例函数的图象经过第二、四象限，即
，最终选取一个满足条件的值即可．
【详解】解： ，
一次函数 的图象必定经过第二、四象限，
，
反比例函数图象和一次函数图象的两个交点在同一象限，
反比例函数 （ 且 ）的函数图象经过第一、三象限，
，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴满足条件的k值可以为1.5，
故答案为：1.5（满足 都可以）．
【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的图形性质，解题的关键是根据 判断出反比例函数图
象和一次函数图象的两个交点在同一象限．
16. 如图，矩形 中， ，点P在对角线 上，过点P作 ，交边
于点M，N，过点M作 交 于点E，连接 ．下列结论：①
；②四边形 的面积不变；③当 时， ；④
的最小值是20．其中所有正确结论的序号是__________．
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【答案】②③④
【解析】
的
【分析】根据等腰三角形 三线合一可知 ，可以判断①；利用相似和勾股定理可以得出
， ，，利用 判断②；根据相似可以得到 ，
判断③；利用将军饮马问题求出最小值判断④．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
在点P移动过程中，不一定 ，
相矛盾，
故①不正确；
延长 交 于点H,
则 为矩形，
∴
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∵ ， ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
∴
故②正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故③正确，
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，
即当 的最小值，作B、D关于 的对称点 ,
把图 中的 向上平移到图2位置，使得 ，连接 ，即 为 的最小值，则
， ,
这时 ，
即 的最小值是20，
故④正确；
故答案为：②③④
【点睛】本题考查矩形的性质，
相似三角形的判定和性质，轴对称，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
三、解答题：本题共6个小题，满分72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要
的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）化简： ；
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（2）先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】
【分析】（1）根据平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则进行计算
即可；
（2）根据分式的性质进行化简，再将 代入求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
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将 代入可得，原式 ．
【点睛】本题考查了平方根，绝对值，负整数指数幂，特殊角的三角函数，实数的混合运算法则，分式的
化简求值等，熟练掌握以上运算法则是解题的关键．
18. 2023年3月22日至28日是第三十届“中国水周”，某学校组织开展主题为“节约用水，共护母亲
的
河” 社会实践活动．A小组在甲，乙两个小区各随机抽取30户居民，统计其3月份用水量，分别将两个
小区居民的用水量 分为5组，第一组： ，第二组： ，第三组： ，第
四组： ，第五组： ，并对数据进行整理、描述和分析，得到如下信息：
信息一：
甲小区3月份用水量频数分布表
用水量（x/m） 频数（户）
4
9
10
5
2
信息二：甲、乙两小区3月份用水量数据的平均数和中位数如下：
甲小区 乙小区
平均数 9.0 9.1
中位数 9.2 a
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信息三：乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
根据以上信息，回答下列问题：
（1） __________；
（2）在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为 ，在乙小区抽取
的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为 ，比较 ， 大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有600户居民，乙小区共有750户居民，估计两个小区3月份用水量不低于 的总户
数；
（4）因任务安排，需在B小组和C小组分别随机抽取1名同学加入A小组，已知B小组有3名男生和1名
女生，C小组有2名男生和2名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
【答案】（1）
（2） ，理由见解析
（3）甲小区有40户，乙小区有50户
（4）
【解析】
【分析】（1）根据中位数的定义进行计算即可；
（2）根据题意分别求出3月份用水量低于平均数 的户数，再计算进行比较即可；
（3）用总户数乘以不低于 所占的比例即可求解；
（4）画树状图，共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有 8种，再由概率公式求
解即可．
【小问1详解】
解：∵随机抽取了30户居民，
故中位数是数据从小到大排列的第15个和第16个的平均数；
根据条形统计图可知：用水量在 的有3户，用水量在 的有11户，用水量在
的有10户，用水量在 的有4户，用水量在 的有2户，故中位数是在第三组中，且
是第三组中第1个和第2个的平均数，
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∵乙小区3月份用水量在第三组的数据为：9，9.2，9.4，9.5，9.6，9.7，10，10.3，10.4，10.6．
∴乙小区3月份用水量的中位数是 ；
故答案为： ．
【小问2详解】
解：在甲小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.0；
低于本小区平均用水量的户数为 （户），
故在甲小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为 ，即
；
在乙小区抽取的用户中，3月份用水量的平均数为：9.1；
低于本小区平均用水量的户数为 （户），
故在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为 ，即
；
∵ ，
故 ．
【小问3详解】
解：甲小区3月份用水量不低于 的总户数为 （户），
乙小区3月份用水量不低于 的总户数为 （户），
的
即甲小区3月份用水量不低于 总户数有40户，乙小区3月份用水量不低于 的总户数有50户．
【小问4详解】
解：画树状图如图：
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共有16种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有6种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为 ．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率，中位数，条形统计图，用样本估计总体等，树状图法可以不重复
不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数
与总情况数之比．
19. 如图，平行四边形 中，点E是对角线 上一点，连接 ，且 ．
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）若 ，求四边形 的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）如图所示，连接 与 交于O，先由平行四边形对角线互相平分得到 ，再利
用 证明 得到 ，进而证明 ，得到 ，由此
即可证明平行四边形 是菱形；
（2）先由菱形的性质得到 ，再解 ， 得到 ，利
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用勾股定理求出 ，则 ， ，则 ．
【小问1详解】
证明：如图所示，连接 与 交于O，
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴平行四边形 是菱形；
【小问2详解】
解：∵四边形 是菱形，
∴ ，
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在 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ （负值舍去），
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判
定，勾股定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
20. 要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，A种规格是长、宽、高都为 的正方体无盖木盒，B
种规格是长、宽、高各为 ， ， 的长方体无盖木盒，如图1．现有200张规格为
的木板材，对该种木板材有甲、乙两种切割方式，如图2．切割、拼接等板材损耗忽略不计．
（1）设制作A种木盒x个，则制作B种木盒__________个；若使用甲种方式切割的木板材y张，则使用乙
种方式切割的木板材__________张；
（2）该200张木板材恰好能做成200个A和B两种规格的无盖木盒，请分别求出A，B木盒的个数和使用
甲，乙两种方式切割的木板材张数；
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（3）包括材质等成本在内，用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8
元．根据市场调研，A种木盒的销售单价定为a元，B种木盒的销售单价定为 元，两种木盒的
销售单价均不能低于7元，不超过18元．在（2）的条件下，两种木盒的销售单价分别定为多少元时，这
批木盒的销售利润最大，并求出最大利润．
【答案】（1） ，
（2）制作A种木盒100个，B种木盒100个；使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板
50张
（3）A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大
利润为1750元
【解析】
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）根据题意可得，制作一个A种木盒需要长、宽均为 的木板5个，制作一个B种木盒需要长、宽
均为 的木板1个，长为10cm、宽为 的木板4个；甲种方式可切割长、宽均为 的木板4个，
乙种方式可切割长为10cm、宽为 的木板8个；列关系式求解即可；
（3）先根据（2）中数据求得总成本金额，根据利润=售价-成本列式，根据一次函数的性质进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵要制作200个A，B两种规格的顶部无盖木盒，制作A种木盒x个，
故制作B种木盒 个；
∵有200张规格为 的木板材，使用甲种方式切割的木板材y张，
故使用乙种方式切割的木板材 张；
故答案为： ， ．
【小问2详解】
解：使用甲种方式切割的木板材y张，则可切割出 个长、宽均为 的木板，
使用乙种方式切割的木板材 张，则可切割出 个长为 、宽为 的木板；
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设制作A种木盒x个，则需要长、宽均为 的木板 个，
制作B种木盒 个，则需要长、宽均为 的木板 个，需要长为 、宽为 的
木板 个；
故
解得： ，
故制作A种木盒100个，制作B种木盒100个，
使用甲种方式切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
【小问3详解】
解：∵用甲种切割方式的木板材每张成本5元，用乙种切割方式的木板材每张成本8元，且使用甲种方式
切割的木板150张，使用乙种方式切割的木板材50张，
故总成本为 （元）；
∵两种木盒的销售单价均不能低于7元，不超过18元，
即 ，
解得： ，
故 的取值范围为 ；
设利润为 ，则 ，
整理得： ，
∵ ，故 随 的增大而增大，
故当 时， 有最大值，最大值为 ，
则此时B种木盒的销售单价定为 （元），
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
即A种木盒的销售单价定为18元，B种木盒的销售单价定为11元时，这批木盒的销售利润最大，最大利
润为1750元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一次函数的性质，一元一次不等式组的应
用，根据题意找出等量关系进行列式是解题的关键．
21. 在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四
边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1， 中， （ ）．点D是 边上的一动点（点D不与
B，C重合），将线段 绕点A顺时针旋转 到线段 ，连接 ．
（1）求证：A，E，B，D四点共圆；
（2）如图2，当 时， 是四边形 的外接圆，求证： 是 的切线；
（3）已知 ，点M是边 的中点，此时 是四边形 的外接圆，直接写出圆
心P与点M距离的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质得到 ，证明 ，进而证明
，可以得到 ，由 ，可得
，即可证明A、B、D、E四点共圆；
（2）如图所示，连接 ，根据等边对等角得到 ，由圆周角定理得到
，再由 ，得到 ，利用三角形内角和定理证明
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，即 ，由此即可证明 是 的切线；
（3）如图所示，作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，先求出
，再由三线合一定理得到 ， ，解直角三角形求出
，则 ，再解 得到 ，则 ；由 是四边形 的
外接圆，可得点P一定在 的垂直平分线上，故当 时， 有最小值，据此求解即可．
【小问1详解】
证明：由旋转的性质可得 ，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴A、B、D、E四点共圆；
【小问2详解】
证明：如图所示，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是四边形 的外接圆，
∴ ，
∴ ，
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
又∵ 是 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问3详解】
解：如图所示，作线段 的垂直平分线，分别交 于G、F，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵点M是边 的中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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在 中， ，
∴ ，
∵ 是四边形 的外接圆，
∴点P一定在 的垂直平分线上，
∴点P在直线 上，
∴当 时， 有最小值，
∵ ，
∴在 中， ，
∴圆心P与点M距离的最小值为 ．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外
接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系 内，抛物线 交y轴于点C，过点C作x轴的平行线
交该抛物线于点D．
（1）求点C，D的坐标；
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（2）当 时，如图1，该抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），点P为直线 上方
抛物线上一点，将直线 沿直线 翻折，交x轴于点 ，求点P的坐标；
（3）坐标平面内有两点 ，以线段 为边向上作正方形 ．
①若 ，求正方形 的边与抛物线的所有交点坐标；
②当正方形 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 时，求a的
值．
【答案】（1） ，
（2）
（3）① ， ， ；②
【解析】
【分析】（1）先求出 ，再求出抛物线对称轴，根据题意可知C、D关于抛物线对称轴对称，据此
求出点D 的坐标即可；
（2）先求出 ，如图，设 上与点M关于直线 对称的点为 ，由轴对称的性质可
得 ，利用勾股定理建立方程组 ，解得
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或 （舍去），则 ，求出直线 的解析式为 ，然后联立 ，
解得 或 ，则 ；
（3）分图3-1，图3-2，图3-3三种情况，利用到x轴的距离之差即为纵坐标之差结合正方形的性质列出方
程求解即可．
【小问1详解】
解：在 中，当 时， ，
∴ ，
∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线对称轴为直线 ，
∵过点C作x轴的平行线交该抛物线于点D，
∴C、D关于抛物线对称轴对称，
∴ ；
【小问2详解】
解：当 时，抛物线解析式为 ，
当 ，即 ，解得 或 ，
∴ ；
如图，设 上与点M关于直线 对称的点为 ，
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由轴对称的性质可得 ，
∴ ，
解得： ，即
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的解析式为 ，
联立 ，解得 或
∴ ；
30【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
【小问3详解】
解：①当 时，抛物线解析式为 ， ，
∴ ，
∴ ， ，
当 时， ，
∴抛物线 恰好经过 ；
∵抛物线对称轴为直线 ，
由对称性可知抛物线经过 ，
∴点 时抛物线与正方形的一个交点，
又∵点F与点D重合，
∴抛物线也经过点 ；
综上所述，正方形 的边与抛物线的所有交点坐标为 ， ， ；
②如图3-1所示，当抛物线与 分别交于T、D，
∵当正方形 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
31【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴点T的纵坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
解得 （舍去）或 ；
如图3-2所示，当抛物线与 分别交于T、S，
∵当正方形 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴ ，
解得 （舍去，因为此时点F在点D下方）
如图3-3所示，当抛物线与 分别交于T、S，
∵当正方形 的边与该抛物线有且仅有两个交点，且这两个交点到x轴的距离之差为 ，
∴ ，
32【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴ ，
∴ ，
解得 或 （舍去）；
当 时， ，
当 时， ，
∴ 不符合题意；
综上所述， ．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，轴对称的性质，正方形的性质等等，利用分类讨论和
数形结合的思想求解是解题的关键．
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