文档内容
2026 届高三上学期 10 月学情调研
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解.
【详解】集合 ，则 ，
所以 .
故选：B
2. 设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的含义，结合特殊值说明即可.
【详解】设 ， ，显然有 ，但是 不成立；
若 ，因为 ，所以有 成立.
所以，“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选：C.
3. 已知某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的平均数为 ，方差为 ，
则（ ）
第1页/共21页
学科网（北京）股份有限公司A. B.
.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知条件，根据平均数和方差的计算公式进行求解即可.
【详解】根据题意有 ，
而 .
故选：C.
4. 的展开式中 的系数为（ ）
A. 12 B. 60 C. 160 D. 240
【答案】B
【解析】
【分析】先写出 的二项展开式的通项 ，令 ，求出 值，再代入通
项 中，计算即可得解.
【详解】因为 的二项展开式的通项为
，
令 ，解得 ，所以 ，
所以 的展开式中 的系数为60.
故选：B
第2页/共21页
学科网（北京）股份有限公司5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为
，值域为 的“同族函数”包含的函数个数为（ ）
A. 3 B. 8 C. 9 D. 27
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知确定函数定义域取值情况，再由集合非空子集个数及分步计数求“同族函数”个数，即可
得.
【详解】由题设， 的值域为 ，则 或 或 ，
结合“同族函数”的定义，则函数定义域分别从 、 、 中各取至少一个数，
所以共有 种.
故选：D
6. 将函数 的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 的图象，若
是偶函数，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求得平移后的解析式，然后根据函数的奇偶性求得 即可.
【详解】函数 的图象向右平移 ，
得到 ，
由于 偶函数，所以 ，即 ，
第3页/共21页
学科网（北京）股份有限公司由于 ，所以取 ，得 .
故选：A
7. 若函数 有且只有一个极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先求导得到 ，根据题意得到方程 有一个根大于0，一个根
小于等于0，即可得到答案.
【详解】 ，定义域为 ， ，
因为函数 有且只有一个极值点，
所以方程 有一个根大于0，一个根小于等于0，
所以 .
故选：C
8. 某个圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为 的小球在该容器内自由运动，则小
球能接触到的圆锥容器内壁总面积为（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别计算侧面与底面上小球可能接触到的容器内壁的面积，即可得解.
第4页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【详解】设小球的半径为 ，则小球的表面积为 ，解得 ，
在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域围成一个圆台侧面，如下图所示：
由小球的半径 ，
得 ，
又 都是等边三角形，则 ，
圆台的上、下底面圆的半径分别为 ，
母线长 ，因此圆台的侧面积为 ，
在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为 ，其面积为 ，
所以圆锥内壁上小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为 .
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题中正确的有（ ）
A. 已知随机变量 ，则
B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4
C. 若事件A与B互斥，且 ， ，则
第5页/共21页
学科网（北京）股份有限公司D. 样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，则 ， ，…， 的平均数为
，方差为
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A利用二项分布的方差公式即可判断，对于B利用百分位数的定义即可判断，对于C利用互
斥事件的概率公式即可判断，对于D利用平均数和方差的性质即可判断.
【详解】对于A：由 ，所以 ，故A错误；
对于B：由 ，所以数据2，3，4，5，6的第60百分位数是 ，故B错误；
对于C：事件A与B互斥，且 ， ，所以
，故C正确；
对于D：利用平均数和方差的性质有：样本数据 ， ， ， 的平均数为 ，
方差为 ，则 ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，故D正确.
故选：CD.
10. 在直三棱柱 中， ， ， ， 分别为棱 和 的中
点， 为棱 上的动点，则（ ）
A.
B. 该三棱柱的体积为4
C. 过 ， ， 三点截该三棱柱的截面面积为
第6页/共21页
学科网（北京）股份有限公司D. 直线 与平面 所成角的正切值的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用题设建系，对于A，通过空间向量证明 平面 即得 ；对于B，利用直
棱柱体积公式计算即得；对于C，先利用线面平行的性质作出截面，再计算其面积即可排除C；对于D，
设点 ，利用空间向量的夹角公式计算得出关于 的函数式，通过求函数的最大值得到所成角正切
值的最大值.
【详解】
如图建立空间直角坐标系，则 .
对于A， ，
因 ，
，
可得 ，
因 ，且两直线在平面 内，则有 平面 ，
又 为棱 上的动点，故 ，即A正确；
对于B，由题意，该三棱柱的体积为 ，故B正确；
第7页/共21页
学科网（北京）股份有限公司对于C，如图，设经过 ， ， 三点的截面 交 于点 ，连接 ，
因 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，故得 ，即截面为梯形 .
因 ， ，
设梯形 的高为 ，则 ，解得 .
则 故C错误；
对于D，如图，因 平面 ， 平面 ，则 ，
又 ， ，且两直线在平面内，故得 平面 ，
故可取平面 的法向量为 ，
又 为棱 上的动点，可设 ， 则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
第8页/共21页
学科网（北京）股份有限公司因 ，故当且仅当 时， 取得最小值为5，此时 取得最大值为 ，
因 ，而正弦函数和正切函数在 上均为增函数，
故此时 取得最大值为 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】思路点睛：本题主要考查空间向量在立体几何中的应用，属于难题.
解题思路在于，化“动”为“静”，将线线垂直的判断转化成线面垂直的证明；利用线面平行的性质作出
截面求解；通过建系，将线面所成角的问题进行量化，借助于函数的最值求解.
11. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. ，使得
B. 函数 的图象是一个中心对称图形
C. 曲线 有且只有一条斜率为 的切线
D. 存在实数 ， ，使得函数 的定义域 ，值域为
【答案】ABD
【解析】
【分析】求解指数方程计算判断A，应用对称中心定义计算判断B，应用导数值域判断C，应用函数交点
判断D.
【详解】因为 ，
当 ，所以 ，可得 ，且 ，所以 ，使得
第9页/共21页
学科网（北京）股份有限公司，A选项正确；
，所以函数 的一个中心对称为
，B选项正确；
，又因为 ，所以
，所以函数没有斜率为 的切线，C选项错误；
令 ， ，所以 ，
有两个交点，所以存在实数 ， ，使得函数 的定义域 ，值域为 ，
D选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知随机变量 ，且 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据正态分布的性质求解.
【详解】因为随机变量 ，且 ，
所以 ，
第10页/共21页
学科网（北京）股份有限公司则 .
故答案为：
13. 已知 ，则 _________
【答案】
【解析】
【分析】设 ，则 ，由诱导公式结合余弦的二倍角公式可得答案.
【详解】设 ，则
所以
故答案为：
14. 数学中的“对称性”不仅体现在平面几何、立体几何、解析几何和函数图象中，还体现在概率问题中．
请你从“对称性”的角度完成下面概率问题：已知有 ， ， ， ， ， ， ， 八名运动员参加比
赛，按照下图进行单败淘汰制（赢者晋级下一轮，败者被淘汰）.其中 在图示中①的位置， 在图示中⑤
的位置，其余运动员抽签决定自己第一轮的比赛位置.已知 与除 以外的运动员比赛胜率为 ， 与除
以外的运动员比赛胜率为 ，除此以外其余场次比赛（包括 间的比赛）每位运动员胜率都为 ，则
运动员 夺得冠军的概率为________．
第11页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】根据相互独立事件的概率公式求出 夺冠， 夺冠的概率，再由对立事件的概率关系和概率的对
称性可得解.
【详解】 进入决赛的概率为 ， 进入决赛的概率为 ，
夺冠有两种情况， 进入决赛和 没进入决赛，所以 夺冠的概率为 ，
夺冠有两种情况， 进入决赛和 没进入决赛，所以 夺冠的概率为 ，
所以 或 夺冠的概率为 ，由概率的对称性可得， 夺冠的概率为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 ，当 时， 的极小值为 ，当 时， 有极
大值．
（1）求函数 ；
（2）存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
第12页/共21页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）求导后，根据 和 ，解得 即可得解；
（2）转化为 ，再利用导数求出函数 在 上的最大值，然后解不等式
可得结果.
【详解】（1）∵ ，
由 ，得 且 ，解得 ， ，
又 ，∴ ，
∴ ；
（2）存在 ，使得 ，等价于 ，
∵ ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上递减，在 上递增，
又 ， ，
∴ 在 上的最大值为 ，
∴ ，解得 ，
所以 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了由函数的极值求函数的解析式，考查了利用导数研究不等式能成立问题，属于基础题.
16. 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ， ．
第13页/共21页
学科网（北京）股份有限公司（1）求 ；
（2）若 的面积为 ， 是 上的点，且 ，求 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知得出 ，利用余弦定理结合 可得出 ，再利用余弦定
理可求得 的值；
（2）利用三角形的面积公式结合（1）中的结论可求出 、 、 的值，求出 的值，利用正弦
定理可求出 的长.
【小问1详解】
因为 ，所以， ，即 ，
因为 ，则 ，即 ，故 ，
由余弦定理可得 .
【小问2详解】
因 ，则 ，
为
因为 ，可得 ，
第14页/共21页
学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，故 ， ， ，
是 上的点，且 ，则 ， ，
所以， ，
在 中，由正弦定理可得 ，
故 .
17. 盒中有3个红球，6个白球，这些球除颜色外完全相同.
（1）若从盒中不放回地随机取3次，每次取1个球，记 为取到的红球的个数，求 的分布列和数学期
望；
（2）若从盒中每次随机取1个球，取出后将原球放回，再加入3个同色球，求在第2次取到红球的情况下，
第3次取到白球的概率.
【答案】（1）分布列见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用超几何分布可求得分布列，进而利用期望公式可求得期望；
（2）利用条件概率公式与贝叶斯公式求解即可.
【小问1详解】
的可能取值为
第15页/共21页
学科网（北京）股份有限公司的分布列如下：
0 1 2 3
【小问2详解】
记事件 “第 次取到红球”，于是
那么
.
18. 如图所示的多面体是由一个直三棱柱 与一个四棱锥 拼接而成的，四边形
为直角梯形， ， ， ， ， 分别为 的中点.
第16页/共21页
学科网（北京）股份有限公司（1）求证： 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由三角形中位线性质可得 ，根据线面平行的判定定理可证得结论；
（2）以 为坐标原点可建立空间直角坐标系，设 ，利用线面角的向量求法可构造方程求
得 ，再利用二面角的向量求法求得结果.
【小问1详解】
由直三棱柱 的性质知： ，
分别为 的中点， ， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
【小问2详解】
由直棱柱的性质得： 平面 ，
平面 ， ， ；
则以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
第17页/共21页
学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，解得： ，
平面 的一个法向量 ，
又 ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，解得： ， ， ；
，
由图可知：二面角 为锐二面角， 二面角 的余弦值为 .
第18页/共21页
学科网（北京）股份有限公司19. 已知函数 ， ．
（1）当 时，求函数 在 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）若方程 有两个不同的实数根，求实数 的取值范围．
【答案】（1） ；
（2）答案见解析； （3） 或 .
【解析】
【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程；
（2）对函数求导，应用分类讨论及对应导数的区间符号研究函数的单调性；
（3）问题化为方程 有两个不同实根，构造 并应用导数、分类讨
论研究函数的零点个数，确定参数范围.
【小问1详解】
由题意， 的定义域为 ，当 时 ，
所以 ，则 ，又 ，
所以在 处的切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
且 ，则 ，
当 ，即 时， ，则 在 上单调递减，
当 ，即 时，在 上 ，在 上 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
综上， 时 在 上单调递减；
第19页/共21页
学科网（北京）股份有限公司时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
【小问3详解】
方程 有两个不同实根，等价于方程 有两个不同实根，
设 且 ，则 且 ，
当 时， 时 ， 时 ，
此时函数 只有一个零点 ，方程只有一个根，不符合；
当 时， 在 上单调递增，
当 时， ， ，即 使 ，
在 上 ，在 上 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，
，又 ，
设 ，则 ，
在
所以 上单调递减，则 ， ，
，又 ，则 在 上和 上各有一个零点，符合；
当 时， ，且在 上 ，在 上 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，
只有一个零点 ，不符合；
当 时， ， ，即 使 ，
在 上 ， 单调递减，在 上 ， 单调递增，
第20页/共21页
学科网（北京）股份有限公司， ，
又 时， 在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，
在 上存在一个零点，又 ，
时 有两个零点，符合；
综上，方程 有两个不同实根时， 或 ．
第21页/共21页
学科网（北京）股份有限公司
