文档内容
高三联考数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
3.某社区为了解该社区老年人的运动情况，在该社区随机抽取70名老年人，对他们一周的运动时长（单位：
小时）进行统计，数据如下表，则该组数据的中位数为（ ）
一周的运动时长 3 4 5 6 7 8 9
人数 15 10 8 10 10 8 9
A.4小时 B.6小时 C.5小时 D.5.5小时
4.某圆锥的底面半径为3，高为 ，则该圆锥的表面积为（ ）
A. B. C. D.
5.甲、乙、丙、丁、戊五人去甘肃、贵州、陕西三省旅游，每人只去一个省份，已知甲、乙都不去陕西，
丙、丁去的省份不同，则这五人不同的选择共有（ ）
A.36种 B.72种 C.60种 D.96种
6.函数 的部分图象大致为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
7.已知 表示不超过 的最大整数，且 ，则 （ ）
A.21 B.22 C.23 D.24
8.已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则 的面积
的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知函数 ， ，则（ ）
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C.曲线 关于直线 对称 D.曲线 关于点 中心对称
10.如图，在正方体 中， 是上底面 内一动点，则（ ）
A. 的面积为定值 B.三棱锥 的体积为定值
C.满足 的点 有且只有一个 D. 的取值范围为
11.设函数 的定义域为 ，若对任意 ， ，且 ， 恒成立，则
称 为加成函数.下列判断正确的是（ ）
A. 是加成函数
B.若 是加成函数，则 也是加成函数
学科网（北京）股份有限公司C. 是加成函数
D.若 不是加成函数，则 也不是加成函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若复数 的虚部是实部的3倍，则实数 __________.
13.已知向量 ， ，若 ，则 __________， __________.
14.已知抛物线 的焦点为F，过点F的直线与抛物线C交于P，Q两点，线段PQ的中
点的纵坐标为1，且 ，则 __________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知 ， 均为等比数列，且 ， .
（1）求 ， 的通项公式.
（2）证明： 为定值.
（3）求数列 的前2n项和 .
16.（15分）某手机经销商销售某品牌手机，若某部手机售出后没有问题，则该部手机的利润为300元；若
某部手机有小问题，则经销商需对该部手机进行更换并赔偿顾客100元，此时该部手机的利润为
元；若某部手机有大问题，则经销商需对该部手机进行退货处理，此时该部手机不仅没
有售出的300元利润，还要赔偿顾客200元，即此时该部手机的利润为 元.已知每部手机没有问题、
有小问题、有大问题的概率分别为0.9，0.09，0.01.且各部手机有无问题相互独立，
（1）设每部该品牌手机的利润为X元，求X的分布列与数学期望；
（2）若经销商销售了三部该品牌手机，求其获得的总利润不少于700元的概率，
17.（15分）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，E是AB的中
点，F是 的中点.
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平面 .
（2）求EF与平面 所成角的正弦值.
18.（17分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，右顶点为A，P为直线
上一点.当 时， ， .
（1）求椭圆E的方程.
（2）过点P作椭圆E的切线，切点为B（异于点A）.
①若 ，求 ；
②证明： .
19.（17分）已知函数 ， 的导函数为 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若 的导函数的最小值为0，求 的值；
（3）若 对 恒成立，求整数 的最大值.（参考数据： ， ）
学科网（北京）股份有限公司高三联考数学参考答案
1.C 或 .
2.B .
3.B 因为 ， ，所以该组数据的中位数为6小时.
4.D 依题意得该圆锥的母线长为 ，则该圆锥的表面积为 .
5.B 这五人不同的选择共有 种.
6.C 因为 ，所以排除A.又因为 ，所以 在 和 上单
调递减，在 上单调递增，故选C.
7.C 因为 ，所以 ，则 ，则 ，所以
，则 .
8.A 因为 ，所以 ，整理得
，则 ，解得 .因为 ，所以 ，
则 的面积 .
9.ABD 因为 ， ，所以 是奇函数， 是偶函数，A，B均正确.因
为 ，所以曲线 不关于直线 对
称，C错误.因为 ，所以曲线 关于点 中心对称，D正确.
学科网（北京）股份有限公司10.BD 点P到CD的距离不确定，但CD的长是定值，所以 的面积不是定值，A错误.点P到底面
ABCD的距离等于棱长，是定值， 的面积是定值，所以三棱锥 的体积是定值，B正确.
满足 的点P的轨迹是以AC为直径的球面，显然这个球面与上底面 没有公共点，C错
误.
根据对称性，当点P与点 重合时， ，当点P与点 重合时， ，当点
P为正方形 的中心时， ，则 ，所以 的取值范围
为 ，D正确.
11.BC 由 ，得 ，若 为加成函数，则函数
为 上的增函数.设 ， ，则 ，所
以 不是增函数，A错误.
若 是加成函数，则 是增函数，则 也是增函数，所以 是加成
函数，B正确.
设 ， ，则 ，因为 ， ，所以
，又 ，所以 ，则 ，则 为增函数，所以
是加成函数，C正确.
取 ，则 ，所以 不是加成函数，但
，则 是加成函数，D错误.
学科网（北京）股份有限公司12. 因为 的虚部是实部的3倍，所以 ，解得 .
13.2； 因为 ，所以 ，解得 ，则 ，
.
14.1 设直线PQ的方程为 ， ， .由 消去 得
，则 ， .因为线段PQ的中点的纵坐标为1，所以
，则 .因为 ，所以 ，即
，解得 .
15.（1）解：依题意可得 的公比为 ， 的公比为 ，
所以 ， .
（2）证明：因为 ， ，所以 为定值 .
（3）解：
.
16.解：（1）由题意知X的取值可能为300，200， ，
且X的分布列为
学科网（北京）股份有限公司X 300 200
P 0.9 0.09 0.01
则 .
（2）设 表示销售三部手机获得的总利润不少于700元，则这三部手机售出后均没有问题或两部手机售
出后没有问题，一部有小问题或一部手机售出后没有问题，两部有小问题，
所以 .
17.（1）证明：连接 .因为E，F分别是AB， 的中点，所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）解：以 为坐标原点，BC，BA， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， .
设 是平面 的法向量，则 即
取 ，得 .
设EF与平面 所成的角为 ，
则 ，
即EF与平面 所成角的正弦值为 .
学科网（北京）股份有限公司18.（1）解：由题意可得 ，解得
所以椭圆 的方程为 .
（2）①解：根据对称性，不妨设点 在第一象限，且 .
， .
因为 ，所以 ，
，
所以 ，解得 （ 舍去），所以 .
②证明：根据对称性，不妨设点 在第一象限，且 ，直线 .
由 得 .
由题意可得 ，
展开后整理得 . .
学科网（北京）股份有限公司直线 的斜率 ， ，
所以 ，所以 .
19.解：（1） ，则 ，
因为 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 （或 ）.
（2）设 ，则 ，
设 的导函数为 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，解得 .
（3）由 对 恒成立，得 对 恒成立.
设 ，则 ，
设 ，则 ， 的导函数 ，
所以 在 上单调递增.
因为 ， ，所以存在唯一的 ，使得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增.
又因为 ， ， ，
所以存在 ，使得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
学科网（北京）股份有限公司，
因为 在 上单调递减，
所以 ，所以 .
又 ，所以整数 的最大值为 .
学科网（北京）股份有限公司
