文档内容
2024 年秋季高一入学分班考试模拟卷
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的．
1．已知 是任意有理数，在下面各说法中：
（1）方程 的解是 ；（2）方程 的解是 ；
（3）方程 的解是 ；（4）方程 的解是 ．
结论正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
2．若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程 有
非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为
A． B． C． D．
3．设三角形的三边 、 、 满足 ，则这个三角形的形状是
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．无法确定
4．已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），点 在 轴上，点 、 、
、 、 、 、 在 轴上．若正方形 的边长为1， ， ，则
点 到 轴的距离是
A． B． C． D．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司5．如图， 是函数 图象上一点，直线 分别交 轴、 轴于点 、 ，作 轴
于点 ，交 于点 ，作 轴于点 ，交 于点 ．则 的值为
A．2 B． C．1 D．
6．二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为 ，点 是该抛物线上一
点，若点 ， 是抛物线上任意一点，有下列结论：
① ；
②若 ，则 ；
③若 ，则 ；
④若方程 有两个实数根 和 ，且 ，则 ．
其中正确结论的个数是
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．已知 、 是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 、 是一元二次方程
的两个不相等的实数根，其中 ．若 ，则 的值为
A．8 B．9 C．12 D．18
8．如图，正方形 边长为4，点 ， 分别在边 ， 上，且满足 ， ， 交于
点， ， 分别是 ， 的中点，则 的最小值为
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．随着中考的临近，某校初三年级连续四个月开展了体育模拟测试，并将测试成绩进行整理，最终绘制
了如图所示的统计图（四次参加体育模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中正确的是
A．10月测试成绩为“优秀”的学生达到40人
B．9月体育测试中学生的及格率为
C．从9月到12月，测试成绩为“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长
D．12月增长的“优秀”人数比11月增长的“优秀”人数多
10．下列函数中，当 时，函数值 随 的增大而增大依次是
A． B． C． D．
11．如图，点 是正方形 对角线 上一点（不与点 ，点 重合），点 是正方形 的外角
的角平分线 上一点，且 ，连接 ， ．下列说法正确的是
A．当点 是 的中点时，四边形 是平行四边形
B． 的值为常数
C．当 时，
D．当 时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司12． ， ， ， 这四个数中最小的数是 ．
13．如图，在 正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点．若 的顶点均是格点，则
的值是 ．
14．如图，点 、 、 均在坐标轴上， ，过 、 、 作 ， 是 上任意一点，
连结 ， ，则 的最大值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
（1）解方程x2﹣1＝2(x+1)
（2）先化简，再求值： ，其中 、 满足 ．
16．（15分）
如图，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲
成”．如图，半径为 的筒车 按逆时针方向每分钟转1圈，筒车与水面分别交于点 、 ，筒车的
轴心 距离水面的高度 长为 ，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒 刚浮出水面时
开始计算时间．
（1）浮出水面2.5秒后，盛水筒 距离水面约多高？
（2）若接水槽 所在直线是 的切线，且与直线 交于点 ，已知 ，求盛水筒 从最高
点开始，至少经过多长时间可以将水倒入水槽 中（即点 恰好在直线 上）？
（参考数据 ， ，
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司17．（15分）
已知关于 的一元二次方程 ．
（1）判断方程根的情况；
（2）若方程的两根 、 满足 ，求 值；
（3）若 的两边 、 的长是方程的两根，第三边 的长为5，
①则 为何值时， 是以 为斜边的直角三角形？
② 为何值时， 是等腰三角形，并求出 的周长．
18．（17分）
如图， 为 的直径， 为 上一点，连接 ， ， 为 延长线上一点，连接 ，且
．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 的半径为2， ，
①求 的面积；
②点 为 上一点，连接 交半径 于点 ，若 ，求 的长．
19．（17分）
若函数 在 上的最大值记为 ，最小值记为 ，且满足 ，则称函数 是在
上的“美好函数”．
（1）函数① ；② ；③ ，其中函数 是在 上的“美好函数”；（填序
号）
学学学科科科网网网（（（北北北京京京）））股股股份份份有有有限限限公公公司司司（2）已知函数 ．
①函数 是在 上的“美好函数”，求 的值；
②当 时，函数 是在 上的“美好函数”，请直接写出 的值；
（3）已知函数 ，若函数 是在 为整数）上的“美好函数”，
且存在整数 ，使得 ，求 的值．
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