文档内容
ISBN 978-7-5499-8665-1
9 787549 986651>
定价： 元
14.12
书书书
主 编 单 墫 李善良
副 主 编 葛 军 徐稼红 石志群
本册主编 葛 军
编写人员 于 明 张松年 葛 军 樊亚东 徐稼红 李善良
石志群 孙旭东 张乃达 陈光立 单 墫
责任编辑 田 鹏
大自然这本书是用数学语言写成的．
———伽利略
一种科学只有在成功地运用数学时，才算达到完
善的地步．
———马克思
致 同 学
亲爱的同学，欢迎你进入高中，开始新的数学学习！
我们知道，数学是高中阶段的重要学科，不仅是学习物理、化学
等学科的基础，而且可以帮助我们认识世界，改造世界，创造新的生
活，对我们的终身发展有较大的影响．
怎样学习数学？
第一，要学会发现问题、提出问题．面对各种情境（生活的、数学
的、科学的），我们需要学会观察、实验、归纳，学会从特殊到一般、从
具体到抽象、从模糊到清晰，大胆地提出数学问题．
第二，要尝试分析并解决所提出的问题．通过抽象、推理、建模、
运算等多种活动，建立数学理论，并运用这些数学理论去解决
问题．
第三，要学会回顾反思．在解决完问题之后，要思考：我们是如何
解决这个问题的，从中可以得到哪些启发，还能提出哪些问题．
在数学学习过程中，我们要主动地学习数学基础知识、基本技
能，自觉地感悟基本数学思想，不断积累数学活动经验，提升数学抽
象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等核心素养，
并逐步学会用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言
表达世界．
通过数学学习，我们会发现数学非常奇妙，非常有趣．数学将给
我们以新奇和动力，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会
得到发展．我们将快乐地成长．
１
考虑广大同学的不同需要，本书提供了较大的选择空间．
书中的引言、正文、练习、习题中的“感受·理解”部分、阅读、本
章回顾、本章测试等内容构成一个完整的体系．它体现了教科书的基
本要求，是所有学生应当掌握的内容，相信你一定能学好这部分
内容．
本书还设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接、问
题与探究、应用与建模，以及习题中的“思考·运用”“探究·拓展”
等．在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，相信你
会更加喜欢数学．
２
目 录
第１章 集合
１．１ 集合的概念与表示 …………………………………………… ５
１．２ 子集、全集、补集 ……………………………………………… ９
１．３ 交集、并集 …………………………………………………… １２
问题与探究 集合运算的运算律 ………………………………… １７
阅读 有限集与无限集 …………………………………………… １８
第２章 常用逻辑用语
２．１ 命题、定理、定义 ……………………………………………… ２５
２．２ 充分条件、必要条件、充要条件 ……………………………… ２９
２．３ 全称量词命题与存在量词命题 ……………………………… ３４
问题与探究 “ＤＹ三角形”………………………………………… ３９
阅读 有趣的悖论 ………………………………………………… ４０
第３章 不等式
３．１ 不等式的基本性质 …………………………………………… ４７
犪＋犫
３．２ 基本不等式槡犪犫≤ （犪，犫≥０） ……………………… ５１
２
３．３ 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 …………… ５８
问题与探究 基本不等式的推广 ………………………………… ６６
阅读 不等号的演变 ……………………………………………… ６７
第４章 指数与对数
４．１ 指数 …………………………………………………………… ７５
４．２ 对数 …………………………………………………………… ８１
问题与探究 秘诀在对数 ………………………………………… ８９
阅读 对数概念的形成和发展 …………………………………… ９０
１
书书书
第５章 函数概念与性质
５．１ 函数的概念和图象 …………………………………………… ９７
５．２ 函数的表示方法 …………………………………………… １０６
５．３ 函数的单调性 ……………………………………………… １１０
５．４ 函数的奇偶性 ……………………………………………… １１６
问题与探究 犳（狓）＋犵（狓），犳（狓）犵（狓）和犳（犵（狓））的单调性 …… １２２
阅读 函数概念的形成与发展 …………………………………… １２３
第６章 幂函数、指数函数和对数函数
６．１ 幂函数 ……………………………………………………… １３１
６．２ 指数函数 …………………………………………………… １３５
６．３ 对数函数 …………………………………………………… １４３
问题与探究 钢琴与指数曲线 …………………………………… １５０
阅读 “怎样解题”表 ……………………………………………… １５２
第７章 三角函数
７．１ 角与弧度 …………………………………………………… １５９
７．２ 三角函数概念 ……………………………………………… １６６
７．３ 三角函数的图象和性质 …………………………………… １８２
７．４ 三角函数应用 ……………………………………………… ２００
应用与建模 港口水深的变化与三角函数 ……………………… ２０４
阅读 欧拉 ………………………………………………………… ２０６
第８章 函数应用
８．１ 二分法与求方程近似解 …………………………………… ２１５
８．２ 函数与数学模型 …………………………………………… ２２１
应用与建模 体重与脉搏 ………………………………………… ２２９
阅读 Ｇ大调的正弦函数 ………………………………………… ２３２
专题 数学建模与数学探究
案例分析 …………………………………………………………… ２４０
课题研究 …………………………………………………………… ２４３
２
本书部分常用符号
∈ 狓∈犃 狓属于犃；狓是集合犃的一个元素
狔犃 狔不属于犃；狔不是集合犃的一个元素
｛，…，｝ ｛犪，犫，犮，…，狀｝ 诸元素犪，犫，犮，…，狀构成的集合
｛｜｝ ｛狓｜狆（狓），狓∈犃｝ 使命题狆（狓）为真的犃中诸元素的集合
空集
犖 非负整数集；自然数集
犖 或犖 正整数集
＋
犣 整数集
犙 有理数集
犚 实数集
犅犃 犅包含于犃；犅是犃的子集
犅犃 犅真包含于犃；犅是犃的真子集
犅犃 犅不包含于犃；犅不是犃的子集
∪ 犃∪犅 犃与犅的并集
∩ 犃∩犅 犃与犅的交集
瓓 瓓犅 犃中子集犅的补集或余集
犃
［，］ ［犪，犫］ 犚中由犪到犫的闭区间
（，） （犪，犫） 犚中由犪到犫的开区间
［，） ［犪，犫） 犚中由犪到犫的左闭右开区间
（，］ （犪，犫］ 犚中由犪到犫的左开右闭区间
狆狇 狆 推 出狇，狆是狇的充分条件，狇是狆的
必要条件
狆狇 狆是狇的充要条件
狆狇 狆不能推出狇，狆不是狇的充分条件，狇不
是狆的必要条件
狓 对任意的狓，对所有的狓
狓 存在狓
ｓｉｎ狓 狓的正弦
ｃｏｓ狓 狓的余弦
ｔａｎ狓 狓的正切
书书书
第１章 集 合
数学也是一种语言，从它的结构和内容来看，这是一种
比任何国家的语言都要完善的语言．
……通过数学，自然界在论述；通过数学，世界的创造
者在表达；通过数学，世界的保护者在讲演．
狄尔曼
蓝蓝的天空中，一群鸟在欢快地飞翔；
茫茫的草原上，一群羊在悠闲地走动；
清清的湖水里，一群鱼在自由地游泳；
……
鸟群、羊群、鱼群……都是“同一类对象汇集在一起”，这就是本
章将要学习的集合．
其实，在过去的学习中，我们已经使用了“自然数集”“有理数集”
“实数集”等术语．我们知道，所有的自然数在一起组成“自然数集”，
所有的有理数在一起组成“有理数集”，所有的实数在一起组成“实数
集”．我们还知道，“实数集”包含“有理数集”，“有理数集”包含“自然
数集”……
这里，用“集合”来描述研究的对象，既简洁又清晰．那么，
● 怎样用集合语言来刻画研究的对象呢？
４
１．１
集合的概念与表示
在初中的数学学习中，我们曾做过下面的作业：
这里有“正数集合”“负数集合”“整数集合”“分数集合”，那么，
● 什么是集合？
● 如何用数学语言表示集合？
１
考察一下“整数集合”，１５可以填入“整数集合”的圈内，而－ 不
９
２
能填入这个圈内；－５可以填入“整数集合”的圈内，而 不能填入这
１５
个圈内……可以发现，对于给定的数，这个数要么可以填入“整数集
合”，要么不可以填入“整数集合”，两者有且只有一种情形成立．
这说明，“整数集合”由确定的、互不相同的“数”组成，对于任意
给定的一个数，这个数要么在“整数集合”中，要么不在“整数集合”
中，两者一定有一个成立，而且只有一个成立．
康托尔（Ｇ．Ｃａｎｔｏｒ，
一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个
１８４５—１９１８），德国数
学家、集合论创始人， 集合（ｓｅｔ）．集合中的每一个对象称为该集合的元素（ｅｌｅｍｅｎｔ），简
他在１８７４年发表了关 称元．
于集合论的论文． “中国的直辖市”组成一个集合，该集合的元素就是北京、天津、
上海和重庆这４个城市．
“ｙｏｕｎｇ中的字母”组成一个集合，该集合的元素就是ｙ，ｏ，ｕ，ｎ，
ｇ这５个字母．
“ｂｏｏｋ中的字母”也组成一个集合，该集合的元素就是ｂ，ｏ，ｋ这
３个字母．
５
必修第一册 数学
“１～１０以内的所有质数”组成一个集合，该集合的元素就是２，３，
５，７这４个数．
为书写方便，我们通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合犃、
集合犅等．
特别地，全体自然数组成的集合，叫作自然数集，记作犖；
全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作犖 或犖 ；
＋
全体整数组成的集合，叫作整数集，记作犣；
全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作犙；
全体实数组成的集合，叫作实数集，记作犚．
集合的元素常用小写拉丁字母表示．如果犪是集合犃的元素，那
么就记作犪∈犃，读作“犪属于犃”，例如，槡２∈犚；如果犪不是集合犃的
元素，那么就记作犪犃或犪∈犃，读作“犪不属于犃”，例如，槡２犙．
列举法和描述法是表示集合的常用方式．
列举法 将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“｛｝”内，
例如｛北京，天津，上海，重庆｝，｛ｙ，ｏ，ｕ，ｎ，ｇ｝．用这种方法表示集
合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关．
描述 法 将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出
｛狓狘狆（狓）｝中狓
来，写成｛狓｜狆（狓）｝的形式，如：｛狓｜狓为中国的直辖市｝，｛狓｜狓为ｙｏｕｎｇ
为集合的代表元素，
狆（狓）指元素狓具有的 中的字母｝，｛狓狘狓＜－３，狓∈犚｝．
性质． 为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表
示一个集合，称为Ｖｅｎｎ图，例如图１ １ １．
文恩（Ｊ．Ｖｅｎｎ， 北京，上海，
ｙ，ｏ，ｕ，ｎ，ｇ
１８３４—１９２３），英国数 天津，重庆
学家．
图１ １ １
一个集合可以用不同的方法表示．例如，由方程狓２－１＝０所有
的实数解组成的集合，可以表示为下列形式．
（１）列举法：｛－１，１｝（也可以是｛１，－１｝）；
（２）描述法：｛狓狘狓２－１＝０，狓∈犚｝（也可以是｛狓狘狓为方程
狓２－１＝０的实数解｝）．
从上面的讨论中，我们可以看到，集合是由元素唯一确定的．对
于给定的犪和集合犃，我们能够判定犪∈犃，还是犪犃．如果两个集合
所含的元素完全相同（即犃中的元素都是犅的元素，犅中的元素也都
６
１
集 合 第 章
是犃的元素），那么称这两个集合相等，例如
｛北京，天津，上海，重庆｝＝｛上海，北京，天津，重庆｝．
例１ 用列举法表示下列集合：
（１）大于１且小于１３的所有偶数组成的集合；
（２）由１～１５以内的所有质数组成的集合．
解 （１）设大于１且小于１３的所有偶数组成的集合为犃，那么
犃＝ ｛２，４，６，８，１０，１２｝．
（２）设由１～１５以内的所有质数组成的集合为犅，那么
犅＝ ｛２，３，５，７，１１，１３｝．
例２ 用描述法表示下列集合：
（１）大于１的所有偶数组成的集合；
（２）不等式２狓－３＞５的解集．
解 （１）设大于１的偶数为狓，并且满足条件
狓＞１，狓＝２犽，犽∈犖．
因此，这个集合表示为
犃＝ ｛狓狘狓＞１，狓＝２犽，犽∈犖｝．
（２）由２狓－３＞５可得狓＞４，故不等式２狓－３＞５的解集为
集合｛狓狘狓＞４，
｛狓狘狓＞４，狓∈犚｝．
狓∈犚｝可以简记为
｛狓狘狓＞４｝．
例１中的集合的元素都有有限个，例２中的集合的元素都有无限个．
一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的
集合称为无限集．
我们把不含任何元素的集合称为空集，记作．例如，集合 ｛狓狘
狓２＋狓＋１＝０，狓∈犚｝就是空集．
练 习 １用“∈”或“∈／”填空：
１ 犖，－３ 犖，０ 犖，槡２ 犖，
１ 犣，－３ 犙，０ 犣，槡２ 犚．
２用列举法表示下列集合：
（１）｛狓狘狓＋１＝０｝；
（２）｛狓｜狓为１５的正约数｝；
（３）｛狓｜狓为不大于１０的正偶数｝．
７
必修第一册 数学
３用描述法表示下列集合：
（１）奇数的集合；
（２）正偶数的集合；
（３）不等式狓２＋１≤０的解集．
４用适当的方法表示下列集合：
（１）方程狓２＋２狓－１５＝０的根的集合；
（２）不等式４狓－３＜５的解集．
５用列举法表示下列集合：
（１）｛犪狘０≤犪＜６，犪∈犖｝；
（２）“ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ中的字母”组成的集合；
（３）汉字“永”的笔画组成的集合．
习题１．１
感受·理解 １用“∈”或“∈／”填空：
２
犙，π 犙，槡７ 犚，槡２＋槡３ 犚．
７
２用列举法表示下列集合：
（１）｛狓狘狓２＋３狓－１８＝０，狓∈犚｝；
（２）｛狓狘狓为不超过５的自然数｝；
（３）｛狓狘－３＜２狓－１≤３，狓∈犣｝；
（４）｛（狓，狔）狘０≤狓≤２，０≤狔＜２，狓，狔∈犣｝．
３用描述法表示下列集合：
（１）不等式３狓＋２＞５的解集；
（２）平面直角坐标系中第二象限的点组成的集合；
（３）二次函数狔＝狓２－２狓＋３图象上的点组成的集合．
思考·运用 ４用“∈”或“∈／”填空：
（１）若犃＝｛狓狘狓２－狓＝０｝，则１ 犃，－１ 犃；
（２）若犅＝｛狓狘１≤狓≤５，狓∈犖｝，则１ 犅，１．５ 犅；
（３）若犆＝｛狓狘－１＜狓＜３，狓∈犣｝，则０．２ 犆，３ 犆．
５．设犪，犫为实数，已知犕＝｛１，２｝，犖＝｛犪，犫｝，且犕＝犖，求犪，犫的值．
６．已知犃＝｛狓狘狓＝３犽＋１，犽∈犣｝，问：－１，５，７三个数中，哪些数是犃的元素？
探究·拓展 ７．（写作题）我们使用符号“∈”代表短语“是……的元素”（ｉｓａｎｅｌｅｍｅｎｔｏｆ）．符号
“３∈犃”表示“３是集合犃的元素”．如果“３不是集合犃的元素”，那么写成
ｅ
“３犃”．虽然“∈”看起来有点像字母“ ”，但这两个符号并不相同，不应混淆．
请查阅有关资料，寻找最先引入符号“∈”的数学家，以及符号“∈”的原
始意义等信息，写一篇关于符号“∈”的短文．
８
１
集 合 第 章
１．２
、 、
子集 全集 补集
观察下列各组集合：
（１）犃＝ ｛－１，１｝，犅＝ ｛－１，０，１，２｝；
（２）犃＝犖，犅＝犚；
（３）犃＝ ｛狓狘狓为正方形｝，犅＝ ｛狓狘狓为四边形｝．
● 集合犃与犅之间具有怎样的关系？
● 如何用数学语言来表述这种关系？
观察（１），可以发现，集合犃中的每个元素都是集合犅的元素．
观察（２）（３），它们也有同样的特征．
这时称犃是犅的子集．一般地，
如果集合犃的任意一个元素都是集合犅的元素（若犪∈犃，
则犪∈犅），那么集合犃称为集合犅的子集（ｓｕｂｓｅｔ），记为犃犅
或犅犃，读作“集合犃包含于集合犅”或“集合犅包含集合犃”．
例如，｛１，２，３｝犖，犖犚，｛狓狘狓为正方形｝ ｛狓狘狓为四
边形｝等．
犃犅可以用Ｖｅｎｎ图来表示（图１ ２ １）．
图１ ２ １
根据子集的定义，我们知道犃犃．也就是说，任何一个集合是它
本身的子集．
对于空集 ，我们规定 犃，即空集是任何集合的子集．
例１ 判断下列各组集合中，犃是否为犅的子集．
（１）犃＝ ｛０，１｝，犅＝ ｛－１，０，１，－２｝；
（２）犃＝ ｛０，１｝，犅＝ ｛狓狘狓＝２犽，犽∈犖｝．
解 （１）因为０∈犅，１∈犅，即犃中的每一个元素都是犅的元素，
所以犃是犅的子集．
（２）因为１∈犃，但１犅，所以犃不是犅的子集．
思 考 犃犅与犅犃能否同时成立？
例２ 写出集合｛犪，犫｝的所有子集．
集合｛犪，犪，犪， 解 集合｛犪，犫｝的所有子集是，｛犪｝，｛犫｝，｛犪，犫｝．
１ ２ ３
犪｝有多少个子集？
４
如果犃犅，并且犃≠犅，那么集合犃称为集合犅的真子集
（ｐｒｏｐｅｒｓｕｂｓｅｔ），记为犃犅或犅犃，读作“犃真包含于犅”或“犅真
包含犃”，如｛犪｝ ｛犪，犫｝．
９
必修第一册 数学
例３ 下列各组的３个集合中，哪２个集合之间具有包含关系？
（１）犛＝ ｛－２，－１，１，２｝，犃＝ ｛－１，１｝，犅＝ ｛－２，２｝；
（２）犛＝犚，犃＝ ｛狓狘狓≤０｝，犅＝ ｛狓狘狓＞０｝；
（３）犛＝ ｛狓狘狓为整数｝，犃＝ ｛狓狘狓为奇数｝，犅＝ ｛狓狘狓为
偶数｝．
图１ ２ ２ 解 在（１）（２）（３）中都有犃犛，犅犛，可以用图１ ２ ２来
表示．
思 考
观察例３中每一组的３个集合，它们之间还有什么关系？
在例３中，观察（１），可以发现，犃犛，犛中的元素－２，－１，１，
２去掉犃中的元素－１，１后，剩下的元素为－２，２，这两个元素组成
的集合就是犅．
观察（２）（３），它们也有同样的特征．这时称犅是犃在犛中的补
集．一般地，
设犃犛，由犛中不属于犃的所有元素组成的集合称为犛的
子集犃的补集（ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｓｅｔ），记为瓓犃（读作“犃在犛中的
犛
补集”），即
瓓犃＝ ｛狓狘狓∈犛，且狓／∈犃｝．
犛
瓓犃可用图１ ２ ３中的阴影部分来表示．
犛
对于例３，我们有
犅＝ 瓓犃，犃＝ 瓓犅．
犛 犛
图１ ２ ３ 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就
称这个集合为全集（ｕｎｉｖｅｒｓａｌｓｅｔ），全集通常记作犝．
例如，在实数范围内讨论集合时，犚便可看作一个全集犝．
烄２狓－１＞０，
例４ 设全集犝＝犚，不等式组 烅 的解集为犃，试求
烆３狓－６≤０
犃及瓓犃，并把它们分别表示在数轴上．
犝
烄 １ 烌
解 犃＝ ｛狓狘２狓－１＞０，且３狓－６≤０｝＝烅狓 ＜狓≤２烍 ，
烆 ２ 烎
烄 １ 烌
瓓犃＝烅狓狓≤ ，或狓＞２烍 ，在数轴上分别表示如下（图１ ２ ４）．
犝 烆 ２ 烎
注意实心点与空
心点的区别．
图１ ２ ４
１０
１
集 合 第 章
练 习 １．写出下列集合的所有子集：
（１）｛１｝； （２）｛１，２｝； （３）｛１，２，３｝．
２．已知全集犝＝｛０，１，２，３，４，５，６｝，分别根据下列条件求瓓犃．
犝
（１）犃＝｛０，２，４，６｝；
（２）犃＝｛０，１，２，３，４，５，６｝；
（３）犃＝ ．
!
３判断下列表述是否正确：
（１）犪｛犪｝； （２）｛犪｝∈｛犪，犫｝；
（３）｛犪，犫｝｛犫，犪｝； （４）｛－１，１｝｛－１，０，１｝；
（５）０∈； （６）｛０｝＝；
（７）｛０｝； （８）｛－１，１｝．
４若犝＝犣，犃＝ ｛狓狘狓＝２犽，犽∈犣｝，犅＝ ｛狓狘狓＝２犽＋１，犽∈犣｝，
则瓓犃＝ ，瓓犅＝ ．
犝 犝
５瓓（瓓犃）＝ ．
犝 犝
６．已知犝＝犚，犃＝｛狓狘狓＜０｝，求瓓犃．
犝
习题１．２
感受·理解 １如图，试说明集合犃，犅，犆之间有什么包含关系．
２指出下列各组集合犃与犅之间的关系：
（１）犃＝｛－１，１｝，犅＝犣；
（２）犃＝｛－１，０，１｝，犅＝｛狓｜狓２－１＝０｝；
（第１题）
（３）犃＝｛１，３，５，１５｝，犅＝｛狓狘狓是１５的正约数｝；
（４）犃＝犖 ，犅＝犖．
３已知犝＝｛狓狘狓是至少有一组对边平行的四边形｝，犃＝｛狓狘狓是平行四边
形｝，求瓓犃．
犝
４（１）已知犝＝｛１，２，３，４｝，犃＝｛１，３｝，求瓓犃；
犝
（２）已知犝＝｛１，３｝，犃＝｛１，３｝，求瓓犃；
犝
（３）已知犝＝犚，犃＝｛狓狘狓≥２｝，求瓓犃；
犝
（４）已知犝＝犚，犃＝｛狓狘－２≤狓＜２｝，求瓓犃．
犝
思考·运用 ５设犃是一个集合，下列关系是否成立？
（１）犃＝｛犃｝；（２）犃｛犃｝；（３）犃∈｛犃｝．
６．已知犃犅，犃犆，犅＝｛０，２，４｝，犆＝｛０，２，６｝，写出所有满足上述条
件的集合犃．
７．设犿为实数，若犝＝犚，犃＝｛狓狘狓＜１｝，犅＝｛狓狘狓＞犿｝．
（１）当瓓犃犅时，求犿的取值范围；
犝
（２）当瓓犃犅时，求犿的取值范围．
犝
探究·拓展 ８．子集符号“”与不等号“≤”看起来很相似．“≤”具有下面的性质：
（１）如果犪≤犫且犫≤犮，那么犪≤犮；
（２）如果犪≤犫且犫≤犪，那么犪＝犫．
试写出“”相应的“性质”，并判断其正确性．
１１
必修第一册 数学
１．３
、
交集 并集
集合犃在集合犛中的补集瓓犃是由给定的两个集合犃，犛得到
犛
的一个新集合．这种由两个给定集合按照某种规则得到一个新集合
的过程称为集合的运算．集合的交与并也是常见的两种集合运算．
观察下列各组集合：
（１）犃＝ ｛－１，１，２，３｝，犅＝ ｛－２，－１，１｝，犆＝ ｛－１，１｝；
（２）犃＝｛狓狘狓≤３｝，犅＝｛狓狘狓＞０｝，犆＝｛狓狘０＜狓≤３｝；
（３）犃＝｛狓｜狓为矩形｝，犅＝｛狓｜狓为菱形｝，犆＝｛狓｜狓为正方形｝．
● 集合犃，犅，犆之间具有怎样的关系？
● 如何用数学语言表述这种关系？
观察（１），可以发现，１∈犃且１∈犅，即元素１既属于集合犃又
属于集合犅．这样的元素还有－１．所有这样的元素构成的集合就是
犆＝ ｛－１，１｝．（２）（３）也具有这种特征．
这时称犆是犃与犅的交集．一般地，
由所有属于集合犃且属于集合犅的元素构成的集合，称为
犃与犅的交集（ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎｓｅｔ），记作犃∩犅（读作“犃交犅”），即
犃∩犅＝ ｛狓狘狓∈犃，且狓∈犅｝．
犃∩犅可用图１ ３ １中的阴影部分来表示．
显然有
图１ ３ １ 犃∩犅＝犅∩犃，
犃∩犅犃，
犃∩犅犅．
思 考 犃∩犅＝犃可能成立吗？犃∩犅＝可能成立吗？
交集犃∩犅是由给定的两个集合犃，犅经过“运算”而得到的新集
合，这种运算称为“交”．而集合间另一种称为“并”的运算也十分常
见．观察集合犃＝｛－１，１，２，３｝，集合犅＝｛－２，－１，１｝，集合犇＝
｛－２，－１，１，２，３｝，可以发现，集合犇是由所有属于集合犃或者属于
集合犅的元素构成的．
这时，犇称为犃与犅的并集．一般地，
１２
１
集 合 第 章
由所有属于集合犃或者属于集合犅的元素构成的集合，称
为犃与犅的并集（ｕｎｉｏｎｓｅｔ），记作犃∪犅（读作“犃并犅”），即
犃∪犅＝ ｛狓狘狓∈犃，或狓∈犅｝．
犃∪犅可用图１ ３ ２中的阴影部分来表示．
显然有
犃∪犅＝犅∪犃，
图１ ３ ２
犃犃∪犅，
犅犃∪犅．
思 考 犃∪犅＝犃可能成立吗？犃∪ 瓓犃是什么集合？
犝
例１ 已知犃＝ ｛－１，０，１｝，犅＝ ｛０，１，２，３｝，求犃∩犅和
犃∪犅．
解 犃∩犅＝ ｛－１，０，１｝∩ ｛０，１，２，３｝＝ ｛０，１｝；
犃∪犅＝｛－１，０，１｝∪｛０，１，２，３｝＝｛－１，０，１，２，３｝．
例２ 学校举办了排球赛，高一（１）班４５名同学中有１２名同学
参赛．后来又举办了田径赛，班上有２０名同学参赛．已知两项都参赛的
有６名同学．两项比赛中，高一（１）班共有多少名同学没有参加过比赛？
解 设犝＝｛狓狘狓为高一（１）班的同学｝，犃＝｛狓狘狓为参加排球
赛的同学｝，犅＝｛狓狘狓为参加田径赛的同学｝，则犃∩犅＝｛狓狘狓为
排球赛和田径赛都参加的同学｝．
画出Ｖｅｎｎ图（图１ ３ ３）：
图１ ３ ３
可知没有参加过比赛的同学有
４５－（１２＋２０－６）＝１９（名）．
答 这个班共有１９名同学没有参加过比赛．
例３ 设犃＝｛狓狘狓＞０｝，犅＝｛狓狘狓≤１｝，求犃∩犅和犃∪犅．
解 犃∩犅＝ ｛狓狘狓＞０｝∩ ｛狓狘狓≤１｝＝ ｛狓狘０＜狓≤１｝；
犃∪犅＝ ｛狓狘狓＞０｝∪ ｛狓狘狓≤１｝＝犚．
为了叙述方便，在以后的学习中，我们常常会用到“区间”的概念．
设犪，犫∈犚，且犪＜犫，规定
１３
必修第一册 数学
［犪，犫］＝ ｛狓狘犪≤狓≤犫｝，
（犪，犫）＝ ｛狓狘犪＜狓＜犫｝，
［犪，犫）＝ ｛狓狘犪≤狓＜犫｝，
（犪，犫］＝ ｛狓狘犪＜狓≤犫｝，
符号“＋∞”读作 （犪，＋∞）＝ ｛狓狘狓＞犪｝，
“正 无 穷 大”，符 号 （－∞，犫）＝ ｛狓狘狓＜犫｝，
“－∞”读 作 “负 无
（－∞，＋∞）＝犚．
穷大”．
［犪，犫］，（犪，犫）分别叫作闭区间、开区间；［犪，犫）叫作左闭右开区
间，（犪，犫］叫作左开右闭区间；犪，犫叫作相应区间的端点．
区间［犪，犫］，（犪，犫），［犪，犫），（犪，犫］，（犪，＋∞），（－∞，犫）在数
轴上的表示分别为图１ ３ ４（１）（２）（３）（４）（５）（６）．
图１ ３ ４
练 习 １已知犃＝｛狓狘狓为小于７的正偶数｝，犅＝ ｛－２，０，２，４｝，求犃∩犅和
犃∪犅．
２设犝为全集，若犃为犝的子集，则
犃∩犃＝ ，犃∪犃＝ ，犃∩＝ ，
犃∪＝ ，犃 ∩瓓犃＝ ， 犃∪瓓犃＝ ．
犝 犝
３．根据下列条件，分别求犃∩犅，犃∪犅．
（１）犃＝｛－１，０，１，２，３｝，犅＝｛－１，０，４｝；
（２）犃＝｛－１，０，１，２，３｝，犅＝｛－１，０，１｝；
（３）犃＝｛－１，０，１，２，３｝，犅＝｛－１，０，１，２，３｝；
（４）犃＝｛－１，０，１，２，３｝，犅＝．
４．根据下列条件，分别求犃∩犅，犃∪犅．
（１）犃＝｛狓狘狓≥０｝，犅＝｛狓狘狓≤０｝；
（２）犃＝｛狓狘狓≥０｝，犅＝｛狓狘狓＜２｝；
（３）犃＝｛狓狘狓≥０｝，犅＝｛狓狘狓＞２｝．
５设犃＝｛（狓，狔）狘狔＝－４狓＋６｝，犅＝｛（狓，狔）狘狔＝５狓－３｝，求犃∩犅．
６设犃＝｛狓狘狓＝２犽－１，犽∈犣｝，犅＝｛狓狘狓＝２犽，犽∈犣｝，求犃∩犅，犃∪犅．
１４
１
集 合 第 章
习题１．３
感受·理解 １填表：
∩ 犃 犅
犃 犃∩犅
犅
∪ 犃 犅
犃
犅 犅∪犃
∩ 犃 瓓犃
犝
犃
瓓犃
犝
∪ 犃 瓓犃
犝
犃
瓓犃
犝
２已知犃＝（－１，３］，犅＝［２，４），求犃∩犅．
３已知犃＝（０，１］，犅＝［－１，０］，求犃∪犅．
４已知犃＝｛１，２，３，４，５，６，７，８｝，犅＝｛２，４，６，８｝．
（１）犅犃成立吗？犃犅成立吗？
（２）求犃∩犅和犃∪犅．
５．已知犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛１，３，４｝，犆＝｛１，５，６｝，求犃∩（犅∩犆）和
（犃∪犅）∪犆．
６．已知犃＝ ｛狓狘狓≤０｝，犅＝ ｛狓狘狓≤１｝，求犃∩犅，并判断犃与犅之间
的关系．
７在平面内，设犃，犅，犗均为定点，犘为动点，下列集合分别表示什么图形？
（１）｛犘狘犘犃＝犘犅｝；
（２）｛犘狘犘犗＝１｝．
１５
必修第一册 数学
８某班级有三个微信群，文学群成员有：梅、兰、竹、桂、松、柳，数学群成员有：
梅、竹、松、枫、杨、桦，音乐群成员有：兰、菊、荷、桂、松、柳．用集合表示三个
群的成员．
９写出阴影部分所表示的集合．
（第９题）
思考·运用 １０（１）已知犝＝｛１，２，３，４，５，６｝，犃＝｛２，３，５｝，犅＝｛１，４｝，求瓓（犃∪
犝
犅）与（瓓犃）∩（瓓犅）；
犝 犝
（２）在下图中用阴影表示瓓 （犃∪犅）与（瓓犃）∩（瓓犅）；
犝 犝 犝
（３）由（１）（２），你有什么发现？
（第１０（２）题）
１１．已知犝＝犚，犃＝｛狓狘１≤狓≤３｝，犅＝｛狓狘２＜狓＜４｝，分别求犃∩犅，
犃∪犅，犃∪瓓犅．
犝
１２．设犿为实数，犃＝｛犿＋１，－３｝，犅＝｛２犿－１，犿－３｝．若犃∩犅＝｛－３｝，
求犿的值．
探究·拓展 １３（探究题）我们知道，如果集合犃犛，那么犛的子集犃的补集为瓓犃＝
犛
｛狓狘狓∈犛，且狓／∈犃｝．类似地，对于集合犃，犅，我们把集合｛狓狘狓∈犃，且
狓／∈犅｝叫作集合犃与犅的差集，记作犃－犅．例如，犃＝｛１，２，３，４，５｝，
犅＝｛４，５，６，７，８｝，则有犃－犅＝｛１，２，３｝，犅－犃＝｛６，７，８｝．
据此，试回答下列问题：
（１）犛是高一（１）班全体同学的集合，犃是高一（１）班全体女同学的集合，求
犛－犃及瓓犃；
犛
（２）在下列各图中用阴影表示集合犃－犅；
（３）如果犃－犅＝，集合犃与犅之间具有怎样的关系？
（第１３（２）题）
１６
１
集 合 第 章
问题与探究 集合运算的运算律
我们知道实数“＋”“×”运算有如下运算律成立：
犪＋犫＝犫＋犪，犪×犫＝犫×犪；
（犪＋犫）＋犮＝犪＋（犫＋犮），（犪×犫）×犮＝犪×（犫×犮）；
（犪＋犫）×犮＝犪×犮＋犫×犮；
……
集合运算“∪”“∩”是否也满足一些运算律呢？通过具体例子，
画Ｖｅｎｎ图进行探究，并比较集合运算“∪”“∩”的运算律与实数运算
“＋”“×”的运算律的相同点与不同点．
１７
必修第一册 数学
阅 读 有限集与无限集
在本章１．１节中，我们曾讨论过有限集和无限集．例如，｛１，２，
３｝是有限集，犖 是无限集．对于有限集犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛犪，犫｝，
犆＝｛犪，犫，犮｝，我们知道集合犃的元素比集合犅的元素多，犃与犆的
元素一样多．然而，对于两个无限集 犖 ＝ ｛１，２，３，…｝，犖＝
｛０，１，２，…｝，你能判断哪一个集合的元素“更多”吗？
德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给
出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一
一对应，则称这两个集合等势．
先看有限集之间的“一一对应”．教室里有４５个座位，老师走进教
室，一看坐满了人，他无须一个个地点数，便知听课人数为４５，这是因
为每个人坐１个座位，且每个座位上都坐１个人，两者一一对应，从而
听课人数与座位数相等．下图也清楚地表明，元素之间有一一对应关
系的两个集合，其元素个数相等．
我们也可以建立犖 与犖这两个无限集之间的一一对应，如
｛１，２，３，４，…｝
｛０，１，２，３，…｝
于是，犖 与犖等势．通俗地说，它们的元素“一样多”！
从下面的一一对应中，你能得到什么结论？
｛１，２，３，４，５，６，…｝ 狀
｛２，４，６，８，１０，１２，…｝ ２狀
｛１，２，３，４，５，…｝ 狀
｛１２ ，２２ ，３２ ，４２ ，５２ ，…｝ 狀２
犘
犙
１８
１
集 合 第 章
本章回顾
本章主要学习了集合的初步知识，包括集合的有关概念、集合的
表示、集合之间的关系及集合的运算等．
我们从生活中的实例出发，探索了用集合语言来描述数学对象
的方法．应用集合语言，可以更为清晰地表达我们的思想．集合是整
个数学的基础，它在以后的学习中有着极为广泛的应用．
复 习 题
感受·理解 １用适当的方法表示“小于５的自然数”所构成的集合．
２判断下列集合是有限集还是无限集：
｛ ｝
（１）犃＝ 狓狘狓狘＜１０，狓∈犣 ；
｛ ｝
狀
（２）狓狓＝ ，狀∈犖 ；
狀＋１
（３）犛＝｛犘狘犃犘＋犘犅＝犃犅｝（犃，犅为平面上两个不同的定点，犘为动点）．
３已知犝＝｛狓狘狓是三角形｝，犃＝｛狓狘狓是等边三角形｝，求瓓犃．
犝
４已知犃＝｛０，１，２｝，犅＝｛１，２，３，４｝，求犃∩犅和犃∪犅．
５已知犃＝｛狓狘狓＜２｝，犅＝｛狓狘狓＞１｝，求犃∩犅和犃∪犅．
６设犪为实数，犃＝［１，４），犅＝（－∞，犪）．若犃犅，求犪的取值范围．
７已知犃＝［－１，２），对于下列全集犝，分别求瓓犃：
犝
（１）犝＝犚； （２）犝＝（－∞，３］；
（３）犝＝［－２，２］； （４）犝＝［－１，２）．
１９
必修第一册 数学
８求满足｛１，３｝∪犃＝｛１，３，５｝的集合犃．
９．设狓为实数，犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛１，狓｝．若犃∪犅＝犃，求狓的值．
思考·运用 １０试用Ｖｅｎｎ图表示集合犝，犃，犅，使得犝＝｛１，２，３，４，５｝，犃∪犅＝犝，
犃∩犅＝｛１，２，３｝．
１１．高一年级某班共有４５人，其中文艺爱好者２０人，体育爱好者１５人，文艺、
体育均不爱好的２０人，问：文艺、体育均爱好的有多少人？
１２利用Ｖｅｎｎ图，探求瓓 （犃∩犅），瓓犃，瓓犅三者之间的关系．
犝 犝 犝
１３．设犿为实数，若犃＝｛狓狘狓２－３狓＋２＝０，狓∈犚｝，犅＝｛狓狘狓－犿＝０，
狓∈犚｝，求当犅犃时犿的取值集合．
探究·拓展 １４设犃，犅均为有限集，犃中元素的个数为犿，犅中元素的个数为狀，犃∪犅中
元素的个数为狊，下列各式能成立吗？
（１）犿＋狀＞狊；
（２）犿＋狀＝狊；
（３）犿＋狀＜狊．
１５（阅读题）对于集合犃，犅，我们把集合｛（犪，犫）狘犪∈犃，犫∈犅｝记作犃×犅．
例如，犃＝｛１，２｝，犅＝｛３，４｝，则有犃×犅＝｛（１，３），（１，４），（２，３），
（２，４）｝，犅×犃＝｛（３，１），（３，２），（４，１），（４，２）｝，犃×犃＝ ｛（１，１），
（１，２），（２，１），（２，２）｝，犅×犅＝｛（３，３），（３，４），（４，３），（４，４）｝．
（１）已知犆＝｛犪｝，犇＝｛１，２，３｝，求犆×犇；
（２）已知犃×犅＝｛（１，２），（２，２）｝，求集合犃，犅；
（３）若犃有３个元素，犅有４个元素，犃×犅有几个元素？
２０
１
集 合 第 章
本章测试
一、填空题 １．已知集合犃＝｛狓狘狓２－１＝０，狓∈犚｝，用列举法表示犃，犃＝ ．
２．若用描述法表示所有负偶数构成的集合犕，则犕＝ ．
３．有下列命题：① 空集是任何集合的真子集；② 设犃犅，若犿∈犃，则
犿∈犅；③｛０，１，２｝｛１，２，０｝．其中，正确的有 ．（填序号）
４．若集合犃＝｛０，１，２，３，４，５｝，集合犅＝ ｛－１，０，１，６｝，则犃∪犅＝
，犃∩犅＝ ．
５．设犝＝犚，犃＝｛狓狘狓＜１｝，则瓓犃＝ ．
犝
６．某班４５名学生中，有围棋爱好者２２人，足球爱好者２８人，同时爱好这两项
的人最少有 人，最多有 人．
二、选择题 ７．若犕＝｛－１，０，１，２，３，４，５，６，７｝，犖＝｛狓狘狓２－２狓－３＝０，狓∈犚｝，
则瓓犖＝（ ）．
犕
Ａ ． ｛ －１ ， ３｝ Ｂ ． ｛－ １ ， ０， １ ，２ ， ３，４，５，６，７｝
Ｃ．｛０，１，２，４，５，６，７｝ Ｄ．｛１，２，３，４，５，６，７｝
８．若集合犕＝｛狓狘－１＜狓＜１｝，犖＝｛狓狘０≤狓＜２｝，则犕∩犖＝（ ）．
Ａ．｛狓狘－１＜狓＜２｝ Ｂ．｛狓狘０≤狓＜１｝
Ｃ．｛狓狘０＜狓＜１｝ Ｄ．｛狓狘－１＜狓＜０｝
９．若非空且互不相等的集合犕，犖，犘满足：犕∩犖＝犕，犖∪犘＝犘，则
犕∪犘＝（ ）．
Ａ．犕 Ｂ．犖
Ｃ．犘 Ｄ．
１０．满足｛１｝犃｛１，２，３｝的集合犃的个数为（ ）．
Ａ．２ Ｂ．３
Ｃ．８ Ｄ．４
三、解答题
１１．设犿为实数，犕＝｛２，犿｝，犖＝｛２犿，２｝．若犕＝犖，求犿的值．
１２．已知犃∪犅＝｛０，１，２，３，４，５｝，犃∩犅＝｛１，２，３，４，５｝，求集合犃，犅，
并用Ｖｅｎｎ图表示．
１３．已知犝＝犚，犃＝｛狓狘－１≤狓≤３｝，犅＝｛狓狘狓＜２｝，求瓓（犃∩犅）．
犝
１４．设犿为实数，集合犃＝｛狓狘１≤狓≤４｝，犅＝｛狓狘犿≤狓≤犿＋２｝．若
犃犅，求犿的取值范围．
１５．已知犕＝｛１｝，犖＝ ｛１，２｝，设犃＝ ｛（狓，狔）狘狓∈犕，狔∈犖｝，犅＝
｛（狓，狔）狘狓∈犖，狔∈犕｝，求犃∩犅，犃∪犅．
２１
第２章 常用逻辑用语
必修第一册 数学
要想获得真理和知识，唯有两件武器，那就是清晰的直
觉和严格的演绎．
笛卡儿
我们来考察下列两个命题：
命题１：两个偶数的和是偶数．
命题２：和是偶数的两个数一定都是偶数．
为了判断这两个命题的正确性，我们换一种语言来表述它们：
命题１：如果犪是任意的偶数，犫是任意的偶数，那么犪＋犫一定
是偶数．
命题２：如果犪＋犫是偶数，那么犪和犫都是偶数．
对于命题１，
因为犪是偶数，所以存在犿∈犣，使犪＝２犿．
因为犫是偶数，所以存在狀∈犣，使犫＝２狀．
所以犪＋犫＝２犿＋２狀＝２（犿＋狀）．
因为犿∈犣，狀∈犣，所以犿＋狀∈犣，
所以犪＋犫为偶数．
对于命题２，
取犪＝３，犫＝５，这时犪＋犫＝８是偶数，但３不是偶数，５也不是
偶数．
经过上述推理，我们可以判断命题１是正确的，命题２是错误的．
数学研究过程中，提出问题、解决问题需要进行数学推理，数学
推理要用数学语言表达，需要使用一些基本用语，例如，“如果”“那
么”“因为”“所以”“任意的”“存在”……
● 这些用语的含义是什么？
● 在推理过程中，怎样使用这些用语？
２４
２
常用逻辑用语 第 章
２．１
、 、
命题 定理 定义
在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．
例如：
（１）如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同位角相等；
（２）有一个内角是６０°的等腰三角形是正三角形；
（３）如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；
（４）对顶角相等；
（５）若狓２＝１，则狓＝１；
（６）若一个三角形是直角三角形，则这个三角形的两个锐角互余．
其中语句（１）（２）（４）（６）判断为真，语句（３）（５）判断为假．因而它
们都是命题．
● 观察上述命题中的（１）（３）（５）（６），这些命题具有怎样的表示
形式？
观察上述命题中的（１）（３）（５）（６），可以发现，这些命题都具有
“如果狆，那么狇”或“若狆，则狇”的形式，例如：
命题（１）中：狆是“两条平行直线被第三条直线所截”，狇是“同位
角相等”；
命题（３）中：狆是“两个三角形的面积相等”，狇是“这两个三角形
全等”；
命题（５）中：狆是“狓２＝１”，狇是“狓＝１”；
等等．
数学中，许多命题可表示为“如果狆，那么狇”或“若狆，则狇”的形
式，其中狆叫作命题的条件，狇叫作命题的结论．
例１ 指出下列命题中的条件狆和结论狇：
（１）若犪犫＝０，则犪＝０；
（２）若犪＜０，则狘犪狘＞０；
（３）如果二次函数狔＝狓２＋犽的图象经过坐标原点，那么犽＝０；
（４）如果两个三角形的三边分别对应相等，那么这两个三角形
全等．
解 （１）狆：犪犫＝０，狇：犪＝０．
（２）狆：犪＜０，狇：狘犪狘＞０．
（３）狆：二次函数狔＝狓２＋犽的图象经过坐标原点，狇：犽＝０．
２５
必修第一册 数学
（４）狆：两个三角形的三边分别对应相等，狇：这两个三角形全等．
例２ 将下列命题改写成“若狆，则狇”（或“如果狆，那么狇”）的
形式：
（１）有一个内角是６０°的等腰三角形是正三角形；
（２）对顶角相等；
（３）平行四边形的对角线互相平分；
（４）对角线互相平分的四边形是平行四边形．
解 （１）若一个等腰三角形有一个内角是６０°，则这个三角形是
正三角形．
（２）若两个角是对顶角，则这两个角相等．
（３）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角线
互相平分．
（４）如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行
四边形．
例３ 判断下列命题的真假：
（１）若犪＝犫，则犪２＝犫２ ；
（２）若犪２＝犫２ ，则犪＝犫；
（３）全等三角形的面积相等；
（４）面积相等的三角形全等．
解 （１）当犪＝犫时，显然有犪２＝犫２．
所以，命题为真．
判断命题为真，
需要进行证明．判断 （２）当犪＝１，犫＝－１时，犪２＝犫２＝１，
命题为假，该怎样做？ 即由犪２＝犫２ ，不能推出犪＝犫．
所以，命题为假．
（３）由全等三角形的定义可知，当两个三角形全等时，这两个三
角形的面积一定相等．
所以，命题为真．
（４）如图２ １ １，直角三角形犃犅犆与等腰三角形犃′犅犆同底等
高，这两个三角形的面积相等，但这两个三角形不全等．
所以，命题为假．
图２ １ １
２６
２
常用逻辑用语 第 章
在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而
直接使用，一般称之为定理（ｔｈｅｏｒｅｍ）．
在数学中，我们经常遇到定义（ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ）．定义是对某些对象标
明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵．例如“两组对
边分别平行的四边形叫作平行四边形”．定义的特点是用已知的对象
及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是
通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的．
练 习 １．写出下列命题的条件和结论：
（１）如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等；
（２）如果一个四边形是平行四边形，那么这个四边形的对角相等；
（３）若犪，犫都是偶数，则犪＋犫是偶数；
（４）若两个实数的积为正数，则这两个实数的符号相同；
（５）若犪＝犫，则犪２＝犪犫；
（６）若狇≥－１，则方程狓２＋２狓－狇＝０有实数解．
２．将下列命题改写成“若狆，则狇”的形式：
（１）绝对值相等的数也相等；
（２）矩形的对角线相等；
（３）角平分线上的点到角两边的距离相等；
（４）两角分别相等的两个三角形相似．
３．判断下列命题的真假：
（１）若一个三角形中有两个角互余，则这个三角形是直角三角形；
（２）若一个整数的个位数字是０，则这个数是５的倍数；
（３）等腰三角形的底角相等；
（４）矩形的对角线相等．
习题２．１
感受·理解
１．写出下列命题的条件与结论：
（１）如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应高相等；
（２）如果两个三角形的两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形全等；
（３）若一个四边形是菱形，则这个四边形的四边相等；
（４）若两条直线被一组平行线所截，则所得的对应线段成比例．
２．将下列命题改写成“若狆，则狇”的形式：
（１）平面内垂直于同一条直线的两条直线平行；
（２）平行于同一条直线的两条直线平行；
（３）两个无理数的和是无理数；
（４）乘积为正数的两个数同号；
（５）两个奇数的和是偶数；
（６）矩形的四个角相等；
２７
必修第一册 数学
（７）等腰三角形的两个底角相等；
（８）直径所对的圆周角是直角．
思考·运用 ３．判断下列命题的真假：
（１）若狓２＋狓－２＝０，则狓＝１；
（２）若狓∈犃∩犅，则狓∈犃∪犅；
（３）若狓＞１，则狓２＞１；
（４）若函数狔＝狓２＋２狓＋犿的图象经过坐标原点，则犿＝０；
（５）若 槡犪２＝ 槡犫２，则犪＝犫；
（６）若犪＋犫＞０，则犪２＋犫２＞０．
探究·拓展 ４．考察下述推导过程，找出错误原因．
若狓＝狔，则有
狓狔＝狔２，
从而有 狓２－狓狔＝狓２－狔２，
即有 狓（狓－狔）＝（狓＋狔）（狓－狔）．
所以 狓＝狓＋狔．
又因为 狓＝狔，
所以 狓＝２狓．
所以 １＝２．
２８
２
常用逻辑用语 第 章
２．２
、 、
充分条件 必要条件 充要条件
一般地，当命题“若狆，则狇”为真命题时，我们就说“由狆可以推
出狇成立”，记作“狆狇”，读作“狆推出狇”；如果命题“若狆，则狇”为假
命题，就说“由狆不能推出狇成立”，记作“狆／狇”，读作“狆不能推出
狇”．例如：
（１）狓＝狔狓２＝狔２，但狓２＝狔２／狓＝狔；
这里，“狓＞１”表
（２）狓＞１狓２＞１，但狓２＞１／ 狓＞１；
示“狓是大于１的实
（３）△犃犅犆≌ △犃′犅′犆′ 犛 ＝犛 ，但犛 ＝犛
" △犃犅犆 △犃′犅′犆′ △犃犅犆 △犃′犅′犆′
数”； “犛 ”表 示 ／△犃犅犆≌ △犃′犅′犆′．
△犃犅犆
“△犃犅犆的面积”．
● 如果 “狆狇”，那么狆，狇之间有怎样的关系？
分析（１）（２）（３），可以发现，“狆 狇”的含义是：一旦狆成立，狇一
"
定也成立．即狆对狇的成立是充分的．
也可以这样说：如果狇不成立，那么狆一定不成立．即狇对狆的
成立是必要的．
一般地，
如果“狆狇”，那么称狆是狇的充分条件（ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ），
也称狇是狆的必要条件（ｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）．
例１ 下列所给的各组狆，狇中，狆是狇的充分条件的有哪些？
（１）狆：狓＝２，狇：狓２－狓－２＝０；
（２）狆：四边形的对角线相等，狇：四边形是正方形；
（３）狆：同位角相等，狇：两条直线平行；
（４）狆：四边形是平行四边形，狇：四边形的对角线互相平分．
解 （１）因为狆狇，所以狆是狇的充分条件．
（２）因为狆／狇，所以狆不是狇的充分条件．
（３）因为狆狇，所以狆是狇的充分条件．
（４）因为狆狇，所以狆是狇的充分条件．
例２ 下列所给的各组狆，狇中，狆是狇的必要条件的有哪些？
（１）狆：狘狓狘＝１，狇：狓＝１；
（２）狆：两个直角三角形全等，狇：两个直角三角形的斜边相等；
２９
必修第一册 数学
（３）狆：同位角相等，狇：两条直线平行；
（４）狆：四边形是平行四边形，狇：四边形的对角线互相平分．
解 （１）因为狇狆，所以狆是狇的必要条件．
（２）因为狇／狆，所以狆不是狇的必要条件．
（３）因为狇狆，所以狆是狇的必要条件．
（４）因为狇狆，所以狆是狇的必要条件．
观察例１（３）和例２（３）、例１（４）和例２（４），可以发现，其中既有
狆狇，也有狇狆．
一般地，
如果狆狇，且狇狆，那么称狆是狇的充分且必要条件
（ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔａｎｄｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ），简称为狆是狇的充要条件，也
称狇的充要条件是狆．
为了方便起见，如果狆是狇的充要条件，就记作狆狇，称为“狆与
狇等价”，或“狆等价于狇”．
不难发现，“”和“”都具有传递性，即
如果狆狇，狇狊，那么狆狊；
如果狆狇，狇狊，那么狆狊．
例３ 指出下列命题中，狆是狇的什么条件：
（１）狆：两个三角形全等，狇：两个三角形的对应角相等；
（２）狆：三角形的三边相等，狇：三角形是等边三角形；
（３）狆：犪２＝犫２，狇：犪＝犫；
（４）狆：狓＞狔，狇：狓２＞狔２．
解 （１）根据三角形全等的性质，得出两个三角形的对应角相
等，所以 狆狇．
反过来，由两个三角形的对应角相等，不能得出两个三角形全
等．例如，两个等腰直角三角形，它们对应的角相等，但对应边不相
等，这两个三角形就不全等．所以狇／狆．
因此，狆是狇的充分条件，但狆不是狇的必要条件．
（２）根据等边三角形的定义，可知三边相等的三角形是等边三角
形，所以 狆狇．
反过来，根据等边三角形的定义，可知等边三角形的三边相等，
所以 狇狆．
因此，狆狇，即狆是狇的充要条件．
３０
２
常用逻辑用语 第 章
（３）因为
犪２＝犫２犪２－犫２＝０ （犪－犫）（犪＋犫）＝０
犪－犫＝０或犪＋犫＝０犪＝－犫或犪＝犫，
所以 狆／狇．
反过来，
犪＝犫犪－犫＝０ （犪－犫）（犪＋犫）＝０
犪２－犫２＝０犪２＝犫２，
所以 狇狆．
还可以通过举反
因此，狇狆，但狆／狇，即狆是狇的必要条件，但狆不是狇的充分
例来说明，如２２ ＝ 条件．
（－２）２，但２≠－２． （４）取狓＝１，狔＝－２，此时，狓＞狔，但狓２＜狔２，所以
狆／狇．
反过来，取狓＝－２，狔＝－１，此时，狓２＞狔２，但狓＜狔，所以
狇／狆．
因此，狆不是狇的充分条件，狆也不是狇的必要条件．
在初中数学学习中，我们经常遇到性质定理和判定定理．
性质定理是指某类对象具有的具体特征．例如，性质定理“平行
四边形的对角线互相平分”表明：“平行四边形”具有“对角线互相
平分”的特征，当然还有其他的特征，如“对角相等”“对边相等”“对
边平行”等．
这时，我们看到，性质定理具有“必要性”，“对角线互相平分”是
“四边形是平行四边形”的必要条件．图２ ２ １中条件２，３，４…都是
“四边形是平行四边形”的必要条件．
图２ ２ １
判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的
所有特征．例如，判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”
表明，只要四边形具有“对角线互相平分”这个特征，就一定具有“平
３１
必修第一册 数学
行四边形”的所有特征１，２，３，４…．
这时，我们看到，判定定理具有“充分性”，“四边形对角线互相平
分”是“四边形是平行四边形”的充分条件．图２ ２ ２中条件２，３，
４…都是“四边形是平行四边形”的充分条件．
图２ ２ ２
进一步，我们看到，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行
四边形”的充要条件，即“四边形对角线互相平分”与“四边形是平行
四边形”等价，这与平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形”
也等价．因此，“对角线互相平分的四边形”也可以作为“平行四边形”
的定义．同样地，下列三个命题：
（１）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（２）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（３）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
其中的任何一个命题都可以作为平行四边形的定义．
练 习
１．下列所给的各组狆，狇中，狆是狇的充分条件的有哪些？
（１）狆：三角形有一个内角是６０°，狇：三角形是正三角形；
（２）狆：两个角相等，狇：两个角是对顶角；
（３）狆：四边形是平行四边形，狇：四边形的对角线互相平分；
（４）狆：狓＞２，狇：狓＞１．
２．下列所给的各组狆，狇中，狆是狇的必要条件的有哪些？
（１）狆：两条直线平行，狇：同位角相等；
（２）狆：四边形的对角线互相平分，狇：四边形是矩形；
（３）狆：犪＝犫，狇：狘犪狘＝狘犫狘；
（４）狆：狓２＝１，狇：狓＝１．
３．从符号“”“／”“”中选择适当的一个填空：
（１）狓２＞１ 狓＞１；
（２）犪，犫都是偶数 犪＋犫是偶数；
（３）狓２＝１ 狘狓狘＝１；
（４）狀是偶数 狀是４的倍数．
３２
２
常用逻辑用语 第 章
习题２．２
感受·理解 １．下列所给的各组狆，狇中，狆是狇的充分条件的有哪些？狆是狇的必要条件的
有哪些？狆是狇的充要条件的有哪些？
（１）狆：两个三角形全等，狇：两个三角形的面积相等；
（２）狆：三角形是直角三角形，狇：三角形的两个锐角互余；
（３）狆：犿≤１，狇：关于狓的方程狓２＋２狓＋犿＝０有实数解；
（４）狆：犪犫＝０，狇：犪＝０．
２．从符号“”“／”“”中选择适当的一个填空：
（１）狓∈犃 狓∈犃∩犅；
（２）狓犃∪犅 狓犃∩犅；
（３）狓∈瓓（犃∪犅） 狓∈（瓓犃）∩（瓓犅）；
犝 犝 犝
（４）狓∈瓓（犃∩犅） 狓∈（瓓犃）∪（瓓犅）．
犝 犝 犝
思考·运用 ３．下列所给的各组狆，狇中，狆是狇的什么条件？
（１）狆：△犃犅犆中，∠犅犃犆＞∠犃犅犆，狇：△犃犅犆中，犅犆＞犃犆；
（２）狆：犪２＜１，狇：犪＜２；
犫
（３）狆： ＜１，狇：犫＜犪；
犪
（４）狆：犿≤１，狇：关于狓的方程犿狓２＋２狓＋１＝０有两个实数解．
４．设犪，犫，犮∈犚，求证：关于狓的方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有一个根是１的充要
条件为犪＋犫＋犮＝０．
探究·拓展 ５．设集合犃＝｛狓︱狓满足条件狆｝，犅＝｛狓︱狓满足条件狇｝．
（１）如果犃犅，那么狆是狇的什么条件？
（２）如果犅犃，那么狆是狇的什么条件？
（３）如果犃＝犅，那么狆是狇的什么条件？
试举例说明．
３３
必修第一册 数学
２．３
全称量词命题与存在量词命题
在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句：
（１）对任意实数狓，都有狓２≥０；
（２）存在有理数狓，使狓２－２＝０；
（３）有的矩形是菱形；
（４）所有的质数都是奇数；
（５）有一个素数是偶数．
● 这些语句中用到了“任意”“存在”“有的”等词，它们表示什么
含义？
２．３．１ 全称量词命题与存在量词命题
语句（１）使用了“任意”，表示对每一个实数狓，必定有“狓２ ≥０”，
即没有使“狓２≥０”不成立的实数狓存在．
语句（２）使用了“存在”，表示至少可以找到一个有理数狓，使
“狓２－２＝０”成立．
语句（３）使用了“有的”，表示可以找到一个矩形，它是菱形．
语句（４）使用了“所有”，表示每一个质数都是奇数．
“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量
词（ｕｎｉｖｅｒｓａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ），通常用符号“狓”表示“对任意狓”．
#
上面的语句（１）可以表示为“狓∈犚，狓２≥０”，即“任意实数的平
#
方都不小于０”．
“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为
存在量词（ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｑｕａｎｔｉｆｉｅｒ），通常用符号“狓”表示“存在狓”．
$
上面的语句（２）可以表示为“狓∈犙，狓２－２＝０”，即“方程狓２－
$
２＝０存在有理数解”．
含有全称量词的命题称为全称量词命题（ｕｎｉｖｅｒｓａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ），
在语句（１）～（５）
含有存在量词的命题称为存在量词命题（ｅｘｉｓｔｅｎｔｉａｌｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．它
中，哪些是命题？如
们的一般形式可表示为：
果是命题，又有哪些
是全称量词命题，哪
全称量词命题：狓∈犕，狆（狓）；
#
些是存在量词命题？ 存在量词命题：狓∈犕，狆（狓）．
$
其中，犕为给定的集合，狆（狓）是一个关于狓的语句．
３４
２
常用逻辑用语 第 章
例１ 判断下列命题的真假：
（１）狓∈犚，狓２＞狓；
$
（２）狓∈犚，狓２＞狓；
#
（３）狓∈犙，狓２－８＝０；
$
（４）狓∈犚，狓２＋２＞０．
#
解 （１）因为当狓＝２时，狓２＞狓成立，所以，
“狓∈犚，狓２＞狓”是真命题．
$
（２）因为当狓＝０时，狓２＞狓不成立，所以，
“狓∈犚，狓２＞狓”是假命题．
#
（３）因为使狓２－８＝０成立的狓的值只有狓＝２槡２与狓＝－２槡２，
但它们都不是有理数，所以，
“狓∈犙，狓２－８＝０”是假命题．
$
（４）因为对任意实数狓，都有狓２≥０，所以，
对任意实数狓，都有狓２＋２≥２＞０，即
对任意实数狓，都有狓２＋２＞０成立，因此，
“狓∈犚，狓２＋２＞０”是真命题．
#
由例１我们发现：
要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个
元素，使命题为真即可；否则命题为假．
要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个
元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的
集合中找到一个元素，使命题为假．
思 考
给定的集合对存在量词命题、全称量词命题的真假有没有影响？
试举例说明．
练 习 １．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题：
（１）任何实数的平方都是非负数；
（２）任何数与０相乘，都等于０；
（３）任何一个实数都有相反数；
（４）有些三角形的三个内角都是锐角．
２．判断下列命题的真假：
（１）任意一个平行四边形对边都相等；
（２）有的四边形既是矩形又是菱形；
（３）实系数方程都有实数解；
（４）有的正数比它的倒数小．
３５
必修第一册 数学
２．３．２ 全称量词命题与存在量词命题的否定
给出下列命题：
（１）所有的正方形都是矩形；
（２）存在有理数狓，使狓２－２＝０；
（３）对任意的实数犪，都有狘犪狘≥０；
（４）有的矩形是菱形．
命题（１）的否定是“不是所有的正方形都是矩形”，换言之，“有的正方
形不是矩形”．命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”．
命题（２）的否定是“不存在有理数狓，使狓２－２＝０”，换言之，“对
所有的有理数狓，狓２－２≠０”．命题否定后，存在量词变为全称量词，
“肯定”变成“否定”．
命题（３）的否定是“不是对任意的实数犪，都有｜犪｜≥０”，换言之，
“存在实数犪，使｜犪｜＜０”．命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯
定”变成“否定”．
命题（４）的否定是“不是有的矩形是菱形”，换言之，“所有的矩形都
不是菱形”．命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变成“否定”．
一般地，我们有：
“ 狓∈犕，狆（狓）”的否定为“狓∈犕， 狆（狓）”，
# $
“狓∈犕，狆（狓）”的否定为“狓∈犕， 狆（狓）”．
$ #
其中，“ 狆（狓）”是对语句“狆（狓）”的否定．
对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关
系是“一真一假”或“此假彼真”．
例２ 写出下列命题的否定：
（１）所有的无理数都是实数；
（２）狓∈犚，狓２＋狓＋１＞０；
#
（３）菱形不是矩形；
（４）狓∈犚，狓２－狓＋１＝０．
$
解 （１）“所有的无理数都是实数”的否定是
“有的无理数不是实数”．
注意它与“狓∈ （２）“狓∈犚，狓２＋狓＋１＞０”的否定是
# #
犚，狓２＋狓＋１≤０”的
“狓∈犚，狓２＋狓＋１≤０”．
区别． $
（３）“菱形不是矩形”是指“任意一个菱形都不是矩形”，它的否
３６
２
常用逻辑用语 第 章
定是 “存在一个菱形，它是矩形”，
或 “存在是矩形的菱形”．
（４）“狓∈犚，狓２－狓＋１＝０”的否定是
$
“狓∈犚，狓２－狓＋１≠０”．
#
一般地，对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任
意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主
要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”．
练 习 １．写出下列命题的否定：
（１）所有的矩形都是平行四边形；
（２）有的梯形是平行四边形；
（３）锐角都相等；
（４）有的梯形是等腰梯形．
２．写出下列命题的否定：
（１）三角形的内角和是１８０°；
（２）所有的正三角形都相似；
（３）二次函数有最小值；
（４）有的实系数一元二次方程无实数解．
３．命题“狓∈犚，狓２≥０”的否定为（ ）．
Ａ．狓∈犚， 狓２ ＜ ０ Ｂ．不存在狓∈犚，狓２＜０
Ｃ．狓∈犚， 狓 ２≥ ０ Ｄ．狓∈犚，狓２＜０
$ ０ ０ $ ０ ０
习题２．３
感受·理解 １．指出下列语句中的全称量词或存在量词：
（１）任一个质数都是奇数；
（２）所有实数的绝对值都是正数；
（３）有些相似三角形全等；
（４）有的四边形有外接圆；
（５）任意一个矩形都是轴对称图形；
（６）有一个数不能做除数．
２．试判断下列命题的真假：
（１）狓∈犚，２狓２－３狓＋４＞０；
#
（２）狓∈｛１，－１，０｝，２狓＋１＞０；
#
（３）狓∈犖，１＋狓２≤狓；
$
（４）狓∈犖 ，使狓为５的约数．
$
思考·运用 ３．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假：
（１）有的偶数是３的倍数；
３７
必修第一册 数学
（２）矩形的对角线相等；
（３）有的平行四边形的四个角都相等；
（４）平面内，与一个圆只有一个公共点的直线是该圆的切线．
４．写出下列命题的否定：
（１）菱形的对角线互相垂直平分；
（２）有的三角形一条边上的高与中线相等；
（３）每一个正整数都比它的倒数大；
（４）有的二次函数的图象关于坐标原点中心对称．
５．写出下列命题的否定，并判断其真假：
（１）大于３的自然数是不等式狓２＞１０的解；
（２）存在有序整数组（狓，狔）满足狓狔＝狓＋狔；
（３）任何一个四边形的四个顶点都共圆；
（４）有的反比例函数的图象与狓轴有公共点．
探究·拓展 ６．（阅读题）假设我们要否定命题“所有水生动物都用鳃呼吸”，可以这样做：
画出表示用鳃呼吸的动物的集合，并包含表示所有水生动物的集合，如
图（１）所示，那么此图就表示“所有水生动物都用鳃呼吸”．
再将图（１）中水生动物的集合部分地移出用鳃呼吸的动物的集合，如
图（２），那么此图就表示“并非所有水生动物用鳃呼吸”，即“一些水生动物不
用鳃呼吸”．这就得到了原命题的否定．
（第６题）
可以看出，当我们否定一个含有全称量词的命题时，就会得到一个含有
存在量词的命题．
试举社会生活或其他学科中命题的例子，并图示命题及该命题的否定．
３８
２
常用逻辑用语 第 章
问题与探究
“犇犢三角形”
有一类三角形，我们暂且称为“ＤＹ三角形”．下面围绕“ＤＹ三角
形”提出许多陈述，不妨暂且称为“命题”．
第一组：
①ＤＹ三角形有两条边相等；
②ＤＹ三角形有两个内角相等；
③ＤＹ三角形有一边上的高、中线及所对角的平分线重合；
④ＤＹ三角形有两条边上的中线相等；
⑤ＤＹ三角形有两条边上的高相等；
⑥ＤＹ三角形的三个内角的和为１８０°；
……
第二组：
① 有两条边相等的三角形是ＤＹ三角形；
② 有两个内角相等的三角形是ＤＹ三角形；
③ 有一边上的高、中线及所对角的平分线重合的三角形是ＤＹ
三角形；
④ 有两条边上的中线相等的三角形是ＤＹ三角形；
⑤ 有两条边上的高相等的三角形是ＤＹ三角形；
⑥ 三个内角的和为１８０°的三角形是ＤＹ三角形；
……
由于没有给出“ＤＹ三角形”的定义，所以上述两组“命题”无法判
断真假．
如果给出了“ＤＹ三角形”的定义，那么这些“命题”有的是真命
题，有的是假命题．在真命题中，有的可以作为“ＤＹ三角形”的性质定
理，有的可以作为“ＤＹ三角形”的判定定理，有的可以作为“ＤＹ三角
形”的定义．
如果把“有两条边相等的三角形是ＤＹ三角形”作为“ＤＹ三角
形”的定义，试判断上述命题的真假（可以自己尝试证明，或者查阅资
料），并指出哪些命题是“ＤＹ三角形”的性质定理，哪些命题是“ＤＹ三
角形”的判定定理．
“ＤＹ三角形”的定义、性质定理、判定定理构成了一个关于“ＤＹ
三角形”的知识体系．在分析的基础上，试再给出两个关于“ＤＹ三角
形”的“定义、性质定理、判定定理”的知识体系．
３９
必修第一册 数学
阅 读 有趣的悖论
悖论是指逻辑上可以推导出互相矛盾，但表面上又能自圆其说
的命题或结论．悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解和认
识不够深刻所致．有些悖论是很有趣的，对推动数学发展有一定的促
进作用．
１．芝诺悖论
阿基里斯追一只海龟，若海龟在阿基里斯的前面，尽管阿基里斯
奔跑的速度比海龟爬行的速度快，但阿基里斯还是永远追不上海龟．
这是因为阿基里斯必须跑到海龟的出发点犃；而当他到达点犃
时，海龟又向前爬了一段，到达了点犅；当阿基里斯到达点犅时，海龟
又向前爬了一段，到达了点犆……如此一直追下去，尽管阿基里斯和
海龟的距离在无限地缩小，但永远追不上海龟．
２．理发师悖论
理发师悖论是数学家罗素给出的．
在萨维尔村，理发师挂出一块招牌“我只给村里所有那些不给自
己理发的人理发”．有人问他“你给不给自己理发？”理发师无言以对．
如果他不给自己理发，他就属于“不给自己理发的人”，他就要给
自己理发；如果他给自己理发，那么他就成了“给自己理发的人”，他
就不该给自己理发．
悖论有三种主要形式：
（１）一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）．
（２）一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而
非的理论）．
（３）一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾．
悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这
两个结论似乎都能自圆其说．悖论的抽象公式是：若事件犃发生，则
推导出犃不发生；若事件犃不发生，则推导出犃发生．
悖论促进了数学、逻辑学、语义学等学科的发展．
４０
２
常用逻辑用语 第 章
本章回顾
本章我们主要学习了命题、充分条件与必要条件、全称量词与存
在量词，研究了判定定理、性质定理、定义分别与充分条件、必要条
件、充要条件的关系，以及全称量词命题与存在量词命题的否定，体
会了常用逻辑用语在表达数学内容中的作用．
在学习数学时，合理使用逻辑用语，既能使数学问题的描述简明
扼要，又能深刻揭示知识的本质．
学习本章，应弄清楚命题与定理、定义之间的关系，弄清楚充分
条件、必要条件、充要条件的含义，理解判定定理、性质定理、定义分
别与充分条件、必要条件、充要条件的关系，会用全称量词和存在量
词描述一些数学命题，会准确地写出全称量词命题与存在量词命题
的否定．
通过本章的学习，我们要体会逻辑用语在数学表述和论证中的
作用，逐步形成自觉地利用逻辑知识对一些命题之间的逻辑关系进
行分析和推理的意识，能对一些逻辑推理中的错误进行甄别和纠正，
使我们对问题的表述更准确、贴切，增强我们学习数学、运用数学的
信心和能力．
复 习 题
感受·理解 １．根据下列所给的各组狆，狇填空：
①狆：犪＜０，狇：狘犪狘＞０；
②狆：两个三角形的两边及其夹角分别对应相等，狇：两个三角形全等；
③狆：犪＝犫，狇：犪２＝犫２；
４１
必修第一册 数学
④狆：二次函数狔＝狓２＋犽的图象过坐标原点，狇：犽＝０；
⑤狆：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，狇：这两条直线平行；
⑥狆：两直角三角形的斜边相等，狇：两直角三角形全等．
其中
狆是狇必要条件的有 ；
狆是狇充分条件的有 ；
狆是狇充要条件的有 ．
（填写序号）
２．指出下列命题中，狆是狇的什么条件：
（１）狆：狓＝１，狇：狘狓狘＝１；
（２）狆：两直线平行，狇：同位角相等；
（３）狆：点在角的平分线上，狇：点到角的两边所在直线的距离相等；
（４）狆：斜边相等，狇：两直角三角形全等．
３．写出下列命题的否定：
（１）对任意的正数狓，都有槡狓＞狓－１；
（２）存在实数狓，使得狓２＋１＜２狓；
（３）有的三角形最长边与最短边的和等于第三边的２倍；
（４）有的三角形内切圆的半径等于外接圆半径的一半；
（５）反比例函数的图象关于狔轴对称；
（６）有的等腰三角形是直角三角形．
思考·运用 ４．指出下列定理是判定定理还是性质定理：
（１）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（２）有两个角互余的三角形是直角三角形；
（３）菱形的对角线互相垂直；
（４）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
（５）三边对应成比例的两个三角形相似；
（６）相似三角形的面积比等于相似比的平方．
５．已知狆，狇都是狉的必要条件，狊是狉的充分条件，狇是狊的充分条件．用“充分
条件”“必要条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”之一填空：
（１）狊是狉的 ；
（２）狉是狇的 ；
（３）狆是狇的 ．
探究·拓展 ６．（阅读题）《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，
有之必然，若见之成见也．”查阅有关资料，说明这一段文字的含义，并了解
《墨经》的内容．
４２
２
常用逻辑用语 第 章
本章测试
一、填空题 １．将命题“菱形的对角线互相垂直”改写成“若狆，则狇”的形式为 ．
２．命题“狓∈犚，２狓＋１＞０”的否定是 ．
#
３．命题“狓∈犚，２狓２－狓＋３＝０”的否定是 ．
$
４．命题“若狓＞０，则狓２＞０”的真假性是 ．（填“真”或“假”）
５．设犪，犫∈犚，则“犪２＋犫２＝０”的充要条件是 ．
６．若不等式狘狓狘＜犪的一个充分条件为０＜狓＜１，则实数犪的取值范围是
．
二、选择题
７．对于命题狆：全等三角形的面积相等，命题狇：面积相等的三角形全等，下列
说法中正确的是（ ）．
Ａ．狆和狇都是真命题 Ｂ．狆和狇都是假命题
Ｃ．狆是真命题，狇是假命题 Ｄ．狆是假命题，狇是真命题
８．“犪≠０”是“犪犫≠０”的（ ）．
Ａ．必要条件 Ｂ．充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件
９．设犪，犫∈犚，则“犪犫＋１≠犪＋犫”的充要条件是（ ）．
Ａ．犪，犫不都为１ Ｂ．犪，犫都不为１
Ｃ．犪，犫中至多有一个是１ Ｄ．犪，犫都不为０
１０．若命题“狓∈犚，狓２＋１＞犿”是真命题，则实数犿的取值范围是（ ）．
#
Ａ．（－∞，１］ Ｂ．（－∞，１） Ｃ．［１，＋∞） Ｄ．（１，＋∞）
三、解答题
１１．设狆：狘犪狘＞狘犫狘，狇：犪＞犫，判断命题“若狆，则狇”的真假．
１２．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，写出它们的否定，并判断
它们的真假：
（１）有的无限小数是有理数；
（２）对任意的实数狓，狓２＋２＞０．
１３．设狆：４狓－３＜１；狇：狓－（２犪＋１）＜０，若狆是狇的充分条件，求实数犪的
取值范围．
１４．设犪，犫，犮∈犚，求关于狓的方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有一个根为－１的一个充
要条件．
１５．设全集犝＝犚，集合犃＝｛狓狘１≤狓≤５｝，非空集合犅＝｛狓狘２－犪≤狓≤
１＋２犪｝，其中犪∈犚．
（１）若“狓∈犃”是“狓∈犅”的充分条件，求犪的取值范围；
（２）若“狓∈犃”是“狓∈犅”的必要条件，求犪的取值范围．
４３
第３章 不 等 式
数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正
在于各部分之间的联系．
———希尔伯特
在自然界和社会生活中，存在着大量的相等关系、不等关系、函
数关系．我们曾经用等式（包括方程）刻画一些相等关系，用不等式刻
画一些不等关系，用函数刻画一些函数关系，研究了等式、不等式、函
数所具有的性质，并应用这些性质去解决问题．
在研究的过程中，我们看到，相等关系与不等关系是紧密联系
的．例如，一元一次方程犪狓＋犫＝０与一元一次不等式犪狓＋犫＞０，在
结构、性质、解法等方面就具有很大的相似性．
我们还看到，等式、不等式、函数之间也是紧密联系的．例如，一
元一次方程犪狓＋犫＝０、一元一次不等式犪狓＋犫＞０与一次函数狔＝
犪狓＋犫之间具有“统一性”：从函数观点看，一元一次方程犪狓＋犫＝０
的解就是一次函数狔＝犪狓＋犫的图象与狓轴交点的横坐标，一元一次
不等式犪狓＋犫＞０的解集就是一次函数狔＝犪狓＋犫的图象在狓轴上
方部分的所有点的横坐标狓所成的集合．
当然，我们还会遇到更多的、更一般的涉及不等关系的问题．面
对新的问题，我们可以尝试利用上述解决问题的方法，去分析问题、
解决问题．例如，
● 不等式具有哪些性质？
● 怎样从函数观点解决不等式、方程的问题？
４６
３
不 等 式 第 章
３．１
不等式的基本性质
我们知道，实数可分为正数、零和负数，任给一个实数，它只可能
为正数、零和负数中的一种．那么，对于任意两个实数犪，犫，它们的差
犪－犫也只可能为正数、零和负数中的一种．
当犪－犫为正数时，称犪＞犫；
当犪－犫为零时，称犪＝犫；
当犪－犫为负数时，称犪＜犫．
即有如下基本事实：
犪＞犫犪－犫＞０，
犪＝犫犪－犫＝０，
犪＜犫犪－犫＜０．
在小学和初中，我们知道等式有如下基本性质：
（１）若犪＝犫且犫＝犮，则犪＝犮；
（２）若犪＝犫，则犪±犮＝犫±犮；
犪 犫
（３）若犪＝犫，则犪犮＝犫犮， ＝ （犮≠０）．
犮 犮
● 不等式有哪些基本性质呢？
利用上述的基本事实，可以证明不等式的下列基本性质．
性质１ 若犪＞犫，则犫＜犪．
性质２ 若犪＞犫，犫＞犮，则犪＞犮．
性质３ 若犪＞犫，则犪＋犮＞犫＋犮．
性质４ 若犪＞犫，犮＞０，则犪犮＞犫犮；
若犪＞犫，犮＜０，则犪犮＜犫犮．
性质５ 若犪＞犫，犮＞犱，则犪＋犮＞犫＋犱．
性质６ 若犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，则犪犮＞犫犱．
性质１ 若犪＞犫，则犫＜犪．
分析 要证犫＜犪，只要证犫－犪＜０．
证明 因为犪＞犫，所以犪－犫＞０．
又因为正数的相反数是负数，所以－（犪－犫）＜０，
即 犫－犪＜０．
所以 犫＜犪．
４７
必修第一册 数学
性质２ 若犪＞犫，犫＞犮，则犪＞犮．
分析 要证犪＞犮，只要证犪－犮＞０．
证明 因为犪＞犫，犫＞犮，所以
犪－犫＞０，犫－犮＞０．
由两个正数的和是正数，得 （犪－犫）＋（犫－犮）＞０，
即 犪－犮＞０．
因此 犪＞犮．
性质３ 若犪＞犫，则犪＋犮＞犫＋犮．
分析 要证犪＋犮＞犫＋犮，只要证（犪＋犮）－（犫＋犮）＞０，即犪－
犫＞０．
证明 因为犪＞犫，所以犪－犫＞０．
又因为 （犪＋犮）－（犫＋犮）＝犪－犫，
所以 （犪＋犮）－（犫＋犮）＞０．
故 犪＋犮＞犫＋犮．
本性质告诉我们，不等式两边都加上（或都减去）同一个实数，不
等号的方向不变．利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等
式的一边移到另一边，即
犪＋犫＞犮犪＞犮－犫．
性质４ 若犪＞犫，犮＞０，则犪犮＞犫犮；若犪＞犫，犮＜０，则
犪犮＜犫犮．
证明 犪犮－犫犮＝ （犪－犫）犮．
因为犪＞犫，所以犪－犫＞０．
因此，当犮＞０时，（犪－犫）犮＞０，从而犪犮＞犫犮；
当犮＜０时，（犪－犫）犮＜０，从而犪犮＜犫犮．
本性质告诉我们，不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向
不变；不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．
性质５ 若犪＞犫，犮＞犱，则犪＋犮＞犫＋犱．
证明 由犪＞犫和性质３，得犪＋犮＞犫＋犮．
还有其他证法吗？
又由犮＞犱和性质３，得犫＋犮＞犫＋犱．
于是，由性质２，得犪＋犮＞犫＋犱．
本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式
和原不等式同向．
性质６ 若犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，则犪犮＞犫犱．
证明 因为犪＞犫＞０，犮＞０，由性质４，得犪犮＞犫犮．
４８
３
不 等 式 第 章
因为犮＞犱＞０，犫＞０，由性质４，得犫犮＞犫犱．
由性质２，得犪犮＞犫犱．
特别地，当犪＝犮，且犫＝犱时，有犪２＞犫２．
以后，我们可以用数学归纳法证明如下结论：
若犪＞犫＞０，则犪狀＞犫狀 （狀∈犖
）．
本性质告诉我们，两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所
得的不等式和原不等式同向．
性质５和性质６也可以看成是前面性质的推论．
以上性质是求解和证明不等式的基础．
１０
例１ 求解不等式９０－ 狋≥８０，并用不等式的性质说明理由．
３
１０
解 不等式９０－ 狋≥８０两边同乘以３，得
３
２７０－１０狋≥２４０． （不等式性质４）
两边同加上－２７０，得－１０狋≥２４０－２７０． （不等式性质３）
即 －１０狋≥－３０．
１
两边同乘以－ ，得狋≤３． （不等式性质４）
１０
例２ 已知犪＞犫，犮＜犱，求证：犪－犮＞犫－犱．
证法１ 由犪＞犫，得犪－犫＞０；由犮＜犱，得犱－犮＞０．
因为 （犪－犮）－（犫－犱）＝ （犪－犫）＋（犱－犮）＞０，所以
犪－犮＞犫－犱．
证法２ 因为犮＜犱，所以－犮＞－犱．
又因为犪＞犫，所以犪＋（－犮）＞犫＋（－犱）．
即 犪－犮＞犫－犱．
例３ 比较两数 （犪２＋１） ２ 与犪４＋犪２＋１的大小．
解 因为（犪２＋１） ２－（犪４＋犪２＋１）
＝犪４＋２犪２＋１－犪４－犪２－１
＝犪２．
当犪＝０时，犪２＝０，所以（犪２＋１） ２＝犪４＋犪２＋１；
当犪≠０时，犪２＞０，所以（犪２＋１） ２＞犪４＋犪２＋１．
练 习 １回答下列问题，并说明理由．
（１）由犪＞犫，能否得到犪犮２＞犫犮２ ？
（２）由犪＞犫，犮＞犱，能否得到犪－犮＞犫－犱？
（３）由犪＞犫，犮＞犱，能否得到犪犮＞犫犱？
４９
必修第一册 数学
２解不等式１０－ ５ 狓≥３，并用不等式的性质说明理由．
２
３比较两数（狓＋１）（狓２－狓＋１）与（狓－１）（狓２＋狓＋１）的大小．
４已知犪＜犫＜０，求证：犪２＞犫２．
５已知犪≥犫＞０，求证：犫≤
犪＋犫
≤犪．
２
习题３．１
感受·理解 １解不等式２－ 狓－１ ＜ 狓＋１ ，并用不等式的性质说明理由．
３ ２
２已知犪≠犫，比较犪２－犪犫与犫犪－犫２ 的大小．
３已知狓≠０，比较（狓２＋２）２ 与狓４＋狓２＋４的大小．
４证明下面的结论：
（１）如果犪＞犫＞０，犮＞犱，且犮＞０，那么犪犮＞犫犱；
（２）如果犪＜犫＜０，犮＜犱＜０，那么犪犮＞犫犱；
１ １
（３）如果犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，那么 ＜ ；
犪犮 犫犱
犲 犲
（４）如果犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，犲＞０，那么 ＜ ．
犪犮 犫犱
５设犿为实数，解关于狓的不等式犿（狓＋２）＜狓＋犿．
１ １ １
６设狓，狔为正数，比较 ＋ 与 的大小．
狓 狔 狓＋狔
１ １
思考·运用 ７已知－１＜狓＜狔＜０，比较 ， ，狓２，狔２ 的大小关系．
狓 狔
８已知犪＜犫＜０，求证：犪４＞犫４．
９已知犪＞犫＞０，求证：
（１）槡犪＞槡犫；
（２）犪＞槡犪犫＞犫．
１ １
１０已知犪＞犫，犪犫≠０，试比较 与 的大小．
犪 犫
探究·拓展 １１已知犫ｇ糖水中含有犪ｇ糖（犫＞犪＞０），若再添加犿ｇ糖（犿＞０）溶解在其
中，则糖水变得更甜（即糖水中含糖浓度变大）．试根据这个事实写出犪，犫，
犿所满足的不等关系，并给予证明．
５０
３
不 等 式 第 章
３．２
犪＋犫
槡犪犫≤ （犪，犫≥０）
基本不等式 ２
把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使
天平平衡，称得物体的质量为犪．如果天平制造得不精确，天平的两臂
长略有不同（其他因素不计），那么犪并非物体的实际质量．不过，我
们可作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘子上，此时称得物
体的质量为犫．那么如何合理地表示物体的质量呢？
简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以
犪＋犫
犃＝
２
表示物体的质量．这样的做法合理吗？
设天平的两臂长分别为犾，犾，物体实际质量为犕，根据力学原
１ ２
理有
犾犕＝犾犪，
１ ２
犾犕＝犾犫．
２ １
将上述两个等式的两边分别相乘，得
犾犾犕２＝犾犾犪犫，
１２ １２
所以 犕＝槡犪犫．
犪＋犫
由此可知，物体的实际质量是 槡犪犫．对于正数犪，犫，我们把
２
称为犪，犫的算术平均数，槡犪犫称为犪，犫的几何平均数．
● 两个正数犪，犫的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大
小关系？
３２１ 基本不等式的证明
犪＋犫
当犪＞０，犫＞０时，我们可以尝试作出长度为槡犪犫和 的两
２
条线段，再比较这两条线段的长．
如图３ ２ １，犃犅是⊙犗的直径，犃犆＝犪，犆犅＝犫，过点犆作
犆犇 犃犅交⊙犗的半圆于点犇，连接犃犇，犅犇，易知 △犃犆犇∽
%
犆犇 犆犃
△犇犆犅，故 ＝ ，得犆犇＝槡犪犫．
犆犅 犆犇
图３ ２ １
５１
必修第一册 数学
犪＋犫
而犗犇＝ ，且犆犇≤犗犇，
２
所以
犪＋犫
槡犪犫≤ ，
２
当且仅当点犆与点犗重合，即犪＝犫时，等号成立．
也就是说，两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当
两个正数相等时，两者相等．
下面证明上述猜想是正确的．
证法１ 对于正数犪，犫，有
犪＋犫 １
－槡犪犫＝ （犪＋犫－２槡犪犫）
２ ２
１
＝ ［（槡犪） ２＋（槡犫） ２－２槡犪槡犫］
２
１
＝
２
（槡犪－槡犫） ２．
犪＋犫 犪＋犫
因为 （槡犪－槡犫） ２≥０，所以
２
－槡犪犫≥０，即 槡犪犫≤
２
．
当且仅当槡犪＝槡犫，即犪＝犫时，等号成立．
证法２ 对于正数犪，犫，要证
犪＋犫
槡犪犫≤ ，
２
只要证 ２槡犪犫≤犪＋犫，
只要证 ０≤犪－２槡犪槡犫＋犫，
只要证 ０≤ （槡犪－槡犫） ２．
犪＋犫
因为最后一个不等式成立，所以 槡犪犫≤ 成立，当且仅当
２
犪＝犫时，等号成立．
证法３ 对于正数犪，犫，有
（槡犪－槡犫） ２≥０，
犪＋犫－２槡犪犫≥０，
犪＋犫≥２槡犪犫，
犪＋犫
≥槡犪犫．
２
当且仅当犪＝犫时，等号成立．
５２
３
不 等 式 第 章
犪＋犫
如果犪，犫是正数，那么槡犪犫≤ （当且仅当犪＝犫时，等号
当犪，犫≥０时， ２
这个不等式仍然成立． 成立）．
犪＋犫
我们把不等式槡犪犫≤ （犪，犫≥０）称为基本不等式．
２
当犪，犫∈犚时，由（犪－犫）２≥０可得
犪２＋犫２≥２犪犫，犪２＋犫２＋２犪犫≥４犪犫，
当犪＞０，犫＞０ 即 犪２＋犫２ ≥犪犫， （犪＋犫） ２ ≥犪犫，
２ ２
时，请用基本不等式
证明这两个不等式． 当且仅当犪＝犫时，其中的等号成立．
从而得到：
当犪，犫∈犚时，
犪２＋犫２
犪犫≤ （当且仅当犪＝犫时，等号成立）；
２
（犪＋犫）
２
犪犫≤ （当且仅当犪＝犫时，等号成立）．
２
这两个不等式通常可以直接使用．
例１ 设犪，犫为正数，证明下列不等式成立：
犫 犪 １ １
（１） ＋ ≥２； （２）犪＋犫＋ ＋ ≥４．
犪 犫 犪 犫
犫 犪
证明 （１）因为犪，犫为正数，所以 ， 也为正数．
犪 犫
由基本不等式，得
犫 犪 犫 犪
槡
＋ ≥２ · ＝２，
犪 犫 犪 犫
犫 犪
当且仅当 ＝ ，即犪＝犫时，取得等号．所以原不等式成立．
犪 犫
１ １
（２）因为犪，犫为正数，所以 ， 也为正数．
犪 犫
由基本不等式，得
１ 槡 １
犪＋ ≥２犪· ＝２，
犪 犪
１ 槡 １
犫＋ ≥２犫· ＝２，
犫 犫
１ １
所以 犪＋犫＋ ＋ ≥４，
犪 犫
１ １
当且仅当犪＝ ，犫＝ ，即犪＝犫＝１时，取得等号．
犪 犫
５３
必修第一册 数学
因此，原不等式成立．
１６
例２ 设狔＝狓＋ ，狓∈ （－２，＋∞），求狔的最小值．
狓＋２
解 因为狓＞－２，所以狓＋２＞０．
由基本不等式，得
１６ １６
狓＋ ＝ （狓＋２）＋ －２
狓＋２ 狓＋２
１６
槡
≥２ （狓＋２）· －２
狓＋２
＝６，
１６
当且仅当狓＋２＝ ，即狓＝２时，等号成立．
狓＋２
因此，当狓＝２时，狔的最小值为６．
练 习 １计算下列两个数的算术平均数与几何平均数（其中狆＞０）：
（ １） ２ ，８ ； （ ２） ３ ，１ ２ ； （ ３） 狆 ， ９狆 ； （４）２，２狆２．
２如图，我国古代的“弦图”是由四个全等的直角三角形围成的．设直角三角形
的直角边长为犪，犫，根据图示，大正方形的面积与四个小直角三角形的面积
之和存在不等关系，用犪，犫表示这种关系．
（第２题）
３证明：
１ １
（１）犪＋ ≥３（犪＞１）； （２）狓＋ ≤－２（狓＜０）．
犪－１ 狓
９
４求４狓２＋ 的最小值．
狓２
５．设０°＜α＜９０°，利用直角三角形三边关系，证明１＜ｓｉｎα＋ｃｏｓα≤槡２．
３２２ 基本不等式的应用
犪＋犫
基本不等式槡犪犫≤ （犪，犫≥０）常用于证明一些不等式以及
２
求某些函数的最大值或最小值．
例３ 用长为４犪的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的
５４
３
不 等 式 第 章
面积最大？
解 设矩形长为狓（０＜狓＜２犪），则宽为２犪－狓，矩形面积为
犛＝狓（２犪－狓），
且狓＞０，２犪－狓＞０．
由基本不等式，得
狓＋（２犪－狓）
槡狓（２犪－狓）≤ ＝犪．
也可转化为求二
２
次函数犛＝狓（２犪－狓）
上式当且仅当狓＝２犪－狓，即狓＝犪时，等号成立．
的最大值．
由此可知，当狓＝犪时，犛＝狓（２犪－狓）取得最大值犪２．
答 将铁丝围成正方形时面积最大，最大面积为犪２．
例４ 某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为
４８００ｍ３ ，深度为３ｍ．如果池底每平方米的造价为１５０元，池壁每平
方米的造价为１２０元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价为
多少元？
解 设总造价为狔元（狔＞０），池底的一边长为狓ｍ（狓＞０），则另一边
４８００ １６００
长为 ｍ，即 ｍ．由题中条件可得
３狓 狓
４８００ （ １６００）
狔＝１５０× ＋２×１２０×３× 狓＋
３ 狓
（ １６００）
＝１５０×１６００＋７２０狓＋ ．
狓
１６００
由题意知狓＞０，及狓＋ ≥２槡１６００＝８０（当且仅当狓＝４０
狓
时，等号成立），所以
狔≥１５０×１６００＋７２０×８０＝２９７６００，且狓＝４０时，取得等号．
答 当水池设计成底面边长为４０ｍ的正方形时，总造价最低，
为２９７６００元．
对于正数犪，犫，在运用基本不等式时，应注意：
（１）和犪＋犫为定值时，积犪犫有最大值（如例３）；积犪犫为定值时，
和犪＋犫有最小值（如例４）．
（ 犪＋犫）
（２）取等号的条件 当且仅当犪＝犫时，槡犪犫＝ ．
２
例５ 如图３ ２ ２，在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犃犆＝犫，
１ ２
犅犆＝犪，且 ＋ ＝１．当 △犃犅犆的面积最小时，求犪，犫的值．
犪 犫
解 由题意知犪＞０，犫＞０，由基本不等式，得
图３ ２ ２
５５
必修第一册 数学
１ ２ 槡２
＋ ≥２ ．
犪 犫 犪犫
１ ２ 槡２
因为 ＋ ＝１，所以１≥２ ，故犪犫≥８．
犪 犫 犪犫
１ １ ２
于是，犛 ＝ 犪犫≥４，当且仅当 ＝ ，即犪＝２，犫＝４时，
△犃犅犆 ２ 犪 犫
等号成立．
因此，当△犃犅犆的面积最小时，犪＝２，犫＝４．
例６ 如图３ ２ ３，一份印刷品的排版面积（矩形）为犃，它的
两边都留有宽为犪的空白，顶部和底部都留有宽为犫的空白．如何选
择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？
解 设纸张的面积为犛，排版矩形的长和宽分别是狓，狔（狓＞０，
狔＞０），则狓狔＝犃．
犛＝ （狓＋２犪）（狔＋２犫）
＝狓狔＋２犫狓＋２犪狔＋４犪犫
≥狓狔＋２槡４犪犫狓狔＋４犪犫
＝犃＋４槡犪犫犃＋４犪犫
图３ ２ ３ ＝ （槡犃＋２槡犪犫） ２．
犃犪 犃犫
当且仅当２犫狓＝２犪狔，即狓＝ 槡 ，狔＝ 槡 时，犛有最小值
犫 犪
（槡犃＋２槡犪犫） ２ ，此时纸张的长和宽分别为槡 犃 犫 犪 ＋２犪和槡 犃 犪 犫 ＋２犫．
答 当纸张的长和宽分别为槡 犃犪 ＋２犪和槡 犃犫 ＋２犫时，纸张的用
犫 犪
量最少．
练 习 １若犿＞０，狀＞０，犿狀＝８１，则犿＋狀的最小值是（ ）．
Ａ ． ４ Ｂ ． ４ 槡３
Ｃ．９ Ｄ．１８
２若直角三角形的面积为５０，则两条直角边的和的最小值是（ ）．
Ａ．５槡２ Ｂ．１０
Ｃ．１０槡２ Ｄ．２０
３设狓＞０，狔＞０，且２狓＋５狔＝２０，求狓狔的最大值．
４将一段圆木制成横截面是矩形的柱子，怎样加工才能使横截面的面积最大？
５如图，质量是犠的重物挂在杠杆上距支点犪处．质量均匀的杆子每单位长
度的质量为犿．杠杆应当多长，才能使得加在另一端用来平衡重物的力犉
（第５题） 最小？
５６
３
不 等 式 第 章
习题３．２
感受·理解 １证明下列不等式：
（ ）
（１）犪２＋犫２≥２犪＋２犫－２； （２）
犪＋犫２
≤
犪２＋犫２
；
２ ２
２
（３）若犪，犫∈（０，＋∞），则 ≤ 槡犪犫．
１ １
＋
犪 犫
１ １
２设狓＞０，狔＞０，且狓狔＝４，求 ＋ 的最小值．
狓 狔
３证明：
１ 狓２＋３
（１）狓２＋ ≥１； （２） ＞２．
狓２＋１ 槡狓２＋２
８
４求１＋２狓２＋ 的最小值．
狓２
（ ）（ ）
１ １
５．设犪，犫是正实数，求证：犪＋ 犫＋ ≥４．
犪 犫
６如图，墙角线互相垂直，长为犪ｍ的木棒犃犅的两个端点分别在这两墙角线
上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大？
（第６题）
犪＋犮 犪＋犱
７已知犪，犫，犮，犱都是正数，且犪＜犫，犮＜犱，求证： ＜ ．
犫＋犮 犫＋犱
４
思考·运用 ８当狓≠０时，求狓＋ 的取值范围．
狓
９如图，电路中电源的电动势为犈，内阻为狉，犚 为固定电阻，犚 是一个滑动
（ １ ） ２
变阻器．已知犚 消耗的电功率为犘＝ 犈 ２ 犚．当犚 调至何值时，
２ 狉＋犚＋犚 ２ ２
（ ） １ ２
犈 ２ 犚 最大？最大值是多少？
狉＋犚＋犚 ２
１ ２
１０某种产品的两种原料相继提价，产品生产者决定根据这两种原料提价的百
（第９题）
分比，对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价狆％，第二次提价狇％；
方案乙：第一次提价狇％，第二次提价狆％；
狆＋狇 狆＋狇
方案丙：第一次提价 ％，第二次提价 ％．
２ ２
其中狆＞狇＞０，比较上述三种方案，哪一种提价少？哪一种提价多？
探究·拓展 １１（阅读题）甲、乙两同学分别解“设狓∈［１，＋∞），求函数狔＝２狓２＋１的最
小值”的过程如下：
甲：狔＝２狓２＋１≥２槡２狓２·１＝２槡２狓，又狓≥１，所以２槡２狓≥２槡２．
从而狔≥２槡２狓≥２槡２，即狔的最小值是２槡２．
乙：因为狔＝２狓２＋１在区间［１，＋∞）上的图象随着狓增大而逐渐上升，即
狔随狓增大而增大，所以狔的最小值是２×１２＋１＝３．
试判断谁错，错在何处？
５７
必修第一册 数学
３．３
从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
我们知道，一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间有着
密切的联系．例如，可以借助函数狔＝２狓－３的图象来求解２狓－３＝
０，２狓－３＞０，２狓－３＜０．反过来，也可以通过求解２狓－３＝０，
２狓－３＞０，２狓－３＜０，来深入理解函数狔＝２狓－３的性质．那么，
● 怎样从函数观点进一步解决方程、不等式的问题？
３．３．１ 从函数观点看一元二次方程
从函数的观点看，方程狓２－２狓－３＝０的两个根狓
１
＝－１，狓
２
＝
３，就是二次函数狔＝狓２－２狓－３当函数值取零时自变量狓的值，即二
次函数狔＝狓２－２狓－３的图象与狓轴交点的横坐标．这时，我们称
－１，３为二次函数狔＝狓２－２狓－３的零点．
一般地，一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的根就是二次函
数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）当函数值取零时自变量狓的值，即二次函
数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）的图象与狓轴交点的横坐标，也称为二次
函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）的零点．
当犪＞０时，一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的根、二次函数狔＝
犪狓２＋犫狓＋犮的图象、二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的零点之间的关系如
表３ ３ １所示：
表３ ３ １
判别式Δ＝犫２－４犪犮 Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０
方程 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根
犪狓２＋犫狓＋犮＝０
狓 ＝
－犫±槡犫２－４犪犮
狓＝狓＝－
犫 没有实数根
的根 １，２ ２犪 １ ２ ２犪
二次函数
狔＝犪狓２＋犫狓＋犮
的图象
二次函数 有两个零点 有一个零点
狔＝犪狓２＋犫狓＋犮
狓 ＝
－犫±槡犫２－４犪犮
狓＝－
犫 无零点
的零点 １，２ ２犪 ２犪
５８
３
不 等 式 第 章
当犪＜０时，一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的根、二次函数狔＝
犪狓２＋犫狓＋犮的图象、二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的零点之间的关系请
同学们自行完成（见练习１）．
例１ 求证：二次函数狔＝２狓２＋３狓－７有两个零点．
分析 要证明二次函数狔＝２狓２＋３狓－７有两个零点，只需证明
一元二次方程２狓２＋３狓－７＝０有两个不相等的实数根即可．
证明 考察一元二次方程２狓２＋３狓－７＝０．
因为 Δ＝３２－４×２×（－７）＝６５＞０，
所以方程２狓２＋３狓－７＝０有两个不相等的实数根．
因此，二次函数狔＝２狓２＋３狓－７有两个零点．
例２ 判断二次函数狔＝狓２－２狓－１在区间（２，３）上是否存在
零点．
可以作出函数图 解 根据求根公式可得一元二次方程狓２－２狓－１＝０的两个根
象进行直观判断． 分别为 狓＝１＋槡２，狓＝１－槡２．
１ ２
因为 １＜槡２＜２，
所以 ２＜１＋槡２＜３．
因此，二次函数狔＝狓２－２狓－１在区间（２，３）上存在零点．
练 习 １当犪＜０时，请填下表：
判别式Δ＝犫２－４犪犮 Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０
方程
犪狓２＋犫狓＋犮＝０
的根
二次函数
狔＝犪狓２＋犫狓＋犮
的图象
二次函数
狔＝犪狓２＋犫狓＋犮
的零点
２画出二次函数狔＝狓２－狓－２的图象，并指出该函数的零点．
３求下列二次函数的零点：
（１）狔＝（狓＋１）（狓－１）；
（２）狔＝狓２－４狓；
（３）狔＝－３狓２－９；
（４）狔＝－狓２＋２狓－１．
５９
必修第一册 数学
３．３．２ 从函数观点看一元二次不等式
我们来看下面的问题：
某杂志以每册２元的价格发行时，发行量为１０万册．经过调查，
若单册价格每提高０．２元，则发行量就减少５０００册．要使杂志社的
销售收入大于２２．４万元，每册杂志的价格应定在怎样的范围内？
设每册杂志价格提高狓元，则发行量减少
狓 ５狓
０．５× ＝
０．２ ２
（ ）
５狓
万册，杂志社的销售收入为 （２＋狓）１０－ 万元．
２
（ ）
５狓
根据题意，得 （２＋狓）１０－ ＞２２．４，
２
化简，得 ５狓２－１０狓＋４．８＜０．
像这样只含有一个未知数，并且未知数最高次数是２的整式不等
式叫作一元二次不等式．
我们知道，一元二次方程和相应的二次函数有着密切的联系，一
元二次方程的根就是相应二次函数的图象与狓轴交点的横坐标．
那么，
● 一元二次不等式和相应的二次函数是否也有内在的联系？
当犪＞０时，我们有表３ ３ ２：
表３ ３ ２
判别式Δ＝犫２－４犪犮 Δ＞０ Δ＝０ Δ＜０
方程 有两个相等的实数根
有两个相异的实数根
犪狓２＋犫狓＋犮＝０ 犫 没有实数根
狓，狓（狓＜狓） 狓＝狓＝－
的根 １ ２ １ ２ １ ２ ２犪
二次函数
狔＝犪狓２＋犫狓＋犮
的图象
（ ） （ ）
犪狓２＋犫狓＋犮＞０
（－∞，狓）∪（狓，＋∞） －∞，－
犫
∪ －
犫
，＋∞ 犚
的解集 １ ２ ２犪 ２犪
犪狓２＋犫狓＋犮＜０
（狓，狓）
的解集 １ ２
６０
３
不 等 式 第 章
当犪＜０时，通过不等式两边同乘以－１，可将问题转化为二次项
系数为正的情形，利用表３ ３ ２解决．
例１ 解下列不等式：
（ １） 狓 ２－ ７ 狓 ＋ １２ ＞ ０ ； （ ２） － 狓 ２－ ２ 狓 ＋３≥０；
（３）狓２－２狓＋１＜０； （４）狓２－２狓＋２＞０．
解 （１）方程狓２－７狓＋１２＝０的解为狓＝３，狓＝４．
１ ２
根据狔＝狓２－７狓＋１２的图象（图３ ３ １（１）），可得原不等式的
解集为
｛狓狘狓＜３或狓＞４｝．
（２）不等式两边同乘以－１，得
对于二次项系数
为负数的不等式，可以
狓２＋２狓－３≤０．
先把二次项系数化成
正数，然后再求解． 方程狓２＋２狓－３＝０的解为狓＝－３，狓＝１．
１ ２
根据狔＝狓２＋２狓－３的图象（图３ ３ １（２）），可得原不等式的解
集为
｛狓狘－３≤狓≤１｝．
图３ ３ １
（３）方程狓２－２狓＋１＝０有两个相同的解狓＝狓＝１．
１ ２
根据狔＝狓２－２狓＋１的图象（图３ ３ １（３）），可得原不等式的解
集为．
（４）因为Δ＜０，所以方程狓２－２狓＋２＝０无实数解．
根据狔＝狓２－２狓＋２的图象（图３３ １（４）），可得原不等式的解
集为犚．
练 习 １（１）不等式（狓－１）（狓－３）＞０的解集为（ ）．
Ａ ． ｛狓 ｜狓 ＜ １ ｝ Ｂ ． ｛狓 ｜狓 ＞ ３ ｝
Ｃ．｛狓｜狓＜１或狓＞３｝ Ｄ．｛狓｜１＜狓＜３｝
（２）不等式－狓２＋２狓－４＞０的解集为（ ）．
Ａ．犚 Ｂ．
Ｃ．｛狓｜狓＞０，狓∈犚｝ Ｄ．｛狓｜狓＜０，狓∈犚｝
２解下列不等式：
（１）狓２＋４狓－１２＞０； （２）狓２－狓＋１≤０；
６１
必修第一册 数学
（３）２狓２－５狓＋３＜０； （４）３狓２－狓－４＞０；
（５）２狓２＋４狓＋３＞０； （６）９狓２－６狓＋１≤０．
３解下列不等式：
（１）－６狓２－狓＋２＜０； （２）１－４狓２＞４狓＋２；
（３）１－３狓＜狓２； （４）（狓－２）（狓＋２）＞１．
４当狓是什么实数时，函数狔＝－狓２＋５狓＋１４的值是：
（１）０？
（２）正数？
（３）负数？
５（１）已知集合犕＝｛狓狘－４≤狓≤７｝，犖＝｛狓狘狓２－狓－６＞０｝，求犕∩犖；
（２）已知集合犃＝｛狓狘狓２－４狓＋３＜０｝，犅＝｛狓狘（狓－２）（狓－５）＜０｝，
求犃∪犅．
例２ 用一根长为１００ｍ的绳子能围成一个面积大于６００ｍ２
的矩形吗？当长、宽分别为多少米时，所围成的矩形的面积最大？
解 设矩形一边的长为狓ｍ，则另一边的长为 （５０－狓）ｍ，其中
０＜狓＜５０．
由题意，得 狓（５０－狓）＞６００，
即 狓２－５０狓＋６００＜０，
解得 ２０＜狓＜３０．
所以，当矩形一边的长在２０ｍ至３０ｍ的范围内取值时，能围成
一个面积大于６００ｍ２ 的矩形．
你能用基本不等
用犛表示矩形的面积，则
式来求狓（５０－狓）的 犛＝狓（５０－狓）
最大值吗？
＝－（狓－２５） ２＋６２５（０＜狓＜５０）．
当狓＝２５时，犛取得最大值，此时５０－狓＝２５．
答 当矩形的长、宽都为２５ｍ时，所围成的矩形的面积最大．
例３ 某小型服装厂生产一种风衣，日销货量狓件（狓∈犖
）与
货价狆元／件之间的关系为狆＝１６０－２狓，生产狓件所需成本为犆＝
５００＋３０狓元．问：该厂日产量多大时，日获利不少于１３００元？
解 由题意，得 （１６０－２狓）狓－（５００＋３０狓）≥１３００，
化简，得 狓２－６５狓＋９００≤０，
解得 ２０≤狓≤４５．
答 该厂日产量在２０件至４５件时，日获利不少于１３００元．
例４ 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑
行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分
析事故产生原因的一个重要因素．
６２
３
不 等 式 第 章
在一个限速为４０ｋｍ／ｈ的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现
情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距
离小于１２ｍ，乙车的刹车距离略超过１０ｍ．又知甲、乙两种车型的刹车
距离狊（单位：ｍ）与车速狓（单位：ｋｍ／ｈ）之间分别有如下关系：
一般来说，刹车 狊 ＝０．１狓＋０．０１狓２ ， 狊 ＝０．０５狓＋０．００５狓２．
甲 乙
距离与车速是二次函
问：甲、乙两车有无超速现象？
数关系．
分析 根据汽车的刹车距离可以估计汽车的车速．
解 由题意知，对于甲车，有 ０．１狓＋０．０１狓２＜１２，
即 狓２＋１０狓－１２００＜０，
解得 －４０＜狓＜３０．
这表明甲车的车速低于３０ｋｍ／ｈ，未超过规定限速．
对于乙车，有 ０．０５狓＋０．００５狓２＞１０，
即 狓２＋１０狓－２０００＞０，
解得狓＞４０或狓＜－５０（不合实际意义，舍去）．
这表明乙车的车速超过４０ｋｍ／ｈ，超过规定限速．
答 甲车未超过规定限速，乙车超过规定限速．
练 习 １如果某厂扩建后计划后年的产量不低于今年的２倍，那么明、后两年每年的
平均增长率至少是多少？
２销售某种商品，单价为犪元时，销售量是犫．经市场调研可以预测，若单价上
犿
涨犿％，则销售量将减少 ．为了使该商品的销售金额最大，犿应定为
１５０
多少？
３国家为了加强对饮用酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策．已知某种酒
每瓶７０元，不征收附加税时，每年大约销售１００万瓶；若政府征收附加税，
每销售１００元要征税犚元（叫作税率犚％），则每年的销售量将减少１０犚万
瓶．要使每年在此项经营中所收取的附加税不少于１１２万元，犚应怎样
确定？
习题３．３
感受·理解 １证明：函数狔＝狓２－狓＋１没有零点．
２设犿为实数，若函数狔＝狓２－犿狓＋２有且只有一个零点，求犿的值．
３设犽为实数，若方程狓２－３狓＋犽－３＝０有实数根，求犽的取值范围．
４证明：函数狔＝５狓２－７狓－１的一个零点在区间（－１，０）内，另一个零点在
区间（１，２）内．
５解下列不等式：
（１）狓（狓－１）≤０； （２）（狓＋１）（狓－５）＞０；
（３）狓２－６狓＋９≤０； （４）３狓２－７狓＋２＞０；
６３
必修第一册 数学
（５）－２狓２－狓＋６≥０； （６）狓２＋狓＋１＞０．
６解下列不等式：
（１）２狓２－３狓＞２； （２）３狓２－５狓＋４＞０；
（３）狓（狓＋２）＜狓（３－狓）＋１； （４）（３狓－１）（狓＋１）＞４．
７当狓是什么实数时，函数狔＝－狓２－８狓＋２０的值是：
（１）０？
（２）正数？
（３）负数？
８制作一个高为２０ｃｍ的长方体容器，底面矩形的长比宽多１０ｃｍ，并且容积
不少于４０００ｃｍ３．问：底面矩形的宽至少应是多少？
９已知二次函数狔＝狓２＋犫狓＋犮的图象与狓轴交于犃（－１，０），犅（２，０）两
点，求关于狓的不等式狓２＋犫狓＋犮＞０的解集．
思考·运用 １０设犿为实数，已知二次函数狔＝狓２－５狓＋犿的两个零点都在区间（０，＋∞）
内，求犿的取值范围．
１１（１）犽是什么实数时，方程狓２＋２（犽－１）狓＋３犽２－１１＝０有两个不相等的
实数根？
（２）已知不等式狓２－２狓＋犽２－１＞０对一切实数狓恒成立，求实数犽的取
值范围．
１２已知不等式犪狓２＋犫狓－１＞０的解集是｛狓狘３＜狓＜４｝，求实数犪，犫的值．
１３如图，某房地产开发公司要在矩形地块犃犅犆犇上规划出一块矩形地块
犘犙犆犚建造住宅区．为了保护文物，住宅区不能超越文物保护区△犃犈犉的
界线犈犉．由实地测量知，犃犅＝２００ｍ，犃犇＝１６０ｍ，犃犈＝６０ｍ，犃犉＝
４０ｍ．问：怎样设计矩形住宅区的长和宽，才能使其面积最大？最大面积
是多少？
（第１３题）
１４已知某公司每天生产的某种产品的数量狓（单位：百件）与其成本狔（单位：
千元）之间的函数解析式可以近似地用狔＝犪狓２＋犫狓＋犮表示，其中犪，犫，犮
为常数．现有实际统计数据如下表所示：
产品数量狓／百件 ６ １０ ２０
成本狔／千元 １０４ １６０ ３７０
（１）求犪，犫，犮的值；
（２）若每件产品销售价为２００元，则该公司每天生产多少产品时才能盈利？
（假设每天生产的产品可以全部售完）
探究·拓展 １５（阅读题）重新考察不等式５狓２－１０狓＋４．８＜０．这个不等式的左边可分解
因式为（狓－１．２）（５狓－４）．根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元
６４
３
不 等 式 第 章
一次不等式组
烄狓－１．２＜０， 烄狓－１．２＞０，
（１）烅 和 （２）烅
烆５狓－４＞０ 烆５狓－４＜０
的两个解集的并集．
不等式组（１）的解为０．８＜狓＜１．２，不等式组（２）无解，从而不等式
５狓２－１０狓＋４．８＜０的解集为｛狓狘０．８＜狓＜１．２｝．
试用上述方法解下面的不等式：
（１）（２狓－３）（狓＋１）＞０； （２）（１－狓）（２＋狓）≥０；
狓－１ １－２狓
（３） ＜０； （４） ≤０．
狓＋３ 狓＋４
６５
必修第一册 数学
问题与探究 基本不等式的推广
犪＋犫
我们已知基本不等式槡犪犫≤ （犪，犫≥０），那么，对于３个正
２
数犪，犫，犮，是否有
犪＋犫＋犮
槡３犪犫犮≤ ？
３
对于４个正数犪，犫，犮，犱，是否有
犪＋犫＋犮＋犱
槡４犪犫犮犱≤ ？
４
给出一些具体数，借助计算机（器）验证一下，并尝试给出证明．
你还会有什么猜想？
６６
３
不 等 式 第 章
阅 读 不等号的演变
在早期，人们使用文字或象征性记号来记述不等关系．例如，荷
兰数学家吉拉尔（Ａ．Ｇｉｒａｒｄ，１５９５—１６３２）在他１６２９年所著《代数新
发现》一书中，使用下面记号：
犃ｆｆ犅 表示犃大于犅，犅§犃 表示犅小于犃．
１６３１年，英国数学家奥特雷德（Ｗ．Ｏｕｇｈｔｒｅｄ，１５７４—１６６０）在
《数学入门》一书中，用符号：
表示大于， 表示小于．
也有传说，用符号：
表示大于， 表示小于．
１６３４年，法国数学家厄里岗（Ｐ．Ｈｅｒｉｇｏｎｅ）在《数学教程》一书
中，采用符号：
犪３Ｉ２犫 表示犪大于犫，犫２Ｉ３犪 表示犪小于犫．
他的意思是说，因为３＞２，所以犪３＞２犫（犪，犫为正数），故犪＞犫，
小于号的意思也是这样的．
１６３１年，英国数学家、望远镜发明者哈里奥特（Ｔ．Ｈａｒｒｉｏｔ，
１５６０—１６２１）去世后１０周年，人们出版了他的遗著《分析术实例》．在
这本书中，他写道：
大于的记号：犪＞犫表示犪量大于犫量，
小于的记号：犪＜犫表示犪量小于犫量．
这一简洁优美的记号，不管后人采用怎样的方式去创造不等号，
最终都无法取代“＞”“＜”两个记号．“＞”“＜”直到１８世纪初才被广
泛使用．
至于“≠”“≯”“≮”的出现，乃是近代之事．一般人不使用“≮”
“≯”，而使用“≥”“≤”（或“”“”）两个记号，表示“大于或等于”
“小于或等于”．
在数学史上，也有数学家使用“ ”表示“等于或大于”，“ ”表示
“等于或小于”．
在少数数学著作中，也出现用“∨”表示小于，“∧”表示大于．例
如，２∨３表示“２小于３”，９∧７表示“９大于７”，这种写法没有得到广
泛传播，更多的数学书只将符号“∨”表示“＜”“＞”“≤”“≥”中的一
种．例如，犪∨犫表示“犪＞犫”“犪＜犫”“犪≤犫”“犪≥犫”中的一种．
高等数学中，还出现“”表示“远小于”，“”表示“远大于”．
在有些计算机语言中，使用“＜＞”表示“不等于”，“＞＝”表示
“大于或等于”，“＜＝”表示“小于或等于”．
６７
必修第一册 数学
本章回顾
本章研究了不等式的基本性质及基本不等式的应用，探讨了二
次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系．
不等式是刻画现实世界中不等关系的数学模型，在实际问题中
有着广泛的应用．
学习本章时应注重体会类比、数形结合等数学思想的应用，学会
通过二次函数图象理解一元二次不等式与一元二次方程、二次函数
的联系，并能解释基本不等式的几何意义．在此基础上，体会不等式
在解决实际问题中的作用，进一步提高解决实际问题的能力．
复 习 题
感受·理解 １设犪，犫，犮，犱是实数，求证：（犪２＋犫２）（犮２＋犱２）≥（犪犮＋犫犱）２．
４
２求函数狔＝２－３狓－ （狓＞０）的最大值．
狓
１
３设实数狓满足狓＞－１，求函数狔＝狓＋ 的最小值．
狓＋１
４设圆的半径为狉，求半圆上一点到直径两端点距离之和的最大值．
５解下列不等式：
（ １） ２狓 ２ ＋ ５狓 － ３ ＞ ０ ；
（２）２＋狓－狓２≤０；
（３）狓４－狓２－２≥０；
（４）２狓－槡狓＞１．
６设犪，犫，犮为实数，不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０的解集是｛狓狘狓＜１或狓＞３｝，
求犪∶犫∶犮．
６８
３
不 等 式 第 章
７设犿为实数，已知函数狔＝狓２－（犿－１）狓－２犿有两个零点，求犿的取值
范围．
８以速度狏（单位：ｍ／ｓ）从地面竖直向上发射子弹，经过时间狋（单位：ｓ）的
子弹高度犺（单位：ｍ）可由二次函数犺＝狏狋－４．９狋２ 确定．已知发射后第
５ｓ末时的子弹高度为２４５ｍ，试求子弹在２４５ｍ以上的高度能持续多长
时间．
９一个动力船拖动载重量相等的小船若干只，在两个港口之间来回运货．若拖
４只小船，则每天能往返１６次；若拖７只小船，则每天能往返１０次．已知增
加的小船只数与相应减少的往返次数成正比例．试问：每次拖多少只小船
时，能使每天运货总量最大？
思考·运用 １０设犪，犫，犮，狓，狔，狕都是正数，求证：
犫＋犮 犮＋犪 犪＋犫
狓２＋ 狔２＋ 狕２≥２（狓狔＋狔狕＋狕狓）．
犪 犫 犮
１１设犪，犫，犮，犱为实数，求证：犪犫＋犫犮＋犮犱＋犱犪≤犪２＋犫２＋犮２＋犱２．
１２函数狔＝犪狓３＋犫狓２＋犮狓＋犱的图象如图所示．
（１）方程狔＝０的根是 ；
（２）不等式狔＜０的解集是 ；
（３）不等式狔＞０的解集是 ．
（第１２题）
１３设犿为实数，狔＝（犿＋１）狓２－犿狓＋犿－１．
（１）若方程狔＝０有实数根，则犿的取值范围是 ；
（２）若不等式狔＞０的解集为，则犿的取值范围是 ；
（３）若不等式狔＞０的解集为犚，则犿的取值范围是 ．
１４汽车在行驶过程中，遇到特别情况需要刹车，从刹车（刹死车轮）到停止汽车
所走过的路程称为刹车距离．
已知某汽车的刹车距离狊（单位：ｍ）与速度狏（单位：ｍ／ｓ）之间的关系
可近似表示为狊＝０．０７２狏２．若该汽车在某路段行驶过程中，前方８０ｍ处可
能会突然出现障碍物，驾驶员从发现障碍物到刹车需经过０．８ｓ的反应时
间，为了安全，汽车必须在障碍物前５ｍ处停住．问：这辆汽车在该路段最
大限制速度是多少？
１ １
１５设正数狓，狔满足下列条件，分别求 ＋ 的最小值．
狓 狔
（１）狓＋狔＝１；
（２）狓＋２狔＝１．
６９
必修第一册 数学
探究·拓展 １６如图，犃犅犇犆为梯形，其中犃犅＝犪，犆犇＝犫，设犗为对角线的交点．犌犎表
示平行于两底且与它们等距离的线段（即梯形的中位线），犓犔表示平行于
两底且使梯形犃犅犔犓与梯形犓犔犇犆相似的线段，犈犉表示平行于两底且过
点犗的线段，犕犖表示平行于两底且将梯形犃犅犇犆分为面积相等的两个梯
形的线段．
（第１６题）
犪＋犫 ２
试研究线段犌犎，犓犔，犈犉，犕犖与代数式 ，槡犪犫， ，
２ １ １
＋
犪 犫
槡犪２＋犫２
之间的关系，并据此推测它们之间的一个大小关系．你能用基本不
２
等式证明所得到的猜测吗？
７０
３
不 等 式 第 章
本章测试
一、填空题 １．不等式狓２＋２狓－８≥０的解集是 ．
２．设犿为实数，若二次函数狔＝狓２－２狓＋犿在区间（１，＋∞）上有且仅有一
个零点，则犿的取值范围是 ．
４
３．若狓＞０，则２＋３狓＋ 的最小值等于 ．
狓
４．设犪，犫为正实数，若犪＋犫＝４，则犪犫的最大值是 ．
５．设犽为实数，若关于狓的一元二次方程狓２＋犽狓＋犽＋１＝０没有实数根，则犽
的取值范围是 ．
６．某公司一年购买某种货物４００ｔ，每次都购买狓ｔ，运费为４万元／次，一年的
总存储费用为４狓万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则狓的
值为 ．
二、选择题 ７．若实数狓，狔满足狓狔＝１，则狓２＋狔２ 的最小值是（ ）．
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．４ Ｄ．８
８．若犪＜犫＜０，则（ ）．
１ １ 犪 犫 犪
Ａ． ＜ Ｂ．０＜ ＜１ Ｃ．犪犫＞犫２ Ｄ． ＞
犪 犫 犫 犪 犫
９．设犪，犫，犿均为正数，且犪＜犫，那么（ ）．
犪＋犿 犪 犪＋犿 犪
Ａ． ＜ Ｂ． ＝
犫＋犿 犫 犫＋犿 犫
犪＋犿 犪 犪＋犿 犪
Ｃ． ＞ Ｄ． 与 的大小随犿变化而变化
犫＋犿 犫 犫＋犿 犫
１０．下列命题中不正确的是（ ）．
１ １
Ａ．当狓＞１时，狓＋ ≥２ Ｂ．当狓＜０时，狓＋ ＜－２
狓 狓
１ ２
Ｃ．当０＜狓＜１时，槡狓＋ ≥２ Ｄ．当狓＞２时，槡狓＋ ≥２槡２
槡狓 槡狓
三、解答题
１１．已知不等式狓２－２狓－３＜０的解集为犃，不等式狓２＋狓－６＜０的解集为
犅，求犃∩犅．
１２．设犽为实数，若关于狓的不等式２狓２－犽狓－犽＞０恒成立，求犽的取值范围．
１ １
１３．设正数犪，犫满足犪＋犫＝２，求证： ＋ ≥２．
犪 犫
１４．设犪＞０，犫＞０，求证：犪５＋犫５≥犪４犫＋犪犫４．
１５．某单位要建造一间地面面积为１２ｍ２ 的背靠墙的长方体形小房，房屋正面
的造价为１２００元／ｍ２，房屋侧面的造价为８００元／ｍ２，屋顶的造价为５８００
元．如果墙高３ｍ，且不计房屋背面的费用，问：怎样设计房屋能使总造价
最低？最低总造价是多少？
７１
第４章 指数与对数
必修第一册 数学
我们欣赏数学，我们需要数学．
陈省身
对数的发明“以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”．
拉普拉斯
在初中，我们就知道了
１
犪 －狀＝ （犪≠０，狀∈犖）．
犪狀
这样，指数幂的概念中，指数的范围就从正整数拓展到了负整
数．自然地，我们想知道：指数幂中的指数的范围能否再拓展呢？
例如，犪１有意义吗？
２
设想将整数指数运算犪犿犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀∈犣）进行推广．
１
令犿＝狀＝ ，得
２
犪１·犪１ ＝ （犪１）２＝犪１×２＝犪＝犪１＋１．
２ ２ ２ ２ ２ ２
这说明，如果将犪１ 看成一个数，那么它是犪的平方根．用同样的
２
思路，我们可以获得犪狀（犿，狀∈犖，犿≠０）的意义．
犿
这样，我们将指数幂犪犫 中指数犫的范围从正整数推广到负整数、
分数．
更一般地，
● 对一般的实数犫，犪犫 的意义是什么？
７４
４
指数与对数 第 章
４．１
指数
某种细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个分裂成４个，４个分裂
成８个……如果分裂一次需要１０ｍｉｎ，那么，１个细胞１ｈ后分裂成
多少个细胞？
假设细胞分裂的次数为狓，相应的细胞个数为狔，则
狔＝２狓．
由题中条件可知，狓＝６０÷１０＝６，
那么，当狓＝６时，
狔＝２６＝６４，
即１个细胞１ｈ后分裂成６４个细胞．
１
在上述例子中，狓只能取正整数．可以规定２ －狓＝ 和２０＝１，使
２狓
得２狓 对狓取负整数和０也是有意义的．那么，
●２狓 中的狓能取分数甚至无理数吗？
４．１．１ 根式
我们知道，如果狓２＝犪，那么狓称为犪的平方根；如果狓３＝犪，那
么狓称为犪的立方根．
一般地，如果狓狀＝犪（狀＞１，狀∈犖 ），那么称狓为犪的狀次方
根（狀ｔｈｒｏｏｔ）．
当狀为奇数时，正数的狀次方根是一个正数，负数的狀次方根是
一个负数．这时，犪的狀次方根只有一个，记为狓＝狀槡犪．例如，
３３＝２７３＝槡３２７；
（－２） ３＝－８－２＝槡３－８；
狓３＝６狓＝３槡６．
当狀为偶数时，正数的狀次方根有两个，它们互为相反数．这时，
正数犪的正的狀次方根用符号狀槡犪表示，负的狀次方根用符号－狀槡犪表
示，它们可以合并写成±狀槡犪（犪＞０）的形式．例如，
这里±４槡６是指 狓４＝６狓＝±４槡６；
两个值，即４槡６和－４槡６． 狓２＝３狓＝±槡３．
７５
必修第一册 数学
需要注意的是，０的狀次方根等于０．
式子狀槡犪叫作根式（ｒａｄｉｃａｌ），其中狀叫作根指数，犪叫作被开方数．
例１ 求下列各式的值：
（１）（槡５）
２
； （２）（槡３－２）
３
；
（３）槡４（－２） ４ ； （４）槡（３－π） ２．
解 （１）（槡５） ２＝５．
（２）（ 槡３－２ ） ３＝－２．
（３）槡４（－２） ４ ＝槡４２４ ＝２．
（４）槡（３－π） ２ ＝槡（π－３） ２ ＝π－３．
观察下列各式：
槡２２ ＝２，槡（－２） ２ ＝２＝狘－２狘；
槡４２４ ＝２，槡４（－２） ４ ＝２＝狘－２狘；
槡６２６ ＝２，槡６（－２）
６
＝２＝狘－２狘；
槡３３３ ＝３，槡３（－３）
３
＝－３；
槡５３５ ＝３，槡５（－３）
５
＝－３；
……
可以发现：
对于狀∈犖
，狀＞１，
当狀为奇数时，槡狀犪狀＝犪；
烄犪，犪≥０，
当狀为偶数时，槡狀犪狀＝狘犪狘＝烅
烆－犪，犪＜０．
练 习 １．计算：
槡３８
（１）槡２５； （２） ；
２７
槡４１
（３）槡５３２； （４） ．
１６
２．求下列各式的值：
槡
（１） （槡２－２）２； （２）（３槡４）３；
槡
（３）３－２槡２．
３．化简：
（１）槡４（犪－４）４（犪＞４）； （２）槡３（２－犪）３；
（３）槡犪２＋２犪＋１（犪＞－１）； （４）槡（犪－１）２＋槡３犪３ （犪＜１）．
４．１．２ 指数幂的拓展
观察下面的变形： （２５ ） ２＝２１０ ，
得 槡２１０ ＝２５．
７６
４
指数与对数 第 章
又由５＝ １０ ，得 槡２１０ ＝２１０．
２ ２
类似地，可以得到 槡３３１２ ＝３１２，槡５３１５ ＝３１５，
３ ５
……
这表明，当犿被狀整除时，就有
槡狀犪犿＝犪犿（犪＞０，犿，狀均为正整数）．
狀
一般地，我们规定
犪犿 ＝狀槡犪犿 （犪＞０，犿，狀均为正整数）．
狀
这就是正数犪的正分数指数幂的意义．由此可知，２ １的意义为
２
２ １ ＝槡２．
２
仿照负整数指数幂的意义，我们规定
犪－ 犿 ＝ １ （犪＞０，犿，狀均为正整数），
狀
犿
犪
狀
且０的正分数指数幂为０，０的负分数指数幂没有意义．
有了分数指数幂的意义以后，指数幂的概念就从整数指数推广
到有理数指数．对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不
变，即
在本书中，若无 犪狊犪狋＝犪狊＋狋 ， ①
特殊说明，底数中的 （犪狊 ） 狋＝犪狊狋 ， ②
字母均为正数．
（犪犫 ） 狋＝犪狋犫狋 ， ③
其中狊，狋∈犙，犪＞０，犫＞０．
例２ 求下列各式的值：
（１）１００ １； （２）８ ２；
２ ３
（１）３
（３）９－ ２ ３； （４） ８１ － ４．
解 （１）１００ １
２
＝ （１０２ ）１
２
＝１０２× １
２
＝１０．
（２）８ ２
３
＝ （２３ ）２
３
＝２３× ２
３
＝２２＝４．
１
（３）９－
２
３ ＝ （３２ ）－
２
３ ＝３－３＝
２７
．
（１）３
（４） ８１ － ４ ＝ （３ －４ ）－ ４ ３ ＝３３＝２７．
７７
必修第一册 数学
例３ 用分数指数幂的形式表示下列各式（犪＞０）：
１ 槡
（１）犪２槡犪； （２） ； （３）犪槡犪．
槡犪３
解 （１）犪２槡犪＝犪２犪 １
２
＝犪２＋ １
２
＝犪 ５
２
．
１ １
（２） ＝ ＝犪 －３．
２
槡犪３ 犪３
２
（３） 槡 犪槡犪＝ （犪槡犪）１ ＝ （犪犪 １）１ ＝ （犪３）１ ＝犪 ３ ．
２ ２ ２ ２ ２ ４
我们已将指数式犪狓 中的指数狓从整数推广到分数（有理数），是
否还可以将指数推广到无理数呢？例如，“２槡２”有意义吗？
利用计算器，可以计算出表４ １ １中的数值：
表４ １ １
狓 ２狓 用计算器计算２狓 的值
１ ２１ ２
１．４ ２１．４ ２．６３９０１５８２１…
１．４１ ２１．４１ ２．６５７３７１６２８…
１．４１４ ２１．４１４ ２．６６４７４９６５０…
１．４１４２ ２１．４１４２ ２．６６５１１９０８８…
槡２ ？ ？
随着狓的取值越来越接近于槡２，２狓 的值也越来越接近于一个实
数，我们把这个实数记为２槡２．
一般地，当犪＞０且狓是一个无理数时，犪狓 也是一个确定的实数．
有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用．
这样，指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂．
以后可以证明，当犪＞０，犪≠１，犖＞０时，一定有唯一的实数狓，
满足犪狓＝犖．
练 习 １．用根式的形式表示下列各式（犪＞０）：
（１）犪１； （２）犪１；
２ ５
（３）犪３； （４）犪７；
４ ５
（５）犪－３
５
； （６）犪－３
２
．
２．用分数指数幂表示下列各式：
（１）槡犪（犪＞０）； （２）槡３狓２；
７８
４
指数与对数 第 章
１
（３） ； （４）槡狓３（狓＞０）；
３槡犪
（５）槡狓４狔３（狔＞０）； （６）
犿２
（犿＞０）；
槡犿
（７）槡３（犪＋犫）２； （８）槡（犿－狀）２（犿＞狀）．
３．求下列各式的值：
（１）２５１； （２）６４１；
２ ３
（ ）
８ １
（３） ３； （４）３２－１；
２７ ５
（ ）
２５ － ３
（５）２５３
２
； （６）
４
２；
（７）２７２； （８）２槡３×槡３１．５×槡６１２．
３
４．化简下列各式（犪＞０，犫＞０，狓＞０，狔＞０）：
（１）犪１犪１； （２）犪１犪－１；
２ ３ ２ ３
（３）犪１犪１犪－ ３； （４）（犪２）３；
２ ４ ８ ３ ４
（５）（犪－３
２
）－５
２
； （６）（狓１
２
狔－ １
３
）６；
（７）（犪－２
３
犫１
３
）－３
２
； （８）（狓３
２
狔）２÷（狓狔２
３
）．
习题４．１
感受·理解 １．求下列各式的值：
槡３１
（１）槡１６； （２） ；
８
（３）槡１０４； （４）槡５（－０．１）５；
（５）槡６（狓－狔）６ （狓＞狔）； （６）槡３－（２狓＋狔）３．
２．用分数指数幂表示下列各式（犪＞０，犫＞０）：
（１）槡３犪２； （２）槡犪３；
（３）犪槡犪； （４）（３槡犪）２；
（５）３槡犪·４槡犪； （６） 槡 犪 槡 犪槡犪；
（７）槡３犪２·槡犪３； （８）（３槡犪）２·槡犪犫３．
３．求下列各式的值：
（ ）
１ ２
（１）３６１； （２） ３；
２ ２７
（ ）
１６ －１
（３）１００００１； （４） ２；
４ ４９
（ ）
１ ３
（５）４－３； （６）６ ２．
２ ４
４．用计算器计算下列各式的值：
（１）５１； （２）３２１２；
３ ３
７９
必修第一册 数学
（３）２５．８３； （４）７２３５．
４ ３
５．化简下列各式（犪＞０，犫＞０）：
（１）犪１犪３犪７； （２）犪２犪３÷犪５；
３ ４ １２ ３ ４ ６
（３）（犪１犪３）１２； （４）（犪１犫－３）１２；
３ ４ （ ） ３ （４ ）
２ １
（５）４犪２犫－１÷ － 犪－１犫－１ ； （６）２犪－１ 犪１－２犪－２ ；
３ ３ ３ ３ ３ ３ ２ ３ ３
（７）（２犪１
２
＋３犫－ １
４
）（２犪１
２
－３犫－ １
４
）； （８）（犪２－２＋犪－２）÷（犪２－犪－２）．
６．设犪，犫是正数，下列各题中的两个代数式是否恒等？为什么？
１
（１）（犪犿）狀 与犪狀犪犿； （２）犪１ 与 ；
狀 犪狀
犪犿
（３）犪犿与 ； （４）（犪＋犫）狀 与犪狀＋犫狀．
狀 犪狀
思考·运用 ７．利用分数指数幂计算：（３槡犪－３槡犫）（槡３犪２＋槡３犪犫＋槡３犫２）．
８．已知犪＋犪－１＝３，求下列各式的值：
狓３－狔３＝
（狓－狔）（狓２＋狓狔＋狔２），
９．
（
解
１）
下
犪
列
１ ２
方
－犪
程
－
：
１ ２ ； （２）犪３ ２ －犪－３ ２ ．
狓３＋狔３＝
１
（狓＋狔）（狓２－狓狔＋狔２）． （１）狓－１ ３ ＝ ８ ； （２）２狓３ ４ －１＝１５．
８０
４
指数与对数 第 章
４．２
对数
已知１个细胞经过狓次分裂后，相应的细胞个数为
狔＝２狓．
由此，若知道了分裂的次数狓，就能求出分裂后相应的细胞数狔．
反过来，
● 若知道了分裂后相应的细胞数狔，怎样求出分裂的次数狓呢？
４．２．１ 对数的概念
上述问题也就是在狔＝２狓 中，已知狔，求狓，此时问题就转化为已
知底数和幂的值求指数的问题．
一般地，
如果
犪犫＝犖（犪＞０，犪≠１），
那么就称犫是以犪为底犖的对数（ｌｏｇａｒｉｔｈｍ），记作
ｌｏｇ犖＝犫，
犪
其中，犪叫作对数的底数，犖叫作真数．
由对数的定义可知，犪犫＝犖与犫＝ｌｏｇ犖两个等式所表示的是
犪
犪，犫，犖这３个量之间的同一个关系．例如：
３２＝９ｌｏｇ９＝２，
３
１
ｌｏｇ２＝ ４１ ＝２．
４ ２ ２
根据对数的定义，要解决本节开头提出的问题，就只要计算ｌｏｇ狔
２
的值．
例１ 将下列指数式改写成对数式：
１
（１）２４＝１６； （２）３ －３＝ ；
２７
（１）
（３）５犪＝２０； （４） 犫＝０．４５．
２
解 （１）ｌｏｇ１６＝４．
２
８１
必修第一册 数学
１
（２）ｌｏｇ ＝－３．
３２７
（３）ｌｏｇ２０＝犪．
５
（４）ｌｏｇ０．４５＝犫．
１
２
例２ 将下列对数式改写成指数式：
（１）ｌｏｇ１２５＝３； （２）ｌｏｇ３＝－２；
５ １
槡３
（３）ｌｏｇ犪＝－１．６９９．
１０
解 （ （１）５ ）３＝１２５．
１ －２
（２） ＝３．
槡３
（３）１０ －１．６９９＝犪．
例３ 求下列各式的值：
（１）ｌｏｇ６４； （２）ｌｏｇ２７．
２ ９
解 （１）由２６＝６４，得 ｌｏｇ６４＝６．
２
（２）设狓＝ｌｏｇ２７，则根据对数的定义知 ９狓＝２７，
９
即 ３２狓＝３３ ，
３
得 ２狓＝３，狓＝ ，
２
３
所以 ｌｏｇ２７＝ ．
９ ２
通常将以１０为底的对数称为常用对数（ｃｏｍｍｏｎｌｏｇａｒｉｔｈｍ），如
ｌｏｇ２，ｌｏｇ１２等．为了方便起见，对数ｌｏｇ犖简记为ｌｇ犖，如ｌｇ２，
１
ｅ＝１＋１＋ ＋ １０ １０ １０
１×２ ｌｇ１２等．
１ ＋ １ 在科学技术中，常常使用以 ｅ为底的对数，这种对数称
１×２×３ １×２×３×４
为自然对数（ｎａｔｕｒａｌｌｏｇａｒｉｔｈｍ）．ｅ＝２．７１８２８… 是一个无理数．正
＋…≈２．７１８，是一个
数犖的自然对数ｌｏｇ犖一般简记为ｌｎ犖，如ｌｏｇ２，ｌｏｇ１５分别记为
重要的常数．
ｅ ｅ ｅ
ｌｎ２，ｌｎ１５等．
练 习 １．根据对数的定义，写出下列各对数的值（犪＞０，犪≠１）：
１
ｌｏｇ１００＝ ，ｌｏｇ５＝ ，ｌｏｇ ＝ ，ｌｏｇ１＝ ，
１０ ２５ ２２ ５
ｌｏｇ３＝ ， ｌｏｇ３＝ ，ｌｏｇ１＝ ， ｌｏｇ犪＝ ．
３ １ 犪 犪
３
２．填空：
题 号 指 数 式 对 数 式
（１） ｌｏｇ１６＝４
２
１
（２） ３－３＝
２７
（３） ｌｏｇ２５＝犪
５
８２
４
指数与对数 第 章
３．将下列指数式改写成对数式：
１
（１）３５＝２４３； （２）２－８＝ ；
２５６
（ ）
１ 狓
（３）２狓＝１０； （４） ＝１２．
５
４．将下列对数式改写成指数式：
（１）ｌｏｇ４＝－４； （２）ｌｇ１００００＝４；
１
槡２
（３）ｌｇ犪＝０．４７７１； （４）ｌｎ１２＝犫．
５．求下列各式的值：
（１）ｌｏｇ６４； （２）ｌｏｇ 槡７；
４ ７
１
（３）ｌｏｇ ； （４）ｌｏｇ９；
２８ １
３
１
（５）ｌｇ１０００； （６）ｌｎ ．
ｅ２
６．利用计算器计算下列对数的值（结果保留４位小数）：
（１）ｌｇ２； （２）ｌｇ５；
（３）ｌｇ１．０７８； （４）ｌｇ０．８４．
７．已知犪＞０，犪≠１，犖＞０，犫∈犚．
（１）ｌｏｇ犪２＝ ，ｌｏｇ犪５＝ ，ｌｏｇ犪－３＝ ，ｌｏｇ犪１ ＝ ，
犪 犪 犪 犪 ５
一般地，ｌｏｇ犪犫＝ ，请证明这个结论；
犪
（２）证明：犪ｌｏｇ犖＝犖．
犪
４．２．２ 对数的运算性质
我们知道，指数幂运算有下列性质：
犪狊犪狋＝犪狊＋狋 ；
犪狊
＝犪狊－狋 ；
犪狋
（犪狊 ） 狋＝犪狊狋 ．
根据对数的定义，有
ｌｏｇ犖＝犫犪犫＝犖（犪＞０，犪≠１，犖＞０），
犪
那么，对数运算也有相应的性质吗？
设 犕＝犪狊 ，犖＝犪狋 ，
于是 犕犖 ＝犪狊＋狋．
由对数的定义得
ｌｏｇ犕＝狊，ｌｏｇ犖＝狋，
犪 犪
ｌｏｇ（犕犖 ）＝狊＋狋．
犪
因此， ｌｏｇ（犕犖 ）＝ｌｏｇ犕＋ｌｏｇ犖．
犪 犪 犪
８３
必修第一册 数学
一般地，我们可以得到如下的对数运算性质：
ｌｏｇ（犕犖 ）＝ｌｏｇ犕＋ｌｏｇ犖， ①
犪 犪 犪
犕
ｌｏｇ ＝ｌｏｇ犕－ｌｏｇ犖， ②
犪犖 犪 犪
ｌｏｇ犕狀＝狀ｌｏｇ犕， ③
犪 犪
其中犪＞０，犪≠１，犕＞０，犖＞０，狀∈犚．
思 考
你能证明性质②和性质③吗？
例４ 求下列各式的值：
（１）ｌｏｇ（２３×４５ ）； （２）ｌｏｇ１２５．
２ ５
解 （１）ｌｏｇ（２３×４５ ）＝ｌｏｇ２３＋ｌｏｇ４５＝３＋５ｌｏｇ４＝３＋５×
２ ２ ２ ２
２＝１３．
（２）ｌｏｇ１２５＝ｌｏｇ５３＝３ｌｏｇ５＝３．
５ ５ ５
例５ 已知ｌｇ２≈０．３０１０，ｌｇ３≈０．４７７１，求下列各式的值（结
果保留４位小数）：
２７
（１）ｌｇ１２； （２）ｌｇ ．
１６
解 （１）ｌｇ１２＝ｌｇ（２２×３）＝ｌｇ２２＋ｌｇ３＝２ｌｇ２＋ｌｇ３≈２×
０．３０１０＋０．４７７１＝１．０７９１．
２７
用计算器检验运 （２）ｌｇ ＝ｌｇ３３－ｌｇ２４ ＝３ｌｇ３－４ｌｇ２≈３×０．４７７１－４×
算的结果． １６
０．３０１０＝０．２２７３．
练 习 １．用ｌｇ狓，ｌｇ狔，ｌｇ狕表示下列各式：
（１）ｌｇ（狓狔２狕３）； （２）ｌｇ
槡狓
．
狔狕２
２．求下列各式的值：
（１）ｌｏｇ（９×２７）； （２）ｌｏｇ （４５×８２）；
３ １
槡２
（３）ｌｇ２５＋ｌｇ４； （４）ｌｏｇ２７－ｌｏｇ９．
１ １
３ ３
３．已知ｌｇ２≈０．３０１０，ｌｇ３≈０．４７７１，求下列各式的值（结果保留４位小数）：
（１）ｌｇ１８； （２）ｌｇ７２；
３
（３）ｌｇ ； （４）ｌｇ１５．
４
４．设ｌｇ２＝犪，ｌｇ３＝犫，试用犪，犫表示下列各对数：
１８
（１）ｌｇ１０８； （２）ｌｇ ．
２５
５．不用计算器，求下列各式的值：
（１）ｌｇ槡２＋ｌｇ槡５； （２）ｌｏｇ４５－ｌｏｇ５．
３ ３
８４
４
指数与对数 第 章
例６ 试用常用对数表示ｌｏｇ５．
３
解 设狋＝ｌｏｇ５，则３狋＝５．
３
两边取常用对数，得 ｌｇ３狋＝ｌｇ５，
即 狋ｌｇ３＝ｌｇ５，
ｌｇ５
所以 狋＝ ．
ｌｇ３
ｌｇ５
故 ｌｏｇ５＝ ．
３ ｌｇ３
ｌｏｇ犖
例７ 证明：ｌｏｇ犖＝ 犮 ，其中犪＞０，犪≠１，犖＞０，犮＞０，
犪 ｌｏｇ犪
犮
犮≠１．
证明 设狋＝ｌｏｇ犖，则犪狋＝犖．
犪
两边取以犮为底的对数，得 ｌｏｇ（犪狋 ）＝ｌｏｇ犖，
犮 犮
即 狋ｌｏｇ犪＝ｌｏｇ犖，
犮 犮
ｌｏｇ犖
所以 狋＝ 犮 ．
ｌｏｇ犪
犮
ｌｏｇ犖
故 ｌｏｇ犖＝ 犮 ．
犪 ｌｏｇ犪
犮
因此，我们有
ｌｏｇ犖
ｌｏｇ犖＝ 犮 ，
ｌｏｇ犪·ｌｏｇ狓＝？ 犪 ｌｏｇ犪
犫 犪 犮
ｌｏｇ犪·ｌｏｇ犫＝？
犫 犪 其中犪＞０，犪≠１，犖＞０，犮＞０，犮≠１．
这个公式称为对数的换底公式．
例８ 求ｌｏｇ９×ｌｏｇ３２的值．
８ ３
ｌｇ９ ｌｇ３２ ２ｌｇ３ ５ｌｇ２ １０
解 ｌｏｇ９×ｌｏｇ３２＝ × ＝ × ＝ ．
８ ３ ｌｇ８ ｌｇ３ ３ｌｇ２ ｌｇ３ ３
例９ 如图４ ２ １，２０００年我国国内生产总值（ＧＤＰ）为
８９４４２亿元．如果我国ＧＤＰ年均增长７．８％，那么按照这个增长速
度，在２０００年的基础上，经过多少年以后，我国 ＧＤＰ就能实现比
２０００年翻两番的目标？
解 假设经过狓年实现ＧＤＰ比２０００年翻两番的目标．根据题
意，得 ８９４４２×（１＋７．８％） 狓＝８９４４２×４，
１．０７８狓＝４，
ｌｇ４
故 狓＝ｌｏｇ ４＝ ≈１８．５．
１．０７８ ｌｇ１．０７８
８５
必修第一册 数学
图４ ２ １
答 约经过１９年以后，我国ＧＤＰ就能实现比２０００年翻两番的
目标．
例１０ 要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体
内都含有微量的放射性 １４Ｃ．动植物死亡后，停止了新陈代谢， １４Ｃ不再
产生，且原有的 １４Ｃ会自动衰变．经过５７３０年（ １４Ｃ的半衰期），它的残
余量只有原始量的一半．经过科学测定，若 １４Ｃ的原始含量为１，则经
过狓年后的残留量为狔＝０．９９９８７９狓．
用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的
古莲子中 １４Ｃ的残余量占原来的８７．９％，试推算古莲子的生活年代．
解 由题设可知，原始量为１的 １４Ｃ经过狓年后的残余量是
狔＝０．９９９８７９狓．
由狔＝８７．９％ ＝０．８７９可知
０．８７９＝０．９９９８７９狓 ，
两边取常用对数，得
狓ｌｇ０．９９９８７９＝ｌｇ０．８７９，
ｌｇ０．８７９
从而 狓＝ ≈１０６６．
ｌｇ０．９９９８７９
答 古莲子约是１０６６年前的遗物．
练 习 １．利用对数的换底公式，计算下列各式的值：
（１）ｌｏｇ５×ｌｏｇ４；
２ ５
（２）ｌｏｇ３×ｌｏｇ４×ｌｏｇ５×ｌｏｇ６×ｌｏｇ７×ｌｏｇ８．
２ ３ ４ ５ ６ ７
１
２．证明：ｌｏｇ４＝ ．
３ ｌｏｇ３
４
１ １ １
３．利用对数的换底公式，计算ｌｏｇ ×ｌｏｇ ×ｌｏｇ ．
２２５ ３８ ５９
４．利用计算器，计算下列各式的值（结果保留４位小数）：
（１）ｌｏｇ５＋ｌｇ５； （２）ｌｏｇ３．１４－ｌｏｇ３；
２ ５ ７
（３）ｌｏｇ 槡３÷ｌｏｇ３； （４）ｌｇ２×ｌｏｇ１０．
２ ５ ３
５．截至１９９９年底，我国人口约１３亿．如果此后的人口年平均增长率为１％，
那么约经过多少年后，我国人口数将达到１８亿？
８６
４
指数与对数 第 章
习题４．２
感受·理解 １．将下列指数式改写成对数式：
１
（１）３２＝９； （２）７－２＝ ；
４９
（３）８５ ＝３２； （４）３犿＝２．
３
２．将下列对数式改写成指数式：
１
（１）ｌｏｇ８＝３； （２）ｌｏｇ３＝ ；
２ ９ ２
１ １
（３）ｌｏｇ ＝－ ； （４）ｌｏｇ５＝２．３２１９；
４９７ ２ ２
（５）ｌｇ６＝０．７７８２； （６）ｌｎ１０＝２．３０２６．
３．求下列各式的值：
１
（１）ｌｏｇ８１； （２）ｌｏｇ ；
３ ４６４
（３）ｌｏｇ ３．４； （４）ｌｏｇ １；
３．４ ０．４５
（５）ｌｇ１２５＋ｌｇ８； （６）ｌｏｇ５６－ｌｏｇ７．
２ ２
４．利用计算器，求下列各式的值（结果保留４位小数）：
（１）ｌｇ３６－ｌｇ４； （２）ｌｇ３６×ｌｇ９；
（３）２ｌｇ５÷３ｌｇ２； （４）ｌｇ槡３．
５．已知ｌｇ２≈０．３０１０，ｌｇ３≈０．４７７１，求下列各式的值（结果保留４位小数）：
（１）ｌｇ５４； （２）ｌｇ１．５；
４
（３）ｌｇ ； （４）ｌｇ４５．
９
６．不用计算器，求下列各式的值：
５
（１）ｌｏｇ８－ｌｏｇ３； （２）２ｌｇ４＋ｌｇ ；
４ １ ８
９
（３）（ｌｇ５）２＋ｌｇ２×ｌｇ５０．
７．已知ｌｇ２＝犪，ｌｇ３＝犫，试用犪，犫表示下列各对数：
（１）ｌｇ３６； （２）ｌｇ１５；
３
（３）ｌｇ ； （４）ｌｇ１．８．
５
８．如果我国国内生产总值（ＧＤＰ）２０２０年比２０１０年翻一番，那么平均每年的
增长率是多少？（精确到０．１％）
犕
９．设犪＞０，犪≠１，犕＞０，犖＞０，狀∈犚，证明：ｌｏｇ ＝ｌｏｇ犕－ｌｏｇ犖，
犪犖 犪 犪
ｌｏｇ犕狀＝狀ｌｏｇ犕．
犪 犪
思考·运用 １０．设犪，犫均为不等于１的正数，利用对数的换底公式，证明：
１
（１）ｌｏｇ犫＝ ；
犪 ｌｏｇ犪
犫
犿
（２）ｌｏｇ犫犿＝ ｌｏｇ犫（犿∈犚，狀∈犚，狀≠０）．
犪狀 狀 犪
８７
必修第一册 数学
１１．（１）设ｌｇ６＝犪，ｌｇ１２＝犫，试用犪，犫表示ｌｇ２４和ｌｇ１２０；
（２）设ｌｇ６＝犪，ｌｇ１５＝犫，试用犪，犫表示ｌｇ２４和ｌｇ１２０．
探究·拓展 １２．（阅读题）对数可以将乘除运算转化为加减运算，通过对数转换，可以简化运
算过程．例如，１，１０，１００，１０００，１００００，…成１０倍增长，取常用对数后
就变为０，１，２，３，４，…．
我们再来看物理学中的一个例子．声强是表示声波强度的物理量，可用
１
公式犐＝ ρ狏犃２ω表示，其中狏表示声速，ω和犃分别是声波的频率和振
２
幅，ρ 是媒质的密度．
由于声强的变化范围非常大，数量级可以相差很多，因此常采用对数标
犐
度，这就引入了声强级的概念，规定声强级犔＝ｌｇ ．通常规定犐 ＝
犐 ０
０
１０－２０ Ｗ／ｍ２（相当于频率为１０００Ｈｚ时能够引起听觉的最弱的声强），这
时计算出来的犔就是声强犐的量度，式中声强级的单位称为贝尔．实际上，
１
由于贝尔这个单位太大，通常采用贝尔的 作单位，这就是分贝（ｄＢ）：犔＝
１０
犐
１０ｌｇ （ｄＢ）．
犐
０
当被测量的声强犐为声强犐的１００倍时，声强级犔为多少分贝？
０
８８
４
指数与对数 第 章
问题与探究 秘 诀 在 对 数
一次速算表演中，主持人出题：一个３５位整数的３１次方根仍是
一个整数，下面我报出这个３５位数，请说出它的３１次方根．这个３５
位数是……
未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个数的３１
次方根：１３．
还不知道什么数，他居然能求出方根，并且是３１次方根，又用的
是心算，而且闪电般地快！你很惊奇吧？
其实很简单，因为只有一个整数，它的３１次方是一个３５位整数．
你知道为什么吗？在事先不知道题目的情况下，速算专家是怎么如
此快速地推算出这个结论的呢？
现在只告诉你，速算专家的秘诀是：他心中记住了下面的表（表
中常用对数为近似值）．
真 数 常 用 对 数 真 数 常 用 对 数
２ ０．３０ １１ １．０４
３ ０．４８ １２ １．０８
４ ０．６０ １３ １．１１
５ ０．７０ １４ １．１５
６ ０．７８ １５ １．１８
７ ０．８５ １６ １．２０
８ ０．９０ １７ １．２３
９ ０．９５ １８ １．２６
１０ １．００ １９ １．２８
如果你不能心算，也可以借助笔把专家的思路弄清了，再自己试
一试．比如下面的题目：一个２０位整数的６４次方根仍是一个整数，
这个６４次方根是多少？
８９
必修第一册 数学
对数概念的形成和发展
阅 读
对数是由苏格兰数学家纳皮尔（Ｊ．Ｎａｐｉｅｒ，１５５０—１６１７）发明的，
纳皮尔为了简化天文学问题的球面三角计算，在没有指数概念的情
况下发明了对数，并于１６１４年在《奇妙对数定律说明书》中，介绍了他
的方法和研究成果．
１８世纪的欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）深刻地揭示了指数与对
数的密切联系，他曾说“对数源出于指数”．
在纳皮尔的著作发表４０年后，对数传入我国，ｌｏｇａｒｉｔｈｍ一词被
译成“比例数”．后又逐步演变成“对数”，意指“对（照）表中的数”．清
代数学家戴煦（１８０５—１８６０）等，经过独立的刻苦研究，也取得了很
纳 皮 尔 （Ｊ．Ｎａｐｉｅｒ，
１５５０—１６１７），苏格兰 多成就．
数学家，对数发明人． 现在通用的“常用对数”，是与纳皮尔同时期的英国数学家布里
格斯（Ｈ．Ｂｒｉｇｇｓ，１５６１—１６３１）引入的，并于１６１７年出版了常用对数
表．１６２２年，英国数学家斯皮德尔（Ｊ．Ｓｐｅｉｄｅｌｌ）给出了以ｅ为底的自
然对数表．
恩格斯在他的著作《自然辩证法》中，曾经把笛卡儿的坐标系、纳
皮尔的对数、牛顿和莱布尼茨的微积分共同称为１７世纪的三大数学
发明．法国著名的数学家、天文学家拉普拉斯（Ｐ．Ｓ．Ｌａｐｌａｃｅ，１７４９—
１８２７）曾说：对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿
命延长了许多倍”．
由此可见，对数的发明对于人们研究科学和了解自然起了重大
作用．
收集有关对数概念的形成和发展的历史资料，撰写小论文，论述
写 作
对数发明的过程以及对数对简化运算的作用．
９０
４
指数与对数 第 章
本章回顾
本章从初中学习的指数概念出发，建立了分数指数幂、实数指数
幂等概念．以指数概念为基础，给出对数的定义，并研究了指数运算、
对数运算的相关性质．
犪狀
（狀∈犣）
↓
犪犫
（犫∈犚）
↓
犪犫＝犖ｌｏｇ犖＝犫
犪
在研究指数幂的扩展和对数运算性质的过程中，我们采用了由
特殊到一般、类比等方法，通过具体例子的研究，进而推广，得到一般
的结论，通过类比得到相似的结论．
复 习 题
感受·理解 １．计算槡５×槡３２５×槡６２５的值．
２．计算ｌｏｇ５×ｌｏｇ２×ｌｏｇ３的值．
２ ３ ５
３．将下列指数式化为对数式 （其中犪＞０，犪≠１）：
（１）犪０＝１； （２）犪１＝犪；
（３）犪犫＝１００； （４）犪２＝犖．
４．求证：
４
（１）ｌｏｇ６４＝３ｌｏｇ６４； （２）ｌｏｇ８１＝ ｌｏｇ８．
２ ８ ３ ３ ２
５．用ｌｇ狓，ｌｇ狔，ｌｇ狕表示下列式子：
（１）ｌｇ（狓狔狕）； （２）ｌｇ（狓狔－２狕－１）；
狔３狕 狓２槡狔
（３）ｌｇ ； （４）ｌｇ ．
槡狓 狕３
６．计算：
（１）ｌｇ８＋ｌｇ１２５０； （２）２ｌｇ０．１＋ｌｇ０．００１；
ｌｏｇ２７
（３）ｌｏｇ（ｌｏｇ１６）； （４） ８ ．
２ ４ ｌｏｇ９
４
９１
必修第一册 数学
７．计算：
（１）（ｌｇ２）２＋ｌｇ５×ｌｇ２０＋ｌｇ０．１；
（ ）
１ ｌｏｇ５－１
（２） ２ ．
２
狓３＋狔３＝ ８．设犪是非零实数，已知犪－犪－１＝１，求 （犪３＋犪－
犪
３）
４
（犪
－
２
犪
＋
－４
犪－２－５） 的值．
（狓＋狔）（狓２－狓狔＋狔２）．
９．计算（ｌｇ２）３＋３ｌｇ２·ｌｇ５＋（ｌｇ５）３ 的值．
思考·运用 １０．已知ｌｇ２＝０．３０１０，ｌｇ３＝０．４７７１，试计算ｌｇ１８的值．
１１．求下列各式中的狓：
（１）ｌｏｇ狓＝４；
槡２
（２）ｌｇ（２狓）＝３ｌｇ狓－３；
（３）ｌｏｇ （２狓）＝４．
槡狓
槡狓＋槡狔 ｌｏｇ狓＋ｌｏｇ狔
１２．设狓，狔为正数，满足狓＋狔＝７槡狓狔，求证：ｌｏｇ ＝ 犪 犪
犪 ３ ４
（犪＞０，犪≠１）．
探究·拓展 １３．（探究题）我们知道，任何一个正实数犖可以表示成犖＝犪×１０狀（１≤犪＜
１０，狀∈犣），此时ｌｇ犖＝狀＋ｌｇ犪（０≤ｌｇ犪＜１）．当狀＞０时，犖是狀＋１
位数．
（１）试用上述方法，判断２１００ 是多少位数（ｌｇ２≈０．３０１０）；
（２）当狀＜０时，你有怎样的结论？
９２
４
指数与对数 第 章
本章测试
一、填空题 １．计算：槡５－３２＝ ．
２．化简：槡４（犪－犫）８＝ ．
３．用分数指数幂表示下列各式（犪＞０，犫＞０）：
（１）犪３槡犪＝ ； （２）（３槡犪）４·槡犪犫５＝ ．
４．将下列指数式化为对数式：
（ ）
１ 犪
（１）２６＝６４ ； （２） ＝犖 ．
５
５．将下列对数式化为指数式：
１ １
（１）ｌｏｇ ＝－ ； （２）ｌｏｇ１０＝２ ．
３槡３ ２ 狓
（ ）
１ －ｌｏｇ７
６．计算： ２ ＝ ．
２
二、选择题
７．若正数狓，狔满足狓４＝１６，狔４＝８１，则狓＋狔＝（ ）．
Ａ．５ Ｂ．１ Ｃ．１３ Ｄ．１７
８．若ｌｏｇ狓＝－３，则狓＝（ ）．
２
１ １
Ａ．－３ Ｂ．９ Ｃ． Ｄ．
８ ９
１
９．若ｌｏｇ ＝－３，则狓＝（ ）．
狓２７
１ １
Ａ．８１ Ｂ． Ｃ． Ｄ．３
８１ ３
１０．若狓＞０，狔＞０，则下列各式中恒等的是（ ）．
Ａ．ｌｇ狓＋ｌｇ狔＝ｌｇ（狓＋狔） Ｂ．ｌｇ狓２＝（ｌｇ狓）２
ｌｇ狓 狓 ｌｇ狓
Ｃ． ＝ｌｇ Ｄ．ｌｇ狓１ ＝
狀 狀 狀 狀
１
三、解答题
１１．已知槡犪＋ ＝３，求下列各式的值：
槡犪
（１）犪＋犪－１； （２）犪２＋犪－２；
犪＋犪－１
（３） ．
犪１－犪－１
２ ２
１２．计算：
（１）ｌｇ２５＋ｌｇ２ｌｇ５０＋（ｌｇ２）２； （２）ｅｌｎ３＋ｌｏｇ２５＋（０．１２５） －２．
槡５ ３
１３．已知ｌｏｇ３＝犪，ｌｏｇ７＝犫，试用犪，犫表示ｌｏｇ ５６．
（ ２ ２ ） ４２
１４．求ｌｇ 槡 ３－槡５＋ 槡 ３＋槡５ 的值．
１５．设犪＞０，犪≠１，已知犿＝犪狓，狀＝犪狔 ，犿狔狀狓＝犪２，求证：狓狔狕＝１．
狕
９３
必修第一册 数学
第５章 函数概念与性质
９４
数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动就进
入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学．
恩格斯
函数概念是近代数学思想之花．
托马斯
在初中，我们学习了一次函数狔＝犽狓＋犫（犽，犫为常数，犽≠０），反
犽
比例函数狔＝ （犽为常数，犽≠０），二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪，犫，
狓
犮为常数，犪≠０），知道了“函数”的定义：在一个变化过程中的两个变
量，记为狓和狔，如果对于狓的每一个值，狔都有唯一的值与它对应，那
么称狔是狓的函数，狓是自变量．利用函数可以描述变量之间的关系和
规律．
随着研究的深入，我们会遇到更多的问题，例如：
（１）设狓表示圆的半径，则圆的周长与直径的比值为狔＝π．
当狓（狓∈ （０，＋∞））变化时，狔是狓的函数吗？
１ １
（２）函数狔＝ 狓２（狓∈犚）与函数狔＝ 狓２（狓∈（０，＋∞））是
２ ２
同一个函数吗？
烄１，狓为有理数，
（３）数学家狄利克雷曾给出一个例子：狔＝烅 狔是狓
烆０，狓为无理数，
的函数吗？
● 怎样进一步认识“函数”概念？
９６
５
函数概念与性质 第 章
５．１
函数的概念和图象
在现实生活中，我们可能会遇到下列问题：
１．人口数量变化趋势是我们制定一系列相关政策的依据．从中
国统计年鉴中可以查得我国１９７９～２０１４年人口数据资料（年末）如表
５ １ １所示，你能根据该表说出我国人口的变化情况吗？
表５ １ １ １９７９～２０１４年我国人口数据表
年 份 １９７９ １９８４ １９８９ １９９４ １９９９ ２００４ ２００９ ２０１４
人口数／百万 ９７５ １０４４ １１２７ １１９９ １２５８ １３００ １３３５ １３６８
２．一物体从静止开始下落，下落的距离狔（单位：ｍ）与下落时间
狓（单位：ｓ）之间近似地满足关系式狔＝４．９狓２．若一物体下落２ｓ，你
能求出它下落的距离吗？
３．图５ １ １为某市一天２４小时内的气温变化图．
图５ １ １
（１）上午６时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是
多少？
（２）在什么时刻，气温为０℃？
（３）在什么时段内，气温在０℃以上？
在上述的每个问题中都含有两个变量，当一个变量的取值确定
后，另一个变量的值随之唯一确定．根据初中学过的知识，每一个问
题都涉及一个确定的函数．这就是它们的共同特点．
● 如何用集合语言来阐述上述３个问题的共同特点？
第一，每个问题均涉及两个非空数集犃，犅．
例如，在第一个问题中，一个集合犃由年份数组成，即
犃＝ ｛１９７９，１９８４，１９８９，１９９４，１９９９，２００４，２００９，２０１４｝；
９７
必修第一册 数学
另一个集合犅由人口数（百万）组成，即
犅＝ ｛９７５，１０４４，１１２７，１１９９，１２５８，１３００，１３３５，１３６８｝．
第二，每个问题均存在某种对应关系，对于犃中任意元素狓，犅中
总有一个元素狔与之对应．
例如，在第一个问题中，若狓（年份）取１９７９，则狔（百万）取９７５．这
时，我们说“１９７９对应到９７５”，或者说“输入１９７９，输出９７５”，简记为
１９７９→９７５．
图５ １ ２所示的“箭头图”可以清楚地表示这种对应关系，这种
对应具有“一个输入值对应到唯一的输出值”的特征．
图５ １ ２
一般地，
给定两个非空实数集合犃和犅，如果按照某种对应关系犳，
对于集合犃中的每一个实数狓，在集合犅中都有唯一的实数狔
狔也称为因变量．
和它对应，那么就称犳：犃→犅为从集合犃到集合犅的一个函数
（ｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作
狔＝犳（狓），狓∈犃．
其中，狓叫作自变量，集合犃叫作函数的定义域（ｄｏｍａｉｎ）．
若犃是函数狔＝犳（狓）的定义域，则对于犃中的每一个狓（输入
值），都有一个狔（输出值）与之对应．我们将所有输出值狔组成的集合
｛狔狘狔＝犳（狓），狓∈犃｝称为函数的值域（ｒａｎｇｅ）．
考察本章引言中的问题（１），对于每一个狓（狓∈ （０，＋∞）），都
有唯一的实数狔＝π与狓对应．因此，狔＝π（狓∈（０，＋∞））是狓的
函数．
由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对
应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数．例如函
９８
５
函数概念与性质 第 章
数狔＝狓２ （狓∈（０，＋∞））与函数狊＝狋２ （狋∈（０，＋∞））是同一个函
数．如果两个函数的表达式相同，即其对应关系相同，但定义域不同，
那么这两个函数就是不同的函数．例如本章引言问题（２）中函数狔＝
１ １
狓２（狓∈犚）的定义域是犚，函数狔＝ 狓２（狓∈（０，＋∞））的定义域
２ ２
是（０，＋∞），它们是两个不同的函数．
给定函数时要指明函数的定义域．对于用表达式表示的函数，如
果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使函数表达式有
意义的输入值的集合．
例１ 判断下列对应是否为函数：
２
（１）狓 ，狓≠０，狓∈犚；
狓
（２）狓 狔，这里狔２＝狓，狓∈犖，狔∈犚；
（３）当狓为有理数时，狓→１；当狓为无理数时，狓→０．
２
解 （１）对于任意一个非零实数狓， 由狓唯一确定，所以当
狓
２ ２
狓≠０时狓 是函数，这个函数也可以表示为犳（狓）＝ （狓≠０）．
狓 狓
（２）考虑输入值为４，即当狓＝４时输出值狔由狔２＝４给出，得
狔＝２和狔＝－２．这里一个输入值与两个输出值对应，所以，
狓 狔（狔２＝狓，狓∈犖，狔∈犚）不是函数．
（３）由题意知，对于任意的有理数狓，总有唯一的元素１与之对
应；对于任意的无理数狓，总有唯一的元素０与之对应．因此，根据函
数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为
烄１，狓为有理数，
狔＝烅
这个函数叫作狄 烆０，狓为无理数．
利克雷函数．
例２ 求下列函数的定义域：
１
（１）犳（狓）＝槡狓－１； （２）犵（狓）＝ ．
狓＋１
解 （１）当狓－１≥０，即狓≥１时，槡狓－１在实数范围内有意义；
当狓－１＜０，即狓＜１时，槡狓－１在实数范围内没有意义．
因此，这个函数的定义域是｛狓狘狓≥１｝．
１
（２）当狓＋１≠０，即狓≠－１时， 有意义；当狓＋１＝０时，即
狓＋１
１
狓＝－１时， 没有意义．
狓＋１
因此，这个函数的定义域是 ｛狓狘狓≠－１，且狓∈犚｝．
９９
必修第一册 数学
例３ 求下列函数的值域：
（１）犳（狓）＝ （狓－１） ２＋１，狓∈ ｛－１，０，１，２，３｝；
（２）犳（狓）＝ （狓－１） ２＋１．
解 （１）函数的定义域为｛－１，０，１，２，３｝．
因为 犳（－１）＝ ［（－１）－１］ ２＋１＝５，
犳（０）＝２，犳（１）＝１，犳（２）＝２，犳（３）＝５，
所以这个函数的值域为｛１，２，５｝．
（２）函数的定义域为犚．
因为（狓－１） ２＋１≥１，所以这个函数的值域为｛狔狘狔≥１｝．
练 习 １．某班级学号为１～６的学生参加数学测试的成绩如下表所示，试将学号与成
绩的对应关系用“箭头图”表示在下图中．
学 号 １ ２ ３ ４ ５ ６
成 绩 ８０ ７５ ７９ ８０ ９８ ８０
（第１题）
２．从甲地到乙地的火车票价为８０元，儿童乘火车时，按照身高选择免票、半票
或全票．选购票种的规则如下表所示：
身高犺／ｍ 购票款数／元
１．２＜犺≤１．２ ０
１．２＜犺≤１．５ ４０
１．４＜犺＞１．５ ８０
（１）若儿童身高犺为输入值，相应的购票钱款为输出值，则１．０→ ，
１．３→ ，１．６→ ；
（２）若购票钱款为输入值，儿童身高犺为输出值，则０ → ，
４０→ ．
３．判断下列对应是否为从犃到犅的函数：
（１）犃＝｛１，２，３，４，５｝，犅＝｛０，２，４，６，８｝，对任意的狓∈犃，狓→２狓；
（２）犃＝｛１，２，３，４｝，犅＝｛狓狘狓＜１０，狓∈犖｝，对任意的狓∈犃，狓→２狓＋１；
（３）犃＝犅＝犖 ，对任意的狓∈犃，狓→狓－１；
（４）犃为正实数集，犅＝犚，对任意的狓∈犃，狓→狓的算术平方根．
１ ００
５
函数概念与性质 第 章
４．判断下列对应是否为函数：
１
（１）狓 － 狓，狓∈犚；
２
（２）狓→１，狓∈犚；
（３）狓 狔，其中狔＝狘狓狘，狓∈犚，狔∈犚；
（４）狋 狊，其中狊＝狋２，狋∈犚，狊∈犚；
（５）狓 狔，其中狔２＝狓，狓∈［０，＋∞），狔∈犚；
（６）狓 狔，其中狔为不大于狓的最大整数，狓∈犚，狔∈犣．
（ ）
５．已知函数犳（狓）＝狓－狓２，求犳（０），犳（１），犳 １ ，犳（狀＋１）－犳（狀）．
２
６．求下列函数的定义域：
１
（１）犳（狓）＝１－３狓； （２）犳（狓）＝ ；
狓２－１
１
（３）犳（狓）＝槡２＋狓＋槡１－狓； （４）犳（狓）＝槡狓＋１＋ ．
狓
７．求下列函数的值域：
（１）犳（狓）＝狓２＋狓，狓∈｛１，２，３｝； （２）犳（狓）＝（狓－１）２－１；
（３）犳（狓）＝狓＋１，狓∈（１，２］．
在初中，我们已学过函数的图象，并能作出函数狔＝２狓－１，
１
狔＝
狓
（狓≠０）以及狔＝狓２ 的图象．社会生活中还有许多函数图象的
例子，如图５ １ ３所示的心电图、示波图等．
图５ １ ３
将自变量的一个值狓 作为横坐标，相应的函数值犳（狓）作为纵
０ ０
坐标，就得到坐标平面上的一个点（狓，犳（狓））．当自变量取遍函数定
０ ０
义域犃中的每一个值时，就得到一系列这样的点．所有这些点组成的
集合（点集）为
｛（狓，犳（狓））｜狓∈犃｝，
即 ｛（狓，狔）｜狔＝犳（狓），狓∈犃｝，
所有这些点组成的图形就是函数狔＝犳（狓）的图象．例如，初中学习过
１ 烄 １ 烌
的狔＝ 的图象就是由点集
烅
（狓，狔）狔＝ ，狓≠０，狓∈犚烍 中元
狓 烆 狓 烎
１ ０１
必修第一册 数学
素（点）组成的图形．
例４ 试画出下列函数的图象：
（１）犳（狓）＝狓＋１；
（２）犳（狓）＝ （狓－１） ２＋１，狓∈ ［１，３）．
解 描点作出图象，函数图象分别如图５ １ ４和５ １ ５所示．
图５ １ ４ 图５ １ ５
函数犳（狓）＝ （狓－１） ２＋１，狓∈ ［１，３）的图象为函数犵（狓）＝
（狓－１） ２＋１，狓∈犚的图象上狓∈ ［１，３）的一段．其中，点（１，１）在
图象上，用实心点表示；而点（３，５）不在图象上，用空心点表示．
例５ 在５．１节开头的第一个问题中，如果把人口数狔（百万）看
作年份狓的函数，试根据表５ １ １，画出这个函数的图象．
解 由表５ １ １的数据，画出的函数图象是８个点，如图５ １ ６
所示．
请画出本节开头
第二个问题中函数
狔＝４．９狓２（狓≥０）的
图象．
图５ １ ６
思 考 设函数狔＝犳（狓）的定义域为犃，集合犘＝｛（狓，狔）狘狔＝犳（狓），
狓∈犃｝与犙＝ ｛狔狘狔＝犳（狓），狓∈犃｝相等吗？请说明理由．
例６ 试画出二次函数犳（狓）＝狓２＋１的图象，并根据图象回答
下列问题：
（１）比较犳（－２），犳（１），犳（３）的大小；
（２）若０＜狓＜狓，试比较犳（狓）与犳（狓）的大小．
１ ２ １ ２
解 函数图象如图５ １ ７．
（１）根据图５ １ ７（１），容易发现
１ ０２
５
函数概念与性质 第 章
图５ １ ７
由犳（－２）＝犳（２） 犳（－２）＝犳（２），
知，点（－２，犳（－２））
犳（１）＜犳（２）＜犳（３），
与点（２，犳（２））关于狔
轴对称． 所以 犳（１）＜犳（－２）＜犳（３）．
（２）根据图５ １ ７（２）容易发现，当０＜狓＜狓时，
１ ２
犳（狓）＜犳（狓）．
１ ２
思 考 在例６（２）中，
（１）如果把 “０＜狓 ＜狓”改为“狓 ＜狓 ＜０”，那么犳（狓）与
１ ２ １ ２ １
犳（狓）哪个大？
２
（２）如果把“０＜狓＜狓”改为“狘狓狘＜狘狓狘”，那么犳（狓）与
１ ２ １ ２ １
犳（狓）哪个大？
２
请结合图象回答上述两个问题，并用不等式的基本知识来解决
例６及上述思考中的问题．
信息技术 下面我们介绍在Ｅｘｃｅｌ工作表中用“描点连线”的方法绘制函数
犳（狓）＝（狓－１） ２＋１的图象，不妨作狓∈［－２，２］上的图象．
（１）第一列产生自变量的值：在单元格Ａ１，Ａ２内分别输入－２，
－１．９，选中这两个单元格后，按住鼠标左键并向下方拖曳“填充柄”，
如图５ １ ８，直到单元格内出现填充值２时为止．
（２）第二列产生对应的函数值：如图５ １ ９，在Ｂ１内输入“＝
（Ａ１－１）
∧
２＋１”，敲回车键或在编辑栏内选中“√”，拖曳Ｂ１的填充
柄至所需的单元格（或双击Ｂ１的填充柄），得到与第一列相对应的函
数值．
Ｅｘｃｅｌ中加、减、
乘、除及乘方运算符
号分别为＋，－，，
／， ∧ ．
图５ １ ８ 图５ １ ９
１ ０３
必修第一册 数学
（３）成图：光标置于数据区的任一位置，插入“图表”，选择“ＸＹ
散点图／无数据点平滑线散点图”，点击“完成”，便得函数犳（狓）＝
（狓－１） ２＋１在区间［－２，２］上的图象，如图５ １ １０．
取点的多寡，可
以根据需要灵活调
整，只要改变 Ａ１和
Ａ２格两个数的间隔
步长即可．
图５ １ １０
你能用上面的方法绘制函数犳（狓）＝狓３ 的图象吗？
练 习 １．画出下列函数的图象：
（１）犳（狓）＝２狓－１；
（２）犳（狓）＝２狓－１，狓∈［－１，２）；
１
（３）犳（狓）＝ ，狓∈（０，＋∞）；
狓
１
（４）犳（狓）＝ ＋１，狓∈（０，＋∞）；
狓
（５）犳（狓）＝狓２，狓∈［－１，２］；
（６）犳（狓）＝（狓－１）２，狓∈［０，３］．
２．先画出下列函数的图象，再求出每个函数的值域：
（１）犳（狓）＝（狓－１）２，狓∈｛－１，０，１，２｝；
（２）犳（狓）＝狓２，狓∈［１，２）；
１
（３）犳（狓）＝ ，狓∈［１，３）；
狓
（第３题）
（４）犳（狓）＝槡狓，狓为正实数．
３．根据如图所示的函数狔＝犳（狓）的图象填空：
（１）犳（０）＝ ，犳（１）＝ ，犳（２）＝ ；
（２）若－１＜狓＜狓＜１，则犳（狓）与犳（狓）的大小关系是 ．
１ ２ １ ２
习题５．１
感受·理解 １．已知函数狔＝５狓－２．
（１）当狓＝０，１，５时，分别求出狔的值；
（２）当狔＝０，１，５时，分别求出狓的值．
２．判断下列对应犳是否为从集合犃到集合犅的函数：
｛ ｝ （ ） （ ）
１ ３ １ ３
（１）犃＝ ，１， ，犅＝｛－６，－３，１｝，犳 ＝－６，犳（１）＝－３，犳 ＝１；
２ ２ ２ ２
１ ０４
５
函数概念与性质 第 章
（２）犃＝｛１，２，３｝，犅＝｛７，８，９｝，犳（１）＝犳（２）＝７，犳（３）＝８；
（３）犃＝犅＝｛１，２，３｝，犳（狓）＝２狓－１；
（４）犃＝犅＝｛狓狘狓≥－１｝，犳（狓）＝２狓＋１；
（５）犃＝犣，犅＝｛－１，１｝，狀为奇数时，犳（狀）＝－１；狀为偶数时，犳（狀）＝１．
３．求下列函数的定义域、值域，并画出图象：
（１）犳（狓）＝３狓； （２）犳（狓）＝－３狓＋１；
１ １
（３）犳（狓）＝－ ； （４）犳（狓）＝－ ＋１；
狓 狓
（５）犳（狓）＝１－狓２； （６）犳（狓）＝狓２＋２狓．
４．判断下列各组函数是否是同一个函数，并说明理由：
（１）狔＝狓，狔＝
狓２；
（２）狔＝狓２，狔＝狓２，狓∈［０，＋∞）；
狓
（３）狔＝狓，狊＝狋； （４）犳（狓）＝１，犵（狓）＝１．
思考·运用 ５．已知函数犳（狓）＝犪狓＋犫，且犳（３）＝７，犳（５）＝－１，求犳（０），犳（１）的值．
６．直线狓＝犪和函数狔＝狓２＋１的图象的公共点可能有几个？
狋 狋
７．已知犳（狋）＝ ，犵（狋）＝ ，求证：犳（狋）－犵（狋）＝－２犵（狋２）．
１＋狋 １－狋
８．如果函数犳（狓）与犵（狓）分别由下表给出，那么犳（犳（１））＝ ，
犳（犵（２））＝ ，犵（犳（３））＝ ，犵（犵（４））＝ ．
狓 １ ２ ３ ４ 狓 １ ２ ３ ４
犳（狓） ２ ３ ４ １ 犵（狓） ２ １ ４ ３
９．设函数犳（狓）＝２狓＋３，函数犵（狓）＝３狓－５，求犳（犵（狓）），犵（犳（狓））．
探究·拓展 １０．已知集合犃＝犚，犅＝｛－１，１｝，对应关系犳如下：当狓为有理数时，犳（狓）＝－１；
当狓为无理数时，犳（狓）＝１．该对应是从集合犃到集合犅的函数吗？
１１．（操作题）将一枚骰子投掷１０次，并将每次骰子向上的点数记录在下表中．
规定对应关系犳：对每一投掷序号狀（狀＝１，２，…，１０）对应到这次骰子的
向上点数．试判断对应犳是否为函数．若是，这个函数值域一定是集合｛１，
２，３，４，５，６｝吗？
投掷序号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
向上点数
１ ０５
必修第一册 数学
５．２
函数的表示方法
让我们再来看５．１节开头的３个函数问题．
● 这３个函数是怎样表示的？
在第一个问题中，只要知道了表５ １ １中的某个年份，就能从
此表中查得相应的人口数．这种用列表来表示两个变量之间函数关
系的方法称为列表法．
在第二个问题中，物体下落时间狓与下落距离狔的函数关系为
狔＝４．９狓２ （狓≥０）．这种用等式来表示两个变量之间函数关系的方
法称为解析法．这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式．
在第三个问题中，我们用图象表示了时刻与气温的关系．这种用图
象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
列表法、解析法、图象法是表示函数的３种常用方法．
用列表法表示函数关系，不必通过计算就可以知道自变量取某
个值时，相应的函数值是多少；用解析法表示函数关系，便于用解析
式研究函数的性质；而用图象法表示函数关系，可以从整体上直观而
形象地表示出函数的变化情况．
例１ 购买某种饮料狓听，所需钱数为狔元．若每听２元，试分
别用解析法、列表法、图象法将狔表示成狓（狓∈｛１，２，３，４｝）的函数，
并指出这个函数的值域．
解 （１）解析法：狔＝２狓，狓∈ ｛１，２，３，４｝．
（２）列表法：如表５ ２ １所示．
表５ ２ １
狓／听 １ ２ ３ ４
狔／元 ２ ４ ６ ８
（３）图象法：图象由点（１，２），（２，４），（３，６），（４，８）组成，如
图５ ２ １所示．
图５ ２ １
１ ０６
５
函数概念与性质 第 章
函数的值域是｛２，４，６，８｝．
例２ 画出函数犳（狓）＝狘狓狘的图象，并求犳（－３），犳（３），
犳（－１），犳（１）的值．
解 因为
烄－狓，狓＜０，
犳（狓）＝狘狓狘＝烅
烆狓， 狓≥０，
所以函数犳（狓）的图象为过原点且平分第一象限、第二象限的一条折
线，如图５ ２ ２所示．其中，
犳（－３）＝３，犳（３）＝３，犳（－１）＝１，犳（１）＝１．
图５ ２ ２
例３ 某市出租汽车收费标准如下：在３ｋｍ以内（含３ｋｍ）路
程按起步价９元收费，超过３ｋｍ的路程按２．４元／ｋｍ收费．试写出收
费额（单位：元）关于路程（单位：ｋｍ）的函数解析式．
解 设路程为狓ｋｍ时，收费额为狔元，则由题意得：当狓≤３
时，狔＝９；当狓＞３时，按２．４元／ｋｍ所收费用为２．４×（狓－３），那么
有 狔＝９＋２．４×（狓－３）．
于是，收费额关于路程的函数解析式为
烄９， ０＜狓≤３，
狔＝烅
烆９＋２．４×（狓－３）， 狓＞３，
烄９， ０＜狓≤３，
即 狔＝烅
烆２．４狓＋１．８， 狓＞３．
分段函数是一个 例２、例３中的函数具有共同特点：在定义域内不同部分上，有不
函 数，而 不 是 几 个 同的解析表达式．像这样的函数，通常叫作分段函数（ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ
函数． ｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
练 习 １．１ｎｍｉｌｅ（海里）约合１８５２ｍ，根据这一关系，写出米数狔关于海里数狓的函
数解析式．
第２题与例２的 ２．画出函数犳（狓）＝狘狓＋３狘的图象．
图象之间有什么关系？ ３．（１）用长为３０ｃｍ的铁丝围成矩形，试将矩形面积犛（单位：ｃｍ２）表示为矩
形一边长狓（单位：ｃｍ）的函数，并画出函数的图象；
（２）用细铁丝围一个面积为１ｃｍ２ 的矩形，试将所用铁丝的长度犾（单
位：ｃｍ）表示为矩形的某条边长狓（单位：ｃｍ）的函数．
１ ０７
必修第一册 数学
４．下列图象中，表示函数关系狔＝犳（狓）的有 ．
（第４题）
习题５．２
感受·理解 １．物体从静止开始下落，下落的距离与下落时间的平方成正比．已知开始下落
的２ｓ内，物体下落了１９．６ｍ，求开始下落的３ｓ内物体下落的距离．
２．某公司将进一批单价为８元的商品，若按１０元／个销售，每天可卖出１００
个；假设销售价每上涨１元／个，每天的销售量就减少１０个．
（１）设商品的销售价上涨狓元／个（０≤狓≤１０，狓∈犖），每天的利润为狔
元，试用列表法表示函数狔＝犳（狓）；
（２）求销售价为１３元／个时每天的销售利润；
（３）如果销售利润为３６０元，那么销售价上涨了多少元？
３．设距地面高度狓（单位：ｋｍ）的气温为狔（单位：℃），在距地面高度不超过
１１ｋｍ时，狔随着狓的增加而降低，且每升高１ｋｍ，大气温度降低６℃；高度
超过１１ｋｍ时，气温可视为不变．设地面气温为２２℃，试写出狔＝犳（狓）的
解析式，并分别求高度为３．５ｋｍ和１２ｋｍ的气温．
４．建造一个容积为８ｍ３、深为２ｍ的长方体形状的无盖水池，已知池底和池
壁的造价分别为１２０元／ｍ２ 和８０元／ｍ２，求总造价狔（单位：元）关于底面
一边长狓（单位：ｍ）的函数解析式，并指出该函数的定义域．
５．画出函数犳（狓）＝－狓２＋狓＋１（－１≤狓≤１）的图象，并根据图象回答下列
问题：
（１）当－１≤狓＜狓≤ １ 时，比较犳（狓）与犳（狓）的大小；
１ ２ ２ １ ２
（２）是否存在狓∈［－１，１］，使得犳（狓）＝－２？
０ ０
６．已知犃＝｛１，２，３，４｝，犅＝｛１，３，５｝，试写出从犃到犅的两个函数．
烄狓， 狓≥０，
７．已知函数犳（狓）＝烅 求犳（２），犳（犳（－２））的值．
烆狓２，狓＜０，
８．画出函数狔＝狓３（狓∈｛－２，－１．５，－１，－０．５，０，０．５，１，１．５，２｝）的图象．
思考·运用 ９．某人去上班，先跑步，后步行．如果狔表示该人离单位的距离，狓表示出发后
的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（ ）．
１ ０８
５
函数概念与性质 第 章
１０．请写出３个不同的函数狔＝犳（狓）的解析式，满足犳（１）＝１，犳（２）＝４．
１１．已知某皮鞋厂一天的生产成本犆（单位：元）与生产数量狀（单位：双）之间
的函数关系式是犆＝４０００＋５０狀．
（１）求一天生产１０００双皮鞋的成本；
（２）如果某天的生产成本是４８０００元，那么这一天生产了多少双皮鞋？
（３）若每双皮鞋的售价为９０元，且生产的皮鞋全部售出，试写出这一天的
利润犘关于这一天生产数量狀的函数关系式，并求出每天至少生产多
少双皮鞋，才能不亏本．
１２．从２００６年１１月１５日起，国内投寄首重１００ｇ以内的外埠信函的邮资标准是：
每封信的质量不超过２０ｇ付邮资１２０分，超过２０ｇ而不超过４０ｇ付邮资２４０
分，超过４０ｇ而不超过６０ｇ付邮资３６０分，依此类推．试画出反映每封不超过
９０ｇ的信函应付邮资狔（单位：分）与信函的质量狓（单位：ｇ）之间的函数关系
的图象．
探究·拓展 １３．（开放题）已知一个函数的解析式为狔＝狓２，它的值域为区间［１，４］，这样的
函数有多少个？试写出其中两个函数．
１ ０９
必修第一册 数学
５．３
函数的单调性
在５．１节开头的第三个问题中，气温θ是关于时间狋的函数，记
为θ＝犳（狋）．观察这个气温变化图（如图５ ３ １），说出气温在哪些
时段内是逐渐升高的，在哪些时段内是逐渐下降的．
图５ ３ １
● 怎样用数学语言刻画上述某一时段内“随着时间的增加气温
逐渐升高”这一特征？
由图５ ３ １可知，从４时到１４时这一时间段内，图象呈上升趋
势，气温逐渐升高．也就是说，对于这段图象上的任意两点犘（狋，θ），
１ １
犙（狋，θ），当狋＜狋时，都有θ＜θ．类似地，对于区间（１４，２４）内任
２ ２ １ ２ １ ２
意两个值狋，狋，当狋＜狋时，都有θ＞θ．
１ ２ １ ２ １ ２
一般地，
设函数狔＝犳（狓）的定义域为犃，区间犐犃．
如果对于区间犐内的任意两个值狓，狓，当狓＜狓时，都有
１ ２ １ ２
犳（狓）＜犳（狓），
１ ２
那么称狔＝犳（狓）在区间犐上是增函数（也称在犐上单调递增）
（图５ ３ ２（１）），犐称为狔＝犳（狓）的增区间．
如果对于区间犐内的任意两个值狓，狓，当狓 ＜狓 时，
１ ２ １ ２
都有
犳（狓）＞犳（狓），
１ ２
那么称狔＝犳（狓）在区间犐上是减函数（也称在犐上单调递减）
（图５ ３ ２（２）），犐称为狔＝犳（狓）的减区间．
１ １０
书书书
５
函数概念与性质 第 章
图５ ３ ２
如果函数狔＝犳（狓）在区间犐上是增函数或减函数，那么称函数
狔＝犳（狓）在区间犐上具有单调性．增区间和减区间统称为单调区间．
例１ 画出下列函数图象，并写出单调区间：
（１）狔＝－狓２＋２；
１
（２）狔＝ （狓≠０）．
狓
解 （１）函数图象如图５ ３ ３（１），增区间为（－∞，０］，减区间
为［０，＋∞）．
图５ ３ ３
（２）函数图象如图５ ３ ３（２），（－∞，０）和（０，＋∞）是两个
减区间．
１
例２ 证明：函数犳（狓）＝－ －１在区间（－∞，０）上是增
狓
函数．
证明 设狓，狓为区间（－∞，０）上的任意两个值，且狓＜狓，
１ ２ １ ２
则 狓－狓＜０，狓狓＞０．
１ ２ １ ２
因为 犳（狓）－犳（狓）
１ ２
（ ） （ ）
１ １
＝ － －１－ － －１
狓 狓
１ ２
１ １ 狓－狓
＝ － ＝ １ ２，
狓 狓 狓狓
２ １ １ ２
１ １１
必修第一册 数学
所以 犳（狓）－犳（狓）＜０，
１ ２
记狔－狔＝Δ狔， 即 犳（狓）＜犳（狓）．
２ １ １ ２
狓－狓＝Δ狓，那么函
１
２ １ 故犳（狓）＝－ －１在区间（－∞，０）上是增函数．
Δ狔 狓
数的单调性与 的
Δ狓
符号有什么关系？ 在图５ ３ １中，我们从图象上看出１４时的气温为全天的最高
气温，它表示在０～２４时，气温于１４时达到最大值．从中可以看出，图
象在这一点的位置最高．
在图５ ３ ３（１）中，可以看出对于任意的狓∈犚，都有
犳（狓）≤２＝犳（０）．
一般地，
设狔＝犳（狓）的定义域为犃．
如果存在狓∈犃，使得对于任意的狓∈犃，都有
０
犳（狓）≤犳（狓），
０
那么称犳（狓）为狔＝犳（狓）的最大值（ｍａｘｉｍｕｍｖａｌｕｅ），记为
０
狔 ＝犳（狓）；
ｍａｘ ０
如果存在狓∈犃，使得对于任意的狓∈犃，都有
０
犳（狓）≥犳（狓），
０
那么称犳（狓）为狔＝犳（狓）的最小值（ｍｉｎｉｍｕｍｖａｌｕｅ），记为
０
狔 ＝犳（狓）．
ｍｉｎ ０
例３ 图５ ３ ４为函数狔＝犳（狓），狓∈［－４，７］的图象，指出
它的最大值、最小值及单调区间．
图５ ３ ４
解 观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是 （３，３），最
低的点是（－１．５，－２）．
因此，当狓＝３时，函数狔＝犳（狓）取得最大值，即狔 ＝３；当
ｍａｘ
狓＝－１．５时，函数狔＝犳（狓）取得最小值，即狔 ＝－２．
ｍｉｎ
函数的增区间为［－１．５，３］，［５，６］；减区间为［－４，－１．５］，
［３，５］，［６，７］．
１ １２
５
函数概念与性质 第 章
例４ 求下列函数的最小值：
（１）狔＝狓２－２狓；
１
（２）狔＝ ，狓∈ ［１，３］．
狓
解 （１）因为狔＝狓２－２狓＝ （狓－１） ２－１≥－１，
且当狓＝１时狔＝－１．
所以函数在狓＝１时取得最小值－１，即狔 ＝－１．
ｍｉｎ
１ １
（２）因为对于任意实数狓∈［１，３］，都有 ≥ ，且当狓＝３时
狓 ３
１ １
＝ ．
狓 ３
１ １
所以函数在狓＝３时取得最小值 ，即狔 ＝ ．
３ ｍｉｎ ３
思 考 例４中的两个函数有无最大值？
例５ 已知函数狔＝犳（狓）的定义域是［犪，犫］，犪＜犮＜犫．在区间
［犪，犮］上，犳（狓）单调递增；在区间［犮，犫］上，犳（狓）单调递减．试证明
犳（狓）在狓＝犮时取得最大值．
证明 因为在区间［犪，犮］上，犳（狓）单调递增，所以对于任意
狓∈ ［犪，犮］，都有犳（狓）≤犳（犮）．
又因为在区间［犮，犫］上，犳（狓）单调递减，所以对于任意狓∈
［犮，犫］，都有犳（狓）≤犳（犮）．
因此，对于任意狓∈［犪，犫］都有犳（狓）≤犳（犮），即犳（狓）在狓＝犮
时取得最大值．
练 习 １．判断函数犳（狓）＝狓２－１在（０，＋∞）上是增函数还是减函数．
２．画出函数犳（狓）＝狘狓＋１狘的图象，并根据图象写出犳（狓）的单调区间．
３．判断函数犳（狓）＝－狓２＋２狓在（－∞，０）上是增函数还是减函数．
４．求函数犳（狓）＝－狓２＋２狓在［０，１０］上的最大值和最小值．
１
５．函数狔＝ 在区间（－２，－１］上有最大值吗？有最小值吗？
狓
６．证明：函数犳（狓）＝－２狓＋１是减函数．
７．下图分别为函数狔＝犳（狓）和狔＝犵（狓）的图象，试写出函数狔＝犳（狓）和狔＝
犵（狓）的增区间．
（第７题）
１ １３必修第一册 数学
８．判断下列说法是否正确：
（１）若定义在犚上的函数犳（狓）满足犳（２）＞犳（１），则函数犳（狓）是犚上的增
函数；
（２）若定义在犚上的函数犳（狓）满足犳（２）＞犳（１），则函数犳（狓）在犚上不是
减函数；
（３）若定义在犚上的函数犳（狓）在区间（－∞，０］上单调递增，在区间
［０，＋∞）上也单调递增，则函数犳（狓）在犚上是增函数；
（４）若定义在犚上的函数犳（狓）在区间（－∞，０］上单调递增，在区间
（０，＋∞）上也单调递增，则函数犳（狓）在犚上是增函数．
习题５．３
感受·理解 １．已知犽，犫是常数，填写下表：
犽
狔＝犽狓＋犫 狔＝
狓
函 数
犽＞０ 犽＜０ 犽＞０ 犽＜０
单调区间
单 调 性
２．指出下列函数的单调区间：
（１）狔＝１－３狓；
１
（２）狔＝ ＋２；
狓
（３）狔＝狓２＋１；
（４）狔＝－狓２＋狓－１．
３．画出下列函数的图象，指出函数的单调区间，并求出函数的最大值或最
小值：
（１）犳（狓）＝－狓２－１；
（２）犳（狓）＝狓２－２狓－１，狓∈［－１，１］；
（３）犳（狓）＝狓狘狓狘；
（４）犳（狓）＝－２槡狓；
烄狓－２， 狓≥０，
（５）犳（狓）＝烅
烆－狓－２，狓＜０；
烄狓２＋２狓－１， 狓∈［０，＋∞），
（６）犳（狓）＝烅
烆－狓２＋２狓－１，狓∈（－∞，０）．
４．设犪为实数，已知函数狔＝犳（狓）在定义域犚上是减函数，且犳（犪＋１）＞
犳（２犪），求犪的取值范围．
５．证明：
（１）函数犳（狓）＝－２狓２＋３在区间（－∞，０］上是增函数；
犪３－犫３＝
（２）函数犳（狓）＝－狓３＋１在区间（－∞，０］上是减函数；
３
（犪－犫）（犪２＋犪犫＋犫２）． （３）函数犳（狓）＝２－ 在区间（－∞，０）和（０，＋∞）上都是增函数．
狓
１ １４５
函数概念与性质 第 章
１
思考·运用 ６．证明：函数犳（狓）＝２狓３－ 在区间（０，＋∞）上是增函数．
狓
１
７．已知函数犳（狓）＝狓＋ ，狓∈（０，＋∞）．
狓
（１）求证：犳（狓）在区间（０，１］上单调递减，在区间［１，＋∞）上单调递增；
（２）试求函数犳（狓）的最大值或最小值．
探究·拓展 ８．利用技术工具（如计算器或计算机）画函数犳（狓）＝狓３－３狓＋１的图象，并求
函数的单调区间．
１ １５
必修第一册 数学
５．４
函数的奇偶性
在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象：美丽的蝴蝶，
盛开的花朵，六角形的雪花晶体，有倒影的山水景色……
１
观察函数犳（狓）＝狓２ 和犳（狓）＝－
狓
（狓≠０）的图象（图５ ４
１），我们发现，函数犳（狓）＝狓２ 的图象关于狔轴对称，而函数犳（狓）＝
１
－ 的图象关于原点对称．
狓
图５ ４ １
● 怎样用数量关系来刻画函数图象的这种对称性？
对于函数犳（狓）＝狓２ ，当自变量取一对相反数时，它们的函数值
相等．例如，
犳（－２）＝４＝犳（２），
犳（－１）＝１＝犳（１），
（ ） （ ）
１ １ １
犳－ ＝ ＝犳 ．
２ ４ ２
实际上，对于函数犳（狓）＝狓２ 定义域 犚内任意一个狓，都有
犳（－狓）＝狓２＝犳（狓）．这时我们称函数犳（狓）＝狓２ 为偶函数．
１
对于函数犳（狓）＝－ （狓≠０），当自变量取一对相反数时，它们
狓
的函数值也互为相反数．例如，
１
犳（－２）＝ ＝－犳（２），
２
犳（－１）＝１＝－犳（１），
１ １６
５
函数概念与性质 第 章
（ ） （ ）
１ １
犳－ ＝３＝－犳 ．
３ ３
１
实际上，对于函数犳（狓）＝－ 定义域｛狓狘狓∈犚，狓≠０｝内任意
狓
１
一个狓，都有犳（－狓）＝ ＝－犳（狓）．这时我们称函数犳（狓）＝
狓
１
－ （狓≠０）为奇函数．
狓
一般地，
设函数狔＝犳（狓）的定义域为犃．
如果对于任意的狓∈犃，都有－狓∈犃，并且
犳（－狓）＝犳（狓），
奇偶性是函数的
那么称函数狔＝犳（狓）是偶函数（ｅｖｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ）；
整体性质．
如果对于任意的狓∈犃，都有－狓∈犃，并且
犳（－狓）＝－犳（狓），
那么称函数狔＝犳（狓）是奇函数（ｏｄｄｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
如果函数犳（狓）是奇函数或偶函数，那么我们称函数犳（狓）具有奇
偶性．
根据函数奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于狔轴对称，奇函
数的图象关于原点对称．
例１ 判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
（１）犳（狓）＝狓２－１； （２）犳（狓）＝２狓；
（３）犳（狓）＝２狘狓狘； （４）犳（狓）＝ （狓－１） ２．
解 （１）函数犳（狓）＝狓２－１的定义域是犚．
因为对于任意的狓∈犚，都有－狓∈犚，且
犳（－狓）＝ （－狓） ２－１＝狓２－１＝犳（狓），
所以函数犳（狓）＝狓２－１是偶函数．
（２）函数犳（狓）＝２狓的定义域是犚．
因为对于任意的狓∈犚，都有－狓∈犚，且
犳（－狓）＝２（－狓）＝－２狓＝－犳（狓），
所以函数犳（狓）＝２狓是奇函数．
（３）函数犳（狓）＝２狘狓狘的定义域是犚．
因为对于任意的狓∈犚，都有－狓∈犚，且
１ １７
必修第一册 数学
犳（－狓）＝２狘－狓狘＝２狘狓狘＝犳（狓），
所以函数犳（狓）＝２狘狓狘是偶函数．
（４）函数犳（狓）＝ （狓－１） ２ 的定义域是犚．
因为犳（１）＝０，犳（－１）＝４，所以
犳（１）≠犳（－１），犳（１）≠－犳（－１）．
因此，根据函数奇偶性定义可以知道，函数犳（狓）＝（狓－１）
２
既不
是奇函数，也不是偶函数．
例２ 判断函数犳（狓）＝狓３＋５狓是否具有奇偶性．
解 函数犳（狓）的定义域为犚．
因为对于任意的狓∈犚，都有－狓∈犚，且
犳（－狓）＝ （－狓） ３＋５（－狓）
＝－（狓３＋５狓）
＝－犳（狓），
所以函数狔＝犳（狓）为奇函数．
探 究
具有奇偶性的函数，其定义域具有怎样的特点？
练 习 １．函数犳（狓）＝ 槡狓２＋５（ ）．
Ａ．是奇函数但不是偶函数 Ｂ．是偶函数但不是奇函数
Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．既不是奇函数也不是偶函数
２．函数犳（狓）＝狓２＋２狓的图象是否关于某条直线对称？它是否为偶函数？
３．已知函数犳（狓）在狔轴右边的图象如图所示．
（１）若犳（狓）是偶函数，试画出函数犳（狓）在狔轴左边的图象；
（２）若犳（狓）是奇函数，试画出函数犳（狓）在狔轴左边的图象．
（第３题）
４．对于定义在犚上的函数犳（狓），下列判断是否正确？
（１）若犳（狓）是偶函数，则犳（－２）＝犳（２）；
（２）若犳（－２）＝犳（２），则函数犳（狓）是偶函数；
（３）若犳（－２）≠犳（２），则函数犳（狓）不是偶函数；
１ １８
５
函数概念与性质 第 章
（４）若犳（－２）＝犳（２），则函数犳（狓）不是奇函数．
借助Ｅｘｃｅｌ或其他 ５．证明函数犳（狓）＝狓３－狓在犚上是奇函数．
计算工具画出函数 ６．判断下列函数的奇偶性：
犳（狓）＝狓３－狓的图象．
（１）犳（狓）＝狓＋
１
；
狓
（２）犳（狓）＝
狓４－１
；
狓２
（３）犳（狓）＝２狘狓狘－３．
７．求证：
（１）犳（狓）＝狘狓＋３狘＋狘狓－３狘是犚上的偶函数；
（２）犵（狓）＝狘狓＋３狘－狘狓－３狘是犚上的奇函数．
习题５．４
感受·理解 １．下列函数哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些既不是奇函数也不是偶
函数？
（１）犳（狓）＝２狓２－７；
（２）犳（狓）＝狓３＋５狓；
（３）犳（狓）＝５狓－３．
２．已知函数犳（狓）＝狓２－２狘狓狘－１，试判断函数犳（狓）的奇偶性，并画出函数
的图象．
１
３．证明函数犳（狓）＝狓３＋ 的图象关于原点对称．
狓３
４．证明函数犵（狓）＝狘狓狘＋狓２ 的图象关于狔轴对称．
思考·运用 ５．设犿为实数，函数犳（狓）＝狓２＋犿狓＋１是偶函数，求犿的值．
６．已知函数犳（狓）＝犪狓３－犫狓＋１，犪，犫∈犚，且犳（－２）＝－１，求犳（２）的值．
７．已知函数狔＝犳（狓）是犚上的奇函数，且当狓＞０时犳（狓）＝１，求函数
狔＝犳（狓）的表达式．
８．已知函数犳（狓）的定义域为犚．
（１）求证：函数犵（狓）＝犳（狓）＋犳（－狓）为犚上的偶函数；
（２）求证：函数犺（狓）＝犳（狓）－犳（－狓）为犚上的奇函数；
（３）试判断：定义在犚上的函数犳（狓）能否表示为一个奇函数和一个偶函
数的和．
探究·拓展 ９．设犪为给定实数，函数犳（狓）的定义域为犃．
（１）若对于任意狓∈犃，都有犳（犪－狓）－犳（犪＋狓）＝０，问：此函数的图象
一定具有怎样的对称性？说明理由．
（２）若对于任意狓∈犃，都有犳（犪－狓）＋犳（犪＋狓）＝０，问：此函数的图象
一定具有怎样的对称性？说明理由．
１ １９
必修第一册 数学
链 接 映 射 的 概 念
我们已经知道，函数是建立在两个非空数集之间的一种对应关
系：对于集合犃中的每一个实数狓，在集合犅中都有唯一的实数狔和
它对应．是否存在两个普通集合之间的类似的对应关系呢？
例如，坐标平面内的所有点组成的集合为犃，所有的有序数对组
成的集合为
犅＝ ｛（狓，狔）狘狓∈犚，狔∈犚｝．
让每一点与其坐标对应，则犃中的每一个元素（点），在犅中都有唯一
的元素（有序数对）与之对应．
一般地，设犃，犅是两个非空集合，如果按某种对应关系犳，对于
犃中的每一个元素，在犅中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对
应称为从集合犃到集合犅的映射（ｍａｐｐｉｎｇ），记为
犳：犃→犅．
例 如图所示的对应中：
根据映射的定义，可以知道图中，（４）的对应是从犃到犅的映射，
（１）（２）（３）的对应不是从犃到犅的映射．
请思考：
１．假定某高中每个班级都有４５位同学，每个班级学生按１～４５
进行编号，全校学生的姓名都不相同．设集合犃＝｛狓狘狓为某
高中的学生的姓名｝，犅＝｛狓狘１≤狓≤４５，狓∈犖｝，犳：每个
学生姓名对应学生的编号；犵：每个编号对应学生的姓名．问：
犳是否为从犃到犅的映射？犵是否为从犅到犃的映射？
２．设犃＝犅＝｛犪，犫，犮，犱，犲，…，狓，狔，狕｝（元素为２６个英文
１ ２０
５
函数概念与性质 第 章
字母），作映射犳：犃→犅为
，
并称犃中字母拼成的文字为明文，相应的犅中对应字母拼成
的文字为密文．
（１）犿犪狋犺犲犿犪狋犻犮狊的密文是什么？
（２）试破译密文犼狌犼狋犵狏狅狅狕．
３．如图，小明同学在学习映射时，找到了生活中的一个实例———
纽扣对应．你能再举一些生活中与映射有关的例子吗？
４．映射与函数有什么区别与联系？
１ ２１
必修第一册 数学
问题与探究
犳（狓）＋犵（狓），犳（狓）犵（狓）和犳（犵（狓））的单调性
我们知道，函数犳（狓）＝狓３ 与犵（狓）＝２狓在犚上都是增函数，那
么，函数犳（狓）＋犵（狓）即狓３＋２狓在犚上是否仍是增函数？能说明理
由吗？
一般地，设函数犳（狓），犵（狓）的定义域均为犃，尝试探究：
（１）若函数犳（狓），犵（狓）都是增函数，试判别函数犳（狓）＋犵（狓）在
定义域犃上的单调性，并说明理由．
又若犳（狓），犵（狓）都是减函数，结果如何呢？试说明理由．
（２）函数犳（狓），犵（狓）都是增函数或都是减函数，判别函数
犳（狓）犵（狓）在定义域犃上的单调性．
总结上述探究（１）（２），你能得到哪些结论？并继续探究，将你探
究的结果填入下表中（用“增函数”“减函数”“不能确定”填空）：
犳（狓） 犵（狓） 犳（狓）＋犵（狓） 犳（狓）犵（狓）
增函数 增函数
增函数 减函数
减函数 增函数
减函数 减函数
我们知道，定义在犚上的函数犳（狓）＝２狓与定义在非负实数集
上的函数犵（狓）＝狓２ 都是增函数，那么函数犳（犵（狓））是否仍为增函
数？说明理由．
一般地，设函数犳（狓）的定义域为犉，犵（狓）的定义域为犌，且犵（狓）
的值域为犉的子集．
（１）若犳（狓），犵（狓）都是增函数，试判别犳（犵（狓））的单调性；
（２）若犳（狓）是增函数，犵（狓）是减函数，试判别犳（犵（狓））的单
调性．
总结上述探究（１）（２），你能得到哪些结论？并继续探究，将你探
究的结果填入下表中（用“增函数”“减函数”“不能确定”填空）：
犳（狓） 犵（狓） 犳（犵（狓））
增函 数 增函数
增函 数 减函数
减函 数 增函数
减函 数 减函数
１ ２２
５
函数概念与性质 第 章
阅 读 函数概念的形成与发展
１６３７年，法国数学家笛卡儿（Ｒ．Ｄｅｓｃａｒｔｅｓ，１５９６—１６５０）在《几何
学》中第一次提到“未知和未定的量”，涉及了变量，同时也引入函数
的思想．１６９２年，德国数学家莱布尼茨（Ｇ．Ｌｅｉｂｎｉｚ，１６４６—１７１６）最早
使用“函数”这个词，他用“函数”表示随着曲线的变化而改变的几何
量，如切线和点的纵坐标等．
１７１８年，瑞士数学家约翰·伯努利（Ｊ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１６６７—１７４８）给
出函数新的解释：“由变量狓和常量用任何方式构成的量都可以叫作
狓的函数．”
１７５５年，瑞士数学家欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）给出了函数的
如下定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当
后面这些变量变化时，前面这些变量也随之而改变，那么将前面的变
量称为后面变量的函数．”在函数概念形成的早期阶段，由于接触到
的函数都是解析式形式，于是多数人认为函数一定能用解析式表示，
他们很难理解不能用解析式表示的函数．
随着微积分等数学领域研究的深入，人们对函数的本质理解也
不断加深．１８３７年，德国数学家狄利克雷（Ｐ．Ｇ．Ｄｉｒｉｃｈｌｅｔ，１８０５—
１８５９）认为：“如果对于狓的每一个值，狔总有一个完全确定的值与之
对应，那么狔是狓的函数．”此外，他还给出了“狄利克雷函数”：
烄１，狓为有理数，
狔＝犇（狓）＝烅
烆０，狓为无理数．
自此，人们对函数的本质有了深刻的理解．“变量狔是狓的函数”
意味着：只要有一个法则存在，使得这个函数定义域中的每一个值
狓，有一个确定的狔值和它对应，而不管这个法则是公式、图象、表格
还是其他形式．
１９世纪７０年代后，集合概念的出现使函数概念又得到进一步的
发展．人们用集合和对应的语言来定义函数概念，可以更深入地理解
函数本质．
１８５９年，我国清朝数学家李善兰（１８１１—１８８２）将ｆｕｎｃｔｉｏｎ一词
译成“函数”，并给出定义：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数．”
这里的“函”，是包含的意思．在国外的数学书上，习惯将函数（即对应
关系）记为犳，而在国内的数学书上，通常将函数写为犳（狓）．
写 作 收集函数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述函数
发展的过程、重要的结果，函数发展中的重要人物、事件及其对人类
文明的贡献．
１ ２３
必修第一册 数学
本章回顾
本章从实际背景出发，抽象出函数概念，给出函数的表示方法，
研究了函数的单调性、奇偶性，进而运用这些性质解决一些问题．
本章从３个具体问题入手，通过对不同问题所具有的共同属性的
分析与概括，建立了一般函数的概念．函数是建立在两个非空数集犃，
犅上的一种对应关系．对集合犃中每一个元素狓，按照对应关系犳，在
集合犅中都有唯一的狔＝犳（狓）与之对应，则称狔＝犳（狓）为集合犃上
的函数．
本章在研究函数性质的过程中，主要运用了数形结合的方法．通
过函数的图象可以探索函数的性质，利用函数的性质又可以研究函
数的图象．这种研究方法在以后的学习中会经常使用．
复 习 题
感受·理解 １．求下列函数的定义域：
槡狓＋１
（１）犳（狓）＝槡３狓＋５； （２）犳（狓）＝ ；
狓＋２
１ １
（３）犳（狓）＝ ； （４）犳（狓）＝槡狓－１＋ ．
槡３－２狓 狓＋４
２．画出下列函数的图象：
狘狓狘＋狓
（１）狔＝１＋ ； （２）狔＝狘狓２－狓狘．
２
３．已知函数犳（狓）＝２狓＋１，狓∈［１，５］，试求函数犳（２狓－３）的表达式．
４．已知二次函数的图象顶点为犃（１，１６），且图象在狓轴上截得的线段长为８，
求这个二次函数的解析式．
１ ２４
５
函数概念与性质 第 章
５．如图，在１张边长为２０ｃｍ的正方形铁皮的４个角上，各剪去１个边长是
狓ｃｍ的小正方形，折成１个容积是狔ｃｍ３ 的无盖长方体铁盒．试写出用狓
表示狔的函数关系式，并指出它的定义域．
（第５题）
６．设一个函数的解析式为犳（狓）＝２狓＋３，它的值域为｛－１，２，５，８｝，求此函
数的定义域．
烄
３狓２－４，狓＞０，
７．画出函数犳（狓）＝烅２， 狓＝０，的图象，并求出犳（－２），犳（１），
烆－１， 狓＜０
犳（犳（２））的值．
８．设犪为非零常数，试研究函数狔＝犪狓３ 的单调性．
９．已知函数狔＝犳（狓）的定义域是［犪，犫］，犪＜犮＜犫．在区间［犪，犮］上，犳（狓）
单调递减；在区间［犮，犫］上，犳（狓）单调递增．求证：犳（狓）在狓＝犮时取得最
小值．
思考·运用 １０．已知一个函数的解析式为狔＝狓２，它的值域是｛１，４｝，求此函数的定义域．
１１．求满足下列条件的函数犳（狓）的解析式：
（１）犳（１＋狓）＝３狓＋２；
（２）犳（２狓）＝３狓２＋１．
１２．设犃犣，且犃≠，从犃到犣的两个函数分别为犳（狓）＝狓２＋１，犵（狓）＝
３狓＋５．若对于犃中的任意一个狓，都有犳（狓）＝犵（狓），试求集合犃．
１３．已知函数犳（狓）＝狓＋１，试求犳（犳（犳（狓）））的表达式，并猜一猜
犳（犳（犳（犳（…犳（狓）…））））（狀∈犖 ）的表达式．
烏 烐 烑
狀个犳
１４．（１）函数狔＝犳（狓）与狔＝犳（－狓）的图象之间有什么关系？
（２）已知函数犳（狓）＝狓２－２狓－１的图象如图所示，画出下列函数的图象：
①狔＝犳（－狓）； ②狔＝－犳（狓）；
（第１４（２）题）
③狔＝犳（狓）＋１； ④狔＝犳（狓－２）．
探究·拓展 １５（１）已知函数狔＝犳（狓），狓∈犚，对于任意的狓，狔∈犚，犳（狓＋狔）＝犳（狓）＋
犳（狔），求证：犳（０）＝０，且犳（狓）是奇函数；
（２）请写出几个满足上述条件的函数．
１ ２５必修第一册 数学
本章测试
１
一、填空题 １．函数犳（狓）＝狓＋ 的定义域为 ．
２狓＋１
２．函数狔＝槡２狓－１的值域为 ．
烄２－狓，狓≥１，
３．已知函数犳（狓）＝烅 那么犳（犳（３））的值为 ．
烆狓２，狓＜１，
４．如果函数狔＝犳（狓）的图象如图所示，那么此函数的减区间为 ．
（第４题）
５．设犿为实数，若函数犳（狓）＝狓２－犿狓＋犿＋２（狓∈犚）是偶函数，则犿的值
为 ．
６．设犿为实数，若函数犳（狓）＝狓２＋犿狓－２在区间（－∞，２）上单调递减，则
犿的取值范围为 ．
二、选择题
７．如果函数犳（狓）＝狓２＋２狓－３，狓∈ ［０，２］，那么函数犳（狓）的值域为
（ ）．
Ａ．［－４，＋∞） Ｂ．［－４，５］
Ｃ．［－３，５］ Ｄ．［０，５］
８．已知函数犳（狓）是定义在犚上的偶函数，若犳（狓）在区间（－∞，０）上单调递
增，则下列关系式中成立的是（ ）．
Ａ．犳（－１）＜犳（－２） Ｂ．犳（１）＜犳（２）
Ｃ．犳（－１）＜犳（２） Ｄ．犳（－１）＞犳（２）
９．已知集合犃＝｛０，１，２｝，犅＝｛－１，１，３｝，下列对应关系中，从犃到犅的
函数为（ ）．
Ａ．犳：狓→狔＝狓 Ｂ．犳：狓→狔＝狓２
Ｃ．犳：狓→狔＝２狓 Ｄ．犳：狓→狔＝２狓－１
１０．若函数犳（狓）是奇函数，且当狓＞０时，犳（狓）＝狓３＋狓＋１，则当狓＜０时，
犳（狓）的解析式为（ ）．
Ａ．犳（狓）＝狓３＋狓－１
Ｂ．犳（狓）＝－狓３－狓－１
Ｃ．犳（狓）＝狓３－狓＋１
Ｄ．犳（狓）＝－狓３－狓＋１
１ ２６５
函数概念与性质 第 章
三、解答题 １１．已知集合犃＝｛－１，０，１｝，犅＝｛０，１｝，试写出从犃到犅的两个函数．
１２．有一批材料可以建成长为２００ｍ的围墙，现用该材料一边靠墙围成一块矩
形场地，中间用同样的材料隔成３个面积相等的小矩形（如图）．设与墙垂直
的一边长为狓ｍ，试写出围成的矩形的面积犛（单位：ｍ２）关于边长狓的函
数解析式．
（第１２题 ）
１３．记函数犳（狓）＝槡３－狓＋槡狓－１的定义域为集合犕，函数犵（狓）＝
狓２－２狓＋３的值域为集合犖，求：
（１）犕，犖；
（２）犕∩犖，犕∪犖．
４
１４．利用函数单调性的定义，证明：函数犳（狓）＝狓＋ 在区间（０，２）上单调
狓
递减．
１５．已知函数犳（狓）＝狘狓＋２狘＋狓－３．
（１）用分段函数的形式表示犳（狓）；
（２）画出狔＝犳（狓）的图象，并写出函数的单调区间、值域．
１ ２７
必修第一册 数学
第６章 幂函数、指数函数和
对数函数
１ ２８
５
函数概念与性质 第 章
１ ２９
必修第一册 数学
函数概念的分析，为探索种种运动规律提供有力工具，
教给人们如何依据已有的经验去预测未来的事物，从而进
一步获得自然界的科学知识，从千姿百态的现象中总结出
反映本质的基本规律．
普林希姆
等式２３＝８给出了三个数２，３，８之间的一种关系，用符号抽象
后可表示为
犪犫＝犖．
在犪犫＝犖中，如果给定犪，犫，犖三个数中的两个数，那么犪犫＝犖
就成为以另一个数为未知数的方程，如：
２３＝狓，
狓３＝８，
２狓＝８．
对此，我们已分别学习了乘方运算、开方运算和对数运算．
进一步，在犪犫＝犖中，如果只给定犪，犫，犖三个数中的一个数，
那么犪犫＝犖就成为另两个数之间的“函数关系”，如：
狓３＝狔，
２狓＝狔，
２ 狔＝狓．
● 上述狓，狔的关系中，可得到怎样的函数模型？
● 这些函数有哪些性质和应用？
１ ３０
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
６．１
幂函数
试考察下列问题：
（１）正方体的边长为狓，体积为狔，则狔＝狓３．
（２）若某放射性物质每经过１年，其剩留量是原来的狓倍，则质
量为１的这种物质经过１００年后，其剩留量应为犆＝狓１００．
（３）如果某人驾车在狋ｓ内行进了１ｋｍ，那么该车的平均速度为
狏＝狋 －１ｋｍ／ｓ．
● 函数狔＝狓３ ，犆＝狓１００ ，狏＝狋－１ 具有什么共同特征？
这些函数的表达式是一个指数幂的形式，底数是自变量，指数是
常数，这样的函数称为幂函数．
一般地，
我们把形如
狔＝狓α
的函数称为幂函数（ｐｏｗｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎ），其中狓是自变量，α是常数．
下面我们结合第５章讨论的函数的基本内容，如函数的定义域、值
域、图象、单调性、奇偶性等，来认识一些幂函数的性质．
例１ 写出下列函数的定义域，并分别指出它们的奇偶性：
（１）狔＝狓３ ； （２）狔＝狓１； （３）狔＝狓 －２．
２
解 （１）函数狔＝狓３ 的定义域是犚．
因为对任意的狓∈犚，－狓∈犚，且都有（－狓） ３ ＝ （－１） ３狓３ ＝
－狓３ ，所以由奇函数的定义知，函数狔＝狓３ 是奇函数．
（２）函数狔＝狓１ 即狔＝槡狓，其定义域是［０，＋∞）．
２
因为当狓∈（０，＋∞）时，－狓（０，＋∞），所以由奇函数、偶函
数的定义可知，函数狔＝狓１ 既不是奇函数，也不是偶函数．
２
１
（３）由函数狔＝狓
－２
即狔＝ 可知狓≠０，所以此函数的定义域
狓２
是（－∞，０）∪（０，＋∞）．
因为对任意的狓∈ 犚，狓≠０，都有 －狓∈ 犚，－狓≠０，且
（－狓） －２＝（－１） －２·狓 －２＝狓 －２ ，所以由偶函数的定义知，函数狔＝狓 －２
是偶函数．
１ ３１
必修第一册 数学
思 考 函数狔＝狓３ ，狔＝狓１
２
，狔＝狓
－２
的单调性如何？
在同一坐标系内画出幂函数狔＝狓２ ，狔＝狓３ ，狔＝狓１
２
的图象，如
图６ １ １所示．
图６ １ １
观察图象，可以发现这３个函数有如下共同特性：
（１）函数的图象都过点（０，０）和（１，１）；
（２）在第一象限内，函数的图象随狓的增大而上升，函数在区间
［０，＋∞）上是增函数．
一般地，对于函数狔＝狓
α
，当α＞０时，也具有上述两条性质．
例２ 试比较下列各组数的大小：
（１）１．１３ ，０．８９３ ；
（２）２．１１，２１，１．８１；
２ ２ ２
（１）
（３） １．３，１，３１．
２ ３
解 （１）因为函数狔＝狓３ 在区间［０，＋∞）上是增函数，又１．１＞
０．８９，所以１．１３＞０．８９３．
（２）因为函数狔＝狓１ 在区间［０，＋∞）上是增函数，又２．１＞
２
２＞１．８，所以２．１１ ＞２１ ＞１．８１．
２ ２ ２
（３）因为函数狔＝狓１．３ 在区间［０，＋∞）上是增函数，又１＝１１．３ ，
１ （１）
＜１，所以 １．３＜１１．３＝１．
２ ２
因为函数狔＝狓１ 在区间［０，＋∞）上是增函数，又１１ ＝１，３＞
３ ３
（１）
１，所以３１ ＞１１ ＝１．于是 １．３＜１＜３１．
３ ３ ２ ３
在同一坐标系内画出幂函数狔＝狓 －１ ，狔＝狓 －３ ，狔＝狓 －１ 的图象，
２
１ ３２
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
如图６ １ ２所示．
图６ １ ２
观察图象，可以发现，这３个函数有如下共同特性：
（１）函数的图象都过点（１，１）；
能否利用函数单
（２）在第一象限内，函数的图象随狓的增大而下降，函数在区间
调性定义给出严格
证明？
（０，＋∞）上是减函数．
一般地，对于函数狔＝狓
α
，当α＜０时，也具有上述两条性质．
信息技术 ＧｅｏＧｅｂｒａ（简称ＧＧＢ）是一款用于大中小学数学教与学的免费
开源软件，主界面包括代数区、绘图区、３Ｄ绘图区、表格区等．代数区
除了可以进行数值计算，还可以进行符号运算（如因式分解、求方程
的根等）；绘图区可以作出各种平面几何图形或函数的图象；３Ｄ绘图
区能够作出空间三维图形；表格区具有类似Ｅｘｃｅｌ的功能，可以像
Ｅｘｃｅｌ那样进行操作．
图６ １ ３
用ＧＧＢ作函数狔＝狓
α
的图象，可以直接在“输入”框中键入“狔＝
狓 ∧α”后，确认“创建滑动条：α”．拖动滑动条就能直观地观察函数
狔＝狓 α 的图象变化情况（图６ １ ３）．
１ ３３
必修第一册 数学
练 习 １．分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（１）狔＝狓４； （２）狔＝狓１ ４ ；
（３）狔＝狓－３； （４）狔＝狓２．
３
２．已知幂函数狔＝狓α 的图象过点（２，槡２），试求出这个函数的解析式．
３．画出函数狔＝狓１ 的图象，并指出其单调区间．
３
４．试比较下列各组数中两个数的大小：
（ ） （ ）
（１）２．２１，２．３１； （２） １ －２， １ －２；
５ ５ ２ ３
（３）１．２－１，１．３－１； （４）０．２５，０．３５．
２ ２
习题６．１
感受·理解 １．分别写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
（１）狔＝狓５； （２）狔＝狓５ ６ ；
（３）狔＝狓－４ ５ ； （４）狔＝狓－３ ２ ．
２．比较下列各组数中两个数的大小：
（１）５．２３１
２
，５．２４１
２
； （２）０．２６－１，０．２７－１；
（３）１．４－３，１．７－３； （４）（－０．７２）３，（－０．７５）３．
２ ２
３．画出函数狔＝狓２
３
的图象，并指出其奇偶性、单调性．
４．在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：
（１）狔＝狓１
２
，狔＝狓１
３
； （２）狔＝狓－１，狔＝狓－２．
５．证明：幂函数狔＝槡狓在区间［０，＋∞）上是增函数．
思考·运用 ６．汽车在隧道内行驶时，安全车距犱（单位：ｍ）正比于车速狏（单位：ｋｍ／ｈ）的
平方与车身长（单位：ｍ）的积，且安全车距不得小于半个车身长．假定车身
长约为４ｍ，车速为６０ｋｍ／ｈ，安全车距为１４．４个车身长，试写出犱与狏之
间的函数关系式．
犳（狓）＋犳（狓）
７．已知函数犳（狓）＝槡狓，对于任意的狓，狓∈［０，＋∞），试比较 １ ２
１ ２ ２
（ ）
狓＋狓
与犳 １ ２ 的大小．
２
１ ３４
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
６．２
指数函数
试考察下列问题：
（１）在４．１节研究细胞分裂时，得到函数狔＝２狓．
（２）在４．２．２节的例１０中，得到函数狔＝０．９９９８７９狓．
（３）庄子曰：“一尺之捶，日取其半，万世不竭”（“捶”同“棰”）．设
（ ）
经过的天数为狓（天），木棰剩余的长度为狔（尺），则有狔＝ １ 狓 ．
２
（ ）
庄子，战国中期著
● 函数狔＝２狓，狔＝０．９９９８７９狓，狔＝ １
２
狓具有什么共同
名的思想家、哲学家和 特征？
文学家，是道家学派的
主要代表人物之一，主
这些函数的表达式都是指数幂形式，底数为常数，指数为自变
要著作有《庄子》．
量，这样的函数称为指数函数．
一般地，
函数
狔＝犪狓 （犪＞０，犪≠１）
叫作指数函数（ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ），它的定义域是犚．
在图６ ２ １中，我们同时画出了指数函数狔＝１０狓 ，狔＝２狓 和
（ ）
狔＝ １ 狓的图象．观察图６ ２ １，通过研究函数的定义域、值域、奇
２
偶性、单调性等，我们可以发现指数函数的性质如表６ ２ １所示．
图６ ２ １
１ ３５
必修第一册 数学
表６ ２ １ 指数函数狔＝犪狓的图象与性质
犪＞１ ０＜犪＜１
图
象
（１）定义域：犚
（２）值域：（０，＋∞）
性 （３）图象过定点（０，１），图象在狓轴的上方
（４）在（－∞，＋∞）上是增 在（－∞，＋∞）上是减函数；
质
函数； 当狓＞０时，０＜狔＜１；
当狓＞０时，狔＞１； 当狓＜０时，狔＞１
当狓＜０时，０＜狔＜１
探 究
（１）在画图过程中，你还发现了指数函数的其他性质吗？
（ ）
（２）函数狔＝２狓 与狔＝ １ 狓 的图象有怎样的关系？你能得到更
２
一般的结论吗？
例１ 比较下列各组数中两个数的大小：
（１）１．５２．５ ，１．５３．２ ；
（２）０．５－１．２ ，０．５－１．５ ；
（３）１．５０．３ ，０．８１．２．
解 （１）考察指数函数狔＝１．５狓．
因为 １．５＞１，
所以狔＝１．５狓 在犚上是增函数．
又因为 ２．５＜３．２，
利用计算工具（计 所以 １．５２．５＜１．５３．２．
算器或计算机）可以验
（２）考察指数函数狔＝０．５狓．
证例１中的结论．
因为 ０＜０．５＜１，
所以狔＝０．５狓 在犚上是减函数．
又因为 －１．２＞ －１．５，
所以 ０．５ －１．２＜０．５ －１．５．
（３）考察指数函数狔＝１．５狓．
因为 １．５＞１，
１ ３６
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
所以狔＝１．５狓 在犚上是增函数．
又因为 ０．３＞０，
所以 １．５０．３＞１．５０＝１．
同理 ０．８１．２＜０．８０＝１，
故 １．５０．３＞０．８１．２．
例２ （１）已知３狓≥３０．５ ，求实数狓的取值范围；
（２）已知０．２狓＜２５，求实数狓的取值范围．
解 （１）因为 ３＞１，
所以指数函数狔＝３狓 在犚上是增函数．
由３狓≥３０．５ 可得狓≥０．５．
故狓的取值范围为区间［０．５，＋∞）．
（２）因为 ０＜０．２＜１，
所以指数函数狔＝０．２狓 在犚上是减函数．
（ ）
因为 ２５＝ １ －２ ＝０．２－２ ，
５
所以 ０．２狓＜０．２－２．
由此可得 狓＞－２．
故狓的取值范围为区间（－２，＋∞）．
例３ 说明下列函数的图象与指数函数狔＝２狓 的图象的关系，
并画出它们的示意图：
（１）狔＝２狓－２ ； （２）狔＝２狓＋２．
解 比较函数狔＝２狓 与函数狔＝２狓－２ ，狔＝２狓＋２ 的取值关系，列
表如表６ ２ ２所示．
表６ ２ ２
狓 狔＝２狓－２ 狔＝２狓 狔＝２狓＋２
－４ ２－６ ２－４ ２－２
－３ ２－５ ２－３ ２－１
－２ ２－４ ２－２ ２０
－１ ２－３ ２－１ ２１
０ ２－２ ２０ ２２
１ ２－１ ２１ ２３
２ ２０ ２２ ２４
１ ３７
必修第一册 数学
一般地，因为函数狔＝２狓－２ 中狓＝犪＋２对应的狔值与函数
狔＝２狓 中狓＝犪对应的狔值相等，所以将指数函数狔＝２狓 的图象向右
平移２个单位长度，就得到函数狔＝２狓－２ 的图象．
同样地，因为函数狔＝２狓＋２ 中狓＝犪－２对应的狔值与函数狔＝
２狓 中狓＝犪对应的狔值相等，所以将指数函数狔＝２狓 的图象向左平移
２个单位长度，就得到函数狔＝２狓＋２ 的图象．
这些函数的图象如图６ ２ ２所示．
图６ ２ ２
思 考
函数狔＝犪狓＋犺 与函数狔＝犪狓 （犪＞０，犪≠１，犺≠０）的图象之间
有怎样的关系？
练 习 １下列各数中，哪些大于１，哪些小于１？
（ ） （ ） （ ）
６ ２ ３ －７ ５ －５
３， ３， ６，（０．１６）０．２．
５ ４ ３
２．指出下列函数的单调性：
（ ）
（１）狔＝５狓； （２）狔＝ ２
３
狓；
（３）狔＝０．５狓； （４）狔＝－２狓．
３．设犪为实数，如果指数函数犳（狓）＝（犪－１）狓 是犚上的减函数，那么犪的取值
范围是（ ）．
Ａ．犪＜２ Ｂ．犪＞２ Ｃ．１＜犪＜２ Ｄ．０＜犪＜１
４．比较下列各组数中两个值的大小关系：
（ ） （ ）
（１）３．１０．５，３．１２．３； （２） ３
２
－１．５， ３
２
－１．８；
（ ） （ ）
（３）０．６２，０．６３； （４） ２ －０．３， ２ －０．２４；
３ ３
（５）０．５３．２，１．３２．１； （６）２．３－２．５，０．２－０．１．
５分别根据下列条件确定正数犪与１的大小关系：
（１）犪３ ＜犪４； （２）犪２ ＞犪１；
５ ５ ３ ３
（３）犪－３ ＞犪５； （４）犪－０．５＜犪－０．６．
４ ４
６．分别求满足下列条件的实数狓的取值范围：
１
（１）２狓＞８； （２）３狓＜
２７
；
１ ３８
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
（ ）
（３） １ 狓 ＞槡２； （４）５狓＜０．２．
２
７．函数狔＝２－狓 的图象为（ ）．
例４ 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过１年，这种
物质剩留的质量是原来的８４％．写出这种物质的剩留量关于时间的
函数关系式．
解 设该物质最初的质量是１，经过狓年剩留量是狔．
经过１年，剩留量
狔＝１×０．８４＝０．８４１ ；
经过２年，剩留量
狔＝０．８４×０．８４＝０．８４２ ；
……
一般地，经过狓年，剩留量
狔＝０．８４狓 （狓＞０，狓∈犖
）．
例５ 某种储蓄按复利计算利息，若本金为犪元，每期利率为狉，
复利是把前一期
的利息和本金加在一 设存期是狓（狓∈犖 ），本利和（本金加上利息）为狔元．
起作本金，再计算下一 （１）写出本利和狔随存期狓变化的函数关系式；
期利息的一种计算利 （２）已知存入本金１０００元，每期利率为２．２５％，试计算５期后
息的方法． 的本利和．
解 （１）已知本金为犪元，利率为狉，则１期后的本利和为
狔＝犪＋犪狉＝犪（１＋狉），
２期后的本利和为
狔＝犪（１＋狉）＋犪（１＋狉）狉＝犪（１＋狉） ２ ，
３期后的本利和为
狔＝犪（１＋狉）
３
，
……
狓期后的本利和为
狔＝犪（１＋狉） 狓 ，狓∈犖 ，
１ ３９
必修第一册 数学
即本利和狔随存期狓变化的函数关系式为
狔＝犪（１＋狉） 狓 ，狓∈犖 ．
（２）将犪＝１０００（元），狉＝２．２５％，狓＝５代入上式，得
狔＝１０００×（１＋２．２５％） ５＝１０００×１．０２２５５≈１１１７．６８（元），
即５期后的本利和约为１１１７．６８元．
思 考 在例５中，请借助计算器解答下列问题：
（１）第几期后的本利和超过本金的１．５倍？
（２）要使１０期后的本利和翻一番，利率应为多少？（精确到０．００１）
例６ ２０００～２００２年，我国国内生产总值年平均增长７．８％．按
照这个增长速度，画出从２０００年开始我国年国内生产总值随时间变
化的图象，并通过图象观察到２０１６年我国年国内生产总值约为２０００
年的多少倍（结果取整数）．
解 设２０００年我国年国内生产总值是１，狓年后我国年国内生
产总值为狔．
因为国内生产总值年平均增长７．８％，所以从２００１年开始，每年
的国内生产总值是上一年的１．０７８倍，则
经过１年，
狔＝１×１．０７８＝１．０７８；
经过２年，
狔＝１．０７８×１．０７８＝１．０７８２ ；
经过３年，
狔＝１．０７８２×１．０７８＝１．０７８３ ；
……
一般地，经过狓年，我国年国内生产总值
狔＝１．０７８狓 ，狓∈犖
．
画出指数函数狔＝１．０７８狓 的图象，如图６ ２ ３所示．从图象上
看出，当狓＝１６时，狔≈３．
图６ ２ ３
１ ４０
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
答 到２０１６年我国年国内生产总值约为２０００年的３倍．
在日常生活中，还有许多问题可以归结为指数函数问题加以解决．
练 习 １．已知２０１６年我国国内生产总值为犪，设以后每年的年平均增长率为犫，试写
出狓年后国内生产总值狔和狓之间的函数关系式．
２．某种产品的年销售量为１００００件，由于其他新产品的出现，估计该产品的
市场需求每年下降１０％．写出狓年后，年销售量狔（单位：件）和狓（单位：
年）之间的函数关系式．
３．某人向银行贷款１０万元做生意，约定按年利率７％ 的复利计算利息，写出
狓年后，需要还款总数狔（单位：万元）和狓（单位：年）之间的函数关系式，
并用计算器计算５年后的还款总额．
习题６．２
感受·理解 １．某种细胞分裂时，由１个分裂成２个，２个分裂成４个……依此类推，写出
这样的一个细胞分裂狓次后，得到的细胞个数狔与分裂次数狓之间的函数
关系式．
３
２．用清水漂洗衣服，每次能洗去污垢的 ．设漂洗前衣服上的污垢量为１，写
４
出衣服上存留的污垢量狔与漂洗次数狓之间的函数关系式．若要使存留的
污垢不超过原有的１％，至少要漂洗几次？
３．比较下列各组数中两个数的大小：
（１）１．７犿，１．７犿＋１； （２）０．８－０．１，０．８－０．２；
（３）０．９犿，０．９犿－１； （４）０．６１８１．９，０．６１８１．８．
４．分别把下列各题中的３个数按从小到大的顺序用不等号连接起来：
（ ）
（１）２２．１，２１．９，０．３２．１； （２）２２．５，２．５０， １ ２．５；
２
（ ） （ ） （ ）
（３）０．８０．８，０．８０．９，１．２０．８； （４）
２ －１
３，
５ －２
３，
３ ２
３．
３ ３ ２
５．设犿，狀为实数，已知下列不等式成立，试比较犿，狀的大小：
（１）２犿＜２狀； （２）０．２犿＜０．２狀；
（３）犪犿＜犪狀（０＜犪＜１）．
６．设犪为实数，犪＞０，犪≠１．已知下列不等式成立，求犪的取值范围：
（１）犪３＜犪２； （２）犪０．８＜犪０．５；
（３）犪－２＞犪－３； （４）犪犿＞犪狀（犿＞狀）．
７．解下列方程：
（１）２狓＝槡２； （ ２） ４狓 ＝８； （３ ）２ 狓＝３狓．
８．求满足下列条件的实数狓的取值范围：
（１）３狓＜９； （２）２狓＞ １ ；
８
（ ）
（３） １ 狓 ＞３槡９； （４）３狓＞７狓．
３
９．设犳（狓）＝３狓，求证：
（１）犳（狓）犳（狔）＝犳（狓＋狔）；
（２）犳（狓）÷犳（狔）＝犳（狓－狔）．
１ ４１
必修第一册 数学
１０．（１）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件犪个，计划从今年开始的犿
年内，每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长狆％，试写出此
种规格电子元件的年产量随年数变化的函数关系式；
（２）一电子元件厂去年生产某种规格电子元件的成本是犪元／个，计划从今年
开始的犿年内，每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降
狆％，试写出此种规格电子元件的单件成本随年数变化的函数关系式．
１１．设犪，犽为实数，犪＞０，犪≠１．试根据如图所示的函数狔＝犽犪－狓 的图象，求犽
和犪的值．
（第１１题） （第１２题）
１２．设犪，犫为实数，犪＞０，犪≠１．已知函数狔＝犪狓＋犫的图象如图所示，求犪，犫
的取值范围．
思考·运用 １３．设犪为实数，已知函数犳（狓）＝犪＋ １ （狓∈犚）是奇函数，求犪的值．
４狓＋１
１４．已知函数犳（狓）＝
２狓－１
，试讨论函数犳（狓）的单调性．
２狓＋１
１５．已知狔＝犳（狓）是定义在犚上的奇函数，且当狓＜０时，犳（狓）＝１＋２狓，你
能画出此函数的图象吗？
１６．有些家用电器（如冰箱等）使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的
臭氧层，使臭氧含量犙呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平
时，具有关系式犙＝犙ｅ－０．００２５狋，其中犙 是臭氧的初始量．
０ ０
（１）随时间狋的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
（２）试估计多少年以后将会有一半的臭氧消失．（用计算器计算）
探究·拓展 １７．已知函数犳（狓）＝２狓，对于任意的狓，狓∈犚，试比较 犳（狓 １ ）＋犳（狓 ２ ） 与
１ ２ ２
（ ）
狓＋狓
犳 １ ２ 的大小关系．
２
１ ４２
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
６．３
对数函数
我们知道，在某细胞分裂过程中，细胞个数狔是分裂次数狓的指
数函数狔＝２狓．因此，知道狓的值（输入值是分裂次数），就能求出狔
的值（输出值是细胞个数）．现在，我们来研究相反的问题：知道了细
胞个数狔，如何确定分裂次数狓？
为了求狔＝２狓 中的狓，我们将狔＝２狓 改写成对数式为
狓＝ｌｏｇ狔．
２
对于每一个给定的狔值，都有唯一的狓值与之对应．把狔看作自
变量，狓就是狔的函数．这样就得到了一个新的函数．
前面提到的放射性物质，经过的时间狓（单位：年）与物质剩留量
狔的关系式为
狔＝０．８４狓 ，
改写成对数式为
狓＝ｌｏｇ 狔．
０．８４
类似地，狔是自变量，狓是狔的函数．
函数２狔＝狓即为 习惯上，仍用狓表示自变量，用狔表示它的函数．这样，上面两个
函数狔＝ｌｏｇ狓． 函数就分别写成狔＝ｌｏｇ狓和狔＝ｌｏｇ 狓．类似还可以得到函数狔＝
２ ２ ０．８４
ｌｏｇ狓，狔＝ｌｏｇ狓等．
３ １
２
● 函数狔＝ｌｏｇ狓，狔＝ｌｏｇ 狓，狔＝ｌｏｇ狓，狔＝ｌｏｇ狓具有什
２ ０．８４ ３ １
么共同特征？ ２
这些函数的表达式都是对数的形式，底数是常数，真数是自变
量，这样的函数称为对数函数．
一般地，
函数
狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０，犪≠１）
犪
叫作对数函数（ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ），它的定义域是（０，＋∞）．
在图６ ３ １中，我们同时画出了对数函数狔＝ｌｏｇ狓，狔＝ｌｇ狓，
２
狔＝ｌｏｇ狓的图象．
１
２
观察图６ ３ １中的函数的图象，对照指数函数的性质，你发现
对数函数狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０，犪≠１）有哪些性质？
犪
１ ４３
必修第一册 数学
图６ ３ １
由图６ ３ １可以看出，对数函数的性质如表６ ３ １所示．
表６ ３ １ 对数函数狔＝ｌｏｇ狓的图象与性质
犪
犪＞１ ０＜犪＜１
图
象
（１）定义域：（０，＋∞）
（２）值域：犚
性
（３）图象过点（１，０）
质
（４）在（０，＋∞）上是增函数； 在（０，＋∞）上是减函数；
当０＜狓＜１时，狔＜０； 当０＜狓＜１时，狔＞０；
当狓＞１时，狔＞０ 当狓＞１时，狔＜０
思 考 函数狔＝ｌｏｇ狓与函数狔＝犪狓 （犪＞０，犪≠１）的定义域、值域之
犪
间有怎样的关系？
画出下列两组函数的图象，并观察各组函数的图象，寻找它们之
间的关系：
（ ）
１ 狓
（１）狔＝２狓 ，狔＝ｌｏｇ狓； （２）狔＝ ，狔＝ｌｏｇ狓．
２ ２ １
２
由图６ ３ ２可以看出，函数狔＝２狓 与狔＝ｌｏｇ狓的图象关于直
（ ） ２
线狔＝狓对称，函数狔＝ １ 狓与狔＝ｌｏｇ狓的图象也关于直线狔＝狓
２ １
２
对称．
１ ４４
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
也可以用计算器
通过列表描点的方法
作 出 这 两 组 函 数
的图象．
图６ ３ ２
思 考 一般地，当犪＞０，犪≠１时，函数狔＝犪狓 与狔＝ｌｏｇ狓的图象有怎
犪
样的关系？
关于反函数的有
当犪＞０，犪≠１时，狔＝ｌｏｇ狓称为狔＝犪狓 的反函数．反之，狔＝犪狓
犪
关内容参见本节的 也称为狔＝ｌｏｇ狓的反函数．一般地，如果函数狔＝犳（狓）存在反函数，
犪
“链接”． 那么它的反函数记作狔＝犳－１ （狓）．
例１ 求下列函数的定义域：
（１）狔＝ｌｏｇ （４－狓）；
０．２
（２）狔＝ｌｏｇ 槡狓－１（犪＞０，犪≠１）．
犪
解 （１）当４－狓＞０，即狓＜４时，ｌｏｇ （４－狓）有意义；
０．２
当狓≥４时，ｌｏｇ （４－狓）没有意义．
０．２
因此，函数狔＝ｌｏｇ （４－狓）的定义域是（－∞，４）．
０．２
（２）当槡狓－１＞０，即狓＞１时，ｌｏｇ槡狓－１有意义；
犪
当狓≤１时，ｌｏｇ槡狓－１没有意义．
犪
因此，函数狔＝ｌｏｇ槡狓－１的定义域是（１，＋∞）．
犪
例２ 比较下列各组数中两个数的大小：
（１）ｌｏｇ３．４，ｌｏｇ３．８；
２ ２
（２）ｌｏｇ １．８，ｌｏｇ ２．１；
０．５ ０．５
（３）ｌｏｇ５，ｌｏｇ７．
７ ６
解 （１）考察对数函数狔＝ｌｏｇ狓．
２
因为 ２＞１，
所以狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上是增函数．
２
又因为 ０＜３．４＜３．８，
所以 ｌｏｇ３．４＜ｌｏｇ３．８．
２ ２
（２）考察对数函数狔＝ｌｏｇ 狓．
０．５
因为 ０＜０．５＜１，
所以狔＝ｌｏｇ 狓在区间（０，＋∞）上是减函数．
０．５
又因为 ０＜１．８＜２．１，
１ ４５
必修第一册 数学
所以 ｌｏｇ １．８＞ｌｏｇ ２．１．
０．５ ０．５
（３）考察对数函数狔＝ｌｏｇ狓．
７
因为 ７＞１，
所以狔＝ｌｏｇ狓在区间（０，＋∞）上是增函数．
７
又因为 ０＜５＜７，
所以 ｌｏｇ５＜ｌｏｇ７＝１．
７ ７
同理 ｌｏｇ７＞ｌｏｇ６＝１，
６ ６
所以 ｌｏｇ５＜ｌｏｇ７．
７ ６
例３ 说明函数狔＝ｌｏｇ（狓＋２）与函数狔＝ｌｏｇ狓的图象的关系．
３ ３
对照６．２节的 解 比较函数狔＝ｌｏｇ（狓＋２）与狔＝ｌｏｇ狓的取值关系，列
３ ３
例３．
表如表６ ３ ２所示．
表６ ３ ２
狓 狔＝ｌｏｇ狓 狔＝ｌｏｇ（狓＋２）
３ ３
－１ ／ ０
－０．５ ／ ｌｏｇ１．５
３
０ ／ ｌｏｇ２
３
１ ０ １
１．５ ｌｏｇ１．５ ｌｏｇ３．５
３ ３
２ ｌｏｇ２ ｌｏｇ４
３ ３
３ １ ｌｏｇ５
３
一般地，函数狔＝ｌｏｇ（狓＋２）中狓＝犪－２对应的狔值与函数
３
狔＝ｌｏｇ狓中狓＝犪对应的狔值相等，则将对数函数狔＝ｌｏｇ狓的图象
３ ３
向左平移２个单位长度，就得到函数狔＝ｌｏｇ（狓＋２）的图象．
３
这两个函数的图象如图６ ３ ３所示．
图６ ３ ３
１ ４６
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
思 考 函数狔＝ｌｏｇ（狓＋犫）与函数狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０，犪≠１，犫≠０）
犪 犪
的图象之间有怎样的关系？
例４ 画出函数狔＝ｌｏｇ狘狓狘的图象，并根据图象写出函数的
２
单调区间．
解 由于函数狔＝犳（狓）＝ｌｏｇ狘狓狘满足对任意的狓∈
２
（－∞，０）∪（０，＋∞）都有
犳（－狓）＝ｌｏｇ狘－狓狘＝ｌｏｇ狘狓狘＝犳（狓），
２ ２
所以函数狔＝ｌｏｇ狘狓狘是偶函数，它的图象关于狔轴对称．
２
当狓＞０时，ｌｏｇ狘狓狘＝ｌｏｇ狓．因此，我们先画出函数狔＝ｌｏｇ狓
２ ２ ２
（狓＞０）的图象犆，再作出犆关于狔轴对称的图象犆．犆和犆构成
１ １ ２ １ ２
函数狔＝ｌｏｇ狘狓狘的图象，如图６ ３ ４．
２
图６ ３ ４
由图象可以知道，函数狔＝ｌｏｇ狘狓狘的减区间是（－∞，０），增区
２
间是（０，＋∞）．
信息技术 在ＧＧＢ中作出动态函数狔＝犪狓 与狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０，犪≠１）的
犪
图象，直观地理解第１４５页“思考”中的问题．
（１）在输入框中输入 “狔＝犪
∧
狓”，确认 “创建滑动条：犪”
（图６ ３ ５）；
（２）在输入框中输入 “狔＝ｌｏｇ（犪，狓）”，敲回车确认；
（３）拖动滑块犪，观察两个图象的动态变化趋势（图６ ３ ６）．
图６ ３ ５ 图６ ３ ６
１ ４７
必修第一册 数学
右击滑块犪，在“属性”中可设置参数犪的范围及增量（每次变化
的幅度）．
练 习 １．画出函数狔＝ｌｏｇ狓与狔＝ｌｏｇ １ 狓的图象，指出这两个函数图象之间的关系．
３ ３
２．求下列函数的定义域：
（１）狔＝ｌｏｇ（２狓＋１）； （２）狔＝ｌｏｇ （２狓－３）；
２ ０．５
１
（３）狔＝ｌｏｇ （２－狓）； （４）狔＝ｌｇ ．
１
３
狓－１
３．判断下列函数的单调性：
（１）狔＝ｌｏｇ狓； （２）狔＝ｌｏｇ狓；
２ ３
５
（３）狔＝ｌｏｇ（２狓＋１）； （４）狔＝ｌｇ（３－２狓）．
７
４．比较下列各组数中两个数的大小：
（１）ｌｏｇ５．４，ｌｏｇ５．５； （２）ｌｏｇπ，ｌｏｇｅ；
１ １
３ ３ ３ ３
（３）ｌｇ０．０２，ｌｇ３．１２； （４）ｌｎ０．５５，ｌｎ０．５６．
５．解下列方程：
（１）ｌｏｇ（３狓）＝ｌｏｇ（２狓＋１）； （２）ｌｏｇ（２狓＋１）＝ｌｏｇ（狓２－２）；
２ ２ ５ ５
（３）ｌｇ槡狓－１＝ｌｇ（狓－１）．
链 接 我们已经知道，函数狔＝犪狓 与狔＝ｌｏｇ狓（犪＞０，犪≠１）互为反
犪
函数．一般地，设犃，犅分别为函数狔＝犳（狓）的定义域和值域，如果
由函数狔＝犳（狓）可解得唯一狓＝φ （狔）也是一个函数（即对任意一个
狔∈犅，都有唯一的狓∈犃与之对应），那么就称函数狓＝φ （狔）是函数
狔＝犳（狓）的反函数（ｉｎｖｅｒｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作狓＝犳－１ （狔）．
在狓＝犳－１ （狔）中，狔是自变量，狓是狔的函数．习惯上改写成
狔＝犳－１ （狓）（狓∈犅，狔∈犃）的形式．
例如，求函数狔＝３狓＋６（狓∈犚）的反函数．我们从狔＝３狓＋６
狔
中解得狓＝ －２（狔∈犚），它也是一个函数．这样，函数狔＝３狓＋
３
狓
６（狓∈犚）的反函数是狔＝ －２（狓∈犚）．
３
函数狔＝犳（狓）的定义域犃恰好是它的反函数狔＝犳－１ （狓）的值域，
函数狔＝犳（狓）的值域犅恰好是它的反函数狔＝犳－１ （狓）的定义域．
函数狔＝犪狓 与狔＝ｌｏｇ
犪
狓的图象表明，互为反函数的两个函数的
图象关于直线狔＝狓对称．
１＋狓
你能求出函数狔＝ｌｏｇ （－１＜狓＜１）的反函数吗？
２１－狓
习题６．３
感受·理解 １．画出函数狔＝ｌｏｇ狓与狔＝ｌｏｇ狓的图象，指出这两个函数图象之间的关
１
４ ４
系，并指出这两个函数性质的相同点与不同点．
２．求下列函数的定义域：
（１）狔＝ｌｏｇ（５狓＋２）； （２）狔＝ｌｏｇ （狓－３）；
２ １
３
１ ４８
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
（３）狔＝ｌｎ（３狓－１）； （４）狔＝ｌｏｇ ２ ．
４４狓－３
３．比较下列各组数中两个数的大小：
（１）ｌｏｇ７．８，ｌｏｇ７．９； （２）ｌｏｇ ３，ｌｏｇ ２；
５ ５ ０．３ ０．３
（３）ｌｎ０．３２，ｌｇ２； （４）ｌｏｇ５，ｌｏｇ８．
６ ７
４．证明：函数狔＝ｌｏｇ （３狓－２）在定义域上是减函数．
０．５
５．解下列方程：
（１）３３狓＋５＝２７； （２）２２狓＝１２；
（３）３１－狓－２＝０．
６．画出函数狔＝ｌｏｇ（狓＋１）与狔＝ｌｏｇ（狓－１）的图象，并指出这两个函数图
２ ２
象之间的关系．
７．比较ｌｏｇ５与ｌｏｇ８的大小．
２ ５
８．设犪与犫为实数，犪＞０，犪≠１．已知函数狔＝ｌｏｇ（狓＋犫）的图象如图所示，
犪
求犪与犫的值．
９．已知犳（狓）＝ｌｏｇ狓，求证：
３ （ ）
狓
（１）犳（狓）＋犳（狔）＝犳（狓狔）； （２）犳（狓）－犳（狔）＝犳 ．
狔
１－狓
（第８题） １０．证明：函数犳（狓）＝ｌｇ （－１＜狓＜１）是奇函数．
１＋狓
思考·运用 １１．设犪，犫，犮，犱均为不等于１的正实数，如图，已知函数狔＝ｌｏｇ狓，狔＝
犪
ｌｏｇ狓，狔＝ｌｏｇ狓，狔＝ｌｏｇ狓的图象分别是曲线犆，犆，犆，犆，试判断
犫 犮 犱 １ ２ ３ ４
０，１，犪，犫，犮，犱的大小关系，并用“＜”连接起来．
１２．解下列方程：
（１）２１－狓＝５； （２）２×５狓＋１－９＝０．
１３．解下列不等式：
（第１１题） （１）５狓＋２＞２； （２）３３－狓＜６；
（３）ｌｏｇ（狓＋２）＞３； （４）ｌｇ（狓－１）＜１．
３
探究·拓展 １４．已知函数犳（狓）＝ｌｇ狓，对于任意的狓，狓 ∈ （０，＋ ∞），试比较
（ ） １ ２
犳（狓）＋犳（狓） 狓＋狓
１ ２ 与犳 １ ２ 的大小．
２ ２
１５．（探究题）对于等式犪犫＝犮（犪＞０，犪≠１），如果将犪视为自变量狓，犫视为常
数，犮为关于犪（即狓）的函数，记为狔，那么狔＝狓犫，是幂函数；如果将犪视为
常数，犫视为自变量狓，犮为关于犫（即狓）的函数，记为狔，那么狔＝犪狓，是指数
函数；如果将犪视为常数，犮视为自变量狓，犫为关于犮（即狓）的函数，记为狔，
那么狔＝ｌｏｇ狓，是对数函数．
犪
事实上，由这个等式还可以得到更多的函数模型．
例如，如果犮为常数ｅ（ｅ为自然对数的底），将犪视为自变量狓（狓＞０，
狓≠１），则犫为狓的函数，记为狔，那么狓狔＝ｅ．
（１）试将狔表示成狓的函数犳（狓）；
（２）研究函数犳（狓）的性质．
你还能运用这个等式得到什么样的函数？这些函数分别具有哪些性质？
１ ４９
必修第一册 数学
问题与探究 钢琴与指数曲线
钢琴是一种用琴槌击弦而振动发声的键盘乐器，最早的钢琴是
意大利佛罗伦萨梅迪奇宫廷的乐师克里斯托弗里（１６５５—１７３１）于
１７１１年制造的，钢琴的意大利文为ｐｉａｎｏｆｏｒｔｅ，由ｐｉａｎｏ（弱）和ｆｏｒｔｅ
（强）两字组合而成．钢琴在音量上可以奏出极大的层次变化，它的
音域极为宽广，最多可以有７个八度并包括所有的半音．它可演奏
和弦与复调音乐，手法极为丰富．因此，钢琴有“乐器之王”的称号．
但是，你曾留心过三角钢琴的轮廓有一段奇妙的“曲线”吗？三
角钢琴的轮廓上部为什么要制成这样形状的曲线？
为了解释这一现象，我们应学会观察、调查和研究．
首先，从左往右逐个试弹所有琴键（包括所有白键和黑键），我们
听到琴声逐渐由低到高，这是因为琴声的高低与琴弦振动的频率有
关，而琴弦振动的频率又与琴弦的长度有关．粗略地说，琴弦长则振
动慢，频率小，故发出的声音低；琴弦短，则振动快，频率大，故发出的
声音高．
如图１，在８８键钢琴中，音域宽度自大字二组的Ａ 至小字五组
２
的ｃ５．根据“十二平均律”的法则，任何两个相邻的键所发出的音相差
半音阶（１００音分），它们的振动频率之比是一个常数犙．设最低的第
一个音Ａ 的频率是犪，则第二个音 Ａ 的频率是犪犙，第三个音Ｂ 的
２ ＃ ２ ２
频率是犪犙２ ……另外，音高每提高八度（如Ａ 到Ａ ），频率增大为原
２ １
来的２倍，而八度音域内包含１２个半音（连续的７个白键和５个黑
键），所以，第十三个音（Ａ ）的频率是第一个音（Ａ ）的频率的２倍．故
１ ２
图１
犪犙１２＝２犪，
即 犙１２＝２．
另一方面，弦振动的频率与弦长成反比．所以，从左向右，相邻两
１ １
弦的长度之比是常数狇＝ ，从而有狇１２＝ ．
犙 ２
设左边第一根弦的长度为犾，则第二根弦的长度为犾狇，第三根弦
１ ５０
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
的长度为犾狇２ ……如图２，取第一根弦所在直线为狔轴，各弦靠近键盘
的端点所在直线为狓轴建立坐标系，相邻两弦间的距离为长度单位．
这时，将弦的另一端点（上部）连成光滑曲线，那么曲线上任意点的坐
标（狓，狔）都满足函数关系狔＝犾狇 狓 ．
图２
若令犮＝ｌｏｇ犾，则狔＝犾狇 狓 可化为狔＝狇狓 ＋犮．
狇
经过适当平移，就可知道光滑曲线是指数函数狔＝狇狓 的图
象———指数曲线．
我国明代律学家朱载癱是世界上最早从理论上研究十二平均律
的学者，他通过计算，使用
１２槡２≈１．０５９４６３０９４３５９２９５２６４５６１８２５，
现在人们通常取１２槡２≈１．０５９４６３，由此可见他的计算值在当时是比
较精确的．
生活中到处都有数学，我们要学会用数学的眼光观察世界，用数
学这一强大工具发现自然界的奥秘．只要我们深入调查研究，就能发
现许多问题是可以利用数学知识加以解决的．例如，中小学学生身高
与课桌椅高度的关系．
许多学校的课桌椅高度都是一样的．无疑，高度一样的课桌椅不
仅制作方便，而且摆放起来整齐、美观．但是，同一高度的课桌椅不能
完全适合身高不同的学生，从而给他们的身体发育带来不良影响．因
此，中小学学生的身高与课桌椅高度的关系就值得研究．
通过实地调查，研究你所在学校的学生身高与课桌椅高度的
关系．
１ ５１
必修第一册 数学
阅 读
“怎样解题”表
《怎样解题》是由美国数学家和数学教育家Ｇ．波利亚所写的一部
畅销书，“怎样解题表”是该书的精华．波利亚将解题过程分成了四个
步骤，解题时按这四个步骤去尝试，有利于学会解题，提升分析问题
与解决问题的能力．
弄清问题
未知数是什么？已知数据是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确
●
第一， 定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛
你必须弄清问题 盾的？
画张图，引入适当的符号．
●
把条件的各个部分分开，你能否把它们写下来？
●
拟订计划
你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？
●
你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？
●
看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题．
●
这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题．
●
第二， 你能不能利用它？你能利用它的结果吗？你能利用它的方法吗？为了能利
●
找出已知数与未知数之间 用它，你是否应该引入某些辅助元素？
的联系． 你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？
●
如果找不出直接的联系， 回到定义去．
●
你可能不得不考虑辅助 如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想
●
问题． 出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？
你应该最终得出一个求解 一个类似的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分
的计划 而舍去其余部分，这样对于未知数能确定到什么程度？它会怎样变化？你
能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数
的其他数据？如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改
变，以使新未知数和新数据彼此更接近？
你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包
●
含在问题中的所有必要的概念？
实现计划
第三，
实现你的求解计划，检验每一步骤．
实施你的计划 ●
你能否清楚地看出这一步骤是正确的？你能否证明这一步骤是正确的？
●
回顾反思
第四， 你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看
●
验算所得到的解 出它来？
你能不能把这个结果或方法用于其他的问题？
●
１ ５２
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
本章回顾
本章从实际背景出发，建立了幂函数、指数函数和对数函数的模
型，研究了它们的图象和性质．幂函数、指数函数、对数函数是描述客
观世界变化规律的重要模型，在现实生活中有着广泛的应用．
在研究幂函数、指数函数和对数函数的过程中，我们采用了研究
函数的一般方法，即通过函数的图象来探索函数的性质，利用函数的
性质进一步研究函数的图象．
复 习 题
感受·理解
１．分别求满足下列条件的实数狓的取值范围：
（ ）
（ １） ２ 狓＞ １ ； （ ２） １ 狓 ＞ ３槡 ４；
８ ２
１
（３）ｌｏｇ狓＜ ； （４）ｌｏｇ狓＞２．
２ ２ １
３
２．比较下列各组数中两个数的大小（犪＞０）：
（１）０．３１５，０．３５５； （２）（槡２）－１，（槡３）－１；
６ ６ ３ ３
（３）（犪＋１）１．５，犪１．５； （４）（２＋犪）－２，２－２．
３ ３
３．求下列函数的定义域：
（１）犳（狓）＝ｌｏｇ（４＋３狓）； （２）犳（狓）＝槡４狓－１６．
２
４．讨论下列函数的奇偶性：
１－狓
（１）狔＝ｌｇ（１＋狓）＋ｌｇ（１－狓）； （２）狔＝ｌｎ ．
１＋狓
１ ５３
必修第一册 数学
５．设犪＝０．３２，犫＝２０．３，犮＝ｌｏｇ ２，试比较犪，犫，犮的大小关系．
槡２
６．利用计算器，分别计算当狓＝１，２，３，…，１０时，函数狔＝２狓，狔＝ｌｏｇ狓及
２
狔＝狓２ 的值，并分析判断：当狓无限增大时，这３个函数中哪个函数的增
长更快些．
７．设犪，犫为实数，已知函数犳（狓）＝犪狓＋犫的图象如图所示，求犪与犫的值．
８．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度狏（单位：ｍ／ｓ）和燃料的质量
犕（单位：ｋｇ）、火箭（除燃料外）的质量犿（单位：ｋｇ）的函数关系表达式为
（ ）
犕
狏＝２０００ｌｎ１＋ ．当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度
犿
（第７题） 可以达到１２ｋｍ／ｓ？
思考·运用 ９．画出下列各个函数的图象，并说明这些函数的图象与函数狔＝槡狓的图象之
间的关系．
（１）狔＝槡狓－１； （２）狔＝－槡狓－１．
１０．画出下列各个函数的图象，并说明这些函数的图象与对数函数狔＝ｌｏｇ狓
１
２
的图象之间的关系．
１
（１）狔＝ｌｏｇ狓＋１； （２）狔＝ｌｏｇ ．
１ １狓
２ ２
１１．在同一坐标系中，画出函数犳（狓）＝２狓 的图象和函数犵（狓）＝２狓的图象，并
写出方程犳（狓）－犵（狓）＝０的解．
１２．分别讨论下列函数的单调性：
１－狓
（１）狔＝ｌｇ（１＋狓）＋ｌｇ（１－狓）； （２）狔＝ｌｎ ．
１＋狓
１３．设犪，犫，犮都是不等于１的正数，且犪犫≠１，求证：犪ｌｏｇ犫＝犫ｌｏｇ犪．
犮 犮
探究·拓展 １４．已知定义在实数集犚上的偶函数犳（狓）在区间［０，＋∞）上单调递增，若
犳（１）＜犳（ｌｇ狓），求狓的取值范围．
１５如图，已知过原点犗的直线与函数狔＝ｌｏｇ狓的图象交于犃，犅两点，分别
８
过点犃，犅作狔轴的平行线与函数狔＝ｌｏｇ狓的图象交于犆，犇两点．
２
（１）试利用相似形的知识，证明犗，犆，犇三点在同一条直线上；
（２）当犅犆∥狓轴时，求犃点的坐标．
（第１５题）
１ ５４
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
本章测试
（ ） （ ）
一、填空题 １．用不等号连接： １
３
－１．５ １
３
－１．９ ．
２．函数狔＝ｌｏｇ （３－４狓）的定义域为 ．
１
３．若函数狔＝犪狓 ２ （犪＞０，犪≠１）的图象过点（１，２），则犪的值为 ．
４．已知某种产品今年产量为１０００件，若计划从明年开始每年的产量比上一
年增长５％，则狓年后的产量为 件．
５．若函数狔＝犪狓（犪＞０，犪≠１）在区间［０，１］上的最大值与最小值之和为３，
则实数犪的值为 ．
６．画出函数犳（狓）＝ｌｏｇ（２狓－１）的图象： ．
２
７．下列函数中，在区间（０，＋∞）上是减函数的是（ ）．
二、选择题
Ａ．狔＝２狓 Ｂ．狔＝ｌｇ狓
１
Ｃ．狔＝狓３ Ｄ．狔＝
狓
８．设犪＞０，犪≠１，如果函数犳（狓）＝犪狓 满足犳（２）＞犳（３），那么犪的取值范围
是（ ）．
Ａ．０＜犪＜１ Ｂ．１＜犪≤２
Ｃ．２＜犪≤３ Ｄ．犪＞３
９．函数狔＝ｌｏｇ（２－狓）在区间［０，１］上的最大值为（ ）．
２
Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．４
１０．如果函数犳（狓）满足犳（１０狓）＝狓，那么犳（５）等于（ ）．
Ａ．１０５ Ｂ．５１０
Ｃ．ｌｇ１０ Ｄ．ｌｇ５
三、解答题
１１．试结合函数图象比较２槡３，ｌｏｇ３，槡３的大小．
２
犪狓－犪－狓
１２．设犪＞０，犪≠１，求证：函数犳（狓）＝ （狓∈犚）是奇函数．
２
１３．已知函数犳（狓）＝２狓＋狓－５．
（１）判断此函数的单调性；
（２）求犳（狓）在区间［－１，２］上的最大值与最小值之差．
１４．已知函数犳（狓）＝狘ｌｇ狓狘．
（１）画出函数狔＝犳（狓）的图象；
（２）若存在互不相等的实数犪，犫，使犳（犪）＝犳（犫），求犪犫的值．
犿
１５．设犿为实数，已知函数犳（狓）＝１－ （狓∈犚）是奇函数．
５狓＋１
（１）求犿的值；
（２）求证：犳（狓）是犚上的增函数；
（３）当狓∈［－１，２）时，求函数犳（狓）的取值范围．
１ ５５
必修第一册 数学
第７章 三 角 函 数
１ ５６
、 ６
幂函数 指数函数和对数函数 第 章
１ ５７
必修第一册 数学
Ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｙ ｃｏｎｔａｉｎｓｔｈｅ ｓｃｉｅｎｃｅ ｏｆｃｏｎｔｉｎｕａｌｌｙ
ｕｎｄｕｌａｔｉｎｇｍａｇｎｉｔｕｄｅ．．．．
— ＡｕｇｕｓｔｕｓＤｅＭｏｒｇａｎ
日出日落，寒来暑往……自然界中有许多“按一定规律周而复
始”的现象，这种按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象．周
期现象一般与周期运动有关．一个简单又基本的例子便是“圆周上一
点的运动”．
如图１，犘是半径为狉的圆犗上一点，点犘的运动可以形象地描
述为“周而复始”．那么，点犘按怎样的规律不断重复出现？用什么样
的数学模型来刻画呢？
图１
为了回答上述问题，需要将点犘表示出来．我们进行如下思考：
（１）如图２和图３，以水平方向作参照方向，有序数对（狉，α），
（狉，犾）都可以表示点犘；
（２）如图４，以水平线为狓轴，圆心犗为坐标原点建立直角坐标
系，有序数对（狓，狔）也可以表示点犘．
图２ 图３ 图４
在表示点犘的过程中，我们先后选用了角、弧长和直角坐标．
●狉，α，犾，狓，狔之间有着怎样的内在联系呢？
１５８
７
三角函数 第 章
７．１
角与弧度
我们已经学习过一些角，如锐角、直角、钝角、平角、周角．利用这
些角，我们已能表示圆周上某些点犘．但要表示圆周上周而复始地运
动着的点，仅有这些角是不够的．如点犘绕圆心旋转一周半，所在位
置怎样用角来表示？
在生活中，也有类似情形．如“游乐园的摩天轮旋转了两周半”，
为了精确地刻画旋转程度，我们需要引入一个角，来量化“两周半”．
● 旋转两周半是转了怎样的一个角？
７．１．１ 任意角
一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转
到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的
开始位置和终止位置称为角的始边和终边．
如图７ １ １所示，射线犗犃绕端点犗，按箭头所示方向旋转到
约在公元前２０００
年，巴比伦人就习惯 犗犅便形成角α．点犗是角α的顶点，射线犗犃和犗犅分别是角α的始
将圆周划分为 ３６０ 边和终边．因此，３６１°就是旋转一周后紧接着又旋转了１°所形成的角；
度，每度分为６０分， ７２０°就是旋转两周所形成的角；旋转两周半，就是旋转了９００°的角．
每分再划分为６０秒．
这种度量方法一直沿
用至今．
图７ １ １ 图７ １ ２
为了表示不同旋转方向所形成的角，联想到用正负数可表示具
有相反意义的量，我们作如下规定：
按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所
形成的角叫作负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个
角，叫作零角（图７ １ ２）．
这样就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．例
如图７ １ ３中的α＝４２０°， β＝－１５０°．
对于两个任意角α，
β
，将角α的终边旋转角
β
（当
β
是正角时，按
逆时针方向旋转；当 是负角时，按顺时针方向旋转；当 是零角时，
β β
不旋转），这时终边所对应的角称为α与 β 的和，记作α＋β．射线犗犃
图７ １ ３
１５９
必修第一册 数学
绕端点犗分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个
角称为互为相反角．角α的相反角记为－α，于是有
α－β＝α＋（－β ）．
为了便于研究，今后我们常以角的顶点为坐标原点，角的始边为
如果角的终边在
坐标轴上，称这个角 狓轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边（除端点外）在第几
为轴线角． 象限，就说这个角是第几象限角．
思 考
（１）－３００°，－１５０°，－６０°，６０°，２１０°，３００°，４２０°角分别是第几
象限角？其中哪些角的终边相同？
（２）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与６０°角
终边相同的角的集合吗？（图７ １ ４）
一般地，与角α终边相同的角的集合为
｛ β狘β＝犽·３６０°＋α，犽∈犣｝．
图７ １ ４
例１ 在０°到３６０°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并
分别判断它们是第几象限角：
（１）６５０°； （２）－１５０°； （３）－９９０°１５′．
分析 只需将这些角表示成犽·３６０°＋α（０°≤α＜３６０°）的形式，
然后根据α来确定它们所在的象限．
解 （１）因为 ６５０°＝３６０°＋２９０°，
所以６５０°的角与２９０°的角终边相同，是第四象限角．
（２）因为 －１５０°＝－３６０°＋２１０°，
所以－１５０°的角与２１０°的角终边相同，是第三象限角．
（３）因为 －９９０°１５′＝－３×３６０°＋８９°４５′，
所以－９９０°１５′的角与８９°４５′的角终边相同，是第一象限角．
α
例２ 已知α与２４０°角的终边相同，判断 是第几象限角．
２
解 由α＝犽·３６０°＋２４０°（犽∈犣），可得
α
＝犽·１８０°＋１２０°（犽∈犣）．
２
为什么要对犽分 若犽为偶数，设犽＝２狀，狀∈犣，则
奇 数 和 偶 数 进 行
α
＝狀·３６０°＋１２０°（狀∈犣），
讨论？ ２
α
从而 与１２０°角的终边相同，是第二象限角；
２
若犽为奇数，设犽＝２狀＋１，狀∈犣，则
１６０
７
三角函数 第 章
α ＝狀·３６０°＋３００°（狀∈犣），
２
从而 α 与３００°角的终边相同，是第四象限角．
已知α与２４０°角
２
的终边相同，怎样判
α
因此， 是第二或第四象限角．
断２α是第几象限角？ ２
思 考
（１）终边落在狓轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在狓
轴上的角的集合如何表示？
（２）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
（３）若α是第三象限角，则 α 是第几象限角？
２
练 习 １．（口答）写出３个与６０°角终边相同的角： ．
２ ． （口 答 ） 下 列 角 中 哪 些 角 与 ３０ °角 的 终 边 相 同 ：
（１）２１０°； （２）－３３０°； （３）３９０°； （４）７５０°．
３．分别写出满足下面条件的角的集合：
（１）终边为狔轴负半轴； （２）终边落在坐标轴上．
４．分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角：
（１）３３０°； （２）－２００°； （３）９４５°； （４）－６５０°．
５．在０°到３６０°的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象
限角：
（１）－５５°； （ ２） ３ ９５°８′； （３）１５６３°．
６．下列命题中正确的是（ ）．
Ａ．第一象限角一定不是负角 Ｂ ．小于９０°的角一定是锐角
Ｃ．钝角一定是第二象限角 Ｄ． 第一象限角一定是锐角
７．求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：
（１）１１４０°； （２）１６８０°； （３）－１２９０°； （４）－１５１０°．
８．已知α是第四象限角，分别确定－α，１８０°＋α，１８０°－α是第几象限角．
７．１．２ 弧度制
在本章引言中，我们曾考虑用有序数对（狉，α）或（狉，犾）来表示点
犘，那么，
●狉，犾与α之间具有怎样的关系呢？
１
我们已学习过角的度量，规定周角的 为１度的角，这种用度
３６０
作为单位来度量角的单位制叫作角度制（ｄｅｇｒｅｅｍｅａｓｕｒｅ）．除了采用
角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制．
把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作１弧度（ｒａｄｉａｎ）的角，
记作１ｒａｄ（图７ １ ５）．
上述规定基于下面的基本事实：
１６１
必修第一册 数学
图７ １ ５ 图７ １ ６
假设角α作为圆心角所在的圆有两个，其半径分别为狉，狉，所
１ ２
对应的弧长分别为犾，犾（图７ １ ６），则
１ ２
犾 犾
１ ＝ ２ ．
狉 狉
１ ２
上式表明，角α的弧度数由角α的大小唯一确定，而与其为圆心
角所在圆的大小（半径）无关．这种用弧度作为角的单位来度量角的
单位制称为弧度制（ｒａｄｉａｎｍｅａｓｕｒｅ）．
正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数
为０．
由１弧度的意义可知，对任一角α，其弧度数的绝对值等于α所
对应的弧长犾与半径狉的比，即
犾
狘α狘＝ ．
狉
上式中，犾与狉用相同的长度单位．
犾 ２狉
例如，如果α所对应的弧长犾＝２狉，那么α的弧度数就是 ＝ ＝
狉 狉
图７ １ ７ ２（图７ １ ７），即α的弧度为２ｒａｄ．
再如，如果α所对应的弧长犾＝２π狉，即α为周角，那么α的弧度
犾 ２π狉
数就是 ＝ ＝２π（图７ １ ８）．即
狉 狉
３６０°＝２πｒａｄ．
从而，有
图７ １ ８
π
１°＝ ｒａｄ≈０．０１７４５ｒａｄ，
１８０
１８０
１ｒａｄ＝ 度 ≈５７．３０°．
π
图７ １ ９给出了一些角的弧度数与角度数之间的关系．
用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位．例如
１ｒａｄ，２ｒａｄ，πｒａｄ，可分别写成１，２，π．
１６２
７
三角函数 第 章
图７ １ ９
例３ 把下列各角从弧度化为度：
３π
（１） ； （２）３．５．
５
３π ３π １８０°
解 （１） ｒａｄ＝ × ＝１０８°．
５ ５ π
１８０°
（２）３．５ｒａｄ＝３．５× ≈２００．５４°．
π
例４ 把下列各角从度化为弧度：
（１）２５２°； （２）１１°１５′．
π ７π
解 （１）２５２°＝２５２× ｒａｄ＝ ｒａｄ．
１８０ ５
π π
（２）１１°１５′＝１１．２５°＝１１．２５× ｒａｄ＝ ｒａｄ．
１８０ １６
如图７ １ １０，设长度为狉的线段犗犃绕端点犗旋转形成角α（α
为任意角，单位为弧度）．
若将此旋转过程中点犃所经过的路径看成是圆心角α所对的
弧，设弧长为犾，则有
犾
狘α狘＝ ，
狉
图７ １ １０
即 犾＝狘α狘狉．
特别地，若取狉＝１，则有
犾＝狘α狘．
若狘α狘≤２π，则圆心角为α的扇形的面积为
狘α狘 １
犛＝ ·π狉２＝ 狉犾．
２π ２
例５ 已知扇形的周长为８ｃｍ，圆心角为２ｒａｄ，求该扇形的
面积．
解 设扇形的半径为狉，弧长为犾，则有
烄２狉＋犾＝８， 烄狉＝２，
烅 解得 烅
烆犾＝２狉， 烆犾＝４．
１６３
必修第一册 数学
故扇形的面积为犛＝ １ 狉犾＝４（ｃｍ２ ）．
２
犾
引入弧度制后，在狘θ狘＝ 中，不妨取狉＝１（这时的圆也称单位圆），
狉
那么当θ为正角时，θ的弧度数即为其所对应的弧长犾的数量；当θ为负
角时，θ的弧度数即为其所对应的弧长犾的数量的相反数；当θ为零角
时，θ的弧度数为０．（图７ １ １１）
图７ １ １１
角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间
建立起一一对应关系，即角的集合与实数集犚之间建立起一一对应
关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对
应唯一的一个角．（图７ １ １２）
图７ １ １２
练 习 １．（口答）把下列各角从度化为弧度：
（１）１８０°； （２）９０°； （３）４５°； （４）３０°； （５）１２０°； （６）２７０°．
２．（口答）把下列各角从弧度化为度：
π π ２
（１）２π； （ ２） ； （３ ） ； （４ ） π．
２ ６ ３
３．把下列各角从度化为弧度：
（１）７５°； （２ ） －２１０°； （ ３） １３ ５°； （ ４） ２２°３０′．
４．把下列各角从弧度化为度：
π ２ ４
（１） ； （ ２） π； （３ ）－ π； （４ ）－ １２π．
１２ ５ ３
５．写出与下面的角终边相同的角的集合：
π ５π
（１） ； （２） ．
４ ６
６．分别用弧度制表示下列角的集合：
（１）终边落在狓轴上的角；
（２）终边落在狔轴上的角．
１６４
７
三角函数 第 章
７．若α＝－６，则角α的终边在（ ）．
Ａ．第一象限 Ｂ ． 第 二 象限 Ｃ ． 第 三象限 Ｄ ． 第 四象限
８．已知半径为２４０ｍｍ的圆上，有一段弧的长是５００ｍｍ，求此弧所对的圆心
角的弧度数．
习题７．１
感受·理解 １．在０°到３６０°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：
（１）－２６５°； （ ２） ３ ９０ ０° ； （３）－８４０°１０′； （４）５６０°２４′．
２．分别写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合－３６０°≤
α≤３６０°的元素α写出来：
（１）６０°； （２ ） －７５°； （３）９０°； （４）－１８０°．
３．分别把下列各角从度化为弧度：
（１）１２°３０′； （２）－２００°； （３）３５５°； （４）－１８６°４５′．
４．分别把下列各角从弧度化为度：
５π ８π ２
（１）－ ； （２） ； （３） ； （４）１．４．
１２ ３ ３
５．终边落在直线狔＝狓上的角的集合如何表示？
６．把下列各角化成α＋２犽π（０≤α＜２π，犽∈犣）的形式，并分别指出它们是第几象
限角：
２３π １８π
（１） ； （２ ） －１５００°； （３）－ ； （４ ）６ ７２°．
６ ７
α
７．如果α与１２０°角终边相同，那么 是第几象限角？
２
８．已知扇形的半径为１０ｃｍ，圆心角为６０°，求扇形的弧长和面积．
９．蒸汽机飞轮的直径为１．２ｍ，以３００ｒ／ｍｉｎ（转／分）的速度作逆时针旋转，求：
（１）飞轮１ｓ内转过的弧度数；
（２）轮周上一点１ｓ内所经过的路程．
思考·运用 １０．已知α＝ π ，角
β
的终边与角α的终边关于直线狔＝狓对称，求角
β
的集合．
６
１１．如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）．
（第１１题）
探究·拓展 １２．设θ是第一象限角，试探究：
（１）２θ一定不是第几象限角？
θ
（２） 是第几象限角？
３
１６５
必修第一册 数学
７．２
三角函数概念
用（狉，α）与用坐标（狓，狔）均可表示圆周上的点犘，那么，这两种
表示有什么内在联系？确切地说，
● 用怎样的数学模型刻画（狓，狔）与（狉，α）之间的关系？
７．２．１ 任意角的三角函数
为了建立（狓，狔）与（狉，α）之间的关系，我们从简单的情形出发，
先考察α为锐角时的情形．
如图７ ２ １，当α为锐角时，我们发现狓，狔，狉，α之间的关系恰
好与初中阶段所学“锐角的正弦、余弦、正切”密切相关，即有
狔 狓 狔
ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓα＝ ，ｔａｎα＝ ．
狉 狉 狓
图７ ２ １ 图７ ２ ２
一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点
的任意一点犘的坐标为（狓，狔），它与原点的距离是狉，则狉＝槡狓２＋狔２．此
时，点犘是角α的终边与半径为狉的圆的交点（图７ ２ ２）．根据相似
三角形知识可知，比值 狔 ， 狓 ， 狔 与α的终边上的点犘的位置无关．我
狉 狉 狓
们规定：
狔
（１）比值 叫作α的正弦（ｓｉｎｅ），记作ｓｉｎα，即
狉
狔
ｓｉｎα＝ ；
狉
狓
（２）比值 叫作α的余弦（ｃｏｓｉｎｅ），记作ｃｏｓα，即
狉
１６６
７
三角函数 第 章
狓
ｃｏｓα＝ ；
狉
狔
（３）比值 （狓≠０）叫作α的正切（ｔａｎｇｅｎｔ），记作ｔａｎα，即
狓
狔
ｔａｎα＝ ．
狓
例１ 如图７ ２ ３，已知角α的终边经过点犘（２，－３），求α的
正弦、余弦、正切值．
解 因为狓＝２，狔＝－３，
所以 狉＝槡２２＋（－３） ２＝槡１３，
狔 －３ ３槡１３
从而 ｓｉｎα＝ ＝ ＝－ ，
狉 槡１３ １３
图７ ２ ３
狓 ２ ２槡１３
ｃｏｓα＝ ＝ ＝ ，
狉 １３
槡１３
狔 ３
ｔａｎα＝ ＝－ ．
狓 ２
由于ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα的值与α的终边上的点的位置无关，为了
方便，可以选择α终边上的特殊点来计算ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα的值，例如
选择α的终边与单位圆的交点．
例２ （１）当α＝ π 时，求ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα的值；
６
（２）当α＝
５π
时，求ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα的值．
６
解 （１）当α＝ π 时，设α的终边与单位圆的交点犘的坐标为
６
（狓，狔）（狓＞０，狔＞０）．
π １
根据直角三角形中锐角 的对边是斜边的一半，可知狔＝
６ ２
（图７ ２ ４）．
图７ ２ ４ 图７ ２ ５
（ ）
又由勾股定理得狓２＋ １ ２ ＝１，解得狓＝ 槡３ ．所以点犘的坐标为
２ ２
１６７
必修第一册 数学
（ ）
槡３ １
， ．
２ ２
１
π ２ １
因此 ｓｉｎ ＝ ＝ ，
６ １ ２
槡３
π ２ 槡３
ｃｏｓ ＝ ＝ ，
６ １ ２
１
π ２ 槡３
ｔａｎ ＝ ＝ ．
６ ３
槡３
２
５π
（２）当α＝ 时，设α的终边与单位圆的交点为犘′，根据点犘′与
６
（ ）
（１）中点犘关于狔轴对称可知，点犘′的坐标为 － 槡３ ， １ （图７ ２ ５）．
２ ２
１
５π ２ １
因此 ｓｉｎ ＝ ＝ ，
６ １ ２
槡３
－
５π ２ 槡３
ｃｏｓ ＝ ＝－ ，
６ １ ２
１
５π ２ 槡３
ｔａｎ ＝ ＝－ ．
６ ３
槡３
－
２
例３ 对于表中的角α，计算ｓｉｎα的值，填写下表：
π π π ２π ５π ７π ４π ３π ５π １１π
α ０ π ２π
６ ３ ２ ３ ６ ６ ３ ２ ３ ６
ｓｉｎα
把α的值看作横坐标，对应的ｓｉｎα的值看作纵坐标，在平面直角
坐标系中描出点（α，ｓｉｎα）．
解 仿上计算，可得
π π π ２π ５π ７π ４π ３π ５π １１π
α ０ π ２π
６ ３ ２ ３ ６ ６ ３ ２ ３ ６
１ 槡３ 槡３ １ １ 槡３ 槡３ １
ｓｉｎα ０ １ ０ － － －１ － － ０
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
１６８
７
三角函数 第 章
把α的值看作横坐标，对应的ｓｉｎα的值看作纵坐标，在平面直角
坐标系中描出点（α，ｓｉｎα），如图７ ２ ６所示．
图７ ２ ６
思 考
从例３的表与所画的图中，你能得到什么结论？
由例３可知，对于每一个实数α，都有唯一实数ｓｉｎα与α对应，故
π
ｓｉｎα是α的函数．同理，ｃｏｓα也是α的函数．当α＝ ＋犽π（犽∈犣）
２
时，角α的终边在狔轴上，故有狓＝０，这时ｔａｎα无意义．除此之外，对
（ ）
π
于每一个实数αα≠ ＋犽π（犽∈犣），有唯一实数ｔａｎα与α对应，因
２
此ｔａｎα也是α的函数．ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα分别叫作角α的正弦函数、
余弦函 数、正 切 函 数．以 上 三 种 函 数 都 称 为α的 三 角 函 数
（ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的
符号如图７ ２ ７所示．
正弦函数值的符
号与狔的符号相同，
余弦函数值的符号与
狓的符号相同．
图７ ２ ７
例４ 确定下列正弦、余弦、正切值的符号：
７π １１π
（１）ｓｉｎ ； （２）ｃｏｓ（－４６５°）； （３）ｔａｎ ．
１２ ３
７π ７π
解 （１）因为 是第二象限角，所以ｓｉｎ ＞０．
１２ １２
（２）因为－４６５°＝－２×３６０°＋２５５°，即－４６５°是第三象限角，所
以ｃｏｓ（－４６５°）＜０．
１１π ５π １１π
（３）因为 ＝ ２π＋ ，即 是 第 四 象 限 角，所 以
３ ３ ３
１１π
ｔａｎ ＜０．
３
１６９
必修第一册 数学
练 习 １．已知角α的终边经过点犘，求α的正弦、余弦、正切值．
（１）犘（３，４）； （２）犘（－３，４）； （３）犘（０，５）； （４）犘（２，０）．
５
２．已知角α的终边经过点犘（－狓，－６），且ｃｏｓα＝－ ，求狓的值．
１３
３．填表：
角α ０° ３０° ４５° ６０° ９０° １８０° ２７０° ３６０°
角α的弧度数
ｓｉｎα
ｃｏｓα
ｔａｎα
α
４．设α是三角形的一个内角，在ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα，ｔａｎ 中，哪些有可能
２
取负值？
５．确定下列各角的正弦、余弦、正切值的符号：
１９π ２５π
（１）８８５°； （２）－３９５°； （３） ； （４）－ ．
６ ３
６．已知ｃｏｓα＜０，且ｔａｎα＜０，确定角α是第几象限角．
下面我们来研究正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示．
狔 狓
由于ｓｉｎα＝ ，ｃｏｓα＝ 与点犘（狓，狔）在角α终边上的位置无关，
狉 狉
为简单起见，我们取狉＝１，即选取角α终边与单位圆（圆心在原点、半径等
于单位长度的圆）的交点为犘（狓，狔），则ｓｉｎα＝狔，ｃｏｓα＝狓（图７ ２ ８）．
图７ ２ ８
过点犘作狓轴的垂线，垂足为犕，显然，线段犗犕的长度为｜狓｜．
为了去掉绝对值符号，我们引入有向线段的概念．
规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段．类似
地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线．若有向线段犃犅在有
向直线犾上或与有向直线犾平行，根据有向线段犃犅与有向直线犾的
方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，
叫作有向线段的数量，记为犃犅．
如图７ ２ ９，狓轴上有三点犃，犅，犆，则犃犅＝３，犅犆＝２，
犆犅＝－２．
图７ ２ ９
引入有向线段的概念后，如果狓＞０，有向线段犗犕与狓轴同向，
１７０
７
三角函数 第 章
其数量为狓；如果狓＜０，有向线段犗犕与狓轴反向，其数量也为狓．故
总有犗犕＝狓．同理可知犕犘＝狔．所以，
ｓｉｎα＝犕犘，ｃｏｓα＝犗犕．
这表明，有向线段犕犘，犗犕的数量分别等于α的正弦、α的余
弦．因此，我们把有向线段犕犘，犗犕分别叫作角α的正弦线、余弦线．
阅 读 在锐角三角函数推广至任意角三角函数的过程中，如果我们假
设角α用弧度表示，且取圆半径狉＝１（图７ ２ １０（１）），
图７ ２ １０
那么我们得到狔＝ｓｉｎα．
我们可以这样来理解正弦函数：输入一个实数α（弧度数），输出
唯一的实数狔（点犘的纵坐标）．这是一个从实数集犚（所有角的弧度
数所成的集合）到闭区间［－１，１］上的函数（图７ ２ １０（２））．也正因
为此，今后才可以方便地进行下面的运算：狓＋ｓｉｎ狓，这也表明了引入
弧度制的重要性．
探 究 用适当的有向线段来表示第一象限角α的正切．
角α的终边在狔
当角α终边在狔轴的右侧时（图７ ２ １１），在角α终边上取点
轴右侧是指第一象限 犜（１，狔′），则ｔａｎα＝ 狔′ ＝狔′＝犃犜（犃为单位圆与狓轴正半轴的交
１
角或第四象限角，或
终边与狓轴正半轴重 点）；当角α终边在狔轴的左侧时（图７ ２ １２），在角α终边的反向延
合的角． 长线上取点犜（１，狔′），由于它关于原点的对称点犙（－１，－狔′）在角α
－狔′
终边上，所以ｔａｎα＝ ＝狔′＝犃犜．
－１
图７ ２ １１ 图７ ２ １２
１７１
必修第一册 数学
即总有
ｔａｎα＝犃犜．
因此，我们把有向线段犃犜叫作角α的正切线．
有向线段犕犘，犗犕，犃犜都称为三角函数线．
当角α终边在不同象限时，其三角函数线如图７ ２ １３所示：
图７ ２ １３
当角α的终边在狓轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角
α的终边在狔轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，因此，三
角函数可以看成是以实数为自变量的函数．在弧度制下，正弦函数、
余弦函数、正切函数的定义域如下表所示：
三 角 函 数 定 义 域
ｓｉｎα 犚
ｃｏｓα 犚
｛ ｝
π
ｔａｎα αα≠ ＋犽π，犽∈犣
２
思 考 根据单位圆中的三角函数线，探究：
（１）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
（２）正弦函数、余弦函数在区间 ［０，２π］上的单调性；
（ ）
π π
（３）正切函数在区间 － ， 上的单调性．
２ ２
练 习 １．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
π ３π １１π ２π
（１） ； （２） ； （３） ； （４）－ ．
３ ４ ６ ３
１７２
７
三角函数 第 章
２．根据单位圆中的正弦线，你能发现正弦函数值有怎样的变化规律？
狔 狔 狓
链 接 如果我们分别把表示正切、正弦、余弦的三个比 ， ， 取倒
狓 狉 狉
数，那么又得到三个比，其中：
狓
比值 叫作角α的余切，记作ｃｏｔα；
狔
狉
比值 叫作角α的余割，记作ｃｓｃα；
狔
狉
比值 叫作角α的正割，记作ｓｅｃα．
狓
余切、余割、正割也是以实数为自变量的函数．ｃｏｔα，ｃｓｃα，ｓｅｃα
分别叫作余切函数、余割函数、正割函数．它们也都称为三角函数．
７．２．２ 同角三角函数关系
ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα的值都由α确定，那么，ｓｉｎα，ｃｏｓα，ｔａｎα之间
有何关系？
设角α的终边与单位圆交于犘点（图７ ２ １４），则点犘坐标为
（ｃｏｓα，ｓｉｎα）．
由犘犗长为１，得
ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１．
由正切函数的定义知，当α≠ π ＋犽π（犽∈犣）时，有
２
ｓｉｎα
ｔａｎα＝ ．
ｃｏｓα
图７ ２ １４
由此可得，下列同角三角函数之间的基本关系式：
ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，
ｓｉｎα
ｔａｎα＝ ．
ｃｏｓα
４
例５ 已知ｓｉｎα＝ ，且α是第二象限角，求ｃｏｓα，ｔａｎα的值．
５
解 因为ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，所以
（ ）
４ ２ ９
ｃｏｓ２α＝１－ｓｉｎ２α＝１－
５
＝
２５
．
又α是第二象限角，则ｃｏｓα＜０，所以
（ ）
３ ｓｉｎα ４ ５ ４
ｃｏｓα＝－ ，ｔａｎα＝ ＝ × － ＝－ ．
５ ｃｏｓα ５ ３ ３
１７３
必修第一册 数学
例６ 已知ｔａｎα＝ １２ ，求ｓｉｎα，ｃｏｓα的值．
５
解 由 ｓｉｎα ＝ｔａｎα＝ １２ ，得 ｓｉｎα＝ １２ ｃｏｓα．
ｃｏｓα ５ ５
（ ）
又ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１，所以
１２２
ｃｏｓ２α＋ｃｏｓ２α＝１．
５
２５
解得 ｃｏｓ２α＝
１６９
．
又由ｔａｎα＞０，知α是第一或第三象限角．
若α是第一象限角，则
５ １２ １２
ｃｏｓα＝ ，ｔａｎα＝ ，ｓｉｎα＝ ；
１３ ５ １３
若α是第三象限角，则
５ １２ １２
ｃｏｓα＝－ ，ｔａｎα＝ ，ｓｉｎα＝－ ．
１３ ５ １３
槡１
例７ 化简ｔａｎα －１，其中α是第二象限角．
ｓｉｎ２α
解 因为α是第二象限角，所以
ｓｉｎα＞０，ｃｏｓα＜０．
于是ｔａｎα
槡１
－１＝ｔａｎα
槡１－ｓｉｎ２α
＝ｔａｎα
槡ｃｏｓ２α
ｓｉｎ２α ｓｉｎ２α ｓｉｎ２α
ｓｉｎα 狘ｃｏｓα狘 ｓｉｎα －ｃｏｓα
＝ · ＝ · ＝－１．
ｃｏｓα 狘ｓｉｎα狘 ｃｏｓα ｓｉｎα
ｓｉｎα １－ｃｏｓα
本书中的三角恒 例８ 求证： ＝ ．
１＋ｃｏｓα ｓｉｎα
等式，除特殊注明的
情况外，都是指等式 证法１ 因为
两边都有意义情况下
ｓｉｎα
－
１－ｃｏｓα
＝
ｓｉｎ２α－（１－ｃｏｓ２α）
＝０，
的恒等式． １＋ｃｏｓα ｓｉｎα （１＋ｃｏｓα）ｓｉｎα
ｓｉｎα １－ｃｏｓα
所以 ＝ ．
１＋ｃｏｓα ｓｉｎα
证法２ 因为
（１＋ｃｏｓα）（１－ｃｏｓα）＝１－ｃｏｓ２α＝ｓｉｎ２α，
又１＋ｃｏｓα≠０，ｓｉｎα≠０，所以
ｓｉｎα １－ｃｏｓα
＝ ．
１＋ｃｏｓα ｓｉｎα
探 究 你能用图７ ２ １５解释例８中求证的等式吗？
１７４
７
三角函数 第 章
图７ ２ １５
练 习 １．利用三角函数的定义，证明：
ｓｉｎ α
（１）ｓｉｎ２α＋ｃｏｓ２α＝１； （２）ｔａｎα＝ ．
ｃｏｓα
２．已知ｃｏｓα＝－ ４ ，且α为第三象限角，求ｓｉｎα，ｔａｎα的值．
５
１
３．已知ｓｉｎα＝－ ，求ｃｏｓα，ｔａｎα的值．
２
４．已知ｔａｎθ＝２，求ｓｉｎθ，ｃｏｓθ的值．
５．化简：
（１）ｃｏｓαｔａｎα； （２）
２ｃｏｓ２α－１
．
１－２ｓｉｎ２α
６．求证：
１
（１）１＋ｔａｎ２α＝
ｃｏｓ２α
；
（２）ｓｉｎ４α－ｃｏｓ４α＝ｓｉｎ２α－ｃｏｓ２α；
（３）ｔａｎ２αｓｉｎ２α＝ｔａｎ２α－ｓｉｎ２α．
７．２．３ 三角函数的诱导公式
由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相
等．即有
ｓｉｎ（α＋２犽π）＝ｓｉｎα （犽∈犣），
ｃｏｓ（α＋２犽π）＝ｃｏｓα （犽∈犣）， （公式一）
ｔａｎ（α＋２犽π）＝ｔａｎα （犽∈犣）．
除了“终边相同”这样非常特殊的关系之外还有一些角，它们的
终边具有另外的某种特殊关系，如两个角的终边关于坐标轴对称、关
于原点对称等．那么它们的三角函数值有何关系呢？
如果角α的终边与角
β
的终边关于狓轴对称，那么α与
β
的三角
函数值之间有什么关系？
设角α，
β
的终边分别与单位圆交于点犘，犘′，则点犘和点犘′关
于狓轴对称（图７ ２ １６）．
１７５
必修第一册 数学
图７ ２ １６
又根据三角函数的定义，点犘的坐标是（ｃｏｓα，ｓｉｎα），点犘′
在平面直角坐标 的坐 标 是（ｃｏｓβ ，ｓｉｎβ ），则有
系内，点犘（狓，狔） ｓｉｎβ＝－ｓｉｎα，ｃｏｓβ＝ｃｏｓα．
１ １ １
与点犘
２
（狓
２
，狔
２
）关于
由同角三角函数关系得
狓轴对称的充要条件
ｓｉｎβ －ｓｉｎα
烄狓＝狓， ｔａｎβ＝ ＝ ＝－ｔａｎα．
是烅１ ２ ｃｏｓβ ｃｏｓα
烆狔＝－狔．
１ ２ 特别地，角－α与角α的终边关于狓轴对称，则有
由公式二，你可
ｓｉｎ（－α）＝－ｓｉｎα，
得到三角函数的什么
性质？ ｃｏｓ（－α）＝ｃｏｓα， （公式二）
ｔａｎ（－α）＝－ｔａｎα．
若角α的终边与角 β 的终边关于狔轴对称（图７ ２ １７）．
在平面直角坐标
系内，点犘（狓，狔） 图７ ２ １７
１ １ １
与点犘（狓，狔）关于 同理可得
２ ２ ２
狔轴对称的充要条件
ｓｉｎβ＝ｓｉｎα，ｃｏｓβ＝－ｃｏｓα，ｔａｎβ＝－ｔａｎα．
烄狓＝－狓，
是烅１ ２
烆狔＝狔． 特别地，角π－α与角α的终边关于狔轴对称，则有
１ ２
ｓｉｎ（π－α）＝ｓｉｎα，
ｃｏｓ（π－α）＝－ｃｏｓα， （公式三）
ｔａｎ（π－α）＝－ｔａｎα．
１７６
７
三角函数 第 章
若角α的终边与角 β 的终边关于原点犗对称（图７ ２ １８）．
同理可得
ｓｉｎβ＝－ｓｉｎα，ｃｏｓβ＝－ｃｏｓα，ｔａｎβ＝ｔａｎα．
在平面直角坐标
系内，点犘（狓，狔）
１ １ １
与点犘（狓，狔）关于
２ ２ ２
坐标原点对称的充要
烄狓＝－狓，
条件是烅１ ２
烆狔＝－狔．
１ ２
图７ ２ １８
特别地，角π＋α与角α的终边关于原点犗对称，则有
ｓｉｎ（π＋α）＝－ｓｉｎα，
ｃｏｓ（π＋α）＝－ｃｏｓα， （公式四）
ｔａｎ（π＋α）＝ｔａｎα．
思 考 由公式二、三，你能推导出公式四吗？根据公式二、三、四中的任
意两组公式，你能推导出另外一组公式吗？
例９ 求值：
７π １１π
（１）ｓｉｎ ； （２）ｃｏｓ ； （３）ｔａｎ（－１５６０°）．
６ ４
（ ）
７π π π １
解 （１）ｓｉｎ ＝ｓｉｎπ＋ ＝－ｓｉｎ ＝－ ．
６ ６ ６ ２
（ ） （ ）
１１π ３π ３π π
（２）ｃｏｓ ＝ｃｏｓ２π＋ ＝ｃｏｓ ＝ｃｏｓπ－
４ ４ ４ ４
π 槡２
如何将任
［
意角的三
］
＝－ｃｏｓ
４
＝－
２
．
π
角函数转化为 ０，
２ （３）ｔａｎ（－１５６０°）＝－ｔａｎ１５６０°＝－ｔａｎ（４×３６０°＋１２０°）
内的角的三角函数？
＝－ｔａｎ１２０°＝－ｔａｎ（１８０°－６０°）＝ｔａｎ６０°＝槡３．
例 ９ 表 明 ， 利 用 上 面 四 个 公 式 可 将 关 于 任 意 角 的 三角函数转化为
［ ］
π
区间 ０， 内的角的三角函数．
２
例１０ 判断下列函数的奇偶性：
（１）犳（狓）＝１－ｃｏｓ狓； （２ ）犵（狓）＝狓－ｓｉｎ狓．
解 （１）因为函数犳（狓）的定义域是犚，且
犳（－狓）＝１－ｃｏｓ（－狓）＝１－ｃｏｓ狓＝犳（狓），
１７７
必修第一册 数学
所以犳（狓）是偶函数．
（２）因为函数犵（狓）的定义域是犚，且
犵（－狓）＝－狓－ｓｉｎ（－狓）＝－狓－（－ｓｉｎ狓）
＝－（狓－ｓｉｎ狓）＝－犵（狓），
所以犵（狓）是奇函数．
练 习 １．求值：
（ ）
π ７π
（１）ｓｉｎ－ ； （２）ｃｏｓ（－６０°）； （３）ｔａｎ ； （ ４） ｓｉ ｎ２２５°．
４ ６
２．求值：
（ ）
３π
（１）ｓｉｎ１５０°； （２ ）ｔ ａｎ １０２０°； （３）ｓｉｎ－ ； （４ ）ｓ ｉｎ （－ ７５０°）．
４
３．化简：
（１）ｓｉｎ（π＋α）ｃｏｓ（－α）＋ｓｉｎ（２π－α）ｃｏｓ（π－α）；
（２）ｓｉｎαｃｏｓ（π＋α）ｔａｎ（－π－α）．
４．判断下列函数的奇偶性：
（１）犳（狓）＝狘ｓｉｎ狓狘； （２）犳（狓）＝ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓．
若角α的终边与角 β 的终边关于直线狔＝狓对称（图７ ２ １９），
设角α， β 的终边分别与单位圆交于点犘，犘′．
图７ ２ １９
根据三角函数的定义，点犘的坐标是（ｃｏｓα，ｓｉｎα），点犘′的坐标
是（ｃｏｓβ ，ｓｉｎβ ）．又点犘和点犘′关于直线狔＝狓对称，则
ｃｏｓα＝ｓｉｎβ ， ｓｉｎα＝ｃｏｓβ．
π
特别地，角α与角 －α的终边关于直线狔＝狓对称，因此
２
在平面直角坐标 （ ）
π
系内，点犘（狓，狔） ｓｉｎ －α＝ｃｏｓα，
１ １ １ ２
与点犘（狓，狔）关于 （ ） （公式五）
２ ２ ２
π
直线狔＝狓 ｛ 对称的充 ｃｏｓ －α＝ｓｉｎα．
２
狓＝狔，
要条件是 １ ２
狔＝狓．
１ ２ 利用公式二和公式五，可得
（ ） ［ ］
π π
ｓｉｎ ＋α＝ｓｉｎ －（－α）＝ｃｏｓ（－α）＝ｃｏｓα，
２ ２
１７８
７
三角函数 第 章
（ ） ［ ］
ｃｏｓ π ＋α＝ｃｏｓ π －（－α）＝ｓｉｎ（－α）＝－ｓｉｎα．
２ ２
则有
（ ）
你能利用单位圆
π
ｓｉｎ ＋α＝ｃｏｓα，
中的三角函数线导出 ２
（ ） （公式六）
公式六吗？
π
ｃｏｓ ＋α＝－ｓｉｎα．
２
（ ） （ ）
π π
思 考 你能推导出ｔａｎ ＋α，ｔａｎ －α与ｔａｎα之间的关系吗？
２ ２
公式一、二、三、四、五、六都叫作三角函数的诱导公式．
诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间
的关系．换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成
三角函数之间的代数关系．
（ ） （ ）
３π ３π
例１１ 求证：ｓｉｎ ＋α＝－ｃｏｓα，ｃｏｓ ＋α＝ｓｉｎα．
２ ２
（ ） ［ （ ）］ （ ）
３π π π
证明 ｓｉｎ ＋α＝ｓｉｎπ＋ ＋α ＝－ｓｉｎ ＋α＝－ｃｏｓα，
２ ２ ２
（ ） ［ （ ）］ （ ）
３π π π
ｃｏｓ ＋α＝ｃｏｓπ＋ ＋α ＝－ｃｏｓ ＋α＝ｓｉｎα．
２ ２ ２
１
例１２ 已知ｃｏｓ（７５°＋α）＝ ，且 －１８０°＜α＜－９０°，求
３
ｃｏｓ（１５°－α）的值．
分析 注意到 （１５°－α）＋（７５°＋α）＝９０°，因此，可将ｃｏｓ（１５°－
α）转化为ｓｉｎ（７５°＋α）．
解 由－１８０°＜α＜－９０°，得
－１０５°＜７５°＋α＜－１５°，
则 ｓｉｎ（７５°＋α）＜０．
１
又 ｃｏｓ（７５°＋α）＝ ，
３
所以ｃｏｓ（１５°－α）＝ｃｏｓ［９０°－（７５°＋α）］＝ｓｉｎ（７５°＋α）
槡 １ ２槡２
＝－槡１－ｃｏｓ２ （７５°＋α）＝－ １－ ＝－ ．
９ ３
练 习 １．已知ｃｏｓα＝犪，求下列各式的值：
（ ） （ ）
π π
（１）ｓｉｎ －α； （２）ｓｉｎ ＋α；
２ ２
（ ） （ ）
５π ３π
（３）ｓｉｎ ＋α； （４）ｓｉｎα－ ．
２ ２
２．已知ｓｉｎ５３．１３°＝０．８，求ｃｏｓ１４３．１３°和ｃｏｓ２１６．８７°．
１７９
必修第一册 数学
（ ） （ ）
３．求证：ｃｏｓ ３π －α＝－ｓｉｎα，ｓｉｎ ３π －α＝－ｃｏｓα．
２ ２
４．化简：
（ ） （ ）
ｃｏｓ（α－π） π π
（１） ·ｓｉｎα－ ｃｏｓ ＋α；
ｓｉｎ（π－α） ２ ２
（２） ｃｏｓ （ （２π－α） ）ｓｉｎ（π＋α） ．
π
ｓｉｎ ＋αｔａｎ（３π－α）
２
（ ） （ ）
π １ π π
５．已知ｓｉｎ －狓＝－ ，且０＜狓＜ ，求ｓｉｎ ＋狓的值．
４ ５ ２ ４
３
６．已知ｃｏｓ（４０°－α）＝ ，且９０°＜α＜１８０°，求ｃｏｓ（５０°＋α）的值．
５
习题７．２
感受·理解 １．已知角α的终边经过下列各点，求α的正弦、余弦、正切值：
（１）（－８，－６）； （２）（槡３，－１）；
（３）（－１，１）； （４）（０，－２）．
５π
２．利用三角函数的定义求角 的正弦、余弦、正切值．
４
３．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线：
π π
（１） ； （２）－ ；
４ ６
３π １４π
（３）－ ； （４） ．
４ ３
４．求下列各式的值：
（１）５ｓｉｎ９０°＋２ｓｉｎ０°－３ｓｉｎ２７０°＋１０ｃｏｓ１８０°；
π π １ π π
（２）ｓｉｎ －ｃｏｓ２ ｃｏｓπ－ ｔａｎ２ －ｃｏｓπ＋ｓｉｎ ．
６ ４ ３ ６ ２
５．确定下列三角函数值的符号：
（１）ｓｉｎ２； （２）ｃｏｓ６；
（３）ｃｏｓ（－３）； （４）ｔａｎ（－８）．
６．分别根据下列条件求函数
（ ） （ ） （ ）
π π ３π
犳（狓）＝ｓｉｎ狓＋ ＋２ｓｉｎ狓－ －４ｃｏｓ２狓＋３ｓｉｎ狓＋
４ ４ ４
的值：
π ３π
（１）狓＝ ； （２）狓＝ ．
４ ４
７．确定下列各式的符号：
５π ４π １１π
（１）ｃｏｓ３１０°ｔａｎ（－１０８°）； （２）ｓｉｎ ｃｏｓ ｔａｎ ．
４ ５ ６
８．根据下列条件，确定θ是第几象限角或哪个坐标轴上的角：
（１）ｓｉｎθ＜０且ｃｏｓθ＞０； （２）ｓｉｎθｃｏｓθ＞０；
ｓｉｎθ
（３） ＞０； （４）狘ｓｉｎθ狘＝ｓｉｎθ．
ｔａｎθ
１８０
７
三角函数 第 章
９．（１）已知ｃｏｓθ＝ １２ ，且θ为第四象限角，求ｓｉｎθ和ｔａｎθ的值；
１３
１
（２）已知ｓｉｎ狓＝－ ，求ｃｏｓ狓和ｔａｎ狓的值．
３
１０．求下列各式的值：
（ ）
１７π ２６π
（１）ｃｏｓ－ ； （２）ｓｉｎ ；
４ ３
（３）ｃｏｓ１６５０°； （４）ｓｉｎ１７４０°．
１１已知狓＝犪ｃｏｓθ，狔＝犫ｓｉｎθ，求证：
狓２
＋
狔２
＝１．
犪２ 犫２
１２．化简：
（１）ｔａｎθ槡１－ｓｉｎ２θ，其中θ为第二象限角；
槡１－ｃｏｓα 槡１＋ｃｏｓα
（２） ＋ ，其中α为第四象限角．
１＋ｃｏｓα １－ｃｏｓα
１３．证明下列恒等式：
（１）ｓｉｎ４α＋ｃｏｓ４α＝１－２ｓｉｎ２αｃｏｓ２α；
１－２ｓｉｎ狓ｃｏｓ狓 １－ｔａｎ狓
（２） ＝ ．
ｃｏｓ２狓－ｓｉｎ２狓 １＋ｔａｎ狓
思考·运用 １４．已知ｔａｎα＝３，π＜α＜ ３π ，求ｃｏｓα－ｓｉｎα的值．
２
ｓｉｎα＋ｃｏｓα
１５．（１）设ｔａｎα＝２，计算 ；
ｓｉｎα－ｃｏｓα
１ １
（２）设ｔａｎα＝－ ，计算 ．
２ ｓｉｎ２α－ｓｉｎαｃｏｓα－２ｃｏｓ２α
（ ） （ ） （ ）
π １ ５π π
１６．已知ｓｉｎ狓＋ ＝ ，求ｓｉｎ －狓＋ｓｉｎ２ －狓的值．
６ ４ ６ ３
１７．设角θ的终边经过点犘（４犪，－３犪）（犪≠０），求ｓｉｎθ和ｃｏｓθ的值．
１８．利用单位圆分别写出符合下列条件的角α的集合：
（１）ｓｉｎα＝－ １ ； （２）ｓｉｎα＞－ １ ．
２ ２
１９．（１）已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝槡２，求ｓｉｎαｃｏｓα及ｓｉｎ４α＋ｃｏｓ４α的值；
１
（２）已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ （０＜α＜π），求ｔａｎα的值．
５
探究·拓展 ２０．当角α，β 满足什么条件时，有ｓｉｎα＝ｓｉｎβ ？
２１．设α为锐角（单位为弧度），试利用单位圆及三角函数线，比较α，ｓｉｎα，ｔａｎα
之间的大小关系．
１８１
必修第一册 数学
７．３
三角函数的图象和性质
三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么，“周而复始”的基本
特征必定蕴含在三角函数的性质之中．
● 三角函数具有哪些性质？
７．３．１ 三角函数的周期性
由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出
周期现象．每当角增加（或减少）２π，所得角的终边与原来角的终边相
同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有
ｓｉｎ（２π＋狓）＝ｓｉｎ狓，ｃｏｓ（２π＋狓）＝ｃｏｓ狓．
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．
● 如何用数学语言刻画函数的周期性？
若记犳（狓）＝ｓｉｎ狓，则对于任意狓∈犚，都有犳（狓＋２π）＝犳（狓）．
一般地，
设函数狔＝犳（狓）的定义域为犃．
如果存在一个非零的常数犜，使得对于任意的狓∈犃，都有
狓＋犜∈犃，并且
犳（狓＋犜）＝犳（狓），
那么函数犳（狓）就叫作周期函数（ｐｅｒｉｏｄｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ），非零常数犜
叫作这个函数的周期（ｐｅｒｉｏｄ）．
易知２π是正弦函数和余弦函数的周期，且４π，６π，…以及－２π，
－４π，…都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数２犽π（犽∈犣
且犽≠０）都是这两个函数的周期．
一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？
思 考
对于一个周期函数犳（狓），如果在它所有的周期中存在一个最小
的正数，那么，这个最小的正数就叫作犳（狓）的最小正周期（ｍｉｎｉｍｕｍ
ｐｏｓｉｔｉｖｅｐｅｒｉｏｄ）．
例如，２π是正弦函数的所有周期中的最小正数（同学们可从单位
圆中正弦线的变化特征看出这一结论，其证明见本节后“链接”），所以
１８２
７
三角函数 第 章
２π是正弦函数的最小正周期；同样地，２π也是余弦函数的最小正周期．
因此，正弦函数和余弦函数都是周期函数，２犽π（犽∈犣且犽≠０）都
是它们的周期，它们的最小正周期都是２π．
通过观察正切线不难发现，正切函数狔＝ｔａｎ狓也是周期函数，并
且最小正周期是π．
今后本书中所说的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的
最小正周期．
例１ 已知作周期性运动的钟摆的高度犺（单位：ｍｍ）与时间
狋（单位：ｓ）之间的函数关系如图７ ３ １所示．
（１）求该函数的周期；
（２）求狋＝１０ｓ时钟摆的高度．
解 （１）由图象可知，该函数的周期为１．５ｓ．
（２）设犺＝犳（狋），由函数犳（狋）的周期为１．５ｓ，可知
图７ ３ １
犳（１０）＝犳（１＋６×１．５）＝犳（１）＝２０．
所以狋＝１０ｓ时钟摆的高度为２０ｍｍ．
例２ 求函数犳（狓）＝ｃｏｓ２狓的周期．
解 设犳（狓）周期为犜，则犳（狓＋犜）＝犳（狓），即ｃｏｓ２（狓＋犜）＝
ｃｏｓ２狓对任意实数狓都成立．也就是ｃｏｓ（狌＋２犜）＝ｃｏｓ狌对任意实数
狌都成立，其中狌＝２狓．
由狔＝ｃｏｓ狌的周期为２π，可知使得ｃｏｓ（狌＋２犜）＝ｃｏｓ狌对任意
实数狌都成立的２犜的最小正值为２π，可知２犜＝２π，即犜＝π．
所以犳（狓）＝ｃｏｓ２狓的周期为π．
一般地，
若函数狔＝犳（狓）
函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）及狔＝犃ｃｏｓ（ω狓＋φ ）（其中犃，ω， φ 为
的周期为犜，则函数
２π
狔＝犃犳（ω狓＋φ）的周期
常数，且犃≠０，ω＞０）的周期为
ω
，函数狔＝犃ｔａｎ（ω狓＋φ ）（其中
犜
为 ｜ω｜ （其中犃，ω，φ为常 犃，ω， φ 为常数，且犃≠０，ω＞０）的周期为 π ．
ω
数，且犃≠０，ω≠０）．
（ ）
１ π ２π
例如，对于函数犵（狓）＝２ｓｉｎ 狓－ ，可直接由犜＝ 求得
２ ６ ω
犵（狓）的周期为４π．
练 习 １．判断下列说法是否正确，并简述理由：
（ ）
π ２π ２π
（１）狓＝ 时，ｓｉｎ狓＋ ≠ｓｉｎ狓，则 一定不是函数狔＝ｓｉｎ狓
３ ３ ３
的周期；
（ ）
（２）狓＝
７π
时，ｓｉｎ狓＋
２π
＝ｓｉｎ狓，则
２π
一定是函数狔＝ｓｉｎ狓的周期．
６ ３ ３
１８３
必修第一册 数学
２．求下列函数的周期：
狓
（１）狔＝２ｃｏｓ３狓； （２）狔＝ｓｉｎ ．
３
（ ）
π ２π
３．设犽为正数，若函数犳（狓）＝ｓｉｎ犽狓＋
５
的最小正周期为
３
，求犽的值．
４．已知弹簧振子对平衡位置的位移狓（单位：ｃｍ）与时间狋（单位：ｓ）之间的函数
关系如图所示．
（１）求该函数的周期；
（２）求狋＝１０．５ｓ时弹簧振子对平衡位置的位移．
（第４题）
链 接 ２π是正弦函数的最小正周期
由诱导公式易知，２π是正弦函数的一个周期．下面用反证法证明
２π是它的最小正周期．
假设０＜犜＜２π，且犜是正弦函数的周期，则对任意实数狓，都有
ｓｉｎ（狓＋犜）＝ｓｉｎ狓成立．令狓＝０，得ｓｉｎ犜＝０，又０＜犜＜２π，故
犜＝π，从 而对任意实数狓，都有ｓｉｎ（狓＋π）＝ｓｉｎ狓成立，与
（ ）
π π
ｓｉｎ
２
＋π ≠ｓｉｎ
２
矛盾，故正弦函数没有比２π小的正周期．
由此可知，２π是正弦函数的最小正周期．
７．３．２ 三角函数的图象与性质
为了更加直观地研究三角函数的性质，可以先作出它们的图象．
● 怎样作出三角函数的图象？
先画正弦函数的图象．由于狔＝ｓｉｎ狓是以２π为周期的周期函
数，故只要画出在［０，２π］上的图象，然后由周期性就可以得到整个图
象．下面我们借助正弦线来画出狔＝ｓｉｎ狓在［０，２π］上的图象．
首先，我们来作坐标为（狓，ｓｉｎ狓）的点犛（不妨设狓＞０）．
０ ０ ０
如图７ ３ ２所示，在狓轴上任取一点犗′，以犗′为圆心，单位长
为半径作圆．在⊙犗′中，设犃︵犘的长为狓（即∠犃犗′犘＝狓），则犕犘＝
０ ０
ｓｉｎ狓．所以点犛（狓，ｓｉｎ狓）是以犃︵犘的长为横坐标，正弦线犕犘的数
０ ０ ０
量为纵坐标的点．
１８４
７
三角函数 第 章
图７ ３ ２
知道如何作出函数狔＝ｓｉｎ狓图象上的一个点，就可作出一系列
点．例如，在 ⊙犗′中，作出对应于
π π π １１π
， ， ，…，
６ ３ ２ ６
的角及相应的正弦线．相应地，把狓轴上从０到２π这一段分成１２等
份．把角狓的正弦线向右平移，使它的起点与狓轴上表示数狓的点重
合，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数
狔＝ｓｉｎ狓在［０，２π］上的图象，如图７ ３ ３所示．
在 ＧＧＢ等软件
中，可方便地利用正
弦线得到正弦函数的
图象．
图７ ３ ３
最后我们只要将函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈ ［０，２π］的图象向左、右平
移（每次２π个单位），就可以得到正弦函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈犚的图象
（图７ ３ ４）．正弦函数的图象叫作正弦曲线（ｓｉｎｅｃｕｒｖｅ）．
图７ ３ ４
以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以通过列表描点
来作出正弦曲线，或利用图形计算器、计算机来作出正弦曲线．
信息技术 在Ｅｘｃｅｌ中可用“描点连线”的方法绘制正弦曲线，步骤如下．
（１）设置角（弧度）：在单元格Ａ１，Ａ２内分别输入０，０．１，选中
Ａ１，Ａ２后拖拽填充柄至单元格出现６．３为止．
１８５
必修第一册 数学
在［０，６．３］上作
（２）计算正弦值：在Ｂ１内输入“＝ｓｉｎ（Ａ１）”，双击Ｂ１的填充柄
图，即作出正弦函数 即得到与第一列相对应的正弦值．
在一个周期内的图象． （３）成图：光标置于数据区任一位置，按“插入／图表／散点图”选
择“无数据点平滑散点图”，点击“完成”（图７ ３ ５）．
图７ ３ ５
由图７ ３ ５可以看出，函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］的图象上起
着关键作用的点有以下五个：
（ ） （ ）
π ３π
（０，０）， ，１ ，（π，０）， ，－１ ，（２π，０）．
２ ２
事实上，描出五点后，函数狔＝ｓｉｎ狓，狓∈［０，２π］的图象形状就
基本确定了．因此在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关
键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图．这种
作图方法称为“五点法”．
（ ）
π
由ｃｏｓ狓＝ｓｉｎ狓＋ ，知狔＝ｃｏｓ狓图象可由狔＝ｓｉｎ狓图象向
２
π
左平移 个单位得到．余弦函数的图象叫作余弦曲线（ｃｏｓｉｎｅｃｕｒｖｅ）．
２
图７ ３ ６
你能用余弦线作 观察正弦曲线和余弦曲线（图７ ３ ６），我们得到正弦函数、余
出余弦曲线吗？ 弦函数有以下主要性质．
（１）定义域
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集犚．
（２）值域
由正弦曲线和余弦曲线可以发现，
－１≤ｓｉｎ狓≤１，－１≤ｃｏｓ狓≤１，
１８６
７
三角函数 第 章
而且ｓｉｎ狓，ｃｏｓ狓都可以取［－１，１］中的一切值．这说明正弦函数、余
弦函数的值域都是［－１，１］．其中正弦函数当且仅当
π
狓＝ ＋２犽π（犽∈犣）
２
时取得最大值１，当且仅当
π
狓＝－ ＋２犽π（犽∈犣）
２
时取得最小值－１；而余弦函数当且仅当
狓＝２犽π（犽∈犣）
时取得最大值１，当且仅当
狓＝ （２犽＋１）π（犽∈犣）
时取得最小值－１．
（３）周期性
正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是２π．
（４）奇偶性
正弦函数是奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，
其图象关于狔轴对称．
（５）单调性
由单位圆中的三
π π
角函数线，也容易发 由正弦曲线可以看出，当狓由－ 增大到 时，曲线逐渐上升，
２ ２
现这些性质．
π ３π
ｓｉｎ狓的值由－１增大到１；当狓由 增大到 时，曲线逐渐下降，ｓｉｎ狓
２ ２
的值由１减小到－１．
这个变化情况如下表所示：
π π ３π
狓 － ０ π
２ ２ ２
ｓｉｎ狓 －１ ０ １ ０ －１
由正弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间
［ ］
π π
－ ＋２犽π， ＋２犽π （犽∈犣）
２ ２
上都单调递增，其值由－１增大到１；在每一个闭区间
［ ］
π ３π
＋２犽π， ＋２犽π （犽∈犣）
２ ２
上都单调递减，其值由１减小到－１．
１８７
必修第一册 数学
思 考 试讨论余弦函数的单调性．
例３ 用“五点法”画出下列函数的简图：
（１）狔＝２ｃｏｓ狓，狓∈犚； （２）狔＝ｓｉｎ２狓，狓∈犚．
解 （１）先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
π ３π
狓 ０ π ２π
２ ２
ｃｏｓ狓 １ ０ －１ ０ １
２ｃｏｓ狓 ２ ０ －２ ０ ２
描点画图，然后由周期性得整个图象（图７ ３ ７）．
函数狔＝２ｃｏｓ狓
与狔＝ｃｏｓ狓的图象之
间有何联系？
图７ ３ ７
（２）先用“五点法”画一个周期的图象，列表：
π π ３π
狓 ０ π
４ ２ ４
π ３π
２狓 ０ π ２π
２ ２
ｓｉｎ２狓 ０ １ ０ －１ ０
描点画图，然后由周期性得出整个图象（图７ ３ ８）．
函数狔＝ｓｉｎ２狓
与狔＝ｓｉｎ狓的图象之
间有何联系？
图７ ３ ８
例４ 求下列函数的最大值及取得最大值时自变量狓的集合：
（１）狔＝ｃｏｓ 狓 ； （２）狔＝２－ｓｉｎ２狓．
３
狓
解 （１）函数狔＝ｃｏｓ 的最大值为１．
３
因为使ｃｏｓ狕取得最大值的狕的集合为
１８８
７
三角函数 第 章
｛狕狘狕＝２犽π，犽∈犣｝，
狓 狓
令狕＝ ，由 ＝２犽π，得狓＝６犽π．
３ ３
狓
所以使函数狔＝ｃｏｓ 取得最大值的狓的集合为
３
｛狓狘狓＝６犽π，犽∈犣｝．
（２）函数狔＝２－ｓｉｎ２狓的最大值为２－（－１）＝３．
因为使ｓｉｎ狕取得最小值的狕的集合为
｛ ｝
π
狕狕＝－ ＋２犽π，犽∈犣 ，
２
π π
令狕＝２狓，由２狓＝－ ＋２犽π，得狓＝－ ＋犽π．
２ ４
所以使函数狔＝２－ｓｉｎ２狓取得最大值的狓的集合为
｛ ｝
π
狓狓＝－ ＋犽π，犽∈犣 ．
４
例５ 不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（ ） （ ）
π π ４π ５π
（１）ｓｉｎ－ 与ｓｉｎ－ ； （２）ｃｏｓ 与ｃｏｓ ．
７ ５ ７ ８
［ ］
π
解 （１）因为狔＝ｓｉｎ狓在区间 － ，０ 上是增函数，且
２
－ π ＞－ π ，
７ ５
（ ） （ ）
π π
所以 ｓｉｎ－ ＞ｓｉｎ－ ．
７ ５
［ ］
π
（２）因为狔＝ｃｏｓ狓在区间 ，π 上是减函数，且
２
４π ５π
＜ ，
７ ８
４π ５π
所以 ｃｏｓ ＞ｃｏｓ ．
７ ８
练 习 １．下列各等式有可能成立吗？为什么？
（１）２ｃｏｓ狓＝３； （２）ｓｉｎ２狓＝０．５．
２．（１）函数狔＝ｓｉｎ狓的图象是轴对称图形吗？若是，写出它的一条对称轴．
（２）函数狔＝ｓｉｎ狓的图象是中心对称图形吗？若是，写出它的一个对称
中心．
３．画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系：
（ １） 狔 ＝ ｓｉ ｎ狓 － １ ； （ ２） 狔 ＝ ２ｓｉ ｎ 狓．
４．画出下列函数的简图，并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系：
（ ）
π
（１）狔＝１＋ｃｏｓ狓； （２）狔＝ｃｏｓ狓＋ ．
３
１８９
必修第一册 数学
５．求下列函数的最小值及取得最小值时自变量狓的集合：
狓
（１）狔＝－２ｓｉｎ狓； （２）狔＝２－ｃｏｓ ．
３
（ ）
π ２π
６．函数狔＝ｓｉｎ狓
６
≤狓≤
３
的值域是（ ）．
［ ］ ［ ］
［ ］
１ １ 槡３ 槡３
Ａ．［－１，１］ Ｂ． ，１ Ｃ． ， Ｄ． ，１
２ ２ ２ ２
７．求下列函数的单调区间：
π
（１）狔＝ｓｉｎ（狓＋ ）； （２）狔＝３ｃｏｓ狓．
４
８．不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
１５π １４π
（１）ｓｉｎ２５０°与ｓｉｎ２６０°； （２）ｃｏｓ 与ｃｏｓ ．
８ ９
由于正切函数狔＝ｔａｎ狓是以π为周期的周期函数，故只需先画
出一个周期内的图象，然后由周期性，就可得出整个图象．
（ （ ））
π π
先利用正切线来画出函数狔＝ｔａｎ狓狓∈ － ， 的图象（图
２ ２
７ ３ ９）．
图７ ３ ９
把上述图象向左、右平移（每次π个单位），就可得到正切函数的
图象（图７ ３ １０），并把它称为正切曲线（ｔａｎｇｅｎｔｃｕｒｖｅ）．
正切曲线有哪些
主要特征？图中的虚
线与它有什么关系？
图７ ３ １０
１９０
７
三角函数 第 章
由正切函数的图象可以得到正切函数的主要性质如下．
｛ ｝
π
（１）定义域：狓狓∈犚且狓≠ ＋犽π，犽∈犣 ．
２
（２）值域：实数集犚．
（３）周期性：正切函数是周期为π的周期函数．
（４）奇偶性：奇函数．图象关于原点对称．
（ ）
π π
（５）单调性：每个开区间 － ＋犽π， ＋犽π （犽∈犣）都是函数
２ ２
狔＝ｔａｎ狓的增区间．
（ ）
π
例６ 求函数狔＝ｔａｎ２狓－ 的定义域．
４
解 因为狔＝ｔａｎ狕的定义域为
｛ ｝
π
狕狕∈犚且狕≠ ＋犽π，犽∈犣 ，
２
π π π ３π 犽π
令狕＝２狓－ ，由２狓－ ≠ ＋犽π，得狓≠ ＋ ．
４ ４ ２ ８ ２
（ ）
π
所以狔＝ｔａｎ２狓－ 的定义域是
４
｛ ｝
３π 犽π
狓狓≠ ＋ ，犽∈犣 ．
８ ２
练 习 １．观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的狓的集合：
（１）ｔａｎ狓＝０； （２）ｔａｎ狓＜０．
２．求下列函数的定义域：
（ ） （ ）
π π
（１）狔＝ｔａｎ３狓； （２）狔＝ｔａｎ狓＋ ； （３）狔＝ｔａｎ３狓＋ ．
３ ３
３．不求值，判断下列各式的符号：
（ ） （ ）
１３π １７π
（１）ｔａｎ１３８°－ｔａｎ１４３°； （２）ｔａｎ－ －ｔａｎ－ ．
４ ５
阅 读
正切、余切等三角函数的由来
古人立杆测日影以定时间，后来发展成为日晷，在中国有周公测
景的记载（约公元前１１００年）．希腊泰勒斯（Ｔｈａｌｅｓ，约公元前６２５—
前５４７）利用日影确定金字塔的高．我国唐代一行（原名张遂，６８３—
７２７）创制《大衍历》，在实测的基础上利用三次内插法算出每个节气
初日８尺之表的日影长，实际上相当于一个正切表．
由日影的测量就逐步形成了正切和余切的概念．
阿拉伯天文学家、数学家巴塔尼（ａｌＢａｔｔｎī，约８５８—９２９）也立杆测
日影，把杆子犃犅插在平地上，日影犾＝犆犅称为“直阴影”（图７ ３ １１）．
设太阳仰角为α，则日影长为（用现代符号）
图７ ３ １１
犾＝犺ｃｏｔα．
１９１
必修第一册 数学
又把杆子水平地插在竖直的墙上（图７ ３ １２），日影狋＝犆犅叫
作“反阴影”，它和太阳仰角α的关系是
狋＝犺ｔａｎα．
公元９２０年左右，巴塔尼编制了从０°到９０°的每隔１°的余切表．
后来，另一位阿拉伯天文学家、数学家阿布·瓦法（ＡｂūｌＷａｆ，
图７ ３ １２
９４０—９９８）编制了每隔１０′的正弦表和正切表，他还首次引入正割和
余割，可惜没有引起同时代人的注意．
正切、余切的现代名称出现得很晚，丹麦数学家芬克（Ｔｈｏｍａｓ
Ｆｉｎｋ，１５６１—１６５６）在１５８３年著《圆的几何》才用ｔａｎｇｅｎｔ代替“反阴
影”，一直沿用至今．
１６世纪时，天文观测日益精密，迫切需要更为精确的三角函数
表．天文学家哥白尼的学生雷蒂库斯（Ｇ．Ｊ．Ｒｈｅｔｉｃｕｓ，１５１４—１５７４）
重新给出三角函数的定义，即把它定义为直角三角形的边长之比，并
首次编制全部六个三角函数表．
１７世纪时，现在通用的六个三角函数的符号陆续由不同的学者
引入．１８世纪时，由于瑞士数学家欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）的使
用，这些符号得以推广．
７．３．３ 函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋ φ ）
如图７ ３ １３，摩天轮的半径狉为４０ｍ，圆心犗距地面的高度为
４８ｍ，摩天轮做逆时针匀速转动，每３０ｍｉｎ转一圈．摩天轮上点犘的
起始位置在最低点处．如何确定在时刻狋（ｍｉｎ）时，点犘距离地面的高
度犎？
图７ ３ １３ 图７ ３ １４
取点犗为坐标原点，水平线为狓轴，建立如图７ ３ １４所示的直
角坐标系．
设犘（狓，狔），则点犘距离地面的高度犎＝狔＋４８．
狔
又 ＝ｓｉｎα，其中狉＝４０，α为在时刻狋（ｍｉｎ）时点犘所对应的
狉
２π
角，则 α＝ 狋＋φ．
３０
１９２
７
三角函数 第 章
π
又狋＝０时，点犘位于最低点，故取 φ＝－ ，从而
２
π π
α＝ 狋－ ．
１５（ ２ ）
π π
所以 狔＝４０ｓｉｎ 狋－ ，
（１５ ２）
π π
犎＝４０ｓｉｎ 狋－ ＋４８．
１５ ２
在物理和工程技术的许多实际问题中，经常会遇到形如狔＝
犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）（其中犃，ω， φ 都是常数，且犃＞０，ω＞０）的函数．在
不同现象中，其中的参数犃，ω，
φ
有不同的实际含义．例如，本问题
中，犃表示摩天轮的半径，ω表示摩天轮转动的角速度，
φ
表示点犘的
初始位置所对应的角．
对于函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ），我们首先想到，它能否转化为三角
函数狔＝ｓｉｎ狓来研究．
● 函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）（犃＞０，ω＞０）的图象与狔＝ｓｉｎ狓的
图象有什么关系呢？
作函数狔＝ｓｉｎ（狓＋１）和狔＝ｓｉｎ狓的图象（图７ ３ １５）．
图７ ３ １５
从图７ ３ １５中可以看出，函数狔＝ｓｉｎ（狓＋１）的图象上横坐标
为狋－１的点的纵坐标，与函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上横坐标为狋的点的
纵坐标相同．这表明，点（狋，ｓｉｎ狋）在函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上，而点
（狋－１，ｓｉｎ狋）在 函 数狔＝ ｓｉｎ（狓＋１）的 图 象 上．因 此，函 数
狔＝ｓｉｎ（狓＋１）的图象可以看作是将函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上所有的
点向左平移１个单位而得到的．
思 考 函数狔＝ｓｉｎ（狓－１）的图象与函数狔＝ｓｉｎ狓的图象有什么关系？
一般地，函数狔＝ｓｉｎ（狓＋φ ）的图象可以看作是将函数狔＝ｓｉｎ狓
的图象上所有的点向左（当 φ＞０时 ）或向右（当 φ＜０时 ）平移｜φ｜个
单位长度而得到的．
作函数狔＝３ｓｉｎ狓和狔＝ｓｉｎ狓的图象（图７ ３ １６）．
１９３
必修第一册 数学
图７ ３ １６
从图７ ３ １６中可以看出，函数狔＝３ｓｉｎ狓的图象上横坐标为
狋的点的纵坐标等于函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上横坐标为狋的点的纵坐
标的３倍．这表明，点（狋，ｓｉｎ狋）在函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上，而点
（狋，３ｓｉｎ狋）在函数狔＝３ｓｉｎ狓的图象上．因此，函数狔＝３ｓｉｎ狓的图象
可以看作是将函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上所有点的纵坐标变为原来的
３倍（横坐标不变）而得到的．
１
思 考 函数狔＝ ｓｉｎ狓的图象与函数狔＝ｓｉｎ狓的图象有什么关系？
３
由此，你能得到
一般地，函数狔＝犃ｓｉｎ狓（犃＞０且犃≠１）的图象，可以看作是将
函数狔＝犃ｓｉｎ狓的哪 函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上所有点的纵坐标变为原来的犃倍（横坐标不
些性质？ 变）而得到的．
作函数狔＝ｓｉｎ２狓和狔＝ｓｉｎ狓的图象（图７ ３ １７）．
图７ ３ １７
狋
从图７ ３ １７中可以看出，函数狔＝ｓｉｎ２狓图象上横坐标为 的点
２
的纵坐标，与函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上横坐标为狋的点的纵坐标相同．这表
（狋 ）
明，点狋（，ｓｉｎ狋）在函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上，而点 ，ｓｉｎ狋在函数狔＝
２
ｓｉｎ２狓的图象上．因此，函数狔＝ｓｉｎ２狓的图象可以看作是将函数狔＝ｓｉｎ狓
１
的图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）而得到的．
２
１
思 考 函数狔＝ｓｉｎ 狓的图象与函数狔＝ｓｉｎ狓的图象有什么关系？
２
１９４
７
三角函数 第 章
由此，你能得到
一般地，函数狔＝ｓｉｎω狓（ω＞０且ω≠１）的图象，可以看作是将
函数狔＝ｓｉｎω狓的哪
函数狔＝ｓｉｎ狓的图象上所有点的横坐标变为原来的
１
倍（纵坐标不
些性质？ ω
变）而得到的．
最后，我们来研究函数狔＝ｓｉｎ（２狓＋１）和狔＝ｓｉｎ２狓的图象之间
的关系．
先作出它们的图象（图７ ３ １８）．
图７ ３ １８
从图７ ３ １８中可以看出，函数狔＝ｓｉｎ（２狓＋１）的图象上横坐
若记 １
标为狋－ 的点的纵坐标，与函数狔＝ｓｉｎ２狓的图象上横坐标为狋的点
犳（狓）＝ｓｉｎ２狓，则 ２
犳（狓＋１）＝ 的纵坐标相同．这表明，点（狋，ｓｉｎ２狋）在函数狔＝ｓｉｎ２狓的图象上，而点
ｓｉｎ２（狓＋１）， （ １ （（ １） ）） （ １ ）
（ ） 狋－ ，ｓｉｎ２狋－ ＋１ 即 点 狋－ ，ｓｉｎ２狋 在 函 数
１ ２ ２ ２
犳狓＋ ＝
２
（ ） 狔＝ｓｉｎ（２狓＋１）的图象上．因此，函数狔＝ｓｉｎ（２狓＋１）的图象可以看作是
ｓｉｎ２狓＋ １ ．
２ 将函数狔＝ｓｉｎ２狓的图象上所有的点向左平移 １ 个单位长度而得到的．
２
类似地，函数狔＝ｓｉｎ（２狓－１）的图象可以看作是将函数狔＝
１
ｓｉｎ２狓的图象上所有的点向右平移 个单位长度而得到的．
２
一般地，函数狔＝ｓｉｎ（ω狓＋φ ）（ω＞０， φ≠０）的图象，可以看作
是将函数狔＝ｓｉｎω狓的图象上所有的点向左（当 φ＞０时）或向右（当
φ
φ＜０时）平移 个单位长度而得到的．
ω
思 考 函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）（犃＞０，ω＞０）的图象可以由正弦曲线
经过哪些图象变换而得到？画出图象变换的流程图．
例７ （１）不用计算机和图形计算器，画出函数狔＝
（ ）
π
３ｓｉｎ２狓－ 的简图；
３
（２）根据函数的简图，写出（１）中函数的减区间．
解 （１）方法１ 先用“五点法”作出一个周期的图象，列表：
１９５
必修第一册 数学
π π ３π
先令２狓－ π ＝ ２狓－ ３ ０ ２ π ２ ２π
３
π ５π ２π １１π ７π
π ３π 狓
０， ，π， ，２π，然 ６ １２ ３ １２ ６
２ ２
狔 ０ ３ ０ －３ ０
后求出狓和狔．
描点画图，然后由周期性，通过向左、右平移（每次π个单位）得
出整个图象（图７ ３ １９）．
图７ ３ １９
狔＝ｓｉｎ２狓的图 方法２ 作出正弦曲线，并将曲线上每一个点的横坐标变为原
π １
象向右平移 个单位长 来的 倍（纵坐标不变），得到函数狔＝ｓｉｎ２狓的图象；再将函数
６ ２
度后所得图象的表达式
（ ） 狔＝ｓｉｎ２狓的 图 象 向 右 平 移 π 个 单 位 长 度，得 到 函 数
π ６
为狔＝ｓｉｎ２狓－ ６ ． （ ） （ ）
狔＝ｓｉｎ２狓－ π 的图象；再将函数狔＝ｓｉｎ２狓－ π 的图象上每一
３ ３
个点的纵坐标变为原来的 ３ 倍 （横坐标不变），即可得函数
（ ）
π
狔＝３ｓｉｎ２狓－ 的图象（图７ ３ ２０）．
３
图７ ３ ２０
上述图象变换的顺序如下：
（ ） （ ）
π π
狔＝ｓｉｎ狓→狔＝ｓｉｎ２狓→狔＝ｓｉｎ２狓－ →狔＝３ｓｉｎ２狓－ ．
３ ３
π
方法３ 作出正弦曲线，并将其向右平移 个单位长度，得到函
３
（ ） （ ）
π π
数狔＝ｓｉｎ狓－ 的图象；再将函数狔＝ｓｉｎ狓－ 的图象上的每一
３ ３
１９６
７
三角函数 第 章
个点 的 横 坐 标 变 为 原 来 的 １ 倍 （纵 坐 标 不 变），得 到 函 数
２
（ ） （ ）
狔＝ｓｉｎ２狓－ π 的图象；再将函数狔＝ｓｉｎ２狓－ π 的图象上的每
３ ３
一个点的纵坐标变为原来的３倍（横坐标不变），即可得到函数
（ ）
π
狔＝３ｓｉｎ２狓－ 的图象（图７ ３ ２１）．
３
图７ ３ ２１
上述图象变换的顺序如下：
（ ） （ ） （ ）
π π π
狔＝ｓｉｎ狓→狔＝ｓｉｎ狓－ →狔＝ｓｉｎ２狓－ →狔＝３ｓｉｎ２狓－ ．
３ ３ ３
（ ）
π
（２）由函数的图象可知函数狔＝３ｓｉｎ２狓－ 的减区间是
３
［ ］
５ １１
π＋犽π， π＋犽π （犽∈犣）．
１２ １２
信息技术 在ＧＧＢ中绘制狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）的图象：
（１）建立三个名称分别为犃，ω， φ的滑动条；
（２）在输入框中输入 “狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）”后确认；
（３）分别拖动三个滑动条，观察图形变化的特点或规律
（图７ ３ ２２）．
图７ ３ ２２
思 考 对前面的摩天轮问题，当摩天轮的半径狉变化时，函数狔＝
犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）中哪个参数会发生变化？怎样变化？当摩天轮的转速
发生变化时，函数狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）中哪个参数会发生变化？怎样
变化？
１９７
必修第一册 数学
练 习 １．函 数狔 ＝ ｓｉｎ 狓 的 图 象 如 图 所 示 ，试 在 这 个 图 上 分 别 画 出 下列函数的图象，并
说明它们是如何由函数狔＝ｓｉｎ狓的图象变换得到的．
（ ）
π
（１）狔＝ｓｉｎ狓－ ；
５
（ ）
π
（２）狔＝ｓｉｎ狓＋ ；
５
（３）狔＝２ｓｉｎ狓；
（４）狔＝ｓｉｎ２狓． （第１题）
２．已知函数狔＝３ｓｉｎ狓的图象为犆．
（ ）
π
（１）为了得到函数狔＝ ３ｓｉｎ狓－ 的图象，只需把犆上的所有
５
点 ；
（ ）
π
（２）为了得到函数狔＝３ｓｉｎ ２狓＋ 的图象，只需把犆上的所有
５
点 ；
（ ）
π
（３）为了得到函数狔＝４ｓｉｎ 狓＋ 的 图 象，只 需 把 犆上 的 所有
５
点 ．
（ ）
π π
３．把函数狔＝ｓｉｎ２狓＋ 的图象向右平移 个单位长度，所得到的图象的函
３ ６
数解析式为 ，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的
１ 倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式为 ．
２
（ ）
π
４．要得到函数狔＝３ｓｉｎ２狓＋ 的图象，只需将函数狔＝３ｓｉｎ２狓的图
４
象（ ）．
π π
Ａ．向左平移 个单位长度 Ｂ ．向右平移 个单位长度
４ ４
π π
Ｃ．向左平移 个单位长度 Ｄ ．向右平移 个单位长度
８ ８
（ ）
狓 π
５．已知函数狔＝２ｓｉｎ － ．
２ ４
（１）画出函数的简图；
（２）指出它可由函数狔＝ｓｉｎ狓的图象经过哪些变换而得到，并画出图象变换
流程图；
（３）根据函数的简图，写出函数的减区间．
习题７．３
感受·理解
１．求下列函数的周期：
３
（１）狔＝ｓｉｎ
４
狓； （２）狔＝ｃｏｓ４狓；
（ ） （ ）
１ π π
（３）狔＝３ｓｉｎ 狓＋ ； （４）狔＝２ｃｏｓ２狓－ ．
２ ４ ４
２．画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
（１）狔＝ｃｏｓ狓＋２； （２）狔＝４ｓｉｎ狓；
１９８
７
三角函数 第 章
（ ）
１ π
（３）狔＝ ｃｏｓ３狓； （４）狔＝３ｓｉｎ２狓－ ．
２ ６
３．确定下列函数的定义域：
（ ）
１ π
（１）狔＝
１－ｃｏｓ狓
； （２）狔＝－ｔａｎ狓＋
６
＋２．
４．求下列函数的最大值、最小值以及使函数取得最大值、最小值时的狓的
集合：
（ ）
１ ２π
（１）狔＝１－ ｃｏｓ狓； （２）狔＝３ｓｉｎ２狓－ ．
２ ３
５．利用函数的性质，比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（ ） （ ）
４７π ４４π
（１）ｓｉｎ１０３°４５′与ｓｉｎ１６４°３０′； （ ２） ｃｏｓ－ 与ｃｏｓ－ ；
４ ９
（３）ｓｉｎ５０８°与ｓｉｎ１４４°； （４）ｃｏｓ７６０°与ｃｏｓ（－７７０°）；
（ ） （ ）
（５）ｔａｎ－ π 与ｔａｎ－ ３π ； （６ ）ｔａｎ ７π 与ｔａｎ π ．
５ ７ ８ １６
６．求下列函数的单调区间：
（１）狔＝１＋ｓｉｎ狓； （２）狔＝－ｃｏｓ狓．
（ ）
π
７．已知函数狔＝３ｓｉｎ２狓－ ．
４
（１）画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（２）根据函数的简图，写出函数的增区间．
８．不画图，说明下列函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得出：
（ ） （ ）
１ π １ π
（１）狔＝８ｓｉｎ
４
狓－
８
； （ ２）狔＝
３
ｓｉｎ３狓＋
７
．
思考·运用 ９．分别写出满足下列条件的狓的集合：
１
（１）ｔａｎ狓＝－１； （２）ｓｉｎ狓＝ ．
２
１０．观察正弦曲线和余弦曲线，分别写出满足下列条件的狓的集合：
（１）ｓｉｎ狓＞０； （２）ｃｏｓ狓＜０．
探究·拓展 １１．请同学们每三人一组，通过实验、猜想、探索和研讨，共同完成下面的课题，
并写出课题研究报告，与其他小组进行交流．
烟筒弯头是由两个圆柱形的烟筒焊在一起做成的，现在要用矩形铁片
做成一个直角烟筒弯头（如图，单位：ｃｍ），不考虑焊接处的需要，选用的矩
形铁片至少应满足怎样的尺寸？请你设计出一个最合理的裁剪方案．（在矩
形铁片上画出的裁剪线应是什么图形？）
（第１１题）
１９９
必修第一册 数学
７．４
三角函数应用
在上一节中，我们研究了狔＝ｓｉｎ狓，狔＝ｃｏｓ狓，狔＝ｔａｎ狓，
狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）等三角函数的图象和性质，利用这些函数可以刻
画一些周期现象，建立一些周期性运动的数学模型．
● 怎样用三角函数刻画一些周期性运动呢？
点犘的横坐标为
我们知道，匀速圆周运动的圆周上点犘的纵坐标为狔＝
狓＝犃ｃｏｓ（ω狋＋φ）． 犃ｓｉｎ（ω狋＋φ ）（其中，犃表示圆的半径，ω表示圆周转动的角速度， φ 表
示点犘的初始位置所对应的角）．
当物体做简谐运动（单摆、弹簧振子等）时，也是一种周期运动．
图７ ４ １是单摆的示意图．点犗为摆球的平衡位置，如果规定
摆球向右偏移的位移为正，那么当摆球到达点犆时，摆球的位移狔达
到最大值犃；当摆球到达点犗时，摆球的位移狔为０；当摆球到达点犇
时，摆球的位移狔达到反向最大值－犃；当摆球再次到达点犗时，摆球
的位移狔又为０；当摆球再次到达点犆时，摆球的位移狔又一次达到
最大值犃．这样周而复始，形成周期变化，其运动规律可以用三角函数
图７ ４ １
表达为
狔＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ ）．
其中，
狓表示时间，狔表示相对于平衡位置的偏离；
犃表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅；
２π
往复运动一次所需的时间犜＝ 称为这个运动的周期；
ω
１ ω
单位时间内往复运动的次数犳＝ ＝ 称为运动的频率；
犜 ２π
ω狓＋φ 称为相位，狓＝０时的相位 φ 称为初相位．
例１ 在图７ ４ ２中，点犗为做简谐运动的物体的平衡位置，
取向右的方向为物体位移的正方向．已知振幅为３ｃｍ，周期为３ｓ，且
图７ ４ ２ 物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时．求：
（１）物体对平衡位置的位移狓（单位：ｃｍ）和时间狋（单位：ｓ）之间
的函数关系；
（２）该物体在狋＝５ｓ时的位置．
解 （１）设狓和狋之间的函数关系为
狓＝３ｓｉｎ（ω狋＋φ ）（ω＞０，０≤φ＜２π）．
２００
７
三角函数 第 章
则由犜＝ ２π ＝３，可得ω＝ ２π ．
ω ３
当狋＝０时，有狓＝３ｓｉｎφ＝３，即ｓｉｎφ＝１．
π
又０≤φ＜２π，可得 φ＝ ．
２
（ ）
２π π ２π
因此所求函数关系为狓＝３ｓｉｎ 狋＋ ，即狓＝３ｃｏｓ 狋．
３ ２ ３
１０π
（２）令狋＝５，得狓＝３ｃｏｓ ＝－１．５，故该物体在狋＝５ｓ时的
３
位置是在犗点的左侧且距犗点１．５ｃｍ处．
例２ 一半径为３ｍ的水轮如图７ ４ ３所示，水轮圆心犗距
离水面２ｍ，已知水轮每分钟逆时针转动４圈，且当水轮上点犘从水
中浮现时（图中点犘）开始计算时间．
０
（１）将点犘到水面的距离狕（单位：ｍ．在水面下，则狕为负数）表
示为时间狋（单位：ｓ）的函数；
（２）点犘第一次到达最高点大约要多长时间？
解 （１）如图７ ４ ３，建立平面直角坐标系．
（ ）
π
设角 φ－ ＜φ＜０ 是以犗狓为始边，犗犘为终边的角．
２ ０
（ ）
４×２π ２π
由犗犘在狋ｓ内所转过的角为 狋＝ 狋，可知以犗狓为始
６０ １５
（ ）
２π ２π
边，犗犘为终边的角为 狋＋φ ，故犘点纵坐标为３ｓｉｎ 狋＋φ，则
１５ １５
（ ）
图７ ４ ３ ２π
狕＝３ｓｉｎ
１５
狋＋φ＋２．
２
当狋＝０时，狕＝０，可得ｓｉｎφ＝－ ．
３
π
因为－ ＜φ＜０，所以 φ≈－０．７３，故所求函数关系式为
２
（ ）
２π
狕＝３ｓｉｎ 狋－０．７３＋２．
１５
（ ） （ ）
２π ２π
（２）令狕＝３ｓｉｎ 狋－０．７３＋２＝５，得ｓｉｎ 狋－０．７３ ＝１．
１５ １５
２π π
取 狋－０．７３＝ ，解得狋≈５．５．
１５ ２
故点犘第一次到达最高点大约需要５．５ｓ．
（ ）
２ １ π
练 习 １．函数狔＝ ｓｉｎ 狓＋ 的振幅、周期、初相位各是多少？
３ ２ ３
２．一个单摆如图所示，以犗犃为始边，犗犅为终边的角θ（－π＜θ＜π）与时间
（ ）
１ π
狋（单位：ｓ）的函数满足θ＝ ｓｉｎ２狋＋ ．
２ ２
２０１
必修第一册 数学
（１）狋＝０时，角θ是多少？
（２）单摆频率是多少？
（３）单摆完成５次完整摆动共需多长时间？
（ ）
π ３π
３．某一天６～１４时某地的温度变化曲线近似满足函数狔＝１０ｓｉｎ 狓＋ ＋
８ ４
２０（狓∈［６，１４］），其中，狓表示时间，狔表示温度．求这一天中６～１４时的最
大温差，并指出何时达到最高气温．
（第２题）
４．在图７ ４ ２中，点犗为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物
体位移的正方向．若已知振幅为５ｃｍ，周期为４ｓ，且物体向右运动到平衡位
置时开始计时．
（１）求物体对平衡位置的位移狓（单位：ｃｍ）和时间狋（单位：ｓ）之间的函数关系；
（２）求该物体在狋＝７．５ｓ时的位置．
习题７．４
感受·理解 １．电流犐（单位：Ａ）随时间狋（单位：ｓ）变化的关系式是
犐＝犃ｓｉｎω狋，狋∈［０，＋∞）．
设ω＝１００π，犃＝５．
（１）求电流犐变化的周期和频率；
１ １ ３ １
（２）当狋＝０， ， ， ， 时，求电流犐；
２００ １００ ２００ ５０
（３）画出电流犐随时间狋变化的函数图象．
１
２．如图所示的是一向右传播的绳波在某一时刻绳子上各点的位置图，经过
２
周期后，犅点的位置将移至何处？
（第２题）
３．某城市一年中１２个月的月平均气温与月份数之间的关系可以近似地用一个
三角函数来描述．已知６月份的月平均气温最高，为２９．４５℃，１２月份的月平
均气温最低，为１８．３℃．求出这个三角函数的表达式，并画出该函数的图象．
４．一根长犾ｃｍ的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡
位置的位移狊（单位：ｃｍ）和时间狋（单位：ｓ）的函数关系式是
（ ）
槡
狊＝３ｃｏｓ 犵 狋＋ π ，狋∈［０，＋∞）．
犾 ３
（１）求小球摆动的周期；
（２）已知犵＝９８０ｃｍ／ｓ２，要使小球摆动的周期是１ｓ，线的长度应当是多少？
（精确到０．１ｃｍ，π取３．１４）
２０２
７
三角函数 第 章
思考·运用 ５．如图，摩天轮的半径为４０ｍ，点犗距地面的高度为５０ｍ，摩天轮做匀速转
动，每３０ｍｉｎ转一圈，摩天轮上点犘的起始位置在最低点处．
（１）试确定在时刻狋（单位：ｍｉｎ）时点犘距离地面的高度；
（２）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点犘距离地面超过７０ｍ？
（第５题）
６．心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和
舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数１２０／８０ｍｍＨｇ为
标准值．
设某人的血压满足函数式狆（狋）＝１１５＋２５ｓｉｎ（１６０π狋），其中狆（狋）为血
压（单位：ｍｍＨｇ），狋为时间（单位：ｍｉｎ），试回答下列问题：
健康成年人的 （１）求函数狆（狋）的周期；
收缩压和舒张压一般 （２）此人每分钟心跳的次数；
为１２０～１４０ｍｍＨｇ （３）画出函数狆（狋）的草图；
和６０～９０ｍｍＨｇ． （４）求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值比较．
探究·拓展 ７．下表是某地一年中１０ｄ（天）的白昼时间．
日 期 １月１日 ２月２８日 ３月２１日 ４月２７日 ５月６日
白昼时间／ｈ ５．５９ １０．２３ １２．３８ １６．３９ １７．２６
日 期 ６月２１日 ８月１４日 ９月２３日 １０月２５日１１月２１日
白昼时间／ｈ １９．４０ １６．３４ １２．０１ ８．４８ ６．１３
（１）以日期在３６５ｄ（天）中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，描出
这些数据的散点图；
（２）选用一个三角函数来近似描述白昼时间与日期序号之间的函数关系；
（３）用（２）中的函数模型估计该地７月８日的白昼时间．
２０３
必修第一册 数学
应用与建模 港口水深的变化与三角函数
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般的
早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞；卸
货后落潮时返回海洋．下面给出了某港口在某天几个时刻的水深．
时 刻 水深／ｍ 时 刻 水深／ｍ 时 刻 水深／ｍ
０：００ ５．０ ９：００ ２．５ １８：００ ５．０
３：００ ７．５ １２：００ ５．０ ２１：００ ２．５
６：００ ５．０ １５：００ ７．５ ２４：００ ５．０
（１）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的函
数关系，并给出在整点时的水深的近似数值；
（２）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为４ｍ，安全条例
规定至少要有１．５ｍ的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能
进入港口？
（３）若船的吃水深度为４ｍ，安全间隙为１．５ｍ，该船在２：００开
始卸货，吃水深度以每小时０．３ｍ的速度减少，那么该船在什么时间
必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析 （１）考察数据，可选用正弦函数，再利用待定系数法求解；
（２）在涉及三角不等式时，可利用图象求解．
解 （１）设所求函数为犳（狓）＝犃ｓｉｎω狓＋犽，则由已知数据可以
求得
２π π
犃＝２．５，犽＝５，犜＝１２，ω＝ ＝ ，
犜 ６
（ ）
π
故 犳（狓）＝２．５ｓｉｎ 狓＋５．
６
在整点时的水深近似为：１：００，５：００，１３：００，１７：００为６．３ｍ；
２：００，４：００，１４：００，１６：００为７．２ｍ；７：００，１１：００，１９：００，２３：００为
３．７ｍ；８：００，１０：００，２０：００，２２：００为２．８ｍ．
（ ）
π π
（２）由２．５ｓｉｎ 狓＋５≥５．５，得ｓｉｎ 狓≥０．２，画出狔＝
６ ６
（ ）
π
ｓｉｎ 狓的图象（如图），由图象可得
６
在Ｅｘｃｅｌ中，计算
π值时，应使用“ｐｉ（）”
函数．为便于观察，在
“图表”选项中选择
“网格线”．
２０４
７
三角函数 第 章
０．４≤狓≤５．６或１２．４≤狓≤１７．６．
故该船在０：２４至５：３６和１２：２４至１７：３６期间可以进港．
（３）若２≤狓≤２４，狓时刻的吃水深度为犺（狓）＝４－０．３（狓－２），
由犳（狓）≥犺（狓）＋１．５，得
π
ｓｉｎ 狓≥０．４４－０．１２狓．
６
π
画出狔＝ｓｉｎ 狓和狔＝０．４４－０．１２狓的图象（如图），由图象可知
６
当狓＝６．７时，即６：４２时，该船必须停止卸货，驶向较深的水域．
仿照上述案例，尝试解决以下问题．
某港口相邻两次高潮发生时间间隔１２ｈ２０ｍｉｎ，低潮时入口处水
的深度为２．８ｍ，高潮时为８．４ｍ，一次高潮发生在１０月３日２：００．
（１）若从１０月３日０：００开始计算时间，选用一个三角函数来近
似描述这个港口的水深犱（单位：ｍ）和时间狋（单位：ｈ）之间的函数
关系；
（２）求１０月３日４：００水的深度；
（３）求１０月３日吃水深度为５ｍ的轮船能进入港口的时间．
２０５
必修第一册 数学
阅 读 欧 拉
欧拉（Ｌ．Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）是瑞士数学家、自然科学家．有的数
学史家把他与阿基米德、高斯、牛顿并列为历史上最伟大的数学家．
欧拉小时候就特别喜欢数学，不满１０岁就开始自学《代数学》．这
本书连他的几位老师都没读过，可小欧拉却读得津津有味，遇到不懂
的地方，就用笔作个记号，事后再向别人请教．
１７２０年，１３岁的欧拉靠自己的努力考入了巴塞尔大学，小欧拉
是这所大学，也是整个瑞士大学校园里年龄最小的学生．他得到当时
最有名的数学家约翰·伯努利（Ｊ．Ｂｅｒｎｏｕｌｌｉ，１６６７—１７４８）的精心指
导，这在当时是个奇迹，曾轰动了数学界．欧拉后来回忆说：“如果我
遇到什么阻碍或困难，他还允许我每星期六午后自由地去找他并且
亲切地为我解答一切难题．这样，使得每当他为我解决了一个困难，
其他十个困难也就迎刃而解了，这是我在数学上获得及时成功的最
好方法．”
他１９岁时写了一篇论文，获得巴黎科学院的奖金，２６岁时成为
彼得堡科学院教授．欧拉是１８世纪数学界最杰出的人物之一．他是数
学史上最多产的数学家，平均每年写出８００多页的论文，还写了大量
的力学、分析学、几何学、变分法等课本，他的《无穷小分析引论》《微
分学原理》《积分学原理》等都成为数学中的经典著作．他的全集有
７４卷．
欧拉对数学的研究如此之广泛，在许多数学的分支中都可经常
见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理．例如，
ｅｉπ＋１＝０，
犞－犈＋犉＝２，
ｅｉθ＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ．
欧拉还创设了许多数学符号，例如π（１７３６年），ｉ（１７７７年），
ｅ（１７４８年），ｓｉｎ 和 ｃｏｓ（１７４８ 年），ｔｇ（１７５３ 年），Δ狓（１７５５ 年），
∑（１７５５年），犳（狓）（１７３４年）等．
欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽
强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远值得我们
学习．
２０６
７
三角函数 第 章
本章回顾
在本章中，我们通过旋转将角的概念推广到任意角，探讨了角的
另一种度量制度———弧度制，在此基础上，研究了任意角的三角函
数、同角三角函数关系、诱导公式、三角函数的图象和性质，最后研究
了三角函数的应用．
“依性作图，以图识性”是数形结合思想的重要体现．在本章中，
我们先探讨了三角函数的最重要性质———周期性，然后利用周期性
画出了正弦、余弦和正切函数的图象，根据图象得出了这些函数的一
些基本性质．
三角函数在本质上是对单位圆圆周上一点运动的“动态描述”，它
的种种性质和公式都是和单位圆的几何性质密切关联的，这是研究三
角函数的重要思想和方法．在解决三角函数的有关问题中，应自觉运用
单位圆中的三角函数线和三角函数的图象，以形助数，数形结合．
复 习 题
感受·理解 １．写出与下列各角终边相同的角的集合犛，并且把犛中适合不等式
－２π≤β＜４π的元素写出来：
２ π １ ２π
（１）４； （２）－ ； （３） ； （４）０．
３ ５
２．在半径等于１５ｃｍ的圆中，一扇形的弧所对的圆心角为５４°，求这个扇形的
弧长与面积．（π取３．１４，计算结果保留两位小数）
３．计算：
（ ）
２５π ２５π ２５π
（１）ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＋ｔａｎ－ ； （２） ｓｉ ｎ２ ＋ ｃｏ ｓ３＋ｔａｎ４（使用计算器）．
６ ３ ４
２０７
必修第一册 数学
４．确定下列三角函数值的符号：
（１）ｓｉｎ４； （２）ｃｏｓ２；
（３）ｔａｎ３； （４）ｔａｎ５．
１
５．已知ｃｏｓφ＝
４
，求ｔａｎφ．
１
６．已知ｓｉｎ（π＋α）＝－ ，计算：
２
（１）ｃｏｓ（２π－α）； （２）ｔａｎ（α－７π）．
７．已知ｔａｎα＝３，计算：
（１）５ｃｏｓα＋３ｓｉｎα； （２）ｓｉｎαｃｏｓα．
槡１－２ｓｉｎ１０°ｃｏｓ１０°
８．化简： ．
ｃｏｓ１０°－槡１－ｃｏｓ２１７０°
９．求证：
（１）２（１－ｓｉｎα）（１＋ｃｏｓα）＝（１－ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２；
（２）ｓｉｎ２α＋ｓｉｎ２β－ｓｉｎ２αｓｉｎ２β＋ｃｏｓ２αｃｏｓ２β＝１．
１０．求下列函数的定义域：
狓 １
（１）狔＝ｔａｎ ； （２）狔＝ ．
２ １－ｔａｎ狓
１１．求下列函数的最大值、最小值，并求使函数取得最大值、最小值的狓的集合：
（ ）
１ π
（１）狔＝３－２ｃｏｓ狓； （２）狔＝２ｓｉｎ 狓－ ．
２ ４
１２．下列函数中哪些是奇函数？哪些是偶函数？
（１）狔＝狓２＋ｃｏｓ狓； （２）狔＝狓２ｓｉｎ狓．
１３．不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（ ） （ ）
９π ８π ４π １７π
（１）ｓｉｎ － 与ｓｉｎ ； （２）ｃｏｓ 与ｃｏｓ － ；
１７ ９ ５ ５
２３π ２３π
（３）ｔａｎ１３２０°与ｔａｎ７０°； （４）ｓｉｎ 与ｃｏｓ ．
１３ １３
１４．求下列函数的单调区间：
（ ）
π
（１）狔＝ｓｉｎ狓＋ ； （２）狔＝ｃｏｓ２狓．
３
１５．函数犳（狓）＝犃ｓｉｎ（ω狓＋φ）（犃＞０，ω＞０，φ∈［０，２π））的图象如图所示，
（第１５题）
试求该函数的振幅、频率和初相位．
思考·运用 １６．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在狋（单位：ｓ）时相对于平衡位置（静
止时的位置）的高度犺（单位：ｃｍ）由下列关系式决定：
（ ）
π
犺＝２ｓｉｎ狋＋ ，狋∈［０，＋∞）．
４
以狋为横坐标，犺为纵坐标，画出这个函数在长度为一个周期的闭区间
上的简图，并且回答下列问题：
（１）小球在开始振动时（即狋＝０时）的位置在哪里？
（２）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
（３）经过多少时间小球往复振动一次（周期）？
（第１６题）
（４）每秒钟小球能够振动多少次（频率）？
２０８
７
三角函数 第 章
１７．已知狓ｃｏｓθ＝犪，狔＝犫ｔａｎθ（犪≠０，犫≠０），求证： 狓２ － 狔２ ＝１．
犪２ 犫２
１８．在一次气象调查中，发现某城市的温度θ（单位：℃）的波动近似地按照规则
π
θ＝２５＋６ｓｉｎ
１２
狋，其中狋（单位：ｈ）是从某日９：００开始计算的时间，且狋≤２４．
（１）画出温度随时间波动的图象．
（２）利用函数图象确定最高和最低温度．
（３）最高和最低温度在什么时候出现？
（４）在什么时候温度为：①２７℃？②２０℃？
探究·拓展 １９．一铁棒欲通过如图所示的直角走廊．试回答下列问题：
９ ６
（１）证明：棒长犔（θ）＝ ＋ ；
５ｓｉｎθ ５ｃｏｓθ
（ ）
π
（２）当θ∈ ０， 时，作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；
２
（３）由（２）中的图象求犔（θ）的最小值（用计算器或计算机）；
（４）解释（３）中所求得的犔是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值．
（第１９题）
２０．（阅读题）计算器是如何计算ｓｉｎ狓，ｃｏｓ狓，ｅ狓，ｌｎ狓，槡狓等函数值的？计算
器使用的是数值计算法，其中一种方法是用容易计算的多项式近似地表示
这些函数，通过计算多项式的值求出原函数的值，如
ｓｉｎ狓＝狓－
狓３
＋
狓５
－
狓７
＋…，
３！ ５！ ７！
ｃｏｓ狓＝１－
狓２
＋
狓４
－
狓６
＋…，
２！ ４！ ６！
其中狀！＝１·２·３·…·狀．
英国数学家泰勒（Ｂ．Ｔａｙｌｏｒ，１６８５—１７３１）发现了这些公式，可以看
出，右边的项用得越多，计算得到的ｓｉｎ狓和ｃｏｓ狓的值也就越精确．例如，
我们用前三项计算ｓｉｎ０．９，就得到
ｓｉｎ０．９≈０．９－
（０．９）３
＋
（０．９）５
≈０．７８３４２０７５．
３！ ５！
像这些公式已被编入计算器内，计算器利用足够多的项就可确保其显
示值是精确的．
试用你的计算器计算ｓｉｎ０．９，并与上述结果进行比较．
２０９
必修第一册 数学
本章测试
π
一、填空题 １．在区间［０，２π）内与－ 的终边相同的角为 ．
６
（ ）
π
２．函数狔＝ｓｉｎ２狓＋ 的最小正周期为 ．
３
３．比较下列各组值的大小，用“＜”或“＞”填空：
（ １） ｃｏｓ ２ ５０ ° ｃｏ ｓ２ ６０° ；
１５π １４π
（２）ｓｉｎ ｓｉｎ ．
８ ９
４．已知犳（狓）＝３ｓｉｎ狓－４ｔａｎ狓．若犳（１）＝犪，则犳（－１）的值为 ．
２ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ
５．若ｔａｎθ＝２，则 的值为 ．
３ｓｉｎθ－２ｃｏｓθ
１
６．已知ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ ，若α是第二象限角，则ｓｉｎα－ｃｏｓα的值为 ．
５
（ ）
π π
二、选择题 ７．下列各组函数中，在区间 － ， 上都是增函数的为（ ）．
２ ２
Ａ．狔＝ｓｉｎ狓，狔＝ｃｏｓ狓 Ｂ．狔＝ｓｉｎ狓，狔＝ｔａｎ狓
Ｃ．狔＝ｃｏｓ狓，狔＝ｔａｎ狓 Ｄ．狔＝－ｓｉｎ狓，狔＝－ｃｏｓ狓
３ ３
８．已知ｓｉｎα＝－ ，若π＜α＜ π，则ｔａｎα的值为（ ）．
５ ２
３ ４ ３ ４
Ａ． Ｂ． Ｃ．－ Ｄ．－
４ ３ ４ ３
１
９．将函数狔＝ｓｉｎ狓图象上每个点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再
２
π
将得到的图象向左平移 个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）．
１２
（ ） （ ）
π π
Ａ．狔＝ｓｉｎ２狓－ Ｂ．狔＝ｓｉｎ２狓－
６ １２
（ ） （ ）
π π
Ｃ．狔＝ｓｉｎ２狓＋ Ｄ．狔＝ｓｉｎ２狓＋
６ １２
１０．化简 槡１－２ｓｉｎ４０°ｃｏｓ４０°的结果是（ ）．
Ａ．ｓｉｎ４０°＋ｃｏｓ４０° Ｂ．ｓｉｎ４０°－ｃｏｓ４０°
Ｃ．ｃｏｓ４０°－ｓｉｎ４０° Ｄ．－ｃｏｓ４０°－ｓｉｎ４０°
三、解答题 １１．已知角α的终边经过点犘（－２，１），求角α的正弦、余弦和正切值．
１２．证明：
（１）（ｓｉｎα＋ｃｏｓα）２＝１＋２ｓｉｎαｃｏｓα；
１
（２）１＋ｔａｎ２α＝
ｃｏｓ２α
．
２１０
７
三角函数 第 章
（ ）
ｓｉｎ（π－α）ｃｏｓ（π＋α） ３π
１３．已知犳（α）＝ （ ） ，当α是第三象限角，且ｃｏｓα－ ＝
３π ２
ｃｏｓ －α
２
１
时，求犳（α）的值．
５
（ ）
π
１４．求函数狔＝ｔａｎ２狓＋ 的定义域、周期和单调区间．
３
［ ］
π π
１５．设犪，犫为实数，已知定义在区间 － ， 上的函数犳（狓）＝２犪ｓｉｎ２狓＋犫
４ ４
的最大值为１，最小值为－５，求犪，犫的值．
２１１
第８章 函 数 应 用
必修第一册 数学
Ｔｈｅｐｒｉｎｃｉｐａｌａｉｍｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｗａｓｐｕｂｌｉｃｕｔｉｌｉｔｙ
ａｎｄｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎｏｆｎａｔｕｒａｌｐｈｅｎｏｍｅｎａ．
ＪｏｓｅｐｈＦｏｕｒｉｅｒ
在过去的学习中，我们已经看到，函数是描述客观世界中变量关
系和变化规律的最为重要的数学模型．
面对现实世界中的问题，我们对其中的变量关系和规律进行分
析，建立函数模型．通过研究所建立的函数模型，利用函数、方程、不
等式等之间的关系，寻找问题的答案，进而解决现实世界中的问题．
例如：经济学中的各项经济总量与生产量的关系、物体在自然环境中
的温度变化与时间的关系、潮汐现象、天体运动规律……
● 怎样建立函数模型解决实际问题？
２ １４
８
函数应用 第 章
８．１
二分法与求方程近似解
函数是研究事物变化过程的数学模型，而方程刻画的则是相等
关系成立的某种状态．我们可以从事物变化过程中考察某个状态，也
可以通过对若干状态的考察来认识变化的过程，这样就产生了函数
与方程的思想．本节将着重研究函数与方程的关系．
● 函数与方程有什么关系？
● 如何运用函数的知识研究方程的解？
８．１．１ 函数的零点
前面我们学习过，使二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪，犫，犮∈犚，
犪≠０）的值为０的实数狓称为二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的零点．因
此，二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的零点就是关于狓的一元二次方程
犪狓２＋犫狓＋犮＝０的实数解，也是二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的图象与
狓轴交点的横坐标．
一般地，我们把使函数狔＝犳（狓）的值为０的实数狓称为函数
狔＝犳（狓）的零点（ｚｅｒｏｐｏｉｎｔ）．
因此，函数狔＝犳（狓）的零点就是方程犳（狓）＝０的实数解．从图
象上看，函数狔＝犳（狓）的零点，就是它的图象与狓轴交点的横坐标．
对于函数犳（狓）＝狓２－２狓－１在区间（２，３）上是否存在零点这个
问题，可以通过解方程或观察函数图象的方法来解决，我们还可以进
行下面的思考：
如图８ １ １，因为犳（２）＝－１＜０，犳（３）＝２＞０，而二次函数
犳（狓）＝狓２－２狓－１在区间［２，３］上的图象是不间断的，这表明此函
数图象在区间（２，３）上一定穿过狓轴，即函数在区间（２，３）上存在
零点．
一般地，我们有函数零点存在定理：
图８ １ １
若函数狔＝犳（狓）在区间［犪，犫］上的图象是一条不间断的曲
线，且犳（犪）犳（犫）＜０，则函数狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）上有零点．
例１ 证明：函数犳（狓）＝狓３＋狓２＋１在区间（－２，－１）上存在
零点．
证明 因为
２ １５
必修第一册 数学
犳（－２）＝ （－２） ３＋（－２） ２＋１＝－３＜０，
犳（－１）＝ （－１） ３＋（－１） ２＋１＝１＞０，
且函数犳（狓）在区间［－２，－１］上的图象是不间断的，所以函数犳（狓）
在区间（－２，－１）上存在零点．
可通过画出函数
例２ 求证：函数犳（狓）＝２狓＋２狓－３有零点．
狔＝２狓和狔＝３－２狓 证明 因为
的图象，大致判断零
犳（０）＝２０＋２×０－３＝－２＜０，
点的位置．
犳（１）＝２１＋２×１－３＝１＞０，
且函数犳（狓）在区间［０，１］上的图象是不间断的，所以函数犳（狓）＝
２狓＋２狓－３在区间（０，１）上有零点，从而函数犳（狓）＝２狓＋２狓－３有
零点．
思 考
如果狓 是二次函数狔＝犳（狓）的零点，且犿＜狓 ＜狀，那么
０ ０
犳（犿）犳（狀）＜０一定成立吗？
练 习 １．画出函数狔＝狓２＋狓－２的图象，并指出函数狔＝狓２＋狓－２的零点．
２．求下列函数的零点：
（１）狔＝２狓＋３； （２）狔＝狓２＋４狓；
（３）狔＝３狓－９； （４）狔＝ｌｏｇ
１
狓．
２
３．已知函数犳（狓）＝３狓－狓２，那么方程犳（狓）＝０在区间［－１，０］上有实数解
吗？为什么？
４．证明：（１）函数犳（狓）＝狓２＋６狓＋４有两个不同的零点；
（２）函数犳（狓）＝狓３＋３狓－１在区间（０，１）上有零点．
５．函数犳（狓）＝４狓３＋狓－１５在区间［１，２］上是否存在零点？为什么？
６求证：函数犳（狓）＝２狓＋狓在犚上有零点．
８．１．２ 用二分法求方程的近似解
对于方程ｌｇ狓＝３－狓，要求出这个方程的解是较为困难的．我们
能否求出这个方程的近似解呢？
让我们先从熟悉的一元二次方程开始研究．
例如，求方程狓２－２狓－１＝０的实数解就是求函数犳（狓）＝
狓２－２狓－１的零点．根据图８ １ ２，我们发现犳（２）＜０，犳（３）＞０．
这表明此函数图象在区间（２，３）上有零点，即方程犳（狓）＝０在区间
（２，３）上有实数解．又因为在区间（２，３）上函数犳（狓）单调递增，所以
方程狓２－２狓－１＝０在区间（２，３）上有唯一实数解狓．
（ ） １
２＋３ １
计算得犳 ＝ ＞０，发现狓∈（２，２．５）（图８ １ ２），这
２ ４ １
样可以进一步缩小狓所在的区间．
１
２ １６
８
函数应用 第 章
图８ １ ２
思 考 你能把此方程的一个根狓限制在更小的区间内吗？
１
下面我们利用计算工具来求方程狓２－２狓－１＝０的一个近似解
（精确到０．１）．设犳（狓）＝狓２ －２狓－１，先画出函数的图象（图
８ １ ２）．因为
犳（２）＝－１＜０，犳（３）＝２＞０，
所以在区间 （２，３）上，方程狓２－２狓－１＝０有一解，记为狓．
１
取２与３的平均数２．５．因为犳（２．５）＝０．２５＞０，所以２＜狓＜２．５．
１
再取２与２．５的平均数２．２５．因为犳（２．２５）＝－０．４３７５＜０，所
以２．２５＜狓＜２．５．
１
如此继续下去，得
犳（２）＜０，犳（３）＞０狓∈ （２，３），
１
▲ 图中负号“－”表示 犳（２）＜０，犳（２．５）＞０狓∈ （２，２．５），
１
此点所对应的函数值为
犳（２．２５）＜０，犳（２．５）＞０狓∈ （２．２５，２．５），
负，正号“＋”表示此点所对 １
应的函数值为正，下同． 犳（２．３７５）＜０，犳（２．５）＞０狓∈ （２．３７５，２．５），
１
犳（２．３７５）＜０，犳（２．４３７５）＞０狓∈ （２．３７５，２．４３７５）．
１
因为２．３７５与２．４３７５精确到０．１的近似值都为２．４，所以此方
程的近似解为
狓≈２．４．
１
利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解．
像上面这种求方程近似解的方法称为二分法，它是求一元方程
近似解的常用方法．
运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间．
例３ 利用计算器，求方程ｌｇ狓＝３－狓的近似解（精确到０．１）．
分析 求方程ｌｇ狓＝３－狓的解，可以转化为求函数犳（狓）＝
ｌｇ狓＋狓－３的零点，故可以利用二分法求出题中方程的近似解．
解 分别画出函数狔＝ｌｇ狓和狔＝３－狓的图象，如图８ １ ３所
２ １７
必修第一册 数学
先利用函数图象
示．在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是
估算出方程的解所在 方程ｌｇ狓＝３－狓的解．由函数狔＝ｌｇ狓与狔＝３－狓的图象可以发现，方
的区间． 程ｌｇ狓＝３－狓有唯一解，记为狓，并且这个解在区间（２，３）内．
１
图８ １ ３
设犳（狓）＝ｌｇ狓＋狓－３，用计算器计算，得
犳（２）＜０，犳（３）＞０狓∈ （２，３），
１
犳（２．５）＜０，犳（３）＞０狓∈ （２．５，３），
１
犳（２．５）＜０，犳（２．７５）＞０狓∈ （２．５，２．７５），
１
犳（２．５）＜０，犳（２．６２５）＞０狓∈ （２．５，２．６２５），
１
犳（２．５６２５）＜０，犳（２．６２５）＞０狓∈ （２．５６２５，２．６２５）．
１
因为２．５６２５与２．６２５精确到０．１的近似值都为２．６，所以原方
程的近似解为
狓≈２．６．
１
例４ 利用计算器，求方程ｓｉｎ狓＝１－狓的近似解（精确到０．１）．
解 因为方程ｓｉｎ狓＝１－狓可化为狓＋ｓｉｎ狓－１＝０，所以原方
程的解即函数犳（狓）＝狓＋ｓｉｎ狓－１的零点．先画出函数狔＝ｓｉｎ狓与
函数狔＝１－狓的图象，如图８ １ ４所示．
图８ １ ４
观察图象，因为
犳（０）＝－１＜０，犳（１）＝ｓｉｎ１＞０，
所以函数犳（狓）的零点在区间（０，１）内，记为狓．
０
２ １８
８
函数应用 第 章
取０和１的平均数０．５，因为
犳（０．５）＝ｓｉｎ０．５－０．５＝－０．０２０５７＜０，
所以狓∈（０．５，１）．
０
取０．５和１的平均数０．７５，因为
犳（０．７５）＝ｓｉｎ０．７５－０．２５＝０．４３１６４＞０，
所以狓∈ （０．５，０．７５）．
０
取０．５和０．７５的平均数０．６２５，因为
犳（０．６２５）＝ｓｉｎ０．６２５－０．３７５＝０．２１０１０＞０，
所以狓∈ （０．５，０．６２５）．
０
取０．５和０．６２５的平均数０．５６２５，因为
犳（０．５６２５）＝ｓｉｎ０．５６２５－０．４３７５＝０．０９５８０＞０，
所以狓∈ （０．５，０．５６２５）．
０
取０．５和０．５６２５的平均数０．５３１２５，因为
犳（０．５３１２５）＝ｓｉｎ０．５３１２５－０．４６８７５＝０．０３７８６＞０，
所以狓∈ （０．５，０．５３１２５）．
０
因为０．５和０．５３１２５精确到０．１的近似数都是０．５，所以区间
（０．５，０．５３１２５）内的所有数精确到０．１的近似数都是０．５，从而
狓≈０．５．因此，方程ｓｉｎ狓＝１－狓的近似解（精确到０．１）为０．５．
０
用二分法求方程的一个近似解的操作流程是：
步骤１ 方程犳（狓）＝０的解
转化为
↓
步骤２ 函数犳（狓）的零点
犳（犪）犳（犫）＜０
↓
步骤３ 确定犳（狓）的零点狓∈（犪，犫）
０
↓
犪＋犫
步骤４ 取犪，犫的平均数犮＝
２
↓ 犳（犮）的符号
步骤５ 确定犳（狓）的零点狓∈（犪，犫）
０ １ １
连续重复步骤４，５
↓
步骤６ 犪，犫的近似值都为犿
狀 狀
狓≈犿
↓ ０
步骤７ 方程的一个近似解为犿
２ １９
必修第一册 数学
在以上操作过程中，如果存在犮，使得犳（犮）＝０，那么犮就是方程
犳（狓）＝０的一个精确解．
练 习 １．利用计算器，求方程狓３＋３狓－１＝０在区间（０，１）上的近似解（精确到
０．１）．
２．利用计算器，求方程ｌｇ狓＝１－２狓的近似解（精确到０．１）．
３．用自己的语言叙述用二分法求方程近似解的基本步骤．
４．用两种方法解方程２狓２＝３狓－１．
５．利用计算器，求方程狓３＝２狓＋１的近似解（精确到０．１）．
６．利用计算器，求方程狓－ｃｏｓ狓＝０的近似解（精确到０．１）．
习题８．１
感受·理解 １．说明下列函数在给定的区间上存在零点：
（１）犳（狓）＝ｌｇ狓＋２狓－５，（１，３）；
（２）犳（狓）＝２狓＋狓２－７，（１，２）；
（３）犳（狓）＝狓３＋狓－１，（０，１）；
（４）犳（狓）＝２狓＋ｓｉｎ狓－１，（０，π）．
２．求证：方程狓２＋狓＋１＝０没有实数根．
３．设犿为实数，若函数狔＝犿狓２－６狓＋２的图象与狓轴只有１个公共点，求犿
的值．
４．设犽为实数，若方程４（狓２－３狓）＋犽－３＝０没有实数根，求犽的取值范围．
５．求证：方程５狓２＋７狓－１＝０的根一个在区间（－２，－１）内，另一个在区间
（０，１）内．
６．利用计算器，求方程狓２－２狓－２＝０的近似解（精确到０．１）．
７．用多种方法解方程狓２＝３狓＋１０．
思考·运用 ８．设犿为实数，若方程７狓２－（犿＋１３）狓－犿－２＝０的一个根在区间（０，１）
内，另一个根在区间（１，２）内，求犿的取值范围．
９．设犽为实数，若函数犳（狓）＝狓２－２狓＋犽在区间［－１，０］上有零点，求犽的取
值范围．
１０．设犪为实数，函数犳（狓）＝狓２－犪狓－１，且函数犳（狓）在区间［－１，２］上有唯
一的零点，求犪的取值范围．
１１．利用计算器，求下列方程的近似解（精确到０．１）：
（１）ｌｇ（２狓）＝－狓＋１；
（２）３狓＝狓＋４；
（３）２狓－ｃｏｓ狓－１＝０．
探究·拓展 １２．已知定义在犚上的函数狔＝犳（狓）的图象是一条不间断的曲线，犳（犪）≠
犳（犪）＋犳（犫）
犳（犫），其中犪＜犫，设犉（狓）＝犳（狓）－ ，求证：函数犉（狓）在区
２
间（犪，犫）上有零点．
２ ２０
８
函数应用 第 章
８．２
函数与数学模型
函数可以刻画事物变化过程中有依赖关系的两个变量之间的关
系，我们能运用函数的概念与性质有效地解决问题．
例如，要研究气温的变化规律，从气象台温度记录仪上收集到如
下信息（图８ ２ １），怎样来研究气温的变化状况呢？
图８ ２ １
我们是这样来研究的：
（１）分别用数（数量）犜（单位：℃），狋（单位：ｈ）来刻画温度和时间的
状态，就得到两个数集，例如狋，的范围为［０，２４］，犜的范围为［－２，９］．
（２）将温度与时间之间的关系，抽象为数集之间元素的对应关
系，从而建立起刻画事物现象的一种数学模型．
（３）借助数学方法来研究这个模型的数学性质，进一步认识这一
现象的变化过程，从而给出气温的变化规律．
● 不同的数学模型之间有什么区别？
● 怎样建立函数模型去解决实际问题？
８．２．１ 几个函数模型的比较
不同的函数模型可以刻画不同的自然现象，不同函数的“变化趋
势”也不同．对不同函数的“变化趋势”的研究和比较，可以加深我们
对自然现象的理解．
例１ （１）用计算器或计算机计算下列各值：
１．０１２，１．０１３，１．０１４，０．９９２，０．９９３，０．９９４．
猜测一下，１．０１３６５大概是多少？０．９９３６５大概是多少？
（２）用计算器或计算机计算下列各值：
２ ２１
必修第一册 数学
１．１２，１．１３，１．１４，０．９２，０．９３，０．９４．
猜测一下，１．１１００大概是多少？１．１２６０大概是多少？
猜测一下，０．９１００大概是多少？０．９１０００大概是多少？
（３）用计算器或计算机计算一下（１）（２）中的结果，与你的猜测进
行比较，谈谈你对“指数爆炸”的理解．
解 （１）１．０１２＝１．０２０１， ０．９９２＝０．９８０１，
１．０１３＝１．０３０３０１， ０．９９３＝０．９７０２９９，
１．０１４＝１．０４０６０４０１， ０．９９４＝０．９６０５９６０１．
（２）１．１２＝１．２１， ０．９２＝０．８１，
１．１３＝１．３３１， ０．９３＝０．７２９，
１．１４＝１．４６４１， ０．９４＝０．６５６１．
（３）用计算器或计算机计算，得
１．０１３６５≈３７．８， ０．９９３６５≈０．０３，
１．１１００≈１３７８１， ０．９１００≈２．６５６×１０－５，
１．１２６０≈５７８２２６６９９３４， ０ ．９１０００≈１．７４８×１０－４６．
根据（１）（２），我们可以发现“指数爆炸”的含义是：当犪＞１时，指
数函数狔＝犪狓随着狓的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈“爆
炸”的趋势；当０＜犪＜１时，指数函数狔＝犪狓随着狓的增大而减小，
并逐步趋向于０．
例２ （１）在同一个直角坐标系中画出下列４个函数在区间
（０，＋∞）上的图象：
狔＝２狓，狔＝狓２，狔＝狓０．５，狔＝ｌｏｇ狓．
２
结合这４个函数的图象，比较它们随着狓的增大函数值增长的
快慢，并指出：当狓的值足够大（狓＞１６）的时候，这４个函数的值的大
小关系；
（２）先想象下列两组函数图象之间的关系，再用数值验算，提出
更一般的猜想．
①狔＝１．０１狓与狔＝狓１０；②狔＝狓０．１与狔＝ｌｇ狓．
（３）借助图形计算器或计算机，作出下列两组函数的图象，验证
你在（２）中的猜想．
①狔＝２狓与狔＝狓１００；②狔＝狓０．２５与狔＝ｌｏｇ狓．
２
解 （１）这４个函数的图象如图８ ２ ２所示．
由图８ ２ ２可知：
当０＜狓＜２时，０＜狓２＜２狓＜４；
当狓＝２时，２狓＝狓２＝４；
当２＜狓＜４时，４＜２狓＜狓２＜１６；
当狓＝４时，２狓＝狓２＝１６；
２ ２２
８
函数应用 第 章
图８ ２ ２
当狓＞４时，１６＜狓２＜２狓．
对应地，
当０＜狓＜４时，０＜ｌｏｇ狓＜狓０．５＜２；
２
当狓＝４时，狓０．５＝ｌｏｇ狓＝２；
２
当４＜狓＜１６时，２＜狓０．５＜ｌｏｇ狓＜４；
２
当狓＝１６时，狓０．５＝ｌｏｇ狓＝４；
２
当狓＞１６时，狓０．５＞ｌｏｇ狓．
２
可以发现：当狓的值足够大（狓＞１６）时，这４个函数值的大小关
系是
２狓＞狓２＞狓０．５＞ｌｏｇ狓．
２
（２）① 可以想象，在区间（０，＋∞）上，函数狔＝１．０１狓与狔＝狓１０
的图象都是随着狓的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：
当０＜狓＜１时，１．０１狓＞狓１０；
当２≤狓≤９０００时，１．０１狓＜狓１０，
例如，当狓＝９０００时，１．０１９０００≈７．８×１０３８，９０００１０≈３．５×１０３９，
显然１．０１９０００＜９０００１０；
当狓≥１００００时，１．０１狓＞狓１０，
例如，当狓＝１００００时，１．０１１００００≈１．６×１０４３，１００００１０＝１０４０，
显然１．０１１００００＞１００００１０．
② 可以想象，在区间（０，＋∞）上，函数狔＝狓０．１与狔＝ｌｇ狓的图
象都是随着狓的增大而上升的，函数值的大小有如下特征：
当０＜狓≤１０时，狓０．１＞１≥ｌｇ狓；
当３０≤狓＜１０１０时，狓０．１＜ｌｇ狓，
例如，当狓＝３０时，３００．１≈１．４０５１，ｌｇ３０≈１．４７７１，
显然３００．１＜ｌｇ３０；
当狓＝１０１０时，狓０．１＝ｌｇ狓＝１０；
２ ２３
必修第一册 数学
当狓＞１０１０时，狓０．１＞ｌｇ狓，
例如，当狓＝１０１１时，（１０１１）０．１≈１２．５９，ｌｇ１０１１＝１１，
显然（１０１１）０．１＞ｌｇ１０１１．
因此，我们可以得到更一般的猜想：
一般地，在描述
现实问题的变化规律
对于指数函数狔＝犪狓（犪＞１），幂函数狔＝狓α（α＞０）和对数函数
时，常用“指数爆炸”
狔＝ｌｏｇ狓（犪＞１），当狓足够大时，总有
犪
“直线上升”“对数增
犪狓＞狓α＞ｌｏｇ狓．
长”等术语表示指数 犪
函数、一次函数、对数
（３）借助图形计算器或计算机，观察函数狔＝２狓，狔＝狓１００的图
函数的增长方式．
象（图８ ２ ３），可以发现：当狓的值从０开始增大时，随着狓的增
大，当０≤狓≤１时，２狓＞狓１００；之后很快有２狓＜狓１００，直到狓＞９９７时，
总有２狓＞狓１００．
图８ ２ ３ 图８ ２ ４
同样，借助图形计算器或计算机，观察函数狔＝狓０．２５，狔＝ｌｏｇ狓
２
的图象（图８ ２ ４），可以发现：当狓从４开始增大时，一直有狓０．２５＜
ｌｏｇ狓，直到狓＞６５５３６时，总有狓０．２５＞ｌｏｇ狓．
２ ２
由此，我们进一步验证了（２）中的猜想：当狓足够大时，总有
犪狓＞狓 α＞ｌｏｇ狓．
犪
练 习 １．利用计算器或计算机，计算下表中与狓的值对应的函数狔＝０．９９狓与狔＝
１．０１狓的值（精确到０．０００１）：
狓 １０ ２０ １００ ３６５ ７３０
狔＝０．９９狓
狔＝１．０１狓
２．利用图形计算器或计算机，在同一个直角坐标系中画出下列各组两个函
数在区间（０，＋∞）上的图象，并结合函数的图象，比较它们随着狓的增
大函数值增长的快慢，并指出当狓的值足够大的时候，这两个函数值的大
小关系．
（１）狔＝１０狓，狔＝狓１００； （２）狔＝狓０．６，狔＝ｌｏｇ 狓；
１．５
（３）狔＝１．０１狓，狔＝狓２； （４）狔＝狓－２，狔＝２－狓．
２ ２４
８
函数应用 第 章
８．２．２ 函数的实际应用
函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之
间依赖关系的有效工具．利用函数模型可以处理生产、生活中许多实
际问题．
● 怎样建立函数模型，解决实际问题？
● 怎样选择合适的数学模型刻画客观世界的变化规律？
例３ 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为
２００万元，生产每台计算机的可变成本为３０００元，每台计算机的售价
为５０００元．分别写出总成本犆（单位：万元）、单位成本犘（单位：万
元）、销售收入犚（单位：万元）以及利润犔（单位：万元）关于总产量狓
（单位：台）的函数关系式．
解 总成本与总产量的关系为
犆＝２００＋０．３狓，狓∈犖
．
单位成本与总产量的关系为
２００
犘＝ ＋０．３，狓∈犖
．
狓
销售收入与总产量的关系为
犚＝０．５狓，狓∈犖
．
利润与总产量的关系为
犔＝犚－犆＝０．２狓－２００，狓∈犖
．
例４ 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：
设物体的初始温度是犜，经过一定时间狋后的温度是犜，则犜－犜＝
０ 犪
（ ）
１ 狋
（犜－犜） 犺，其中犜 表示环境温度，犺称为半衰期．现有一杯用
０ 犪 ２ 犪
８８℃热水冲的速溶咖啡，放在２４℃的房间中，如果咖啡降温到４０℃需
要２０ｍｉｎ，那么降温到３５℃，需要多长时间（结果精确到０．１）？
解 由题意知
（ ）
１ ２０
４０－２４＝ （８８－２４） 犺，
２
即
（ ）
１ １ ２０
＝ 犺．
４ ２
解得犺＝１０，故
２ ２５
必修第一册 数学
（ ）
１ 狋
犜－２４＝ （８８－２４）· １０．
２
当犜＝３５时，代入上式，得
（ ）
１ 狋
３５－２４＝ （８８－２４）· １０，
２
即
（ ）
１ 狋 １１
１０＝ ．
２ ６４
两边取对数，用计算器求得狋≈２５．４．
因此，约需要２５．４ｍｉｎ咖啡可降温到３５℃．
边际函数是经济 例５ 在经济学中，函数犳（狓）的边际函数犕犳（狓）定义为
学中一个基本概念， 犕犳（狓）＝犳（狓＋１）－犳（狓）．某公司每月最多生产１００台报警系统装
通常记为犕犳（狓）．
置，生产狓台（狓∈犖
）的收入函数为犚（狓）＝３０００狓－２０狓２ （单位：
元），其成本函数为犆（狓）＝５００狓＋４０００（单位：元），利润是收入与成
本之差．
（１）求利润函数犘（狓）及边际利润函数犕犘（狓）；
（２）利润函数犘（狓）与边际利润函数犕犘（狓）是否具有相同的最
大值？
解 由题意知，狓∈［１，１００］，且狓∈犖
．
（１）犘（狓）＝犚（狓）－犆（狓）
＝３０００狓－２０狓２－（５００狓＋４０００）
＝－２０狓２＋２５００狓－４０００，
犕犘（狓）＝犘（狓＋１）－犘（狓）
＝－２０（狓＋１） ２＋２５００（狓＋１）－４０００－
（－２０狓２＋２５００狓－４０００）
＝２４８０－４０狓．
（ ）
（２）犘（狓）＝－２０狓－
１２５２
＋７４１２５，当狓＝６２或狓＝６３时，
２
犘（狓）的最大值为７４１２０（元）．
因为犕犘（狓）＝２４８０－４０狓是减函数，所以，当狓＝１时，犕犘（狓）
的最大值为２４４０（元）．
因此，利润函数犘（狓）与边际利润函数犕犘（狓）不具有相同的
最大值．
例５中边际利润函数犕犘（狓）当狓＝１时取最大值，说明生产第
二台与生产第一台的总利润差最大，即生产第二台报警系统装置利
润最大．犕犘（狓）＝２４８０－４０狓是减函数，说明随着产量的增加，每台
利润与前一台利润相比在减少．
２ ２６
８
函数应用 第 章
通过上述３个例子，我们可以看出，解决实际问题通常按
实际问题 → 建立数学模型 → 求解数学模型 → 解决实际问题
的程序进行，其中建立数学模型是关键．
１．某地高山上温度从山脚起每升高１００ｍ降低０．６℃．已知山顶的温度是
练 习
１４．６℃，山脚的温度是２６℃．问：此山有多高？
２．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站７．２ｋｍ，慢车到终点站需１６ｍｉｎ，快
车比慢车晚发车３ｍｉｎ，且行驶１０ｍｉｎ后到达终点站．试分别写出两车所行
路程关于慢车行驶时间的函数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站
多远？
３．经市场调查，某商品在过去１００天内的销售量（单位：件）和价格（单位：元）
１ １０９
均为时间狋（单位：天）的函数，且销售量近似地满足犵（狋）＝－ 狋＋ （１≤
３ ３
１
狋≤１００，狋∈犖）．前４０天价格为犳（狋）＝ 狋＋２２（１≤狋≤４０，狋∈犖），后６０
４
狋
天价格为犳（狋）＝－ ＋５２（４１≤狋≤１００，狋∈犖）．试写出该种商品的日销
２
售额犛与时间狋的函数关系．
４．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了３００元，回来后发现
有１２个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按每个高出成本价１元售出，
售完后共赚得７８元．问：这两筐椰子原来共有多少个？
５．已知镭经过１００年剩留原来的９５．７６％，设质量为１的镭经过狓年后的剩留
量为狔，则狓，狔的函数关系是怎样的？试写出．
习题８．２
感受·理解 １．已知某产品今年年产量是犿件，计划以后每年的产量比上一年增加２０％，
写出狓年后该产品的年产量狔与狓之间的函数关系式．
２．销售甲、乙两种商品所得利润分别是犘（单位：万元）和犙（单位：万元），它
１ ３
们与投入资金狋（单位：万元）的关系有经验公式犘＝ 狋，犙＝ 槡狋．今将
５ ５
３万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲种商品投资狓（单位：万元），
试建立总利润狔（单位：万元）关于狓的函数关系式．
３．一种放射性元素，最初质量为１０００ｇ，按每年１０％衰减．
（１）写出狓年后这种放射性元素质量狔与狓之间的函数关系式；
（２）求这种放射性元素的半衰期（放射性物质的质量衰减为原来的一半所
需要的时间）．（精确到０．１）
思考·运用
４．某工厂第一季度某产品月生产量分别为１００００件、１２０００件、１３０００件．为
了估测以后每个月的产量，以这３个月的产量为依据，用一个函数模拟该产
品的月产量狔（单位：件）与月份狓的关系．模拟函数可以选用二次函数或
函数狔＝犪犫狓＋犮（其中犪，犫，犮为常数）．已知４月份的产量为１３６００件，问：
２ ２７
必修第一册 数学
用以上哪个函数作为模拟函数较好？为什么？
５甲、乙两家电子商店同时上市一批移动硬盘，原价８００元／个．为了促销，甲
商店推出如下优惠政策：买１个，单价为７８０元；买２个，单价为７６０
元……依此类推，每多买１个，则单价减少２０元，但价格底线为４４０元／个．乙
商店一律按原价的７５％降价促销．某单位需购买一批该型号的移动硬盘，
问：选择去哪一家商店购买，才能使得花费较少？
６某建材实验室在做陶粒混凝土强度实验中，考察每立方米混凝土的水泥用
量狓（单位：ｋｇ）对２８天后的混凝土抗压强度狔（单位：ｋｇ／ｍ２）的影响，测得
如下数据：
狓 １５０ １６０ １７０ １８０ １９０ ２００ ２１０ ２２０ ２３０ ２４０ ２５０ ２６０
狔 ５６．９５８．３６１．６６４．６６８．１７１．３７４．１７７．４８０．２８２．６８６．４８９．７
试建立适当的数学模型回答以下问题：
（１）每立方米混凝土中增加１ｋｇ水泥时，可提高抗压强度多少？
（２）当狓＝２２５（ｋｇ）时，狔的预测值是多少？
７某公司今年头６个月的月利润如下表所示：
月 份 １ ２ ３ ４ ５ ６
利润／万元 ２９．９ ４４．２ ５４．１ ６１．７ ６８．３ ７３．４
假定短期内利润增长基本符合对数规律，预测一下今年７，８两个月的月利
润各是多少．
探究·拓展 ８．（写作题）到学校附近的农村、工厂、商店、机关作调查，了解函数模型在生产
生活中的应用，收集一些生活中的函数模型（指数函数、对数函数、幂函数、
分段函数等）实例，并做出分析，写成调查报告．
２ ２８
８
函数应用 第 章
体 重 与 脉 搏
应用与建模
问题 生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，
主要是为了保持体温．研究表明，消耗的能量犈与通过心脏的血流量
犙成正比．根据生物学常识知道，动物的体重与体积成正比．表１给出
了一些动物体重与脉搏率对应的数据．
表１ 一些动物的体重和脉搏率
动物名 体重／ｇ 脉搏率／（心跳次数·ｍｉｎ－１）
鼠 ２５ ６７０
大鼠 ２００ ４２０
豚鼠 ３００ ３００
兔 ２０００ ２０５
小狗 ５０００ １２０
大狗 ３００００ ８５
羊 ５００００ ７０
马 ４５００００ ３８
（１）根据生物学常识，给出血流量与体重之间关系的数学模型；
（２）建立脉搏率与体重关系的数学模型；
（３）根据表１，作出动物的体重和脉搏率的散点图，验证所建立
的数学模型．
简化假设 为了建立数学模型，需要了解一些生物学概念，例
如，血流量犙是单位时间流过的血量，脉博率犳是单位时间心跳的次
数；还需要知道一些生物学假设，例如，心脏每次收缩挤压出来的血
量狇与心脏大小成正比，动物心脏的大小与这个动物体积的大小成
正比．
建立模型 （１）因为动物体温通过身体表面散发热量，表面积越
大，散发的热量越多，保持体温需要的能量也就越大，所以动物体内
消耗的能量犈与身体的表面积犛成正比，即犈＝狆犛．
１
又因为动物体内消耗的能量犈与通过心脏的血流量犙成正比，
即犈＝狆犙．由此可得犙＝狆犛，其中狆，狆和狆均为正的比例系数．
２ １ ２
另一方面，体积犞与体重犠成正比，即犞＝狉犠．
１
２
又因为表面积犛大约与体积犞的 次方成正比，即犛＝狉犞２．
３ ２ ３
由此可得犛＝狉犠２
３
，其中狉
１
，狉
２
，狉为正的比例系数．
因此，血流量与体重关系的数学模型为
犙＝犽
１
犠２
３
，
其中犽为正的比例系数．
１
２ ２９
必修第一册 数学
（２）根据脉搏率的定义犳＝ 犙 ，再根据生物学假设狇＝犮犠（犮为正
狇
犙 犽犠２
的比例系数），可得犳＝ ＝ １ ３．因此，脉搏率与体重关系的数学
狇 犮犠
模型为
犳＝犽犠 －１
３
，
其中犽为正的待定系数．
（３）我们用Ｅｘｃｅｌ作出数据的散点图：在工作表中输入数据，选
中数据区，按“插入／图表／散点图”的顺序作出散点图（图１）．
图１ 脉搏率犳与体重犠的散点图
右击数据点，选择“添加趋势线”，在６种类型中分别选择指数、
“添加趋势线”是
Ｅｘｃｅｌ进行数据拟合 幂、二次多项式等趋势线，根据显示的“犚平方值”，选择最大的一个．
的一个有力工具，它 因此，采用幂函数模型，在“选项”中选定“显示公式”和“显示犚平方
提供了“线性、对数、 值”复选框，得到图２．
多项式、幂、指数、移
动平均”６种数学模
型，可供择优选用．显
示的犚２ 值越接近于
１，其拟合效果越好．
犚２ 的含义将在选择
性必修第二册“统计”
一章中介绍．
图２ 在脉搏率犳与体重犠的散点图中添加趋势线
可以看出，得到的拟合模型犳＝１７９０．９犠
－０．２９８
与（２）中建立的
数学模型接近．
回顾与评价 （１）脉搏率与体重关系的数学模型说明，恒温动物
２ ３０
８
函数应用 第 章
１
体重越大，脉搏率越低；脉搏率与体重的 次方成反比．表１中的数据
３
基本上反映了这个关系．
（２）当所给的数据差异较大时，可以对已知数据取对数，从而使
变换后的数据变得“均匀”，有利于发现趋势或规律．本例中将体重犠
与脉搏率分别取自然对数后作出的散点图如图３所示．直观地看出，
变换后的数据点分布均匀，并近似地在一条直线上．
图３ ｌｎ犳与ｌｎ犠的散点图
（３）数据拟合是研究变量之间的关系，并给出近似数学表达式的
一种方法．根据拟合模型，我们还可以对某变量进行预测或控制．在
解决数据拟合问题时，首先应作出数据的散点图，然后通过观察散点
的趋势选用相应的模型进行拟合．为使散点图更清晰，可将数据适当
简化或变换．
练 习 下表给出了八大行星与冥王星离太阳的距离和它们运行的周期，试建立这两组
数据之间的关系．
水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 冥王星
距离／１０６ｋｍ ５７．９ １０８．２１４９．６２２７．９７７８．３１４２７ ２８７０ ４４９７ ５９０７
周期／ｄ ８８ ２２５ ３６５ ６８７ ４３２９１０７５３３０６６０ ６０１５０ ９０６７０
２ ３１
必修第一册 数学
阅 读 犌大调的正弦函数
音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受．
Ｇ．莱布尼茨
传说毕达哥拉斯很喜欢弹古希腊的七弦琴．他发现，当弦的粗细不
变时，拨弄弦弹出的声音音高取决于各弦的长度，当弦的长度成简单的
整数比时，它就发出和谐的声音．从那时起，音乐的研究与数学连成了
一体，数学家和音乐家都试图弄清音乐声音的本质，扩大音乐与数学两
者之间的联系．
先考虑由音叉发出的简单的声音．
数学家研究发现，音叉发出的声音（音叉附近空气分子的振动）
可以用函数模型狔＝犃ｓｉｎω狋（犃＞０，ω＞０）来刻画，这是一个周期
２π
函数，最小正周期为 ．
ω
有些声音悦耳动听，有些声音则叫人无法忍受．同一个音符，为什
么小提琴和钢琴发出的声音传到耳朵里会有不同的效果呢？观察发
现，所有声音的图象都呈现周期性．我们可以用小提琴和单簧管的声音
图象加以证实，也可以用ｆａｔｈｅｒ一词中ａ的声音的图象来证实，如图１
所示．
图１ 乐器和人发出的声音的周期性
如图１所示的这种具有周期性的声音，在整体上来说是悦耳的，
称为音乐声音．
１８０７年，法国著名数学家傅里叶（Ｆｏｕｒｉｅｒ，１７６８—１８３０）用一个纯
粹的数学定理表述了这种规则特征：代表任何周期性声音的公式是
形如犃ｓｉｎω狋的简单正弦函数之和，而且这些正弦函数的频率都是其
中一个最小频率的整数倍．比如说图１中的小提琴的声音图象公式基
本上是
狔＝０．０６ｓｉｎ１０００π狋＋０．０２ｓｉｎ２０００π狋＋０．０１ｓｉｎ３０００π狋．
首先，这个公式是简单的正弦表达式之和；其次，第１项的频率是
２ ３２
８
函数应用 第 章
５００，第２项的频率是１０００，第３项的频率是１５００．因此，第２项和第３
项的频率是最低频率的整数倍．这些简单三角函数的图象如图２所示．
图２ 构成小提琴声音的各项三角函数的图象
例如，一个音质与上面的小提琴音质完全相同的声音，能够由３
个具有适当相关音量的、每个频率分别为５００，１０００，１５００的音叉同
时发声而产生．因此，从理论上来讲，完全可以由音叉来演奏贝多芬
第九交响曲．
通过傅里叶定理，我们明白了一般的音乐声音的数学特征：各种
声音都可以归于一些简单声音的基本组合，而这些简单声音在数学
上又不会比简单的三角函数更复杂．
上面简单的描述表明，数学已经深深地渗入到音乐领域中了．
２ ３３
必修第一册 数学
本章回顾
本章从函数的零点出发，揭示了函数与方程的关系，指出了用二
分法求方程近似解的函数背景；从实际问题出发，展示了函数的实际
应用，并通过数据拟合，进一步体现了函数是描述客观世界变化规律
的重要数学模型，对探索自然界的变化规律具有重要的指导意义，在
现实生活中有着广泛的应用．
在研究函数与方程的关系时，了解了函数的零点就是使得函数
值为０的自变量的值，借助函数的性质和图象体会了用二分法求方程
近似解的一般步骤，进一步研究了方程有解与函数值的关系．
运用函数知识解决实际问题的关键是建立数学模型，通常的程
序是：实际问题→建立数学模型→求解数学模型→解决实际问题．
复 习 题
感受·理解 １．求下列函数犳（狓）的零点：
（１）犳（狓）＝２狓－１６； （２）犳（狓）＝狓２－２狓－８；
１
（３）犳（狓）＝ｌｏｇ狓－ ； （４）犳（狓）＝４狓－２狓－２；
２ ２
（５）犳（狓）＝狓＋ｌｎ狓－１； （６）犳（狓）＝２狓＋２狓－８．
２．学校宿舍与办公室相距犪ｍ．某同学有重要材料要送交给老师，从宿舍出
发，先匀速跑步３ｍｉｎ来到办公室，停留２ｍｉｎ，然后匀速步行１０ｍｉｎ返回
宿舍．在这个过程中，这位同学行进的速度和行走的路程都是时间的函数，
画出速度函数和路程函数的示意图．
３．借助计算工具，求下列方程的近似解（精确到０．０１）：
（１）狓２－狓－３＝０； （２）２狓－狓－２＝０；
（３）ｌｏｇ狓＝２－狓； （４）狓２＝ｃｏｓ狓．
２
４设犽为实数，若函数犳（狓）＝狓２－犽狓＋１在区间［－１，１］上无零点，求犽的
取值范围．
２ ３４
８
函数应用 第 章
思考·运用 ５．设犪为实数，若关于狓的方程狓－ 犪 ＋１＝０在区间（－１，１）上有两个解，
狓
求犪的取值范围．
（ ）
π
６．已知函数犳（狓）＝ｓｉｎ２狓＋ ，且关于狓的方程犳（狓）＝狋（狋∈犚）在区间
６
［ ］
π
０， 上有唯一解，求狋的取值范围．
２
７．根据市场调查，某种商品在最近的４０天内的价格犳（狋）（单位：元／件）、日销
售量犵（狋）（单位：件）与时间狋（单位：天）的关系分别是
烄１
狋＋１１，０≤狋＜２０，
犳（狋）＝烅２ （狋∈犖），
烆－狋＋４１，２０≤狋≤４０
１ ４３
犵（狋）＝－ 狋＋ （０≤狋≤４０，狋∈犖），
３ ３
求这种商品的日销售额的最大值．（日销售额＝销售量×价格）
８．如图，有一块半径为犚（单位：ｃｍ）的半圆形钢板，计划裁剪成等腰梯形
犃犅犆犇的形状，它的下底犃犅是半圆的直径，上底犆犇的端点在圆周上．
（１）写出梯形的周长狔（单位：ｃｍ）和腰长狓（单位：ｃｍ）之间的函数关系式；
（２）求梯形周长的最大值．
（第８题）
９．一般地，海面上的大气压强是７６０ｍｍＨｇ，高空中因空气稀薄，大气压强就
小于７６０ｍｍＨｇ，高度越高，大气压强越低，大气压强狆（单位：ｍｍＨｇ）和高
度犺（单位：ｍ）之间的关系为狆＝７６０ｅ－犺犽，其中ｅ是自然对数的底数，犽是
常数．根据实验，已知５００ｍ高空处的大气压强是７００ｍｍＨｇ．
（１）确定关系式中的常数犽；
（２）求１０００ｍ高空处的大气压强；
（３）如果高空某处的大气压强是５６０ｍｍＨｇ，那么该处的高度是多少？
１０．近年来，某企业每年消耗电费２４万元．为了节能减排，决定安装一个可使用
１５年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用
（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：ｍ２）成正比，比例系数约为
０．５．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此
模式下，安装后该企业每年消耗的电费犆（单位：万元）与安装的这种太阳能
犽
电池板的面积狓（单位：ｍ２）之间的函数关系是犆（狓）＝ （狓≥０，
２０狓＋１００
犽为常数）．记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与１５年所消耗的电
费之和为犉（单位：万元）．
（１）解释犆（０）的实际意义，并写出犉关于狓的函数关系式；
１
（２）要使犉不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的 ，求狓的取值范围．
６
２ ３５
必修第一册 数学
探究·拓展 １１．设犪∈犚，试研究关于狓的方程狓２－（犪＋２）狓＋犪＝０在区间（０，２）上的解
的个数．
１２．设函数犳（狓）＝ｃｏｓ２狓－ｓｉｎ狓＋犪，其中犪∈犚，讨论函数犳（狓）在区间
（ ）
π
，π 上零点的个数．
２
１３．设函数犳（狓）＝狓２－犿狓＋犿，其中犿∈犚．
（１）函数犳（狓）在区间［－１，２］上有唯一的零点，求犿的取值范围；
（２）函数犳（狓）在区间［－２，４］上有两个零点，求犿的取值范围．
２ ３６
８
函数应用 第 章
本章测试
一、填空题 １．函数狔＝ｌｏｇ狓－１的零点是 ．
２
２．设函数犳（狓）＝犪狓＋犫，其中犪＞０，犪≠１，犫∈犚．若犳（狓）无零点，则犫的
取值范围是 ．
３．若方程２狓＝０．２的解在区间［犽，犽＋１］（犽∈犣）内，则犽的值是 ．
４．函数犳（狓）＝ｌｏｇ狓－狓＋１的零点是 ．
２
５．已知某产品的总成本狔（单位：万元）与产量狓（单位：台）之间的函数关系是
狔＝３０００＋２０狓－０．１狓２（０＜狓＜２４０，狓∈犖），若每台产品的售价为２５万元，
则能使生产者不亏本（销售收入不小于总成本）的最低产量是 台．
６．设犪为实数，若关于狓的方程４狓＋２狓＋１＋犪＝０有实数解，则犪的取值范围
是 ．
７．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：
二、选择题
狓 －２．０ －１．０ ０ １．００ ２．０ ３．０
狔 ０．２４ ０．５１ １ ２．０２ ３．９８ ８．０２
在四个函数模型（犪，犫为待定系数）中，最能反映狓，狔函数关系的是（ ）．
Ａ．狔＝犪＋犫狓 Ｂ．狔＝犪＋犫狓
犫
Ｃ．狔＝犪＋ｌｏｇ狓 Ｄ．狔＝犪＋
犫 狓
烄狓２＋狓－６，狓≤０，
８．函数犳（狓）＝烅 的零点个数是（ ）．
烆ｌｏｇ（狓＋２）－２，狓＞０
２
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
９．若存在狓∈（－∞，０］满足狓２－２狓＋犪＜０（犪∈犚），则犪的取值范围是
（ ）．
Ａ．（－∞，１） Ｂ．（１，＋∞） Ｃ．（－∞，－１） Ｄ．（－１，＋∞）
１０．设犪为实数，若方程狓２－２犪狓＋犪＝０在区间（－１，１）上有两个不相等的实
数解，则犪的取值范围是（ ）．
Ａ．（－∞，０）∪（１，＋∞） Ｂ．（－１，０）
（ ） （ ）
１ １
Ｃ． － ，０ Ｄ． － ，０ ∪（１，＋∞）
３ ３
三、解答题
１１．某快捷酒店有１５０个标准客房，经过一段时间的试营业，得到一些每个标准
客房的价格和客房的入住率的数据如下：
标准客房的价格／元 １６０ １４０ １２０ １００
客房的入住率 ５５％ ６５％ ７５％ ８５％
根据这些数据，要使该快捷酒店每天的营业额最高，应如何定价？
２ ３７
必修第一册 数学
１２．已知函数犳（狓）＝２狓＋狓－５．
（１）讨论函数犳（狓）的单调性；
（２）求证：函数犳（狓）在区间（１，２）上有零点．
１３．已知犳（狓）是定义在犚上的奇函数，且当狓＞０时，犳（狓）＝２狓－３．求：
（１）犳（狓）的表达式；
（２）犳（狓）的零点．
１４．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的质量约是原来的
１
７５％，大约经过多少年，该物质的剩留量是原来的 ？
３
（参考数据：ｌｇ２≈０．３０，ｌｇ３≈０．４８）
１５．设函数犳（狓）＝狘狓－犪狘，犵（狓）＝犪狓，其中犪∈犚．
（１）若函数狔＝犳（狓）是犚上的偶函数，求犪的值；
（２）若关于狓的方程犳（狓）＝犵（狓）有两个解，求犪的取值范围．
２ ３８
数学建模与数学探究 专题
专题 数学建模与数学探究
随着科技的发展和社会的进步，数学得到了越来越广泛的应用，
“数学模型”已成为人们经常谈论的一个词．气象工作者需要天气预
报的数学模型；金融工作者需要了解经济数学模型；城市规划者需要
建立包括人口、交通、能源、城市环境信息的数学模型，以提供决策
依据……
数学模型（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌ）是用数学语言模拟现实世界的一
种模型，是解决实际问题时所用的一种数学结构．
数学建模（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｉｎｇ）是对现实问题进行数学抽象，
用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建数学模型解决问题的
过程．数学建模的过程可用图１来表示．
图１
由图１可知，数学建模的过程主要包括：在实际情境中从数学的
视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解模型，验证结果
并改进模型，最终解决实际问题．
探究是人类认识世界的一种基本方式，科学的发现、发明和创造
无一不是科学探究活动的结晶．数学探究是将科学的探究活动引入
数学学习中来，它有助于我们了解数学概念和结论产生的过程，理解
直观和严谨的关系，使我们能够尝试数学研究的过程，体验创造的激
情，感受数学的魅力．
数学探究（ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｉｎｑｕｉｒｙ）是围绕某个具体的数学问题，开
展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程．
数学探究具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理
的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索或合作研究
论证数学结论．
２ ３９
必修第一册 数学
案例分析 １．停车距离问题
◆ 提出问题
就一辆具体的车辆，给出急刹车后车辆的停止距离的模型．根据
模型得到的结果，针对行车安全提出建议．
◆ 建立模型
（１）问题简化与假设
影响急刹车停车距离的因素有很多，如道路和天气状况、司机的
状况等．我们考虑影响急刹车停车距离的两个主要因素：汽车行驶的
速度和司机的反应时间．这样，可以把问题简化为
停车距离＝反应距离＋刹车距离．
用犱表示停车距离，犱表示反应距离，犱表示刹车距离，上述模
１ ２
型可以用数学符号表示为犱＝犱＋犱．为了得到犱和犱的具体表达
１ ２ １ ２
式，可以作下面的假设．
反应距离．假设反应距离是反应时间和汽车速度的函数．反应时
间是指司机意识到应当急刹车到实施刹车所需要的时间，汽车速度
是指司机在实施急刹车之前汽车的速度．在一般情况下，反应距离犱
１
与反应时间狋、汽车速度狏都成正比，即犱＝α狋狏，其中α为正的待定
１
系数．在现实生活中，可以知道反应时间狋＞０，但很难确定具体数值．
因此，只能确认反应距离与汽车速度成正比，将这个关系写成犱 ＝
１
α狏，也可以认为用α替代了α狋．
刹车距离．假设汽车的刹车系统和轮胎完好，那么刹车距离是刹
车受力与汽车速度的函数．对于刹车受力，假定把轮胎抱死，这样刹
车受力的大小近似等于汽车轮胎与路面的摩擦力．
用犉表示刹车受力．基于上面的假设，汽车急刹车时所做的功为
犉犱．根据能量守恒定律，可以得到犉犱＝
犿狏２，其中犿是汽车的质量．
２ ２ ２
另一方面，如果急刹车时汽车的加速度是犪，根据牛顿第二定律，可得
犉＝犿犪．综合上面的两个式子，得犿犪犱 ＝
犿狏２，即刹车距离犱＝ 狏２
．
２ ２ ２ ２犪
也就是说，刹车距离与汽车速度的平方成正比，即犱＝β狏２，其中
β
是
２
未知参数，它蕴含了刹车时的加速度、道路摩擦系数等一些很难确定
的数值．这样，我们就得到
犱＝犱＋犱＝α狏＋β狏２．
１ ２
模型中的参数是至关重要的，因为参数决定了模型的适用范围．
一般来说，现实模型的参数不可能通过理论计算得到，因为在构建模
型的过程中有许多因素没有也不可能考虑清楚．在现实模型中，参数
值通常是通过统计方法得到的，即通过现实数据估计出来的．大体上
有三种方法可以得到现实数据：调查、实验和试验．
２ ４０
数学建模与数学探究 专题
（２）确定参数
对于急刹车停车距离模型的参数，现实数据需要通过试验的方
法得到．表１中的数据是美国公路局的试验数据，是通过对小汽车试
验得到的平均结果．
表１ 通过试验观察到的反应距离、刹车距离与停车距离
狏／（ｋｍ／ｈ） 犱／ｍ 犱／ｍ 犱／ｍ α β
１ ２
３２ ６．７ ６．１ １２．８ ０．２０８ ０．００５９
４０ ８．５ ８．５ １７．０ ０．２１２ ０．００５３
４８ １０．１ １２．３ ２２．４ ０．２０８ ０．００５３
５６ １１．９ １６．０ ２７．９ ０．２１１ ０．００５０
６４ １３．４ ２１．９ ３５．３ ０．２０８ ０．００５３
７２ １５．２ ２８．２ ４３．４ ０．２１１ ０．００５４
８０ １６．７ ３６．０ ５２．７ ０．２０８ ０．００５６
８９ １８．６ ４５．３ ６３．９ ０．２１０ ０．００５８
９７ ２０．１ ５５．５ ７５．６ ０．２０８ ０．００６０
１０５ ２１．９ ６７．２ ８９．１ ０．２１０ ０．００６１
１１３ ２３．５ ８１．０ １０４．５ ０．２０８ ０．００６４
１２１ ２５．３ ９６．９ １２２．２ ０．２１０ ０．００６７
１２８ ２６．８ １１４．６ １４１．４ ０．２０８ ０．００６９
表１中共有１３组数据，利用犱＝犱＋犱＝α狏＋β狏２，通过犱＝
１ ２ １
α狏和犱＝β狏２，可以计算出相应的α和 β 的值．分别计算α和 β 的这１３
２
也可用“数据拟
个数值的平均数，可以作为对未知参数的一种估计：α＝０．２１， β＝
０．００６．这样，就通过试验数据，得到急刹车停车距离模型：
合”的方法估计参数．
犱＝０．２１狏＋０．００６狏２．
◆ 评价与应用
因为模型中的参数来源于实际，在一般情况下，这个模型能够经
受实践的检验．因此，这个模型普遍应用于汽车刹车的设计和路面交
通的管理．为了便于查阅，除了制作表格外，人们也给出直观图形，图
２直观地给出了急刹车停车距离模型．
从犱＝０．２１狏＋０．００６狏２中可以看到，汽车急刹车停车距离模型
把加法模型与乘法模型有机地联系起来了．当然，从表达式来看，也
可以认为：急刹车停车距离是汽车速度的二次函数．这样，从数学应
用的角度可以认为，函数是构建模型的有力工具．
２ ４１
必修第一册 数学
图２ 急刹车停车距离模型
案例分析 ２．函数的不动点与迭代法求方程的近似解
◆ 提出问题
对于定义在犇上的函数犳（狓），如果存在实数狓，使得犳（狓）＝
０ ０
狓，那么称狓是函数犳（狓）的一个不动点．
０ ０
如果将方程犵（狓）＝０改写为狓＝犳（狓），那么函数犳（狓）的不动点
就是方程犵（狓）＝０的解．
以第８章“函数应用”８．１节“二分法与求方程近似解”的例３“求
方程ｌｇ狓＝３－狓的近似解”为例，从函数的不动点的角度探索该方程
的近似解．
◆ 问题解决思路
迭代法是探求函数不动点的一种有趣方法，基本步骤是：
（１）将方程犵（狓）＝０改写成狓＝犳（狓）的形式；
（２）估计根的范围，给定一个初值狓；
１
（３）将狓代入犳（狓）得狓，再将狓代入犳（狓）得狓……即狓→
１ ２ ２ ３ １
犳（狓）＝狓→犳（狓）＝狓→犳（狓）＝狓……
１ ２ ２ ３ ３ ４
如果前后两次得出的狓值很接近，那么该值便是所求方程
犵（狓）＝０的近似解．上述过程可直观地用图３来表示．
在平面直角坐标系中作出狔＝狓和狔＝犳（狓）的图象，直线狓＝
狓与狔＝犳（狓）的图象交于点犘，过点犘作狓轴的平行线交直线狔＝
１ １ １
狓于点犃，其横坐标即为狓，直线狓＝狓交狔＝犳（狓）的图象于点犘，
１ ２ ２ ２
过点犘作狓轴的平行线交直线狔＝狓于点犃，其横坐标即为狓……如
图３ ２ ２ ３
果初值选择恰当，就可使犘（或犃）当狀增大时趋近于两曲线狔＝狓
狀 狀
和狔＝犳（狓）的交点，狓便是所求方程犵（狓）＝０（即狓＝犳（狓））的近
狀
２ ４２
数学建模与数学探究 专题
似解狓．
０
◆ 探求
（１）将方程ｌｇ狓＝３－狓改写为狓＝３－ｌｇ狓；
（２）根据函数草图，原方程在（１，３）上有唯一解，在Ｅｘｃｅｌ的单元
格Ａ１中输入初值２；
（３）在单元格Ａ２内输入“＝３－ＬＯＧ（Ａ１）”，向下拖动Ａ２的填
充柄，当前后两个值一样时即得到原方程的近似解狓≈２．５８７１７４３１
（图４）．
图４ 图５
◆ 评价与拓展
用迭代法求方程狓＝犳（狓）的近似解，既与初值有关，又与函数
犳（狓）的性态有关，因而需恰当地选择犳（狓）的形式和初值．
例如求方程２狓＋狓＝４的近似解，若将方程改写为狓＝４－２狓，
则无法用迭代法求出方程的解；若将方程改写为狓＝ｌｏｇ（４－狓），用
２
初值１进行迭代，即可求得原方程的近似解狓≈１．３８６１６６９８（图５）．
试用迭代法求方程狓３＝３狓－１的３个近似解．
课题研究 数学建模活动和数学探究活动可以用课题研究的形式展开．课
题研究的过程，一般包括选题、开题、做题和结题四个环节．
◆ 选题
课题可以由老师提供，也可以根据自己的兴趣爱好选择和确定；
可以从教材提供的案例和背景材料中发现，也可以在网上寻找．课题
内容可以是学科知识的拓展延伸，也可以是对自然环境、生活领域和
社会领域的探究；可以是已经证明的结论，也可以是未知的知识
领域．
选定问题后，需要查阅大量文献来了解相关研究的结果———问
题有无解决或解决的程度等，以避免出现研究方法或结果与前人一
样或类似的情况．
２ ４３
必修第一册 数学
◆ 开题
每位同学（可以组成２～３人小组）自主选择一个数学建模或数学
探究课题，形成开题报告．开题报告主要包括选题的背景和意义、文
献综述、解决问题的思路、研究计划、预期结果等．
开题旨在明确研究问题的方向、意义、创新点，并初步设计出解
决问题的行动方案．根据要解决的问题思考：还需要哪些资料和工
具？是否准备到位？制订的计划和步骤是否切实可行？对可能出现
的困难和问题，是否有预案或对策？如果是合作研究，分工合作是否
清楚？
◆ 做题
做题就是解决问题的过程，数学建模过程主要包括：在实际情境
中发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解模型，验证结果并
改进模型．数学探究过程主要包括：发现和提出有意义的数学问题，
猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，研究论证数学结
论．鼓励在课题研究中使用计算机或其他工具，发挥技术的优势和
作用．
选定课题后，课题研究的形式可以是自主探究，也可以是同学之
间的合作探究．教师应及时了解和掌握学生的活动情况，并给予必要
的指导和帮助．
◆ 结题
结题包括撰写研究报告和报告研究结果，同学们可以在老师的
组织下开展结题答辩．根据选题的内容，报告可以采用专题作业、测
量报告、算法程序、制作实物或研究论文等多种形式．
通过主题报告的演示与表达，进行生生互评、教师点评，包括研
究方案是否科学可行，解决问题的方法或技术路线是否有效新颖，自
主探究或小组合作研究情况如何，课题完成质量如何等．评价旨在通
过互相启迪以促进共同提高，而不是简单地进行分等评级．
开展数学课题研究，有助于提升同学们的数学建模、数学抽象、
数据分析、数学运算、逻辑推理和直观想象素养．
２ ４４
说 明
江苏凤凰教育出版社出版的《普通高中教科书·数学》是根据教
育部制定的《普通高中数学课程标准（２０１７年版）》编写的．
该套教科书充分体现数学课程标准的基本理念，使学生通过高
中阶段的学习，能获得适应现代生活和未来发展所必需的数学素养，
满足他们个人发展与社会进步的需求．
教科书力图使学生在丰富的、现实的、与他们经验紧密联系的背
景中感受数学、建立数学、运用数学，做到“入口浅，寓意深”．通过创
设合适的问题情境，引导学生进行操作、观察、探究和运用等活动，感
悟并获得数学知识与思想方法．在知识的发生、发展与运用过程中，
培养学生的思维能力、创新意识和应用意识，提升他们的数学学科核
心素养．
教科书按知识发展、背景问题、思想方法、核心素养四条主线，通
过问题将全书贯通．每个主题围绕中心教育目标展开，每章围绕核心
概念或原理展开．教科书充分关注数学与自然、生活、科技、文化、各
门学科的联系，让学生感受到数学与外部世界是息息相通、紧密相
连的．
教科书充分考虑学生的不同需求，为所有学生的发展提供帮助，为
学生的不同发展提供较大的选择空间．整个教科书设计为：一个核心
（基本教学要求），多个层次，多种选择．学好核心内容后，根据需要，学
生有多种选择，每一个人都能获得必备的数学素养与最优发展．
衷心感谢２００４年版《普通高中课程标准实验教科书·数学》（苏
教版）的主编单墫教授，副主编李善良、陈永高、王巧林，以及所有编
写的专家，审读、试教教师．
众多的数学家、心理学家、数学教育专家、特级教师参加了本套
教科书的编写与讨论工作．史宁中、鲍建生、谭顶良等教授对教科书
编写提出许多建议，陈光立、仇炳生、张乃达、祁建新等老师参与本书
的编写设计与讨论，在此向他们表示衷心感谢！
感谢您使用本书，您在使用本书时有建议或疑问，请及时与我们
联系，电话：０２５８３６５８７３７，电子邮箱：ｓｊｇｚｓｘ＠１２６．ｃｏｍ，ｌｉｓｈａｎｌｉａｎｇ
２０１９＠１２６．ｃｏｍ，４６６６０６３５１＠ｑｑ．ｃｏｍ．
本书编写组
２０１９年５月
