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2023 年岳阳市初中学业水平考试试卷
数学
温馨提示：
1．本试卷共三大题，24小题，满分120分，考试时量90分钟；
2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区
域内；
3，考试结束后，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出
符合要求的一项）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据只有符号不同 的两个数互为相反数进行解答即可得．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式，进行计算即可求解．
【详解】解：A、 ，故该选项正确，符合题意；
B、 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，故该选项不正确，不符合题意；
D、 ，故该选项不正确，不符合题意；
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故选：A．
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握同底数幂
的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则，完全平方公式是解题的关键．
3. 下列几何体的主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据主视图的概念找出各种几何体的主视图即可．
【详解】解：A、主视图为圆，符合题意；
B、主视图为正方形，不符合题意；
C、主视图为三角形，不符合题意；
D、主视图为并排的两个长方形，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，解题的关键是能够理解主视图的概念以及对常见的几何体的主视
图有一定的空间想象能力．
4. 已知 ，点 在直线 上，点 在直线 上， 于点 ，则
的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余分析计算求解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的性质和直角三角形两锐角互余，掌握两直线平行，内错角相等以及直角三角形
两锐角互余是解题关键．
5. 在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下： （单位：次/分钟），
这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数和中位数的定义即可得到答案．
【详解】解：数据从小到大排列为 ，出现次数最多的是 ，共出现2次，
众数是 ，中位数为 ．
故选：D
【点睛】此题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，一组数据按照大小顺序排
列后，处在中间位置或中间两个数的平均数叫做中位数，熟练掌握定义是解题的关键．
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 同位角相等 B. 菱形的四条边相等
的
C. 正五边形是中心对称图形 D. 单项式 次数是4
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义求解．
【详解】A. 两平行线被第三条直线所截，同位角相等，故此命题为假命题；
B. 根据菱形的性质，菱形的四条边相等，故此命题为真命题；
C. 正五边形不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故此命题为假命题；
D. 单项式 的次数是3，故此命题是假命题；
故选：B．
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【点睛】本题考查平行线的性质，菱形的性质，正五边形定义，中心对称图形的定义，单项式次数的定义，
熟练掌握上述知识是关键．
7. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问
广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径 为25寸，要做成方形板材，使其厚度 达到
7寸．则 的长是（ ）
A. 寸 B. 25寸 C. 24寸 D. 7寸
【答案】C
【解析】
【分析】根据矩形的性质，勾股定理求解．
【详解】由题意知，四边形 是矩形，
在 中，
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理；由矩形的性质得出直角三角形是解题的关键．
8. 若一个点的坐标满足 ，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于 的二次函数
（ 为常数， ）总有两个不同的倍值点，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
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【分析】利用“倍值点”的定义得到方程 ，则方程的 ，可得 ，
利用对于任意的实数 总成立，可得不等式的判别式小于0，解不等式可得出 的取值范围．
【详解】解：由“倍值点”的定义可得： ，
整理得，
∵关于 的二次函数 （ 为常数， ）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数 总成立，
∴
整理得，
∴
∴ ，
∴ ，或
当 时，解得 ，
当 时，此不等式组无解，
∴ ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式以及二次函数与不等式
的关系，理解新定义并能熟练运用是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9. 函数 中，自变量x的取值范围是____．
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【答案】
【解析】
【详解】解：由题意知：x-2≠0，解得x≠2；
为
故答案 x≠2．
10. 近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂．
2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达 万只，数据 用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为 ，其中 ， 为整数．
【详解】解： ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
11. 有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为 ，甲队身高方差
，乙队身高方差 ，两队身高比较整齐的是_________队．（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差越小，波动越小，越稳定判断即可．
【详解】∵ ， ，且
∴甲队稳定，
故答案为：甲．
【点睛】本题考查了方差的决策性，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
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12. 如图，①在 上分别截取线段 ，使 ；②分别以 为圆心，以大于 的
长为半径画弧，在 内两弧交于点 ；③作射线 ．若 ，则 _________ ．
【答案】
【解析】
【分析】由作图可知 是 的角平分线，根据角平分线的定义即可得到答案．
【详解】解：由题意可知， 是 的角平分线，
∴ ．
故答案为：
【点睛】此题考查角平分线的作图、角平分线相关计算，熟练掌握角平分线的作图是解题的关键．
13. 观察下列式子：
； ； ； ； ；…
依此规律，则第 （ 为正整数）个等式是_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据等式的左边为正整数的平方减去这个数，等式的右边为这个数乘以这个数减1，即可求解．
【详解】解：∵ ； ； ； ； ；…
∴第 （ 为正整数）个等式是 ，
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故答案为： ．
【点睛】本题考查了数字类规律，找到规律是解题的关键．
14. 已 知 关 于 的 一 元 二 次 方 程 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 且
，则实数 _________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用一元二次方程 有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与
系数关系得到 ，代入 ，解得 的值，根据求得的m
的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得 ，
∵ ， ，
∴ ，
解得 （不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系
数关系的内容是解题的关键．
15. 2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在 处用仪器测得赛
场一宣传气球顶部 处的仰角为 ，仪器与气球的水平距离 为20米，且距地面高度 为1.5米，
则 气 球 顶 部 离 地 面 的 高 度 是 _________ 米 （ 结 果 精 确 到 0.1 米 ，
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）．
【答案】9.5
【解析】
【分析】通过解直角三角形 ，求出 ，再根据 求出结论即可．
【详解】解：根据题意得，四边形 是矩形，
∴
在 中，
∴ ,
∴
故答案为：9.5
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形
并解直角三角形是解此题的关键．
16. 如图，在 中， 为直径， 为弦，点 为 的中点，以点 为切点的切线与 的延长线
交于点 ．
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（1）若 ，则 的长是_________（结果保留 ）；
（2）若 ，则 _________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）连接 ，根据点 为 的中点，根据已知条件得出 ，然后根据弧长
公式即可求解；
（2）连接 ，根据垂径定理的推论得出 ， 是 的切线，则 ,得出 ，
根据平行线分线段成比例得出 ，设 ，则 ，勾股定理求得 ,J进而即可求解．
【详解】解：（1）如图，连接 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
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∴ ，
故答案为： ．
（2）解：如图，连接 ，
∵点 为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 的切线，
∴ ,
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∴ ．
故答案为： ．
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【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，切线的性质，弧长公式，平行线分线段成比例定理等知识，
综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
三、解答题（本大题共 8小题，满分24分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤）
17. 计算： ．
【答案】2
【解析】
【分析】根据幂的运算，特殊角的函数值，零指数幂的运算，绝对值的化简计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查了幂的运算，特殊角的函数值，零指数幂的运算，绝对值的化简，熟练掌握运算的法则
是解题的关键．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】按照解不等式组的基本步骤求解即可．
【详解】∵ ，
解①的解集为 ；
解②的解集为 ，
∴原不等式组的解集为 ．
【点睛】本题考查了不等式组的解法，熟练掌握解不等式组的基本步骤是解题的关键．
19. 如图，反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数， ）的图像交
于 两点．
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（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点 的面积为4，求点 的坐标．
【答案】（1） ；
（2） 或
【解析】
【分析】（1）把 分别代入函数的解析式，计算即可．
（2）根据反比例函数的中对称性质，得到 ，设 ，根据 ，列式计
算即可．
【小问1详解】
∵反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数， ）的图像交于
两点，
∴ ，
解得 ，
故反比例函数的表达式为 ，正比例函数的表达式 ．
【小问2详解】
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∵反比例函数 （ 为常数， ）与正比例函数 （ 为常数， ）的图像交于
两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴ ，设 ，
根据题意，得 ，
∴ ，
解得 或 ，
故点C的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标
表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键．
20. 为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深
入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，
C酿甜酒，D摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不
完整的统计图：
（1）本次共调查了_________名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和
C两个社团的概率．
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【答案】（1）100 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，计算即可．
（2）先计算B的人数，再完善统计图即可．
（3）利用画树状图计算即可．
【小问1详解】
∵ (人)，
故答案为：100．
【小问2详解】
B的人数： （人），
补全统计图如下：
．
【小问3详解】
根据题意，画树状图如下：
的
一共有12种等可能性，选中A，C 等可能性有2种，
故同时选中A和C两个社团的概率为 ．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，画树状图求概率，熟练掌握统计图的意义，准确画树状图
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是解题的关键．
21. 如图，点 在 的边 上， ，请从以下三个选项中① ；②
③ ，选择一个合适的选项作为已知条件，使 为矩形．
（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明 为矩形．
【答案】（1）答案不唯一，①或②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行选取；
（2）通过证明 可得 ，然后结合平行线的性质求得 ，从而得出
为矩形．
【小问1详解】
解：①或②
【小问2详解】
添加条件①， 为矩形，理由如下：
在 中 ， ，
在 和 中 ，
∴
∴ ，
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又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为矩形；
添加条件②， 为矩形，理由如下：
在 中 ， ，
在 和 中 ，
∴
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为矩形
【点睛】本题考查矩形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质和矩形的判定方法（有
一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题关键．
22. 水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾
的总产量是 ，今年龙虾的总产量是 ，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比
今年少 ，求今年龙虾的平均亩产量．
【答案】今年龙虾的平均亩产量 ．
【解析】
【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，根据去年与今年的
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养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x ，则去年龙虾的平均亩产量是 ，
由题意得， ，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量 ．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
23. 如图1，在 中， ，点 分别为边 的中点，连接 ．
初步尝试：（1） 与 的数量关系是_________， 与 的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若 ，先将 绕点 顺时针旋转 （ 为锐角），
得到 ，当点 在同一直线上时， 与 相交于点 ，连接 ．
（1）求 的度数；
（2）求 的长．
深入探究：（3）若 ，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ， ．当
旋转角 满足 ，点 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究 与 的
数量关系，并说明理由．
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【答案】初步尝试：（1） ； ；（2）特例研讨：（1） ；（2）
；（3） 或
【解析】
【分析】（1） ，点 分别为边 的中点，则 是 的中位线，即可得出结论；
（2）特例研讨：（1）连接 ， ，证明 是等边三角形， 是等边三角形，得出
；（2）连接 ，证明 ，则 ，设 ，则
，在 中， ，则 ，在 中，
，勾股定理求得 ，则 ；
（3）当点 在同一直线上时，且点 在 上时，设 ，则 ，
得出 ，则 在同一个圆上，进而根据圆周角定理得出
，表示 与 ，即可求解；当 在 上时，可得 在同一
个圆上，设 ，则 ，设 ，则 ，
则 ，表示 与 ，即可求解．
【详解】初步尝试：（1）∵ ，点 分别为边 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ； ；
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故答案是： ；
（2）特例研讨：（1）如图所示，连接 ， ，
∵ 是 的中位线，
∴ ，
∴
∵将 绕点 顺时针旋转 （ 为锐角），得到 ，
∴ ；
∵点 在同一直线上时，
∴
又∵在 中， 是斜边 的中点，
∴
∴
∴ 是等边三角形，
∴ ，即旋转角
∴
∴ 是等边三角形，
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又∵ ，
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
（2）如图所示，连接 ，
∵ ， ，
∴ ， ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
设 ，则 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ,
∴ ,
21【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
解得： 或 （舍去）
∴ ,
（3）如图所示，当点 在同一直线上时，且点 在 上时，
∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∵ 是 的中位线，
∴
∴ ，
∵将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
∴ ， ，
∴
∴ ，
∵点 在同一直线上，
22【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
∴ ，
∴ 在同一个圆上，
∴
∴
∵ ，
∴ ；
如图所示，当 在 上时，
23【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∵
∴ 在同一个圆上，
设 ，则 ，
将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，
设 ，则 ，则 ，
∴ ，
∵ ,
∴ ，
∵
∴
∴
综上所述， 或
【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形对角互补，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位
线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练掌
握以上知识是解题的关键．
24. 已知抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ．
（1）请求出抛物线 的表达式．
24【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
（2）如图1，在 轴上有一点 ，点 在抛物线 上，点 为坐标平面内一点，是否存在点
使得四边形 为正方形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴交于
点 ，抛物线 上是否存在点 ，使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请
说明理由．
【答案】（1）
（2） ；
（3）点 的坐标为 或
【解析】
【分析】（1）把 代入 ，求出 即可；
（2）假设存在这样的正方形，过点 E 作 于点 R，过点 F 作 轴于点 I，证明
可得 故可得 ， ；
（3）先求得抛物线 的解析式为 ，得出 ， ，运用待
定系数法可得直线 的解析式为 ，过点 作 轴于点 ，连接 ，设 交直线
于 或 ，如图2，过点 作 轴交 于点 ，交抛物线 于点 ，连接 ，利用等腰直
角三角形性质和三角函数定义可得 ，进而可求得点 的坐标．
【小问1详解】
∵抛物线 与 轴交于 两点，交 轴于点 ，
25【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴把 代入 ，得，
解得，
∴解析式为： ；
【小问2详解】
假设存在这样的正方形 ，如图，过点E作 于点R，过点F作 轴于点I，
∴
∵四边形 是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
26【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
∴
∴
∴ ；
同理可证明：
∴
∴
∴ ；
【小问3详解】
解：抛物线 上存在点 ，使得 ．
，
抛物线 的顶点坐标为 ，
将抛物线 向右平移2个单位，得到抛物线 ，
抛物线 的解析式为 ，
抛物线 的顶点为 ，与 轴正半轴交于点 ，
， ，
设直线 的解析式为 ，把 ， 代入得 ，
解得： ，
直线 的解析式为 ，
27【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
过点 作 轴于点 ，连接 ，设 交直线 于 或 ，如图2，过点 作 轴交
于点 ，交抛物线 于点 ，连接 ，
则 ， ， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
， ，
是等腰直角三角形，
， ，
，
，
，
，
28【淘宝搜索店铺：中小学教辅资源店 微信：mlxt2022】
，
，
∵ ，
，
，
即点 与点 重合时， ，
；
， ，
，
，
点 与点 关于直线 对称，
；
综上所述，抛物线 上存在点 ，使得 ，点 的坐标为 或 ．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，全等三角形的判定与性
质，正方形的性质等知识，运用数形结合思想解决问题是解题的关键．
29
