文档内容
2024 年广西初中学业水平考试
数学
（全卷满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1.答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上．
2.考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无
效．
3.不能使用计算器．
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题（本大题共 12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只
有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．）
1. 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，熟悉掌握概念是解决本题的关键． 以下记为负数，
以上记为正数，温度都小于 时，绝对值最大的，温度最低．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴气温最低的是北京．
故选：A．
2. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线
1折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折
叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．
【详解】A．不是轴对称图形，故不符合题意；
B．是轴对称图形，故符合题意；
C．不是轴对称图形，故不符合题意；
D．不是轴对称图形，故不符合题意；
故你：B．
3. 广西壮族自治区统计局发布的数据显示，2023年全区累计接待国内游客8.49亿人次．将849000000用科
学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法： 为整数，进行表示即
可．
【详解】解： ；
故选B．
4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防止受拉力时脱开，榫头成梯台
形，形似燕尾，如图是燕尾榫正面的带头部分，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三视图，根据主视图是从前往后看，得到的图形，进行判断即可．
【详解】解：由图可知：几何体的主视图为：
2故选A．
5. 不透明袋子中装有白球2个，红球1个，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，取
出白球的概率是（ ）
A. 1 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查求概率，直接利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：从袋子中随机取出1个球，有 种等可能的结果，其中取出白球的情况有2种，
∴ ；
故选D．
6. 如图，2时整，钟表的时针和分针所成的锐角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了钟面角，用 乘以两针相距的份数是解题关键．根据钟面的特点，钟面平均分成12
份，每份是 ，根据时针与分针相距的份数，可得答案．
【详解】解：2时整，钟表的时针和分针所成的锐角是 ，
故选：C．
7. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P的坐标为 ，则点Q的坐标为（ ）
3A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查点的坐标，理解点的坐标意义是关键．根据点P的坐标可得出横、纵轴上一格代表
一格单位长度，然后观察坐标系即可得出答案．
【详解】解：∵点P的坐标为 ，
∴点Q 的坐标为 ，
故选：C．
8. 激光测距仪L发出的激光束以 的速度射向目标M， 后测距仪L收到M反射回的激光束．
则L到M的距离 与时间 的关系式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查列函数关系式，熟练掌握路程＝速度×时间是解题的关键．根据路程＝速度×时间列式即
可．
【详解】解： ，
故选：A．
9. 已知点 ， 在反比例函数 的图象上，若 ，则有（ ）
A. B. C. D.
4【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．根据点
， 在反比例函数图象上，则满足关系式 ，横纵坐标的积等于2，结合
即可得出答案．
【详解】解： 点 ， 在反比例函数 的图象上，
， ，
，
， ，
．
故选：A．
10. 如果 ， ，那么 的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 4 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴
；
5故选D．
11. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3
亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，
可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三
年共得100钱”列方程即可．
【详解】解：根据题意，得 ，
故选：B．
12. 如图，边长为5的正方形 ，E，F，G，H分别为各边中点，连接 ， ， ， ，交
点分别为M，N，P，Q，那么四边形 的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C. 5 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】先证明四边形 是平行四边形，得出 ，同理 ，则可证四边形
是平行四边形，利用平行线分线段成比例可得出 ， ，证明
得出 ，则可得出 ，同理 ，得出平行四边形 是
6矩形，证明 ，得出 ，进而得出 ，得出矩形
是正方形，在 中，利用勾股定理求出 ，然后利用正方形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形 是正方形，
∴ ， ， ， ，
∵E，F，G，H分别为各边中点，
∴ ， ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
同理 ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，同理 ，
7∴平行四边形 是矩形，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
又 ， ，
∴ ，
∴矩形 是正方形，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴正方形 的面积为5，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理等知
识，明确题意，灵活运用相关知识求解是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）
13. 已知 与 为对顶角， ，则 ______°．
【答案】35
【解析】
【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可．
【详解】解：∵ 与 为对顶角， ，
∴ ．
故答案为：35．
14. 写一个比 大的整数是__．
8【答案】2(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查实数大小比较，估算无理数的大小是解题的关键．
的
先估算出 大小，再找出符合条件的整数即可．
【详解】解： ，
，
符合条件的数可以是：2(答案不唯一)．
故答案为：2．
15. 八桂大地孕育了丰富的药用植物．某县药材站把当地药市交易的 种药用植物按“草本、藤本、灌
木、乔木”分为四类，绘制成如图所示的统计图，则藤本类有______种．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了扇形统计图，用 乘以藤本类的百分比即可求解，看懂统计图是解题的关键．
【详解】解：由扇形统计图可得，藤本类有 种，
故答案为： ．
16. 不等式 的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤解答即可求解，掌握解一元一次不
等式的步骤是解题的关键．
【详解】解：移项得， ，
9合并同类项得， ，
系数化为 得， ，
故答案为： ．
17. 如图，两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 ，则重合部分构成的四边形
的周长为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点 作 于 ，
于 ，由题意易得四边形 是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得 ，
即可得到四边形 是菱形，再解 可得 ，即可求解，得出四边形
是菱形是解题的关键．
【详解】解：过点 作 于 ， 于 ，则 ，
∵两张纸条的对边平行，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
10又∵两张纸条的宽度相等，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形，
在 中， ， ，
∴ ，
∴四边形 的周长为 ，
故答案为： ．
18. 如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度 是 ，出手后实心球沿一段抛物线运行，
到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．若实心球落地点为M，则 ______ ．
【答案】
【解析】
11【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为 ，把点 ，代入即可求出
解析式；当 时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离 ．
【详解】解：以点O为坐标原点，射线 方向为x轴正半轴，射线 方向为y轴正半轴，建立平面直
角坐标系，
∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是 ，高度是 ．
设抛物线解析式为： ，
把点 代入得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为： ；
当 时， ，
解得， （舍去）， ，
即此次实心球被推出的水平距离 为 ．
故答案为：
三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
【答案】
【解析】
12【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可．
【详解】解：原式
．
20. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，直接利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解： ，
得： ，
解得： ，
把 代入①得：
，
∴方程组的解为： .
21. 某中学为了解七年级女同学定点投篮水平，从中随机抽取 20名女同学进行测试，每人定点投篮5次，
进球数统计如下表：
进球
0 1 2 3 4 5
数
人数 1 8 6 3 1 1
（1）求被抽取的20名女同学进球数的众数、中位数、平均数；
（2）若进球数为3以上（含3）为“优秀”，七年级共有200名女同学，请估计七年级女同学中定点投篮
水平为“优秀”的人数．
13【答案】（1）众数为1、中位数为2、平均数为
（2）估计为“优秀”等级的女生约为50人
【解析】
【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的定义求解即可；
（2）算出样本的优秀率，再估计总体的优秀人数．
【小问1详解】
解：女生进球数的平均数为 （个），
女生进球数的中位数是第10个和第11个成绩的平均数，即 （个），
的
女生进球个数为1个 人最多，故众数是1个；
【小问2详解】
解： （人），
答：估计为“优秀”等级的女生约为50人．
【点睛】本题考查了中位数，众数，平均数，用样本件估计总体，掌握中位数，平均数、众数的定义以及
优秀率的求法是解题的关键．
22. 如图，在 中， ， ．
（1）尺规作图：作线段 的垂直平分线l，分别交 ， 于点D，E：（要求：保留作图痕迹，不写
作法，标明字母）
（2）在（1）所作的图中，连接 ，若 ，求 的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
14【分析】（1）分别以A、B为圆心，大于 为半径画弧，分别交 ， 于点D，E，作直线 ，
则直线l即为所求．
（2）连接 ，由线段垂直平分线的性质可得出 ，由等边对等角可得出 ，由
三角形内角和得出 ，则得出 为等腰直角三角形，再根据正弦的定义即可求出 的长．
【小问1详解】
解：如下直线l即为所求．
【小问2详解】
连接 如下图：
∵ 为线段 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
15∴
【点睛】本题主要考查了作线段的垂线平分线，线段的垂线平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内
角和定理以及正弦的定义．掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
23. 综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过洗一套夏季校服，探索清洗衣物的节约用水策略．
【洗衣过程】
步骤一：将校服放进清水中，加入洗衣液，充分浸泡揉搓后拧干；
步骤二：将拧干后的校服放进清水中，充分漂洗后拧干．重复操作步骤二，直至校服上残留洗衣液浓度达
到洗衣目标．
假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 ，每次拧干后校服上都残留 水．
浓度关系式： ．其中 、 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗衣液浓度；w为单次漂洗
所加清水量（单位： ）
【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于
【动手操作】请按要求完成下列任务：
（1）如果只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要多少清水？
（2）如果把 清水均分，进行两次漂洗，是否能达到洗衣目标？
（3）比较（1）和（2）的漂洗结果，从洗衣用水策略方面，说说你的想法．
【答案】（1）只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要 清水．
（2）进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
（3）两次漂洗的方法值得推广学习
【解析】
【分析】本题考查的是分式方程的实际应用，求解代数式的值，理解题意是关键；
（1）把 ， 代入 ， 再解方程即可；
（2）分别计算两次漂洗后的残留洗衣液浓度，即可得到答案；
16（3）根据（1）（2）的结果得出结论即可．
【小问1详解】
解：把 ， 代入
得 ，
解得 ．经检验符合题意；
∴只经过一次漂洗，使校服上残留洗衣液浓度降为 ，需要 清水．
【小问2详解】
解：第一次漂洗：
把 ， 代入 ，
∴ ，
第二次漂洗：
把 ， 代入 ，
∴ ，
而 ，
∴进行两次漂洗，能达到洗衣目标；
【小问3详解】
解：由（1）（2）的计算结果发现：经过两次漂洗既能达到洗衣目标，还能大幅度节约用水，
∴从洗衣用水策略方面来讲，采用两次漂洗的方法值得推广学习．
24. 如图，已知 是 的外接圆， ．点D，E分别是 ， 的中点，连接 并延长
至点F，使 ，连接 ．
17（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）求证： 与 相切；
（3）若 ， ，求 的半径．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）先证明 ， ，再证明 ，可得 ，
，再进一步解答即可；
（2）如图，连接 ，证明 ，可得 过圆心，结合 ，证明 ，从而可得
结论；
（3）如图，过 作 于 ，连接 ，设 ，则 ，可得 ，求
解 ，可得 ，求解 ，设 半径为 ，可得
，再利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：∵点D，E分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
又∵ ， ，
∴ ，
18∴ ， ，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ， 为 中点，
∴ ，
∴ 过圆心，
∵ ，
∴ ，
而 为半径，
∴ 为 的切线；
【小问3详解】
解：如图，过 作 于 ，连接 ，
19∵ ，
∴ ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
设 半径为 ，
∴ ，
20∴ ，
解得： ，
∴ 的半径为 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的判
定与性质，切线的判定，垂径定理的应用，做出合适的辅助线是解本题的关键．
25. 课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数 的最值问题展开探究．
【经典回顾】二次函数求最值的方法．
（1）老师给出 ，求二次函数 的最小值．
①请你写出对应的函数解析式；
②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；
【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整
理成下表：
a … 0 2 4 …
x … * 2 0 …
y的最小值 … * …
注：*为②的计算结果．
【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．”
甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取 ，就能得到y的最小值．”
乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我
猜想y的最小值中存在最大值．”
（2）请结合函数解析式 ，解释甲同学的说法是否合理？
（3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由．
【答案】（1）① ；②当 时， 有最小值为 （2）见解析（3）正确，
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
21（1）①把 代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可；
（2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可；
（3）将一般式转化为顶点式，表示出 的最大值，再利用二次函数求最值即可．
【详解】解：（1）①把 代入 ，得：
；
∴ ；
②∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ；
（2）∵ ，
∵抛物线的开口向上，
∴当 时， 有最小值；
∴甲的说法合理；
（3）正确；
∵ ，
∴当 时， 有最小值为 ，
即： ，
∴当 时， 有最大值， 为．
26. 如图1， 中， ， ． 的垂直平分线分别交 ， 于点M，O， 平分
．
22（1）求证： ；
（2）如图2，将 绕点O逆时针旋转得到 ，旋转角为 ．连接 ，
①求 面积的最大值及此时旋转角 的度数，并说明理由；
②当 是直角三角形时，请直接写出旋转角 的度数．
【答案】（1）见解析 （2）① ， ；② 或
【解析】
【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出 ，利用等边对等角得出 ，结合角平
分线定义可得出 ，最后根据相似三角形的判定即可得证；
（2）先求出 ，然后利用含 的直角三角形性质求出 ， ，
，利用勾股定理求出 ， ，取 中点 ，连接 ， ，作
于N，由旋转的性质知 ， 为 旋转 所得线段，则 ，
， ，根据点到直线的距离，垂线段最短知 ，三角形三边关系
得出 ，故当M、O、 三点共线，且点O在线段 时， 取最大值，最大值为
23，此时 ，最后根据三角形面积公式求解即可；
②先利用三角形三边关系判断出 ， ，则当 为直角三角形时，只有
，然后分A和 重合， 和C重合，两种情况讨论即可．
【小问1详解】
证明：∵ 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分
∴ ，
∴ ，
又 ；
∴ ；
【小问2详解】
解：①∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ， ，
∵ 垂直平分 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
24取 中点 ，连接 ， ，作 于N，
由旋转的性质知 ， 为 旋转 所得线段，
∴ ， ， ，
根据垂线段最短知 ，
又 ，
∴当M、O、 三点共线，且点O在线段 时， 取最大值，最大值为 ，
此时 ，
∴ 面积的最大值为 ；
②∵ ， ，
∴ ，
同理
∴ 为直角三角形时，只有 ，
当A和 重合时，如图，
25∵
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 、O、M三点共线，
∴ 为直角三角形，
此时旋转角 ；
当 和C重合时，如图，
同理 ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
26∴ 、O、M三点共线，
又
∴ 为直角三角形，
此时旋转角 ；
综上，旋转角 的度数为 或 时， 为直角三角形．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含 的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，
明确题意，正确画出图形，添加辅助线，合理分类讨论是解题的关键．
27
